Математическое моделирование, численные методы и комплекс программ для задачи взаимодействия двух экономических агентов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Федорова, Елизавета Александровна

• Федорова, Елизавета Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федорова, Елизавета Александровна

Содержание

Введение

Глава I. Методы исследования динамических моделей

§ 1. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Виды и методы

решений

§2. Устойчивость решений

§3. Оптимальные процессы

Глава II. Математическая модель деятельности фирмы

§1. Математическая модель фирмы. Постановка задачи

§2. Неуправляемая модель фирмы

Глава III. Оптимизационные модели

§ 1. Задача оптимального управления деятельности фирмы

3.1.1. Необходимые условия оптимальности. Особое оптимальное управление

3.1.2. Достаточные условия оптимальности

3.1.3. Дискретная аппроксимация

3.1.4. Результаты численных экспериментов

§2. Задача оптимального управления деятельности банка

3.2.1. Необходимые условия оптимальности. Особое оптимальное управление

3.2.2. Достаточные условия оптимальности

3.2.3. Дискретная аппроксимация

3.2.4. Результаты численных экспериментов

§3. Задача оптимального управления с учетом двух критериев качества

3.3.1. Необходимые условия оптимальности

3.3.2. Достаточные условия оптимальности

3.3.3. Дискретная аппроксимация

3.3.4. Результаты численных экспериментов

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование, численные методы и комплекс программ для задачи взаимодействия двух экономических агентов»

Введение.

Актуальность темы исследования. Математическая теория управления наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов. Необходимость решения таких задач возникает при моделировании физических, химических, биологических, социальных, экономических и других процессов [2, 17, 19, 20, 29, 34, 52, 65, 67, 71,72, 73].

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Из наиболее распространенных методов решения задач оптимального управления являются метод штрафных функций и принцип максимума, который в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.

Истоки теории оптимального управления восходят к работам Р. Беллман [9], Л. С. Понтрягина [61], Р. Калман [24, 41], Н. Н. Красовского [46], У. Флеминг, А. Фридман.

Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли В. Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Р. В. Гамкрелидзе [25, 39], Ю. Г. Евтушенко [32], Г. Лейтман, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Ф. Л. Черноусько [87], В. А. Якубович, Д. Эллиот.

Фундаментальное развитие теория оптимального управления получила в работах В. И. Благодатских, Р. Ф. Габасова [21, 22, 23], А. Я. Дубровицкого [30], В. И. Зубова [35], А. Д. Иоффе [39], Ф. М. Кирилловой [23],

В. Ф. Кротова [47], А. А. Милютина [58], Н. Н. Петрова, Г. К. Пожарицкого, В. М. Тихомирова, С. В. Чистякова.

В данной работе принцип максимума используется при решении задачи, имеющей экономическое содержание. Основу модели составляют нелинейные дифференциальные уравнения.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического развития, построение и исследование их математических моделей внесли отечественные ученые С. А. Ашманов [6], В. 3. Беленький, В. А. Бессонов, О. О. Замков [33], В. А. Колемаев [45], Г. Б. Клейнер, В. Л. Макаров, Д. Нестерова, Р. Л. Нуреев, А. А. Петров [63], И. Г. Поспелов [66], Ю. Н. Черемных [33], А. А. Шананин [62], а также зарубежные ученые Е. Домар, Д. Касс, В. Леонтьев [38], Р. Лукас, Н. Калдор, Р. Рамсей [38], Д. Ромер, Дж. фон Нейман [45], Р. Солоу [38], Р. Харрод, К. Эрроу и другие.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении. Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в экономике, наблюдаемая на практике картина, свидетельствует о необходимости дальнейшего изучения экономических явлений. В связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических системах оказывается весьма важной и своевременной.

Целью работы является исследование и построение аналитического и численного решения многокритериальной нелинейной задачи оптимального

управления с фазовыми ограничениями, которая формализует экономическую модель.

Для достижения поставленной цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе построенной модели методами математических теорий дифференциальных уравнений и оптимального управления, применяются численные методы построения оптимального решения.

Объект исследования - многокритериальная нелинейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями.

Предмет исследования - поведение объекта в зависимости от параметров задачи, функций управления и критериев качества на оптимальное решение.

Положения, выносимые на защиту.

1. построение математической модели взаимодействия двух экономических агентов с учетом привлечения кадров;

2. исследование неуправляемой модели на устойчивость;

3. разработка управляемой модели динамики взаимодействия экономических агентов с различными критериями качества;

4. применение необходимых и достаточных условий для построения оптимального решения;

5. исследование модели на наличие особых оптимальных режимов;

6. построение алгоритмов численных методов решения;

7. определение влияния параметров модели на оптимальное решение.

Научная новизна. В диссертационной работе построена математическая модель взаимодействия двух экономических агентов с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы и метода списания задолженности с банковского счета, которая формализована как многокритериальная нелинейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями. Построены численные решения задач оптимального управления. Исследовано

влияние параметров задачи, функций управления и критериев качества на оптимальное решение. Определены параметры, при которых возникают особые режимы оптимального управления. Найдено оптимальное распределение весовых коэффициентов.

Практическая значимость. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с деятельностью фирм: прогнозирование динамики капитала, выпуска и прибыли фирмы, рассмотрении вопроса о привлечении наемных работников, прогнозирование материальных затрат и капиталовложений. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние на оптимальное управление.

Ориентация на стандартную региональную статистику позволяет использовать сделанные разработки для многих фирм.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые и достаточные условия оптимальности, теория устойчивости, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, отражающей взаимодействия экономических субъектов.

При разработке программного комплекса, проведении вычислительных экспериментов использовался программный продукт: Borland Delphi 6.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов математической теории оптимального управления и методов оптимизации; на применении физически обоснованных исходных данных, на сравнении результатов со статистическими данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения были представлены на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2008-2011 гг.); на второй Российской школы-конференции с международными участием для молодых

ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверской государственный университет, 8-12 декабря 2010г.); на первой Международной научно-практической конференции, посвященной устойчивому развитию социально-экономических систем (ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 17-18 февраля 2011г., г. Казань); на второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной проблемам анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов (Министерство образования и науки РФ, Казанский государственный финансово-экономический институт, 21-22 апреля 2011г., г. Казань); результаты исследований, вошедших в диссертацию, докладывались на семинарах Вычислительного центра им. A.A. Дородницына Российской академии наук (Москва, 2010 - 2011 гг.).

Публикации автора по теме диссертации. Основное содержание работы отражено в 9 научных публикациях, включая: 3 в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России [76, 77, 79], 3 в сборниках научных трудов [68, 81, 83], 1 статья в материалах Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых [82], 1 статья в материалах международной научно-практической конференции [80], 1 статья в материалах Всероссийской научно-практической конференции [78].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы.

Во введении обосновывается выбор темы, ее актуальность и значимость, сформирована цель и задачи исследования, теоретическая и методологическая база исследования. Приводятся основные научные и практические результаты, положения, выносимые на защиту. Дана структура и краткое содержание глав диссертации, сведения о публикациях и апробации работы.

В первой главе даются основные сведения касающиеся методов исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений: численные

методы (методы Рунге-Кутта, методы Адамса, метод Ньютона, метод коллокации, метод стрельбы, с помощью математических пакетов MatLab, MathCad, Maple), теория устойчивости решений, теория оптимальных процессов (принцип максимума JI.C. Понтрягина, необходимые условия оптимальности, достаточные условия оптимальности).

Во второй главе описана общая структура модели, в которой выделяются два экономических агента: банк и фирма.

При построении модели я опиралась на общие положения, модели и методы системного анализа экономики, разработанные коллективом авторов ВЦ РАН им. А. А. Дородницына.

Главные предположения, на которых основано математическое описание модели:

1. Производство осуществляет фирма, которая функционирует ради извлечения максимальной прибыли, выпускающая однородный продукт.

2. Все произведенные продукты обращаются в товар.

3. Продукты продаются и покупаются по единой цене.

4. Учитывается численность рабочих, которые получают доход в виде заработной платы и тут же целиком расходуют его на потребление. Фирма получает доход в виде прибыли. Часть дохода она сберегает и обращает в капитал, остальную часть расходует на затраты производства и погашение кредитов.

5. Банк осуществляет финансовую деятельность в виде кредитов и текущих счетов фирмы.

6. Деятельность внешней экономической среды, с которой взаимодействует рассматриваемая фирма, и торгово-посреднические структуры, обслуживающие обращение товаров не рассматриваются.

Комплексная модель деятельности и отношений двух субъектов экономики имеет вид:

К'it) = u(t)K(t) + b(t)AKa (t)LP (t), K(O) =K0,

d'(t) = (rx (i) - h(t))d{t) + (l - v(i))[(l - ait) - b{t))AKa (t)^ (i) - oj{t)L{t)\ d(O) = dQ, s'(t) = r2(t)s(t) + Ф(/)- h{t)d(t\ 5(0) = ,

L\t) = n(t)L{t){ 1 - + Mt))L{t\ 1(0) = Z0,

^max

где K{t) - капитал фирмы, Lit) - численность наемных работников,

Y{t) = АКа it)l/it) - производственная функция, задающая технологию производства, d(t) - текущий банковский счет фирмы, s(t) - задолженность фирмы перед банком, ju{t) амортизация капитала, bit) (0 < bit) < 1 ) -коэффициент инвестиционных поступлений, г, (/) - ставка банковского счета, г2 (/) - ставка процента на кредит, - кредит, a(t) ( 0 < a(t) < 1 ) -

коэффициент постоянных материальных затрат, h(t) (0 < h(t)<l) -коэффициент погашения задолженности, n(t) - коэффициент прироста наемных работников, û)(t) - ставка заработной платы, vit) - ставка налога на прибыль.

Построенная модель отличается от модели ВЦ РАН следующим:

1. динамика трудящихся описывается логистическим уравнением Ферхюльста с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы

гШ)

2. задолженность списывается с банковского счета фирмы.

3. модель в работе была рассмотрена как оптимизационная.

Построенная модель дает возможность рассчитать уровень производства фирмы, прибыль, в зависимости от капитала, числа наемных работников, ссудных процентов банка и процента начисления на сбережения; определить тенденции развития фирмы.

Математическая модель была исследована на устойчивость. Для этого

была найдена стационарная точка {K,dгде

к =

м

ЪА

Г у\Р К П)

шах

а-1

Г ;Л V п;

^тах '

(1-у)

(1 -а- Ьу-ЦА I

М

«-1 1+Г

V п

Р_

1 -а

I

П)

'шах

И-Гл

Н{\ -у)

5 -

(1 -а-ЬуЦА

ГА

кЪ)

а

Г у\ V п)

1 -а

^тах 60

1 + ^ \ь

П

тах

- Ф(Н - ГХ)

¡(А-г,)

Выписан якобиан линеаризованной системы, составлено характеристическое уравнение, найдены его корни. Выяснено, что неуправляемая модель не является устойчивой. Данные факт подтвержден численным экспериментом.

Подобное состояние системы выражается в таких экономических явлениях, как дефицит бюджета, инфляции, обесценение капитала, убыточность, увеличение безработицы, тяжесть налогового бремени и государственного долга.

В третьей главе рассмотрено взаимодеиствие, описанных во второй главе экономических субъектов, которое происходит в процессе их экономической деятельности. Каждый экономический агент преследует свою выгоду, которая может быть получена на имеющихся ресурсах системы.

Таким образом, в зависимости от критерия качества поставленная модель может отражать интересы каждого из экономических агентов.

В работе решены следующие задачи оптимального управления: 1. Задача оптимального управления деятельности фирмы.

Производственные отношения выражаются в предположении, что фирма так регулирует уровень производства, чтобы извлечь из него максимальную

прибыль и сократить к концу отчетного периода задолженность перед банком

до минимума:

т

\e~5t (1 - v)[(l -a- b(t))Y(t) - coL(t)]dt - s(t) max. о

Фирма достигает поставленной цели, управляя инвестиционными отчислениями b{t) ( 0 < 6min < b{t) < bmax < 1 ) и величиной погашения

кредиторской задолженности h(t) (0 < hmin < h(t) < hmax < 1). Переменные: K(t),L(t), s(t),d{t) выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями: 0 < K(t) < Kmax, 0 < Lmin < L{t) < Lmax, 0 <s(t)<K(t), d{t)> 0. Переменные v(t), a(t), ju(t), rx{t), r2(t), co(t), n(t) - экзогенные на временном промежутке Т.

Задача оптимального управления деятельности фирмы рассмотрена как задача оптимального управления с фазовыми ограничениями, как задача оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями, как задача оптимального управления со штрафными функциями. Для каждой из задач выписаны необходимые условия оптимальности. Проведено их сравнение. Выявлено, что соответствующие штрафы равны соответствующим мерам.

Для поставленной однокритериальной задачи фирмы, с помощью необходимых условий оптимальности, определены особые оптимальные управления и условия их существования. Наличие особых режимов подтверждено численными экспериментами.

Для задачи оптимального управления сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

Система дифференциальных уравнений в построенной модели фирмы была сведена к дискретной с помощью метода Рунге-Кутта первого порядка. С помощью метода левых прямоугольников построена квадратурная формула для функционала задачи. В результате была выписана дискретная аппроксимация

непрерывной задачи, для решения которой был применен метод проекции градиента. Задача была реализована на языке программирования Delphi 6.

Поставленная задача оптимального управления применена для исследования деятельности ОАО «Старицкий сыр». Для этого, используя статистические данные и применив, метод наименьших квадратов, была построена производственная функция Y(t)= 0,0000053К0,292 (t)L4'34 (t). Определены остальные параметры модели.

Рассматриваемая задача исследована на адекватность. Исследовано влияние параметров задачи (постоянных материальных затрат, амортизации капитала, ставки заработной платы, времени процесса) на оптимальное решение с экономической интерпретацией. Определены параметры, при которых возникают особые режимы оптимального управления. 2. Задача оптимального управления деятельности банка.

Поскольку прибыль банка формируется как разность от процентов за выданный кредит г2 и процентов на вложенный капитал гх. Тогда цель банка -максимизация дисконтированных финансовых потоков за цикл деятельности:

Т

\е~& [r2 (t)s(t) - г, (t)d(t)]dt -> max. о

Управляющей функцией банка может служить как функция начисления процентов на невыплаченную часть долга r2(t) (0 < r2 < r2{t)< r2 < 1), так и

функция начисления процентов по вкладу rx{t) (0 < < rx(t)< r\ < 1). Переменные: Kit), s(t), d(t), b(t) выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями: Kmïn < Kit) < i:max, 0 <s(t)< K(t), d{t)> 0, 0 < Lmin < Lit) < Lmax. Переменные v(t),a(t), ju(t),bit),h(t),mit),Ф(/),n(t) -экзогенные на временном промежутке T.

Задача оптимального управления деятельности банка рассмотрена как задача оптимального управления с фазовыми ограничениями, как задача оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями, как

задача оптимального управления со штрафными функциями. Для каждой из задач выписаны необходимые условия оптимальности. Проведено их сравнение. Выявлено, что соответствующие штрафы равны соответствующим мерам.

Для поставленной однокритериальной задачи банка, с помощью необходимых условий оптимальности, определены особые оптимальные управления и условия их существования. Наличие особых режимов подтверждено численными экспериментами.

Для задачи оптимального управления сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

Система дифференциальных уравнений в построенной модели банка была сведена к дискретной с помощью метода Рунге-Кутта первого порядка. С помощью метода левых прямоугольников построена квадратурная формула для функционала задачи. В результате была выписана дискретная аппроксимация непрерывной задачи, для решения которой был применен метод проекции градиента. Задача была реализована на языке программирования Delphi 6.

Также исследовано влияние параметров задачи (инвестирования, списания задолженности) на оптимальное решение. Определены параметры, при которых возникают особые режимы оптимального управления. 3. Математическая модель оптимизации с учетов двух критериев качества.

В экономике рассмотренные агенты (фирма, банк) существуют одновременно. С одной стороны, их экономические процессы обособлены, но с другой - они опосредованно взаимодействуют. Значит за один и тот же промежуток времени мы должны учитывать критерий качества каждой из систем.

Рассмотрена математическая модель принятия оптимального решения одновременно по нескольким критериям, т.е. рассмотрена линейная свертка критериев. Для этого были заданы весовые неотрицательные коэффициенты,

обозначающие степень важности каждого критерия, удовлетворяющие условию

В результате получена общая задача взаимодействия фирмы и банка:

(т г ' >

№

\е'а {\-v%\-a-b{t))AKa (t)-a)l(t)}it-s(t)

+

vo т

+ NB \e~5t [r2 (t)s(t) - rx (t)d(t)]dt -> max, о

где Ak,Bk,Ck,Dk,Ek,Fk (к = 1,2,...) - параметры штрафов, положительные числа, стремящиеся к + оо.

Управляющими функциями являются èmin < b{t)< bmax,hmin < h{t)< hmax,

rx<rx{t)<r[, r2<r2{t)<r2. Переменные: K(t), s(t), dit), L(t) выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями: Kmin<K{t)<Kmax, 0 <s{t)<K{t), d(t)> 0, 0 < Lmin <L(t)< Lmax. Переменные v(t),a(t),ju(t), û?(t),<p(t),n(t) - экзогенные на временном промежутке Т.

Для поставленной задачи оптимального управления: выписаны необходимые и достаточные условия оптимальности. Задача была сведена к дискретной с помощью метода Рунге-Кутта первого порядка и метода прямоугольников, дискретные задачи оптимального управления решалась методом проекции градиента, задача оптимального управление реализована на языке программирования Delphi 6. Исследовано влияние весовых коэффициентов задачи на оптимальное решение. Рассмотрена задача оптимального управления, в которой весовые коэффициенты выступают в качестве управляющих параметров. Проведено сравнение получившихся результатов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту ТвГУ Наталье Александровне Семыкиной за научное руководство, ценные советы, оказанную всестороннюю помощь и поддержку в процессе написания данной работы, а также доктору физико-математических наук, профессору ТвГУ Елене Аркадьевне Андреевой за полезные рекомендации и замечания при подготовке диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Федорова, Елизавета Александровна

Заключение.

В ходе диссертационного исследования решены поставленные научные задачи, для достижения которых была проделана работа:

1. Рассмотрена неуправляемая нелинейная система четырех уравнений, с помощью которой было описано взаимодействия двух экономических агентов.

2. Неуправляемая модель исследована на адекватность и положение устойчивого равновесия.

3. Данная модель была исследована с помощью теории оптимального управления и методов оптимизации. Установлено, что решение системы существенно зависит от параметров модели, выбранного критерия качества и управляющих функций.

4. В работе рассмотрены три задачи оптимального управления: задача оптимального управления с фазовыми ограничениями деятельности фирмы, задача оптимального управления с фазовыми ограничениями деятельности банка и многокритериальная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями взаимодействия фирмы и банка.

5. Однокритериальные задачи оптимального управления рассмотрены как задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, как задачи оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями, как задачи оптимального управления со штрафными функциями. Для каждой из задач выписаны необходимые условия оптимальности. Проведено их сравнение. Выявлено, что соответствующие штрафы равны соответствующим мерам.

6. Для поставленных однокритериальных задач оптимального управления, с помощью необходимых условий оптимальности, определены особые оптимальные управления и условия их существования. Наличие особых режимов подтверждено численными экспериментами.

7. Для однокритериальных задач оптимального управления сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

8. Для однокритериальных задач оптимального управления исследовано влияние параметров (постоянных материальных затрат, амортизации капитала, ставки заработной платы, времени процесса, инвестирования, списания задолженности) на оптимальное решение с экономической интерпретацией.

9. Для многокритериальной задачи оптимального управления выписаны необходимые и достаточные условия оптимальности.

10. Для многокритериальной задачи исследовано влияние весовых коэффициентов на ее оптимальное решение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федорова, Елизавета Александровна, 2011 год

Список литературы.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.-432с.

2. Амелькин В. В Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука, 1987.- 157с.

3. Андреева Е. Д. Оптимальное управление динамическими системами. -Тверь: ТвГУ, 1999. - 179с.

4. Андреева Е. А., Семыкина Н. А. Оптимальное управление: Учебное пособие./ - Тверь: Тверской филиал МЭСИ, 2006. - 264с.

5. Андреева Е. А., Цирулева И. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. - М.: Высшая школа, 2006 - 584с.

6. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. -296с.

7. Баркалов Н. Б. Производственные функции в моделях экономического роста.-М.: МГУ, 1981.- 128с.

8. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельников Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 630с.

9. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Мир, 1960. - 400с.

10. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1961. - 303с.

11. Болтянский В. Г. Достаточные условия оптимальности // ДАН СССР -1961. - Т. 140, № 5. - С. 994 - 997.

12. Болтянский В. Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1964. - Т. 28, №3.-С. 481-514.

13. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408с.

14. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.-552с.

15. Величенко В. В. К обобщению метода Вейерштрасса на неклассические задачи // ДАН СССР - 1972. - Т. 207, № 4 - С. 769 - 772.

16. Величенко В. В. О методе поля экстремалей в достаточных условиях оптимальности // ЖВМ и МФ - 1974. - Т. 14, № 1. - С. 45 - 67.

17. Волков И. К., Крищенко А. П. Качественный анализ модели развития популяции. // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т 32., №11. - С. 1457 -1465.

18. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. - М.: Наука, 1976.-288с.

19. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе / - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 224с.

20. Воскресенский Е. В. О методе сравнения и периодических решениях нелинейных систем. // Укр. мат. Журн. - 1991. - Т.43, №10. - С. 1366-1371.

21. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Дискретный принцип максимума // ДАН СССР.- 1973.-Т. 213, № 1.-С. 19-22.

22. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М., Качественная теория оптимальных процессов. -М: Наука, 1971. - 508с.

23. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Особые оптимальные управления. - М.: Наука, 1973.-256с.

24. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М., Принцип максимума в теории оптимального управления. - Минск: Наука и техника, 1974. - 274с.

25. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. - Тбилиси: ТГУ, 1975.-229с.

26. Гноенский JI. С., Каменский Г. А., Эльсгольц JI. Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Наука, 1969. - 512с.

27. Горшенина Е. В. Учебное пособие по экономической теории. - Твер. гос. ун-т, 2004.-178с.

28. Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики. -М.: Экономика, 1988. - 256с.

29. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.-472с.

30. Дубовицкий А. Я., Милютин A.A. Экстремальные задачи при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. - 1965. - Т. 5 - С. 393 - 453.

31. Дьяконов В. MATLAB 6: Учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 592с.

32. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. - М.: Наука, 1982. - 432с.

33. Замков О. О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н., Математические методы в экономике. - М: МГУ им. М.В.Ломоносова, Изд-во «Дело и Сервис», 1999.-368с.

34. Землякова Л.С. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ. - 1995. - С. 64 - 71.

35. Зубов В. И. Лекции по теории управления. - М., Наука, 1975. - 496с.

36. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. - СПб.: Судпромгиз, 1959. - 324с.

37. Зубов С. В., Зубов Н. В. Математические методы стабилизации динамических систем - СПб.: СПбГУ, 1996. - 286с.

38. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М: Айрис-пресс, 2002. - 553с.

39. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. - М.: Наука, 1974,-481с.

40. Калиткин H.H. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512с.

41. Калман P.E. Об общей теории систем управления. Труды 1 международного конгресса международной федерации по автоматическому управлению. - М.: АН СССР, 1961. - Т.2. - С. 521 - 546.

42. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1979. - 288с.

43. Клейнер Г. Б., Пионтковский Д. И. О характеризации производственных функций Солоу // Экономика и математичские методы. - 1999. - №2. - С. 38 -41.

44. Клейнер Г. Б. Производственные функции: теория, методы, применение. -М.: Финансы и статистика, 1986. - 239с.

45. Колемаев В. А. Математическая экономика. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 390с.

46. Красовский Н. Н., Теория управления движением. - М.: Наука, 1968. -476с.

47. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.-448с.

48. Кротов В. Ф., Лагоша Б. А. Основы теории оптимального управления. — М.: Высшая школа, 1990. - 430с.

49. Крутов А. П., Петров А. А., Поспелов И. Г. «Системный анализ экономики: модель общественного воспроизводства в плановой экономике». // Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем. / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. - М.: Наука, 1989. С. 200-232.

50. Лагоша Б. А. Оптимальное управление в экономике: учебное пособие. / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. - М., 2004. - 133с.

51. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // УМН. - 1978. -Т. 33, №.6.-С. 85- 148.

52. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. - М.: Наука, 1968.-192с.

53. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. - М: ФИЗМАТЛИТ, 1958. -214с.

54. Макаров Е. Г. MathCAD: Учебный курс. - СПб.: Питер, 2009. - 384с.

55. Макарова Е. В. Устойчивость экономической систмы в условиях глобализации мировой экономики: Дис. канд. эконом, наук: 08.00.01/ ВосточноСибирский государственный технологический университет. Улан-Удэ, 2006. 158с.

56. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 523с.

57. Матросов A. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. — СПб.: БХВ Санкт-Петербург, 2001 - 528с.

58. Милютин А. А. Принцип максимума в общей задаче оптимального управления. - М.: Физматлит, 2001. - 303с.

59. Миненко С. Н. Экономико-математическое моделирование производственных систем. -М.: МГИУ, 2008. - 140 с.

60. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. - 560с.

61. Понтрягин J1. С. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976.-392с.

62. Петров А. А., Шананин А. А, Математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста. // Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14, №7. - С. 27 - 52.

63. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. - М.: Энергоатомиздат, 1996. - 554с.

64. Плакунов М. К., Раяцкас Р. Л. Производственные функции в экономическом анализе. - Вильнюс: Минтис, 1984. - 308с.

65. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21. №10. - С. 1713-1717.

66. Поспелов И.Г. Моделирование российской экономики в условиях кризиса // Вопросы экономики. - 2009. - №11. - С. 50-75.

67. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. - М.: Наука, 1984. - 304с.

68. Сальникова Е. А., Семыкина Н. А. Трехсекторная модель экономики Тверского региона. // Математические методы управления: Сб. науч. тр. -Тверь: Твер. гос. Ун-т, 2009. - С. 75 - 81.

69. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. -432с.

70. Сарычев А. А. Индекс второй вариации управляемой системы. - Матем. сб., 1980/-Т. 113, №3/-С. 464-486.

71. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1979.-352с.

72. Седых Л. Г. Математическая модель процесса регулирования активности поверхностно-активных веществ. //Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т. - 1985. - С. 61-70.

73. Тонков Е. Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению. // Прикладная математика и механика. - 1974. - Т. 38, № 4. - С. 599 - 606.

74. Фаге М. К. О методе прогонки // ДАН СССР. - 1970. - Т. 191, № 2 - С. 286 -289.

75. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. -М: Наука, 1978.-488с.

76. Федорова Е. А. Анализ основных производственных факторов аграрно-промышленного комплекса Тверского региона. // Управление экономическими системами: электронный научный журнал- 2011. - Режим доступа: http://www.uecs.m/otraslevaya-ekonomika/item/649-2011 -09-28-07-57-34

77. Федорова Е. А. Математическая модель оптимизации с учетом нескольких критериев качества.// Компьютерные исследования и моделирование. - 2011. -Т.З, №4. - С. 489 - 502.

78. Федорова Е. А. Моделирование экономических процессов сельскохозяйственной отрасли Тверского региона. // Проблемы анализа и

моделирования региональных социально-экономических процессов. Материалы докладов 2 Всеросийской научно-практической конференции. Казань, 21-22 апреля 2011 - Казань: Издательство КГФЭИ, 2011. - С. 325 - 329.

79. Федорова Е. А. Многокритериальная модель экономического роста. // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. -2011.- Режим доступа: http://xn--jlaoe4b.xn~plai/marketing/item/659-2011-09-29-07-15-35

80. Федорова Е. А. Проблема выбора экономико-математической модели аграрного комплекса Тверского региона. // Устойчивое развитие социально-экономических систем: вопросы теории и практики. 1-я Международная научно-практическая конференция. Казань, 17-18 февраля 2011. - С. 246 - 250.

81. Федорова Е. А. Прогнозирование экономического развития Тверского региона. // Математические методы управления: Сб. науч. тр. - Тверь: Твер. гос. Ун-т, 2010.-С. 98- 105.

82. Федорова Е. А. Тенденции развития экономики Тверского региона в секторе сельского хозяйства. // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Тверь, 8-12 декабря 2010 - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010. - С. 299 -304.

83. Федорова Е. А., Семыкина Н. А. Оптимизационная задача взаимодействия экономических агентов. // Математические методы управления: Сб. науч. тр. -Тверь: Твер. гос. Ун-т, 2011. - С. 48 - 55.

84. Фиакко А., Мак-Корми Г. Нелинейное программирование: Методы последовательной безусловной минимизации. - М.: Мир, 1972. - 241с.

85. Хасанова А. А., Капогузов Е. А. «Возможности применения модели Солоу на микроуровне» // Вестник Омского университета. Серия «Экономика». -2010.-№2.-С. 76-79.

86. Хрусталев М. М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнений Беллмана.// ДАН СССР. - 1978. - Т. 242, №5. - С. 2023 -2026.

87. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. - М.: Физматлит, 1978. - 352с.

88. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. - М.: Физматлит, 2000. - 296 с.

89. ЮНИМИЛК. ОАО «Старицкий сыр». Режим доступа: http://unimilk.ru/investor/info/staritskiy.wbp