Анализ и синтез особых оптимальных управлений нелинейными динамическими объектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Зотов, Александр Викторович

• Зотов, Александр Викторович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Зотов, Александр Викторович

Содержание

Введение

1 Аналитические и программные средства исследования особых управлений в нелинейных оптимальных задачах

1.1 Постановка основной задачи

1.2 Условия общности положения для нелинейных систем в расширенном пространстве переменных

1.3 Оптимальные задачи с ограничением ресурса линейного управления

1.4 Оптимальные задачи с ограничением ресурса нелинейного управления

1.5 Исследование особых ситуаций в нелинейных задачах с помощью пакетов компьютерной математики

1.6 Оптимальность особого управления в нелинейных задачах с ограничением ресурсов

Выводы по первой главе

2 Исследование особых оптимальных управлений экстремальными объектами

2.1 Постановка задачи

2.2 Анализ оптимального управления в задачах, нелинейных по координатам для объекта второго порядка общего вида

2.3 Минимизация функционала, квадратичного по координате

2.4 Минимизация функционала, квадратичного по координате и управлению

2.5 Экстремальное управление нестационарными объектами

2.5.1 Вертикальный дрейф статической характеристики с аддитивным вхождением функции времени в математическое описание

2.5.2 Вертикальный дрейф статической характеристики с мультипликативным вхождением функции времени в математическое описание

2.5.3 Горизонтальный дрейф статической характеристики со смешанным вхождением функции времени в математическое описание

2.6 Управление экстремальными объектами с произвольным конечным состоянием

2.6.1 Дополнительное управляющее воздействие для стационарных объектов

2.6.2 Дополнительное управляющее воздействие для нестационарных объектов с аддитивным вхождением функции времени в математическое описание

2.6.3 Дополнительное управляющее воздействие для нестационарных объектов с мультипликативным вхождением функции времени в математическое описание

2.6.4 Дополнительное управляющее воздействие для нестационарных

____объектов-со смешанным-вхождением-функции времени в математическое

описание

Выводы по второй главе

3 Исследование особых оптимальных управлений объектами с параллельным и смешанным соединением звеньев

3.1 Постановка задачи

3.2 Решение примеров управления реальными объектами с параллельным

соединением звеньев

3.2.1 Минимизация функционала, квадратичного по управлению

3.2.2 Минимизация функционала, квадратичного по координатам

^ 3.3 Оптимальное с ограничением ресурсов управление при смешанном

соединении звеньев объекта

Выводы по третьей главе

4. Синтез оптимального управления нелинейными динамическими объектами в задачах с ограничением ресурсов

4.1 Постановочная часть

4.2 Анализ эффективности управлений экстремальными объектами

4.2.1 Оптимальное управление в виде кусочно-непрерывной функции координат

4.2.2 Квазиоптимальное управление в виде непрерывной функции координат

4.2.3 Адаптивное управление с настраиваемым коэффициентом регулятора

4.3 Пример практического использования результатов работы

Выводы по четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение 1 - Программа нахождения определителя матриц D

Приложение 2 - Области оптимальности особого управления

Приложение 3 - Качественная теория дифференциальных уравнений

Приложение 4 - Численный поиск оптимальной траектории

Список принятых сокращений

УОП - условие общности положения

ОУ - объект управления

ДУ - дифференциальное уравнение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и синтез особых оптимальных управлений нелинейными динамическими объектами»

Введение

Актуальность проблемы. Для современной промышленности характерна потребность наиболее рационального использования ограниченных временных, материальных и энергетических ресурсов. Переход к оптимальному использованию оборудования, к рациональной организации технологических процессов повысит производительность труда, даст значительную экономию средств, улучшит экологическую ситуацию. Организационно-технические мероприятия и замена устаревшего оборудования являются неформализованным путём решения задачи энерго- и ресурсосбережения. Один из путей - сбережение на основе решения задач оптимального управления оборудованием и рациональная организация технологических процессов. Эти задачи для динамических объектов составили предмет теории оптимального и экстремального управления [1,2,3,4,5,6,7, 8, 9, 10].

Нелинейные дифференциальные уравнения наиболее адекватны реальным объектам [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,18], кроме того, при оптимальном управлении реализуется движение объекта «в большом», что существенно усложняет решение задачи, а линеаризация уравнений не даёт требуемого результата.

От требований, предъявляемых к функционированию объектов, зависит выбор критерия оптимальности. В частности, для оптимального управления объектами на минимум или с ограничением ресурсов (временных, материальных, энергетических, вычислительных и др.) характерны критерии оптимальности, заданные в виде интегрального функционала [6, 19, 20].

На сложности при исследовании нелинейных объектов указывали в своих трудах отечественные и зарубежные учёные: JI.C. Понтрягин, A.A. Андронов, A.M. Летов, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, A.A. Красовский, A.A. Колесников, H.H. Моисеев, В.А. Олейников, JI.A. Растригин, Р. Белман, Р. Калман, М. Атанс, П. Фалб, и другие.

Конструктивные результаты для нелинейных объектов в задачах минимума расхода ресурсов получены в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, В.А. Олейникова, Н.С. Зотова и др. [7,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30].

Принцип максимума, созданный академиком Л.С. Понтрягиным и развитый в работах его учеников, до сих пор остаётся основным инструментом определения оптимальных управлений и траекторий различных динамических объектов. Однако использование принципа максимума в классическом виде является достаточно трудоёмким, получаемое управление является функцией времени, что неконструктивно для его реализации. Даже если удаётся преобразовать полученное оптимальное управление как функцию координат и параметров объекта, возникают существенные сложности с исследованием качественных свойств траекторий объекта управления. Кроме того, для нелинейных задач с линейным управлением и задачам, сводимым к таким, характерны случаи, когда принцип максимума не устанавливает связи между оптимальным управлением и вспомогательным вектором. Это приводит к тому, что задача становится особой (вырожденной). В настоящее время имеется мало общих результатов, относящихся к определению решений вырожденной задачи оптимизации, а данная область является недостаточно проработанной. Нахождение особых управлений для нелинейных объектов - сложная, не решённая до конца задача.

Поэтому, исходя из перечисленного выше, возникает задача анализа и синтеза систем особого оптимального управления нелинейными динамическими объектами. Требуется разработка дополнительных и совершенствование существующих методов нахождения особых и оптимальных управлений техническими объектами, основанных как на использовании классических методов, так и современных методов с широким использованием современных инструментальных средств, программно-аппаратных комплексов, что позволяет наиболее полно учесть особенности объектов управления и найти пути повышения эффективности их функционирования.

Целью диссертации является разработка методов и алгоритмов анализа и синтеза особых оптимальных управлений нелинейными динамическими объектами.

Задачами диссертации являются:

1. Развитие метода определения существования, вычисления, экстремальности и оптимальности особого управления в задачах на минимум временных, материальных и энергетических ресурсов для стационарных и нестационарных нелинейных объектов.

2. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для определения топологической структуры и бифуркационных свойств траекторий в задачах на минимум ресурсов в зависимости от структурно -функциональных особенностей объекта и критерия оптимальности.

3. Применение разработанного метода и инструментальных средств символьных и численных вычислений для исследования и проектирования систем оптимального управления техническими объектами.

Объектом исследования являются технические объекты, описываемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных по координатам и линейных или нелинейных по управлению.

Предметом исследования является развитие метода анализа условий общности положения (УОП) и качественных свойств нелинейных объектов и систем управления ими.

Методы исследования: теория автоматического управления, теория оптимального управления, методы качественной теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений (методы исследования топологической структуры особых траекторий, теория бифуркации динамических систем), численные методы, методы математического моделирования.

Научные положения диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Метод анализа особых оптимальных управлений нелинейными динамическими объектами на основе функционально-структурного

подхода в задачах на минимум ресурсов, позволяющий систематизировать и прогнозировать свойства управлений.

2. Метод синтеза систем оптимального управления для нелинейных динамических объектов на основе совместного применения качественного и численного исследования систем дифференциальных уравнений, позволяющий отыскать топологические структуры и характер состояний равновесия нелинейных систем.

3. Методика построения беспоисковых экстремальных систем, заключающаяся в переходе от задачи экстремального управления к задаче динамической оптимизации на минимум ресурсов.

Научные результаты:

1. Метод анализа особых оптимальных управлений нелинейными стационарными и нестационарными динамическими объектами, позволяющий вычислить и определить экстремальность и оптимальность особых управлений в задачах на минимум ресурсов, найти общие свойства управлений при различных заданиях критерия оптимальности.

2. Метод синтеза систем оптимального управления для нелинейных динамических объектов, позволяющий отыскать топологические структуры и характер состояний равновесия нелинейных систем, в том числе состояний равновесия, отличных от точки экстремума статической характеристики, а также определить бифуркационные свойства траекторий объектов под действием особого управления.

3. Алгоритмы и структуры управляющих устройств в замкнутых системах, реализующие как беспоисковое экстремальное управление, так и оптимальное управление на минимум ресурсов.

Степень новизны научных результатов:

1. Метод анализа особых оптимальных управлений нелинейными динамическими объектами на основе функционально-структурного подхода в задачах на минимум ресурсов, отличающийся тем, что с целью сокращения времени, расширения области применения и

повышения эффективности исследований, особые оптимальные управления и траектории находятся в явном виде от параметров и координат объекта.

2. Метод синтеза систем оптимального управления для нелинейных динамических объектов, отличающийся тем, что с целью определения оптимальности, экстремальности и асимптотической устойчивости особых управлений, качественное и численное исследование систем дифференциальных уравнений проводится совместно, что позволяет отыскать топологические структуры и характер состояний равновесия нелинейных систем, в точках, отличных от точки экстремума статической характеристики.

3. Алгоритмы и структуры управляющих устройств в замкнутых системах, отличающиеся тем, что с целью повышения их гибкости, свойства особого оптимального управления используются при различных заданиях критериев оптимальности, что позволяет снизить вычислительные затраты при синтезе систем управления.

Практические результаты диссертационной работы:

1. Разработана методика, с помощью которой на основе программных средств вычисляются особые оптимальные управления в явном виде от координат и параметров нелинейного объекта, а также области оптимальности особого управления, что позволяет повысить эффективность исследования систем управления нелинейными объектами.

2. Разработана методика, с помощью которой на основе программных средств определяются качественные свойства траекторий, и численным путём производится стыковка участков особых и неособых траекторий, что позволяет сократить время проектирования систем управления.

3. Разработана методика применения современных инструментальных средств символьных и численных вычислений для синтеза замкнутых

систем оптимального и экстремального управления техническими объектами.

4. Показано применение разработанных методов анализа и синтеза на примере конкретной технической системы, что позволило получить простую и гибкую структуру системы управления, которую можно реализовать как программными, так и аппаратными средствами.

Реализация результатов. Работа выполнена в рамках гранта «Программа стратегического развития ФГБОУ ВПО «ВятГУ», номер НИР «ПСР 2.4.1-5». Полученные в работе результаты внедрены в учебный процесс на кафедре Электропривода и автоматизации промышленных установок ФГБОУ ВПО «ВятГУ».

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на конференциях: международная научно-практическая конференция «Наука, образование, общество: тенденции и перспективы» 2013 г., международная научно-практическая конференция «Наука и образование в XXI веке» 2014 г., ежегодная открытая всероссийская научно-техническая конференция «Общество, наука, инновации» 2011, 2012, 2013 гг., 2-й Всероссийский конгресс молодых учёных 2013 г., IX Международная молодежная научная конференция «Тинчуринские чтения» 2014 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шестнадцати печатных работах, в том числе четырёх журнальных статьях (перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных научных результатов), двенадцати сборниках материалов международных и всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, четырёх приложений, изложенных на 188 страницах текста, содержит 81 рисунок, 5 таблиц. Список литературы содержит 123 работы.

1 Аналитические и программные средства исследования особых управлений в нелинейных оптимальных задачах

1.1 Постановка основной задачи

В работе рассматриваются конечномерные непрерывные стационарные и нестационарные объекты управления, описываемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши

Их

^ = /{х,и), (1.1.1)

где / - вектор-функция с элементами/х, /2, ..., /п;

х - вектор координат с компонентами я:,, х2, ..., хп, принадлежащих замкнутому ограниченному множеству в пространстве координат Яп, и характеризующий состояние объекта;

и - вектор управлений с компонентами £/,, 1/2, ..., 1/т, принадлежащих замкнутому ограниченному множеству Г2 в пространстве управлений Ят.

Предполагается, что уравнения (1.1.1) удовлетворяет теоремам существования и единственности решений [31, 32, 33, 34], теоремам о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров, а также предполагается, что правые части системы (1.1.1) непрерывны и дифференцируемы по вектору х.

Граничные условия х(0), х(Г) для системы (1.1.1) задаются на множестве £ стационарных состояний [35] объекта

5 = {%(0),х(Г):х = /(*,0) = 0}

или в малой его окрестности.

Задача оптимального управления заключается в том, что требуется найти допустимое управление переводящее объект (1.1.1) из начального

состояния х(0)е5' в конечное и минимизирующее при этом

интегральный функционал

т

J = ¡f0(x,U)dt, (1.1.2)

о

где Т - время перехода из начального состояния х(0) в конечное может

быть задано или не задано заранее, непрерывная функция /0(х,£/)

предполагается дифференцируемой функцией своих переменных х и и.

Поставленная задача оптимального управления (1.1.1), (1.1.2) относится к классу оптимальных задач с ограничением ресурсов, так как интегральный функционал (1.1.2) характеризует расход ресурсов управляемой системы, а также ограничения на изменение управления и координат на интервале времени ^[О,!1] и широко встречается при управлении различными инженерными

устройствами и технологическими процессами. В случае отсутствия ограничений на переменные системы (1.1.1), а также при незаданном времени перехода, задача о минимуме интегрального функционала (1.1.2) для системы дифференциальных уравнений традиционно называется задачей Лагранжа [36], которая решается методами классического вариационного исчисления [10,37,38,39].

Задачи с ограничениями на управление и фазовые переменные наиболее адекватны вариационным задачам, которые возникают в технических приложениях. В большинстве случаев, на фазовые координаты промышленных объектов и технологических устройств накладываются различные ограничения: безусловные, определяемые конструкцией объекта; обусловленные ограниченностью управления; условные, отражающие специфику работы объекта [7,24,40]. Классические методы вариационного исчисления, развитые для решения задачи Лагранжа, оказываются в общем случае неприменимыми при

наличии ограничений на переменные системы. Для решения подобных задач в конце 50-х годов академиком Л.С. Понтрягиным и его учениками был создан метод, названный принципом максимума [1,8].

Большое число реальных объектов и процессов в электротехнике, энергетике, химии, металлургии, обогащении и других отраслях, можно достаточно полно описать в виде системы дифференциальных уравнений, нелинейных по координатам х, но линейных по управлениям и (например тепловые объекты и процессы, системы радиолокации и наведения антенн, объекты, использующие в технологическом процессе совмещение фотошаблонов и пластин для максимизации светового потока, и т.д.).

При линейном управлении имеет место вырожденное решение при применении методов классического вариационного исчисления, так как некоторые из множителей Лагранжа тождественно равны нулю, а при применении принципа максимума может возникнуть особый режим, когда оптимальное управление не определяется однозначно через вспомогательный вектор [22,41]. Поиск особых решений - нерешенная до конца задача [42]. При линейном скалярном управлении система дифференциальных уравнений (1.1.1), нелинейная по фазовым координатам, запишется в векторной форме, которая и используется в дальнейшем

где л: - «-мерный вектор состояний объекта х а Яп ;

С1Х - компактное множество допустимых значений фазовых переменных в пространстве Яп ;

А(х) - функциональная матрица-столбец в с элементами /1(х1,х2,...,хп'),

Их

= А(х) + В{х)и,

(1.1.3)

Л

м

ß(x) - функциональная матрица-столбец в Rn с элементами gj(xx,x2,...,xn),

i-\,n, функции / и gi непрерывны и дифференцируемы по х.

Для технических систем проблема существования допустимого управления, удовлетворяющего граничным условиям, как правило, не поднимается [1,24]. Вторая проблема, которая возникает при определении существования оптимального управления - проблема существования в классе допустимых управлений оптимального. Решению этой проблемы посвящены работы [33,43,44]. В большинстве рассматриваемых в настоящей работе объектов, условия теоремы существования оптимального управления выполняются. Исключение составляют объекты, обладающие бифуркационными свойствами оптимального управления, в которых выделяются области достижимости множества стационарных состояний.

Далее основная задача (1.1.1), (1.1.2) подразделяется на ряд характерных оптимальных задач с ограничением ресурсов [5,36,45] при линейном управлении, которые получаются для объекта (1.1.3) при конкретизации функционала (1.1.2). Основными на практике являются следующие задачи [9, 22, 30, 37, 46, 47, 48, 49, 50]:

1)на минимум времени перехода из начального состояния х(0) в конечное х(Г) (задача быстродействия)

т

J = Jl dt = Т —» min;

о

2) на минимум расхода (или отклонений) координат

т

J = |/0 (х) dt —> min;

о

3)на минимум расхода (или отклонений) линейного знакопостоянного управления

т

—»ПШ1:

о

4) на минимум отклонений координат и нелинейного управления, чаще всего характеризующую энергию управляющего воздействия с квадратичным по управлению критерием (задача аналитического конструирования систем управления)

которая при времени перехода Т, стремящегося к бесконечности и требовании минимума критерия что может быть обеспечено только асимптотически устойчивой системой, называется задачей стабилизации или аналитического конструирования регуляторов.

Для каждой задачи определяются условия существования и вычисления особого управления. Рассматривается вопрос об оптимальности особого управления. Разработанные условия определения оптимального управления применяются для вычисления ОУ в классе задач, нелинейных как по фазовым переменным так и по управлению.

1.2 Условия общности положения для нелинейных систем в расширенном пространстве переменных

Для объекта управления, описываемого системой дифференциальных уравнений вида (1.1.3), требуется определить допустимое управление и еПсг^, доставляющее минимум интегральному функционалу

т

о

т

1 =

(1.2.1)

о

где Т - время перехода не задано.

Используя для решения задачи принцип максимума [8], записывается функция Гамильтона Н и система для вспомогательных переменных при

Так как гамильтониан Н линеен по управлению С/, а и задано на замкнутом интервале то, согласно теореме Вейерштрасса [26] о том, что монотонная функция и ее частный случай - линейная функция достигает минимума или максимума лишь на границах области определения, получим, что оптимальным будет управление, которое принадлежит вершинам, граням или ребрам многогранника ограничений по и [8,43]. Тогда оптимальное управление будет кусочно-непрерывным и определяется выражением и = sign(x¥,B(xУ), т.е.

Нахождение оптимального управления, при котором гамильтониан должен быть максимален, а вектор нетривиален, из приведенных выше нелинейных уравнений для общей задачи затруднительно.

Я = -/о (*) + (^-Ф)) + (¥,*(*)£/); < ач (<и(х), ав{х)и)\т/

л ах I ах ах

Если на некотором интервале времени скалярное произведение

= 0 и, соответственно — ^ р-^ = 0, где р - целое больше нуля

число, то принцип максимума не позволяет установить однозначного соответствия между оптимальным управлением и вспомогательным вектором . Такая ситуация получила название особой [41] и первая проблема, которая при этом возникает - проблема вычисления особого управления. Данная задача является до конца не решённой [51, 52, 53]. Основные направления её решения:

1) поиск особого управления исходя из его определения путем многократного применения и логической интерпретации необходимых условий, вводимых принципом максимума [1, 12, 17, 20, 41, 43, 54, 55, 56, 57];

2) исследование особых режимов с помощью аппарата скобок Пуассона [6, 22,58];

3) вычисление особого управления в явном виде от координат и параметров объекта с помощью условий общности положения (УОП) для нелинейных стационарных объектов, разработанных В.А.Олейниковым и его учениками [23, 24, 27, 28, 30].

Общим для первых двух направлений является необходимость исследования вспомогательных переменных при поиске особого управления, которые необходимо исключать, что делается относительно просто для терминальной задачи с фиксированным временем. Однако с повышением порядка и усложнением задачи, особенно в случае нелинейных системы и/или функционала, исключение вспомогательных переменных практически не выполнимо из-за неразрешенности в замкнутом виде двухточечной граничной задачи, к которой принцип максимума сводит вариационную задачу. Для вычисления особого управления в нелинейной задаче быстродействия в работах В.А. Олейникова и его учеников разработан аппарат условий общности положения (УОП) для нелинейных систем, который позволяет, не прибегая к анализу вспомогательных переменных, качественно определять особое

управление и особые траектории в явном виде от состояний и параметров нелинейного объекта.

Применение условий общности положения для нелинейных систем в виде, предложенном в работах [23,24,30] не обеспечивает вычисления особого управления в поставленной задаче (1.3.1), (1.2.1), так как указанные условия, во-первых, не учитывают подынтегральную функцию в функционале, во-вторых, определяют особое управление в классе кусочно-постоянных, что в большинстве случаев справедливо для задачи быстродействия. Для этого вводятся условия общности положения для нелинейного объекта управления (1.3.1) и функционала (1.2.1) в расширенном пространстве переменных размерности (и+1). Определяется дополнительная переменная х0, удовлетворяющую дифференциальному

Их

уравнению —- = /0(х) [1,8]. В пространстве Яп+1 получаем расширенную систему Л

(и+1)-го дифференциального уравнения

Их

— ^А(х) + В(х)и, Ж

в которой х = (х0 у4(х) = (/0(х),4г(х)) , 5(х) = (0 5г(х)) .

Пусть максимум гамильтониана для расширенной системы, который определяется максимумом выражения Н' = (Ч),В(х)и^, на интервале времени

? достигается на грани или ребре многогранника (в случае многомерного

управления) ограничений по управлению О. Тогда на интервале ?е[?,,/2] скалярное произведение

(ч/,5(х)ю) = 0, (1.2.2)

где со - вектор, параллельный некоторой грани или ребру Г2.

Равенство (1.2.2) означает, что задача является особой. Геометрическая интерпретация такой ситуации приведена на рисунке 1.2.1, где неопределенной является величина управления их.

~ 4

Я'= (¥,£(*)£/) и2 ч>

со

0 о. и,

Рисунок 1.2.1 - Геометрическая интерпретация особой ситуации

Продифференцировав выражение = 0 п раз по времени, при этом

учитывая, что особое управление есть дифференцируемая функция времени, получим систему (я+1)-го уравнения

[втх{х) Вт2(х,и) Втг{х,и,и) Втп+х{х,и,й,..))ТЧ> = 0, (1.2.3)

где векторы Вр]—2,Ъ,...,пл-\ определяются из рекуррентного соотношения

(1.2.4)

где7=2, 3,..., п, п+1, 51(х) = 5(х).

Первое слагаемое в выражении (1.2.4) учитывает производные управления по времени первого и выше порядков. В точках сопряжения неособого и особого управления производная управления по времени не существует. Здесь

применяется формальный прием для получения многократно продифференцированного управления. Производные U по t определяются на открытом интервале / е (tx,t2), а затем при стыковке неособого и особого участков

(или наоборот) начальные условия для производных U выбираются из открытого интервала (на них не накладывается ограничений в отличие от модуля управления) и путем прогонки решений по величине функционала определяются оптимальные значения начальных условий для управления и его производных по времени.

Определяется матрица Dn+l размера (я+1)х(и+1) как матрица, столбцами которой являются векторы B.,j = l,2,...,n,n + \, Dn+l ={Bl В2 ...Вп Вп+Х). Тогда

система (1.2.3) преобразуется к уравнению Z)J+1lF = 0, которое всегда выполняется, если матрица Dn+X вырожденная или detDn+X =0. Условия общности положения для нелинейных систем в расширенном пространстве переменных Rn+l выполняются, если ранг матрицы Dn+l равен (п+1), то есть матрица Dn+l невырожденная и detDn+l ф0 [8,24].

В вектор уравнений (1.2.3), (1.2.4) не включено управление (в

отличие от УОП для линейных систем [8]) потому, что рассматривается случай скалярного управления U, тогда как в УОП для линейных систем фигурирует вектор со, имеющий направление одного из ребер многогранника ограничений по U. Так как многогранник ограничений U имеет конечное число ребер, то проверка УОП осуществляется конечным числом операций для каждой компоненты вектора U. Особые управления, вычисленные при векторах = и

Bx(x,U) = B(x)U, совпадают [27,59,60].

Из выражения для детерминанта матрицы Dn+X можно выделить следующие четыре ситуации, возникающие при анализе и синтезе ОУ: 1) УОП выполняются,

det Dл1 = const Ф 0,

оптимальное управление однозначно определяется принципом максимума и имеет релейный характер с максимально допустимыми амплитудами управления на интервалах. 2) УОП не выполняются, из выражения

определяется конечное множество особых траекторий, на которых принцип максимума не позволяет однозначно установить ОУ. 3) УОП не выполняются и из выражения

определяется множество особых управлений в функции фазовых координат и параметров системы, что является отличительной особенностью оптимальных задач с ограничением ресурсов.

4) УОП тождественно не выполняются для любых управлений и состояний системы и

откуда следует, что принцип максимума, как необходимое условие оптимальности, удовлетворяется нетривиальным образом для любых управлений и оптимальное управление в задаче неединственно. Чтобы определить особое управление и особые траектории в функции времени, а так же особое управление в случае конечного числа особых траекторий =^(д:) = 0, можно воспользоваться двумя способами. Во-первых,

продолжая дифференцирование по I скалярного произведения = 0 до

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зотов, Александр Викторович, 2014 год

Список литературы

1. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. - М.: Наука, 1969. - 408 с.

2. Зубов В.И. Теория оптимального управления / В.И. Зубов. - JL: Судостроение, 1966. - 352 с.

3. Казакевич В.В. Системы автоматической оптимизации / В.В. Казакевич, А.Б. Родов. - М.: Энергия. 1977. - 288 с.

4. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование / A.A. Красовский. - М.: Наука, 1973. -558 с.

5. Красовский H.H. Теория управления движением / H.H. Красовский. -М.: Наука, 1968. - 475 с.

6. Летов A.M. Динамика полета и управление / A.M. Летов. - М.: Наука, 1969.-319 с.

7. Олейников В.А. Основы оптимального и экстремального управления / В.А. Олейников, Н.С. Зотов, М.М. Пришвин. - М.: Высшая школа. 1969.-296 с.

8. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - М.: Наука, 1969. -384 с.

9. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

10. Сю Д. Современная теория автоматического управления и ее применения / Д. Сю, А. Мейер. - М.: Машиностроение, 1972. - 544 с.

11. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров. - М.: Высшая школа, 1989. - 263 с.

12. Козлов Ю.М. Беспоисковые самонастраивающиеся системы / Ю.М. Козлов, P.M. Юсупов. - М.: Наука, 1969. - 455 с.

13. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления / Г. Ван-Трис. - М: Мир, 1964. - 596 с.

14. Клюев A.C. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию / A.C. Клюев, A.A. Колесников. - М.: Энергоатомиздат, 1982. - 238 с.

15. Колесников A.A. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления / A.A. Колесников. - М.: Энергоатомиздат, 1987.- 158с.

16. Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений / Н. Нильсон. - М.: Мир, 1973. - 270 с.

17. Johnson С. Singular solutions in problems of optimal control / C. Johnson, J. Gibson // IEEE Trans. Automatic Control. - 1963, v. AC-8, N1,- P. 4 - 15.

18. Растригин JT.А. Системы экстремального управления / Л.А. Растригин. - М.: Наука, 1974. - 630 с.

19. Мерриэм К.У. Теория оптимизации и расчет систем с обратной связью / К.У. Мерриэм. - М.: Мир, 1967. - 415 с.

20. Wonham М., Johnson С. Optimal bang-bang control with quadratic performance index / M. Wonham, C. Johnson // Trans. ASME. J. Engr. -1964, v.86,Nl.-P. 107 - 115.

21. Габасов P. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. - М.: Наука, 1971.- 507 с.

22. Габасов Р. Особые оптимальные управления / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. - М.: Наука, 1973. - 314 с.

23. Олейников В.А. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами / В.А. Олейников, Г.М. Смирнов. // Автоматика и телемеханика. - 1970, № 12. - с. 167-170.

24. Олейников В.А. Синтез оптимальных по быстродействию управлений для нелинейных объектов: автореф. докт. дис. / Ленингр. электротехн. ин-т. - 1974.

25. Олейников В.А. Асимптотические свойства фазовых траекторий и особые управления в оптимальных быстродействиях / В.А. Олейников, P.A. Борисенко // Вопросы теории систем автоматич. управления. - JL: Ленингр. гос. ун-т, 1974.

26. Олейников В.А. Оптимальные системы автоматического управления / В.А. Олейников, A.A. Безвиконный, В.Г. Григорян. - Л.: Ленингр. электротехн. ин-т, 1978. - 103 с.

27. Олейников В.А. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности / В.А. Олейников. -Л.: Недра, 1982.-216 с.

28. Борисенко P.A. Исследование особых управлений в нелинейных, системах: автореф. канд. дис. / Ленингр. электротехн. ин-т. - 1972.

29. Козыбеков А.Ш. Бифуркационные свойства оптимального по быстродействию управления: автореф. канд. дис. / Ленингр. электротехн. ин-т. - 1974.

30. Смирнов Г.М. Условия общности положения в нелинейных системах / Г.М. Смирнов // Известия Сибирского отделения АН СССР. Серия технических наук. - 1972, № 3. - с.96-103.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М,: Наука, 1976. - 576 с.

32. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. - М.: Иностранная литература, 1958. -621 с.

33. Ли Э.Б. Оптимальное управление для нелинейных процессов / Э.Б. Ли, Л. Маркус // Кибернет. сб. - М.: Мир, 1966, № 2. - с.86-117.

34. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. - М.: Наука, 1972. - 574 с.

35. Атанс М. Оптимальное управление / М. Атанс, П. Фалб. - М.: Машиностроение, 1968. - 634 с.

36. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем / H.H. Моисеев. -М.: Наука, 1975.

37. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер / М. Фроммер. - УМН. 1941, в.9, с.212-250.

38. Цлаф J1.E. Вариационное исчисление и интегральные уравнения (справочное руководство) / J1.E. Цлаф. - М.: Наука, 1970. — 192 с.

39. Чупрун Б.Е. Задачи с ограничением на изменение управления / Б.Е. Чупрун // Автоматика и телемеханика. - 1975, 3.

40. Лернер А.Я. Принципы построения быстродействующих следящих систем и регуляторов / А.Я. Лернер. - М.: Энергия, 1967.

41. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем / Л.И. Розоноэр // Автоматика и телемеханика. -1959, т.20, №10. - с.1320-1334; №11. - с. 1441-1458; № 12. - с.1561-1578.

42. Кротов В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В.И. Гурман. - М.: Наука, 1973.

43. Параев Ю.И. Об особом управлении в оптимальных процессах, линейных относительно управляющих воздействий / Ю.И. Параев // Автоматика и телемеханика. — 1962. т.23. № 9. - с.1202-1209.

44. Филиппов А.П. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А.П. Филиппов // Вестник МГУ. - 1959. № 2. с.25-32.

45. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами / A.M. Формальский. - М.: Наука, 1974.

46. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) / Ю.Н. Андреев // Автоматика и телемеханика. - 1977. № 3, с. 5-50.

47. Репин Ю.Н. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих установках / Ю.Н. Репин, В.Е. Третьяков // Автоматика и телемеханика. - 1963, т.24, № 6.

48. Хорошавин B.C. Об оптимальном управлении в задачах с ограниченными ресурсами управления / B.C. Хорошавин // Вопросы теории систем автоматического управления. - Изд-во Ленингр. ун-та, 1978.

49. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Часть 1. Линейные системы регулирования одной величины / А.А. Воронов. -М.: Энергия, 1965.

50. Иванов В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов. - М.: Высшая школа, 1983.

51. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления / В.И. Гурман. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

52. Савченко B.C. Об одном способе численного решения задач с особыми оптимальными управлениями /B.C. Савченко // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. - 1989, № 2. - с.70-74.

53. Чаки Ф. Современная теория управления / Ф. Чаки. - М.: Мир, 1975. -424 с.

54. Цирлин A.M. Оптимальное управление технологическими процессами /' A.M. Цирлин. - М.: Энергоатомиздат; 1986. - 400 с.

55. Чистов В.П. Оптимальное управление электрическими приводами постоянного тока / В.И. Чистов, В.И. Бондаренко, В.А. Святославский.

- М.: Энергия, 1968. - 232 с.

56. Johnson С. Singular solutions in optimal control problems / C. Johnson // Advances in control systems : Theory and applications. - Acad. Press, New

- York - London, 1965, v.2. - P. 209 - 269.

57. Lehn W. On singular fuel optimal control of nonlinear systems / W. Lehn // IEEE Trans. Automat. Control. - 1970, v.AC-15, N1. - P. 115- 116.

58. Элуашвили М.Г. Методы вычисления особых управлений / М.Г. Элуашвили // Автоматика и телемеханика. - 1971, № 11. - с.26-35; 1972, № 1, с.4-15.

59. Хорошавин B.C. Оптимальное с ограничением ресурсов управление нелинейными объектами: дис. канд. техн. наук. - ЛЭТИ им. В.И. Ульянова (Ленина), 1978. - 200 с.

60. Хорошавин B.C. Прикладные методы качественного исследования особых управлений и структур нелинейных оптимальных систем: дис. докт. техн. наук. - Киров, политехи, ин-т, 1993. - 402 с.

61. Кочетков В.И. Синтез нелинейных систем стабилизации, оптимальных по быстродействию и по расходу энергии / В.И. Кочетков // Нелинейная оптимизация систем автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1970, с. 267-294.

62. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления / Ю.П. Петров. - Л.: Энергия, 1977.

63. Флюгге-Лотц И., Марбах Г. Оптимальное управление в некоторых системах угловой ориентации при различных критериях качества / И. Флюгге-Лотц, Г. Марбах // Техническая механика (русский перевод). -1963, т.89, № 2.

64. Фридленд Б. Оптимальные регуляторы для линейных процессов при наличии ограничений по расходу энергии / Б. Фридленд // Техническая механика (русский перевод). - 1963, т.85, № 2.

65. Квакернаак X. Линейные оптимальные системы управления / X. Квакернаак, Р. Сиван. - М.: Мир, 1977.

66. Красовский A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами / A.A. Красовский. - М.: Машиностроение, 1969.

67. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А.О. Пуанкаре. - Л.: ОГИЗ, 1947.

68. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А.А. Фельдбаум. - М.: Наука, 1966.

69. Pearson I.B. Compensators design for dynamic optimization / I.B. Pearson // Int. I Control. 1969, v. 9, 4.

70. Pearson I.B. Compensators design for multivariable linear systems / I.B. Pearson, C.Y. Ding // IEEE Trans Automat Control, v. AC-14, 1969.

71. Moore I.B. A note on feedback compensators in optimal linear systems / I.B. Moore // IEEE Trans Automat Control, v. AC-15,1970, 4.

72. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

73. Прыгунов А.И. Компьютерные технологии и математика на рубеже веков: итоги и перспективы / А.И. Прыгунов // Вестник МГТУ. - 2001. т.4. №1 -с.23-30.

74. Гельфанд М.С. Биоинформатика: от эксперимента к компьютерному анализу и снова к эксперименту / М.С. Гельфанд, В.А. Любецкий // Вестник Российской академии наук, 2003. - т.73. - №11.

75. Назмутдинов P.P. Молекулярные модели электрохимической межфазной границы: квантовая химия и компьютерный эксперимент: автореф. докт. дис. / Казанский госуд. техн. ун-т. - 1998.

76. Бузинов Е.И. Исследование кристаллизации, макроструктуры, дефектов и напряженного состояния кузнечных слитков для изделий тяжелого машиностроения с использованием систем компьютерного моделирования и автоматизированного проектирования: автореф. канд. дис. / Волгогр. госуд. техн. ун-т. - 2005.

77. Эпов М.И. Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИКИЗ. Методическое руководство / М.И. Эпов, Ю.Н. Антонов. Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, Изд-во СО РАН, 2000,122 с.

78. Плис А.И. Mathcad: Математический практикум для экономистов и инженеров / А.И. Плис, Н.А. Сливина. - М.: Финансы и статистика, 1999.-656 с.

79. Метьюз Д. Численные методы. Использование MATLAB / Д. Метьюз, К. Финк. - Вильяме, 2001. - 720 с.

80. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MATLAB 6.0. Учебное пособие / С.Г. Герман-Галкин. - СПб.: Корона принт, 2001. - 320 с.

81. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP 1/7/7 SP 1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики / В.П. Дьяконов, В.В. Круглов. - М.: Солон-Пресс, 2009. - 456 с.

82. Эдварде Ч.Г. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е изд. / Ч.Г. Эдварде, Д.Э. Пенни. - М.: Вильяме, 2007. -1104 с.

83. Дьяконов В. П. Mathematica 5.1/5.2/6 в математических и научно-технических расчетах. Изд-е второе дополненное и переработанное / В.П. Дьяконов. - М.: Солон-Пресс, 2008. - 744 с.

84. Морозов А. А., Таранчук В. Б. Программирование задач численного анализа в системе Mathematica: Учеб. пособие / A.A. Морозов, В.Б. Таранчук. - Мн.: БГПУ, 2005. - 145 с.

85. Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики / A.B. Матросов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 526 с.

86. Голосков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple / Д.П. Голосков. - СПб.: Питер, 2004. - 539 с.

87. Зотов, A.B. Нахождение особого управления для двухкоординатной динамической системы с помощью пакета программ Maple / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Общество, наука, инновации (НТК-2011): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 16-27 апр. 2011.; сб. материалов ВятГУ. - Киров, 2011.

88. Свид. 2012616795 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программа вычисления особого оптимального управления для инерционных

объектов произвольного порядка в системе компьютерной алгебры Maple / B.C. Хорошавин, A.B. Зотов; заявтель и правообладатель ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет» (RU). -№2012616795; заявл. 30.05.2012; опубл. 30.07.2012, Реестр программ для ЭВМ. - 5 с.

89. Баранов A.B. Разработка методов исследования и критериев общности положения нелинейных систем управления на основе теории дифференциальной геометрии: автореф. канд. дис. / С.-Петерб. госуд. электротехн. ун-т «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)». - 2009.

90. Келли Г. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации / Г. Келли // Ракетная техника и космонавтика. - М.: Наука. 1964. т.8, вып.6. - с. 26-29.

91. Копп Р., Мойер Г. Необходимое условие оптимальности особых экстремалей. - Ракетная техника и космонавтика, 1965. т.З, вып.8. - с. 81-94.

92. Габасов Р. Условия оптимальности высокого порядка / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, В.А. Срочко, Н.В. Тарасенко // Автоматика и телемеханика. - 1971. т. 5. № 7.

93. Кифоренко Б.Н. Об особом управлении в механике полета с ограниченной мощностью и накоплением энергии / Б.Н. Кифоренко // Космические исследования. - 1971. т.9. № 4.

94. Каганович С.Л. Об индукционном методе исследования особых экстремалей / С.Л. Каганович // Автоматика и телемеханика. - 1976. 11.

95. Смольников Л.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления / Л.П. Смольников. - Л.: Энергия, 1967.

96. Андронов A.A. Качественная теория динамических систем второго порядка / A.A. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, И.Г. Майер. -М.: Наука, 1966.-568 с.

97. Баутин H.H. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / H.H. Баутин, Е.А. Леонтович. -М.: Наука, 1976.-496 с.

98. Шильников Л.П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. - 416с.

99. Хорошавин B.C. Оптимальное на минимум ресурсов и экстремальное управление нелинейными нестационарными объектами / Кировский политехи, ин-т. - Киров, 1990. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.90, № 5698 - В90.

100. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем / Ф.А. Михайлов. - М.: Наука, 1986. - 320 с.

101. Хорошавин B.C. Экстремальное управление нестационарными нелинейными объектами при вертикальном дрейфе статической характеристики с аддитивным вхождением времени в математическое описание [Электронный ресурс] / B.C. Хорошавин, A.B. Зотов, С.И. Охапкин, B.C. Грудинин // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2; URL: http://www.science-education.ni/l 1612911 (дата обращения: 28.04.2014).

102. Охапкин С.И. Экстремальное управление нестационарными нелинейными объектами при вертикальном дрейфе статической характеристики с мультипликативным вхождением времени в математическое описание [Электронный ресурс] / С.И. Охапкин, A.B. Зотов, B.C. Хорошавин, B.C. Грудинин // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2; URL: http://www.science-education.ru/116-12912 (дата обращения: 28.04.2014).

103. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1970. - 832 с.

104. Зотов A.B. Экстремальное управление нестационарными нелинейными объектами при горизонтальном дрейфе статической характеристики со

смешанным вхождением времени в математическое описание [Электронный ресурс] / A.B. Зотов // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 2; URL: http://www.science-education.ni/l 1612897 (дата обращения: 25.04.2014).

105. Зотов, A.B. Нахождение закона управления непрерывными инерционными объектами второго порядка с экстремальной статической характеристикой, доставляющего асимптотическую устойчивость в состоянии равновесия, отличном от точки экстремума / A.B. Зотов // Наука, образование, общество: тенденции и перспективы: сб. научн. трудов по матер. Межд. научн.-практ. конф. 31 января 2013 г. В 7 частях. Часть III. / Мин-во обр и науки - М.: АР-Консалт, 2013 г. -165 с.-стр. 66-70.

106. Зотов, A.B. Нахождение особого управления для системы параллельно соединённых цилиндрических резервуаров / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Наука и образование в XXI веке: сб. научн. трудов по материалам Межд. научно-практической конференции 30 декабря 2013 г. Часть V. Мин-во обр. и науки - М.: Ар-Консалт, 2014. - с. 134 - 135.

107. Зотов, A.B. Нахождение закона управления по критерию минимума ресурсов двумя параллельно соединёнными линейными динамическими объектами / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Общество, наука, инновации (НПК-2013): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 15-26 апр. 2013.; сб. материалов ВятГУ - Киров, 2013.

108. Зотов, A.B. Особые управления параллельно соединенными цилиндрическими резервуарами / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Труды IX Межд. молодежи, научн. конф. «Тинчуринские чтения». Секция «Физико-математическая». Казань, КГЭУ. - 2014.

109. Зотов, A.B. Устойчивость траекторий при особом управлении для системы параллельно соединённых цилиндрических резервуаров /A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Наука и образование в XXI веке: сб. научн.

трудов по матер. Межд. научн.-практ. конф. 30 декабря 2013 г. Часть V. Мин-во обр. и науки - М.: Ар-Консалт, 2014. - с.138 - 139.

110. Зотов, A.B. Бифуркационные свойства особого управления для системы параллельно соединённых цилиндрических резервуаров / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Наука и образование в XXI веке: сб. научн. трудов по материалам Международной научно-практической конференции 30 декабря 2013 г. Часть V. Мин-во обр. и науки - М.: Ар-Консалт, 2014. -с.136- 137.

111. Антамонов Ю.Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин / Ю.Г. Антамонов. - Л.: Судпромгиз, 1962.

112. Канарев Л.Е. Синтез нелинейного управления на основе быстродействия / Л.Е. Канарев. - М.: Машиностроение, 1970.

113. Олейников В.А. Сборник задач и примеров по теории автоматического управления (Оптимальное, экстремальное и программное управление) / В.А. Олейников, Н.С. Зотов, A.M. Пришвин, Н.В. Соловьев. - М.: Высшая школа, 1969.

114. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию / A.A. Павлов. - М.: Наука, 1966.

115. Денисенко В.В. ПИД-регуляторы: вопросы реализации. Часть 2 / В.В. Денисенко // СТА. - 2008. №1. с.86-99.

116. Денисенко В.В. Разновидности ПИД-регуляторов / В.В. Денисенко // Автоматизация в промышленности. - 2007, №6, с. 45-50.

117. Зотов A.B. Исследование эффективности систем управления нелинейными динамическими объектами второго порядка с экстремальной статической характеристикой / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин, Д. В. Ишутинов // Мехатроника, автоматизация, управление - М.: Новые технологии, 2014. с.23 - 28.

118. Хорошавин B.C. Оптимальное управление электротехническими установками: Учебное пособие / B.C. Хорошавин, А.П. Протасов. -Киров, Кировский политехнический институт, 1992. - 95 с.

119. Денисенко B.B. ПИД-регуляторы: принципы построения и модификации. Часть 1 / В.В. Денисенко // Современные технологии автоматизации. - 2006. № 4. с.66-74.

120. Мокрушин С.А. Методика идентификации объекта управления с целью его дальнейшей автоматизации / С.А. Мокрушин, B.C. Хорошавин // Общество, наука, инновации (НПК-2013): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 15-26 апр. 2013.; сб. материалов ВятГУ - Киров, 2013.

121. Зотов A.B. Синтез структуры управляющего устройства оптимального управления нагревательной камерой с поворотной заслонкой / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Общество, наука, инновации (НТК-2011): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 16-27 апр. 2012.; сб. материалов / ВятГУ. - Киров, 2012.

122. Зотов A.B. Оптимальное сопряжение неособых и особых участков управления двухкоординатной динамической системы / A.B. Зотов, B.C. Хорошавин // Общество, наука, инновации (НТК-2011): ежегод. открыт, всерос. науч.-технич. конф., 16-27 апр. 2012.; сб. материалов / ВятГУ. - Киров, 2012.

123. Зотов A.B. Реализация оптимального на минимум ресурсов управления динамическими объектами второго порядка с экстремальной статической характеристикой посредством сопряжения участков управления на примере искусственной нейронной сети / A.B. Зотов // Наука, образование, общество: тенденции и перспективы: сб. научн. трудов по матер. Межд. научн.-практ. конф. 31 января 2013 г. В 7 частях. Часть III. / Мин-во обр. и науки - М.: АР-Консалт, 2013 г. - 165 с. - стр. 70-76.

Приложение 1 - Программа нахождения определителя матриц Б

( Начало )

/ Г

х = А(х) + В(х,и)

т

Переход к системе

размерности п *

Выделение векторов А(х),В(х)и

Выделение векторов

А(х),В(х)У

Переход к системе

размерности(и+1) *

Выделение векторов

А(х),В{х)и

т

Формирование

матрицы Вп+т

Нахождение

определителя

матрицы Ол+т

Нахождение особого

управления иос

( Конец )

Да

1 г

Переход к системе размерности (я+1)

I

Выделение векторов А(х),В(х)Г

Рисунок П1.1 - Алгоритм нахождения определителя матриц йеЬВ различной

размерности

7=1 .. n+m

Вычисление Bj+ \ по рекуррентным формулам Dn+m =(В\ - Bn+m)

t t

С

Конец

3

Рисунок П1.2 - Алгоритм формирования матрицы Dn+m

Программа, написанная на языке Maple, позволяет находить определитель матриц Dn, Dn+X, Dn+2 и, если возможно, соответствующие этим матрицам особые

управления в виде алгебраических функций или дифференциальных уравнений

т т

для следующих видов критериев оптимальности: J = J = ^aUdt,

о о

т т т т

J = \aUpdt, J = \cc\u\dt, J = J(/(x) + aU)dt, J = \(f(x) + aUp)dt,

J = ^f[x) + a\u\)dt.

Листинг программы:

> restart;

> # Подключение пакетов

> with(LinearAlgebra): with(linalg):

>

> # Задать дифференциальные уравнения в виде вектора-столбца

> Matrix_initial:=Vector[column]([(kl*U-k2*xl)/Т1, (k3*(xl-a)Aq+b-x2)/Т2]) ;

>

> # Задать вид критерия оптимальности

> J_init:=(xl-xlt)Ap;

>

> # Тело программы

>

> # Замена написания переменных

> M_init:=subs(u=U,u(t)=U,U(t)=U, op(map(i->subs(X||i=x||i), [seq(i,i=l..op(1,Matrix_initial))])),op(map(i->subs(X||i(t)=x||i), [seq(i,i=l..op(1,Matrix_initial))])),op(map(i->subs(x||i(t)=x||i), [seq(i,i=l..op(1,Matrix_initial))])), Matrix_initial);

> J:=subs (u=U,u (t) =U,U (t) =U, op (map (i->subs (X | |i=x| |i) ,

[seq(i,i=l..op(1,Matrix_initial))])),op(map(i->subs(X||i(t)=x||i), [seq(i, i=l. . op (1 ,Matrix_initial)) ])) ,op (map (i->subs (x | | i (t) =x | | i) , [seq(i,i=l..op(1,Matrix_initial))])),J_init);

>

> # Проверка компонентов матрицы на линейное вхождение управления

> diff_elem:=sum(1diff(M_init[i],U$2)','i'=l..op(1,M_init));

>

> # Проверка критерия на наличие модуля управления

> if (has(J,abs(U))=true) then

>

> if (J=abs(U)) then

> J2_bl:=1; print("J2_bl=",J2_bl);

> J2_bu: = J; print (" J2_bu=" , J2_bu) ;

> Jl_a: =0 ; print (" Jl_a=" , Jl_a) ;

> J3:=l; print(1);

>

> elif ((nops(J)=2) and (op(1,J)*op(2,J)=J)) then

> J2_bl:=remove(has,J,abs(U)); print("J2_bl=",J2_bl);

> J2_bu:=J; print("J2_bu=",J2_bu);

> Jl_a: =0 ; print (" Jl_a=" , Jl_a) ;

> J3:=2; print(2);

> #end if;

>

> else

> J2_bl:=select(has,J,abs(U))/abs(U); print("J2_bl=",J2_bl);

> J2_bu:=select(has,J,abs(U)); print("J2_bu=",J2_bu);

> Jl_a:=J-select(has,J,abs(U)); print("Jl_a=",Jl_a);

> J3:=3; print(3);

> end if;

>

> end if;

>

> # Задание переменной для матриц В

> В:=Array(0..10А4);

>

> # Выделение векторов А и В1 в зависимости от вида критерия и системы

> # Критерий быстродействия и система линейна по управлению?

> if ((j=l) and (diff_elem=0)) then

> M: =M_init ;

> # Выделение вектора Bl

> Bl:=convert(jacobian(M,[U]), Vector[column]);

> BU:=convert(evalm(Bl*U),Vector[column]);

> # Выделение вектора A

> A:=M_init-BU;

> var_cond:=1;

>

> # Критерий быстродействия и система нелинейна по управлению?

> elif ((J=l) and (diff_elem<>0)) then

> M:=convert(stackmatrix(vector([Y]),convert(M_init,matrix)), Vector[column]);

> # Выделение вектора Bl

> Bl:=convert(jacobian(M,[Y]), Vector[column]);

> BY:=convert(evalm(Bl*Y),Vector[column]);

> # Выделение вектора A

> A:=M-BY;

> var_cond:=2;

>

> # Критерий минимума ресурсов, и система и/или критерий линейны по управлению?

> elif (((JOl) and (diff_elem=0)) and ( (diff (J,U) =0) or (diff(J,U$2)=0) or (has(J,abs(U))))) then

>

M:=convert(stackmatrix(Vector[column]([J]),convert(M_init,matrix)) , Vector[column]);

> if ((diff(J,U)=0) or (diff(J,U$2)=0)) then

> # Выделение вектора Bl

> Bl:=convert(jacobian(M,[U]), Vector[column]);

> print("Bl=",B1);

> BU:=convert(evalm(Bl*U),Vector[column]);

> print("BU=",BU);

> # Выделение вектора A

> A:=M-BU;

> print("A=",A);

> # Если критерий содержит модуль управления

> elif (has(J,abs(U))) then

> Jl_a_: =Ve с tor [column] ([ Jl_a]) ; print("Jl_a=",Jl_a_);

> J2_bl_:=Vector[column]([J2_bl]); print("J2_bl=",J2_bl_);

> J2_bu_:=Vector[column]([J2_bu]); print("J2_bu=",J2_bu_);

> b_l:=convert(jacobian(M_init,[U]), Vector[column]); print("bl=",b_l);

> b_u:=convert (evalm(b_l*U) , Vector [со1глпп]) ; print ("bu=" ,b_u) ;

> a_l:=M_init-b_u; print("al=",a_l);

> # Выделение вектора A

> A:=convert(stackmatrix(Jl_a_,convert(a_l,matrix)), Vector[column]);

> print("A=" ,A) ;

> # Выделение вектора Bl

> Bl:=convert(stackmatrix(J2_bl_,convert(b_l,matrix)), Vector[column]);

> print("Bl=",B1);

> BU:=convert(stackmatrix(J2_bu_, convert (b__u,matrix)) , Vector[column]);

> print("BU=",BU);

> end if;

> var_cond:=3 ;

>

> # Критерий минимума ресурсов, и система и/или критерий нелинейны по управлению?

> elif ((JOl) and (((diff (J,U$2)<>0) and (diff_elem=0) and (has(J,abs(U))=false)) or (diff_elem<>0))) then

>

m:=convert(stackmatrix(Vector[column]([J]),convert(M_init,matrix)) , Vector[column]);

> M:=convert(stackmatrix(vector([Y]),convert(m,matrix)), Vector[column]);

> # Выделение вектора Bl

> Bl:=convert(jacobian(M,[Y]), Vector[column]);

> BY:=convert(evalm(Bl*Y),Vector[column]);

> # Выделение вектора A

> A:=M-BY;

> var_cond:=4;

>

> end if;

>

> # Описание используемых процедур для вычисления векторов B[i+1] по рекуррентным формулам

> procedure_l:=proc(i,F)

> global U,t,М;

> local k,С;

> for k from 1 to op(l,M) do

> С[k]:=diff(F[k],U$(i))*diff(u(t),t$(i));

> end do;

> Vector[column](op(l,M),(k)->C[k]);

> end;

>

> procedure_2:=proc(Ap,BUp)

> global M_init;

> convert(evalm(jacobian(Ap,[seq(x||i,i=l..op(1,M_init))]) + jacobian(BUp,[seq(x||i,i=l..op(1,M_init))])),matrix);

> end;

>

> procedure_3:=proc(i,F)

> global y,t,M;

> local k,C;

> for k from 1 to op(l,M) do

> С[k]:=diff(F[k],Y$(i+1))*diff(y(t),t$(i+l));

> end do;

> Vector[column](op(l,M),(k)->C[k]);

> end;

>

> procedure_4:=proc(Ap,BUp)

> global M;

> convert(evalm(jacobian(Ap,[U,seq(x||i,i=l..op(1,M)-1)]) +

jacobian(BUp,[U,seq(x||i,i=l..op(1,M)-1)])),matrix);

> end;

>

> procedure_5:=proc(Ap,BUp)

> global M;

> convert(evalm(jacobian(Ap,[seq(x||i,i=0..op(1,M)-1)]) + jacobian(BUp,[seq(x||i,i=0..op(1,M)-1)])),matrix);

> end;

>

> procedure_6:=proc(Ap,BYp)

> global M;

> convert(evalm(jacobian(Ap,[U,seq(x||i,i=0..op(l,M)-

2)])+jacobian(BYp,[U,seq(x||i,i=0..op(1,M)-2)])),matrix);

> end;

>

> procedure_7:=proc()

> global det_D,M;

> local i;

> for i from op(l,M) by -1 to 1 do

> det_D:=subs(diff(y(t),t$i)=diff(u(t),t$(i+l)),det_D);

> end do;

> end;

>

> # Задание первого столбца матрицы D

> B[l] : =B1 ;

ч >

> # Вычисление векторов B[i] и составление из них матрицы D

> if (var_cond=l) then

> for j from 2 to op(l,M) do

> part_l:=Vector[column](op(l,M),(i)->0);

> print("part_l=4,part_l);

> part_2:=convert(multiply(convert(jacobian(B[j-1], [seq(x | | i, i=l. .op (1 ,M)) ]) ,matrix) ,M) ,Vector [со1глпп]) ;

> print ("part_2=4 ,part_2) ;

^ > part_3 : =convert (multiply (convert (procedure_2 (A,BU) ,matrix) ,

convert(B[j-1], Vector[column])),Vector[column]); ^ > print("part_3=4,part_3);

> if has(M_init,t) then part_4:=convert(jacobian(B[j-1],[t]), Vector[column]) else part_4:=Vector[column](op(l,M),(i)->0); end if;

> print(4part_4=",part_4);

> В[j]:=convert(part_l+part_2-part_3+part_4,Vector[column]);

> print("B",j,"=",B[j]);

> end do;

> matrix_D:=convert(augment(seq(B[j],j=l..op(l,M))),Matrix);

> end if;

>

> if (var_cond=2) then

> for j from 2 to op(l,M) do

> #if (j<=3) then

> part_l:=Vector[column](op(l,M),(i)->0);

> print(4part_l=N,part_l);

> part_2 : =convert (multiply (convert (jacobian (B [ j-

1],[U,seq(x||i,i=l..op(l,M)-1)]), matrix),M),Vector[column]);

> print(" part_2=",part_2);

> part_3:=convert(multiply(convert(procedure_4 (A,BY) ,matrix) , convert(B[j-1], Vector[column])),Vector[column]);

> print("part_3=",part_3);

> if has(M_init,t) then part_4:=convert(jacobian(B[j-l],[t]), Vector[column]) else part_4:=Vector[column](op(1,M),(i)->0); end if;

> print("part_4=",part_4);

> B[j]:=convert(part_l+part_2-part_3+part_4,Vector[column]);

> print("B", j,"=", B [ j ]);

> end do;

> matrix_D:=convert(augment(seq(B[j] ,j=l. .op(l,M))) ,Matrix) ;

> end if;

>

> if (var_cond=3) then

> for j from 2 to op(l,M) do

> if (j<=3) then

> part_l: =Vector [column] (op(l,M) , (i)->0) ;

> else

> part_l:=procedure_l(j-3,B[j-l]);

> end if;

> print("part_l=",part_l);

> part_2:=convert(multiply(convert(jacobian(B[j-

1],[seq(x||i,i=0..op(1,M)-1)]), matrix),M),Vector[column]);

> print("part_2=",part_2);

> part_3:=convert(multiply(convert(procedure_5(A,BU),matrix), convert(B[j-1], Vector[column])),Vector[column]);

> print("part_3=",part_3);

> if has(M_init,t) then part_4:=convert(jacobian(B[j-1],[t]), Vector[column]) else part_4:=Vector[column](op(1,M),(i)->0); end if;

> print("part_4=",part_4);

> B[j]:=convert(part_l+part_2-part_3+part_4,Vector[column]);

> print("B",j,"=",B[j]);

> end do;

> matrix_D:=convert(augment(seq(B[j],j=l..op(l,M))),Matrix);

> end if;