Методы решения задач оптимального управления с бесконечным горизонтом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Красовский, Андрей Андреевич

• Красовский, Андрей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красовский, Андрей Андреевич

Введение.

I Задача управления с вогнутыми гамильтонианами на бесконечном горизонте.

1. Модель оптимального управления на бесконечном горизонте.

1.1. Модель экономического роста.

1.2. Задача оптимального управления

2. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия оптимальности.

2.1. Гамильтонианы в рамках принципа максимума Понтi I ' рягина.

2.2. Условия существования оптимального решения и необходимые условия оптимальности.

2.3. Анализ свойств вогнутости гамильтонианов.

2.4. Достаточные условия оптимальности в принципе максимума Понтрягина.

3. Качественный анализ гамильтоновых систем.

3.1. Гамильтонова система в области установившегося состояния

3.2. Седловой характер установившегося состояния

3.3. Гамильтонова система в области нулевого управления

3.4. Гамильтонова система в области интенсивного управления

4. Алгоритм построения оптимальной траектории.

5. Оценки точности алгоритма.

6. Стабилизация системы в установившемся состоянии

6.1. Регулятор установившегося состояния.

6.2. Регулятор гамильтоновой системы.

7. Результаты вычислительных экспериментов.

И Модель экономического роста с LINEX производственной функцией.

8. Методологическая схема исследования.

9. Эконометрический анализ LINEX производственной функции

10. Математическая модель и задача оптимального управления

11. Качественный анализ векторного поля гамильтоновой системы

12. Реализация вычислительного алгоритма.

12.1. Сравнение оптимальных траекторий с реальными данными

13. Двухфакторная модель экономического роста.

13.1. Экзогенный рост полезной работы.

13.2. Эконометрический анализ и симуляция двухфакторной модели.

III Многоуровневая модель оптимизации времени остановки динамического процесса. 14. Динамическая модель инновационной стратегии.

15. Динамические принципы оптимальности и синтез оптимальных инвестиций.

16. Оптимальные траектории технологического развития

17. Функция затрат и оптимальная обратная связь для динамики роста.\

18. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Необходимые и достаточные условия оптимальности.

19. Оптимальный инновационный сценарий и выбор времени коммерциализации.

20. Седловой характер равновесия.

21. Эконометрический анализ модели.

21.1. Идентификация параметра амортизации

21.2. Идентификация коэффициента эффективности затрат

21.3. Идентификация темпа роста дисконтированного потока от инновации.

22. Вычислительные эксперименты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения задач оптимального управления с бесконечным горизонтом»

Общая характеристика работы

Представленная диссертация посвящена разработке методов решения задач оптимального управления с бесконечным горизонтом. Такие задачи составляют активно исследуемое направление прикладной математики. Актуальность этих задач мотивируется закономерностями развития и возможностями управления в экономических моделях. Особое внимание в диссертационной работе уделено исследованию достаточных условий оптимальности в принципе максимума Понтрягина. Основные результаты диссертации связаны с разработкой алгоритмов построения оптимальных траекторий в задачах с кусочно-определенными гамильтонианами и оценкой Pix точности. Важное место в работе уделяется задачам поиска оптимального времени остановки динамических процессов в многоуровневых моделях оптимизации. Все алгоритмы реализованы в компьютерных программах, которые были использованы при моделировании процессов экономического роста. Вычислительные эксперименты проведены на реальных эконометрических данных.

Актуальность темы

Теория управления и теория дифференциальных игр являются в настоящее время быстро развивающимися разделами современной математики, что вызвано потребностями многочисленных приложений в таких разнообразных дисциплинах как аэрокосмические науки, экономика, инженерные и технические науки, науки об окружающей среде, финансовая математика, гибридные системы, медицинские науки и науки о здравоохранении, вычислительные и компьютерные науки, океанографические, физические, общественные и математические науки. Возрастает интерес к теории оптимального управления и ее приложениям российских, немецких, французских, американских, японских и итальянских математиков, экономистов и специалистов по проблемам окружающей среды, а также международных научных организаций, что подтверждается увеличением количества работ в российских и зарубежных издательствах.

Основополагающее значение в теории оптимального управления имеет принцип максимума JI.C. Понтрягина [80], который получил развитие и приложение в работах российских и зарубежных математиков. Задачи управления в условиях неопределенности формализуются в рамках теории дифференциальных игр. Большое внимание в этом направлении уделяется исследованиям, направленным на развитие принципа экстремального прицеливания H.H. Красовского, в том числе, для построения оптимальных стратегий в сеточных схемах и для обобщения понятия стабильности. Развитие строгой теории задач конфликтного управления следует отнести к работам H.H. Красовского и А.И. Субботина [54].

Существенное влияние на теорию оптимального управления и теорию дифференциальных игр оказали работы Р.В. Гамкрелидзе, A.B. Кряжим-ского, A.B. Куржанского, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипова, Б.Н. Пшеничного, Ф.Л. Черноусько, J.P. Aubin, Т. Ва§аг, R. Bellman, Р. Bernhard, L. Berkovitz, А.Е. Bryson, F.H. Clarke, M.G. Crandall, R.J. Elliot, L.C. Evans, W.H. Fleming, A. Friedman, Ho Yu-Chi, R. Isaacs, R.E. Kaiman, V. Lakshmi-kantham, G. Leitman, P.L. Lions, P. Varaiya (см. [3], [11], [15], [22], [37], [49]-[53], [59]-[61], [65], [70], [73], [81], [84]-[85], [99]-[100], [110], [118], [120], [128], [131], [133]-[134], [147], [159]-[160], [164]-[166j, [171], [183]).

Большой вклад в их развитие внесли Э.Г. Альбрехт, A.B. Арутюнов,

С.М. Асеев, В.Д. Батухтин, Ю.И. Бердышев, В.И. Благодатских, В.Г. БолI тянский, С.А. Брыкалов, Ф.П. Васильев, Р.Ф. Габасов, H.JI. Григоренко, М.И. Гусев, A.B. Дмитрук, В.И. Жуковский, С.Т. Завалищин, М.И. Зели-кин, А.Д. Иоффе, Ф.М. Кириллова, A.B. Ким, А.Ф. Клейменов,>А.Н. Кра-совский, Ю.С. Ледяев, Н.Ю. Лукоянов, В.И. Максимов, A.A. Меликян,

A.A. Милютин, М.С. Никольский, О.И. Никонов, B.C. Пацко, H.H. Петров, Л.А. Петросян, В.Г. Пименов, А.Н. Сесекин, H.H. Субботина, A.M. Та-расьев, В.М. Тихомиров, Е.Л. Тонков, В.Е. Третьяков, В.И. Ухоботов,

B.Н. Ушаков, Т.Ф. Филиппова, А.Г. Ченцов, A.A. Чикрий, А.Ф. Шори-ков, М. Bardi, E.N. Barron, I.С. Dolcetta, L. Cesari, M. Falcone, R. Jensen, M. Ishii, P.V. Kokotovic, G.J. Olsder, E. Roxin, P.E. Souganidis, F.E. Udwadia, J. Warga и многие другие ученые (см. книги и обзоры [1], [4]-[5], [7]-[10], [12]-[14], [16]-[18], [20]-[21], [23]-[32], [34]-[36], [38], [48], [55]-[57], [62]-[64], [66]-[69], [71]-[72], [75]-[78], [86]-[98], [103], [113]-[114], [116], [119], [122], [125]-[127], [139], [145], [161], [176], [182], [184]-[186], [189] и библиографию к ним).

Получили развитие конструкции принципа максимума Понтрягина для задач управлений в новых постановках, в частности, для задач управления с бесконечным горизонтом. Такие постановки характерны для моделей экономического роста и задач финансовой математики. Отметим здесь работы С.М. Асеева и A.B. Кряжимского [8] по обобщениям принципа максимума для задач с бесконечным горизонтом, работы Г. Маурера [167] по задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями и их приложениям к задачам оптимизации инвестиционных процессов. Циклические управляемые процессы с целевыми функционалами, определяемыми как предельные значения усредненных по времени интегралов качества, рассматривались в работах В.И. Арнольда и его учеников (см. [б], [107]).

Исследуются достаточные условиям оптимальности для управляемых систем с вогнутыми гамильтонианами. Изучаются свойства, в частности, асимптотические свойства, решений гамильтоновых систем: Отметим здесь работы Т. Базара, Дж. Лейтмана,.Т." Рокафеллара (см. [118], [124], [176]) в приложении к исследованию динамических игр, в том числе, описывающих конкурентную рыночную среду.

Развиваются исследования минимаксных решений, понятие и конструкт ции которых введены А.И. Субботиным [85] для корректного определения решений уравнений Гамильтона-Якоби, в задачах управления с нерегу-лярностями, в том числе, в сингулярно возмущенных задачах с малым-параметром.

Теория оптимального управления и теория позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения тесно связаны с теорией выживаемости, задачами построения и оценки множеств достижимости управляемых систем и дифференциальных включений. В-связи с этим отметим исследования А.Б; Куржанского, М.С. Никольского, Ф.Л. Черноусько и • их сотрудников (см. [61], [72], [99]).

Теория выживаемости была развита в работах зарубежных математиков Ж.-Ш. Обэна, X. Франковской, Г. Хаддада и других авторов (см. [110], [122], [139]). Эти работы посвящены задачам выживаемости управляемых систем на бесконечном промежутке времени при наличии стационарных фазовых ограничений. Значительные результаты по разработке аппрок-симационных схем, направленных на приближенное вычисление ядер выживаемости и множеств.достижимости, получены немецким математиком Ф. Колониусом [127].

Обширную область для приложений задачи оптимального управления и дифференциальных игр заняли при моделировании экономических процессов и в финансовом планировании. Среди известных работ в этом; направлении следует упомянуть монографии лауреатов Нобелевской премии нескольких лет К. Эрроу, Л.В. Канторовича, Т. Шеллинга (см. [108], [148], [178]). Особенное значение получили эти методы при построении моделей экономического роста. Пионерскими работами в этом направлении были работы Т. Купманса, Ф. Рамсея, Р. Солоу, К. Шелла (см. [149], [175], [180]-[181]). Последние монографии известных американских экономистов Р. Барро, Дж. Гроссмана, И. Хелпмана, П. Кругмана , Ч. Джонса, П. Нор-дхаусаи Д. Ромера (см. [115], [138], [143], [146],[169], [177]) по эндогенной теории роста подтверждают важность теории оптимального управления для адекватного описания сбалансированных пропорций экономического развития. Кроме того, прикладными моделями теории дифференциальных игр и робастного управления занимаются такие известные американские специалисты по оптимальному управлению как Дж. Лейтман [65], Ф. Удвадиа [186] в сотрудничестве с сильными экономистами из западноевропейских университетов JI. Ламбертини, К. Дейссенбергом, Дж. Дози (см. [124], [129]-[130]). Разработке моделей технологического развития и их эконометрическому анализу посвящены работы группы экономистов из Токийского института технологий, возглавляемой Ч. Ватанабе [136]. Модели макроэкономического развития и эндогенного экономического роста получили развитие в трудах группы экономистов под руководством Р. Айреса [109] из Международной бизнес-школы (INSEAD) в Фонтенбло (Франция). Модели экономического роста в рамках проблематики устойчивого развития народонаселения и окружающей среды разрабатываются финским экономистом Т. Палокангасом [172]. Приложениями игровых задач управления в экономических, экологических моделях и финансовой математике занимается Дж. Касти [123] из Международного института прикладного и системного анализа (IIASA, Австрия) Р. Авенхаус [111], С. Пикль [174] из Университета Бундесвера в Мюнхене, Г. Пеш [121]' из университета Байрута, а также Г. Фейхтингер, Р. Хартл, Ф. Вирл, Р. Нек (см. [132], [140], [168]) из университетов Австрии, Л.А. Петросян из Санкт-Петербургского государственного университета и Дж. Заккур [173] из Международной бизнес-школы (НЕС) в Монреале (Канада).

Актуальным направлением является исследование задач оптимального времени остановки, которые имеют важное приложение в финансовой математике при оптимизации времени коммерциализации в финансовых потоках инновационных проектов. Эти задачи связаны с теорией оптимизации времени остановки процесса в стохастических постановках, развиваемой в работах А.Н. Ширяева [102] и его сотрудников. Для экономических моделей аналогичные задачи рассматривались в работах американских ученых Г. Роббинса, Д. Сигмунда и И. Чао [74]. В статической постановке задачи оптимальной коммерциализации исследовались в работах американского экономиста Й. Барцела [117].

Важное место занимает проблематика построения динамических алгоритмов поиска макроэкономических состояний равновесия, обладающих совмещенными свойствами конкурентного равновесия по Нэшу и оптимальных точек по Парето кооперативного равновесия. Такие постановки восходят к работам JI. Вальраса [190] и Дж. Шумпетера [179]. Они привлекли внимание многих специалистов по макроэкономической теории и , моделированию макроэкономических процессов, связанных с теорией игр. Макроэкономические модели и динамические алгоритмы поиска состояний равновесия были развиты в работах таких авторов как Л. Хордайк, А. Хаури, А. Нентьес, П. Нордхаус, Г. Олсдер, Р. Хамалайнен (см. [104], [142], [162], [169], [170], [187]).

Результаты исследований в области теории оптимального управления, дифференциальных игр и соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби используются при решении ряда важных прикладных задач в области оптимизации экономического роста, инвестиционных процессов и устойчивого развития окружающей среды.

Цель работы

Цель работы заключается в исследовании свойств оптимальных решений в задачах управления с бесконечным горизонтом; изучении достаточных условий оптимальности в принципе максимума Понтрягина; разработке алгоритмов построения оптимальных траекторий в задачах- с кусочно-определенными гамильтонианами; решении задач оптимального времени остановки в многоуровневых динамических моделях; приложении разработанных методов в экономическом моделировании и экономет-рическом анализе.

Методы исследования

В основе работы лежат модификации принципа максимума Понтрягина для задач управления с бесконечным горизонтом, методы теории позиционных дифференциальных игр, элементы качественной теории дифференциальных уравнений, конструкции негладкого анализа. При калибровке моделей используются методы статистики и эконометрики.

Научная новизна

Изучены достаточные условия оптимальности, связанные со свойством вогнутости гамильтониана, для принципа максимума Понтрягина в задачах управления с бесконечным горизонтом. Исследованы свойства оптимальных траекторий в окрестности установившихся состояний гамильтоновой системы. Разработан алгоритм построения оптимального управления для задач с кусочно-определенными гамильтонианами. Получены оценки точности построения для предложенного алгоритма, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей. Изучены свойства функции цены в многоуровневых задачах оптимизации. Разработан алгоритм построения управления по выбору оптимального времени остановки динамического процесса. Предложенные алгоритмы реализованы в моделях экономического роста и оптимизации инвестиций.

Теоретическая и практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты направлены на исследование задач управления с бесконечным горизонтом. Эти результаты могут быть использованы для качественного анализа динамических свойств и свойств установившихся состояний гамильтоновых систем. Выполненные исследования позволяют конструировать алгоритмы построения оптимальных траекторий и оценивать их точность. Предложенные алгоритмы могут быть использованы для построения решений в экономических моделях роста и оптимизации инвестиций. Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты и разработанные алгоритмы могут быть применены в эконометрическом моделировании. В частности, предложенные конструкции были применены в моделях экономического роста с различными типами производственных функций. Результатом этого моделирования явился качественный анализ синтезированных модельных траекторий, который может быть использован при прогнозировании экономического развития. Анализ свойств функций цены и оптимального времени остановки динамических процессов может быть использован при моделировании инвестиционных процессов. В частности, проведено моделирование оптимальной инвестиционной стратегий для инновационных технологических процессов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях "Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании" (УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2005-2007 гг.), на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений" (МИРАН-МГУ, Москва, 12-13 октября 2006 г.), конференции "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", (УрГУПС, Екатеринбург, 15-17 ноября 2006 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. А.Г. Петровского, МГУ, Москва, 21-26 мая 2007 г.), the 14th International Workshop on Dynamics and Control (Institute for Problems in Mechanics and Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow-Zvenigorod, 2007), the 7th International EUROGEN'2007 Conference "Evolutionary and Deterministic Methods for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial and Societal Problems", (University of Jyvaskylá, Finland, June 11-13, 2007), The 22nd European Conference on Operational Research - EURO XXII (University of Economics, Prague, Czech Republic, July 8-12, 2007), IIASA-Tokyo-tech Workshop on Hybrid Management of Technology in the 21st Century (International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria, September 8-9, 2007), the 11th IFAC Symposium "Computational Economics & Financial and Industrial Systems"- CEFIS'2007 (Dogu§ University of Istanbul, Turkey, October 9-11, 2007), семинарах кафедры "Мультимедиа технологии" факультета ИМТЭМ, УГТУ-УПИ, семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, семинарах по экономическому росту Международного института прикладного и системного анализа, IIASA, г. Лаксенбург, Австрия.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах [40]-[47], [150]-[157]. В совместных работах [40]-[47], [152]-[158] научному руководителю A.M. Тарасьеву принадлежит постановка задач. В работах в соавторстве [154], [156] А.В. Кряжимскому принадлежит постановка задач. В совместной работе [158] Ч. Ватанабе предоставил экономические данные.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Объем работы составляет 130 страниц текста. Библиография содержит 190 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красовский, Андрей Андреевич, 2008 год

1. Адиатулина P.A., Тарасьев A.M., Дифференциальная игра неограниченной продолжительности // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, Вып. 4. С. 531-537.

2. Айвазян С.А., Мхитарян B.C., Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

3. Айзеке Р., Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B., Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 430 с.

5. Альбрехт Э.Г., Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 1. С. 27-38.

6. Арнольд В.И., Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах // Функциональный анализ и его. приложения, 2002. Т. 26. С. 1-11.

7. Арутюнов A.B., Асеев С.М., Влагодатских В.И., Необходимые уело-, вия первого порядка в задачё оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями // Матем. сб., Т. 184, № 6, С. 3-32.

8. Асеев С.М., Кряжимский A.B., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Тр. МИАН, 2007. Т. 257. С. 5-271.

9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

10. Батухтин В.Д., Майборода Л.А., Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984. 208 с.

11. Беллман Р., Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

12. Бердышев Ю.И., Качественный анализ областей достижимости // Космические исследования, 1996. Т. 34. № 2. С. 141-144.

13. Благодатских В.И., Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

14. Болтянский В.Г., Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

15. Брайсон А., Хо Ю-Ши., Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 с.

16. Брыкалов С.А., Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления // Доклады РАН, 2001. Т. 376. № 4. С. 442-444.

17. Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

18. Васильев Ф.П., Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

19. Ватанабе Ч., Решмин С.А., Тарасьев A.M., Динамическая модель процесса инвестиций в научно-технические разработки /"/ Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 3. С. 408-425.

20. Вольтерра В., Математическая теория борьбы за существование: * М.: Наука, 1976. 286 с.

21. Габасов Р.Ф., Кириллов а Ф.М., Качественная теория оптимальных/ процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

22. Гамкрелидзе Р.В., Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1975. 256 с.

23. Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунов Н.В., Силин Д.В., Тринь-ко Н.Г., Методы решения дифференциальных игр. Математическое моделирование. М.: Изд-во Московского университета, 1993. 332 с.

24. Григорьева C.B., Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Конструкции теории дифференциальных игр при решении уравнений Гамильтона-Якоби // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 2. С. 320-336.

25. Гусев М.И., О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания // Доклады РАН, 1992. Т. 322. № 5. С. 832-835.

26. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н., Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы управления и теории информации, 1985. Т. 14. № 3. С. 1-14.

27. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M., Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

28. Жуковский В.И., Чикрий A.A., Линейно-квадратичньЛ дифференциальные игры. Киев: Наукова думка, 1994. 320 с.

29. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Импулсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

30. Зеликин М.И., Оптимальное управление и вариационное исчисление. Изд. 2. М.: УРСС, 2004. 160 с.

31. Зеликина Л.Ф., Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторых классов задач оптимального управления // Доклады АН СССР, 1975. Т. 224. № 1. С. 31-34.

32. Зубов В.И., Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

33. Интрилигатор М., Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС, 2002. 566 с.

34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М., Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

35. Камнева JJ.B., Достаточные условия стабильности для функции цены дифференциальной игры в терминах сингулярных точек // Прикладная математика и механика, 2003. Т. 67. Вып. 3. С. 366-383.

36. Ким A.B., Пименов В.Г., г-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: Изд-во PXD R&C Dynamics, 2004. 256 с.

37. Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

38. Клейменов А.Ф., Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

39. Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

40. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Динамические модели и экономет-рический анализ в бизнес-планировании // Вестник Гуманитарного университета, 2005. Т. 1 (6). С. 35-73.

41. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Специальные статистические распределения в динамической модели инновационного процесса // Вестник Уральского государственного техническго университета -УПИ, 2006. № 6 <77). С. 17-33.

42. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Моделирование оптимального экономического роста // Тезисы докладов научного семинара "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений", Москва: МИРАН-МГУ, 2006. С. 26.

43. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Оценивание производственных факторов в задаче оптимального экономического роста // Тезисы докладов конференции "Устойчивость, управление и моделирование динамических систем", Екатеринбург: УрГУПС, 2006. С. 48.

44. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Динамическая оптимизация инвестиций в моделях экономического роста / / Автоматика и телемеханика, 2007. № 10. С. 38-52.

45. Красовский A.A., Тарасьев A.M., Оптимизация времени остановки в многоуровневых динамических системах // Вестник Удмурдского университета, Вып. 2, 2008.

46. Красовский А.Н., Управление на минимакс интегрального функционала // Доклады АН СССР, 1991. Т. 320. № 4. С. 785-788.

47. Красовский H.H., Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

48. Красовский H.H., Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

49. Красовский H.H., Игровое управление в дифференциальных эволюционных системах // Доклады АН СССР, 1976. Т. 227. № 5. С. 10491052.

50. Красовский H.H., Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

51. Красовский H.H., Осипов Ю.С., Линейные дифференциально-разностные игры // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 4. С. 777-780.

52. Красовский H.H., Субботин А.И., Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974. 456 с.

53. Красовский H.H., Третьяков В.Е., Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259 № 1. С. 24-27.

54. Кротов В.Ф., Гурман В.И., Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

55. Кружков С.Н., Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сборник, 1966. Т. 70. № 3. С. 394-415.

56. Крушвиц Л., Финансирование и инвестиции. С.Пб.: ПИТЕР, 2000. 400 с.

57. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., О эволюционно-дифференциальных играх // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 1995. Т. 211. С. 257-287

58. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., О позиционном моделировании управления в динамических системах // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1983. № 2. С. 51-60.

59. Куржанский А.Б., Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

60. Куржанский A.B., Никонов О.И., Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Доклады РАН, 1993. Т. 333. № 5.

61. Лахтин A.C., Субботин А.И., Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка // Матем. сборник, 1998. Т. 189. № 6. С. 33-58.

62. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф., Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова, 1988. Т. 85. С. 147-170.

63. Лейтман Дж., Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968. 190 с.

64. Лукоянов Н.Ю., К вопросу вычисления цены дифференциальной иг-' -ры для позиционного функционала // Прикладная математика и механика, 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 188-198.

65. Максимов В. И., О существовании седловой точки в дифференциально-разностной игре сближения-уклонения // Прикладная математика и механика, 1978. Т. 42. Вып. 1.

66. Меликян A.A., Уравнения распространения слабого разрыва решения вариационной задачи // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 2. С. 446-459.

67. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П., Принцип максимума в оптимальном управлении. Мехмат МГУ, Москва, 2004. 168 С.

68. Мищенко Е.Ф., Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. № 5. С. 3-9.

69. Мордухович Б.Ш., Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

70. Никольский М. С., О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества и фиксированным временем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 2. С. 37-43.

71. Осипов Ю.С., Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 5. С. 1022-1025.

72. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И., Теория оптимальных правил остановки. Перев. с англ. М.: Наука, 1977. 168 с.

73. Пацко B.C., Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005, Т. 23, С. 79-122.

74. Петросян Л. А., Захаров В.В., Математические модели в экологии. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского госуниверситета, 1997. 254 с.

75. Пименов В.Г., Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы. Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1998. 80 с.

76. Поляк Б.Т., Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384'с.

77. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

78. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1969. 392 с.

79. Пшеничный В.Н., Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980. 319 с.

80. Рокафеллар Р.Т., Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

81. Самарский А.А., Михайлов А.П., Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005, 320 с. (2-е изд., испр.).

82. Субботин А.И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

83. Субботин А.И., Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьют. исслед. 2003. 336 с.

84. Субботин А.И., Субботина H.H., Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Доклады АН СССР, 1978. Т. 243. № 4. С. 862-865.

85. Субботин А.И., Чепцов А.Г, Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

86. Субботин А.И., Тарасьев A.M., Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Доклады АН СССР, 1985. Т. 283. № 3. С. 559-564.

87. Субботина H.H., Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций // Доклады РАН, 2003. Т. 389. № 2. С. 1-4.

88. Тарасьев, A.M., Аппроксимационные схемы построения минимакс- ^ ных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикладная математика и механика, 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 22-36.

89. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика, 1994. № 3. С. 173-185.

90. Тонков Е.Л., Динамические задачи выживания // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион.-дифференц. уравнения (спец.вып.), 1997. № 4. С. 138-148.

91. Третьяков В.Е., К теории стохастических дифференциальных игр // Доклады АН СССР, 1983. Т. 269. № 3. С. 1049-1053.

92. Ухоботов В.И., Синтез гарантированного управления на основе ап-проксимационной схемы // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 1. С. 239-246.

93. Ушаков В.Н., К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР: Технич. кибернетика, 1980. № 4. С. 29-36.

94. Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 225 с.

95. Ченцов А.Г., О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР, 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.

96. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А., Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

97. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н., Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.

98. Четыркин Е.М., Финансовая математика. М.: Дело, 2003.

99. Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС. 2004. 1056 с.

100. Шориков А.Ф., Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1997. 248 с.

101. Alcamo, J., Shaw, R., Hordijk, L.J., The RAINS model of acidification, • science and strategies for Europe, Kluwer Academic Press, Dordrecht, 1990.

102. Ane, B.K., Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Construction of Nonlinear Stabilizer for Trajectories of Economic Growth // Journal of Optimization Theory and Applications, 2007. Vol. 134, No. 2 P. 303-320.

103. Ane, B.K., Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Impact of Technology Assimilation on Investment Policy: Dynamic Optimization and Econometric Identification // Journal of Optimization Theory and Applications, 2007. Vol. 134, No. 2 P. 321-338.

104. Arrow, K.J., Application of Control Theory to Economic Growth // Mathematics of the Decision Sciences, 1968. No 2. P. 85-119.

105. Ayres, R.U., Warr, B., Accounting for Growth: the Role of Physical Work // Structural Change and Economic Dynamics, 2005. Vol. 16. No. 2. P. 181-209.

106. Aubin, J.P., Viability Theory. Boston: Birkhauser, 1991.

107. Avenhaus, R., Applications of inspection games // Mathematical Modelling and Analysis, 2004. Vol. 9. No. 3. P. 179-192.

108. Balder, E.J., An existence result for optimal economic growth problems // J. Math. Anal. Appl., 1983. Vol. 95. P. 195-213.

109. Bardi, M., Dolcetta, I.C., Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. Boston: Birkhauser, 1997. 596 P.

110. Bardi, M., Evans, L.C., On Hopf's formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations // Nonlinear Anal., Theory, Meth., Appl., 1984. Vol. 8. No. 11. P. 1373-1381.

111. Barro, R.J., Sala-i-Martin, X., Economic Growth. McGraw Hill, New-York, 1995.

112. Barron, E.N., Jensen, R., The Pontryagin maximum principle from . • dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations // Trans. Amer. Math. Society, 1986. Vol. 298.No. 2. P. 635-641.

113. Barzel, Y., Optimal Timing of Innovations // The Review of Economics and Statistics, 1968. Vol. 50. No. 3. P. 348-355

114. Ba§ar, T., Olsder, G.J., Dynamic Noncooperative Game Theory, SIAM Series in Classics in Applied Mathematics, Philadelphia, 1999. (Revised, updated version of the 1995 Academic Press book with the same title.)

115. Bensoussan, A., Perturbation Methods in Optimal Control. New York, Chichester: Wiley-Gautier, 1988. 574 P.

116. Berkovitz, L.D., Optimal feedback control // SIAM J. Contr. Optim., 1989. Vol. 27. No. 5. P. 991-1006.

117. Breitner, M.H., Koslik, B., von Stryk, O., Pesch, H.J., Iterative design of economic models via simulation, optimization and modeling // Mathematics and Computers in Simulation, 1995. Vol. 39, No. 5-6. P. 527-532.

118. Cannarsa, P., Frankowska, H., Some characterization of optimal trajectories in control theory // SIAM J. Contr. Optim., 1991. Vol. 29. P. 1322-1347.

119. Casti, J., Alternate Realities: Mathematical Models of Nature and Man. New York: Wiley-Interscience, 1989. 493 P.

120. Cesari, L., Optimization—Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations. Springer, New York, 1983.

121. Clarke, F.H., Ledyaev, Yu.S., Stern, R.J., Wolenski, P.R., Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York: Springer-Verlag, 1998. 278 P.

122. Colonius, F., Optimal Periodic Control. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1313. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

123. Crandall, M.G., Lions PL., Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Society, 1983. Vol. 277, No. 1. P. 1-42.

124. Deissenberg, Ch., and Hartl, R., eds., Optimal Control and Dynamic Games: Applications in Finance, Management Science, and Economics, Springer, 2005.

125. Dosi, G., Ermoliev, Y.M., Kaniovslci Y.M., Generalized urn schemes and technological dynamics // Journal of Mathematical Economics, 1994. No. 23. P. 1-19.

126. Evans, L.C., Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19. Amer. Math. Society: Providence, Rhode Island, 1998. 662 P.

127. Feichtenger, G., Wirl, F., Intrafamiliar consumption and saving under altruism and wealth considerations // Economica, 2002. Vol. 69, P. 93-111.

128. Fleming, W.H., Soner H.M., Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. New York: Springer-Verlag, 1993.

129. Friedman, A., Differential Games. New York: Wiley Interscience, 1971.t

130. Greene, W.H., Econometric Analysis, 3rd Edition, Prentice-Hall, 1997.

131. Griliches, ZR&D, Patents, and Productivity. The University of Chicago Press, Chicago, London, 1984.

132. Grossman, G.M., Helpman, E., Innovation and Growth in-the Global * Economy. MIT Press, Cambridge, MA, 1991.

133. Haddad, G., Monotone trajectories of differential inclusions and ■ functional differential inclusions with memory // Israel J. Math., 1981. Vol. 39. P. 83-100.

134. Hartl, R.F., Kort, P.M., Optimal investments with convex-concave revenue: a focus-node distinction // Optimal Control Applications and Methods, 2004. Vol. 25. P. 147-163.

135. Hartman Ph. Ordinary Differential Equations. N.Y., London, Sydney: J. Wiley and Sons, 1964.

136. Haurie, A., Zaccour, G., Differential game models of global enviroment management // Annals of the Interational Society of Dynamic Games, 1995. Vol. 2. P. 3-24.

137. Helpman, E., Krugman, P., Market Structure and Foreign Trade: Increasing Returns, Imperfect Competition, and the International Economy, Cambrige, MA: MIT Press, 1985.

138. Inada, K, On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization // Rev. Econ. Stud., 1963. Vol. 30, No. 2, P. 119-127.

139. Isidori, A., Nonlinear Control Systems. New York: Springer-Verlag, 1995. (3rd edition).

140. Jones, C.I., Introduction to Economic Growth, W.W. Norton & Company Ltd., New York, N.Y., 1997.

141. Kaiman, R.E., Contribution to the theory of optimal control // Bullet. Soc. Math. Mech., 1960. Vol. 5. P. 102-119.

142. Kantorovich, L.V., Makarov, V.L., Growth Models and their Application to Long-term Planning and Forcasting // In: Long-term Planning and Forcasting, Proc. Conf. Macmillan Press, 1976.

143. Koopmans, T.C., Objectives, Constraints, and Outcomes in Optimal Growth Models // Econometrica, 1967. Vol. 35. No. 1. P. 1-15.

144. Krasovskii, A.A., Assessment of the Impact of Aggregated Economic Factors on Optimal Consumption in Models of Economic Growth // IIASA Working Paper IR-06-050, Laxenburg: IIASA, 2006. 46 P.

145. Krasovskii, A., Tarasyev, A., Modeling of Optimal Trends for Dynamic Systems on Infinite Horizon // Abstracts of the 22nd European Conference on Operational Research EURO'XXII, University of Economics, Prague, 2007. P. 167.

146. Krasovskii, A., Kryazhimskiy, A., Tarasyev, A., Optimal Control Design in Models of Economic Growth // Evolutionary Methods for Design, Optimization and Control (P. Neittaanmaki, J. Periaux and T. Tuovinen, Eds.), CIMNE, Barcelona, Spain, 2007.

147. Krasovskii, A., Tarasyev, A., Watanabe, C., Assessment of,the Market Development Trajectory for Optimal Timing of Technological Innovation //II ASA Working Paper IR-08-007, Laxenburg: HAS A, 2008. 36 P.

148. Krasovskii, A.N., Krasovskii, N.N., Control under Lack of Information. Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995. 322 P.

149. Krasovskii, N.N., Subbotin A.I., Game-Theoretical Control Problems. New York: Springer-Verlag, 1988. 518 P.

150. Krstic, M., Kokotovic, P.V., Canellakoupoulos, I., Nonlinear and Adaptive Control Design, John Wiley & Sons, New York, 1995. 576 P.

151. Kryazhimskii, A., Nentjes, A., Shibayev, S., Tarasyev, A., Modelling market equilibrium for transboundary environmental problem // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47. P. 991-1002.

152. Kryazhimskii, A.V., Watanabe, C., Optimization of Technological Growth, GENDAITOSHO, Kanagawa, 2004.

153. Kurzhanski, A.B., Valyi, I., Elipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston (ser. SCFA): Birkhauser, 1996.

154. Lakshmikantham, V., Leela, S., Differential and Integral Inequalities. V. 2. New York: Academic Press, 1969.

155. Lions, P.L., Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. Research Notes in Mathematics, Vol. 69. Boston: Pitman, 1982. 318 P.

156. Maurer, H., Pesch, H.J., Solution differentiability for parametric nonlinear control problems with control-state constraints // Journal of Optimization Theory and Applications, 1995. Vol. 86, No. 2. P. 285-309.

157. Neck, R., Schneider, F., The Political Economy of Fiscal Policies // Public Choice, 2001. Vol. 109. P. 217-220.

158. Nordhaus, W.D., Managing the Global Commons. The Economics of Climate Change. MIT Press, Cambridge, MA, 1994.

159. Olsder, G.J., Differential game-theoretic thoughts on option pricing and transaction costs // International game theory review, 2000. Vol. 2. No. 2. P. 209-228.

160. Osipov, Yu.S., Kryazhimskii A.V., Inverse Problems of. Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Amsterdam: Gordon and Breach, 1995. 625 P.

161. Palokangas, T., Labour Unions, Public Policy and Economic Growth. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 238 P.

162. Petrosjan, L., Zaccour, G., Time-consistent Shapley value allocation of polluton cost reduction // Journal of Economic Dynamics and Control, 2003. Vol. 27. P. 381-398.

163. Krabs, W.; Pickl, S.W., Pickl, S., Analysis, Controllability and Optimization of Time-Discrete Systems and Dynamical Games, New York: Springer-Verlag Inc., 2003. 186 P.

164. Ramsey, F.P., A Mathematical Theory of Saving // The Economic Journal, 1928. Vol. 38. No. 152. P. 543-559.

165. Rockafellar, R.T., Wets, R.J-B., Variational Analysis. Berlin: SpringerVerlag, 1998. 735 P.

166. Romer, P.M., Advanced Macroeconomics, 3rd Edition. McGraw-Hill, New York, N.Y., 2006.

167. Schelling, T.C., The Strategy of Conflict. Harvard University Press, 1980.

168. Schumpeter, J., The Theory of Economic Development: An Inquiry into Profits, Capital, Credit, Interest, and the Business Cycle, 1983.

169. Shell K. Applications of Pontryagin's Maximum Principle to Economics // Mathematical Systems Theory and Economics, 1969. Vol. 1. P. 241-292.

170. Solow R.M. Growth Theory: An Exposition. New York: Oxford University Press, 1970.

171. Souganidis, P.E., Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations //J. Differen. Equat. 1985. Vol. 59. P. 1-43.

172. Subbotin, A.I., Generalized Solutions for First-Order PDE, Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995.

173. Subbotin, A.I., Taras'ev A.M., UshakovV.N., Generalized characteristics of Hamilton-Jacobi equations //J. Comput. Systems Sci. Intern., 1994. Vol. 32. No. 2. P. 157-163.

174. Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Dynamic Optimality Principles and Sensitivity Analysis in Models of Economic Growth // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47, No. 4, P. 2309-2320.

175. Udwadia, F. E., Boundary Control, Quiet Boundaries, Super-stability and Super-instability // Applied Mathematics and Computation, 2005. Vol. 164, P. 327-349.

176. Verkama, M., Ehtamo, H., Hamalainen, R.P., Distributed computation of Pareto solutions in n-player games // Systems analysis laboratory Research report A53, Helsinki University of Technology, 1994.

177. Verhulst, P.F., Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement // Correspondance mathématique et physique, 1838. Vol. 10. P. 113-121.

178. Vinter, R., Optimal Control. Boston: Birkhiiser, 2000. 507 P.

179. Walras, L., Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, 1954. (English translation by William Jaffe, originallv published in 1874).