Исследование переходных процессов при решении непрерывно-дискретных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гаскевич, Игорь Всеволодович

• Гаскевич, Игорь Всеволодович
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаскевич, Игорь Всеволодович

В в ед е н и е.

1. Первая начально-краевая задача для уравнения с непрерывно-дискретными параметрами.

1.1. Постановка некоторых краевых задач математической физики с непрерывно-дискретными параметрами

1.2. Теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач.

1.3. Некоторые методы решения непрерывно-дискретных краевых задач.

1.4. Построение решений соответствующих переходным процессам в некоторых одномерных системах с непрерывно-дискретными параметрами.

2. Метод учета переходных процессов в некоторых непрерывно-дискретных системах.

2.1. Общая схема метода учета переходного процесса в колеблющихся системах.

2.2. Применение метода учета переходного процесса для стационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами.

2.3. Применение метода учета переходного процесса для нестационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами.

2.4. Об оценках переходных процессов

Вы в о д ы.

Л и т е р а т у р а

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование переходных процессов при решении непрерывно-дискретных краевых задач»

В последнее время все больший интерес проявляется к исследованию динамических систем с распределенно-сосредоточенными параметрами,о чем свидетельствует появление все возрастающего числа публикаций,касающихся этой темы. Это естественно, так как стремление к повышению эффективности и качества функционирования систем требует учета всего многообразия факторов,влияющих на их функционирование.

Динамическое поведение системы с распределенными параметрами может исследоваться либо путем аппроксимации динамической системы системой конечного числа дискретных компонент,связанных между собой невесомыми связями и сведения исследования системы к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с общим порядком,равным числу степеней свободы у аппроксимирующей системы, либо путем изучения дифференциальных уравнений в частных производных с гладкими коэффициентами, описывающих динамику системы [ 8,12,42 ] .Оба направления имеют определенные достоинства и недостатки.Первое при своей наглядности и простоте методов имеет ограниченное применение в случае сложного распределения параметров системы, второе, несомненно, более точно отражающее свойства распределенной системы,более трудоемко и малоэффективно в случае наличия в системе сосредоточенных факторов типа дискретных масс, сил,моментов и др.

Кроме того, в реальных условиях приходится иметь дело с динамическими системами, поведение которых не может быть удовлетворительно описано ни одним из вышеизложенных подходов.Речь идет о системах с распределенно-сосредоточенными параметрами, которые приходится исследовать в рамках теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами.К таким системам относятся стержневые системы, нагруженные сосредоточенными массами [ 56 ] , несущие поверхности летательных аппаратов [ 4 ] , корпуса судов [ 39 ] , канатные дороги [ 45 ] различные системы электрических линий с включенными в них распределенными и сосредоточенными ин-дуктивностями и емкостями [ 7 ] и другие. В теории колебаний непрерывно-дискретной краевой задачей называется краевая задача для дифференциальных уравнений в частных производных о колебаниях распределенной динамической системы,параметры которой имеют переменные кусочно-непрерывные и дискретные значения [ 47 ] .Исследовать непрерывно-дискретные краевые задачи приходится в случаях,когда с одной стороны в системе, математической моделью которой является непрерывно-дискретная краевая задача, имеются неоднородности дискретного характера в виде сосредоточенных масс, моментов инерции, сил, емкостей,индуктивностей и т.п., что не позволяет рассматривать задачу как гладкую, а с другой стороны суммарное воздействие на систему распределенных факторов сравнимо с воздействием сосредоточенных факторов, что не дает возможности аппроксимировать исходную систему системой сосредоточенных взаимосвязанных компонент,или же приводит к неприемлемо большому числу степеней свободы в аппроксимирующей системе, что в свою очередь увеличивает объем вычислений. Таким образом,не-прерывно-дискретные краевые задачи как математические модели систем с распределенно-сосредоточенными параметрами могут служить единым подходом к исследованию динамических систем как с распределенными, так и сосредоточенными параметрами. В пределах такого подхода возможно единое исследование краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами и краевых задач для дифференциально-разностных уравнений [ 7 ] .

Особенностью исследования поведения динамической системы с распределенно-сосредоточенными параметрами является то, что необходимо решать дифференциальное уравнение в частных производных с переменными коэффициентами,имеющими в области интегрирования произвольное число нарушений гладкости,непрерывности и других особенностей. Влияние таких особенностей учитывается условиями сопряжения,накладываемыми на решения исходного уравнения и его производные, что существенно усложняет решение таких задач [ 43 - 45, 47,86,87 ] .Условия сопряжения представляют собой математическое выражение различных физических закономерностей,таких как непрерывность среды,равенства различных физических величин,участвующих в описании данной физической системы. Именно наличием кроме нарушений гладкости и непрерывности сосредоточенных факторов, которые учитываются условиями сопряжения, непрерывно-дискретные краевые задачи отличаются от тесно к ним примыкающих задач.дифракции [ 50,51 ] и краевых задач с разрывными коэффициентами [ 18 ] .

При исследовании динамических систем с распределенно-сос-редоточенными параметрами для описания воздействия сосредоточенных факторов часто используются сингулярные обобщенные функции [ 32,53,54,91-93 ] . В этом случае динамическое поведение системы описывается краевой задачей для уравнения в частных производных с коэффициентами,содержащими сингулярные обобщенные функции [ 56 ] .В работе будет показано единство этих двух подходов к формулировке краевых задач о динамическом поведении системы с распределенно-сосредоточенными параметрами. Поэтому под названием непрерывно-дискретные краевые задачи будем подразумевать также краевые задачи для уравнений в частных производных, содержащих сингулярные обобщенные функции в качестве коэффициентов.

Остановимся на некоторых результатах, полученных в области исследования и решения непрерывно-дискретных краевых задач и приводящих к ним динамических систем с распределенно-сосредото-ченными параметрами. Отметим,что в области практического исследования таких систем основные результаты были связаны с исследованием динамики несущих поверхностей летательных аппаратов [2 - 6 J .Математическим аппаратом, используемым для этого,был аппарат интегральных уравнений,содержащих внеинтегральные члены, зависящие от значений неизвестных функций от промежуточных значений пространственных координат.Динамику систем описывали интегро-дифференциальные уравнения следующего вида [ 5 ]

Sfe.t)-zGfasi)Hi^r3- W,s)m(s)^ds , (B.I) где y(z7i) - неизвестная функция, a G fos), Mi., in (&) r-заданы. Собственные частоты системы вследствие чего определялись интегральным уравнением с параметром со1 с неизвестной функцией -j (ъ) и заданными Mi. х YY\(s) } G S) I f(2) -^Z GСн,Sc^ иL irs^V ^i С ,s)mCs) 4ds. (B-2) t 0

Исследование и решение уравнений типа (B.I) и (В.2) привело к изучению [ 1,19,27 ] их обобщений вида (В.З),(В.4) у Акм^Ш^щ +1 , (в.з) s о 3 ft J«M|fs)dffC3).

- неубывающе ограниченные на $ cR1 функции.

Для уравнений таких типов получены традиционные для теории интегральных уравнений результаты. В дальнейших исследованиях в этом направлении изучались обобщения этих уравнений на случаи неограниченных областей и неограниченного распределения характеристик системы

37 ] .Рассматривались также вопросы взаимосвязи дифференциальных и интегральных нагруженных уравнений при использовании их для описания динамики систем со сложным распределением параметров [ 1,7 ] . В [ 7 ] делается также попытка объединить в рамках единого подхода исследование непрерывных и дискретных краевых задач.

Кроме этого при исследовании механических систем с распре-деленно-сосредоточенными параметрами многими авторами применялся другой подход. Основу его составляло использование дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач для них в качестве математических моделей таких систем. Это привело с одной стороны к рассмотрению краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентамисодержащими сингулярные обобщенные функции [ 16,17,90 ] ,а с другой стороны к непрерывно-дискретным краевым задачам [45,46,47,48 ] . В работах [55, 57 ] рассматриваются механические системы, поведение которых описывается начально-краевыми задачами для уравнений следующего вида: m.<a>$ ^ + -£т ( EI<*> =0, св. 5) где П)0(ос) f Е1(ос^ известные ступенчатые функции, § Сое) -функция единичного импульса.

Методы решения уравнений типа (В.6) даются в [ 92,93 ] аугт рЛСзО У У д ftp ног \ д3у\^

8«v 9 a? ~ ЭяЦ-^erftV +

В. 6)

L 3 К

В этих и других работах получены достаточно полные результаты, относящиеся к исследованию поведения конкретных физических систем и к построению методов решения конкретных краевых задач. Однако универсального, достаточно точно отражающего качественные стороны поведения таких систем метода получено не было.

Аналогично в [43,44] рассматриваются непрерывно-дискретные задачи следующего вида:

0)= ffx), tfa , (0,1); u(o,i) = *<(U) - 0 , t >0' где действие сосредоточенных факторов учитывалось введением условий сопряжения (В.8). Обобщению непрерывно-дискретных краевых задач на случай нестационарных динамических систем, а также систем,описываемых дифференциальными уравнениями в частних производных четных порядков посвящены работы [ 45,47 ] .

Дальнейшему исследованию непрерывно-дискретных краевых задач, разработке методов их решения и исследования динамического поведения систем с распределенно-сосредоточенными параметрами, а также выяснению единства непрерывно-дискретных краевых задач и краевых задач для уравнения в частных производных с коэффициентами, содержащими сингулярные обобщенные функции и посвящена настоящая работа.

В связи с наличием указанных выше особенностей у непрерывно-дискретных краевых задач в методах их исследования и решения возникает ряд специфических черт. Рассмотрим некоторые из них.

Выше отмечалось,что универсальным методом, используемым для решения краевых задач с непрерывно-дискретными коэффициентами,является метод интегральных уравнений [ I - 7 ] .Особенностью здесь является то,что используется аппарат так называемых нагруженных интегральных уравнений Фредгольма с интегралом типа Стильтьеса. Сущность метода интегральных уравнений состоит в переходе от формализма дифференциальных уравнений,при котором действие сосредоточенных факторов учитывается условиями сопряжения или коэффициентами,включающими сингулярные обобщенные функции,к формализму нагруженных интегральных уравнений,на которые распространяются ряд основных результатов теории интегральных уравнений [ 1,27 J .Метод обладает рядом достоинств таких как наглядность,простота, экономичность, однако к недостаткам такого метода следует отнести необходимость предварительного построения функции Грина. Аналитическое построение функции Грина осуществляется достаточно просто в случае динамических систем с постоянными характеристиками.В случае же переменных и тем более непрерывно-дискретных параметров динамической сис -темы такое построение функции Грина затруднено,а подчас просто невозможно [ 4,6 ] .Все это существенно ограничивает область применения этого метода рамками теоретического и качественного исследования систем с распределенно-сосредоточенными параметрами.

Для нахождения решения непрерывно-дискретных краевых задач, описывающих динамику распределенно-сосредоточенных систем, применяется метод Фурье, в основе которого лежит возможность разложения решения по собственным функциям соответствующей спектральной краевой задачи. Вопросы разложимости и полноты систем таких функций, а также асимптотические свойства изучались для краевых задач с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка с помощью метода интегральных уравнений с интегралом типа Стильтьеса [ 1,7,19,27 ] .Существенным здесь является то,что решение необходимо искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи, имеющей переменные параметры и сосредоточенные включения. Однако область применения этого метода ограничена достаточно узким классом уравнений, в который не попадают наиболее интересные с точки зрения практического применения краевые задачи,например,различного рода задачи о колебаниях нестационарных динамических систем [25,26 ] .Практическое применение метода разделения переменных Фурье к решению непрерывно-дискретных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядков можно найти в [ 36,38,56,58,73,86 ] .

Применение вариационных методов к решению непрерывно-дискретных краевых задач имеет ряд специфических особенностей, в силу чего область их приложений оказывается также ограниченной. Это связано с выбором подходящей фундаментальной системы функций, удовлетворяющей дополнительным условиям - условиям сопряжения^ также с вопросами оценки сходимости приблаженного решения,полученного таким методом, к точному решению исходной задачи. Кроме того, применение вариационных методов типа Ритца требует выполнения положительной определенности оператора в данной задаче [ 28,47,68 ] .

При решении спектральных и начально-краевых задач с непрерывно-дискретными параметрами весьма эффективным оказывается метод нормальных фундаментальных систем решений [ 43 ] .Сущность его заключается в том,что решение на участках непрерывности ищется в виде линейной комбинации функций с единичной начальной матрицей [ 8,43 ] или нормальной системы решений уравнения исходной задачи с произвольными постоянными коэффициентами. Эти коэффициенты определяются по рекуррентным формулам,что оказывается весьма полезным при реализации алгоритма решения задачи на ЭВМ. Причем рекуррентными формулами учитываются все особенности задачи на интервале интегрирования. Главной особенностью этого метода является то,что порядок определения не зависит от числа вычисляемых собственных функций,и остается всегда постоянным и равным числу краевых условий на одном из концов интервала интегрирования. Кроме этого, рекуррентные формулы остаются по своей структуре неизменными при исследовании динамических систем,не содержащих сосредоточенных компонент. Все это позволяет объединить изучение динамики системы с непрерывно-дискретными, непрерывными или только дискретными параметрами.

Из приведенного краткого обзора методов решения непрерывно-дискретных краевых задач следует актуальность разработки более простых методов исследования систем с распределенно-сос-редоточенными параметрами,которые учитывали бы качественные стороны поведения таких систем. При исследовании колеблющихся систем особое внимание уделяется двум состояниям таких систем: состоянию установившихся вынужденных колебаний и состоянию переходного процесса [ 14,20,38,72,78,79] .В реальных физических и механических системах период переходного процесса продолжается конечное время,по истечение которого начинается период установившихся колебаний в форме динамического равновесия [8,13,62,65 ] .Математической моделью данной физической системы являются неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных,решение которых можно представить в виде следующей суммы:

СосД) - <Ц0 + (лД) + r(oc,ir), (В.9) где (oc.'t) и ^(хД") - функции, представленные рядами Фурье и описывающие свободные колебания системы,вызванные начальным возбуждением системы и внешней нагрузкой,a f(x, i) -установившиеся колебания.

В механических колеблющихся системах переходный процесс возникает за счет наличия всевозможных демпфирующих факторов, которые в краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных описываются дополнительными дифференциальными членами в уравнении движения [ 83,84 ] .Причин,способствующих демпфированию, много, учесть их все практически невозможно^ добавление в уравнение краевой задачи дифференциальных членов,учитывающих их, только усложняет задачу, но достоверности описанию явления не прибавляет.Все это и вид решения (В.9) дают основания учитывать демпфирование не дифференциальными членами, а специальным образом построенным дополнительным возмущающим членом в дифференциальном уравнении, описывающем колебательный процесс. Тогда решение краевой задачи находилось бы в виде суммы двух частных решений,а не в виде (В.9).

Нередко частное решение краевой задачи находится сравнительно простыми средствами, в то время как применение метода Фурье для нахождения решения,описывающего переходный процесс, может быть невозможным, либо связанным со значительными трудностями.Особое значение разработка такого метода описания переходного процесса приобретает в связи с исследованием непрерывно-дискретных краевых задач.для дифференциальных уравнений в частных производных, для которых применение классических методов,базирующихся на использовании полных систем функций [ 67,68 ] ,сопряжено со значительными трудностями. Первые попытки исследования переходных процессов в системах с распределенно-сосредоточенными параметрами в рамках такого под -хода относятся к работам [ 42-44 ] .Здесь предложена общая методика построения добавочного демпфирующего члена в правой части уравнения движения динамических систем,математическими моделями для которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи. Дальнейшей разработке и детализации метода учета переходных процессов посвящены работы [ 21-23 ] .

Рассмотрим теперь некоторые проблемы теоретического характера, связанные с изучением краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами и исследованием раопределенно-сосредоточенных динамических систем. Проблема исследования краевых задач,которые являются математическими моделями для распределенных систем,включающих сосредоточенные факторы, традиционно вызывала большой интерес у математиков,что нашло свое отражение в публикациях,посвященных этой теме [ 9,29,32,45,47,51,55,81, 86 ] .Математическим аппаратом описания сосредоточенных факторов являются сингулярные обобщенные функции [ 90 ] . Как отмечалось выше, использование для учета сосредоточенных факторов обобщенных функций приводит к формулировке соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами, представляющими собой обобщенные функции.Решению таких краевых задач, описывающих поведение конкретных физических систем,посвящено достаточно количество работ [29,42, 53,57,59,73,78 ] . Однако большинство работ, посвященных этой теме, отличаются тем,что основное внимание в них уделялось исследованию краевых задач,отвечающих системам с сосредоточенными факторами внешнего характера, т.е. рассматривались системы распределенные, но испытывающие сосредоточенные внешние воздействия. Это привело к тому,что была построена теория краевых задач для уравнений,содержащих элементы из негативных соболевских пространств в правых частях уравнений [ 10,60,61, 70 ] .При этом теория краевых задач с сингулярными обобщенными коэффициентами, к которым относятся непрерывно-дискретные задачи, развивалась недостаточно. В то же время существует хорошо развитая теория обобщенных решений из соболевских пространств для краевых задач с разрывными коэффициентами. В рамках этой теории доказаны такие важные с точек зрения теории и практики вопросы как существование и единственность решений этих краевых задач в соответствующих пространствах,непрерывная зависимость решений от данных задачи, соответствующая гладкость обобщенных решений,теорема разложимости по собственным функциям этих задач и другие [ 10,11,49,52,61,70,82 J . Эта теория с соответствующими изменениями может быть использована для исследования непрерывно-дискретных краевых задач теории колебаний для уравнений в частных производных произвольного четного порядка.

В соответствии со всем вышеизложенным целью настоящей -работы является разработка и исследование нового подхода к моделированию переходных процессов в динамических системах с распределенными параметрами,математической моделью для которых являются непрерывно-дискретные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных,основанных на использовании результатов качественного анализа динамических систем, а также исследование вопросов существования,единственности и непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений в частных производных от данных непрерывно-дискретных краевых задач. Основным моментом здесь является то,что цель состоит в получении решения, описывающего переходной процесс не в виде ряда Фурье, а в виде специальным образом построенной функции, учитывающей качественное поведение динамической системы в период переходного процесса,что существенно упрощает решение непрерывно-дискретных краевых задач.

При исследовании существования, единственности и непрерывной зависимости решений непрерывно-дискретных краевых задач от исходных данных, в работе широко используются методы функционального анализа [ 10,34,71,80,82 ] ,теории функций [ 17, 74 ] , теории дифференциальных уравнений в частных производных [11,40,49,52,66, 89 ] , а при разработке методов учета переходных процессов - методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений [ 30,75,77 ] и теории колебаний [ 8,12, 85,86 ] .

Работа состоит из введения , двух глав , выводов и библиографии.В диссертации принята двойная нумерация формул: С Ol , 5 ) , - ^ - номер главы, 6 - номер формулы в главе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Гаскевич, Игорь Всеволодович

ВЫВОДЫ

Основные научные результатыполученные в диссертации, следу вдие:

1. Разработан метод учета переходных процессов в стационарных динамических системах при внешнем возмущении гармонического вида, математической моделью для которых являются неоднородные краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных произвольного четного порядка с непрерывно-дискретными коэффициентами. Решение краевой задачи построено в виде суммы двух частных решений неоднородного дифференциального уравнения, соответствующих гармоническому члену и специальным образом построенному возмущению,- Причем оба решения? в отличие от классического метода находятся без привлечения рядов Фурье, что существенно упрощает решение и приобретает особое значение ввиду простоты построения при инженерных расчетах реальных объектов и при исследовании самих решений.

2. С помощью указанного метода решена задача об исследовании переходного процесса для нестационарной динамической системы, которая описывается краевой задачей для нестационарного дифференциального уравнения в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами. Здесь также в отличие от классического подхода не привлекаются ряды Фурье, а решение находится в виде суммы частных решений, что существенно упрощает решение данных задач.

3. Дана оценка построенного указанным методом решения непрерывно-дискретной краевой задачи при исследовании переходного процесса в стационарной динамической системе.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных произвольного четного порядка, являющихся математической моделью широкого класса динамических систем.

5. Установлены свойства собственных функций непрерывно-дискретных краевых задач для уравнений в частных производных произвольного четного порядка и свойства операторов таких задач.

6. Дано решение неоднородных непрерывно-дискретных краевых задач при различных неоднородных членах уравнений с использованием найденных свойств собственных функций этих задач и при влечением нормальных фундаментальных систем решений.

7. Рассмотрены методы Фурье и Галеркина в применении к непрерывно-дискретным краевым задачам. Доказана корректность применения методов к непрерывно-дискретным задачам.

8. Рассмотрены вопросы применения обобщенных функций к исследованию решений некоторых неоднородных непрерывно-дискретных краевых задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаскевич, Игорь Всеволодович, 1983 год

1. Азаров В. А. ,Лупичев Л.Н. Давризов Г.А. Математические методы исследования сложных физических систем. - М.:Наука,1978,-342 с.

2. Ананьев И.В. Решение задачи о собственных колебаниях крыла с сосредоточенными массами методом интегральных уравнений.-В кн. : Труды ЦАГИ, 348, М.,Изд-во ЦАГИ,1938, с.1-74.

3. Ананьев И.В.,Колбин И.М.,Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.:Машиностроение, 1972.415 с.

4. Ананьев И.В.,Серебрянский Н.П. Анализ точности расчета упругих систем различными методами. Труды ЦАГИ, 1969,1143, с.1-47.

5. Ананьев И.В., Тимофеев М.Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. М.:Машиностроение,1965. - 526 с.

6. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. -М.:Мир, 1968. 749 с.

7. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.-.Наука, 1968.- 560 с.

8. Барановски А. Колебания в стохастических непрерывно-дискретных механических системах. В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. - Тезисы докладов. Институт математики АН УССР. Киев,1981, с.47.

9. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова думка, 1965,- 798 с.

10. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1966. 351 с.

11. Бидерман БД. Теория механических колебаний;- М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

13. Бондарев А.П., Манашкин Л.А., Хачапуридзе Н.М. Аналитическое исследование продольных сил, возникающих в сечениях вагонов при соударениях. В кн.: Труды ДИИТ, 128, Днепропетровск, 1972, с. 39-45.

14. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969. - 368 с.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

16. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.-М.: Наука, 1976. 280 с.

17. Вольперт А.й., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения матфизики. М.: Наука, 1975. - 394 с.

18. Гантхмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. 1ИТТД, М.- Л., 1950.359 с.

19. Гарднер М.Ф., Берне Д.Л. Переходные процессы в линейных системах. М.: 1ИФМЛ, 1961. - 552 с.

20. Гаскевич И.В. Об одном методе учета демпфирования при решении задач колебаний. В кн.: Вопросы оптимизации в динамических системах с непрерывно-дискретныт параметрами.- Киев: Наукова думка, 1980, с. I38-I4I.

21. Гаскевич И.В. Исследование переходного процесса в нестационарном волновом уравнении.- В кн.:Качественная теория оптимальных систем с непрерывно дискретными параметрами. -Киев:Наукова думка,1981, с.60-64.

22. Гаскевич И.В. Об одном методе решения граничной задачи колебания струны с учетом демпфирования.- В кн.:Качествен-ная теория оптимальных систем с непрерывно-дискретными параметрами .-Киев:Наукова думка,1981,с.64-68.

23. Гаскевич И.В. Вариационные методы исследования систем с распределенно-сосредоточенными параметрами.-Автоматика, 1982, J* 6,с.13-17.

24. Голоскоков Е.Г., Филлипов А.П. Нестационарные колебания деформируемых систем.- Киев:Наукова думка,1977. 339 с.

25. Горошко 0.А. , Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины.- Киев:Наукова думка, 1971.224 с.

26. Гохберг И.Ц.,Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространства и ее приложения. М.:Наука, 1967.-508 с.

27. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях.- М.:Мир,1970. 328 с.

28. Еругин Н.П.,Штокалб"И.З., Бондарёнко П.С., Павлюк И.А., Самойленко A.M.,Шкиль Н.И., Мосеенков Б.И., Терещенко Н.И., Волкова В.А. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

29. Киев: Вища школа,1974.- 472 с.

30. Ивович В.А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. -М.:Машиностроение,1969. 199 с.

31. Кеч В.,Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в механике. М.:Мир, 1977. - 518 с.

32. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.:Наука, 1968. - 504 с.

33. Колмогоров А.Н.,Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука,1972. - 496 с.

34. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. М.:Мир,1975.- 158 с.

35. Конашенко С.И.,Репетя В.Е. 0 формах вынужденных колебаний неоднородных по вязкости стержней. В кн.: Нагруженность, прочность, устойчивость движения механических систем. -Киев: Наукова думка,1980,с.123-134.

36. Крейн М.Г. Об одном обобщении исследований Стильтьеса. -ДАН СССР, 87 (1952), с.881-884.

37. Кривенкова Л.Ю., Науменко Н.Е., (Зуслович Б.З. Продольные усилия в неоднородном конвейерном поезде при переходных режимах движения. В кн.: Нагруженность, прочность, устойчивость движения механических систем. - Киев: Наукова думка, 1980. - с.71-78.

38. Крылов А.Н. Вибрация судов. М.-Л.:0НТИ, 1936. - 442 с.

39. Крылов А.Н. 0 некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. М.-Л.,1950. - 368 с.

40. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1, М.-Л.:Гостехиздат, 1951. 476 с.

41. Кухта К.Я.,Бойко А.Г. и др. Исследование сложных непрерывно-дискретных систем. Киев: Наукова думка, 1981. -272 с.

42. Кухта К.Я.Кравченко В.П. Нормальные фундаментальные функции в задачах теории колебаний. Киев: Наукова думка, 1973. - 208 с.

43. Кухта К.Я.,Кравченко В.П. Непрерывно-дискретные граничные задачи теории колебаний.- Киев:Наукова думка, 1976. -256 с.

44. Кухта К.Я.,Кравченко В.П. Нестационарные граничные задачи с непрерывно-дискретными параметрами. Киев: Наукова думка,1978. - 218 с.

45. Кухта К.Я., Кравченко В.П. Об одном методе решения граничной задачи теории колебаний с учетом переходного процесса.-В кн.: Динамика упругих систем с непрерывно- дискретными параметрами. Киев: Наукова думка,1978. - с.17-31.

46. Кухта К.Я., Кравченко В.П. Динамика непрерывно-дискретных систем. Киев: Наукова думка, 1978. - 129 с.

47. Кухта К.Я.,Кравченко В.П. О свойствах собственных функций непрерывно-дйскретных граничных задач. В кн.: Качественная теория динамических систем с непрерывно-дискретными параметрами. - Киев: Наукова думка, 1981,с.37-45.

48. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравняния. М.:Гостехиздат,1953. - 279 с.

49. Ладыженская О.А. О решении общей задачи дифракции. -ДАН СССР, 96, № 3 (1954), с.433-436.

50. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-М.:Наука,1973. 408 с.

51. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.:Наука, 1967. - 736с.

52. Лазарян В.А. Некоторые современные проблемы динамики транспортных средств. В кн.: Нагруженность, прочность, устойчивость движения механических систем. - Киев: Наукова

53. Лазарян В.А.,Конашенко С.И. О применении обобщенных функций при исследовании колебаний стержней с кусочно-постоянными параметрами. Прикладная механика,I971, т.УП,вып.9, с.70-79.

54. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Преобразование аргумента в задачах о поеречных колебаниях стержней. Прикладная механика,1972, т.8, вып.7, с.66-73.

55. Лазарян В.А., Конашенко С.И. Обобщенные функции в задачах механики. Киев: Наукова думка, 1974. - 192 с.

56. Лазарян В.А., Крютченко В.Е. Определение частот и форм собственных поперечных колебаний стержней с сосредоточенными включениями. Прикладная механика, 1971, т.7, вып.6, с.79-84.

57. Лазарян В.А., Манашкин Л.А. Собственные продольные колебания стержней с сосредоточенными массами. Прикладная механика,1970, т.6, вып.8, с.42-48.

58. Лазарян В.А., Науменко Н.Е., Хачапуридзе Н.М. О движении конвейерного поезда по переломам продольного профиля пути.-В кн.: Нагруженность,прочность, устойчивость движения механических систем. Киев: Наукова думка,1980,с.63-71.

59. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир, 1979. - 371 с.

60. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. - 504 с.

61. Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы с нелинейных колебательных системах.-Киев:Изд-во АН УССР,1955.-283 с.

62. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.:Наука,1964. - 431 с.

63. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике.-Киев:Наукова думка,1972. -461 с.

64. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. Киев:Вища школа,1976. -589 с.

65. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1983. - 424 с.

66. Михлин С.Г. Курс математической физики.- М.:Наука,1968.-575 с.

67. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М.-.Наука, 1970. 512 с.

68. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.-М.:Наука,1981. 400 с.

69. Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производных. М.:Мир,1967. - 132 с.

70. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,1969. - 528 с.

71. Науменко Н.Б. 0 свободных продольных колебаниях неоднородных поездов. В кн.: Некоторые задачи механики скоростного рельсового транспорта. - Киев: Наукова думка,1973 .с.222-230.

72. Науменко Н.Е. Продольные усилия в сечениях неоднородных стержней при распространяющемся возмущении. В кн.: На-груженность, колебания и прочность сложных механических систем. - Киев: Наукова думка, 1977, с.57-62.

73. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Наука,1974. 480 с.

74. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука,1964. - 272 с.

75. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. -Киев: Наукова думка, 1970. 377 с.77