Стохастические модели систем с взаимодействием при дискретных состояниях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Калинкин, Александр Вячеславович

• Калинкин, Александр Вячеславович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Калинкин, Александр Вячеславович

Введение

Глава 1. Уравнения Колмогорова для марковских моделей систем с взаимодействием

1.1. Марковские процессы на дискретном множестве Nn . 39 1.1.1. Первая и вторая системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей

1.2. Многомерные производящие функции

1.3. Марковские процессы с взаимодействием

1.3.1. Модели систем с превращениями частиц типов

Т\,., Тп. Схема взаимодействий.

1.3.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей

1.4. Ветвящиеся процессы с взаимодействием

1.4.1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей

1.4.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей

1.5. Ветвящиеся процессы. Система нелинейных дифференциальных уравнений

1.6. Класс процессов

Выводы к главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические модели систем с взаимодействием при дискретных состояниях»

1. Актуальность темы. В диссертационной работе рассматриваются стохастические модели систем с взаимодействием в виде марковских процессов рождения и гибели при дискретном множестве состояний 7Vn, N = {0,1,2,.}, и непрерывным временем t £ [0,оо). Точка фазового пространства а = (ai,. ,an) Е Nn интерпретируется как такое состояние системы, в котором имеется совокупность частиц = + . + о;пТп, состоящая из ai частиц типа Ti, ., an частиц типа Тп; переход случайного процесса в другое состояние — результат взаимодействия одного из комплексов частиц 5е», ег Е А, где А = {е1,. ,£•'} С Nn — заданное множество. Результат взаимодействия комплекса частиц не зависит от наличия других частиц в системе. Такие модели являются подклассом дискретных систем со стохастическим характером эволюции, определяемым случайными процессами взаимодействия элементов системы между собой и с окружающей средой. В литературе по математическому моделированию для отдельных элементов в системах этого подкласса используется название "частица", что обусловлено спецификой элементов таких систем и процессов их взаимодействия. При различии физической природы, происхождения и масштабов систем взаимодействующих элементов, существенным является то, что определяемые для исследования этих систем математические модели основаны на понятиях и результатах теории вероятностей и теории случайных процессов. Рассматриваемые в диссертации модели являются однородными во времени марковскими процессами с конечным или счетным множеством состояний, важным свойством которых является то, что их поведение определяется инфинитезималь-ными характеристиками и начальным распределением. Основополагающий вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, М.А. Леонтович, H.H. Боголюбов, Б.А. Севастьянов, Р.Л. Добрушин. Существенный вклад в развитие этого научного направления внесли зарубежные ученые М.С. Бартлетт, Т.Е. Хар-рис, Н.Т. Бейли, А.Т. Баруча-Рид, И. Пригожин, Ж. Гани, Т. Куртц, Н.Г. Ван Кампен и др.

1.1. Марковская модель без взаимодействия при дискретных состояниях определяется как однородный во времени марковский ветвящийся процесс в фазовом пространстве Ny переходные вероятности которого Pij(t), i7j G N, t G [0, oo), удовлетворяют при t —>■ 0+ условиям (Л > 0) [74]:

Pij(t) = ipj-i+1\t + o(t), j ^ г - 1, j ф ц

Pi:i(t) = l-i\t + o(t), j=i; (B.l)

Pij(t) = o(t)) j<i- 1, где pk ^ 0, к G N', ^2kL0Pk — 1> Pi = 0. Свертывая вторую (прямую) и первую (обратную) системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей с помощью производящих функций

OO OO J- оо j=0 г=0 ' к—0 получаем уравнения в частных производных (|s| ^ 1): i)=A(/iW-S)^) Л(0;.) = .< (В.2) второе, и первое — = Лг(ЧЙ-|к' •) = «". (В-3) где = ^2kLo PkWPt' уравнения первого порядка (В.2) нетрудно получить [48], [98], что ieN, (В.4) то есть переходные вероятности удовлетворяют нелинейному свойству

31+32 + —+3г = ]

Последнее равенство означает, что если состояние г модели интерпретировать как наличие г частиц, то отдельные частицы эволюционируют независимо друг от друга. Из (В.4) следует = и подставляя это выражение в (В.З), получаем нелинейное уравнение = А(Л(*к(*; в)) - Я(«; *)), Р,(0; з) = (В.5) являющееся основным при исследовании моделей ветвящихся процессов.

1.2. Простейшая марковская модель с парными взаимодействиями является обобщением модели (В.1). Переходные вероятности £ АГ, такой модели удовлетворяют при £ —>• 0+ условиям:

Рхз(Ь) = г (г - 1)р^+2\ь + о (*), з^г- 2, ^ ^ г;

Ру (0 = 1 - г(г - 1)А* + о (*), 7 = »; (В.б)

Рц(г) = о(г), 3 <г — 2, где р*. ^ 0, /г £ ./V; = 1, Рг = 0. Из второй и первой систем

Колмогорова для переходных вероятностей получаем дифференциальные уравнения для производящих функций,

5М-Л(ВД-**)^, (В.7) = (В-8)

В случае уравнения второго порядка (В.7) нелинейное свойство (В.4) для переходных вероятностей не выполнено. Если состояние г модели интерпретировать как наличие г частиц, то частицы зависят друг от друга, или взаимодействуют.

Исследование модели с взаимодействием (В.7), (В.8) не сводится к уравнению вида (В.5), как в случае модели (В.2), (В.З). Актуальным, в частности, является вопрос, в какой степени известные методы исследования марковских моделей без взаимодействия могут быть перенесены на марковские модели с взаимодействием — в первую очередь, имеется ли аналог нелинейного свойства (В.4) для моделей с взаимодействием. Для этого в настоящей диссертации строятся явные решения уравнений вида (В.7), (В.8) и их обобщений на более сложные модели с взаимодействием.

2. Обзор исследований в этой области. Данная выше интерпретация марковских процессов на показывает, что рассматриваемые в диссертации модели систем при дискретных состояниях могут описывать широкий класс реальных систем взаимодействующих элементов, в которых одни элементы системы превращаются в другие элементы в результате взаимодействия нескольких существующих в данный момент. М.А. Леонтович [1] дал модель стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде марковского процесса на фазовом пространстве всех п-мерных векторов с целыми неотрицательными компонентами и указал на связь между такой моделью бимолекулярной химической реакции и детерминированным описанием кинетики такой реакции — законом действующих масс (см. также [11], гл. 8, "Приложения в химии"). Близкие к модели [1] марковские процессы на АГ2 изучались в [5] как модели кинетики цепной реакции рождения нейтронов с учетом ядер тяжелых элементов. В [7], [8] методы теории марковских процессов с дискретными состояниями применялись к исследованию неравновесных пространственно-однородных стохастических моделей физико-химических процессов в многокомпонентном разреженном газе. Марковские процессы рождения и гибели на N и И2 рассматриваются в связи с применениями в теории массового обслуживания [23] и в теории надежности [22]. Б.А. Севастьянов [75] определил модели ветвящихся процессов с взаимодействием — класс марковских процессов на .ЛГП, который обобщил ряд рассматриваемых ранее марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

Определение модели [75] является строгим с точки зрения теории случайных процессов (определено вероятностное пространство (Q, Д, Р)) и в нем соблюдены феноменологические законы кинетики и ряд положений статистической физики.

Аналитический метод исследования марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях сводится к рассмотрению первой и второй систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковских процессов. Число случаев, для которых удается найти явное решение уравнений Колмогорова для процессов со счетным множеством состояний, невелико; известные решения относятся к процессам рождения и гибели на N: процесс простой гибели, процесс чистого рождения, процесс рождения и гибели пуас-соновского типа (выражения для переходных вероятностей содержат бесселевы функции), процесс рождения и гибели линейного типа и некоторые модификации указанных процессов. Данные в [1], [5], [8], [11], [12], [13], [75] и другие примеры применения аналитического метода при рассмотрении моделей систем с взаимодействием характеризуются использованием многомерной производящей функции для записи второго уравнения Колмогорова в виде уравнения в частных производных (линейное уравнение).

Детально исследованным классом марковских моделей на Nn являются ветвящиеся процессы с невзаимодействующими частицами [74], когда второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей есть уравнение в частных производных первого порядка. Из независимости эволюций частиц следуют нелинейные свойства переходных вероятностей и нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей, полученные А.Н. Колмогоровым и H.A. Дмитриевым [31], и ставшие основой применения аналитических методов для моделей систем без взаимодействия. Уравнение работы [31] относится к виду кинетических уравнений для одночастичной функции распределения [36]. В статистической физике для систем взаимодействующих частиц принято описание с помощью цепочки функциональных уравнений для многочастичных функций распределения [37]; таким цепочкам уравнений и уравнениям для одночастичных функций распределения в моделях неравновесных физико-химических процессов с непрерывным фазовым пространством и их математической теории посвящена обширная литература, см. [36]. В диссертации показано, что первая система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей является цепочкой уравнений в случае марковской модели системы с взаимодействием. Таким образом, из [31] и [37] следует задача выявления нелинейных свойств и вывода нелинейных уравнений для таких стохастических моделей. Для решения данной проблемы строятся точные замкнутые решения первого и второго линейных уравнений для переходных вероятностей.

Второе уравнение Колмогорова, как уравнение в частных производных порядка выше первого, рассматривалось в [1], [5], [8], [75] и др. D.A. McQuarrie, C.J. Jachimowcki, М.Е. Rüssel [102], D.A. McQuarrue [103] получили незамкнутое решение уравнения (В.7) в случаях h(s) = 1 и h(s) = s в виде ряда, содержащего многочлены Геген-бауэра. Для многих других моделей систем с взаимодействием решение нестационарных или стационарных уравнений приводит к выражениям для производящих функций искомых вероятностей состояний в виде рядов по специальным функциям. J. Letessier и G. Valent (см. обзор [108], [106], [107] и др.) методом разделения переменных получили решения второго уравнения в виде рядов по гипергеометрическим функциям для некоторых процессов рождения и гибели квадратичного, кубического и биквадратичного типов. Основные аналитические трудности связаны с суммированием этих рядов, приведением решений такого вида к замкнутой интегральной форме.

В изучении асимптотических свойств марковских моделей с взаимодействием достигнут существенно меньший прогресс по сравнению с родственными задачами для марковских моделей ветвящихся процессов. И.С. Бадалбаев, A.B. Дряхлов [95] рассмотрели залачу об асимптотическом поведении вероятности продолжения в модели (В.7) с парными взаимодействиями при частных случаях функции h(s). Марковская модель в взаимодействием частиц разных типов (процесс на N2) связана со случайными блужданиями в четверти плоскости, асимптотические задачи для которых рассматривались В.А. Малышевым [24], Ю.И. Громак, В.А. Малышевым [25], A.A. Могульским, Б.А. Рогозиным [29]. Асимптотические задачи для моделей с взаимодействием на N рассматривали W.A.O'N. Waugh [111], [112], P.R. Parthasarathy [113], В.И. Решетняк [93], Р.В. Бойко [94]. Частными случаями общей марковской модели с взаимодействием при дискретном фазовом пространстве являются модели распостранения эпидемии, см. работы М.С. Бартлет-та [12], Н. Бейли [13], G. Weiss [118], V. Siskind [114], J. Gani [115], A.H. Старцева [116] и др.

Замкнутые решения уравнений Колмогорова дают возможность простого вывода тех или иных асимптотических свойств и предельных теорем для вероятностных моделей систем с дискретными состояниями; примеры рассмотрения таких свойств даны в диссертации. При использовании марковских процессов в качестве стохастических моделей, как правило, возникает и требует решения общая для математического моделирования проблема оценки влияния на характеристики моделей точности значений задаваемых параметров модели [6]. Проблема получения точных решений уравнений Колмогорова для рассматриваемых моделей систем с взаимодействием является актуальной, и ее решение не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования при использовании в качестве моделей марковских процессов.

3. Цель работы. Основной проблемой, на решение которой направлена диссертация, является анализ задач, возникающих при математическом моделировании стохастических систем с взаимодействием с помощью марковских процессов со счетным множеством состояний и изложение методов и подходов к их решению на основе первого и второго дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей. Даны примеры применения аналитических методов при рассмотрении реальных процессов превращения частиц из различных областей естественных и технических наук.

4. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации впервые предложен систематический подход к рассмотрению марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

5. Основные результаты диссертации.

1. Построена общая стохастическая модель системы с взаимодействием при дискретных состояниях, включающая в себя ряд моделей, рассматривавшихся ранее. Для частных случаев дана классификация на основе рассмотрения специальных классов марковских процессов с множеством состояний 7УП.

2. Найдены формы записи дифференциальных уравнений Колмогорова для производящих функций переходных вероятностей для различных классов марковских моделей систем с взаимодействием.

3. Предложен метод экспоненциальной производящей функции для решения стационарной первой системы уравнений Колмогорова. Даны примеры применения метода для нахождения финальных вероятностей в моделях систем с парными взаимодействиями частиц одного или разных типов.

4. Предложен способ построения замкнутых решений первого и второго нестационарных уравнений для марковских процессов рождения и гибели квадратичного, пуассоновского, полиномиального и других типов. Метод применен к модели системы с парными взаимодействиями частиц одного типа и ее обобщению с частицами финального типа.

5. Получены точные решения первого и второго уравнений для марковских моделей на Nn, являющиеся новыми и обобщающие известные решения. Выявлены нелинейные свойства марковских моделей систем с взаимодействием.

6. Изложен способ статистического моделирования на ЭВМ марковских систем с взаимодействием на примере процесса "хищник-жертва" при дискретных состояниях и проведено исследование этого процесса.

7. Проведен анализ марковских моделей с взаимодействием при дискретных состояниях как стохастических систем взаимодействующих частиц статистической физики.

6. Методы исследования. В диссертации применялись методы теории вероятностей, теории марковских процессов с непрерывным временем, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Использовался аппарат специальных функций: ортогональные многочлены; бесселевы функции; гипергеометрические функции; эллиптические функции.

7. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Решены задачи, имеющие значение для развития теории математического моделирования и теории стохастических систем. Предложенные в диссертации аналитические методы решения уравнений Колмогорова могут найти применение в общей теории случайных процессов.

Практическая значимость результатов состоит в возможности их использования для исследования различных вероятностных моделей реальных систем с взаимодействием, когда в качестве моделей используются конечные и счетные однородные марковские процессы с непрерывным временем. Примеры систем с взаимодействием, моделями которых являются марковские процессы, часто встречаются в физике, химии, биологии, теории массового обслуживания и теории надежности. Результаты диссертации представляют интерес для исследований в таких областях теории неравновесных процессов и физико-химической кинетики, как взаимосвязь стохастического и кинетического описаний эво-люций разреженного газа, свойства кинетических уравнений, схемы и константы скорости химических реакций. Методы, применяемые в диссертации, могут быть использованы при изучении более сложных моделей случайных систем с взаимодействием.

В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных автором в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана. Часть изложенных в диссертации результатов получена автором в качестве соисполнителя научно-исследовательских работ по темам, включенным в план НИР МГТУ им. Н.Э. Баумана:

НИР § 4.1/2000 "Стохастический анализ многомерных моделей функционирования сложных систем в теории надежности и массовом обслуживании";

НИР N° 4/2001 "Разработка теории и методов математического моделирования при анализе функционирования и устойчивости континуальных и дискретных систем";

НИР N° 5 - 2/2002 "Разработка методов стохастического оценивания показателей надежности и финансовых рисков при функционировании сложных систем по разнородным данным".

Материалы диссертации используются в учебном процессе: автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана с 1998/1999 учебного года читается обязательный семестровый курс "Дополнительные главы теории случайных процессов" для студентов специальности "Прикладная математика" факультета "Фундаментальные науки" [144].

8. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Главы диссертации подразделены на двадцать четыре пункта. Нумерация пунктов отдельная для каждой главы. Некоторые результаты сформулированы в виде теорем. При ссылке на теорему слева добавляется номер главы. Например, теорема 3.1 означает теорему 1 главы 3.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Калинкин, Александр Вячеславович

ВЫВОДЫ

Проведенное в диссертационной работе математическое моделирование стохастических систем с взаимодействием при дискретных состояниях с использованием современных аналитических методов и вычислительной техники позволяет сделать вывод о разработке теоретических положений, совокупность которых составляет новое научное направление, обеспечивающее постановку и решение большого класса фундаментальных и прикладных задач. Разработаны новые математические методы моделирования, с единых позиций поставлены, обоснованы и исследованы стохастические модели физических, химических, биологических, а также технических объектов, связанных понятиями дискретного фазового пространства и схемы взаимодействий. Сформулируем основные результаты работы и перечислим примененные в диссертации методы построения точных решений уравнений Колмогорова для марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

1. Введены общие стохастические модели систем с превращениями и взаимодействиями частиц типов Гг,. ,ТП, задаваемые схемой взаимодействий. Такие модели с дискретными состояниями есть частные случаи однородных марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем. Предложена классификация моделей на основе рассмотрения специальных классов марковских процессов на Л/"п. В полном и систематическом виде изложены возможности записи в виде уравнений в частных производных первой и второй систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей с помощью многомерных производящих функций и оператора обобщенной производной. Каждому классу рассматриваемых моделей соответствует определенный вид таких уравнений в частных производных.

2. Получено уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей — стационарное первое уравнение и построены его точные решения для моделей систем с парными взаимодействиями. а). Найдено интегральное представление для вероятностей вырождения в модели со схемой взаимодействий 2Т —> к2Т, Т —> к\Т. Исследованы асимптотические свойства вероятностей вырождения. б). Рассмотрена модель системы с взаимодействием частиц разных типов Т\ + Т2 —>• 71 Тх +72^2 5 при частных предположениях о случайном векторе (71,72). В случае 71 + 72 ^ 2 интегральное представление для финальных вероятностей найдено применением метода Римана для гиперболических уравнений. в). Исследована марковская модель эпидемии со схемой Т\ + Т2 —У Т\УТ\ —У 0. Методом Римана найдено интегральное представление для финальных вероятностей и установлена предельная теорема для числа финальных частиц.

3. Изложен способ построения точных замкнутых решений первого и второго уравнений Колмогорова для стохастических моделей процессов рождения и гибели квадратичного типа. Метод применим к марковским процессам рождения и гибели других типов. а). Для бимолекулярной реакции со схемой взаимодействий 2Т —У кТ, к = 0,1, построено интегральное представление решения уравнений модели — уравнений в частных производных параболического типа. Получено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для подъинтегральной функции условных переходных вероятностей. Для модели со схемой 2Т —> 3Т дан вывод аналогичного уравнения. б). Для моделей систем с финальным типом, схемы взаимодействий 2Т1 71 Тг + 72Т2, 7! = 0,1, и 2ТХ ЗТ1 + 72Т2, найдены замкнутые решения линейных уравнений Колмогорова и соответствующие нелинейные уравнения. в). Приведены интегральные представления решений второго уравнения для моделей систем с двумя комплексами взаимодействия 2Т —У к2Т, Т —> кгТ в критическом случае и соответствующие нелинейные уравнения. Рассмотрены асимптотические свойства таких моделей. г). Построены незамкнутые решения нестационарных уравнений Колмогорова для некоторых других одномерных и двухмерных процессов гибели квадратичного типа.

4. Выявлено нелинейное свойство переходных вероятностей марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях путем построения точных решений первого и второго уравнений. Это свойство интерпретируется как условная независимость рождения и гибели отдельных эволюционирующих частиц друг от друга и обобщает свойство ветвления переходных вероятностей процессов с невзаимодействующими частицами. Тем самым, на стохастические модели систем с взаимодействием могут быть перенесены методы исследования стохастических моделей с независимыми частицами.

5. Получена цепочка уравнений для су-частичных функций распределения рассматриваемых стохастических моделей с взаимодействием. Принцип тождественности частиц и теорема Финетти-Хинчина о симметрии применены к выводу кинетического уравнения путем преобразования фазового пространства траекторий частиц для системы с взаимодействием к множеству деревьев. Получены осредняющая мера и уравнение для условных переходных вероятностей для моделей систем с парными взаимодействиями.

6. Изложен способ статистического моделирования на ЭВМ стохастических систем с взаимодействием на примере процесса "хищник-жертва" и проведено исследование реализаций этого процесса. Предложенный способ численного моделирования может быть применен к общей стохастической модели с взаимодействем при дискретных состояниях с произвольным числом типов частиц и комплексов взаимодействия.

7. Данные в диссертации методы построения решений уравнений Колмогорова и найденные решения дают основу применения аналитических и численных методов к исследованию стохастических моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Калинкин, Александр Вячеславович, 2003 год

1. Леонтович М.А. Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. -1935. - Т. 5, №• 3-4. - С. 211-231.

2. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа, 1974. - 400 с.

3. Учайкин В.В., Рыжов В.В. Стохастическая теория переноса частиц высоких энергий. Новосибирск: Наука, 1988. - 201 с.

4. Дорогов В.И., Чистяков В.П. Оценка флуктуаций нуклидов в нейтронном потоке методами теории ветвящихся процессов // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 273, №- 5. - С. 1102-1104.

5. Дорогов В.И., Чистяков В.П. Вероятностные модели превращения частиц. М.: Наука, 1988. - 112 с.

6. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 496 с.

7. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. -М.: Высшая школа, 1990. 376 с.

8. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

9. Шематович В.И. Нестационарное статистическое моделирование столкновительных физико-химических процессов в разреженном газе: Автореф. дисс. . . . канд. физ.-матем. наук. М.: ВЦ АН, 1980. - 16 с.

10. Эпидемии процесс // Математическая энциклопедия. Т. 5. М.: Советская энциклопедия, 1985. - Кол. 1008.

11. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. - 512 с.

12. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. М.: ИИЛ, 1958. - 384 с.

13. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. -328 с.

14. Bailey N.T.J. The mathematical theory of infections diseases. -London: Griffin, 1975.

15. Амелькин B.B. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука, 1969. 160 с.

16. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976. 288 с.

17. Косолапова Л.Г., Ковров Б.Г. Эволюция популяций. Дискретное математическое моделирование. Новосибирск: Наука, 1988. - 96 с.

18. Перцев Н.В. Вероятностная модель инфекционного заболевания. -Новосибирск, 1984. 21 с. (Препринт ВЦ СОАН, N- 462).

19. Перцев Н.В. Математическое моделирование динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов: Автореф. дисс. . . . докт. физ.-матем. наук. Новосибирск: ВЦ СО АН, 1999. - 24 с.

20. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. - 320 с.

21. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин A.C. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. -М.: Наука, 1984. 206 с.

22. Математические методы в теории надежности. / Г.Д. Карташов, О.И. Тескин, O.A. Бархатова, С.М. Швартин. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1982. - 32 с.

23. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания. -М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.

24. Малышев В.А. Случайные блуждания. Уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости. Автоморфизмы Галуа. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 202 с.

25. Громак Ю.И., Малышев В.А. Вероятность попадания в конечное множество при блуждании в квадранте с поглощением на границе / / Международная конференция по теории вероятностей и математической статистике: Тезисы докладов. Вильнюс, 1973. -С. 185-186.

26. Малышев В.А. Уравнения Винера-Хопфа и их применение в теории вероятностей // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1975. - Т. 13. - С. 5-35.

27. Fayolle G., Iasnogorodski R., Malyshev V. Random walks in the quarter-plane. Algebraic methods, boundary value problems and applications. Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 156 p.

28. Two-sex problem //Encyclopedia of statistical sciences. V. 9. New-York: Wiley, 1988. - P. 373.

29. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. 1938. - Т. 5. - С. 5-41. Пер. с нем.: Math. Ann. -1931. - Bd. 104. - S. 415-458.

30. Колмогоров А.H., Дмитриев H.A. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР. 1947. - Т. 56, №■ 1. - С. 7-10.

31. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. Изд. 2-е. М.: Наука, 1974. - 120 с.

32. Хинчин А.Я. Математические основания статистической механики. М.: Гостехиздат, 1943.

33. Хинчин А.Я. О классах эквивалентных событий // Доклады АН СССР. 1952. - Т. 85, N° 4. - С. 713-714.

34. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука, 1977. - 552 с.

35. Петрина Д.Я., Герасименко В.И., Малышев П.В. Математические основы классической статистической механики. Киев: Наукова думка, 1981. - 261 с.

36. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. M.-JL: Гостехиздат, 1946. - 120 с.

37. Маслов В.П., Таривердиев С.Э. Асимптотика уравнений Колмого-рова-Феллера для системы из большого числа частиц // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1982. - Т. 19. -С. 85-124.

38. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц и квантовой теории поля. М.: Изд-во УРСС, 2000. - 360 с.

39. Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 332 с.

40. Тождественности принцип. Тождественные частицы. БСЭ. Изд. 3-е. М.: Советская энциклопедия, 1977. - Т. 26. - С. 30-31.

41. Ветвления условие // Математическая физика. Энциклопедия. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. С. 84.

42. Линейные уравнения математической физики. / В.М. Бабич, М.Б. Капилевич, С.Г. Михлин, Г.И. Натансон, П.М. Риз, Л.Н. Сло-бодецкий, М.М. Смирнов. М.: Наука, 1964. - 368 с.

43. Бицадзе A.B., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985. - 312 с.

44. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. -М.: Наука, 1975. 128 с.

45. Copson Е.Т. Partial differential equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1975. - 280 p.

46. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. - 576 с.

47. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. - 260 с.

48. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения. М.: Международная программа образования, 1996. - 496 с.

49. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967. - 488 с.

50. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. -423 с.

51. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. -296 с.

52. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. - 296 с.

53. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. -М.: Наука, 1967. 300 с.

54. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: ИИЛ, 1952. 476 с.

55. Славянов С.Ю. Структурная теория уравнений и специальных функций класса Гойна: Автореф. дисс. . . . докт. физ.-матем. наук. СПб.: СПбГУ, 1996. - 14 с.

56. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. - 480 с.

57. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. - 128 с.

58. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1965. - 424 с.

59. Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. JL: ГТТИ, 1933. - 344 с.

60. Уиттекер Э.Т., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

61. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 375 с.

62. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Математический сборник. 1951. - Т. 29 (71), N° 3. - С. 477-500.

63. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. - 536 с.

64. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

65. Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. - 208 с.

66. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

67. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. - 800 с.

68. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752 с.

69. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. - 800 с.

70. Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.2.-Рига: Зинатне, 1977. 464 с.

71. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953. - 288 с.

72. Севастьянов Б.А. О некоторых типа-х марковских процессов // Успехи математических наук. 1949. - Т. 4, N- 4. - С. 194.

73. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. - 436 с.

74. Севастьянов Б.А., Калинкин A.B. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. 1982. -Т. 264, N- 2. - С. 306-308.

75. Калинкин A.B. Вероятность вырождения одного ветвящегося процесса // Некоторые вопросы математики и механики / Под. ред.

76. B.В. Козлова и Б.В. Шабата. М.: Изд-во МГУ, 1983. - С. 58-59.

77. Калинкин A.B. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1982. - Т. 27, N° 1. - С. 192-197.

78. Калинкин A.B. Стационарное распределение системы взаимодействующих частиц с дискретными состояниями // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 268, №• 6. - С. 1362-1364.

79. Калинкин A.B. Финальные вероятности для ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. -1983. Т. 269, №■ 6. - С. 1309-1312.

80. Исмагилов P.C., Калинкин A.B., Станцо В.В. Графы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 40 с.

81. Калинкин A.B. Случайные процессы в естествознании: Дискретное фазовое пространство. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. -40 с.

82. Пиляева Н.В. Об одном разложимом ветвящемся процессе с частицами финального типа / / Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. - Т. 7, N- 1.1. C. 128-129.

83. Ланге A.M. Об одном ветвящемся процессе с иммиграцией и взаимодействием частиц / / Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, №■ 2. - С. 785-786.

84. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. -400 с.

85. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. - 568 с.

86. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984. - 528 е.; 752 с.

87. Feller W. Infinitely divisible distributions and Bessel functions associated with random walks // SIAM J. Appl. Math. 1966. - V. 14. -P. 864-875.

88. Чжун Кай Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Наука, 1964. -426 с.

89. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. -М.: Мир, 1971. 264 с.

90. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1985. - Т. 23. - С. 3-67. Ч. II: J. Sov. Math. - 1993. - V. 67, п. 6. - Р. 3407-3485.

91. Полин А.К. Предельные теоремы для разложимых критических ветвящихся процессов // Математический сборник. -1976. Т. 100, N- 3. - С. 420-435.

92. Козлов М.В. Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде / / Теория вероятностей и ее применения. 1976. - Т. 21, №■ 4. - С. 813-825.

93. Решетняк В.И. Об одном классе ветвящихся процессов со взаимодействием частиц // Аналитические методы в теории надежности. Киев: ИМ АН УССР, 1985. - С. 106-114.

94. Бойко Р.В. О степенном росте мицелиальных колоний в моделях, построенных на базе ветвящихся с переменным режимом процессов // Вероятностные методы исследования систем с бесконечным числом степеней свободы. Киев: ИМ АН УССР, 1986. - С. 17-23.

95. Бадалбаев И.С., Дряхлов A.B. Об асимптотическом поведении вероятности продолжения ветвящегося процесса с парными взаимодействиями частиц // Теория вероятностей и ее применения. -1996. Т. 41, N° 4. - С. 721-737.

96. Гуревич К.Г., Матвеев В.Ф. Уравнение Бейли для производящей функции однородного марковского процесса и его применение // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. -Т. 8, N- 2. - С. 42-51.

97. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. - 720 с.

98. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966. - 356 с.

99. Колчин В.Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984. - 208 с.

100. Колчин В.Ф. Случайные графы. М.: Физматлит, 2000. - 256 с.

101. Lederman W., Reuter G.E.H. Spectral theory for the differential equations of simple birth and death processes // Phil. Trans, of the Royal Sotiety of London. A. 1954. - V. 246. - P. 321-369;

102. McQuarrie D.A., Jachimowcki C.J., Russel M.E. Kinetic of small system. II // J. Chim. Phys. 1964. - V. 40, n. 10. - P. 2914-2921.

103. McQuarrie D.A. Stochastic approach to chemical kinetic //J. Appl. Probability. 1967. - V. 4. - P. 413-478.

104. Blumenfeld L.A., Grosberg A.Yu., Tikhonov A.N. Fluctuation and mass action law breakdown in statistical thermodynamics of small system // J. Chim. Phys. 1991. - V. 95. - P. 7541-7547.

105. Letessier J., Valent G. The generating function method for quadratic asimptotically symmetric birth and death processes // SIAM J. Appl. Math. 1983. - V. 44. - P. 773-783.

106. Letessier J., Valent G. Exact eigenfunctions and spectrum for several cubic and quartic birth and death processes // Phys. Lett. A. 1985. -V. 108, n. 5-6. - P. 245-247.

107. Valent G. An integral transform involving Hein function and a related eigenvalue problem // SIAM J. Math. Anal. 1986. - V. 17, n. 3. -P. 688-703.

108. Letessier J., Valent G. Some exact solutions of the Kolmogorov boundary value problem // Approx. Theory Appl. 1988. - V. 4, n. 2. - P. 97-117.

109. Ismail M.E.H., Letessier J., Valent G. Linear birth and death processes and associated Laguerre and Meixner polynomials // J. Approx. Theory. 1988. - V. 55. - P. 337-348.

110. Ismail M.E.H., Letessier J., Valent G. Quadratic birth and death processes and associated continuous dual Hahn polinomials // SIAM J. Math. Anal. 1989. - V. 20, no 3. - P. 727-737.

111. Waugh W.A.O'N. Uses of the sojourn time series for Markovian birth process // Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. V. 3. California: 1972. -P. 501-514.

112. Waugh W.A.O'N. Taboo extinction, sojourn times, and asymptotic growth for the Markovian birth and death process // J. Appl. Probability. 1972. - V. 9. - P. 486-506.

113. Parthasarathy P.R. Density-dependent Markov branching processes // Proceedings of the Antumn Course Research Seminars Mathematical Ecology. New-York: 1988. - P. 559-569.

114. Siskind V. A solution of the general stochastic epidemic // Biometri-ka. 1965. - V. 52, n. 3-4. - P. 613-616.

115. Gani J. On a partial differential equation of epidemic theory. I // Biometrika. 1965. - V. 52. - P. 617-622.

116. Старцев A.H. О распределении размера эпидемии в одной немарковской модели // Теория вероятностей и ее применения. 1996. -Т. 41, N- 4. - С. 827-839.

117. Stochastic processes in epidemic theory. (Conference Liminy, 1988) // Lecture Notes in Biomathematics. V. 86. California: Santa Barbara Univ. Press, 1990. - 197 p.

118. Weiss G. On the spread of epidemics by carries // Biometrics. 1965. -V. 21, n. 2. - P. 481-490.

119. Lefevre C., Picard P. Abel-Gontcharoff psevdopolinomials and the exact final outcome of sir epidemic model. Ill // Adv. Appl. Probability. 1999. - V. 31. - P. 532-550.

120. Lefevre С., Picard P. On the algebraic structure in markovian processes of death and epidemic types // Adv. Appl. Probability. 1999. -V. 31. - P. 742-757.

121. Калинкин A.B. Свойство ветвления для процесса чистой гибели // Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: Тезисы докладов. М.: Научное изд-во ТВП, 1996. - С. 6263.

122. Калинкин A.B. Двуполая проблема // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1997. -Т. 4, N° 3. - С. 348-349.

123. Калинкин A.B. Финальные вероятности ветвящегося процесса с взаимодействием частиц и процесс эпидемии // Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43, N° 4. - С. 773-780.

124. Калинкин A.B. Естественная структура множества марковских процессов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1998. - Т. 5, №- 2. - С. 222-223.

125. Калинкин A.B. Структура множества марковских процессов // Вестник РУДН. Прикладная математика и информатика. -1998, N- 1. С. 93-103.

126. Kalinkin A., Valent G. Exact solution of the linear Kolmogorov equations for a quadratic death process // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1998. -Т. 5, N° 2. - С. 304-305.

127. Калинкин A.B. Проблема точных решений уравнений Колмогорова для марковских процессов с дискретными состояниями / / Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 1999, N- 1. -С. 14-24.

128. Калинкин A.B. О нелинейных уравнениях для специальных классов марковских процессов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 1999, №• 2. - С. 59-70.

129. Демидов С.А., Калинкин A.B., Стрыгина JI.A. Ветвящийся процесс со схемой взаимодействий частиц вида "хищник-жертва" // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1999. - Т. 6, N° 1. - С. 137-138.

130. Калинкин A.B. Свойство ветвления для процесса гибели пуассо-новского типа // Теория вероятностей и ее применения. 1999. -Т. 44, №■ 1. - С. 177-178.

131. Калинкин A.B. Ветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. С. 104.

132. Калинкин A.B. О работах советских математиков по основаниям физической статистики 30-40-х гг. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 1999. -Т. 6, №- 1. - С. 148-150.

133. Калинкин A.B. О марковском процессе с кинетической схемой А + А —> пАу А —> тА // Научно-методическая конференция, посвященная 35-летию образования факультета "Фундаментальные науки" МГТУ им. Н.Э. Баумана: Тезисы докладов. М., 1999. -С. 20-21.

134. Калинкин A.B. Неравновесная статистическая физика и случайные процессы: принцип тождественности частиц // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2000, N- 1. - С. 38-48.

135. Калинкин A.B. Уравнения процесса гибели и размножения и оператор Гельфонда-Леонтьева обобщенной производной // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. - Т. 7, N° 1. - С. 106-107.

136. Калинкин A.B. Теорема Финетти-Хинчина о симметрии в неравновесной статистической физике // Доклады РАН. 2000. - Т. 370, N- 4. - С. 457-460.

137. Калинкин A.B. Третье уравнение Колмогорова для ветвящегося процесса с взаимодействием частиц // Доклады РАН. 2000. -Т. 371, №• 2. - С. 159-162.

138. Калинкин A.B. Метод экспоненциальной производящей функции для случайных блужданий в четверти плоскости // Доклады РАН. 2000. - Т. 375, № 5. - С. 583-587.

139. Калинкин A.B. Является ли пуассоновский процесс ветвящимся процессом? // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. - Т. 7, N- 2. - С. 355-356.

140. Kalinkin A.V. Branching property for a Poisson-type death process // J. Math. Sei. (New York) 2000. - V. 99, n. 3. - P. 1261-1266.

141. Калинкин A.B. Асимптотика вероятности продолжения для одного критического ветвящегося процесса с парными взаимодействиями частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики. Вероятность и статистика. 2000. - Т. 7, N- 2. - С. 493.

142. Калинкин A.B. Преобразование фазового пространства траекторий для системы взаимодействующих частиц к множеству деревьев // Необратимые процессы в природе и технике: Тезисы докладов Всероссийской конференции. М., 2001. - С. 176.

143. Калинкин A.B. Точные решения уравнений Колмогорова для критического ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Успехи математических наук. 2001. - Т. 56, N- 3. -С. 173-174.

144. Калинкин A.B. Курс теории марковских процессов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, N- 1. -С. 198-200.

145. Калинкин A.B. Уравнения марковского процесса, уравнения формальной кинетики и уравнения движения твердого тела около неподвижной точки // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, №• 1. - С. 200-201.

146. Kalinkin A.V. Markov's model of the two-sex population // Dynamics of non-homogeneous systems. Proceedings of ISA RAS (Moscow: Editorial URSS). 2001. - V. 4. - P. 75-81.

147. Калинкин A.B. О вероятности вырождения ветвящегося процесса с двумя комплексами взаимодействия частиц // Теория вероятностей и ее применения. 2001. - Т. 46, N° 2. - С. 376-381.

148. Калинкин A.B. Третье уравнение для ветвящегося процесса со схемой взаимодействий 2Ti —71 Ti + 72Т2, 71 = 0,1 // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, N° 2. -С. 766-767.

149. Калинкин A.B. Вероятность остановки на границе случайного блуждания в четверти плоскости и ветвящийся процесс с взаимодействием частиц // Теория вероятностей и ее применения. -2002. Т. 47, №■ 3. - С. 452-474.

150. Калинкин A.B. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием // Успехи математических наук. 2002. - Т. 57, N° 2. - С. 23-84.

151. Калинкин A.B. Многочлены Чебышева в одной задаче для случайного блуждания в четверти плоскости. // Необратимые процессы в природе и технике: Тезисы докладов второй Всероссийской конференции. М., 2003. - С. 179-180.

152. Калинкин A.B. Решение уравнений Колмогорова для вероятностной модели бимолекулярной реакции // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2003. - Т. 10, N° 1. - С. 173-174.