Исследование одночастичных функций Грина методом суммирования диаграмм и решения приближенных уравнений Швингера-Дайсона в скалярной и неабелевой калибровочной теории типа Янга-Миллса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ливашвили, Абрам Ильич

• Ливашвили, Абрам Ильич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ливашвили, Абрам Ильич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Непертурбативные методы при исследовании функции

Грина в различных квантополевых моделях

§ I.I. Применение метода суммирования диаграмм и уравнения Швингера-Дайсона при исследовании функции

Грина частиц.

§ 1.2. Исследование функций Грина в неабелевых калибровочных полях.

Глава П. Метод суммирования диаграмм

§ 2.2. Высокоэнергетическое поведение массивного пропагатора бозона в скалярной теории

§ 2.2. Пропагатор "духа" в калибровочной теории типа

Янга-Миллса.

Глава Ш. Исследование уравнений Швингера-Дайсона в глюодинамике (линейное приближение)

§ 3.1. Исследование пропагатора "духа" в линейном по г приближении.

§ 3.2. Пропагатор глюона в линейном по fljn (Р) приближении

§ 3.3. Вклад "духов" в поляризационный оператор fljw (Р)

§ 3.4. Нелинейный подход при исследовании пропагатора. глюона в инфракрасной области

Глава IУ. Исследование уравнения Швингера-Дайсона в глюо динамике (нелинейное приближение).

§ 4.1. Уравнение Швингера-Дайсона для пропагатора "духа" в приближении Манделстама

§ 4.2. Пропагатор "духа" в полиномиальном приближении

ПО tfcp).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование одночастичных функций Грина методом суммирования диаграмм и решения приближенных уравнений Швингера-Дайсона в скалярной и неабелевой калибровочной теории типа Янга-Миллса»

В течение последнего десятилетия бурными темпами развивается квантовая теория поля - теоретическая основа физики элементарных частиц.

В первую очередь следует выделить ту часть квантовой теории поля, которая описывает сильные и слабые взаимодействия частиц.

Достаточно упомянуть последние экспериментальные результаты, полученные приС'в'-столкновениях на коллайдере (ДЕРН). Речь идет о регистрации событий по обнаружению бозона,пред-сказанного моделью слабых взаимодействий Вайнберга-Салама-Глэшозь

Теория сильных взаимодействий - квантовая хромодинамика (КХД) даёт возможность исследования и вычисления характеристик ряда процессов: 6~ -аннигиляция, множественное рождение частиц и т.д.

Во всех этих теориях надежным инструментом является теория возмущений, позволяющая вычислить с достаточной точностью амплитуды конкретных процессов. Однако находясь в рамках теории возмущений, не удается выяснить ряд принципиальных вопросов, возникающих внутри этих теорий. К ним, в частности, относятся следующие: являются ли названные теории не только перенормируемыми, но и конечными, а также проблемы, связанные с неразложимыми по константе связи членами точных решений полевых уравнений. Кроме того, теория возмущений неприменима для исследования важной проблемы инфракрасного поведения функций Грина в квантовой хромо-динамике.

В качестве одного из методов, позволяющим выйти из рамки теории возмущений, является суммирование определенного класса фейнмановских диаграмм. На этом пути во многих квантополевых моделях удается получить ряд нетривиальных результатов, не имеющих аналога в теории возмущений.

Другим таким инструментом могут служить уравнения Швингера-Дайсона для полный функций Грина (пропагаторов). В квантовой хромодинамике указанные уравнения в совокупности с тождествами Славнова-Тейлора - следствием калибровочной инвариантности КХД, были использованы при исследовании инфракрасного поведения функции Грина глюона.

Настоящая работа посвящена исследованию полных функций Грина частиц как в скалярных, так и в калибровочных теориях типа Янга-Миллса. Изучаются ультрафиолетовые и инфракрасные асимптотики пропагаторов частиц в этих теориях.

При исследовании упомянутых проблем мы используем некоторые приближения. К примеру, применяя метод суммирования фейнмановских диаграмм, мы рассматриваем диаграммы "радужного" и лестничного типа, а уравнения Швингера-Дайсона для функции Грина частиц изучаются в приближении голых вершин.

В работе получен ряд оригинальных результатов, заключающихся в следующем:

I. В скалярной модели со взаимодействием [ф2^]^ (каждое поле является массивным) изучаются ультрафиолетовые и инфракрасные по массе асимптотики функции Грина частицы поля ф . Полученное интегральное уравнение для мнимой части поляризационного оператора суммированием диаграмм "радужного" типа сводится к дифференциальному, допускающему точное решение. Для согласования решений с ограничивши условиями задачи вводится константа перенормировки, которая в окончательных результатах оказывается мультипликативной. Найден явный вид этой константы, причем ее значение существенно зависит от константы связи и массы частиц поля. Используя дисперсионное соотношение, восстанавливается реальная часть поляризационного оператора. Результат допускает аналитическое продолжение как в физическую, так и в нефизическую области изменения импульсов. Затем с помощью уравнения Дайсона находится функция Грина.

Полученные асимптотики функции Грина применяются к модельному описанию адронной поляризации вакуума, возникающая при превращении -пары в адроны.

Полученное выражение для средней множественности рождения адронов в этом процессе оказывается в разумном согласии с результатами, полученными в рамках кварк-партонных представлений.

2. В калибровочной теории типа Янга-Миллса этот же подход применяется при исследовании функции Грина "духов" Фаддева-Попова в калибровке Фейнмана. Получено интегральное уравнение для в мнимой части оператора собственной энергии "духа" Еа (р) в приближении "радужных" диаграмм. Это уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка типа Эйлера, допускающего точное решение. Найдено единственное решение удовлетворяющее интегральному уравнению. Полученная на этой основе функция Грина "духа" имеет степенной вид. Исследованы её ассим-птотики в ультрафиолетовой и инфракрасной областях изменения импульсов.

5. В Евклидовой формулировке чистой теории Янга-Миллса рассматривается приближенное уравнение Швингера-Дайсона для пропагатера "духа" в ковариантной -калибровке.

Уравнение перенормируется дайсоновской процедурой и лир") духа". Исследуется его решение в приближении свободного пропа-гатора глюона и голых вершин. В этом же приближении найдена

-функция Каллана-Симанзика. Опираясь на асимптотическую свободу теории, выделено единственное решение, имеющее степенную асимптотику и удовлетворяющее граничной задаче.

Исследуется зависимость инфракрасной асимптотики пропага-тора "духа" от значения константы связи и калибровочного параметра. 2

Найдены значения константы связи ^ и калибровочного параметра при которых поведение исследуемого пропагатора имеет в инфракрасной области характер возрастающих осцилляций. Вычислены константа перенормировки и аномальные размерности про-пагаторов соответствующих решений. Выявлено наличие в комплексной плоскости константы связи точки ветвления при £ = 5}К/>ит.

Показано, что при ^ ви сС< 3 ф -функция отрицательна и имеет место асимптотическая свобода теории. Существование 5крит ' по"наш0МУ мнению, можно интерпритировать как предел применимости линеаризованного уравнения Швингера-Дайсона. Полученные выражения для пропагатора допускают аналитическое продолжение в пространство Минковского.

В чистой теории Янга-Миллса решается линеаризованное относительно поляризационного оператора П^чДр) уравнение Швин-гера-Дайсона в приближении голых вершин. Четверными взаимодействиями и "тадпольными" членами пренебрегавтся. Задача рассматривается в калибровке Ландау. Вклады от поляризации "духов" учитываются на уровне однопетлевого приближения. Полученное интегральное уравнение, будучи избавлено перенормировкой от ультрафиолетовых расходимостей, решается в евклидовых переменных путём сведения его к линейному дифференциальному уравнению пятого порядка.

С помощью качественного анализа поведения р -функции, найденного в указанных приближениях, решается проблема единственности решения, совместимого с граничными условиями задачи.

Найденное критическое значение константы связи 9 » что

Окрмт. позволяет выйти за рамки слабой связи.

Получена инфракрасная асимптотика для пропагатора глюона в рассмотренном приближении. Показано, что учет вклада от петли "духов" в указанную асимптотику пропагатора на уровне наинизшего однопетлевого приближения сводится к появлению лишь числового множителя в пропагаторе.

Вычисляется аномальная размерность пропагатора и константа перенормировки.

5. Для полного выяснения вклада "духов" в пропагатор глюона используя лестничное приближение, из множества поляризационных диаграмм выделяются только те, которые содержат петли "духов". Б результате удается получить линейное интегральное уравнение для поляризационного оператора теории. Используя метод математической индукции, производится перенормировка интегрального уравнения. Результат перенормировки оказывается в согласии с методом Боголюбова - Парасюка - Хеппа (БПХ).

Полученное интегральное уравнение, сводится к линейному дифференциальному уравнению восьмого порядка типа Эйлера, допускающего точное решение. Наличие в решении калибровочного параметра позволило исследовать зависимость вида пропагатора дтаоона от значения этого параметра.

Показано, что существуют такие спектры значений и константы связи, при которых имеет место осцилляционное решение для пропагатора глюона в инфракрасной области.

Из полученных решений следует, что учет вклада "духов" в пропагатор глюона приводит, в отличие от однопетлевого вклада, к осцилляционным решениям и изменению степенной зависимости.

6. Проводятся исследования инфракрасной асимптотики клюон-ного пропагатора в калибровке Ландау с использованием выражений для пропагаторов "духов", полученных в рамках лестничного приближения. Являясь по существу нелинейным подходом, этот метод позволяет учесть вклады в инфрркрасную асимптотику глюонного пропагатора непосредственно от петли "духов".

Задача сводится к решению дифференциального уравнения пятого порядка. Получено асимптотическое выражение решения.

Показано, что в этом случае вклад от петли "духов" в инфракрасную асимптотику глюонного пропагатора сводится к функциональному множителю, зависящему от константы связи.

7. В этой же теории исследовано нелинейное уравнение Швингера-Дайсона для пропагатора "духа" в приближении голых "дух"—дух"—глюонных вершин. Выражая искомый пропагатор через вспомогательную функцию задача сводится к автономной системе дифференциальных уравнений, которое допускает для нее точное решение. В приближении сильной связи (или слабая связь, но большие неканонические значения калибровочного параметра) находится явный вид пропагатора.

Исходя из условий интегрируемости оператора собственной энергии "духа" ¿1 (р) и существования его предела прир-»0 , доказывается существование решения рассмотренного нелинейного интегрального уравнения для^(р). Исследуются полученные функциональные оценки для пропагатора "духа".

8. Изучается нелинейное уравнение Швингера-Дайсона для пропагатора "духа" в приближении полиноминальном по^]й (р) Задача рассматривается в произвольной сС. -калибровке. Вершины берутся свободными.

Нблинейное интегральное уравнение сводится к автономной системе дифференциальных уравнений, решения которой исследуются качественными методами. В частности, определяется топология фазовых кривых вблизи особых точек уравнения, выявляется единственная интегральная кривая отвечающая инфракрасному решению. Определено бифуркационное значение параметра уравнения, при котором имеет место осцилляционное решение.

Используя полученные качественным методом результаты, находится асимптотическое решение при р-* О исходного нелинейного интегрального уравнения. На основе этих решений находятся выражения для пропагаторов "духа".

В соответствии с изложенным, диссертация построена следующим образом:

Первая глава, состоящая из двух параграфов,носит обзорный характер.

В § 1.1 сделан краткий исторический обзор и показано современное состояние исследования квантополевых величин методами, позволяющими выйти за рамки обычной теории возмущений, основанных на суммировании различного класса фейнмановских диаграмм и решении приближенных уравнений Швингера-Дайсона.

Анализируются основные работы, посвященные исследованию функции Грина в скалярных моделях квантовой теории поля и вопросы, связанные с перенормировкой исходных интегральных уравнений.

В § 1.2 излагается современное состояние применения указанных методов в калибровочных теориях типа Янга-Миллса.

Здесь подробно рассмотрены работы, в которых исследуется инфракрасная асимптотика пропагаторов "духа" и глюона и обсуждена идейная сторона проблем, рассматриваемых задач.

Вторая глава посвящена решениям интегральных уравнений для мнимых частей поляризационного оператора в массивной скалярной модели и оператора собственной энергии в глюодинамике.

В § 2.1 на основе решения интегрального уравнения в приближении класса "радужных" диаграмм для мнимой части поляризационного оператора в теории со скалярным взаимодействием изучается инфракрасная по массе асимптотика пропагатора поля в области больших импульсов.

В § 2.2 в том же классе "радужных" диаграмм исследовано решение интегрального уравнения для мнимой части оператора собственной энергии "духа". Анализируются ультрафиолетовые и инфракрасные асимптотики полученных решений.

Третья глава содержит четыре параграфа.

В § 3.1 решается приближенное уравнение Швингера-Дайсона для пропагатора "духа" в ковариантной оС -калибровке. Изучается линеаризованное относительно оператора собственной энергии "духа" уравнение.

§ 3.2 посвящен исследованию пропагатора глюона в калибровке Ландау. Задача решается линеаризацией соответствующего уравнения Швингера-Дайсона относительно поляризационного оператора.

В § 3.3 выводится и решается интегральное уравнение для поляризационного оператора глюона, в котором последовательно учтены вклады "духов" Фаддева-Попова.

В § 3.4 исследуется найденная в § 3.2 инфракрасная асимптотика глюонного пропагатора в калибровке Ландау, учитывающая вклады от пропагаторов "духов", которые берутся в лестничном приближении.

В четвертой главе подробно исследуется уравнение Швин-гера-Дайсона для пропагатора "духа".

В § 4.1 рассматривается нелинейное уравнение Швингера-Дайсона для пропагатора "духа" в ковариантной «А. -калибровке в приближении свободных вершин "дух"-"дух-глюонных взаимодействий. Получено асимптотическое решение в приближении сильной связи.

Доказывается существование решения упомянутого интегрального уравнения и исследуются полученные неравенства для пропагатора "духа".

В § 4.2 найденное в § 4.1 уравнение для пропагатора "духа" изучается в полиноминальном по £ (р) приближении. Полученное в этом параграфе дифференциальное уравнение, исследуется качественными методами и выявляется структура фазовых кривых уравнения.

Используя результаты качественного анализа, находятся асимптотические решения уравнения вблизи его особых точек.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации .

В приложении приведены результаты численного решения характеристического уравнения, возникающего при решении задачи нахождения поляризационного оператора глюона в лестничном приближении, выписан вид функционального множителя

Ло) из § 3.4 и последняя таблица, показывающая зависимость радиуса сходимости степенного ряда от значений пара-метраЕЛ .

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ливашвили, Абрам Ильич

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Получено точное решение интегрального уравнения для мнимой части поляризационного оператора массивных бозонов в скалярной теории с взаимодействием [ ^ ^]ц в рамках прибли жения радужных диаграмм.Найдена явная зависимость константы перенормировки упомя нутого уравнения от параметров теории Л »m^,yw*, где Ш * и/И* массы скалярных бозонов соответственно полей Ф и t^ .В асимптотической области импульсов р 5>/п* , /И^ по най денной мнимой части поляризационного оператора восстановлена из дисперсионных соотношений функция Грина массивного бозона. Ис следовано её поведение в случае больших ( f1^zS>tY)^ ) и малых ( М ^ « т ^ ) обменных масс поля 2. В чистой теории Янга-Миллса получено и решено интег ральное уравнение для мнимой части оператора ообственной энергии "духа" в калибровке Фейнмана в классе "радужных" диаграмм.На основе полученного решения, найдено выражение для про пагатора "духа", имеющего в инфракрасной области степенную асим 1 f Р^ \1-У I птотику вида-v —£ ^ TTyfT/ , где у= Jj- Э'-/^ ^ о - константа связи

3. В Евклидовой формулировке неабелевого калибровочного поля типа Янга-Миллса решено линеаризованное относительно поля ризационного оператора глюона перенормированное уравнение Швин гера-Дайсона со свободными глюон-глюонными вершинами. Используя полученные результаты, найдено инфракрасное поведение глюонного пропагатора в калибровке Ландау.4. В этой же теории решена задача нахождения пропагатора "духа" в ковариантной 6L-калибровке на основе точного решения

линеаризованного относительно оператора собственной энергии "духа" перенормированного уравнения Швингера-Дайсона. Рассмот рено инфракрасное поведение пропагатора "духа".5. В глюодинамике в калибровке Ландау получено и решено: интегральное уравнение в лестничном приближении для поляризаци онного оператора с учётом вкладов "духов".Перенормировка уравнения произведена по методу Боголю бова-Парасюка-Хеппа. Найдено выражение для пропагатора глюона и рассмотрено его инфракрасное поведение. Выделен спектр значе 2.НИИ константы связи Я , при котором допустимо осцилляционное решение. При других значениях Я^ получена степенная инфра красная асимптотика.6. В той же неабелевой калибровочной теории в калибровке Ландау найдено решение уравнения Швингера-Дайсона для пропага тора глюона, линеаризованного относительно поляризационного оператора глюона с учётом вкладов от пропагаторов "духов", ко торые берутся в лестничном приближении.Исследована инфракрасная асимптотика полученных решений.7. Изучено нелинейное приближенное ("дух"-"дух"-глюонные вершины взяты свободными) уравнение Швингера-Дайсона для про пагатора "духа" в ковариантной «С -калибровке. Показано, что рассматриваемое уравнение может быть сведено к автономной си стеме дифференциальных уравнений, допускающих решение в квад ратурах. Найдено аналитическое выражение решения в пределе сильной связи.При определённых условиях, налагаемых на инфракрасное поведение оператора собственной энергии "духа" доказано суще ствований решения упомянутого уравнения . Получены функцио нальные оценки для пропагатора "духа". 8. Решена задача инфракрасного поведения пропагатора "духа" в об-калибровке путем исследования уравнения Швингера Дайсона, взятого в приближении полиномиальном по оператору соб ственной энергии "духа". Показано, что уравнение эквивалентно краевой задаче второго порядка, которая, в свою очередь, может быть сведена к системе двух дифференциальных уравнений. Прове дено исследование этих уравнений качественными методами и най дена топология фазовых кривых. Получены асимптотики решений уравнений и найдены условия существования решений интеграль ного уравнения.W • (D РЦ о о о о о о о о о о о сз о о о 1 ^ • ^ i - LA LA и^ оо оэ со 0 4 о м см ^ о о о о о о о о о о о о м м ы и см см см о со <Г\ о о LA н 1А о со VO LA • c f ГА < i - см ил н см •ct- VO h-i см -c^ V0 с^ м см с^ OJ •=h • ^ LA LA l A LA с- о £>• •§ о о о о о о о о о о о о о о о о ^ 1Г\ СУЧ 0 0 о см LA VX) м оо ГА 1А м о- 04 со о- ^ VD 0 0 см ГА •с ) - LA (Т\ CJ4 м ы ГА LA о 0 4 о м ы нч см см см см см ГА ГА t A ГА ГА ^ 1 ^ 1-1 н м м н м м м м н 1-1 н м м м н <м VO м иэ f ^ СГ\ VD м м м м м о- -ct- м ко м •^ ^ (34 LA ГЛ с^ ГА <t- L-^ ГА D - см ГА оо •^ VO 4D D -

со со o^ а\ о о м (—1 W 0 0 см см м ? м м OJ 041 С\| CM N^ ГА ГА ГА < h -ct-

«м м —1 - 1 H М CM CM -н 1—1 ГА ГА - 1 ГА ГА о о о ы о о «м м м м и о о а ^ сх) см LO 1—1 о- м о ГА ГА ГА 1—1 ГА t > ^ VO 0 4 £ > .?» ил см со a\ ^ а\ м ГА м о см нн D - см и см U: о tr\ а\ VO м и м м м D - -c:^ м VO И <t- -^ а\ LA ГА со VD L-^ ГА •4- L^ ГА L^ см ГА 0 0 •4- ^ ко L^ 0 0 0 0 СУ\ оч о о ы

1-1 1—1 0 0 rvj - 1 1 А А м < Л1 о 1 1 о 1 1 I о о н о о о и о о и ы о о м ы и и м ы м м м см о- ы и о

1—1 ГА Ск: 0 0 ^ VD m (Т\ VD м ал <1- о см CJ4 D - см см см LH 0 0 ф* • d - СГ\ « ч ГА о ? о о о 1 о о ? о о со -:d- ко 0 0 0 0 о о о о о о о »* •<» *« •« •• •* «« »• •• »> 1 « ч о о о и м см см ГА ГА •cj- 1А ко |>- со CJ4 о

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ливашвили, Абрам Ильич, 1984 год

1. Боголюбов Н.Н. О представлении функций Грина-Швингера при помощи функциональных интегралов. -Докл. АН СССР, 1954, т.99, с.225-226.

2. Scfcinger I. On the Green's function of quantized fields--Proc. Nat. Acad. 861., 1951, vol. 37, p. 452-453.

3. Ge11-Mann M, Low F.E. Bond States in Quantum Field theory.- Phys. Rev., 1951, vol 84, p. 350-354.

4. Эдварс С.Ф. Трактовка квантовой электродинамики без теории возмущений. Б кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики. -М.: И.Л., 1954, с.378-390.

5. Ландау Л.Д., Абрикосов А.А., Халатников и.М. Об устранении бесконечностей в квантовой электродинамике. -Докл. АН СССР, 1954, с.497-500.

6. Померанчук И.Я., Галаадн А.д., Иоффе Б.Л. Об асимптотике функции Грина нуклона и мезона в псевдоскалярной теории со слабым взаимодействием. -ЖБТФ, 1955, т.29, № I, с.51-62.

7. Фрадкин Е.С. Метод функции Грина в теории квантованных полейи в квантовой статистике. -В кн.: Труды физ.ин-та АН СССР,1965, т.29, с.7-56.

8. Fradkin E.S., Kalachnikov. Renormalized set of equations for the Green functions and its asymptotical solution in the gauge field theory with fermions.- Acta Phys. Austr., 1976, vol. 45, p. 81-95.

9. Клименко К.Г. Ренормгруппа и лестничное приближение в теории поля. -Серпухов, 1978, -13 с.( Препринт/Ин-т шиз.выс.энерг.: 78-8 .)•

10. Arbuzov В.A., Filippov А.Т. Vertex functions in nonrenor-malizable field theory.- Nuovo Cim., 1965, vol. 19, N 2, p. 796-781.

11. Гетманов Б.С., Филиппов А.Т. Вершинная функция в теории слабого взаимодействия. -ТЫФ, т.8, № I, с.3-15.

12. Клименко К.Г. Ренормгруппа в безмассовой квантовой электродинамике в приближении лестничного типа. -Серпухов, 1978, II с.Пре/лпринт/Мн-т физ.выс.энерг. 78-107 с}.

13. Гаджиев С.А., Ливашвили А.И. Исследование некоторых квантопо-левых функций в чистой теории Янга-Миллса. -В кн.-.Столкновение частиц с ядрами, атомами и молекулами тематический сборник научных трудов. -Баку, 1982, с.106-114.

14. Klays P. Rothe. Exact and perturbation solutions for the vaccuum polarisation in a soluble model in scalar field theory.- Nuol. Phys., 1975, vol B. 88, p. 501-524.

15. Klays T). Rothe. Exact summation of outer rainhov/ self-energy in J^4 theory.- Fuel. Phys., 197<S vol. B. 104, p. 344-364.

16. Клименко К.Г., Рочев В.Е. Решаемые модели поляризации вакуума в скалярной теории поля. -ТИФ, 1976, т.29, с.48-52.

17. Гаджиев С.А., Ливашвили А.И. О функции Грина бозона. -Изв. АН Аз. СССР, сер.физ. технич.наук., 1979, №4, с.22-27.

18. Гаджиев С.А., Ливашвили А.И. Андронный поляризационный оператор в сверхперенормируемой модели. -Изв. вузов СССР, сер. физика, 1979, № II, с.50-54.

19. Cutkosky R.E. singularities and discontinuities of Faynman amplitudes.- Jorn. ¥ath. Phys., 1960, vol. 1, N 5, P. 429-433.

20. Первушин B.H. Правила квантования неабелевых калибровочных полей и проблема конфайнемента. -Дубна, 1970, 22 с.(Прежпринт/ Объед. ин-т ядерн. исслед.: р2-12225).

21. Harari Н. Quarks and leptons.- Phys. Repts., 1978, vol. 426, M 4, p. 237.

22. Grenbery O.W., Nelson O.A. Colour madels of hadrons.- Phys. Repts., 1977, vol. 320, p. 69.

23. Черников И.А., Шавохина H.C. Линейный потенциал при высоких энергиях. -В кн.: Проблемы квантовой теории поля. -Дубна, 1979, с.340-353.

24. Mack G. Quark and Colour Confiniment thriugh dynamical Higgs mechanism.- Hamburg, 1977, p. 32 fPreprint/T)EST: 77/58).

25. Арефьева И.Я., Славнов А.А. Теория калибровочных полей. -В кн.: Х1У Международная школа молодых ученых по физике высоких энергий. Дубна, 1981, с.36-100.

26. Андреев И.В. Квантовая хромодшнамика и жесткие процессы при высоких энергиях. -М.: Наука, 1981.

27. Conrwall John M. Dynamical mass generation in cortinuum quantum chremodynamicsPhys. Rev. D. Particle and Fields., 1982, vol. 26, N 6, p. 1453-1478.

28. Lehto M.E. Infrared behavior of the gluon propagator of finite temperature.- Phys. SCR., 1982, vol. 25, N 4,p. 511-513.

29. West Geofray. Confinement in quantum chromodynamics.--Phys, Rev. Lett., 1981, vol. 46, N21, p. 1365-1368.

30. Geofray B. west. General infrared and ultraviolet properties of the gluon propagator in axial gauge.- Phys. ReV. P., 1983, vol. 27, V 8, p. 1878-1893.

31. Weinstein Latice field theories: Non-perturbative methoda of analysis.- Stanford, 1978, p. 70 (Preprint /SLAC PUB - 2073).

32. Richardson J.I., Blankerbeder R. Anharmonic analysis of latice field theories I. Stanford, 1979, p. 28 (Preprint/SLAC - PUB - 2317).

33. Макеенко Ю.М. Введение в решеточные калибровочные теории. -Москва, 1982, 41 ci Препринт/йн-т теор. и экспер.физ.: izà.

34. Synanzik К. 1/N Explansion in Р theory.- Humburg, 1977, p. 64, (Preprint/PESY : 77/05).

35. Арефьева И.Я. Поле Янга-Миллса как киральное иоле на контуре и дуальность Хофта-Мандельстама. -В кн.: Проблемы квантовой теории поля, Дубна, 1979, с.200-222.

36. Иванов Е.А. Билокальное модельное представление теории Янга-Миллса и калибровочно-инвариантный вакуум. -В кн.: Проблемы квантовой теории поля, Дубна 1979, с.233-248.

37. Грибов В.И. Квантование неабелевых калибровочных теорий.в кн.: Физика высоких энергий Материалы ХП Зимней школы ЛИЯФ, Ленинград, 1977, с.65-91.- 119

38. Egorian E., Tarasov О.У. Two-loop renormalization of the QCP in an arbitrary gauge.- Pubna, 1978, p. 12 (Preprint /Joint Inst. Nucl. Phys. : E2 11757).

39. Tarasov O.V., Vladimirov A.A. Two-loop renormalizationof the Yang-Mills thery in arbitrary gauge. Dubna, 1976, p. 6 ^Preprint/Joint Inst. Nucl. Res : E2 - 10079).

40. Славнов А.А., Фаддев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., Наука, 1978, 238 с.

41. Politzer Н.Л. Asymptotic freedom : on approach to strong interactions. Phys. Repts., 1974, vol. 14, N 4, p. 129--!80.

42. Берестецкий В.Б. Нуль-заряд и асимптотическая свобода, УФН, 1976, т.120, с.430-440.

43. Владимиров А.А., Ширков Д.В. Метод ренормгруппы в квантовой теории поля. -В кн.: Х1У Международная школа молодых ученых по физике высоких энергий, Дубна, 1981, с.101-149.

44. Boll J.S., Zachariasen F. Infrared properties of the gluon prapagator in non abelian gauge theories. - Nucl. Phys., 1978, vol. B143, N 1, p. 148-162.

45. Anysnety P. Baker M. , Kim S.K., Boll Y.S., Zachariasen F. Infrared properties of the couplyng constant, in non-abelian gauge theories. Nucl. Phys., 1978, vol. B86, N 1, p. 52-56.

46. Алексеев А.И. Глюонный пропагатор в аксиальной калибровке. -ЯФ, 1981, т.33, Ш 2, с.516-525.

47. Bar Gadda. Infrared behavior of the effective coupling in quantum chromodynamics. - Nucl. Phys., vol. B163, N 3,p. 312-332.

48. Alekceev Л.1. On power infrared asymptoties of the gluon propogator in axial gauge. Serpukhov, 1980, p. 29 f-Preprint/IHEP. - : 80-65).

49. Baker M. Boll Y.S. Zachariasen F. Anon- perturbative calculation of the infrared limit of the axial gauge gluon propogator (I), (II), Nucl. Phys., 1980, vol. B186, N 3, p. 531-572.

50. Boll J.S., Zachariazen F. Infrared properties of the gauge theory coupling constant С III). Nucl. Phys., 1984,vol. B95, p. 273-279.

51. Schoeranaker W.J. Study of the gluon propogator in the axial gauge. Nucl. Phys., 1982, vol. B194, p. 575-545.

52. T)el"borgo R. On the gauge depedence of spectral fonctions.- Jorn. Phys., A : Math. Gen., 1980.

53. Хелашвили А.А. Представление Дельборого и пропагатор глюона в светоподобной калибровке. -ТМФ, 1981, т.46, Ш 2, с.225-231.

54. Mandelstam S. Approximation scheme for quantum chromodynamics. Phys. Rev., 1979, vol. D20. p. 3223-3228.

55. Atkinson T)., Drohm J.K., Johnson P.W., Stam K. Nonpertur-bative confinement in quantum chromodynamics. I. Study ofan approximate equations of Wandelstam. Jorip. Math. Phys., 1981, vol. 22, N 11, p. 2704-2711.

56. Atkinson T)., Jonson P.W., Stam K. Nonperturbative confinement to quantum chromodynamics. II. Mandelstam's gluon propogator. Jorn. Math. Phys., 1982, vol. 23, N 10.p. 1917-1924.

57. Kazuo Harada. Infrared asymptotic forms of the gluon and quark propogator. Progr. Theor. Phys., 1981, vol. 68, N 4, p. 1324-1326.

58. Kazuo Harada. Infrared asymptotic forms the gluon and quark propogators. Res'. Inst. Theor. Phys., Hirosima Univ., 1982, N 5, p. 28.

59. Васильев А.Т., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. Об инфракрасной асимптотике глюонного пропагатора, -ТМФ, т.48, № 3, с.284-296.

60. Файнберг Ф.Я. Применение метода дисперсионных соотношений в квантовой электродинамике. -ЖЭТФ, 1959, т.37, Вып. 5 II ,с.1361-1371.

61. Малахов В.В., Ращевская Е.П., Файнберг В.Я. Применение дисперсионного подхода к исследованию простейших функций Грина в мезодинамике. -ЖЭТФ, I960, т.38, вып.6, с.1803-1813.

62. Мур В.Д., Скаржинский В.Д. Применение дисперсионного метода к изучению простейших функций Грина в квантовой электродинамике. -ЖЭТФ, I960, т.38, вып.6, с.1817-1823.

63. Гаджиев С.А. Исследование четырехфермионного взаимодействия и некоторых радиационных процессов. Докторская диссертация.-Баку, 1975, -180 л.

64. Боголюбов H.H., Ширков О.В. Введение в теорию квантованных полей. -М.: Наука, 1976, 480 с.

65. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.1. -М.: Наука, 1973, 294 с.

66. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. -М.: Ы.Л., I960, 299 с.

67. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. -М.; Наука, 1969, 623 с.

68. Гешкенбейн Б.В., Иоффе Б Л. Ограничения на величины констант связи в К.Т.П. I ЖЭТФ, 1963, т.44, вып.4 , с.1227-1236.- 122

69. Никитин К).П., Розенталь И.Л. Теория множественных провессов. М.: Атомиздат, 1976, с.210.

70. Гуламов В.Г., Гулямов У.Г., Чернов М.Г. Экспериментальные данные по множественному рождению на ядрах. -ЭЧАЯ, 1978, т.9, вып.З, с.554-601.

71. Henry D.I. "nifraction scatering of hadrons : the theoretical outlook. Stanford, 1975, p. 81, (Preprint/SLAC--PUB - 1669).

72. Bjorken J.D., Ioffe B.L. Annihilation of 6+e" into hadrons. Stanford, 1974, p. 56, fPreprint/SLAC - PUB-1467).

73. Гердт В.П., Каримходжаев А., Фаустов Р.И. Андронная поляризация вакуума и проверка квантовой электродинамики при низких энергиях. -Дубна, 1978, с.16(Препринт/0бъед. ин-т ядерн. ис-след.: P2-II308.).

74. Старцев С.А. Поправки на сильное взаимодействие к некоторым электромагнитным эффектам. -Труды физич. ин-та им.П.И.Лебедева АН СССР, т.95, с. 134-174.

75. Клоуз Ф. Кварки и партоны. Введение в теорию. -М.: Мир, 1982, 428 с.

76. Гришин В.Г. Множественное рождение частиц в адрон-адронных взаимодействиях при высоких энергиях. -ЭЧАЯ, 1976,т.7, вып.З, с.596-646.

77. Volkovitsky P.E. The quark gluon model for particle production processes. - ?!oscow, p. 8, (Preprint/Ins. Theoret. Exper. Phys. : 70).

78. Аберс E.C., Ли Б.В. Калибровочные теории. -В кн: Квантовая теория калибровочных полей. -М.: Мир, 1977, с.241-433.

79. Волошин М.Б. Введение в квантовую хромодинамику. Основы теории. -Москва, 1980, 74 с. Предпринт-Ин-т теор. и экспер.физ:22.- 123

80. G-ross D.T., Wilcek F. Ultraviolet behavior of nonabelian gauge theories. Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 30, N 26, p. 1346vl349.

81. Politzer H.D. Relable perturbation results for strong interactions. Phys. Bev. Lett., 1973, vol. 30, N 26} p. 1346-1349.

82. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.М.: Наука, 198I, 800 с.

83. Chetirkin К.G., Kataev A.L., Tkachov F.V. new approach to evalution of multiloop Feinman integrals : the Gegenbauer polynomial x space technique. - Nucl., Phys., 1980, vol. B17k, p. 345-377.

84. Беллман P. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, И.Л., 1954, с.220.

85. Сансоне Дж. Обычновенные дифференциальные уравнения, И.Л., т.1, 1953, Т.П., 1954.

86. Бернович Л.М., Нечаевский М.Л. О групповых свойствах и интегрируемости уравнений типа Фаулера Эмдена. -В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. т.П, Наука. -M.: 1983, с .463471.

87. Рессинг Р., Сансоне Г., Конто Р. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1974, 329 с.

88. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1965, 703 с.

89. Филиппов А.Т. Нетривиальные решения нелинейных задач теории поля. ЭЧАЯ, 1980, т.п., вып.З, с.735-801.

90. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. -М.: Наука, 1976, 496 с.

91. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М.: Мир, 1983, 300 с.