Квантовые свойства N = 1 суперсимметричных калибровочных теорий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Пименов, Александр Борисович

• Пименов, Александр Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пименов, Александр Борисович

Введение

1 N — 1 суперсимметричные калибровочные теории

1.1 N = 1 суперсимметричная электродинамика.

1.1.1 Функционал действия и симметрии

1.1.2 Квантование

1.2 N — 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса.

1.2.1 Функционал действия и симметрии

1.2.2 Метод фонового поля

1.2.3 Квантование

1.2.4 Ренормгрупповые функции.

2 Пертурбативные вычисления в суперсимметричных калибровочных теориях

2.1 Техника суперграфов

2.2 Упрощенный метод вычисления диаграмм Фейнмана

2.2.1 Формулировка метода.

2.2.2 Сравнительный анализ метода со стандартной техникой вычисления суперграфов.

3 Перенормированное действие и ренормгрупповые функции в N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях с полями материи

3.1 Уравнения Швингера-Дайсона, тождества Славнова и точная /^-функция.

3.2 Гипотеза о существовании нового тождества.

3.3 Пертурбативная проверка тождества в абелевой N = 1 суперсимметричной теории.

3.4 Пертурбативная проверка тождества в неабелевой N = суперсимметричной теории.

4 Квантовые поправки к эффективному действию в N = суперсимметричной теории Янга-Миллса

4.1 Одиопетлевая функция Грина калибровочного поля.

4.2 Двухпетлевая функция Грина калибровочного поля.

4.2.1 Вклад диаграмм с петлей духовых полей.

4.2.2 Вклад диаграмм с петлями калибровочного поля

4.2.3 Точная функция Гелл-Манна-JIoy.

4.2.4 Учет вклада диаграмм с контрчленными вставками

А Суммирование диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике в четырехпетлевом приближении

В Сумма диаграмм с контрчленными вставками и аномальный вклад в /^-функцию

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые свойства N = 1 суперсимметричных калибровочных теорий»

Суперсимметричные теории, инвариантные относительно преобразований, которые перемешивают между собой бозонные и фермионпые поля, безусловно относятся к наиболее выдающимся достижениям физики высоких энергий. Такие модели исходно рассматривались [1] как некоторые чисто теоретические конструкции, которые никак не связаны с экспериментом, поскольку в них каждой бозонной частице должен соответствовать ее суперпартнер - ферми-частица, а каждому фермиону — бозонный сунерпартнер. В экспериментах при низких энергиях таковые не наблюдаются. Однако оказалось, что ситуация в точности противоположная: суперсимметричные модели теории поля могут описывать физику взаимодействия элементарных частиц. Выполненные в последнее время точные измерения констант связи в Стандартной Модели [2, 3], описывающей сильные и электрослабые взаимодействия, и исследования их дальнейшей эволюции с помощью уравнений ренормгруппы, показали, что все эти взаимодействия могут рассматриваться как низкоэнергетический остаток некоторой единой теории поля только в случае, если все частицы Стандартной Модели имеют суперпартнеры. Их массы достаточно велики, благодаря чему эти частицы пока не удается наблюдать в прямых экспериментах на современных ускорителях. Тем самым теоретические идеи получили косвенное экспериментальное подтверждение. Кроме того, в суперсимметричных теориях Великого Объединения Взаимодействий автоматически решается проблема, связанная с отсутствием экспериментальных данных о распаде протона [2, 4]. Поэтому такие модели в настоящее время рассматриваются как одни из наиболее вероятных кандидатов для построения единой теории поля, которая, как полагают, должна единым образом описывать все типы взаимодействий элементарных частиц. Исследование свойств таких теорий, в частности на квантовом уровне, представляет собой значительный интерес. Особенно привлекательными кажутся теории с нерасширенной суперсимметрией, поскольку, по-видимому, физика на масштабах энергий порядка 103 ГэВ является N = 1 суперсимметричной.

С теоретической точки зрения, суперсимметрия особенно привлекательна, поскольку она существенно улучшает ультрафиолетовое поведение теории [5, 6]. Уже вскоре после ее открытия было, к примеру, обнаружено, что благодаря ряду теорем о неперенормировке, в теории Янга-Миллса с N — 4 суперсимметрией расходимости вообще отсутствуют, а в теориях с N = 2 суперсимметрией расходимости присутствуют только в однопетлевом приближении теории возмущений. Даже в теориях с нерасширенной суперсимметрией можно сделать предположение о виде /^-функции точно во всех порядках теории возмущений. Впервые оно было сделано в работе [7] на основе исследования структуры инстантонных вкладов. В случае N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи, такая /^-функция, которая называется точной (3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова, имеет вид: а2

3C2-2C(R) (1-7Ы)

1)

2тг(1 - С2 ct/lir) где 7(a) - аномальная размерность суперполя материи1, величина С2 определяется равенством facdfbcd 5ab> fabc - структурные константы калибровочной группы. Через R обозначено представление, в котором лежит одно из суперполей материи, а величина C(R) определяется следом генераторов группы в представлении Я: tr (TaTb) = C(R)5ab. (3)

В случае N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики /?-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова принимает более простой вид [8]:

0(a) = 7(a)). (4)

1 Заметим, что здесь приведен результат для теории с дираковскими фермионами, каждому из которых соответствует два киральных суперполя.

Несмотря на то, что многие вопросы уже были детально исследованы в течение длительного времени [9] - [18], до сих пор остается ряд проблем, которые так и не нашли своего решения [19] - [28]. К ним относится, например, строгий вывод точной во всех порядках /^-функции (1).

При использовании регуляризации с помощью размерной редукции [36, 37, 38] выражение (1) при специальном выборе переиормировочного предписания совпадает с результатами явного вычисления величины

•> - Ш- (б) где - перенормированная константа связи, ад- точка нормировки, вплоть до четырехпетлевого приближения [29] - [33]. Однако величина (5) является схемно зависимой. Физическая /^-функция получается из нее только если производящий функционал не зависит от точки нормировки и наложены некоторые специальные граничные условия, которые требуют знания конечных частей функций Грина [34, 35]. В размерной редукции [39] - [42], как правило, вычисляется только расходящаяся часть эффективного действия в MS-схеме [22, 43]. При этом точная (3-функция может быть получена, если специальным образом подобрать схему вычитаний [44, 45, 46, 47]. Тем не менее, вопрос о том, в какой схеме получается эта /^-функция, остается невыясненным. Двухпетлевая /^-функция вычислялась также и при использовании дифференциальной перенормировки [48, 49].

Важным аспектом исследования квантовых свойств суперсимметричных теорий является регуляризация [32]. Дело в том, что размерная регуляризация [41] явно нарушает суперсимметрию и не удобна при исследовании суперсимметричных теорий. Представляя собой некоторую модификацию размерной регуляризации, размерная редукция [39], не нарушающая суперсимметрию, как оказалось, является внутренне противоречивой [40], благодаря чему ее использование может приводить к тем или иным артефактам.

Для получения точной /^-функции (4) в N = 1 суперсимметричной электродинамике наиболее удобно использовать регуляризацию высшими производными [50, 51], при которой оказалось возможным достаточно легко получить схемно независимую функцию Гелл-Манна-JToy (последняя в силу своего определения не зависит от конкретного выбора схемы перенормировки). В этом случае перенормировка оператора WaCabWb оказывается чисто однопетлевой, что было подтверждено явными вычислениями в двух- [8, 52] и трехпетлевом [35] приближениях, а функция Гелл-Манна-Jloy при этом имеет поправки во всех порядках теории возмущений и совпадает с точной /3-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

Поскольку функция Гелл-Манна-Лоу является схемно независимой, то она, вообще говоря, может быть вычислена при использовании произвольной регуляризации. Однако наиболее удобной оказывается использование регуляризации с помощью высших ковариантных производных [50, 53]. Дело в том, что при использовании этой регуляризации в N — 1 суперсимметричной электродинамике все интегралы, которые возникают при вычислении функции Гелл-Манна-Лоу, сводятся к интегралам от полных производных. Впервые это было замечено в работе [35]. Поэтому, на самом деле, их аналитическое вычисление существенной сложности не представляет. Частично в электродинамике эту закономерность можно объяснить с помощью применения метода, основанного на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дайсона [54, 55]. Однако для полного доказательства оказывается необходимым предположить существование некоторого дополнительного тождества для функций Грина, причина происхождения которого пока остается неясной [56]. Его существование во многом связано с тем, что интегралы, определяющие двухточечную функцию Грина, сводятся к полным производным. Оно не следует из калибровочной инвариантности или суперсимметрии теории, и пока не удается доказать его в общем виде из первых принципов. Это тождество является нетривиальным в трех- и более петлях. Проверка справедливости нового тождества в суперсимметричной электродинамике в высших петлях является одной из целей диссертации.

Таким образом, уже в . электродинамике получение точной (3-функции является достаточно нетривиальной задачей. Указанные выше закономерности позволяют предположить, что применение регуляризации высшими ковариантными производными может выявить интересные закономерности в структуре квантовых поправок неабелевых N — 1 суперсимметричных калибровочных теорий. Однако применение этой регуляризации в неабелевых теориях, как правило, оказывается сложной с технической точки зрения. Поэтому такая регуляризация была применена лишь однажды, при проведении однопетлевого вычисления в несуперсимметричной теории Янга-Миллса [57]. С учетом замечаний, сделанных в последующих работах [51, 58, 59, 60], результат вычисления совпал со стандартным выражением для однопетлевой /^-функции (хотя в исходной работе [57] и утверждалось, что это не так).

В случае N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи, регуляризованной высшими ковариантными производными, имеет место ситуация, похожая на то, что характерно для суперсимметричной электродинамики: метод, основанный на использовании тождеств Славнова-Тейлора и уравнений Швингера-Дайсона, позволяет вычислить вклад суперполей материи в /^-функцию точно во всех порядках теории возмущений. При этом также требуется предположить справедливость аналогичного тождества [61, 62] для функций Грина. Однако его выполнение должно быть проверено с помощью явных вычислений в конечных петлевых порядках, что также является одной из целей диссертации.

Интересно заметить, что [35] при использовании регуляризации высшими ковариантными производными в JV = 1 суперсимметричной электродинамике расходимости в двухточечной функции Грина присутствуют только в однопетлевом приближении. (Однако расходящаяся часть двухточечной функции Грина не является физической величиной. Таковой является функция Гелл-Манна-Jloy, вклады в которую дают все порядки теории возмущений.) Этот факт в значительной степени подтверждает рассуждения, проведенные в работе [19], где предполагалось, что вильсоновское действие Sw является чисто однопетлевым, а эффективное действие Г имеет поправки во всех петлях. В данном случае роль Sw играет обычное перенормированное действие. При этом в N = 1 суперсимметричной электродинамике функция Гелл-Манна-Лоу не совпадает с функцией Ь(а), определенной по расходящейся части эффективного действия, благодаря аномалии масштабирования [22], которая приводит к тому, что определенный стандартным образом производящий функционал зависит от точки нормировки. В диссертации также проводится аналогичное исследование в неабелевом случае.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пименов, Александр Борисович

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

• Предложен внутренне непротиворечивый метод вычисления квантовых поправок в неабелевых N — 1 суперсимметричных калибровочных теориях с использованием регуляризации высшими ковариантными производными, который не нарушает суперсимметричную инвариантность (в том числе и в высших петлях), а также позволяет самосогласованным образом проводить пертурбативные вычисления в суперсимметричных теориях.

• Впервые регуляризация высшими ковариантными производными применена для вычисления квантовых поправок в неабелевых суперсимметричных калибровочных теориях.

• С помощью регуляризации высшими ковариантными производными • и формализма фонового поля вычислена двухпетлевая функция Гелл

Манна-Лоу в N — 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

• Явным вычислением доказано, что в двухпетлевом приближении расходимости являются чисто однопетлевыми, тогда как функция Гелл-Манна-Лоу совпадает с точной /^-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова.

• Показано, что в рассматриваемых случаях при использовании регуляризации высшими ковариантными производными интегралы, которые определяют квантовые поправки в эффективное действие, сводятся к полным производным и могут быть легко вычислены аналитически.

• Разработан метод, упрощающий вычисления диаграмм Фейнмана, которые определяют вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного поля, в суперсимметричных калибровочных теориях в супер полевом формализме, применимый для любой регуляризации.

• Произведена пертурбативная проверка нового тождества, возникающего при получении /^-функции точно во всех порядках теории возмущений, методом, основанным на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора в уравнения Швингера-Дайсона, в четырехпетлевом приближении в N = 1 суперсимметричной электродинамике и в трехпетлевом приближении в N — 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса.

• Проверено совпадение результата для вклада четырехпетлевых диаграмм Фейнмана в N = 1 суперсимметричной электродинамике, полученного при помощи алгоритма суммирования, с результатом, даваемым стандартной техникой суперграфов.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Я глубоко признателен моему научному руководителю Пронину П.И. и доценту Степаньянцу К.В. (кафедра теоретической физики физического факультета МГУ) за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пименов, Александр Борисович, 2008 год

1. В.М. Емельянов, Стандартная модель и ее расширения, М., Физматлит, 2007.

2. W. Siegel, Fields.// hep-th 9912205.

3. R.N. Mohapatra, Unification and supersymmetry: the frontiers of quark-lepton physics, Springer, third edition, 2003.

4. H. Nilles, Supersymmetry, supergravity, and particle physics.// Phys. Rep. 1984. - 110. - p. 1.

5. J. Lopuszanski, An introduction to symmetry and supersymmetry in quantum field theory, World Scientific Publishing, 1991.

6. Novikov V., Shifman M., Vainshtein A. and Zakharov V., The beta function in supersymmetric gauge theories. Instantons versus traditional approach.// Phys. Lett. В 1986. - 166. - p. 329.

7. Soloshenko A.A. and Stepanyantz К. V., Two-loop renormalization of N = 1 supersymmetric electrodynamics, regularized by higher derivatives.// hep-th 0203118.

8. Ferrara S. and Zumino В., Transformation properties of the supercur-rent.// Nucl. Phys. В 1975. - 87. - p. 207.

9. Clark Т.Е., Piguet O. and Sibold K., Supercurrents, renormalization and anomalies.// Nucl. Phys. В 1978. - 143. - p. 445.

10. Piguet O. and Sibold К., The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (I). The classical case.// Nucl. Phys. В 1982. -196. - p. 428.

11. Piguet О. and Sibold К., The supercurrent in N = 1 supersymmetric Yang-Mills theories. (II). Renormalization.// Nucl. Phys. В 1982. -196. - p. 447.13