Эффективный лагранжиан и поляризация вакуума в двумерных калибровочных теориях поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Русев, Динко Георгиев

• Русев, Динко Георгиев
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Русев, Динко Георгиев

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ДВУМЕРНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ

ТЕОРИИ ШЛЯ

Глава II. МЕТОД РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ В ДВУМЕРНОЙ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ШВИНГЕРА.

2*1* Ренормализационная группа в квантовой теории поля.

2*2. Вычисление фермионного лропагатора в теории возмущений до ос

2.3. Решения уравнений ренормгруппы для пропагаторов в модели Швингера.

2*4* Сравнение с точными решениями для пропагаторов

Глава III. ДВУМЕРНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА С АНОМАЛЬНЫМ

МАГНИТНЫМ МОМЕНТОМ

3.1. Эффективный лагранжиан и регуляризация методом дзета - функции.

3.2. Эффективное действие дираковской частицы в однородном электромагнитном поле / четырехмерный случай /.

3.3. Эффективный лагранжиан двумерной электродинамики с аномальным магнитным моментом

Глава Н . ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В ПОЛЕ ДВУХ ВНЕШНИХ ЗАРЯДОВ

4.1. Вычисление функционального детерминанта

4.2. Безмассовый случай.

4.3. Случай ненулевой массы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективный лагранжиан и поляризация вакуума в двумерных калибровочных теориях поля»

Калибровочные теории поля составляют в настоящее , время фундамент для построенияг теории -слабых, электромагниашыхя сильных взаимодействий элементарных частиц.- Теория «ашктрог слабых взаимодействий Вайнберга -балама /"83]• ,/?б/получила-в последние годы блестящее экспериментальное хготверждение [Ъ1] . На роль теории сильных взаимодействий единственным кандидатом фактически является квантовая хромодинамика, основанная на неабелевой 30(3) калибровочной симметрии г описывающая взаимодействие цветных кварков и глюонов. Основные успехи этих теорий связаны с применением методов теории возмущений/улучшенной с помощью ренормгруппы/ для расчета различных процессов* Так свойство асимптотической свободы квантовой хромодинамики [ъч] * /?07 позволило объяснить скейлинг и отклонение от скейлинга в глубоко неупругом рассеянии лепта-нов на адронах при высоких энергиях /58] , [ъъ] .

Однако решение ряда проблем калибровочных теорий поля-конфайнмент кварков, вычисление спектра масс адронов и др. -требует использования методов, выходящих за рамки теории возмущений. Так, например, имеются основания предполагать, что нетривиальная структура вакуума квантовой хромодинамики, не проявляющаяся в теории возмущений, приводит к тому, что между цветными зарядами, помещенными в такой вакуум, возникают струноподобные силы, обеспечивающие невылетание кварков. Таким образом, появляется необходимость изучения одномерных полевых объектов типа струн.

Актуальным является поэтому, исследование двумерных /1+1/ калибровочных теорий поля как с точки зрения развития технических приемов вычислений вне рамок теории возмущений, так и с точки зрения разработки физической картины квази -одномерных процессов, происходящих в реальном четырехмерном пространстве. Классическим примером в этом плане может служить модель Швингера /*78] , /?97 /двумерная безмассовая спи-норная электродинамика/, где имеются аналоги конфайнмента кварков и процесса аннигиляции электрона и позитрона в ад -роны /377 , /"387 •

Целью диссертации является исследование некоторых не-изучавшихся ранее аспектов двумерных квантово-полевых моделей. В ней рассматриваются следующие вопросы: сравнение результатов суммирования бесконечнх рядов теории возмущений с помощью метода ренормализационной группы с точными решениями в модели Швингера, вычисление эффективного лагранжиана в двумерной электродинамике с постоянным и однородным внешним полем при наличии/а также и в отсутствие/аномального магнитного момента у спинорных частиц, поляризация вакуума двумерной скалярной электродинамики в неоднородном поле двух внешних зарядов. Для решения таких задач в дис -сертации применяются методы континуальных интегралов и функциональных детерминантов, метод ренормализационной группы, метод регуляризации с помощью обобщенной дзета-функции.

Диссертация содержит четыре главы, заключение, математические приложения и список литературы.

Первая глава носит вводный характер. В ней дается обзор и анализ основных предшествующих работ по двумерным моделям в квантовой теории поля, сделаны выводы о их физическом значении, обосновывается постановка исследуемых в диссертации вопросов.

Во второй главе изучается соответствие ренормгрупповых выражений для полных функций Грина в модели Швингера точным выражениям. Показано, что метод ренормализационной группы правильно восстанавливает только аналитическую по константе связи часть функции Грина. Проведен анализ диаграмм Фейнмана для фермионного пропагатора в порядке до оС3 .

В третьей главе вычислено эффективное действие для квантовой электродинамики с аномальным магнитным моментом. Для регуляризации функциональных детерминантов, возникающих при интегрировании по фермионным полям в континуальном интеграле, применен метод дзета-функции. Достоинство этого метода состоит в том, что не приходится иметь дело с непосредственным вычитанием бесконечных частей, как в других регуляризациях. Исследовано поведение как мнимой, так и реальной части полученного выражения для эффективного действия. Показано, что при наличии аномального магнитного момента у мнимой части действия, описывающей вероятность рождения пар, появляется максимум, а при значении внешнего поля при котором обращается в нуль эффективная масса фермиона - минимум.

Четвертая глава посвящена исследованию поляризации вакуума двумерной скалярной электродинамики в поле двух внешних зарядов. В отличив от задач, рассмотренных в третьей главе, поле двух внешних зарядов не является однородным во всем пространстве. Это вносит существенные технические усложнения. Точное вычисление детерминанта удается провести в безмассо -вом случае. Показано, что учет квантовых флуктуаций меняет существенным образом поведение классического потенциала взаимодействия двух зарядов. Классическая энергия взаимодействия пропорциональна расстоянию между зарядами. Учет квантовых флуктуаций приводит к тому, что . Таким образом, поляризация вакуума усиливает конфайнмент зарядов. Наличие массы у скалярных частиц, оказывается, не меняет существенно этот результат,

В заключении формулируются и обсуждаются результаты и выводы настоящего исследования двумерных калибровочных теорий.

В приложения А - Г вынесены некоторые математические детали вычислений, в частности, в приложении В дан вывод асимптотического разложения обобщенной гамма-функции отсутствующей в известных справочниках по специальным функциям.

ШВА I

ДВУМЕРНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Интерес к двумерным моделям в квантовой теории калибровочных полей возник сразу после появления в свет основополагающих работ Янга, Миллса и Ли [12>] , /287 ♦ Как известно, в этих работах указывается на возможность связать сохранение изотопического спина и барионного числа в сильных взаимодействиях с инвариантностью относительно более общей, чем в электродинамике, группы локальных калибровочных преобразований, Трудность, возникающая при этом, состоит в безмассово-сти частиц калибровочных полей. Подобно тому как в электродинамике безмассовость фотона обеспечивается калибровочной инвариантностью, в такой теории промежуточные частицы также должны быть безмассовыми, что противоречит эксперименту.

В 1962 году, Швингер проанализировал возможность появления динамической массы у фотона путем перестройки массового спектра при больших значениях константы связи и предположил, что именно такая ситуация могла бы иметь место в условиях сильного взаимодействия [и] , [чъ] . Действительно, в рамках электродинамики, из теоремы Гаусса $ - ф 1= (1.1) следует, что

Е = # 4 С1-2) есть дальнодействующее поле/то, что речь идет о статическом

- э поле оказываемся несущественным/. Здесь важно то, что полный заряд отличен от нуля» Однако, если он полностью экранирован вакуумной поляризацией, дальнодействие и, тем самым без-массовость поля оказывается под вопросом. Нерелятивистким аналогом эффекта экранировки может служить экранировка дально -действующего кулоновского поля в плазме.

В качестве иллюстрации полной экранировки заряда калибровочной теории поля, Швингер предложил/"787 » /79,7 модель квантовой электродинамики в двумерном пространстве-времени с исчезающей электронной массой/модель Швингера/. В двумерии масса и заряд имеют одну и ту же размерность. Естественным безразмерным параметром модели, следовательно, является отношение ^/е массы фермиона к его заряду. Таким образом, предел 7п-> О соответствует пределу неограниченно растущей константы связи.

Дальнейшему обсуждению в контексте модели Швингера проблема массы калибровочного поля подвергнута в работах Брауна /"347 и Зумино /867 » • в работе /8б7 подчеркнуто, что если в электродинамике имеется ввиду калибровочная группа без введения дополнительных штюкельберговских скалярных калибровочных полей, то калибровочная инвариантность ведет с необходимостью к нулевой голой массе фотона.

Рассмотрим поляризационный оператор который соответствует сумме всех собственно-энергетических фотонных диаграмм. В калибровочно-инвариантной теории оператор должен иметь поперечную форму:

Соответственно, полный фотонный пропагатор Iдолжен иметь вид: (1.4) где йМ= (1.5) и ^ - параметр калибровки.

Положение полюса функции определяет физическую фотонную массу. В теории возмущений обычной четырехмерной квантовой электродинамики функция П(Кг) регулярна в точке » откуда следует, что физическая масса фотона равна нулю. Ненулевая фотонная масса может возникнуть если/^^^р при Кг->0 • С такой ситуацией имеем дело в двумерной квантовой электродинамике Швингера. Действительно, из-за двумерия/5з7 полный фотонный пропагатор (1.4) модели Швингера

- * можно получить суммируя бесконечный ряд повторяющихся простых собственно-энергетических диаграмм

1.6) где линия соответствует свободному пропагатору а петля - поляризационному оператору

Отметим, что вычисление последнего выражения по правилам Фейнмана не является непосредственным. Мы должны специально позаботиться о калибровочной инвариантности. Для этой цели можно воспользоваться регуляризацией Паули-Вилларса [ь] , [ ЪЪ] , определяя

7Г)

-ГХ(р^кОР)} где М - вспомагательная масса,

1.9) м р-н/И

- свободные пропагаторы фермиона, или, что более экономно, использовать процедуру размерной регуляризации /61/ ,/бб7 » определяя

В последнем случав, если использовать об - параметрические представления/"5] функций £ нам понадобятся формулы/"о] : и о г

4-ге ¿(ар+2£.р) Р • в1

Ре -/¿а)Лр а р)* ре ^е зг / о* С .4-2€ ¿(арг+2ё./>)

РР^е = I а £

1.12) я*2 «г

Из формулы (1.8) видно, что функция Л с в модели е*

Швингера имеет вид ■ и соответственно

0(*Л) = - * (1ЛЗ) от что означает наличие ненулевой, равной , массы у фотона в модели. Этот результат обязан нулевой массе фермиона, что как говорилось выше соответствует бесконечно поляризованному вакууму» Мы видим как один динамический фактор может изменить спектральные свойства фотонного пропагатора. В четырех-мерии тоже мыслима подобная ситуация, если связь с векторным током достаточно сильна [и] ♦

Динамическое появление полюса в П(хг) при /<г~0 называется в литературе механизмом Швингера. Энглерт и Браут/497, [ъо] и Джекив и Джонсон/"63^ пересмотрели заново идею Швингера и показали как может работать этот механизм в случае размерности 4 : полюс в П(кг) может возникнуть, когда безмассовой фермион приобретает массу в результате спонтанного нарушения симметрии. /В работе/бЗ7 предположено существование решения ¿(р) уравнения Швингера-Дайсона для фермионного массового оператора, нарушающее киральную симметрию:{ Механизм Хигеса в калибровочных теориях с нарушенной симметрией также может быть истолкован как специальная-реализация механизма Швингера : отличное от нуля вакуумное среднее канонического скалярного поля, взаимодействующего с векторным бозоном дает полюсной вклад в поляризационный оператор.

Видно, что несмотря на двумерность модели Швингера» она является физически поучительной, а в ходе исторического развития идей калибровочных полей и имеющей определенное эвристическое значение. Оказывается, модель правильно воспроизводит также и ряд особенностей актуальной теории сильного взаимодействия - квантовой хромодинамики /КХД/,таких как асимптотическую свободу, конфайнмент кварков и др. Обратимся более подробно к этому вопросу.

Ренормгрупповым подходом /54/ , [ъъ] , [ы] предлагается решение КХД в трех этапах : во-первых, рассмотрение предела малых расстояний, во вторых, рассмотрение предела больших расстояний и в третьих - установление связи мезду двумя пределами. В квантовой электродинамике в двумерном пространстве-времени /КЭД2/ такую программу можно выполнить в явном виде /зз/ •

Рассмотрим двумерную квантовую электродинамику как модель квантовой хромодинамики с одной цветовой /"глюонное поле" / и одной ароматовой /"кварковое поле" У- / степенями свободы. Имеем максвеловские уравнения:

1.14)

1.15) где ЕМ - напряженность поля и дираковское уравнение

1.16)

Эти уравнения получаются из калибровочно-инвариантной плотности лагранжиана / г-М^ -л - ,

Х = + (1.17) с и(4)~ ковариантной производной • Здесь и дальше:

1.18) е ^^ ✓

1.19)

1.20)

1.21)

• / пока не будем уточнять процедуру квантования, которая как и в обычной четырехмерной электродинамике зависит от выбора специальной калибровки. В нашем обсуждении квантование будет развито вместе с нахождением решений полевых уравнений.

Физические наблюдаемые инвариантны относительно калибровочных преобразований

Такими калибровочно-инвариантными величинами в рассматриваемой схеме являются напряженность поля £(*) и "струнный оператор л-' Г*')*Х/>(* £ & (1.23)

С последним оператором связывается определенная физическая картина : операторы Т(х^х') построены с помощью операторов ровдения кварк-антикварковых состояний, связанных глюонными линиями и являются важным инструментом в квантовой хромодина-мике на решетке /85.7 •

Проследим сначала предел малых расстояний и выявление асимптотической свободы в КЭДг>. Из анализа размерностей величин теории /в длине / , в естественной системе У /

-f (1-24) dim e = / , m = / sH> 1 получаем, что функции üj (P,7*1) высших поправок в разложении кваркового оператора

Q (p.p'sej =-, „ ^ ^ - + (1.25)

- / p-7П где o¿ - , могут быть представлены в виде

1.36) - безразмерная функция. Отсюда легко получить уравнение ренормгруппы

1.27) которое при больших а дает нам ъ) - ■ (1.28)

Таким образом, лидирующий член в (1.25) при малых расстояниях * . * есть свободный. Это рассмотрение показывает, что асимптотическая свобода является трвиальным свойством теории с константой связи с положительной массовой размерностью /сверхперенормиру-емые теории/. КЭД2 дает нам пример такой теории. В перенормируемых теориях с безразмерной константой связи вклад в асимптотический предел дают члены каждого порядка теории возмущений и описание свойства асимптотической свободы, как известно, делается более рафинированными методами [ъч] ,/70.7. Обсуждение этих методов в рамках КЭД2 можно найти в работе/Ц/ .

Обратимся к инфракрасному пределу КЭД^. Самая поразительная загадка кварковой модели - отсутствие изолированных кварков предположительно решена гипотезой инфракрасной нестабильности/инфракрасного заточения//"84/. В терминах ренормгруппы последнее означает при ^ о . Так как последовательной теории сильной связи нет, приходится делать специальные предположения относительно механизма приводящего к кон -файнменту кварков. Имеются два типа идей: во-первых, потенциал между кварками, обусловленный глюонным обменом, изменяется в инфракрасной области от потенциала кулоновского типа ^/ь при /V? сх=> к "конфайнинг'Чютенциалу »растущему при больших . /В КХД в двумерном пространстве-времени расчеты показали линейный рост/62^//. Второй круг идей оперирует тем обстоятельством, что сильная связь должна привести к формированию связанных состояний в сильно поляризованном вакууме, один феноменологический способ описания таких связанных состояний состоит в соответствующей модификации лагранжиана при которой полевые уравнения имеют класси -ческое солитонное решение. Другим таким способом является моде льпмбшковп. Мы рассмотрим эти подходы на языке КЭД2. Для этого учтем, что предел , соответствует т^о т.е. в этом пределе мы имеем случай точно решаемой модели Швинге-ра.

Простая структура алгебры матриц Дирака в двумерии дает возможность решить безмассовое уравнение Дирака для произвольного глюонного поля. Будем использовать калибровочное условие Лоренца с^/)*=() . Специфической особенностью двумерия является то обстоятельство, что если векторное поле имеет нулевую дивергенцию, оно может быть записано как ротор от некоторого скалярного поля: в*{*)= е^ъ №, = зГ*') (1.31)

Поэтому запишем

Д^Х) = - -^Ч ^ (1.32)

Тогда, пользуясь матричным соотношением (1.21) можем записать ' * / решение уравнения (1#30) в виде е ъг*) (1.зз) где

1-34)

Введем векторные и аксиально-векторные свободные токи

Они сохраняются и связаны соотношением

X) (1.36) откуда следует, что ^' удовлетворяет волновому уравнет нию

У £ = * (1.37)

Обсуждение квантованного уравнения Максвела

Ъ*ГГх) = -е1{х) (1.38) у* /* требует корректного определения ^{х) в терминах взаимодействующего дираковского поля ^(х) . Следуя Швингеру/787, , записываем следующее калибровочно-инвариантное определение тока: л т Г 7 С1*39) о

Тогда можно показать, что

•им+4/*) (1.40) где ^ - свободный ток квантованного поля , удовлетворяющий уравнению (1.37). Если отсюда определимыми под/ ставим в уравнение (1.38), получим для калибровочно-инвари-антного тока уравнение Клейна - Гордона а.«) . « г

Уравнения (1.33,34) и (1.32,37,40,41) показывают, что кварковое и глюонное поля модели Швингера связаны со свободными полями. В работе/"677 установлено, что релятивисткое ковари антное решение в операторной форме может быть выражено через свободные квантованные поля э {х) , , определенные уравнениями и комутационными соотношениями ъг+ О , ¿А(х-х';£)} (1.42а)

У;Гх)=-0) £>{х-х')^ (1.426) следующим образом

Г(Х)= (1.43Г) где

А р/> 1/>х. (х.45)

Обсудим некоторые особенности процедуры квантования. В определении коммутационной функции интеграл не существует при • В этом случае необходима регуляризация инфракрасным параметром :

Таким образом калибровочное поле квантуется при помощи индефинитной метрики. Это ведет к локальным коммутационным соотношениям щ £ ^ = 4 £ х), а %')] = (1.47) с одной конечной константой перенормировки и сглаженным поведением на световом конусе /39/ , /74/ . /Для простоты выражения ¿^ использовано, чтъ/тг // Квантовые поля (1.43) удовлетворяют уравнению Дирака г

1.30), а также и уравнению & е^ Гх) (1.48)

Поэтому уравнение Максвела (1.38) выполняется только для фиА зических состояний, определенных условием у (х)/<рид. состоянилУ — О (1*49)

Из квантовой электродинамики в четырехмерном пространстве-времени мы знаем, что физические состояния образуют подпространства, определенного вспомагательным условием [ъ]. Здесь физическое содержание решения (1.43) представлено калибровоч-но-инвариантными наблвдаемыми и относительно которых физическое подпространство инвариантно. "Струнный оператор" вычисляем при помощи уравнений (1.43): т (.,*•)- (1>50) где с

К = е V у- Мр т6

1-51)

Для физических состояний использование условия (1.49) ведет к , х. 71 / ' — ~ д- (г

-г + -2>/ А /----где (1.53) с- г- ' О - свободные заряды, V »Л потенциалы свобод. '. .г ^ ^ ных токов^^ , ^ . Подходящим образом размазанный интеграл по сходится к оператору со свойствами/67.7 : ' (1.546)

0 (1.54В)

5; <?]= 41 , £% ^ (1-54Г)

Рассмотрим сначала физику, связанную с (Г -полями/407, /73/ . Операторы не зависят от /V /ур.(1.546)/. Они генерируют бесконечномерное пространство вакуума:

Собственные состояния в б сг/% в>= е' оу ' (1.55) образуют орт ©нормированный базис. Так как/<£^ ФСу^-О , все состояния соответствуют одному и тому же собственному значению . При этом, как следует из (1.54), в пространстве собственных векторов опре I» делены преобразования группы

Вырождение вакуума свидетельствует о его сильной поляризации, а неинвариантность относительно группы и(*)хиО) - о спонтанном нарушении симметрии. Согласно уравнению (1*51) наблюдаемые зависят только от д=вф-д . Поэтому они инвариантны относительно фазовых преобразований . Мы видим, что в теориях с такими наблюдаемыми вакуумная поляризация, описываемая параметром в влияет сильно на динамическую структуру. Таково положение и в массивной двумерной квантовой электродинамике, которую мы рассмотрим дальше.

Остановимся перед этим на вопросе о конфайнменте кварков в модели Швингера. Все физические состояния получаются здесь в результате действия калибровочно-инвариантных наблюдаемых на вакуум/^ ву . Следовательно, они состоят из свободных частиц массой описываемых полем фГх) . Так как т

Щ №]-[ЪЖЯЪ,&*'>] = 0 (1.57) то эти частицы бесцветны. Кроме того, их поле происходит из "кварк-антикваркового" выражения в правой стороне уравнения

Ь"ф(*)- ■ (1.43)

Отсюда следует, что они представляют собой мезонами. Эти мезоны, получившие в литературе название пФ - мезонов" бесцветны^ мы имеем полный конфайнмент кварков. Чтобы получить динамическое объяснение этого явления можем рассмотреть кварк-антикварковое состояние ТТёУ^)/0^ и вычислить среднее значение энергии

Таким образом, для разведения кварка и антикварка на бесконечное расстояние друг от друга необходима/линейно растущая/ бесконечная энергия. С другой стороны, "голый11 кварк без его глюонного поля не является, как мы видели, физическим состоянием. Б работе [ЪЪ] показано, что в массивной КЭД2 конфайн-мент появляется таким же образом.

В этом анализе возможностей модели Мвингера важны по крайней мере два обстоятельства. Во-первых, мы имеем теоретико-полевую модель, в которой бесконечно большие "ограничивающие " силы между кварками совместимы с принципами релятивизма. Во вторых, из КХД на решетке мы имеем указания, что конфайнмент кварков в реальном четырехмерном мире получается подобным образом/"85,7 •

Поскольку модель Швингера асимптотически свободная, кварки должны наблюдаться как партоны. В работах/37/ »/38/ рассматривается двумерный аналог реакции - адроны" в котором "скалярное фотонное" поле связывается с оператором Корреляционная функция ¿<р/Т5Гх)5(о)/о^> показывает партонное поведение: о1Т5Шо)/°> = г-, ггтл (1.59)

X-¿О с этим выражением можно связать /377 , /387 следующую карти ну процесса пе*£* - адроны". В начальный момент пара кваркантикварк распространяется свободно. Далее поле между ее зарядами вызывает сильную поляризацию вакуума, т#е. возбуждается кварк-антикварковое "море". Затем первоначальные кварк и антикварк "подхватывают" из этого моря партнеров, что приводит к превращению каждого из них в адроны.

Рассмотрим теперь вопрос о связанных состояниях в массивной двумерной модели спинорной квантовой электродинамики с "голой" массой фермиона тп. . Индуцирует ли вакуумная поляризация такие состояния? Чтобы ответить на этот вопрос, с помощью уравнений (1.43в) и (1.50), вычисляем плотность гамильто * ниана

772 : ^Гх)У-Гх): = :2-/*лФУ*)-\ - (1.60)

• - *

Эта операция преобразует КЭД£ в каноническую систему с оператором Гамильтона [ъъ] , /74/ :

61) о ^ "2

Важное влияние вакуумной поляризации описывается фазой & . . £ / В пределе сильной связи -г>772 имеем тяжелые <р - мезоны массой — . Поэтому в первом приближении можно пренебречь многочастичными взаимодействиями и использовать нерелятивисткое приближение /^Оу7. Ограничение двухчастичными взаимодействиями приводит гамильтониан к выражению:

Н(4>= : (1-63) где , , а знаки " * " соответствуют двум характерным фазам /притяжению и отталкиванию соответственно/« С другой стороны, в нерелятивистком приближении число частиц сохраняется и реализуется нерелятивисткая кинематика. Пользуясь нерелятивисткими соотношениями

ФТафгч]*

0 > <-> в(К); £4«')]= И«'«') , получаем из Н^выражение для нерелятивисткого гамильтониана

В этом приближении, из гейзенберговских уравнений движения получаем

- (Я -ф (1'66) т.е. поля 1Г и /^являются решениями так называемого нелинейного уравнения Шредингера. В случае Л>о , когда вакуумная поляризация ведет к сильному притяжению ф - мезонов,

Так как это решение периодическое по времени его можно про-квантовать методами ВКБ или Бора-Зомерфельда. Результат для энергии стационарных состояний дается формулами:

Главное внимание в нашем обзоре мы уделили двумерным полевым моделям и их аспектам наиболее плотно соприкасающимся с реальными проблемами последовательной теории сильного взаимодействия. Этр безмассовая и массивная модели Швингера. Конечно, этим не исчерпывается значение и применение двумерных полевых моделей. Точной решаемостью модели Швингера можно в принципе пользоваться и в других актуальных задачах /см.напр. [ш] /. В главе II мы ставим себе задачу проанализировать в какой связи находятся ренормгру-пповые решения для функций Грина и точные решения в модели Швингера.

Кажется, также, интересным проследить эффекты поляризации вакуума в несколько измененной двумерной модели кван

1 ^ 3 з ^

З72 П/*92

1.68)

V = —г/ Ъ , 72=

Л "

-товой электродинамики с феноменологическим паулиевским членом с аномальным моментом. Квантовые эффекты во внешних полях происходящие из-за наличия аномального магнитного момента у фермионов, интенсивно обсуждались в литературе /427 »/~437 » /60/ в связи с возможными астрофизическими применениями. В главе III мы рассматриваем рождение пар и стабильность вакуума в двумерной спинорной электродинамике с аномальным "магнитным" моментом во внешнем однородном поле.

Четвертая глава посвящена изучению поляризации вакуума двумерной скалярной электродинамики в поле двух внешних зарядов. В отличив от главы III, здесь рассматриваемое поле не является однородным во всем пространстве, что вносит существенные технические усложнения и требует иных методов анализа.

ШВА II

МЕТОД РЕН0РМАЛИЗАЦИ0НН0Й ГРУППЫ В ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ШВЙНГЕРА

2Л. РЕНОШАЛЙЗАЦИОННАЯ ГРУППА В КВАНТОВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ

Метод ренормализационной группы возник 30 лет назад вслед за созданием аппарата ренормировок в квантовой теории поля. Было замечено, что преобразования мультипликативных ренормировок квантованных полей и констант связи образуют группу, причем наблюдаемые величины /матричные элементы 3 -матрицы/ инвариантны относительно этих преобразований. Выяснилось также /54/ , что свойство ренорминвариантности квантовой теории поля налагает определенные ограничения на вид зависимости квантовополевых функций Грина от своих аргументов, что в ряде случаев позволяет явно найти некоторые характеристики этой зависимости, а именно асимптотику функций Грина по импульсам. Эффективно, применение метода ренормгруппы соответствует суммированию лидирующих асимптотик бесконечных подклассов диаграмм Фейнмана.

В настоящее время метод ренормгруппы широко используется как для чисто теоретических изысканий в области квантовой теории поля, например для нахоздения ультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик функций Грина в разных моделях, для исследования динамического нарушения симметрии и т.д., так и для изучения высокоэнергетического поведения ряда физических процессов: глубоконеупругих лептон-адронных реакций, электрон-позитронной аннигиляции в адроны и др. Повидимому, наиболее известной формулой, ассоциируемой с термином "ренормализационная группа" является выражение для эффективного заряда в приближении главных логарифмов

При а<0 /ситуация так называемого "нуль заряда"/ имеет нефизический полюс и соответствующая квантовополевая теория/квантовая электродинамика/ оказывается внутренне несогласованной. Если же <2>0 ¿асимптотическая свобода"/, то с ростом импульса эффективная константа связи £ монотонно стремится к нулю, т.е. взаимодействие исчезает на малых расстояниях. Это позволяет использовать асимптотически свободные модели для описания лептон-адронных процессов с большой передачей импульса. Выражение (11.1.1) для эффективного заряда является на сегодняшний день основой большинства приложений ренормгруппы в физике. Но вместе с тем, метод ренормгруппы представляет собой и последовательную схему вычисления поправок к этой формуле. Могут ли высшие поправки в случае нуль-заряда как то исправить ситуацию, а в случав асимптотической свободы - дать дополнительную полезную информацию о высокоэнергетических асимптотиках, улучшить согласие теории с экспериментом? Эти вопросы продолжают быть объектом обсуждения.

В основе всех квантовополевых приложений ренормгруппы лежат ренормгрупповые уравнения. Изложим коротко некоторые детали ренормгрупповой инвариантности, вывод соответствующих ренормгрупповых уравнений и их анализ [ь] для спинорной квантовой электродинамики.

Ренормализационная группа представляет группу мультипликативных преобразований/учтено тождество Уорда = ^ /

11.1.3) содержащихся в теории промежуточных величин типа функций Грина 4е^/электронная/,/фотонная/, о(-} /вершинная функция/, зарядов и параметров калибровки , которые не приводят к каким-либо изменениям в выражениях для наблюдаемых эффектов. В частности при преобразованиях из этой группы не меняют своих значений элементы матрицы рассеяния.

Группа преобразований (11.1.2) позволяет получить для функций Грина простые функциональные уравнения, а также и дифференциальные групповые уравнения Ли. Поскольку в следующих параграфах мы будем иметь дело с фотонной ¿^¿{х) и электронной (Р) функциями Грина сосредоточимся на рассмотрении групповых уравнений только для этих функций. В соответствии с (11.1.2) в функциях и С? содержатся мультипликативные конечные произвольные постоянные. Если записать (11.1.3) радиационные поправки не даш вклада в /,

772 то произвольный множитель, например пр^ функции ^А^пере-носится в ее аргумент и задается нормировочным условием: сС = / при Кг= , (ПЛ. 5) где 7\г играет роль квадрата импульса нормировки.

Нормировка на единицу возможна лишь при тех значениях

2г , когда обычная /нормированная при А=о / фотонная функция с10 является действительной и положительной. Это связано с тем, что перенормировка функции с( осуществляется той же величиной , которая перенормирует и квадрат заряда и поэтому должна быть действительной и положительной. Условие действительности с{ при в соответствии с формулами второго порядка и при учете высших порядков теории возмущений приводит к условию

О . (Н.1.6)

С другой стороны, рассмотрение пространственно-подобных импульсов нормировки диктуется тем, что при времени-подобных импульсах амплитуды приобретают абсорбтивные части, которые отличны по своей структуре от затравочных выражений.

Из соображений однородности в импульсном пространстве дальше вытекает, что с{ может быть представлена функцией от безразмерных импульсных переменных причем 7 г< о и

11.1.8)

Подобным образом можно фиксировать постоянную 2 , наложив условие нормировки на одну из функций и или 3 , которые с учетом однородности в пространстве импульсов можно записать в виде

•>( Я*г Я" ' '/ (11.1.9)

Как видно из (11.1.8), квадрат импульса нормировки функционально связан с зарядом оС • Подставляя (II*1*3) в уравнение

П.1.10) с учетом уравнения

V ^ / находим о/ = V. (ПЛ. 11) г

Полагая здесь и учитывая (11.1.8) получаем для выражение пллз) подставляя которое в (11.1.12) приходим к функциональному уравнению для Ы :

Л Ъ ' ' причем = * ■ (ПЛЛ5)

Аналогичные рассуждения приводят к следующему функцио -нальному уравнению для двух функций О. и 8 , обозначенных общим символом Я : г 5 л2. * Г /

11.1.16)

Уравнения (II.1.14), (II.1.15), (11.1.16) принимают более компактный вид в обозначениях:

П.1.17) 4 4 * ' '

Имеем ? ¿Л«)-у) (IX» 1.18)

5«Г=

11.1.19)

Последние уравнения накладывают определенные ограничения на функциональный вид функций £ и Я , являющиеся отражением некоторой автомодельности функций Грина.

Вместо функциональных уравнений часто оказывается удобным использовать дифференциальные уравнения группы. Эти уравнения получаются следующим образом: дифференцируя (11.1.18) и прологарифмируй, а затем дифференцируя (ПЛ.19), получаем

• • У

--, (11.1.20)

ЭАг 5 (х^,*;■*<!>,)

2л где Ъх

11.1,22)

11.1.23)

Л' /Г-/

Структура решений функциональных уравнений группы, показывает, что ограничения на функциональные зависимости функций Грина £ и ^ оставляют еще большой произвол функционального типа. Это связано с тем обстоятельством, что в решениях уравнений не отражена динамика. Дополнительная информация может быть почерпнута из теории возмущений. Иными словами, можно фиксировать функциональный произвол из соображений соответствия с теорией возмущений. Этим путем удается улучшить аппроксимационные свойства разложений теории возмущений в случаях,когда члены этих разложений убывают недостаточно быстро. Такая ситуация возникает в ультрафиолетовой и инфракрасной областях импульсных переменных, когда эффективным параметром разложения является произведение постоянной тонкой структуры на большой логарифм.

В третьем параграфе настоящей главы, мы, следуя описанной схеме, получим уравнения ренормгруппы для модели Швингера квантовой электродинамики и найдем их решения, проводя соответствие с выражениями функций О и во втором порядке теории возмущений.

2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФЕРШ0НН0Г0 ПР0ПАГАТ0РА В ТЕОРИИ возмущений до ог3 .

В целях дальнейшего анализа нам будут полезны выражения для радиационных поправок к фермионной функции Грина в безмассовой модели Швингера. Их вычисление сделано в работе 21 вплоть до ъ калибровке Фейнмана / .

Лагранжиан модели Швингера запишем в виде

-¿гУг-^^-^*" , (И.2.1) где

11.2.2)

У = ' , у*

Примем,как и в гл.1, следующие обозначения: для свободной фермионной функции Грина

-л

11.2.3) для свободной фотонной функции Грина

Полная фермионная функция Грина С^/р) содержит всевозмокные радиационные поправки типа собственной энергии. Так как в двумерном случае выполняется специфическое алгебраическое соотношение

11.2.5) определение /* -матриц дано формулами (1.19)/, то анализ в случае калибровки Фейнмана приводит к результату, что отличные от нуля радиационные поправки вплоть до 6-ого порядка даются диаграммами

11.2.6)

11.2.7)

Аналитическое выражение диаграммы четвертого порядка (11.2.6) есть

• Ш.М)

Поляризационный оператор п ^вычислен в гл.1/формула (1.8)/:

П»(1 - £(г*- &

Подстановкой этого выражения в (11.2.8) и интегрированием с помощью исчезающей фотонной массы » выполняющей роль параметра инфракрасного обрезания, получаем

Радиационные поправки 6-ого порядка даются диаграммой (II.2.7), которая имеет следующее аналитическое выражение:

2ъ)<

11.2*10)

Здесь снова используем выражение для поляризационного оператора (1.8). Вычисления аналогичны, но довольно длинные. В результате получаем г'Ч ,

Т1 /Т^Х ' (П'2Л1)

Сумма диаграмм

-+ ^J

II. 2.12) дает нам соответствующее аналитическое выражение

II.2»13) откуда, принимая в виду выражения (II.2.9) и (II.2.11) имеем & 4

II. 2. 14:)

В рамках рассматриваемой точности, это выражение совпадает с полученным в работе/207/см.ур.(11.3.146)/.

2.3. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РЕНОРМГРУППЫ ДЛЯ ПРОПАГАТОРОВ В МОДЕЛИ ШВИНГЕРА

Как известно, в квантовой теории поля ряды теории возмущений являются не сходящимися, а, в лучшем случав асимптотическими. Поэтому возникает вопрос о том, насколько адекватно суммирование бесконечных рядов теории возмущений с помощью метода ренормализационной группы. Чтобы в какой-то степени ответить на этот вопрос естественно попытаться применить метод рвнормализационной группы к точно решаемой модели квантовой теории поля и сравнить выражения, получаемые с помощью этого метода с точными. Как нами будет показано, метод рвнормализационной группы позволяет правильно восстанавливать только те члены в высших порядках теории возмущений, в которых сохраняется аналитичность по константе взаимодействия.

Рассмотрение проведем на примере модели Швингера безмассовой квантовой электродинамики/"20/в двумерном пространстве -времени. Полные пропагаторы бозонного и фермионного полей модели Швингера имеют в импульсном представлении вид где О и /чЗ* -лоренц-инвариантные функции. Добавление в лагранжиан модели - у^/й^ е=/5гу<. (1Л7) конечных контрачленов приводит к мультипликативным перенормировкам функций Грина (11.3.1) аналогично тому, как это имеет место в случае спинорной электродинамики в четырехмерном пространстве-времени. Поэтому можно использовать известные аргументы метода ренормализационной группы /см.напр./57»/547» а также и изложение в п.2.1/ с дополнительным учетом того обстоятельства, что в двумерной электродинамике константа взаимодействия является размерной величиной, в отличие от случая четырехмерной электродинамики. Поступая таким образом, определим перенормированные пропагаторы

11.3.3а) *$) • (п-3-2б> что соответствует введению новых функций Ж и 5 вместо О и 5 .

11.3.3а)

П.З.Зб) где

11.3.4) л~ л* > * л* ' ^ и новых констант и вместои ^ : у" ^sfDC-fj/**) , (II.3.5a) *

-^— . (II.3.56)

Как видно из определения (II.3.3), параметр является импульсом нормировки функций d и 5 т.е. dfojJ^sOj*,*)^ ' • (П.3.6)

Учитывая, что перенормированные функции (II.3.2), вычисленные при различных значениях параметра Я /например и / отличаются мультипликативным фактором, и определяя этот фактор с помощью условия нормировки (II.3.6), получим следующие функциональные уравнения для лоренц-инвариантных функций d и £ : t (II.3.7a)

Sfrjtf'sfaysff.ijfajj-f) . (II. 3.76)

Дифференцируя уравнения (II.3.7), получиы дифференциальные уравнения Ли ренормализационной группы

A dfa)- irgdCw)) в (шз.8а)

II.3.86) где c-vir>JI!!KI

11.3.9) 7

Уравнения ренормализационной группы позволяют проводить частичное суммирование ряда теории возмущений по известным первым членам этого ряда. Чтобы увидеть это, вычислим в начале вклад однопетлевых диаграмм Фейнмана, отвечающий второму порядку по константе взаимодействия. Получим /см.(1.6),(1.8), а также п.2.2/ г

2) рг с в ^ ^

П.ВЛОа)

II.3 ЛОб)

Используя (11.3.3), найдем функции и с точностью до второго порядка по

11.3.11а) 5 г) 4 "

•£-1) • (П.3.116) и, соответственно, функции ^ и У" в этом приближении

11.3.12а)

11.3.126)

Подставляя последние в уравнения (11.3.8) и интегрируя эти уравнения, получаем н, (11.3.13а)

5 2) -у] "еур/'^а -')] • (И. 3.136)

Таким образом, мы нашли функции с( и 5 в приближении,учи- . тывающем все порядки теории возмущений по степеням • Отметим, что, в отличив от четырехмерной электродинамики, в данном случае суммируемые члены не являются логарифмическими. Формулы (11.3.13) справедливы в области пространственно-подобных импульсов -/> , и имеют конечный предел при оо , что отражает факт отсутствия ультрафиолетовых расходимостей в двумерной электродинамике. Переходя к пределу

2 Л в (II.3.13) и учитывая, что при ЭТОМ а/. , осуществим переход от и 4* к и ^ • в результате получим

0(Р*^У==(^г) , (П.3.14а) г,— ^ • (II. 3.14<3)

4/г

Таким образом, применение метода ренормализационной группы позволило, исходя из второго порядка теории возмущений (11.3.10) найти пропагаторы в приближении, соответствующем суммированию во всех порядках некоторых членов ряда теории возмущений.

2.4. СРАВНЕНИЕ С ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПРОПАГАТОРОВ

Рассмотрим вопрос о том, насколько результаты, полученные с помощью метода ренормализационной группы, соответствуют точным решениям уравнений для функций Грина.

Если обратиться к точному решению для бозонного пропа-гатора в модели Швингера /787 /см.,также(1.4)и(1.13)/ у и.4.1) то, как видно, оно находится в точном соответствии с полученным нами выражением (11.3.14а) для лоренц-инвариантной функции О •

Что касается фермионного пропагатора, то здесь мы сталкиваемся с иной ситуацией. Точное решение для фермионного пропагатора в калибровке -О было получено Швингером в координатном представлении в следующем виде/": ар=о ' ' г «л где & (*)=—^г - пропагатор свободного фермионного поля. Проинтегрировав по К в (11.4.2), получим ^Мехр^О*^;^)] , (11.4.3) где к (гЯГ/)-1Г (П-4-4) К0 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка/. Переходя в импульсное представление, получаем здесь - функция Бесселя первого порядка/.

В формулах (11.4.3) и (11.4.5) нами оставлена малая мнимая добавка ¿€ в силу следующих соображений. Если, как это обычно делается, после интегрирования по К в (II.4.2) взять предел о } то в выражениях для пропагаторов возникает неаналитическая особенность при . Действительно, исполь^ зуя разложение функции Бесселя в (11.4.3) при малых значениях аргумента, получаем где - постоянная Эйлера. Разлагая экспоненту в

11.4.5) и интегрируя /см.приложение А/, получаем

Возникновение этой /логарифмической/ особенности по у* обусловлено инфракрасными расходимостями, связанными с двумер-ностью пространства-времени. Как видно из (11.4.7), в импульсном представлении эта особенность проявляется, начиная с четвертого порядка теории возмущений по ¿и . В соответствии с этим, вклад двухпетлевых диаграмм Фейнмана в собственную энергию фермиона оказывается инфракрасно расходящимся в ка

- 46 либровке ^ = о . Однако, как видно из вычислений в предыдущем пункте/207 в калибровке вклад двухпетлевых, а также трехпетлевых диаграмм в собственную энергию фермиона является конечным. Поэтому представляется интересным обобщить выражение (11.4.5) на случай с/^о. Формула перехода к произвольной калибровке ^^о для фермионного пропагатора в координатном представлении имеет вид /см.например[ъ] / (11.4.8) где /в двумерном случав/ г е*** р(х) = )—2 . (II.4.9)

Переходя в импульсное представление, получаем г Г о где

Разложение лоренц-инвариантной функции S по степеням имеет вид до 2

Ь=/ где х> суммирование в (11.4.13) проводится по всем целым положительным решениям уравнения + Рассмотрим несколько нижайших коэффициентов Сп /по поводу вычисления интегралов от функций Бесселя см.приложение А/:

С (в)=- № -<]

1 1 у 46 I 1 У (11.4.14) /- V ^

- т -¿у*/

11.4.15) У-*»)*.

Как видно из (11.4.14) и (П.4.15), в калибровке коэффициент приуи в разложении (11.4.12) становится сингулярным в пределе ¿2-* о , что находится в соответствии с (11.4.7). В калибровке этот коэффициент конечен, поэтому рассмотрим следующие коэффициенты

3 (в]/ = и 4~ в/

11.4.17)

Таким образом, в разложении точного решения для фермионного пропагатора по степеням ^ инфракрасные расходимости проявляются в коэффициентах С^ при п^^ в случае / и при в случае .

Выражение для фермионного пропагатора, полученное с пог мощью метода ренормализационной группы (11.3.146), является аналитической функцией , так как оно не учитывает инфракрасных особенностей. Как видно из сравнения соответствующих функций, коэффициенты разложения £ по степеням ^ , имеющие предел при /т.е. Сг , С^ , С3 в случае и С/Л в случав 4 /, в этом пределе совпадают с соответствующими коэффициентами разложения функции (11.3.146) по степей ням уц . Таким образом, ренормгрупповая функция (11.3.146) правильно учитывает лишь ту часть точной функции (XI.4.12), в которой инфракрасная расходимость не проявляется.

Можно заключить, следовательно, что обычный метод ре -нормализационной группы, основанный на свойстве мультипликативности перенормировок и использующий результаты теории возмущений в ее первых порядках, позволяет восстанавливать только аналитическую по константе взаимодействия часть функции Грина. Для учета членов содержащих неаналитичность, требуется привлечение дополнительных соображений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Русев, Динко Георгиев

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1\] , /18/ , [1Ъ] , /¡207 , /21/ .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы :

1. Методом ренормализационной группы получены бозонный и фермионный пропагаторы в точно решаемой двумерной модели квантовой электродинамики. Путем сравнения с точными выражениями для этих пропагаторов установлено, что обычный метод ренормализационной группы, основанный на свойстве мультипликативности перенормировок и использующий результаты теории возмущений в ее первых порядках, позволяет восстанавливать только аналитическую по константе взаимодействия часть функции Грина.

2. Вычислены реальная и мнимая части эффективного лагранжиана двумерной квантовой электродинамики с аномальным магнитным моментом фермиона во внешнем однородном электрическом поле. Найдена зависимость плотности энергии вакуума от величины аномального магнитного момента и от внешнего поля. Показано, что вероятность рождения пар имеет максимум, положение которого зависит от аномального момента и величины поля. При критическом значении поля, когда эффективная масса фермиона обращается в нуль, у вероятности рождения пар появляется также минимум. При этом значении поля следует ожидать, по аналогии с моделью Швингера, возникновение массы у фотона.

3. В двумерной скалярной электродинамике получено замкнутое аналитическое выражение для энергии взаимодействия двух внешних статических зарядов в однопетлевом приближении. Это выражение является неаналитическим в нуле по константе связи и не может быть получено методами теории возмущений. Показано, что флуктуации вакуума приводят к усилению взаимодействия /конфайнмента/ зарядов на больших расстояниях. При этом установлено, что лидирующие члены в квантовой поправке к эффективному действию имеют один и тот же вид в безмассовом и массивном случаях.

4. Вычислена вероятность рождения пар неоднородным полем двух внешних зарядов в двумерной массивной скалярной квантовой электродинамике. Показано, что существует пороговое расстояние между зарядами с которого начинается рождение пар. В пределе больших расстояний между зарядами установлено соответствие с известной формулой Швингера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Русев, Динко Георгиев, 1984 год

1. Ахиезер А.И*, Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.-М.: Наука, 1969.- 623 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.1:/Гипергеометрическая функция и функция Лежандра/.-пер. с англ.-М.: Наука, 1965.- 292 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2-- М.: Наука, 1966.- 295 с.

4. Бейтмен F., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. 2. М.: Наука. - 327 с.

5. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей.- М.: Наука, 1976.- 479 с.

6. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля.- М.: Наука, 1980.- 319 с.

7. Буслаев B.C., Фомин B.C. К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей оси.- Вестник ленинградского университета, 1962, вып. 1, с. 56-64.

8. Владимиров A.A., Ширков Д.В. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики.- Успехи физ.наук, 1979,т.129, вып.З , с.407-441.

9. Градштейн Н.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов,сумм и произведений.- М.: Физматгиз, 1962. 1108 с.

10. Гриб A.A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат,1980.-295с.

11. Гусынин В.П., Русев Д.Г. Поляризация вакуума двумерной электродинамики в поле двух внешних зарядов.- Препринт ИТФ-84-78Р. Киев, 1984 г. 28 с.

12. Ли Т., Янг Ч. Сохранение тяжелых частиц и обобщенные калибровочные преобразования.-в сб. Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д.Иваненко.- М.: 1964, с. 39 41.

13. Майер М.Э., Ширков Д.В. О двумерной модели Тирринга.-Доклады АН СССР, 1958, т. 132, 11, с.45-47.

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.- М.: Наука, 1981.- 798 с.

15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.« т.2.-пер. с англ.- М.: Мир, 1978.- 395 с.

16. Рисс Ф., Секефальви Надь.Б. Лекции по функциональному анализу.- пер.с англ.- М.: Мир, 1979.- 587 с. .

17. Рубаков В.А. Сверхтяжелые магнитные монополи и распад протона.- Письма в 1ЭТФ, 1981, т.33, вып.12, с.658-660.

18. Русев Д.Г. Дзета-функция и эффективное действие для дира-ковских частиц во внешнем электромагнитном поле.- Научные труды Пловдивского университета /НРБ/, т.20, Ш 2, 1980-физика, с.23-27.

19. Русев Д.Г., Гусынин В.П., Фомин П.И. Эффективный лагранжиан в двумерной электродинамике с аномальным моментом.-Препринт ИТФ-83-113Р. Киев,1983/ Укр.физ.журнал, 1984, т.29, № 6, с.808-814.

20. Русев Д.Г., Ситенко Ю.А., Фомин П.И. Метод ренормализаци-онной группы в двумерной модели Швингера.- Препринт ИТФ-82-86Р. Киев, 1982./Укр.физ.журнал, т.27, № 12, 1982,с.1790-1797/

21. Русев Д.Г., Янев В.П. Диаграмные исследования фермионной функции Грина в безмассовой модели Швингера.- Науч.труды Пловдивского уни вереи те та/НРБ/, физика, 1979, т.17, N22, с. 35-39

22. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами.- Под ред. М.Абрамовича и И. Стигана.- М.: Наука, 1979.- 830 с.

23. Фаддеев Л.Д. Свойства 5 матрицы одномерного уравнения Шредингера.- в Трудах матем.ин-та им. В.А.Стеклова, t.73J Краевые задачи математической физики.-1964, с.314-336

24. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.-в сб.Современные проблемы математики, т. З.-М.,1974,с.93

25. Фок В.А. Собственное время в классической и квантовой механике.- йзв.АН СССР, сер.физика, 1937, с.551-568.

26. Хриплович И.Б. Взаимодействие классических Янг-Миллсовс-ких зарядов и проблема невылетания кварков.- ЖЭТФ, 1978, т.74, вып.1, с.37-42.

27. Швингер Ю. О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума.- В сб. Новейшее развитие квантовой электродинамики.- М.,1954, с.254-283.

28. Янг Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность.- В сб.Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д.Иваненко.- М., 1964, с.28-38.

29. Adler S.L. Effective-Action Approach to Mean-Field Hon -Abelian Statics, and a Model for Bag Formation.- Phys. Rev.,1981, D23, No.12, p.2905-2915.

30. Aoyama H., Kobayashi M. Pair Creation in Strong Electric Fields.- Progr. Theor.Phys., 64, 1980, p.1045-1057.

31. Arnison G. et al. Experimental Observation of beptonp

32. Pairs of Invariant Mass Around 95 Gev/c at the CeRN sps Collider.-Phys. Lett., 1983, 126 В, p.398-410.

33. Bailey W.N. Some Infinite Integrals involving Bessel Functions.- Proc.London Math.Soc.,1936,No.2,Vol.40,p.37-48»

34. Becher P„,Joos H. 1+1-dimensional Quantum Electrodynamics as an Illustration of the Hypothetical Structure of Quark Field Theory.- preprint EES! 77/43, July 1977.

35. Brown L.S. Gauge Invarianse and Mass in a Two-Dimensional Model.- II Nuovo Oim.,1963, Vol.XXIX,No.3,p.617-643.

36. Gallan C.G.,Jr. Broken Scale Invariance in Scalar Field Theory.- Phys.Rev.,1970,D2, No.8, p.1541-1547.

37. Callan G.G.,Jr. Disappearing dyons.- Phys.Rev., 1982, D25» No.8, p.2141-2146.

38. Casher A., Kogut J.,Susskind L. Vacuum Polarization and Quark-Parton Puzzle.-Phys.Rev.Lett.,1973, 31, p.792-795.

39. Casher A., Kogut J., Susskind L., Vacuum Polarization and Absense of Free Quarks.- Phys.Rev. D10, 1974,No.2,p.732-745.

40. Coleman S., Jackiw, Susskind L. Charge Shielding and Quark Confinement in the Massive Schwinge r Model.— Ann.of Phys. (N.Y.), 1975, 93, p.267-275.

41. Coleman S. More about the Massive Schwinger Model.- Ann.of Phys.(N.Y.), 1976, 101,No.1,239-267.

42. Coleman S., Weinberg E. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking.-Phys. Rev.,1973, D7, No.6, p.1888-1910.

43. O'Connel R.F. Effect of the Anomalous Magnetic Moment of the Electron on Spontaneous Pair Production in a Strong Magnetic Field.-Phys.Rev.Lett.,1968,21,No.6.p.397-398.

44. O'Connel R.F. Effects of the Anomalous Magnetic Moment of the Electron on the Nonlinear Lagrangian of the Electromagnetic Field.-Phys.Rev.,1968,176,No.5,p.1433-1437.

45. Crewther R.J.,Sun-Sheng Shei, Tung-Mow Yan. Renormalization Group and Axial-Vector Current in Two-Dimensional Quantum• Electrodynamics.- Phys.Rev.,1973,D8, No.6,p.1730-1734.

46. Dashen R.F.,Hasslacher B.,Neveu A. Partical Spectrum in model Field Theory from Semiclassical Functional Integral Techniques.-Phys.Rev,1975, Dll, No.12,p.3424-3450.

47. Dittrich W.,Tsai W.-Y., Zimmermann K.H. Evaluation of the Effective Potential in Quantum Electrodynamics.-Phys.Rev.,1979, D19,P.2929-2934.

48. Englert F.,Brout R. Dynamical Theory of Weak and Electromagnetic Interactions.-Phys.lett.,1964,49B,No.l,p,77-80.

49. Englert F., Brout R. Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons.-Phys.Rev.Lett.,1964,13,No.9,P.321-323.

50. Faddeev L.D.,Korepin V.E. Quantum Theory of Solitons.-Physics Reports,1978,Vol.42C,No.1,p.1-87.

51. Falomir H.,Gamboa R.,Saravi,Schaposnik F. Vacuum Behaviour in Two-Dimensional Scalar Electrodynamics.-Phys.Lett.,1980, Vol.94B,No.3,P.385-387«

52. Frishman Y. Quark Trapping in a Model Field Theory.-Lecture Notes in Physics,32 (Particles,Quantum Fields and Statistical Mechanics)

53. Gell-Mann M.,Low F.E. Quantum Electrodynamics at Small Distances-Phys.Rev.,1954, 95, p.1300-1312.

54. G-eorgi H., Politzer H.D. Electroproduction Scaling in an Asymptotically Free Theory of Strong Interactions.- Phys, Rev.,1974, D9, No.2.,p.416-420,

55. Gross D.J., Wilczek F, Ultra-Violet Behaviour of Non-Abe-lian Gauge Theories.-Phys.Rev.Lett.,1973,30,No.26,pl343-46,

56. Gross D.J.,Wilczek F. Asymptotically Free Gauge Theories.I.- Phys.Rev.,1973,D8, No.10,p. 3633-3652.

57. Gross D«J.,Wilczek P. Asymptotically Free Gauge Theories.II.- Phys.Rev.,1974,D9,No.4,p.980-992.

58. Hawking S.W. Zeta Function Regularization of i&th Integrals in Curved Spacetime. Comm.Math.Phys. ,1977133-148.

59. Hong-Yee Ghiu, Canuto V. Quantum Theory of an Electron Gas with Anomalous Magnetic Moments in Intense Magnetic Fields.- Phys.Rev.,1968,176, No.5,p.1438-1442.

60. G.'t Hooft, Veltman M. Regularization and Renormalization of Gauge Fields Nucl.Phys.,1972,B44, p.189-213.

61. G.'t Hooft. A Two-Dimensional Model for Mesons.-Nucl.Phys., 1974, B75,No.3,p.461-470.

62. Jackiw R.»Johnson K. Dynamical Model of Spontaneously Broken Gauge Symmetries.-Phys.Rev.,1973,D8,No,8,p.3286-3298.

63. Kaup D.J. Exact Quantization of the Nonlinear Schrodinger Equation.-J.Math.Phys.,1975,Vol.16,No.10,p.2036-2041.

64. Kirzhnits D,A.,Linde A.D. On the Vacuum Stability Problem in Quantum Electrodynamics.-Phys.Lett.,1978,73B>P»323-326.

65. Leibbrandt G. Introduction to the Technique of Dimensional Regularization.-Rev.Mod.Phys.,1975,Vol.47,No.4,P.849-876.

66. Lovenstein J.H., Swieca J.A. Quantum Electrodynamics in Two Dimensions.-Ann.of Phys.(N.Y.),1971,68,p.172-195.

67. Nielsen H.,01esen P. Vortex-Line Models for Dual Strings.-- Nucl.Phys.,1973,£1B, p. 45-61.69* Nohl G.R. Semiclassical Quantization of the Nonlinear Schro-dinger Equation.-Ann.of Phys.(N.X.), 1976,Vol.96,No.2, p.234-260.

68. Politzer H.D. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions. -Phys .Rev. Lett . ,1973 , Vol. 30 ,No .26 , p. 13 46-1349 .

69. Polyakov A.M. Quantum Geometry of Bosonic Strings.-Phys. Lett.,1981,103b,tp.207-210.

70. Polyakov A.M. Quark Confinement and Topology of Gauge Theories. -Nucl.Phys.,1977,B120,p.429-458.

71. Rothe K.D»,Swieca J.A. Gauge Transformations and Vacuum Structure in the Schwinger Model.-Phys.Rev. ,1977,D15.,No.2, p. 541-543.

72. Rothe K.D.,Swieca J.A. Fields and Observables in the Massive Schwinger Model.- Phys.Rev.,1977,P15,No.6tp.1675-1683.

73. Rubakov V.A. Adler-Bell-Jackiw Anomaly and Permion-Number Breaking in the Presence of a Magnetic Monopol.-Nucl.Phys., 1982, B203,No.2.,p.311-348.

74. Schwinger J. Gauge Invariance and Mass.-Phys.Rev.,125, 1962,No.1,p.397-398.

75. Schwinger J. Gauge Invariance and Mass.II.-Phys.Rev.,1962 No. 5 ,128, p. 242.5-2429.

76. Schwinger J. Gauge Theories of Vector Particles.-In: Theoretical Physics,I.A.E.A.»Vienna,1963,STl/PUB/61.-p.89-134.

77. Stern R. Dynamical Symmetry Breaking and the Renormalization Group.- Phys.Rev.,1976,D14, No.8,p.2081-2092.

78. Weinberg S. A Model of Leptons.-Phys.Rev.Lett.,1967,Vol.19, No.21,p.1264-1266.

79. Weinberg S. Non-Abelian Gauge Theories of the Strong Interact ions. -Phys. Re v. Lett . ,1973 , Vol. 31, No. 7, p. 494-49 7.

80. Wilson K.D. Confinement of Quarks.- Phys.Rev.,1974, DIP, No.8,p.2445-2459.

81. Zurnino B. Theories with Gauge Groups.- Acta Physica Austriaca /Supplementum II/,1965,p.212-233«

82. Zumino B. Charge Conservation and the Mass of the Photon.-Phys.Lett.,1964,Vol.10,p.224-226.