Динамика пробных тел в квантовых теориях поля со сложным вакуумом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор наук Шевченко Владимир Игоревич

• Шевченко Владимир Игоревич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Шевченко Владимир Игоревич

Введение

Глава 1. Общие свойства непертурбативного вакуума квантовой хромо-

динамики

1.1 Введение в Главу

1.2 Структура непертурбативного вакуума

1.3 Гауссов конфайнмент в стохастическом вакууме КХД

1.4 Заключение по Главе

Глава 2. Изучение структуры непертурбативного вакуума статическими

пробниками

2.1 Введение в Главу

2.2 Казимировский скейлинг статического потенциала

2.3 Взаимодействие петель Вильсона

2.4 Операторное разложение в теориях с конфайнментом

2.5 Статический потенциал на малых расстояниях

2.6 Заключение по Главе

Глава 3. Некоторые вопросы динамики лёгких фермионов во внешних

полях

3.1 Введение в Главу

3.2 Спонтанное нарушение киральной инвариантости и асимптотика операторного разложения

3.3 Кварк-глюонная материя в сильных магнитных полях

3.3.1 Киральный магнитный эффект (CME)

3.3.2 Киральная динамика в эффективных теориях

3.3.3 CME и корреляционные функции токов

3.4 Заключение по Главе

Глава 4. Динамические пробники и физика за пределами Стандартной

Модели

4.1 Введение в Главу

4.2 Нестационарная эволюция детектора Унру-ДеВитта

4.3 Петлевые процессы как пробники Новой Физики

4.4 Вакуумная структура моделей с нестандартной статистикой

4.5 Заключение по Главе

Заключение по работе

Благодарности

Приложение

Публикации результатов диссертации

Литература

Введение

Современная физика высоких энергий, часто по традиции называемая также физикой элементарных частиц, находится в данный момент (2018 год) в очень интересной точке своей истории. Со стороны теории положение характеризуется безусловным доминированием системы взглядов, известной под общим наименованием «Стандартная Модель» [1]. Открытие и формулировка Стандартной Модели (СМ) - возможно, самый выдающийся результат человеческого интеллекта за всю историю цивилизации.1 Уместно в этой связи процитировать выдающегося американского физика Р.Фейнмана, который писал: «Не может быть сомнений, что в восприятии наших потомков через, скажем, 10000 лет, самым значительным событием XIX века будет открытие Максвеллом своих уравнений. На фоне этого Гражданская война в Америке будет выглядеть мелкой провинциальной заварушкой» [2].

Четвёртого июля 2012 года на специальном семинаре в Европейской органиизации по ядерным исследованиям (ЦЕРН) в Женеве было торжественно объявлено об открытии последнего «кирпича» этого величественного здания - знаменитой частицы Хиггса - бозона с массой примерно 126 ГэВ. Прояснение ситуации с бозоном Хиггса было «запрограммированным», если можно так выразиться, результатом работы Большого адронного коллайде-ра (Large Hadron Collider, LHC). Однако LHC имеет и другую, гораздо более амбициозную задачу - обнаружить первые экспериментальные указания на существование физических явлений, не описываемых СМ - так называемой Новой Физики (НФ). Имеется ряд экспериментальных указаний на наличие физических эффектов за пределами СМ - это, в первую очередь, осцилляции нейтрино, свидетельствующие о наличии у этих частиц малой, но ненулевой массы (в СМ нейтрино безмассовы), а, во-вторых, убедительные астрофизи-

хХотя встречаются аргументы в пользу того, что таковым следует считать приручение лошади или, например, овладение огнем.

ческие данные о значительной доле в общем гравитационном балансе Вселенной так называемой темной материи, не состоящей из частиц СМ. Однако, подобные указания, при всей своей важности, сами по себе не несут информации о механизме соответствующих явлений и допускают много различных совместимых с опытом теоретических интерпретаций. Неоспоримое преимущество ускорительных экспериментов состоит в возможности непосредственного наблюдения частиц и процессов их взаимодействий. Разумеется, слово «непосредственного» не следует понимать слишком буквально: путь извлечения содержательной информации на современных ускорителях столь нетривиален, что вряд ли сегодня найдется хоть один человек, в чьем сознании он содержится целиком. Тем более поразительно, сколь результативен оказывается этот сложнейший процесс взаимодействия тысяч людей, связанных единственно общностью культурного поля, в которое все они погружены.

Центральным объектом квантовой теории поля (КТП), образующей каркас теоретической структуры СМ, является вакуум - основное состояние теории. С формально математической точки зрения вакуум КТП представляет собой вектор некоторого гильбертового пространства состояний и, в этом смысле, не кажется чем-то принципиально более сложным, чем хорошо изученное понятие основного состояния квантовомеханической системы. Однако оказывается, что в КТП, как в системе с бесконечным числом степеней свободы, возникает качественно новое явление - нетривиальные пространственно-временная и масштабно-энергетическая структуры вакуума. Так, важнейшим фактором, определяющим динамику СМ при низких энергиях, является спонтанное нарушение симметрии на электрослабой шкале и наличие конденсата скалярного поля Хиггса. Требования самосогласованности теории не позволяют ввести в СМ массы на уровне фундаментального лагранжиана, поэтому и массы фундаментальных фермионов (кроме нейтрино), и массы промежуточных векторных бозонов W± и Z, и массы составных сильновзаи-модействующих частиц (адронов) возникают в СМ динамически - через ме-

ханизм Хиггса в первых двух случаях (на электрослабой шкале ~ 102 ГэВ) и через размерную трансмутацию (на шкале сильного взаимодействия ~ 1 ГэВ) в последнем. Как хорошо известно, решение одной проблемы (введение в теорию ненулевых масс через механизм Хиггса) порождает две другие -во-первых, загадкой выглядит малость массы электрона в единицах электрослабой шкалы, где она набирается (речь идёт о неизвестной природе малости отношения массы электрона к массе топ-кварка me/mt = 3 • 10-6), а, во-вторых, поскольку в теории взаимодействующего скалярного поля «естественными» значениями масс квантов этого поля являются массы порядка ультрафиолетового обрезания теории, нет внутреннего механизма удержать массу бозона Хиггса на физической шкале, и квантовая динамика должна с необходимостью «утягивать» ее вверх по энергии, вплоть до значений порядка обрезания (то есть, до предела применимости самой теории). Основным теоретическим мотивом рассмотрения суперсимметричных моделей является их претензия на решение этой проблемы.

В современной физике важнейшую роль играет понятие «среды» (medium). Это понятие возникает всякий раз, когда число элементарных объектов, рассматриваемых как цельная система, оказывается достаточно большим. Речь может идти как о твёрдых телах, о жидких или о газообразных средах в режиме, где доминируют законы классической физики, так и о таких явлениях в многочастичных системах, как сверхпроводимость, где определяющую динамическую роль играют квантовые законы.

Продуктивно представление об основном состоянии КТП - вакууме -как о среде особого рода. В ряде отношений она подобна тем средам, которые изучаются в физике конденсированного состояния. В частности, можно говорить о свойствах симметрии вакуума по отношению к тем или иным преобразованиям по аналогии, например, с пространственными симметрия-ми кристаллов. Имеется, однако, и принципиальное отличие - вакуум КТП, по крайней мере, вакуум СМ, выглядит совершенно одинаково для всех инер-

циальных наблюдателей (принцип относительности), в отличие от «обычного» вещества, для которого существует понятие системы покоя среды. Кроме того, знание законов динамики теории (лагранжиана) ещё не гарантирует знания её вакуума. В разных областях пространства параметров теории могут существовать различные вакуумные состояния, над которыми возможно разложение слабой связи, с уникальной структурой возбуждений над каждым вакуумом (в частности, элементарные возбуждения в одной фазе могут выглядеть сложными составными объектами в другой). Типичный пример -кварки и глюоны как возбуждения над вакуумом квантовой хромодинамики (КХД) в высокотемпературной фазе деконфайнмента, сменяющиеся пионами и другими адронами в роли возбуждений в фазе конфайнмента при низкой температуре. Допуская некоторую вольность речи, можно сказать, что вакуум КТП является полноценной современной инкарнацией «эфира» (см. обзор истории эволюции представлений об эфире в [3]).

Со времён Галилео Галилея известно два основных способа экспериментального изучения сред. Первый заключается в помещении в среду некоторого набора достаточно простых объектов - так называемых пробных тел (например, малых частиц). Анализируя их индивидуальное поведение и взаимодействия друг с другом (и, в частности, сравнивая динамику в среде и в её отсутствие), можно делать выводы о физических свойствах среды. Другой способ состоит в изучении отклика среды на внешние воздействия (например, можно нагреть среду или наложить на неё силовое поле). Хорошо известно, что два описанных подхода не противоречат, а дополняют друг друга. Например, то, что над вакуумом СМ на электромагнитной шкале существуют безмассовые возбуждения (фотоны) в первом подходе доказывается тем фактом, что взаимодействие между двумя внесёнными в этот вакуум электрическими зарядами спадает на больших расстояниях степенным образом (а не экспоненциально). Заметим, что заряды при этом могут быть статическими, когда никаких реальных фотонов в системе не рождается. Во втором методе

этот же факт проявит себя в том, что при нагревании энергия возбуждений над вакуумом (например, внутри фиксированного пространственного объёма) будет расти как степень температуры начиная с Т = 0, без экспоненциального подавления ~ ехр(— т/квТ), которое сигнализировало бы о наличии массовой щели. И вновь речь не идёт о «прямой» проверке факта безмассо-вости фотона (которая состояла бы, например, в независимом измерении его энергии и импульса, и установлении равенства их абсолютных величин2).

Эта дополнительность находит прямое выражение в формулах для линейного отклика среды на приложенное внешнее поле, записанных в терминах запаздывающих функций Грина соответствующих возбуждений над средой (см., например, [4, 5]). Ярким примером похожего типа является знаменитый эффект Казимира [6] - выражение для соответствующей силы может быть выведено либо в терминах сдвига энергий вакуумных флуктуаций электромагнитного поля, возникающего вследствие искажения вакуума внесёнными телами, либо на языке ван-дер-ваальсовского взаимодействия между флуктуирующими токами в этих телах. Эти описания отражают два взгляда на одну и ту же физику - в частности, в обеих картинах очевидно, что сила Казимира должна обращаться в нуль при занулении постоянной тонкой структуры а (так как в этом пределе поля перестают взаимодействовать)

Пробные тела могут быть либо статическими, либо динамическими (то есть находящимися в состоянии собственного движения), и также возможна постановка задачи, когда нестационарность пробника связана не с его движением, а, например, с явной зависимостью от времени какого-либо его параметра. Все эти случаи имеют свои особенности. В первом варианте часто оказывается возможным вести рассмотрение проблемы не в минковской, а

2 В системе единиц с =1.

3Широко известный «геометрический» ответ для силы Казимира на единицу площади двух плоских параллельных пластин f = (п2/240)(Нс/СА) не обладает этим свойством, поскольку соответствует пределу «сильной связи» а ^ то и нефизической бесконечно большой и не зависящей от частоты проводимости граничных пластин (см. обсуждение в [7]).

в евклидовой метрике, что не только упрощает вычисления, но и позволяет соотносить аналитические выводы с результатами применения мощных численных методов суперкомпьютерных симуляций. В то же время, во втором случае нестационарный пробник может быть более информативным, хотя и требующим работы в исходном пространстве Минковского. В настоящей диссертационной работе анализируются как статические, так и динамические ситуации.

Наиболее распространённым видом пробников в КТП являются средние по вакуумному состоянию от произведений полевых операторов или (на языке фейнмановской суммы по историям) корреляторы полевых функций. Последние, в свою очередь, часто возникают в контексте описания физики точечных или протяжённых объектов, заряженных по каким-либо полям. Весьма важно, что эти объекты содержат в себе информацию не только о динамике теории, закодированной в выражении для действия, но и о её вакуумной структуре. Простейшим примером является конденсат скалярного поля Хиггса в СМ, чья величина связана с массой распространяющихся в нём промежуточных векторных бозонов. Более сложный объект - коррелятор локальных токов в КХД, который несёт информацию о непертурбативных (то есть, не описываемых теорией возмущений) характеристиках вакуума КХД. Существенно, что эти характеристики - так же, как и хиггсовское среднее - понимаются как атрибут вакуумного состояния теории, неспецифичный для конкретного физического процесса, ассоциированного с рассматриваемым коррелятором. При этом, однако, тот или иной пробник может быть специально выбран или сконструирован таким образом, чтобы иметь максимальную чувствительность к каким-то конкретным аспектам вакуумной структуры. Эти соображения равно применимы и к тем случаям, когда нас интересует динамика во внешних полях или при конечной температуре.4 Наконец, динамика

4Например, характеристики термального ансамбля частиц данного типа определяются только температурой, при том, что зависимость от температуры вероятности того или иного процесса, разумеется,

пробных объектов может нести информацию о других универсальных характеристиках, например, о локальных и глобальных геометрических свойствах пространства-времени.

Кварки - уникальные пробники всего пространства внутренних степеней свободы в СМ ввиду того, что это единственные частицы, несущие заряд по всем калибровочным группам СМ - электромагнитной и(1), слабой 8и(2) и цветной (сильной) 8и(3). С другой стороны, именно структура вакуума СМ на шкале сильного взаимодействия наиболее сложна. Это связано с тем, что динамика соответствующего сектора теории непертурбативна. Наиболее известным проявлением этого служит конфайнмент - отсутствие кварков и глюонов как асимптотических состояний. В настоящий момент не существует какой-либо универсальной аналитической схемы, которая позволяла бы проводить вычисления всех непертурбативных, т.е. лежащих вне рамок теории возмущений величин в СМ с любой желаемой точностью, контролируемой в рамках самого метода (что, с феноменологической точки зрения, было бы эквивалентно точному решению теории). Оказывается, однако, что многие проявления непертурбативной физики могут быть извлечены из весьма общих представлений о свойствах вакуума теории, даже при отсутствии детальной микроскопической картины.

Большое количество интересных результатов в области физики сплошных сред было получено в результате исследования их поведения во внешних магнитных полях. Обычно в контексте квантово-хромодинамической проблематики эффекты взаимодействий с электромагнитными полями рассматриваются как малые поправки. В частности, характерный динамический масштаб КХД порядка 1 ГэВ соответствовал бы, в единицах СИ, магнитному полю напряжённостью 5 х 1015 Тесла, что превосходит не только наиболее сильные известные на сегодня макроскопические магнитные поля, достижи-

разная для различных процессов.

мые в лабораториях, но даже и поля астрофизического происхождения.5 Оказывается, однако, что ещё более сильные поля возникают при нецентральных столкновениях релятивистских тяжёлых ионов, где напряжённость генерируемого магнитного поля может достигать величин порядка 1016 Тесла - правда, на очень короткое время порядка 10-24 секунды. Таким образом, сама область столкновения, физические процессы в которой доминируются, разумеется, КХД, оказывается в абелевом магнитном поле сверхвысокой напряжённости, генерируемом протонами из осколков сталкивающихся ионов, движущимися во встречных пучках с релятивистскими скоростями. Пространственное распределение и зависимость от времени этого поля определяются кинематикой столкновения. Важная часть экспериментальных программ ускорителя RHIC в Брукхейвене и Большого адронного коллайдера в ЦЕРН посвящена исследованиям возможных физических эффектов, вызываемых этими сильными магнитными полями. На стационарном языке можно поставить вопрос ещё шире - какой вид будет иметь фазовая структура КХД в переменных температура-плотность при наличии третьей координаты - внешнего магнитного поля. В упомянутых экспериментах роль пробных тел играют электрически заряженные кварки, динамика которых на начальных этапах эволюции горячего сгустка (fireball), возникающего при столкновении ионов, чувствительна к факту наличия магнитного поля.

Самостоятельный интерес представляет ситуация, когда с квантово-полевым ансамблем взаимодействует пробный объёкт, имеющий различные внутренние состояния. В ряде случаев такой объект можно считать «детектором», а процедуру его взаимодействия со средой - «измерением» той или иной характеристики этой среды. Проблема измерения занимает особое место среди краеугольных камней квантовой теории [8, 9, 10, 11]. При этом понятие измерения в квантовой теории поля концептуально является существенно более сложным, чем в квантовой механике, поскольку число степеней свободы

5 Оценки поверхностных полей в магнетарах дают величину порядка 1011 Тесла.

в КТП не фиксировано. Как известно, в формализме интегралов по траекториям теория задаётся действием S[ф] и мерой интегрирования Рф. При этом динамическое содержание теории, как обычно предполагается, закодировано в действии, а не в мере. Однако в действительности это - вопрос выбора, и динамика может быть «перераспределена» между мерой и действием в произвольной пропорции 6, Кроме того, мера интегрирования может кодировать некоторый a priori известный (или предполагаемый) результат измерений, например, в вышеупомянутом примере с эффектом Казимира, граничные условия на поля, соответствующие идеальному проводнику [12].

Другим поучительным примером является UV-регуляризация, соответствующая ограничению интеграла по полям ф(к) на область импульсов |к| < Л, что на этом языке является некоторым априорным предположением о поведении полей за пределами этой границы (являющейся поверхностью в импульсном пространстве). В перенормируемых теориях вся физика выше Л может быть закодирована только в нескольких числах - коэффициентах перед маржинальными операторами, подобных известной постоянной тонкой структуры 1/137 в квантовой электродинамике. Перенормируемость, однако, не означает натуральности. При вычислениях, например, вакуумного среднего от некоторого локального d-мерного оператора Т[ф] в теории с UV-обрезанием Л, характерный результат (возможно, с точностью до логарифмов) имеет вид:

Первый, доминирующий член несёт информацию о произвольных предположениях о мере интегрирования (например, о геометрии решетки с шагом а ~ 1/Л, которая была использована для вычисления), но не о собственной

6 В абелевой теории векторного поля, например, вместо интегрирования по потенциалу можно

эквивалентно интегрировать по напряжённости поля с ограничением, налагаемым тождеством Бьянки: 6(дР). Стандартное Г2 - действие содержит производные и описывает распространение поля для первого выбора меры, но является тривиальным гауссовым локальным действием во втором случае.

(1)

физике этого оператора. В ряде практически важных случаев симметрии теории гарантируют с = 0, однако, если это не так, необходимо разработать способ вычленить объёктивное физическое содержание (которое скрыто в конечной части) на фоне регуляторных артефактов. Хорошо известные примеры: плотность вакуумной энергии, масса бозона Хиггса и глюонный конденсат, где только в последнем случае механизм известен (качественно, но не количественно) - это квантовая аномалия теории Янга-Миллса и размерная трансмутация нефизического ИУ-масштаба Л в физический масштаб Лдсд. В других случаях этого рода, таких, как космологическая постоянная или проблема иерархии, решение ещё предстоит найти.

Однако на практике в большинстве случаев в физике элементарных частиц мы предполагаем, что динамика, закодированная в действии, не кор-релирована с динамикой, за которую отвечает мера, и имеем к этому веские основания: характерный масштаб первой задан шкалой сильного взаимодействия ~ 10-15 метров и еще меньшими расстояниями для слабых взаимодействий, в то время как реальные детекторы являются макроскопическими объектами, имеющими размеры от долей миллиметра до метров. Весь стандартный аппарат пертурбативной КТП (Б-матрица; асимптотические состояния; пропагаторы, вычисляемые в базисе плоских волн и т.д.), неявно основывается на этом предположении. Важно подчеркнуть, однако, что это предположение по своей природе динамическое и, вообще говоря, область его применимости должна формулироваться количественно и индивидуально для каждой конкретной задачи.

Простой, но поучительной моделью, на которой эффекты, обсуждаемые выше, можно изучать в явном виде, является детектор типа Унру-ДеВитта [13, 14, 15] (УдВ-детектор), взаимодействующий с квантовополевым ансамблем в течение конечного интервала собственного времени. Помимо интереса к этой задаче в собственном смысле, возможно её рассмотрение в контексте теории информации. Детектор Унру-ДеВитта понимается в этом случае

как степень свободы, кодирующая один бит. Соответственно этому поведение такой системы должно не только подчиняться динамическим законам, но и соответствовать ограничениям, налагаемым фактом наличия информационного содержания. Одним из наиболее известных лимитов такого типа выступает принцип Ландауэра [16] - утверждение о том, что необратимое стирание однобитовой ячейки памяти (какой бы то ни было природы), находящейся при температуре T, невозможно без диссипации не менее чем квT log 2 энергии.7 Принцип Ландауера рассматривается многими специалистами как ключ к решению известного парадокса демона Максвелла (см., например, [17, 18]). Возникающие в этой связи вопросы о, например, пределах точности измерения температуры за конечное время, представляют большой интерес.

В настоящее время одной из наиболее актуальных задач физики частиц является поиск эффектов за пределами СМ, так называемой Новой Физики (НФ). Как правило, в литературе обсуждаются модели НФ, расширяющие СМ путём добавления тех или иных степеней свободы (например, суперпартнёров частиц СМ). Возможны и более радикальные расширения, например, предполагающие изменение геометрических характеристик пространственно-временного многообразия, на котором определяется теория (сценарии дополнительных измерений и т.п.). В обоих случаях важнейшим пробником вакуума НФ являются петлевые процессы (то есть процессы, лидирующий вклад в которые даёт не древесная, а петлевая фейнмановская диаграмма). Главная причина интереса к таким процессам состоит в том, что именно петлевые эффекты затрагивают самые глубокие свойства квантовой теории (соотношение неопределенностей, унитарность, причинность, структура вакуума и т.д.), петлевые интегралы по импульсам «пробуют» физику на массовых масштабах, которые недоступны прямому исследованию. Чрезвычайно важно, что в петли дают вклад все степени свободы, в том числе и те частицы НФ, о

7С другой стороны, обратимые логические операции (например, копирование) могут быть выполнены, по крайней мере, в принципе, со сколь угодно малым потреблением энергии.

существовании которых мы пока не знаем. Именно в этой логике был предсказан с-кварк в знаменитой работе Глэшоу, Иллиопулоса и Майани [19] до его экспериментального обнаружения. Возможно, ещё удивительней, что работа Кобаяши и Маскавы [20], где были введены кварки третьего поколения (Ь- и £-) и современная парадигма нарушения комбинированной чётности была также опубликована за несколько месяцев до открытия с-кварка (и за четыре года до открытия Ь-кварка).

Ещё более радикальные сценарии НФ связаны с изменением статистики релевантных флуктуаций на малых расстояниях. Как хорошо известно, все наблюдаемые частицы подчиняются либо статистике Бозе-Эйнштейна, либо статистике Ферми-Дирака. Ввиду принципа Паули, справедливого для фермионов, но не для бозонов, эти сектора теории имеют принципиально различную вакуумную структуру (как в физике частиц, так и в теории конденсированного состояния). Явление сверхпроводимости служит, пожалуй, наиболее яркой иллюстрацией взаимной перестройки этих вакуумных структур. Однако можно предложить сценарии, в которых гипотетические степени свободы при высоких (планковских) энергиях не будут являться ни ферми-, ни бозе-частицами. Привлекательной чертой таких моделей является то, что большие числа (типа величины массы Планка Мр в единицах электрослабой шкалы, которая дается числом порядка 1017) возникают в них по комбинаторным причинам, так как число динамических степеней свободы резко вырастает при энергиях выше некоторого порога. Обсуждением идей этого круга диссертация завершается.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика пробных тел в квантовых теориях поля со сложным вакуумом»

Актуальность и степень разработанности проблемы

Актуальность темы работы обусловлена неиссякающим интересом к исследованию свойств сложных квантовополевых систем. В случае КХД этот интерес, с одной стороны, связан с многолетними попытками теоретически понять конфайнмент, а, с другой - с новыми экспериментальными возможно-

стями исследования поведения кварк-глюонной материи в сильных магнитных полях, которые предоставляют современные коллайдеры. В отношении первого, «вечнозелёного» вопроса, можно обратить внимание на обзоры проблемы в работах [21, 22, 23], а также в работах [Ш2,Ш7,Ш12]. С наиболее общей точки зрения вопрос может быть поставлен так: какие свойства квантового ансамбля неабелевых калибровочных полей ответственны за явление конфайнмента (то есть, в частности, за возникновение ненулевого струнного натяжения а между статическими цветовыми источниками)? Известны различные принципиальные подходы в поисках ответа на него. Один из наиболее популярных методов состоит в том, чтобы обсуждать «анатомию вакуума», т.е. характерные конфигурации полей, зафиксировав ту или иную калибровку. Идея о выделенной роли различных калибровок в объяснении непертур-бативных эффектов и, в частности, конфайнмента, восходит к классическим работам [24, 25]. Широко известный «дуальный мейснеровский сценарий» конфайнмента целиком базируется на представлении о выделенности т.н. абе-левых калибровок. Солидный свод интересных результатов такого рода был получен в решёточных расчётах с использованием максимальной абелевой калибровки (см. [26], где обсуждается концепция «абелевой доминантности» (abelian dominance)). Другое направление работы связано с представлениями о выделенной роли центра калибровочной группы. В соответствующих решёточных работах сформулировано и развито понятие «доминантности центра» (center dominance) [27]. Можно упомянуть также изучение пропагаторов в калибровке Ландау [28], анализ с использованием самосогласованных уравнений типа Швингера-Дайсона и т.п.

Следует отдельно отметить огромную роль, которую в исследовании данных вопросов играют симуляции глюодинамики (т.е. чистой SU(3) теории Янга-Миллса без динамических кварков) и полноценной КХД на пространственно-временных решётках [29]. В этом подходе имеется замечательная возможность «ручного управления» структурой теории, например,

можно изучать другие калибровочные группы (не 8и(3)), вводить конечную температуру, фиксировать калибровку, удалять произвольно выбранные полевые конфигурации и т.д. Решётки КХД стали настоящим «микроскопом», давшим значительный объём информации о физике неабелевых калибровочных полей за рамками теории возмущений. Вместе с тем, физическая интерпретация решёточных данных часто далека от тривиальной (см., например, дискуссию в [30]).

Стоит упомянуть и другой популярный подход, основанный на квазиклассическом приближении. В этом методе предполагается, что доминирующими вакуумными полевыми конфигурациями служат классические решения уравнений Янга-Миллса. Наиболее известна в этом контексте модель разреженного инстантонного газа [31, 32, 33]. В литературе широко анализировались и другие модели (см, например, [34]) и был получен ряд интересных результатов. Данный подход обладает большой физической наглядностью, что в значительной степени и послужило причиной его популярности. Однако, помимо того, что нет убедительных исходных оснований считать динамику непертурбативного вакуума глюодинамики квазиклассической, недостатком подхода является неустойчивость инстантонного решения (и инстантон-антиинстантонного ансамбля) при учёте взаимодействия. Соответствующий эффект «раздувания» инстантонов должен купироваться вручную (см., например, [35]). Заметим также, что среднее от петли Вильсона по ансамблю классических решений, вообще говоря, не обязательно даёт закон площади (см. [Ш31] и ссылки в этой работе).

Принципиально другую методику демонстрирует подход, связанный с так называемыми петлевыми уравнениями [36]. В этом случае вопрос о «микроскопической» картине полевого ансамбля не возникает, и акцент переносится на поиск решений петлевых уравнений, соответствующих режиму кон-файнмента. Эта программа была успешно реализована в случае двумерной теории Янга-Миллса [37]. Однако, в физически интересном четырёхмерном

случае не удалось разработать адекватный математический формализм, который позволил бы систематически работать с петлевыми уравнениями. Центральная причина этого заключается в том, что данные уравнения записываются не в обычном координатном пространстве, а в пространстве петель, геометрическая структура которого чрезвычайно сложна. На это накладываются проблемы, связанные с сингулярным характером самих уравнений. Будущее покажет, удастся ли предолеть эти трудности при дальнейшем развитии.

Таким образом, можно сказать, несколько огрубляя детали, что харак-теристка вакуума КХД в терминах корреляторов (В^(х)В^(у)..Вр(г)) содержит большой объём избыточной нефизической информации, связанной с калибровочным произволом (что тем более верно, когда речь ведётся об отдельных полевых конфигурациях (ВДж)}), в то время как калибровочно-инвариантный функционал от произвольного контура С - вакуумное среднее петли Вильсона

чрезвычайно сложен для анализа ввиду того, что естественной областью определения этого функционала является другое пространство (пространство петель). Это справедливо, разумеется, и для нелокальных корреляторов, содержащих более одной операции взятия следа. Можно поставить вопрос о разумном компромиссе, то есть о выборе таких переменных, характеризующих вакуум, которые не были бы избыточными, но, в то же время, были бы «менее нелокальными», чем (2). Именно это соображение находится в сердцевине аппарата, на основе которого ведётся рассмотрение в Главе 1 (основанной на работах [Ш2,Ш7,Ш10,Ш11,Ш12]) и в Главе 2 (основанной на работах

[Ш1,Ш3,Ш4,Ш5,Ш6,Ш8,Ш9]) диссертации.

В Главе 3 (основанной на работах [Ш13,Ш14,Ш15,Ш16,Ш17])

роль пробников играют лёгкие заряженные фермионы (динамические квар-

(2)

ки). Прежде всего, эти степени свободы ответственны за другое важнейшее непертурбативное явление в КХД, наряду с явлением конфайнмента - спонтанное нарушение киральной инвариантности (spontaneous chiral symmetry breaking, SCSB). Есть много соображений относительно того, как эти два феномена могут быть связаны на микроскопическом уровне. Любопытно, что в физике низколежащих адронных возбуждений конфайнмент и SCSB часто, в некотором смысле, противопоставляются друг другу. Например, в литературе можно встретить утверждения о том, что в экспериментальных данных по спектроскопии лёгких состояний конфайнмент «не виден», и можно феноменологически успешно моделировать вакуум КХД ансамблем классических инстантонных решений, несмотря на то, что такой ансамбль не обеспечивает конфайнмент в смысле закона площади для петли Вильсона. Существует и альтернативная точка зрения, восходящая к кварковым потенциальным моделям, которая утверждает примат именно явления удержания кварков (в смысле формирования струны и возникновения линейного межкваркового потенциала), при этом предполагается, что SCSB должно «выводиться» из конфайнмента (см., например, [38])8 В инстантонах и прочих решениях уравнений Янга-Миллса в таком подходе нет никакой необходимости. Наиболее ярко эта двойственность проявляется в пионе - частице, которая одновременно является голдстоуновским бозоном SCSB (безмассовым в киральном пределе) и, с другой стороны, связанным состоянием кварка и антикварка, как всякий мезон [39].

Эти две физические картины соответствуют двум подходам в изучении SCSB в КХД. В первом случае основной акцент делается на свойствах низколежащих собственных мод оператора Дирака, с плотностью которых киральный конденсат связан известным соотношением Банкса-Кашера [40]. Обзор [32] наглядно излагает сильные стороны такого подхода. В рамках

8Рассматривая в качестве примера модель Намбу - Йона-Лазинино, можно заметить в этой связи, что SCSB может иметь место и без конфайнмента.

другого подхода исходной точкой берётся то или иное ядро кварк-кваркового взаимодействия (например, такое, которое явно обеспечивает конфайнмент), и строится уравнение щели (gap equation) для кирального конденсата (см., например, [41, 42]). В этом формализме конфайнмент является источником SCSB.

Другим важным доменом физики лёгких кварков является фаза декон-файнмента. Основной (и, в экспериментальном отношении, вероятно, единственной) физической системой, в которой реализуется деконфайнмент, является кварк-глюонная материя, образующаяся на короткое время после столкновения релятивистских тяжёлых ионов. Изучение соответствующей физики составляет содержание экспериментальных программ, реализующихся на ускорителях LHC (CERN, Швейцария) и RHIC (BNL, США), и планирующихся на ускорительных комплексах FAIR (GSI, ФРГ) и NICA (ОИЯИ, Россия). В контексте настоящей диссертационной работы нас будет интересовать динамика лёгких кварков в магнитном поле, которое на короткое время образуется при нецентральных столкновениях. Проблематика подробно освещена в обзорах [43, 44, 45]. Следует сразу подчеркнуть, что последовательного теоретического формализма, который позволял бы рассчитывать результаты столкновений тяжёлых ионов на основе КХД с учётом эффектов магнитного поля, до сих пор не построено. Одной из причин этого является значительная сложность данной физической задачи самой по себе - процесс столкновения ионов и последующего разлёта продуктов реакции является нестационарным и многочастичным, при этом на всех фазах его протекания существенны те или иные непертурбативные эффекты. В этой связи рассматриваются, как правило, сильно упрощённые модели. Одной из таких моделей является модель свободных безмассовых электрически заряженных дираковских ферми-онов в постоянном и однородном магнитном поле. Динамика этой системы, как можно думать, отражает некоторые аспекты поведения лёгких кварков в фазе деконфайнмента в сгенерированном при нецентральном столкновении

магнитном поле. Наиболее интересным явлением в такой системе является так называмый киральный магнитный эффект (chiral magnetic effect, CME). Этот эффект впервые обсуждался А.Виленкиным [46] в электрослабом секторе и впоследствии неоднократно переоткрывался. Оживление интереса к этому кругу вопросов было вызвано теоретическими работами [47] - [56] в которых CME обсуждался в применении к физике столкновений тяжёлых ионов, а также экспериментальными результатами [57] - [61]. Именно, предположив различные химические потенциалы для «левых» и «правых» ки-ральных фермионов (д^ и Дд соответственно), можно показать , что в такой среде во внешнем магнитном поле течёт стационарный электрический ток, равный

- eB

J = (ф1ф) = М5 = axB (3)

где B - магнитное поле, а д5 = (дд — Дь)/2 - аксиальный химический потенциал. Физически эффект возникает из-за взаимодействия магнитного момента спинорной частицы с магнитным полем (которое имеет разный знак для положительно и отрицательно заряженных частиц) с учётом скоррелирован-ности спина (и, следовательно, магнитного момента) и импульса для кираль-ного фермиона. Выражение (3) может быть воспроизведено, помимо прямого вычисления соответствующей диаграммы Фейнмана, многими взаимно-дополнительными способами. Для полноты картины отметим, что в литературе имеются и публикации с критическим анализом статуса (3) в равновесном случае (см., например, [62]). В Главе 3 диссертационной работы производится подробный анализ эффекта с нескольких взаимно-дополнительных точек зрения и критически анализируются перспективы извлечения информации о сильновзаимодействующих процессах на основе наблюдаемых асимметрий распределения электрического заряда конечных частиц.

В Главе 4 (основанной на работах [Ш18,Ш19,Ш20]), обсуждается проблематика динамических пробников и эффектов за пределами СМ. При-

мером первого служит монопольный УдВ-детектор [13, 14], взаимодействующий с квантовополевым ансамблем в течение конечного интервала собственного времени. Ранее эта задача рассматривалась в работах [63] - [66]. Наш интерес состоит как в обобщении и развитии этих результатов, так и в их анализе в контексте теории информации. Корни этого сюжета восходят к физике XIX века. Оригинальные идеи Дж. Максвелла, Л.Больцмана, Д. фон Неймана, Л. Сцилларда, Л. Бриллюэна и многих других заложили фундамент этой области исследований. В современной науке работы К.Шеннона [67] поместили интуитивную идею информации на устойчивый математический базис. Оказалось, что это понятие теснейшим образом связано с понятием энтропии - величины, количественно определяющей тонкие отношения между микро- и макроструктурами различных многочастичных систем. Более того, уже довольно давно было продемонстрировано [68], что все основные результаты равновесной термодинамики могут быть получены из теории информации (см. [69]). Тем не менее, несмотря на огромный прогресс, многие исследователи имеют мотивацию и основания продолжать изучать различные аспекты нетривиального соотношения между чисто комбинаторным (и геометрическим) и динамическими аспектами информации/энтропии.

Физическая информация с необходимостью должна быть связана с реальными системами, используемыми для её производства, хранения, передачи, удаления и т.п. В литературе активно обсуждаются фундаментальные ограничения на параметры таких систем (см., например, [70] - [75]), что имеет важное значение не только с чисто научной точки зрения, но и с позиции перспектив дизайна реальных вычислительных устройств будущего. Разумеется, все системы обработки информации («аппаратные средства») сегодня-шего или завтрашнего дня должны подчиняться законам физики. Намного менее тривиальным является вопрос о связи динамики и «программного обеспечения». В частности, можно ли вообразить устройство, способное к копированию одного бита при нулевой затрате энергии? Какое минимальное

время необходимо, чтобы скопировать (или стереть) те или иные данные и т.д.? Такие проблемы рассматриваются в течение многих десятилетий, и имеют важное значение с точки зрения места теории информации среди других

9

естественных наук.

Из общих соображений нетрудно заключить, что, действительно, можно ожидать различных ограничений такого рода. Например, предельный характер скорости света накладывает релятивистские границы на вычислительную скорость любого устройства конечного размера. Скорость квантовой эволюции ограничивается так называемым пределом Марголуса-Левитина [73], включение в рассмотрение гравитации приводит к своим ограничениям и т.д.

В своей оригинальной статье [16] Р.Ландауер сделал существенный вклад в эту проблему. Он сформулировал утверждение, известное как принцип Ландауера: стирание одного бита информации любым устройством при температуре T приводит к диссипации в окружающее пространство не менее чем квT log 2 энергии. Под «стиранием» здесь понимается любая (почти) операция, не имеющая однозначной обратной. Принцип Ландауера обнаруживает глубокие связи с различными школами экзорцизма демона Максвелла (см., например, [17, 18]). Экспериментальные работы в этой области начали производиться сравнительно недавно [76, 77, 78, 79]. В целом, была продемонстрирована справедливость принципа в статистическом смысле (а не в смысле единичных событий, где могут быть существенные отклонения как в большую, так и в меньшую стороны). Кроме того, существенную роль играет временная динамика - средняя величина диссипируемой энергии увеличивается с уменьшением времени стирания и выходит на предел Ландауэра квT log 2 для адиабатически медленного процесса. Работа по изучению различных сопутствующих эффектов интенсивно ведётся в этой области науки и с теоретической, и с экспериментальной стороны [80] - [87]. Особенно ин-

9Конечно, ответы на эти вопросы для реальных компьютеров сегодняшнего дня могут отличаться от результатов для мысленных экспериментов и идеальных устройств на много порядков.

тересно применение этих идей к системам обработки информации, которые используются биологическими объектами, от биопротеинов и клеток до людей. Это также активно обсуждается последние годы [88] - [91].

В контексте исследования моделей НФ в Главе 4 диссертации, обсуждаются некоторые специальные вопросы, связанные с физикой тяжёлых квар-ковых ароматов и, конкретно, Ь-кварка. Первоочередное значение в физике ароматов имеет анализ матрицы смешивания Кабиббо-Кобаяши-Маскавы (СКМ). Общепринятым параметризационно-независимым языком, используемым для обсуждения богатой физики, закодированной в СКМ-матрице, является формализм треугольника унитарности (см. [92, 93, 94]). Известны различные стратегии изучения СКМ-матрицы. Наиболее популярной, принятой, в частности, коллаборациями и СКМАШг, является использование всех доступных экспериментальных данных для максимально возможного ограничения параметров треугольника унитарности. Есть надежда, что в рамках этой процедуры будут обнаружены несоответствия, сигнализирующие об эффектах НФ. До сих пор наблюдается общее согласие всех ограничений, что делает проблему анализа соответствующих данных по-прежнему актуальной.

Отдельный интерес представляют процессы, в которых адронные неопределённости не оказывают решающего влияния на чувствительность к эффектам НФ. К таким процессам относятся радиационные распады В -мезонов типа В ^ У7, которые называют «стандартными свечами» физики ароматов [95]. Для таких распадов электромагнитная часть находится под полным теоретическим контролем, а, с экспериментальной точки зрения, энергичный фотон является чистым и легко выделяемым сигналом. Частным примером наблюдаемых, которые не подвержены адронным неопределенностям, являются поляризационные характеристики излученных фотонов (восстанавливаемые по угловым распределениям конечного адронного состояния), что было впервые отмечено в работе [96] (см. также [97, 98]). Дело в том, что в СМ фотоны, излученные в распадах В- и В0 -мезонов, в

основном, левополяризованы (и правополяризованы для распадов B + и B0 -мезонов). С другой стороны, примесь фотонов с «неправильной» поляризацией может быть довольно значительной в некоторых сценариях НФ - таких, например, как лево-право симметричная модель (Left-Right Symmetric Model, LRSM) или минимальная суперсимметричная стандартная модель (Minimal Supersymmetric Standard Model, MSSM). Информация, полученная таким образом, очень интересна, поскольку представляет собой типичный «нулевой тест» СМ [99] - извлекаются непосредственные данные о лоренцевой структуре фотонной вершины и, следовательно, об операторной структуре эффективного гамильтониана.

В заключительном разделе диссертации обсуждается сценарий вакуумных конденсатов, соответствующих степеням свободы, которые подчиняются квантовой статистике Больцмана (также известной как infinite statistics). Мотивацией для такого рода идей служит замечательное явление Природы -сосуществование сильно различающихся размерных масштабов в рамках одной и той же теории, впервые обсуждавшееся П.А.М.Дираком [100]. Хорошо известны - под именем проблемы иерархий - теоретические сложности, к которым приводит малость электрослабого масштаба в СМ в единицах массы Планка (см., например, обзор [101]). В работах [102, 103] был предложен интересный геометрический подход к решению проблемы иерархий, известный как ТэВ-ная гравитация и сценарии дополнительных измерений, базовым предположением которого является идея о существовании некоторого дополнительного пространственного масштаба L, много большего, чем Lp = 1/Mp, возможно, порядка (1-2 ТэВ)-1. Пространство-время имеет геометрические свойства обычного (3+1)-мерного пространства-времени Минковского только на масштабе расстояний, существенно превышающем L, на меньших расстояниях эти свойства радикально изменяются, причём такие изменения могут сопровождаются появлением дополнительных степеней свободы, например, типа Калуцы-Клейна. Говоря в более широком контексте, упомянутые выше

сценарии сводят иерархию массовых шкал к некоторой иерархии геометрических масштабов. Некоторое время назад подход к решению проблемы иерархий за счёт введения дополнительных измерений получил новую интерпретацию [104, 105, 106]). Она основана на идее о том (которая также обсуждалась в других контекстах в работах [107] - [110]), что на энергетических масштабах, больших некоторого, имеет место сильный рост множественности, т.е. число степеней свободы N резко вырастает при энергиях выше некоторого порога Е > 1/Ь. Тогда можно привести физические аргументы, как пер-турбативного, так и непертурбативного характера, в пользу того, что число стабильных частиц с массой М не может быть больше чем NM2 < Мр с точностью до логарифмических поправок. Гравитационное обрезание в такой теории будет порядка Мри, в принципе, может быть опущено до ТэВ-ного масштаба при N порядка 1032, что, тем самым, решает проблему иерархии (или, по крайней мере, придаёт ей совершенно новое звучание). Этому может быть дана физически естественная интерпретация в терминах индуцированной гравитации А.Д.Сахарова [111] - пространственно-временной континуум обладает своеобразной «упругостью» по отношению к деформациям, которая пропорциональна числу различных типов частиц, населяющих это пространство. В моделях обсуждаемого в настоящей диссертации типа большие числа возникают по комбинаторным причинам ввиду роста числа динамических степеней свободы при энергиях выше некоторого порога.

Цели и задачи диссертационной работы

Основной целью настоящего исследования является разработка теоретических методов описания динамики пробных тел в квантовых теориях поля с достаточно сложным вакуумом. Для достижения этой цели решались следующие задачи:

• дальнейшее развитие техники нелокальных вакуумных средних в неа-белевой теории Янга-Миллса в применении к вычислению статических

корреляторов;

• исследование динамики кварков во внешних магнитных полях, в том числе, с применением методов квантовой теории измерений;

• описание нестационарной динамики квантовых детекторов, в том числе, в контексте квантовой термометрии;

• извлечение данных из наблюдаемых в физике кварковых ароматов и изучение эффектов, возникающих в возможных сценариях НФ.

Предмет и объект исследования

Объектом исследования настоящей работы являются квантовополевые физические системы и их влияние на динамику взаимодействующих с ними относительно простых «пробных» тел, выражаемое в терминах корреляторов различного вида. Соответственно, предмет исследования представляет собой теорфизические модели таких взаимодействующих систем, задаваемые и описываемые в рамках общепринятых подходов КТП.

Методологическая, теоретическая и эмпирическая база исследования

Настоящее диссертационное исследование в теоретическом и методическом отношении опирается на хорошо разработанный аппарат современной КТП, в том числе, во внешних классических полях. Данный аппарат применяется к нескольким конкретным теоретико-полевым моделям: КХД, в том числе, в отсутствие динамических кварков; теории безмассовых фермионов при конечной температуре и плотности; теории скалярного поля при конечной температуре, взаимодействующей с УдВ-детектором; сценариям НФ за пределами СМ. Изложенные в диссертации теоретические выводы обсуждаются в соотношении с экспериментальными данными, а также результатами расчётов - симуляций квантовополевых моделей на пространственно-временных решётках.

Научная новизна

В Главе 1 ив Главе 2 диссертации развит ряд элементов стохастической картины непертурбативного вакуума КХД. Впервые осуществлён комплексный анализ данных решёточных вычислений статического потенциала источников в высших представлениях калибровочной группы в теории Янга-Миллса с точки зрения сравнения различных моделей непертурбатив-ной структуры вакуума. Получены новые ограничения на обсуждающиеся в литературе сценарии конфайнмента. Поставлен вопрос о структуре вкладов, которые ответственны за возможное нарушение казимировского скейлинга, и получено лидирующее выражение для такого вклада в терминах интегральных моментов калибровочно-инвариантных корреляторов на мировой поверхности удерживающей струны.

Произведено обобщение выражения для вакуумного среднего петли Вильсона на случай двух взаимодействующих петель. Произведён анализ корреляторов токов в различных каналах в сравнении с решёточными результатами в координатном пространстве. Дана калибровочно-инвариантная интерпретация дуального эффекта Мейсснера в гауссовом вакууме. Предложена модель возможных «жёстких» (линейных по расстоянию) вкладов в статический потенциал между кварком и антикварком на малых расстояниях. Указана связь между ренорм-инвариантностью условия квантования Дирака ед = 2п и дуальностью «малые расстояния - сильные поля». Вычислен калибровочно-инвариантный сдвиг для калибровочно-неинвариантного конденсата размерности два (А2(ж)), обусловленный калибровочно-инвариантыми граничными условиями типа Казимира.

В Главе 3 установлена связь между асимптотическим поведением корреляторов глюонных полей в вакууме с конфайнментом и явлением спонтанного нарушения киральной инвариантности в формализме Бэнкса-Кашера. Предложен и обоснован метод точного учёта химпотенциала в законах сохра-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Шевченко Владимир Игоревич, 2018 год

Литература

1. C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C40 (2016) 100001

2. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс, Фейнмановские лекции по физике, URSS, 2016

3. М.В.Терентьев, История эфира, Москва, ФАЗИС, 1999

4. R. Kubo, J. Phys. Soc. Jap. 12 (1957) 570.

5. H. B. Callen and T. A. Welton, Phys. Rev. 83 (1951) 34.

6. H. B. G. Casimir, Indag. Math. 10 (1948) 261 [Kon. Ned. Akad. Wetensch. Proc. 51 (1948) 793]

7. R. L. Jaffe, Phys. Rev. D72 (2005) 021301

8. L.Landau, R.Pejerls, Z.Phys. 69 (1931) 56

9. V.Braginsky, F. Khalili, Quantum Measurement, Cambridge University Press, 1992

10. M. Schlosshauer Rev. Mod. Phys. 76 (2005) 1267

11. A. E. Allahverdyan, R. Balian and T. M. Nieuwenhuizen, Phys. Rept. 525 (2013) 1

12. M. Bordag, D. Robaschik, E. Wieczorek, Ann.Phys. (NY) 165 (1985) 192

13. W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14 (1976) 870

14. B. S. DeWitt, Dynamical Theory of Groups and Fields, Gordon and Breach, New York, 1965

15. N.D. Birrel, P.C.W. Davies, Quantum Fields in Curved Space, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1984

16. R.Landauer, IBM J. Res. Dev., 5 (1961) 183

17. M.B. Plenio, V. Vitelli, Contemporary Physics 42 (2001) 25

18. J.D. Norton, Stud. Hist. Philos. Mod. Phys., 42 (2011) 184

19. S. L. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev. D2 (1970) 1285

20. M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652

21. J. Greensite, Lect. Notes Phys. 821 (2011) 1.

22. A. Di Giacomo, Acta Phys. Polon. B36 (2005) 3723

23. Y. A. Simonov, Phys. Usp. 39 (1996) 313

24. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B138 (1978) 1.

25. S. Mandelstam, Phys. Rept. 23 (1976) 245

26. T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 81 (1989) 752

27. L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite and S. Olejnik, Phys. Rev. D55 (1997) 2298

28. L. von Smekal, R. Alkofer and A. Hauck, Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 3591

29. K. G. Wilson, Phys. Rev. D10 (1974) 2445

30. V. I. Zakharov, hep-ph/0602141.

31. C. G. Callan, Jr., R. F. Dashen and D. J. Gross, Phys. Rev. D17 (1978) 2717

32. D. Diakonov, Prog. Part. Nucl. Phys. 51 (2003) 173

33. T. Schafer and E. V. Shuryak, Rev. Mod. Phys. 70 (1998) 323

34. T. C. Kraan and P. van Baal, Nucl. Phys. B533 (1998) 627

35. N. O. Agasian and S. M. Fedorov, JHEP 0112 (2001) 019

36. Y. M. Makeenko and A. A. Migdal, Phys. Lett. 88B (1979) 135 Erratum: [Phys. Lett. 89B (1980) 437].

37. Y. M. Makeenko and A. A. Migdal, Nucl. Phys. B188 (1981) 269 [Sov. J. Nucl. Phys. 32 (1980) 431] [Yad. Fiz. 32 (1980) 838].

38. Yu. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 60 (1997) 2069 [Yad. Fiz. 60 (1997) 2252]

39. Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 67 (2004) 846 [Yad. Fiz. 67 (2004) 868]

40. T. Banks and A. Casher, Nucl. Phys. B169 (1980) 103.

41. K. Rajagopal and F. Wilczek, The condensed matter physics of QCD, arXiv:hep-ph/0011333.

42. S. R. Coleman and E. Witten, Chiral Symmetry Breakdown In Large N Chromodynamics, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 100.

43. D. E. Kharzeev, J. Liao, S. A. Voloshin and G. Wang, Prog. Part. Nucl. Phys. 88 (2016) 1

44. D. E. Kharzeev, Prog. Part. Nucl. Phys. 75 (2014) 133

45. D. Kharzeev, K. Landsteiner, A. Schmitt and H. U. Yee, Lect. Notes Phys. 871 (2013) 1

46. A. Vilenkin, Phys. Rev. D22 (1980) 3080

47. D. Kharzeev, R. D. Pisarski and M. H. G. Tytgat, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 512

48. D. Kharzeev, A. Krasnitz and R. Venugopalan, Phys. Lett. B545 (2002) 298

49. D. Kharzeev, Phys. Lett. B633 (2006) 260

50. D. E. Kharzeev, L. D. McLerran and H. J. Warringa, Nucl. Phys. A803 (2008) 227

51. D. E. Kharzeev, "Hot and dense matter: from RHIC to LHC: Theoretical overview," Nucl. Phys. A827 (2009) 118C

52. D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, Phys. Rev. D80 (2009) 034028

53. K. Fukushima, D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, Phys. Rev. D78 (2008) 074033

54. E. S. Fraga and A. J. Mizher, PoS C POD2009 (2009) 037

55. S. i. Nam, Phys. Rev. D80 (2009) 114025

56. K. Fukushima, D. E. Kharzeev and H. J. Warringa, Phys. Rev. Lett. 104 (2010) 212001

57. S. A. Voloshin, Phys. Rev. C62 (2000) 044901

58. I. V. Selyuzhenkov [STAR Collaboration], Rom. Rep. Phys. 58 (2006) 049

59. S. A. Voloshin, J. Phys. G35 (2008) 104014

60. B. Abelev et al. [STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 103 (2009) 251601

61. B. Abelev et al. [ALICE Collaboration], Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 012301

62. M. A. Zubkov, Phys. Rev. D93 (2016) 105036

63. L. Sriramkumar and T. Padmanabhan, Class. Quant. Grav. 13 (1996) 2061

64. D. Kothawala and T. Padmanabhan, Phys. Lett. B690 (2010) 201

65. L. C. Barbado and M. Visser, Phys. Rev. D86 (2012) 084011

66. A. Satz, Class. Quant. Grav. 24 (2007) 1719

67. C.E.Shannon, Proceedings of the IRE, 37 (1949) 10

68. E.T. Jaynes, Phys. Rev. 106 (1957) 620; Phys. Rev. 108 (1957) 171.

69. A. Ben-Naim, A Farewell to Entropy: Statistical Thermodynamics Based on Information, World Scientific, 2008.

70. J. D. Bekenstein, Phys. Rev. Lett. 46 (1981) 623

71. S. D. H. Hsu, Phys. Lett. B641 (2006) 99

72. R.Landauer, Physica Scripta 35 (1987) 88

73. N. Margolus, L. B. Levitin, Physica D120 (1998) 188

74. S. Lloyd, Nature 406 (2000) 1047

75. R.W. Keyes, R. Landauer, IBM J. Res. Dev., 14 (1970) 152

76. S.Toyabe, T.Sagawa, M.Ueda, E.Muneyuki, M. Sano, Nature Phys. 6 (2010) 988.

77. S.W. Kim, T. Sagawa, S. De Liberato, and M. Ueda Phys. Rev. Lett. 106 (2011) 070401.

78. A. Berut, A. Arakelyan, A. Petrosyan, S. Ciliberto, R. Dillenschneider, E. Lutz, Nature 483 (2012) 187.

79. J. P. S. Peterson, et al, Proc. R. Soc. A 472 (2016) 20150813.

80. M. C. Diamantini, C.A. Trugenberger, Phys.Rev E89 (2014) 052138.

81. S. Hilt, S. Shabbir, J. Anders, and Eric Lutz Phys. Rev. E83 (2011) 030102(R).

82. J.M. Horowitz, K. Jacobs, Phys. Rev. Lett. 115 (2015) 130501.

83. C.Browne, A.J.P. Garner, O.C.O. Dahlsten, and V. Vedral, Phys. Rev. Lett. 113 (2014) 100603.

84. Y. Jun, M. Gavrilov, and J. Bechhoefer Phys. Rev. Lett. 113 (2014) 190601.

85. C.Adami, Ann. of the NY Acad.Sc. 1256 (2012) 49.

86. Ph. Faist, F. Dupuis, J. Oppenheim, and R. Renner, Nature ications 6 (2014) 7669.

87. G. Diana, G. B. Bagci, M. Esposito, Phys. Rev. E87 (2013) 012111.

88. T.D. Schneider, J. Theor. Biol. 148, 83 (1991); J. Theor. Biol. 189 (1997) 427.

89. E.Smith, J. Theor. Biol. 252 (2008) 185; Journal of Theor. Biol. 252 (2008) 213.

90. J. Goold, M. Paternostro, K. Modi, Phys. Rev. Lett. 114 (2015) 060602.

91. J.L.England, J. Chem. Phys. 139 (2013) 121923.

92. CKMfitter Group (J. Charles et al.), Eur. Phys. J. C41 (2005) 1

93. M. Bona [UTfit Collaboration], PoS CKM 2016 (2017) 096

94. Y. Amhis et al., [Heavy Flavor Averaging Group (HFAG)], arXiv:1612.07233 [hep-ex].

95. M. Neubert, hep-ph/0212360.

96. D. Atwood, M. Gronau and A. Soni, Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 185

97. M. Gronau, Y. Grossman, D. Pirjol and A. Ryd, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 051802

98. M. Gronau and D. Pirjol, Phys. Rev. D66 (2002) 054008

99. T. Gershon and A. Soni, J. Phys. G33 (2007) 479

100. P.A.M. Dirac, Nature 139 (1937) 323

101. G. F. Giudice, arXiv:0801.2562 [hep-ph].

102. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, Phys. Lett. B429 (1998) 263

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 3370, 4690

G. Dvali, Fortsch. Phys. 58 (2010) 528

G. Dvali and M. Redi, Phys. Rev. D77, 045027 (2008)

G. Dvali, M. Redi, S. Sibiryakov and A. Vainshtein, Phys. Rev. Lett. 101,

151603 (2008)

T. Jacobson, arXiv:gr-qc/9404039.

G. Veneziano, JHEP 0206 (2002) 051

V. P. Frolov, D. V. Fursaev and A. I. Zelnikov, Nucl. Phys. B486 (1997) 339

Q. G. Huang, Phys. Rev. D77 (2008) 105029 A. D. Sakharov, Sov. Phys. Dokl. 12 (1968) 1040

N. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland, 2007.

D. J. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1343.

H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346.

G. 't Hooft, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 74 (1999) 413 http://www.claymath.org/millennium-problems/yang M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B147 (1979) 385

M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B147 (1979) 448

Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 58 (1995) 309 A. M. Polyakov, Phys. Lett. B59 (1975) 82

G. G. Batrouni and M. B. Halpern, Phys. Rev. D30 (1984) 1782 S. Mandelstam, Phys. Rev. 175 (1968) 1580

H. G. Dosch, Phys. Lett. B190 (1987) 177

H. G. Dosch and Yu. A. Simonov, Phys. Lett. B205 (1988) 339

125. Yu. A. Simonov, Nucl. Phys. B307 (1988) 512

126. V.Volterra, B.Hostinsky, «Ope'rations infinite'simale line'aires» , Gauthiers Villars, Paris, 1939

127. M.B. Halpern, Phys.Rev. D19 (1979) 517

128. N.Bralic, Phys.Rev. D22 (1980) 3090

129. Y. Aref'eva, Theor.Math.Phys. 43 (1980) 353

130. S.V.Ivanov, G.P.Korchemsky, Phys.Lett. B154 (1985) 197

131. S. V. Ivanov, G. P. Korchemsky and A. V. Radyushkin, Yad. Fiz. 44 (1986) 230 [Sov. J. Nucl. Phys. 44 (1986) 145]

132. Yu.A.Simonov, Phys.Atom.Nucl. 50 (1989) 213

133. L. Lukaszuk, hep-th/9611192.

134. M. Hirayama, M. Kanno, M. Ueno and H. Yamakoshi, Prog. Theor. Phys. 100 (1998) 817

135. B. S. De Witt, Phys. Rev. 162, 1195 (1967)

136. B. S. De Witt, Phys. Rev. 162, 1239 (1967)

137. L. F. Abbott, Nucl. Phys. B185 (1981) 189.

138. Yu. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 58 (1995) 107 [Yad. Fiz. 58 (1995) 113], in: Lecture Notes in Physics, v. 479, Springer, 1996.

139. A. M. Badalian and Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 60 (1997) 630 [Yad. Fiz. 60 (1997) 714]

140. Y. A. Simonov, S. Titard and F. J. Yndurain, Phys. Lett. B354 (1995) 435

141. V. I. Shevchenko and Y. A. Simonov, Phys. Lett. B437 (1998) 131

142. J. Ambjorn, P. Olesen and C. Peterson, Nucl. Phys. B240 (1984) 189

143. P. Olesen, Nucl. Phys. B200 (1982) 381

144. G. K. Savvidy, Phys. Lett. B71 (1977) 133.

145. S. G. Matinyan, G. K. Savvidy and N. G. Ter-Arutunian Savvidy, JETP Lett. 34 (1981) 590 [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 34 (1981) 613]

146. H. Leutwyle^ Nucl. Phys. B179 (1981) 129

147. I. H. JoTysz and C. Michael, Nucl. Phys. B302 (1988) 448.

148. Y. A. Simonov, Nucl. Phys. B592 (2001) 350

149. Y. A. Simonov, arXiv:1003.3608 [hep-ph].

150. M. Foster et al. [UKQCD Collaboration], Phys. Rev. D 59 (1999) 094509

151. M. Bewein, N. Brambilla, J. Ta^us Castella and A. Vaira, Phys. Rev. D92 (2015) 114019

152. A. Vainshtein, V. Zakharav, Phys.Lett. B225 415 (1989)

153. M. Eidemulle^ M. Jamin, Phys.Lett.B416 (1998) 415.

154. V.Shevchenko, hep-ph/9802274

155. Y. A. Simonov, Nucl. Phys. B324 (1989) 67

156. M. Schiestl and H. G. Dosch, Phys. Lett. B209 (1988) 85

157. Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 61 (1998) 855 [Yad. Fiz. 61 (1998) 941]

158. D. V. Antonov, Int. J. Mod. Phys. A11 (1996) 4401

159. D. V. Antonov and Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 60 (1997) 478 [Yad. Fiz. 60N3 (1997) 553]

160. L. Del Debbio, A. Di Giacomo, Yu.A. Simonov, Phys.Lett. B332 (1994)

161. M. D'Elia, A. Di Giacomo, E. Meggiolara, Phys.Lett. B408 (1997) 315

162. G. S. Bali, N. Brambilla and A. Vaira, Phys. Lett. B421 (1998) 265

163. M. D'Elia, A. Di Giacomo and E. Meggiolara, Phys. Rev. D67 (2003) 114504

164. M. D'Elia, E. Meggiolara, M. Mesiti and F. Negra, Phys. Rev. D93 (2016) 054017

165. Yu.A.Simonov, arXiv:1804.08946 [hep-ph]

166. Y. A. Simonov, JETP Lett. 71 (2000) 127

167. H.B.G.Casimn-, Prac.Roy.Acad. Amsteráam 34 (1931) 844

168. J.A. de Azca^aga, A.J.Macfariane, math-ph/0006013

169. G. S. Bali, Phys. Rev. D62 (2000) 114503

170. J.A. de Azcarraga, et al, Nucl.Phys.B510 (1998) 657

171. M.Peter, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 602

172. N. A. Campbell, I. H. Jorysz and C. Michael, Phys. Lett. B167 (1986) 91

173. J.Greensite, M.B.Halpern, Phys.Rev.D27 (1983) 2545

174. S. Deldar, Phys. Rev. D62 (2000) 034509

175. C. Piccioni, Phys. Rev. D73 (2006) 114509

176. L. Liptak and S. Olejnik, Phys. Rev. D78 (2008) 074501

177. B. H. Wellegehausen, A. Wipf and C. Wozar, Phys. Rev. D83 (2011) 016001

178. E.M.Ilgenfritz et. al Phys. Rev. D58 (1998) 114508

179. D.Diakonov, Yu.Petrov, M.Pobylitsa, Phys.Lett. B226 (1989) 372

180. M.Polikarpov, A.Veselov, Nucl.Phys. B297 (1988) 34

181. J.F. Arvis, Phys.Lett. B127 (1983) 106

182. M.Luscher, K.Symanzik, P.Weisz, Nucl.Phys.B173 (1980) 365

183. K. J. Juge, J. Kuti, C. J. Morningstar, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 73 (1999) 590

184. A.Polyakov, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 68 (1998) 1

185. G.'t Hooft, Nucl.Phys.B138 (1978) 1

186. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, Phys.Lett. B474 (2000) 177

187. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 73 (1999) 572

188. M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, Phys.Rev. D57 (1998) 2603

189. S.Deldar, JHEP 0101 (2001) 013

190. A.Di Giacomo, hep-lat/0012013

191. M.N.Chernodub, F.V.Gubarev, M.I.Polikarpov, V.I.Zakharov, hep-lat/0103033

192. G.Poulis, Phys. Rev. D54 (1996) 6974

193. A. Chodos, R.L. Jaffe, K. Johnson, C.B. Thorn, V.F. Weisskopf, Phys. Rev. D 9 (1974) 3471

194. K.Johnson and C.B.Thorn, Phys. Rev. D13, 1934 (1976)

195. M.J. Strassler, Nucl.Phys.Proc.Suppl. 73 (1999) 120

196. A. Armoni and M. Shifman, Nucl. Phys. B671 (2003) 67

197. B. Lucini, M. Teper, hep-lat/0103027

198. B. Lucini, M. Teper, Phys.Lett. B501 (2001) 128

199. M.Wingate, S.Ohta, hep-lat/0006016

200. D. Giataganas, JHEP 1505 (2015) 134

201. D. K. Hong, J. W. Lee, B. Lucini, M. Piai and D. Vadacchino, Phys.Lett. B775 (2017) 89

202. Yu. Dubin, Yu.S. Kalashnikova, Phys.Atom.Nucl. 58 (1995) 1967, Yad.Fiz. 58 (1995) 2078

203. Yu.A.Simonov, J.A.Tjon, Ann.Phys. 228 (1993) 1

204. A.B.Kaidalov, Yu.A.Simonov,Phys.Lett.B477 (2000) 163

205. A.Mueller, B.Patel, Nucl.Phys.B 425 (1994) 471

206. A.Bialas, R.Peschanski, Ch.Royon, Phys.Rev.D57 (1998) 6899

207. N.Nikolaev, B.Zakharov, V.Zoller, Phys.Lett. B328 (1994) 486

208. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov and V. S. Fadin, Sov. Phys. JETP 45 (1977) 199 [Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72 (1977) 377]

209. A. B. Kaidalov and Y. A. Simonov, Phys. Lett. B477 (2000) 163

210. S.Narison, QCD Spectral Sum Rules, World Scientific, 1989.

211. M.A.Shifman,(ed) Vacuum Structure and QCD Sum Rules, North-Holland, 1992.

212. A.V.Radyushkin, hep-ph/0101227.

213. V.A.Novikov, M.A.Shifman, A.I.Vainshtein and V.I.Zakharov, Nucl. Phys. B191 (1981) 301

214. V.A.Novikov, M.A.Shifman, A.I.Vainshtein and V.I.Zakharov, Fortschr.Phys.32 (1984) 11

215. V.I.Zakharov, hep-ph/9906264

216. K.G.Chetyrkin, S.Narison, V.I.Zakharov, hep-ph/9811275

217. M.A.Shifman, Ann.Rev. Nucl. Part. Sci. 33 (1983) 199

218. V.Marquard and H.G.Dosch, Phys. Rev. D35 (1987) 2238

219. H.G.Dosch and Yu.A.Simonov, Z.Phys. C45 (1989) 147

220. M. Kozhevnikova, A. Oganesian and O. Teryaev, EPJ Web Conf. 138 (2017) 02006

221. V.M.Belyaev, B.L.Ioffe, ZhETF 83 (1982) 876

222. M.Kremer, G.Schierholz, Phys.Lett. B194 (1987) 283

223. A.A.Ovchinnikov, A.A.Pivovarov, Yad.Fiz.48 (1988) 1135

224. A.Di Giacomo, E.Meggiolaro, H.Panagopoulos, Nucl.Phys. B483 (1997) 371

225. A.I.Vainshtein, V.I.Zakharov, V.A.Novikov, M.A.Shifman, Sov.J.Nucl.Phys. 39 (1984) 77

226. F. Araki, M. Musakhanov, H. Toki, hep-ph/9808290

227. I.I.Balitsky, Nucl. Phys. B254 (1985) 166

228. G.'tHooft, Nucl. Phys. B75 (1974) 461

229. E.Shuryak, Nucl. Phys. B198 (1982) 83, ibid. B203 91982) 116

230. A.V.Radyushkin, Phys. Lett. B271 (1991) 218

231. M.A.Shifman, hep-ph/9405246

232. I.Bigi, M.A.Shifman, N.Uraltsev and A.Vainshtein, Phys.Rev. D59 (1999) 054011

233. A. R. Zhitnitsky, Phys. Rev. D53 (1996) 5821

234. A.Yu.Dubin, A.B.Kaidalov, and Yu.A.Simonov, Phys. Lett. B323 (1994) 41

235. D.La Course, M.G.Olsson, Phys. Rev. D39 (1989) 1751

236. V.L.Morgunov, A.V.Nefediev and Yu.A.Simonov, Phys. Lett. B459 (1999) 653

237. A.M.Badalian and Yu.A.Simonov, Phys. At. Nucl. 60 (1997) 630

238. M. C. Chu, J. M. Grandy, S. Huang and J. W. Negele, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 30 (1993) 495

239. T. DeGrand, Phys. Rev. D64 (2001) 094508

240. M. Golterman and S. Peris, Phys. Rev. D67 (2003) 096001

241. M. Golterman, S. Peris, B. Phily and E. De Rafael, JHEP 0201 (2002) 024

242. M. Golterman and S. Peris, JHEP 0101 (2001) 028

243. S. R. Beane, Phys. Rev. D64 (2001) 116010

244. S. S. Afonin, A. A. Andrianov, V. A. Andrianov and D. Espriu, JHEP 0404 (2004) 039

245. S. S. Afonin, Phys. Lett. B576 (2003) 122

246. A. A. Andrianov, S. S. Afonin, D. Espriu, V. A. Andrianov, Int.J.Mod.Phys. A21 (2006) 885

247. S. S. Afonin, Phys.Rev. C77 (2008) 058201

248. A. Bramon, E. Etim and M. Greco, Phys. Lett. B41 (1972) 609

249. J. J. Sakurai, Phys. Lett. B46 (1973) 207

250. G. Veneziano, Nuovo Cim. A57 (1968) 190

251. V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B249 (1985) 445 [Yad. Fiz. 41 (1985) 1063]

252. K. G. Chetyrkin, A. A. Pivovarov, Nuovo Cimento, A100 (1988) 899

253. Yu. A. Simonov, Phys.Atom.Nucl. 67 (2004) 1027 [Yad.Fiz. 67 (2004) 1050]

254. Y. A. Simonov, in Lectures Notes in Physics, v.479, p.139, Springer, 1996

255. A. M. Badalian and Yu. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 60 (1997) 630 [Yad. Fiz. 60 (1997) 714]

256. E. V. Shuryak,

257. E. V. Shuryak, Nucl. Phys. B328 (1989) 85

258. S. Narison and V. I. Zakharov, Phys. Lett. B522 (2001) 266

259. Ф.Индурайн, Квантовая хромодинамика: введение в теорию кварков и глюонов, Москва, Мир, 1986

260. S.V.Mikhailov and A.V.Radyuskin, JETP Lett. 43 (1986) 712

261. A.P.Bakulev and A.V.Radyuskin, Phys. Lett. B271 (1991) 223

262. R. Akhoury, V.I. Zakharov, Phys.Lett. B438 (1998) 165

263. K.G. Chetyrkin, S. Narison, V.I. Zakharov, Nucl.Phys. B550 (1999) 353

264. M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, V.I. Zakharov, Phys.Lett. B475 (2000) 303

265. F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, V.I. Zakharov, Mod.Phys.Lett. A14 (1999) 2039

266. Yu.A. Simonov, JETP Lett. 69 (1999) 505

267. A.M. Badalian, D.S. Kuzmenko, Phys.Rev. D65 (2002) 016004

268. H.B.G. Casimir, D.Polder, Phys.Rev. 73 (1948) 360

269. M.B. Voloshin, Nucl.Phys. B154 (1979) 365

270. H. Leutwyler, Phys. Lett. B98 (1981) 447

271. J.S. Bell, R.A.Bertlmann, Nucl.Phys. B187 (1981) 285

272. I.I. Balitsky, Nucl.Phys. B254 (1985) 166

273. G. Burgio, F. Di Renzo, G. Marchesini, E. Onofri, Phys.Lett. B422 (1998) 219

274. G.S. Bali, Phys.Lett. B460 (1999) 170

275. M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, V.I. Zakharov, Phys.Atom.Nucl. 64 (2001) 561

276. G.J. Goebel, M.T. Thomas, Phys.Rev. D30 (1984) 823

277. V.I. Ritus, Sov. Phys. JETP, 42 (1975) 774

278. V.I. Ritus, Sov. Phys. JETP, 46 (1977) 423

279. V.I. Ritus, in Sandansky 1998, Frontier tests of QED and physics of the vacuum, hep-th/9812124

280. W. Heisenberg, H.Euler, Z.Phys. 98 (1936) 714

281. R. Serber, Phys.Rev. 48 (1935) 49; E. Uehling, Phys.Rev. 48 (1935) 55

282. F.V. Gubarev, L. Stodolsky, V.I. Zakharov, Phys.Rev.Lett. 86 (2001) 2220

283. M.J. Lavelle, M. Schaden, Phys.Lett. B208 (1988) 297

284. P. Boucaud, A. Le Yaouanc, J.P. Leroy, J. Micheli, O. Pene, J. Rodriguez-Quintero, Phys.Lett. B493 (2000) 315

285. L. Stodolsky, P.van Baal, V.I. Zakharov, Phys.Lett. B552 (2003) 214

286. M. Bordag, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko, Phys.Rept. 353 (2001) 1

287. J. Collins, A. Duncan, S. Joglekar, Phys.Rev. D16 (1977) 438

288. M.D'Elia, A.Di Giacomo, E.Meggiolaro, Phys.Lett. B408 (1997) 315

289. S.Narison, Phys.Lett. B387 (1996) 162

290. V.A. Fock, Sov.Phys.,12 (1937) 404

291. J. Schwinger, Particles, Sources and Fields, vols.1 and 2, Addison-Wesley, 1970, 1973.

292. R. P. Feynman, Space-Time Approach To Nonrelativistic Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys. 20 (1948) 367.

293. Yu. A. Simonov, J. A. Tjon, Ann. Phys. 300 (2002) 54

294. Z. Bern and D. A. Kosower, The computation of loop amplitudes in gauge theories, Nucl. Phys. B 379 (1992) 451.

295. M. J. Strassler, Nucl. Phys. B 385 (1992) 145

296. C. Schubert, Phys. Rept. 355 (2001) 73 [arXiv:hep-th/0101036].

297. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965

298. A. M. Polyakov, Gauge fields and Strings, Harwood Academic Publishers, 1983

299. H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mehcanics, Statistics, and Polymer Physics, 3rd Edition, World Scientific, Singapore, 2003

300. Yu. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 68 (2005) 709

301. K.Wilson, Phys. Rev. 179 (1969) 1499

302. K.Symanzik, Comm. Math. Phys. 23 (1971) 49

303. C.Callan, Phys. Rev. D5 (1972) 3302

304. R.Brandt, Fortschr. Phys. 18 (1970) 249

305. D. Antonov, JHEP 0310 (2003) 030

306. A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Nucl. Phys. B 282 (1987) 163

307. A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Phys. Rept. 119 (1985) 1

308. A. O. Barvinsky, Y. V. Gusev, V. V. Zhytnikov and G. A. Vilkovisky, PRINT-93-0274 (MANITOBA)

309. A. O. Barvinsky, Y. V. Gusev, V. F. Mukhanov and D. V. Nesterov, Phys. Rev. D 68 (2003) 105003

310. G. V. Dunne, H. Gies and C. Schubert, JHEP 0211 (2002) 032

311. M. G. Schmidt and C. Schubert, Phys. Lett. B 318 (1993) 438

312. C. Vafa and E. Witten, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 535

313. C. Vafa and E. Witten, Nucl. Phys. B 234 (1984) 173

314. M.Giovannini, M.E. Shaposhnikov, Phys.Rev. D57 (1998) 2186

315. E. Witten, Nucl. Phys. B 149 (1979) 285

316. E. Iancu, A. Leonidov and L. D. McLerran, Nucl. Phys. A 692 (2001) 583

317. I. Y. .Pomeranchuk, Dokl. Akad. Nauk Ser. Fiz. 78 (1951) 889

318. A. A. Andrianov, V. A. Andrianov, D. Espriu and X. Planells, Phys. Rev. D 90 (2014) 034024

319. D. Teaney, J. Lauret, E.V. Shuryak, nucl-th/0110037

320. D. T. Son and P. Surowka, Phys. Rev. Lett. 103 (2009) 191601

321. A. Chodos, K. Everding and D. A. Owen, Phys. Rev. D 42 (1990) 2881

322. A. Gomez Nicola, R. F. Alvarez-Estrada, Int. J. Mod. Phys. A 09 (1994) 1423

323. A.N. Sissakian, O.Yu. Shevchenko, S.B. Solganik, Nucl. Phys. B518 (1998) 455

324. G. 't Hooft, Naturalness, Chiral Symmetry and Spontaneous Chiral Symmetry Breaking. In G. 't Hooft, Recent Developments in Gauge Theories. Plenum Press, 2000

325. R. P. Feynman and F. L. Vernon, Jr., Ann. Phys. 24 (1963) 118

326. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. B826 (2010) 313

327. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, Phys. Rev. D80 (2009) 054503

328. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, arXiv:0909.1808 [hep-ph]

329. P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, PoS LAT2009 080, 2009

330. M. Dey, V. L. Eletsky and B. L. Ioffe, Phys. Lett. B252 (1990) 620

331. V.N. Baier, V.M. Katkov, V.M. Strakhovenko, Zh.Eksp.Teor.Fiz. 68 (1975) 405

332. A. E. Shabad, V. V. Usov, Phys.Rev. D81 (2010) 125008

333. U. Muller, arXiv:hep-th/9701124

334. F. Jegerlehner and A. Nyffeler, Phys.Rept. 477 (2009) 1

335. W. -y. Tsai, Phys. Rev. D10 (1974) 1342.

336. L.F.Urrutia, Phys.Rev. D17 (1978) 1977

337. S.Adler, Ann. Phys. 67 (1971) 599

338. J.Alexandre, Phys.Rev. D63 (2001) 073010

339. C. H. G. Bessa, J. G. Duenas and N. F. Svaiter, Class. Quant. Grav. 29 (2012) 215011

340. A. Bzdak and V. Skokov, Phys. Lett. B710 (2012) 171

341. V. Skokov, A. Y. .Illarionov and V. Toneev, Int. J. Mod. Phys. A24 (2009) 5925

342. V. P. Konchakovski, V. Voronyuk, V. D. Toneev, W. Cassing, E. L. Bratkovskaya and S. A. Voloshin, PoS WPCF 2011 (2011) 045

343. G. Basar, G. V. Dunne and D. E. Kharzeev, Phys. Rev. Lett. 104 (2010) 232301

344. D. E. Kharzeev and H. -U. Yee, Phys. Rev. D83 (2011) 085007

345. Yu.A. Simonov, J.A. Tjon, Ann. Phys. 228 (1993)

346. V. Koch, S. Schlichting, V. Skokov, P. Sorensen, J. Thomas, S. Voloshin, G. Wang and H. U. Yee, Chin. Phys. C41 (2017) no.7, 072001

347. Q. Li et al., Nature Phys. 12 (2016) 550

348. D. Hummer, E. Martin-Martinez and A. Kempf, Phys. Rev. D93, no. 2 (2016) 024019

349. L. J. Garay, E. Martin-Martinez and J. de Ramon, Phys. Rev. D94 (2016) 104048

350. C. J. Fewster, B. A. Juarez-Aubry and J. Louko, Class. Quant. Grav. 33 (2016) 165003

351. A.Nitzan, R.J.Silbey, Journal of Chem. Phys. 60 (1974) 4070

352. W. G. Brenna, E. G. Brown, R. B. Mann and E. Martin-Martinez, Phys. Rev. D88 (2013) 064031

353. H.-P. Breuer, E.-M. Laine, J. Piilo, and B. Vacchini, Rev. Mod. Phys. 88 (2016) 021002

354. S. Schlicht, Class. Quant. Grav. 21 (2004) 4647

355. J. Louko and A. Satz, Class. Quant. Grav. 23 (2006) 6321

356. J. Louko and A. Satz, Class. Quant. Grav. 25 (2008) 055012

357. E. T. Akhmedov and D. Singleton, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 86 (2007) 702

358. T.Padmanabhan, T.P.Singh, Class. Quantum Grav. 4 (1987) 1397

359. E. Martin-Martinez, M. Montero and M. del Rey, Phys. Rev. D87 (2013) 064038

360. E. C. G. Sudarshan, B. Misra, Journal of Mathematical Physics 18 (4) (1977) 756

361. K. Greisen, Phys. Rev. Lett. 16 (1966) 748

362. G. T. Zatsepin and V. A. Kuzmin, JETP Lett. 4 (1966) 78 [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 4 (1966) 114]

363. L.A. Correa, M. Mehboudi, G. Adesso, and A. Sanpera Phys. Rev. Lett. 114 (2015) 220405

364. L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, E. F. Mishechenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, John Wiley and Sons, 1962

365. S. Kolekar and T. Padmanabhan, Class. Quant. Grav. 32 (2015) 202001

366. D. Buchholz and R. Verch, Gen. Rel. Grav. 48 (2016) 32

367. C.Adami, arXiv:quant-ph/0405005

368. C.H. Bennett, IBM J. Res. Dev., 17 (1973) 525; Int. J. Theor. Phys., 21 (1982) 905.

369. C.H.Bennett, Stud. Hist. Philos. Mod. Phys., 34 (2003) 501.

370. J. Earman, J.D. Jorton, Stud. Hist. Philos. Mod. Phys., 29 (1998) 435.

371. M.D. Vidrighin, O.Dahlsten, M.Barbieri, M.S. Kim, V. Vedral, and I.A. Walmsley, Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 050401.

372. D.Reeb, M.M.Wolf, New J. Phys. 16 (2014) 103011

373. E. Lubkin, Int. J. Theor. Phys., 26(6) (1987) 523

374. A. J. Buras, Acta Phys. Polon. B34 (2003) 5615

375. M.Blanke, A.Buras, D.Guadagnoli, C.Tarantino, JHEP 0610 (2006) 003

376. T. Goto, N. Kitazawa, Y. Okada and M. Tanaka, Phys. Rev. D53 (1996) 6662

377. Y. Grossman, Y. Nir and M. P. Worah, Phys. Lett. B 407 (1997) 307

378. A. J. Buras, P. Gambino, M. Gorbahn, S. Jager and L. Silvestrini, Phys. Lett. B500 (2001) 161

379. A. J. Buras, F. Parodi and A. Stocchi, JHEP 0301 (2003) 029

380. F. Mescia, arXiv:hep-ph/0411097

381. M. Okamoto, PoS LAT2005, 013 (2006)