Исследование математической модели гауссовского процесса с волатильностью в виде авторегрессионного процесса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сотникова, Елена Евгеньевна

• Сотникова, Елена Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сотникова, Елена Евгеньевна

Введение

Глава 1. Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью

1.1 Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью в дискретном времени

1.1.1 Описание модели и ее характеристик

1.1.2 Оценка параметров модели 3 О

1.1.3 Проверка гипотезы о наличии двойной волатильности

1.2 Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью в непрерывном времени

1.2.1 Описание модели

1.2.2 Свойства процесса А,

1.2.3 Расчет характеристик процесса Н{

1.2.4 Оценка параметров модели

1.3 Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью при измерениях в случайные моменты времени

1.3.1 Описание модели и ее характеристики ^

1.3.2 Оценка параметров модели ^ Резюме ^

Глава 2. Оптимальная линейная фильтрация гауссовского процесса со ~ 54 случайной волатильностью

2.1 Оптимальная линейная фильтрация гауссовского процесса со случайной волатильностью при измерениях через равные промежутки времени

2.1.1 Постановка проблемы ^

2.1.2 Нахождение параметров оптимального фильтра ^

2.1.3 Решение уравнения для весовых коэффициентов ^

2.2 Оптимальная линейная фильтрация в случае, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий 60 2.2.1 .Описание модели и постановка задачи 60 2.2.2. Расчет среднеквадратической ошибки фильтрации 61 2.2.3 Нахождение параметров оптимального фильтра

2.3 Оптимальная линейная фильтрация в случае, когда коэффициенты фильтра зависят от моментов наблюдений

2.3.1 Описание модели и постановка задачи

2.3.2 Вычисление средне квадратичной погрешности

2.3.3 Нахождение характеристик фильтра 79 Резюме

Глава 3. Расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке

3.1 Расчет цены производной ценной бумаги при переменной волатильности и процентной ставке

3.2 Другой вывод цены производной ценной бумаги при переменной волатильности и процентной ставке

3.3 Среднее значение цены производной ценной бумаги

3.4 Нахождение параметров 20 и V.

3.5 Стоимость производной ценной бумаги при малых флуктуациях волатильности и процентной ставки

Резюме

Глава 4. Распределение интеграла от случайной волатильности в случае, когда она образует чисто разрывный марковский процесс с двумя состояниями

4.1 Постановка задачи

4.2 Расчет вспомогательных величин для нахождения плотности вероятностей величины

4.3 Нахождение характеристической функции величины £

4.4. Нахождение плотности вероятностей величины

4.5 Асимптотика при больших %{Г и А,{Г

Резюме ^^

Глава 5. Программное обеспечение

5.1 Общая характеристика программы

5.2 Основы работы с программой

5.3 Программная реализация 120 Резюме 121 Заключение 122 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математической модели гауссовского процесса с волатильностью в виде авторегрессионного процесса»

Актуальность работы. В настоящее время большой интерес вызывают так называемые дважды стохастические случайные процессы. Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: рассматривается какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики берутся зависимыми от другого случайного процесса, , который обычно называют управляющим случайным процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом [20, 52, 55].

Такие процессы используются в теории массового обслуживания для описания потока заявок со случайной интенсивностью [36], при описании помех, действующих в каналах связи. Однако особый интерес представляет применение подобных процессов для описания динамики цен рисковых финансовых активов на фондовых рынках, потому что реальные процессы изменения цены очень сложные и обладают многими особенностями, еще не нашедшими адекватного представления в математической модели.

С другой стороны следует отметить, что математическое описание дважды стохастических случайных процессов наталкивается на очень большие трудности. Поэтому исследование каждого нового класса таких процессов представляет как чисто математический, так и практический интерес и является актуальным.

Состояние проблемы

Необходимость описания ряда финансовых процессов, таких как ценообразование на фондовом рынке, установление всевозможных банковских и обменных процентных ставок, привела к исследованию математических моделей со случайной волатильностью в случае дискретного и непрерывного времени. Термином «волатильность» в финансовой математике принято называть стандартное отклонение случайного процесса. Моделирование и оценка случайной волатильности играют важную роль в изучении финансовых активов и в теории управления рисками. Однако, волатильность, как мера экономической неопределенности, не наблюдаема напрямую на финансовых рынках. Для ее исследования разработан ряд дискретно-непрерывных моделей, использующих наблюдения за ценами финансовых активов, сделанные в дискретные моменты времени. Наряду с задачами оценки случайной волатильности в литературе важное место занимают задачи фильтрации, направленные на получение наиболее точных оценок параметров рассматриваемых моделей. Широко исследованы фильтры второго порядка для моделей с двойной волатильностью и рядом других комбинированных параметров, полученные оценки применены и протестированы на реальных данных фондового рынка США.

Для измерения цены опционов европейского типа существует широко известная модель Блэка-Шоулса, основанная на модели Самуэльсона изменения цен финансовых активов, которая хотя и учитывает системные отклонения цен, но неприспособленна для описания условной гетероскедастичности и колебаний случайной волатильности, которыми характеризуются реальные фондовые рынки.

В литературе широко представлен класс моделей, являющихся обобщением модели Самуэльсона, в которых волатильность моделируется при помощи диффузионных процессов. Эти модели имеют следующую общую структуру ' ' ' ' (1) ¿Л|/(ст,) = а(а, + Ь(о( )сО¥[2

1 О где Ж/ и ¡¥( - коррелированные винеровские процессы с коэффициентом корреляции р, а - коэффициент, обозначающий ставку доходности; ^(а,) -некоторая функция величин ст,, в выражении которой коэффициенты я(ст,) и

Ь2 (ст,) имеют смысл среднего и дисперсии случайной волатильности о(, а параметр р измеряет степень так называемого «эффекта рычага», при котором уменьшение стоимости актива в большей степени, чем ее увеличение зависит от значения случайной волатильности. В приведенной таблице обобщены различные модели с двойной волатильностью, описанные в литературе, которые можно описать формой (1).

Ссылки

53] р-а,) [29] ст,(р-ст,) [49]

40,43,58]

Р -Ао?)/а, [28,39,41] ф-о?) [45]

1п(а,) *(Р-1па,) 4 [50, 56]

В дискретные моменты времени t^<.<t¡ <.<tN производятся наблюдения за значением цены финансового актива. Набор наблюдений обозначается величинами и описывается формулой

1 = 1,.,М, (2) где ^) - гауссовский белый шум с нулевым средним и дисперсией •

Случайные величины IV, = (щ1,^2^ и е(, не зависят от моментов t и

Таким образом, обобщенными выражениями (1)-(2) можно описать широкий класс моделей со случайной волатильностью, представленных в литературе. Однако у подобных моделей существует существенный недостаток: бесконечное число траекторий процесса могут удовлетворять одному и тому же набору наблюдений ],/= Вследствие этого однозначное определение модели для конкретного набора данных весьма затруднительно.

Оценка параметров дискретно-наблюдаемых диффузионных процессов с ненаблюдаемыми состояниями является сложной задачей, изучению которой посвящено большое количество трудов. Фундаментальная проблема заключается в том, что траектория функции распределения, и как следствие, плотности вероятностей, моделируемых процессов не может быть точно определена. Для одномерной модели существует метод, в котором прямое уравнение Колмогорова (Kolmogorov - forward equation) определяет полупараметрическую оценку функции диффузии модели при условии известной функции сноса [27]. Свойства данной модели на случай малого набора наблюдений изучены в [48]. В [53] используется аналогичный подход и применяется метод полупараметрической оценки и дискретной аппроксимации функций сноса и диффузии. Идеи трудов [27, 53] обобщены в статье [30], где также показано, что основанные на ядрах методы могут приводить к возникновению ложной нелинейности модели.

Другая группа трудов связана с исследованиями, основанными на использовании разнообразных методов моментов (симуляционный метод моментов, эффективный метод моментов, метод непрямого вывода). Симуляционный метод [31] сравнивает экспериментальные данные, полученные в результате наблюдений, произведенных в определенные моменты времени, с данными в некоторые симулированные случайные моменты времени. Основная идея, лежащая в основе метода непрямого вывода [35, 51] заключается в сравнении моментов дискретной вспомогательной модели, описанной и оцененной с использованием реальных данных, с моментами дискретизированной версии предложенной непрерывной модели. Этот подход применен для модели со случайной волатильностью [32]. Эффективный метод моментов [33, 34] подобен методу непрямого вывода, но обладает некоторыми недостатками. Он требует, чтобы параметры дискретной вспомогательной модели и исследуемой непрерывной модели имели однозначное соответствие и охватывали все признаки данных.

Главным достижением ряда работ является применение метода фильтрации, который позволяет производить оценку внутренних параметров в многомерных непрерывных моделях со случайной волатильностью, используя наблюдения, сделанные в дискретные моменты времени. Этим объясняется растущий интерес к фильтрационным методам в финансово-технической литературе. В литературе подробно описан метод фильтрации для структурных моделей в дискретном времени [37], а также применен к дискретным моделям со случайной волатильностью [38]. Решена задача фильтрации волатильности цен акций в ARCH-моделях [46, 47], произведена оценка волатильности линейной структурной модели при помощи обычного фильтра Кальмана [54].

Для оценки параметров нелинейных систем существует метод построения расширенного фильтра Кальмана, использование которого приводит к нахождению аппроксимированного решения. Однако для анализа моделей, содержащих функцию диффузии, зависящую от состояний системы, требуется построение фильтра более высокого порядка [44]. Для оценки параметров подобных моделей используется метод максимального правдоподобия (maximum likelihood method) [6,47].

Модели со случайной волатильностью принадлежат к тому классу моделей, для которых необходимо использовать фильтры первого и второго порядка. Применение методов нелинейной фильтрации позволяет оценить ненаблюдаемые параметры и состояния широкого класса непрерывных моделей со случайной волатильностью.

Следует отметить, что автору не удалось найти трудов, посвященных исследованию моделей, аналогичных представленным в данной диссертационной работе.

Цель работы заключается в изучении дважды стохастического гауссовского процесса, волатильность которого зависит от управляющего случайного процесса.

В рамках указанной цели ставились следующие задачи:

1. Найти вероятностные характеристики модели Самуэльсона изменения цен финансовых активов со случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка в непрерывном и дискретном времени.

2. Построить оценки параметров данной модели, когда измерения проводятся в непрерывном времени; в дискретном времени с равными интервалами между измерениями; в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий.

3. Построить оптимальный линейный фильтр для фильтрации квадрата волатильности с минимальной среднеквадратичной погрешностью

4. Обобщить формулу Блэка-Шоулса на модель изменения цен со случайной волатильностью, рассматривая справедливую цену опциона как случайную величину и найти математическое ожидание справедливой цены опциона.

5. Создать программное обеспечение для расчета всех указанных выше величин.

Методика исследования. Исследование носило теоретический характер. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики, а также методы математики рынка ценных бумаг. Полученные результаты моделировались при помощи программного обеспечения с использованием численных методов.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.

1. Статистические характеристики гауссовского случайного процесса с случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка при измерениях через равные промежутки времени; при измерениях в непрерывном времени; при измерениях в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности.

2. Вид оценок параметров указанных выше моделей.

3. Вид оптимального линейного фильтра квадрата волатильности дважды стохастического случайного процесса, рассмотренного выше, в трех случаях:

- измерения процесса производятся через равные промежутки времени;

- измерения процесса производятся в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности и весовые коэффициенты фильтра зависят только от номера измерения;

- измерения процесса производятся в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности, но весовые коэффициенты фильтра зависят от момента времени, когда было произведено это измерение.

4. Формулы для средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке.

5. Точное выражение для плотности вероятностей интеграла от квадрата дискретного марковского процесса с двумя состояниями и дискретным временем и его асимптотика при большом интервале промежутка интегрирования.

Теоретическая ценность работы, заключается в том, что в ней подробно изучен гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью, которая является авторегрессионным процессом первого порядка.

Практическая ценность работы, заключается в том, что изученный процесс может найти применение для описания процесса изменения цен финансовых активов и прогнозирования их стоимости на фондовом рынке.

Краткое изложение содержания работы

В первой главе рассматривается гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка. В дискретном времени эта модель имеет вид

Аи=ц + (а + 6Д„) 8„, где ц-тренд процесса, постоянная величина, а,Ь - константы, еи - последовательность независимых стандартных нормальных случайных величин, имеющих нулевые математические ожидания и единичные дисперсии, а процесс Ап есть авторегрессионный процесс первого порядка: с коэффициентом регрессии р, |р|<1, в котором г|„ также является последовательностью независимых стандартных случайных величин. Таким образом, в этой модели коэффициент при еи, определяющий волатильность процесса Ьп, сам становится случайным процессом.

Заметим, что коэффициент волатильности а + ЬАп в данной модели может принимать и отрицательные значения. Но это не влияет на свойства процесса, так как отрицательность волатильности означает просто смену знака у £„, и кроме того, в окончательных формулах присутствует только квадрат волатильности.

В разделе 1.1 находятся статистические характеристики процесса о кп=кп-\х. Показано, что ° VI Ъ2

М\ Нп > = а2+-Т = а2+Ьп,

V У 1-Р где Ъ1 =--г-. Далее

1-Р м\ к > V ь о V2" о о

СОУ^ ИпМ+к ^ = 4а2Ьорк + 2Ь$р2к.

Эти соотношения позволяют построить оценки параметров рассматриваемой модели. Для этого рассматриваются статистики вида N 1

УУ 71=1

1 м

Ц40=Т7-гЕ(/г"-т1)4'

14 Аи=1

Плк = „ , . ~т\)2(К+к ~щ)2

С использованием метода моментов, можно получить следующие оценки параметров рассматриваемой модели

1 м

И=1

Л2 ЦдО

Заметим, что коэффициенты а и Ъ оцениваются с точностью до знака. Оценка рк величины рк имеет вид

Для точного определения знака величины р следует брать величину к нечетной.

В разделе 1.2 эта же модель рассматривается в непрерывном времени. Она имеет вид

Я, = \Jidt + (а + М, У , где Д, - является авторегрессионным процессом

Д, = + с!^, а РГ, и 7]( есть независимые винеровские случайные процессы, а - константа. Таким образом, волатильность процесса Я, сама становится случайным процессом о( = а + ЬА1. Для расчета характеристик процесса Я,, он представлен в виде интеграла Ито

Я,=ц* + \(а + ЬА5)си¥5, и рассматривается процесс Я, = Я, - . Тогда в работе показано, что М о у Ч У ь2Л а* +— 2а М г о у

Я, ч / ЗГ

2> а

2а

Г 12а2Ь2 | 3Ъ4 к а2 2а3 J г

2а2Ь2 3Ь4] 12а2Ь2

--=—е 4 Ма о ( о \2

4ач а/ , 364 -2а/ У а

V У

Я, Ч У

Г10а262 564>! ч а

8а4 2 ъ2^1 а + — ч 2а,

2и2

10агЬл + 212)+1

4а

Га' +

-аг а а*

12Л2 3 Ь4) а2 111 ' 2а\

5Ь4 . 1 п ■2ш , Ъ4 т . и 8а4 8а4

2д Ь е-а(1'ч) Ь е-2а(1'-1) а- 8а4

Эти соотношения позволяют, используя метод моментов, построить оценки параметров рассматриваемой модели. Будем считать, что процесс Я, измеряется через равные интервалы времени Дг и обозначим н\2 = Я(А+5)Д/ - Нш. Для построения оценок рассмотрим статистики н л

А=1

Обозначим далее а0 = а2, Ь0=Ь2/а, аД^ = X. Тогда оценки параметров модели имеют вид

Д = т^Ьх, г ¡8 X где обозначено

ЗАх(т4 -(5 + 2)т22)+1(зт22-тъ\5Ах + (е~*х+х)]

1х + е-*х-е-^х+ХУ

А}\5Вк+е-ш-е~2{1!-1)1 + 2Х)+Вх[5Аг

Далее, а0 е~х -\ + Х)= Ах, (е-2Х-\ + 2 Х)=Вх. Х2{т3-Зт2) Вх -\2Т2АХЬ0 48Л

Все они содержат неизвестный параметр X, который находится из уравнения л/3 т\-тъ 8 4бАх 1

АХ(5ВХ + ё~ъх -+ 2Х)+ ВХ\5АХ + [е~"х -е^-1* + X)

3Ахр + -(5^ + е~$х - е~{5~1)Х + х)

-&-164) 1

3 Ахр + - (5 Ах + е~*х - е~{$~])Х + х)

АХ{5ВХ +е~2зХ-е~2^-Х)Х + 2Х)+В^Ах + (е~зХ-е"^"1* + А.)] /(Кр) где р [т4 С? +

Показано, что /(Х,р) монотонно возрастает с ростом X и р.

В разделе 1.3 рассмотрен гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью при измерениях в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X. Изучаемая модель имеет вид кп = ц + {а + ЬАп)еп, где ц - тренд процесса, являющийся постоянной величиной; а, Ъ - константы; си - последовательность случайных величин гп , С0 - константа, - последовательность нормальных независимых одинаково распределенных случайных величин А^(0,1); процесс Дл — авторегрессионный процесс первого порядка: Ап=е~ат"Ап1+цп, а — положительная константа, Г|и - последовательность случайных величин г|я =^лЛ/С1ти , константа, С,п — последовательность нормальных независимых одинаково распределенных случайных величин N(0,1), не зависящих от Величины т„, имеющие смысл интервалов времени между измерениями, имеют плотность вероятностей р(т„) = Хе~^Хп.

Рассматривается центрированный процесс Нп=кп-\1. Получены следующие характеристики этого процесса: / \ М о К У

Со X а2 +

СЬ2

2а^

1-е * М г . \4

6С02

4^2

1 -т

1-е х 3 с

1-е х

V у М о о ^

Ьп Ип+к \ Г

С2 л2 а2+Ь2^ X 1

1-е * 4а Ь ка

2и2 Сх е X

2ка

2Ь4Ф к 2с0 1 ■ (

1-е X2 1-е *

V ) \ /

С использованием метода моментов на основании статистик т.

1 ы 1У п=1 1 1п=\ 1 ** и=1 ЛГ-А: = ЛГ ; 1 Е^« -т\)2(кП+к-Щ)2 И-к-1 Г? построены оценки параметров модели. Переходя к величинам

2 , ^ ^

А = Я0, Ь0=--7

2а >

1-е *

Р = е х получено, что эти оценки имеют вид ка рк =е к N п=1

2 ^ 3 2 Ц-40

Со У2' а

1-е'*V ц2

1ц*-М 2 36 Л

А 3 2Ц40 С0 V 2 36

2 -\2 л2

Л Ц2 А, Ц4А: Л Ц40

Со2 2С02 36С02 А

Со - 1и2Н40

Ь^2 36

Во второй главе рассмотрена оптимальная линейная фильтрация гауссовского процесса со случайной волатильностью. В разделе 2.1 рассмотрена оптимальная линейная фильтрация гауссовского процесса со случайной волатильностью при измерениях через равные промежутки времени.

Пусть мы имеем измеренные значения процесса для моментов времени = -оо, N. По этим измерениям необходимо оценить величину (а + М^)2, то есть значение квадрата волатильности в текущий момент времени N. N

Рассмотрим оценку Стдг величины (а + ЬАм)2 в виде ст^ = ^у+ где

-00 у,-, / = 0,оо - некоторые коэффициенты, а Ь - некоторая константа. Таким образом, оценка о2м находится как линейное преобразование величин /г/, то есть рассматривается линейная фильтрация величин к}.

В качестве ■ критерия, оценивающего качество фильтрации, рассмотрим среднеквадратическую ошибку фильтрации = М\ N

J^y Nihf+L-(a + bANY i=-oo

Оптимальный фильтр будем находить из условия s => min, где минимум ищется по величинам уу, / = 0,оо и величине Ь.

В работе показано, что оптимальное значение величины Ь равно

L = (a0 + b0) i-Ir,

V j=o а весовые коэффициенты ys равны ys = Atff + А2У2, s = 0,оо. Здесь yjH у2 корни уравнения

У) = 3(«о + 6а0Ь0 + Мо) + 4 а0Ь0 \ (

1 1 + 2%

1-YP iX

1 Р) V 1 1

1~УР 1

0, удовлетворяющие условию | yf | < 1, а константы А{ и А2 равны

А1= з (Ъ ^(р-УхР-У^)'

Р(У2-У\)

А=~ * л(Р-г2)(Р2-У2)

Р (У2-У1)

Получено также явное выражение для среднеквадратичной ошибки фильтрации.

В разделе 2.2 рассмотрена оптимальная линейная фильтрация в случае, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий. Рассмотрена модель гауссовского процесса со случайной волатильностью <1Н{ = (а + ЬА1]сЦ¥п где Д/ - авторегрессионный процесс первого порядка с1&1 = -аД, + ¿/г|, с коэффициентом регрессии а, 1¥( — стандартный винеровский случайный процесс.

Для данной модели решается задача построения оптимального фильтра

2=1д 1[я(//+1)-я(0]2+1, /=1 где у,- - коэффициенты фильтра, Ь - константа. Оптимальный фильтр строится исходя из условия минимизации среднеквадратической ошибки в оценке величины (а + ЬА0)2: е2=М<

Г 00 Л2

Ч/=1 тт, где Я,- = Я(//+1)- #(/,-).

Показано, что Ь = м{а + ЬА0 )2 }- £ у,А/ {Я? }, а весовые коэффициенты м фильтра равны уг- = + Л2у'2. Здесь у1 и у2 - корни уравнения

У) = 2 о 2.2аА, + а2(1-А,)+Я,2(1-а) ,4а2 + Аа-А оа Оп -х—;-г--Н ¿Оп -;-Г

0 а2Х(Х + а) 0 аА(А + 2а)

1а2Ъ1

X + аХу(Я. + а) - Я,) (X + 2аХу(Х + 2а) - X)

2а2Ъ1у

Ь40У О

Х + аХХ + а-уХ) (А + 2аХ^ + 2а - уА) удовлетворяющие условию | у,-1 < 1, а константы А1 и Л2 равны

А 4 А2 (у! (2а + А,) - Я>Ху 1 (а + А.) - А.)

1 у1(у2-у1Ха + А.)(2а + А.) '

А = 4А2(у2(2а + Х)-ХХу2(и + Х)-Х)

2 у2(у2-у,Ха + А)(2а + А)

В разделе 2.3 рассмотрена оптимальная линейная фильтрация в случае, когда коэффициенты фильтра зависят от моментов наблюдений. Строится оптимальный фильтр, коэффициенты которого зависят не от номера наблюдения, а от моментов наблюдений то есть У/ = у(0- Таким образом, выражение для оптимального фильтра приобретает вид: 1 где Ь - константа.

Коэффициенты фильтра рассчитываются из условия минимизации среднеквадратической ошибки фильтра в оценке величины (а + ЬА0)2: е2 =М

00

Ху(Оя2 + 1-(а + ЬД0): Чы тт. .

В результате минимизации критерия (2.55) по параметру Ь получаем выражение для этого параметра:

В результате громоздкого исследования показано, что оптимальная весовая характеристика фильтра имеет вид у (и) = Ахе^и + Аге~™ + Аъе~™ + Але~^и + А5е~^и, где у,, у2, Уз, 74,75 - положительные корни уравнения а А. 1 г)-2аЖ

А, + а) а

А, 1

Х,-аХу + а) (А,-аХу + А,) у + А. + а

2а

2а(А, + 2а) X 1

2а

А, - 2аХу - 2а) (Х-2а)(у-Х) у-Х-2а (Х-2а)(у + 2а)

-2

8a2Z>Q а + 2Ъ$ ~ tx) q А.а(а + А,)

А, - 2аХу + А,) у + А, + 2а Константы Alf А2, А3, А4, А5 находятся из системы линейных уравнений а

Х-а X

А ! А

У!-а у2-а уз-а у4-а y5-aj 871^ = 0,

Х-2а Х-а а + А,

А ' у{-Х у2-Х уз-А, у4 - А, у5-Х 0,

У!-А,-2а у2-Х-2а у3-Х-2а у4-Х-2а у5-Х-2а 0, А А ух-Х-а у 2-Х-а у3 - А, - а y4 - А. - а у5 - А, - а 0,

2а

Х-2а А

4ХЬЦ

2а + Х

0.

7! - 2а 72 - 2а 73 - 2а 74 - 2а 75 - 2а В третьей главе рассмотрен расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке.

В разделе 3.1 рассмотрен расчет цены производной ценной бумаги при переменной волатильности ст(7)и процентной ставке r{t). Рассмотрим случай, когда r = r(t) и g = g(0, причем вид их зависимости от времени известен. Показано, что справедливая цена производной ценной бумаги V(t,S) в момент времени t удовлетворяет уравнению dV a2(t)S2 d2V dt 2 ÔS2 dS br(t)S--r(t)V = 0 , которое необходимо решить, считая известной функцию ¥(Т,8). Получено решение этого уравнения в виде

00 ~ ( (У \ е 2 V Г,5-ехр Ъ-^ + гЖЛ у 2 ;; где

T-t т

R(= J r(T-u)du= jr(v)c?v,

Г-/ г

I, = J a2(T-u)du = Jct2(v)î/v.

0 f

В разделе 3.2 дан другой вывод этого же решения, основанный на теории интеграла Ито.

В разделе 3.3 рассмотрено среднее значение цены производной ценной бумаги, когда r(t) и с2(/) являются случайными процессами. Тогда Rt и X, становятся случайными величинами, и цена производной ценной бумаги V(t,S) в момент времени t становится случайной величиной.

Пусть мы знаем совместную плотность вероятностей p{Rt, величин Rt и £г Тогда среднее значение цены производной ценной бумаги может быть записано в виде

00

M{V(t,S)}= ¡V(T,ex)R(lnS-x)dx, где

0000 /?

R(\nS-x)=\\-?—exp

1 ilS-X + R,-^*

21, p{RtXt)dRtdi:t,

Найти явный вид также очень сложно, поэтому естественно использовать аппроксимации. Для как интеграла от квадрата случайного процесса, предложено использовать аппроксимацию

I? у-1 А

1о

Г(у)Г0

Тогда, если значение известно, то получается ад: л/2 (ь-я.

-7ТехР -у^"

V 1

1+ к 1

В разделе 3.4 рассмотрена оценка параметров И0 и V. С использованием метода моментов показано, что эти оценки имеют вид 2-0 =

В разделе 3.5 рассмотрена стоимость производной ценной бумаги при малых флуктуациях волатильности и процентной ставки и получены формулы, позволяющие вычислить параметры 10 и V при малых флуктуациях волатильности.

В четвертой главе найдено точное распределение вероятностей интеграла от квадрата одного типа случайного процесса, что может представлять интерес для расчета средней цены производных ценных бумаг.

Рассмотрен процесс следующего вида: процесс ст(?) может принимать одно из двух значений 01 и а2, причем переходы между ними образуют дискретную марковскую цепь с двумя состояниями. Интенсивность перехода -» сг2 равна , интенсивность перехода ст2 —> равна \2 •

Основной задачей данной главы является нахождение плотности вероятностей величины

S= j<j2(t)dí , то есть интеграла от квадрата процесса случайной волатильности на интервале [0,7^] при условии, что ст(о) = с^. Эту плотность вероятностей будем обозначать Pi{S). Для определенности будем считать, что Gj < ст2.

В результате громоздкого исследования получено, что эта плотность вероятностей имеет вид

A.i 1 т oV-oî ' 1^2 СТ2T-S а2 -ст1

T-'h 2т 1

VCT2~CT1

Л1 -Х,Т + 2 2е 'е а2 ст1

S-afT h-htalT-s) с ^■

JX{k2(G22T-SlS-GlT)

Jx fafâT-sXs-ÔÎT)

2 2 VCT2 а1 где 5 меняется в пределах <з\Т<8 <а\Т. После перехода к безразмерной величине ^ = -Т^ получается | а1)=^г ■ [бф+А.,^-*1^ х ■ X ' 71 " 7° ^^О ~ *))]

В асимптотическом случае при больших А, 5 Т и А^Г получено, что случайная величина Г1, определяемая соотношением

X.J + Х2 имеет плотность вероятностей

Т{Хх + X2f

An- ехр

Xy+TijfT

4АД

1Л2 что говорит о том, что при Х2Т)»1 случайная величина г| является асимптотически нормальной со следующими статистическими характеристиками:

M{ti} = 0,D{TI} = lk{k2

2)ът'

В пятой главе дается краткое описание программного обеспечения для расчета полученных в работе характеристик.

Публикации по работе

Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Сотникова Е.Е., Терпугов А.Ф. Модель изменения цен финансовых активов с двойной волатильностью // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. Вып. 2. - С. 106-112.

2. Сотникова Е.Е. Модель изменения цены финансового актива со случайной волатильностью // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. - Вып. 3. - С. 138-146.

3. Назаров A.A., Сотникова Е.Е., Терпугов А.Ф. Расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке // Обработка данных и управление в сложных системах. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.-Вып. 4.-С. 58-66.

4. Сотникова Е.Е., Терпугов А.Ф. Оптимальная линейная фильтрация дважды стохастического случайного процесса // Известия вузов. Физика, 2002. №4. — С. 20-24.

5. Сотникова Е.Е. Расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке // Вестник Томского государственного университета. - 2002. -№1 (I). — С. 180-184.

6. Сотникова Е.Е. Модель изменения цен финансовых активов с двойной волатильностью при условии пуассоновских моментов наблюдений // Материалы межрегиональной конференции «Математические методы в природе и обществе». - Красноярск, 2002. - С.223-228.

7. Сотникова Е.Е. Построение оптимального фильтра для модели изменения цен финансовых активов с двойной волатильностью в случае дискретного времени // Материалы шестого корейско-российского международного научно-технического симпозиума KORUS'2002. - Новосибирск, 2002.

8. Сотникова Е.Е. Модель изменения цен финансовых активов с двойной волатильностью // Тезисы докладов межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса» - Анжеро-Судженск: КемГУ, 2000. -ЧастьI. -С. 36-38.

9. Сотникова Е.Е. Построение оптимального фильтра для модели изменения цен финансового актива с двойной волатильностью // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство». - Анжеро-Судженск: КемГУ, 2001. - Часть 2. - С.62-63.

10. Сотникова Е.Е. Распределение интеграла от случайной волатильности в случае, когда она образует чисто разрывный марковский процесс с двумя состояниями // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - № 279.

Апробация работы

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск, 2000.

2. Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и . комплексные решения: наука, образование, производство». Анжеро-Судженск,

2001.

3. Межрегиональной конференции «Математические методы в природе и обществе», Красноярск, 2002.

4. Шестом корейско-российском международном научно-техническом симпозиуме К01Ш8'2002, Новосибирск, 2002.

5. Четвертой всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 2002.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сотникова, Елена Евгеньевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проведенным исследованиям, можно сказать, что в работе достаточно полно исследован гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка, относящийся к классу дважды стохастических случайных процессов.

Во-первых, в работе найдены статистические характеристики этого процесса в трех случаях:

- измерения процесса производятся через равные промежутки времени;

- измерения процесса производятся в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности и весовые коэффициенты фильтра зависят только от номера измерения;

- измерения процесса производятся в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности, но весовые коэффициенты фильтра зависят то момента времени, когда было произведено это измерение.

Эти результаты использованы для построения оценок параметров модели с использованием метода моментов.

Во-вторых, в работе рассмотрены вопросы оптимальной линейной фильтрации квадрата волатильности в этих же трех ситуациях и найдены явные выражения для переходной характеристики фильтра.

В-третьих, в работе предложен способ расчета справедливой цены производных ценных бумаг, основанный на той же идеи самофинансируемого портфеля, что и в известной формуле Блэка-Шоулса, но с учетом случайности волатильности и процентной ставки. В результате справедливая цена опционов становится случайной величиной и в работе получено явное выражение для математического ожидания этой цены. С использованием известной аппроксимации для плотности вероятностей квадрата интеграла от гауссовского случайного процесса, найдено математическое ожидание цены опционов для рассматриваемой модели.

И, наконец, для модели случайной волатильности в виде дискретного марковского процесса с двумя состояниями и непрерывным временем найдено точное распределение вероятностей интеграла от квадрата волатильности, что позволяет найти численно математическое ожидание справедливой цены опционов европейского типа.

Автор выражает свою благодарность научному руководителю работы профессору Александру Федоровичу Терпугову за помощь в проведении исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сотникова, Елена Евгеньевна, 2003 год

1.Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. - М.: Наука, 1969.-Т.1.

2. Бендат Д., Пирсон А. Прикладной анализ случайных данных // Перевод санглийского. М.: Мир, 1989.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

4. Гнеденко Б.В., Коваленко H.H. Введение в теорию массовогообслуживания.-М.: «Наука», 1987.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов ипроизведений.-М.: Физматгиз, 1963.

6. Денио Кл., Оппенхейм Ж., Виано Кл. Выборка в случайные моментывремени, параметрическое оценивание // Мат. стат, теор. вероят., комбинаторика и их применения: Тр. 1 Всемир. конг. о-ва Бернулли, Москва Тула, М., 1988. - Вып. 2. Секц. 6-8. - С. 184-189.

7. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральное преобразование иоперационное исчисление. М.: Наука, 1974.

8. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.

9. Кендал М.Д., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука,1973.

10. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. -М.: Наука, 1966. П.Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы.

11. Справочник. Киев: Наук, думка, 1983.

12. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход A.B., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.

13. Крамер А.И., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987.

14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965.

15. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

16. Левин Б.Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1960.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.

18. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

19. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988.

20. Скляревич А.Н., Скляревич Ф.К. Вероятностные методы объектов с возможными изменениями. Рига: Зинатне, 1989.

21. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под редакцией М. Абрамовича, И. Стиган и др. М.: Наука, 1979.

22. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - том 1.

23. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - том 2.

24. Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000.

25. Терпугов А.Ф. Математическая статистика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974.

26. Хеннекен П.А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения.-М.: Наука, 1974.

27. Ait-Sahalia Y., Testing Continuous-Time Models of the Spot Interest Rate // Rev. Financial Studies 9 (2), 1996. P. 385-426.

28. Bailey W. and Stulz R. M. The Pricing of Stock Index Options in a General Equilibrium Model // Financial and Quantitative Analysis, 1989.-24(1).-P. 1-12.

29. Courtadon G. The Pricing of Options on Default-Free Bonds //

30. Financial and Quantitative Analysis, 1982. 17 (1). - P. 75-100.

31. Cox J.C. Notes in options pricing 1: constant elasticity of variance diffusions //Tech. Report, Stanford University, 1975.

32. Duffle D. and Singleton K. Simulated moments estimation of markov models of asset prices // Econometrica, 1993. — 61 (4). — P. 929-952.

33. Engle R.F. ARCH Selected Readings. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

34. Gallant A.R., D. Hsieh D. and Tauchen G.E. Estimation of stochastic volatility models with diagnostics // Econometrics, 1997. — 81. — P. 159192.

35. Gallant R., Hsu C.-T. and Tauchen G.E. Using High/Low Data to Calibrate Volatility Diffusions and Extract the Forward Integrated Variance. — Manuscript, Dept. of Economics, Duke Univ., 1998.

36. Gourieroux G., Monfort A. and Renault E., Indirect Inference \\ Applied Econometrics, 1993. 8. - P. 85-118.

37. Grandell J. Double stochastic Poisson processes. Lecture notes in mathematics 529. Berlin: Springer Verlag, 1976.

38. Harvey C. Forecasting, Structural Models and the Kalman Filter. — Cambridge University Press, New York, 1989.

39. Harvey A. C., Ruiz E. and Shephard N. Multivariate Stochastic Variance Models // R. Economic Studies. 61. - P. 247-264.

40. Heston S. L. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options \\ Rew. Financial Studies, 1993. 6 (2). - P. 327-343.

41. Hull J. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Finance, 1987. 42 (2). - P. 281-300.

42. Hull J. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Adv. Futures and Options Research, 1988. 3. -P. 29-61.

43. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory. Academic Press, New York, 1970.

44. Jones C. A Simple Bayesian Approach to the Analysis of Markov Diffusion Processes. Tech. Report. The Wharton School, Univ. of Pennsylvania, 1998.

45. Maybeck P. S. Stochastic Models, Estimation and Control. Academic Press, London, 1982.

46. Musiela M. and Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling. — Springer Verlag, 1997.

47. Nelson D.B. Asymptotically Optimal Smoothing with ARCH Models // Econometrica, 1996. 64 (3). - P. 561-573.

48. Nielsen J.N. and Madsen H. Applying the EKF to stochastic differential equations with level effects. Submitted, 2000.

49. Pritsker M. Nonparametric Density Estimation and Tests of Continuous Time InterestRate Models // Rew. Financial Studies, 1998. 11 (3). - P. 449-487.

50. Schmalensee R. and Trippi R.R. Common Stock Volatility Expectations Implied by Option Premia // Finance, 1978. 33 (1). - P. 129-147.

51. Scott L.O. Option Pricing when the Variance Changes Randomly: Theory, Estimation and an Application // Financial and Quantitative Analysis, 1987. -22 (4).-P. 419-438.

52. Smith A. A. Estimating nonlinear time series models using simulated vector autoregressions // Applied Econometrics, 1993. 8. - P. 63-84.

53. Snyder D.L. Random point processes. -N.Y.: Join Wiley and Sons, 1975.

54. R. Stanton. A Nonparametric Model of Term Structure Dynamics and the Market Price of Interest Rate Risk // Finance, 1997. 52 (5).

55. Timmer J. and Weigend A. S. Modeling volatility using state space models // Int. Neural Systems, 1997. 8. - P. 385-398.

56. Tjostheim D. Some doubly stochastic time series models // J. of Time Series Analysis, 1986.- Vol.7,№ l.-P. 51-71.

57. Wiggins J. B. Option Values under Stochastic Volatility: Theory of the Empirical Estimates // Financial Econometrics, 1987. 19. - P. 351-372.

58. Willmott P., Dewinne J., Howison S. Option pricing. Information press, Oxford, UK.

59. Zhu Y. and Avellaneda M. A risk-neutral stochastic volatility model // Int. Theoretical and Applied Finance, 1998. 1(2). - P. 289-310.

60. Сотникова E.E., Терпугов А.Ф. Модель изменения цен финансовых активов с двойной волатильностью // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. — Томск: Изд-во Том. унта, 2000. Вып. 2. - С. 106-112.

61. Сотникова Е.Е. Модель изменения цены финансового актива со случайной волатильностью // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. — Вып. 3. -С. 138-146.

62. Назаров А.А., Сотникова Е.Е., Терпугов А.Ф. Расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке // Обработка данных и управление в сложных системах. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. Вып. 4. — С. 58-66.

63. Сотникова Е.Е., Терпугов А.Ф. Оптимальная линейная фильтрация дважды стохастического случайного процесса // Известия вузов. Физика, 2002. №4. С. 20-24.

64. Сотникова Е.Е. Расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке // Вестник Томского государственного университета. 2002. -№1 (I). — С. 180-184.

65. Сотникова Е.Е. Модель изменения цен финансовых активов с двойной волатильностью при условии пуассоновских моментов наблюдений // Материалы межрегиональной конференции

66. Математические методы в природе и обществе». Красноярск, 2002. - С.223-228.

67. Сотникова Е.Е. Распределение интеграла от случайной волатильности в случае, когда она образует чисто разрывный марковский процесс с двумя состояниями // Вестник Томского государственного университета. — 2003. — № 279.