Фильтрация процесса, управляющего дисперсией нестационарного гауссовского шума тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Богданов, Александр Леонидович

• Богданов, Александр Леонидович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Богданов, Александр Леонидович

Введение.

1. Оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Фильтрация в модели с дискретным временем.

1.2.1. Случай диффузионного управляющего процесса.

1.2.2. Случай чисто разрывного марковского управляющего процесса.

1.3 Фильтрация в модели с непрерывным временем.

1.3.1. Случай диффузионного управляющего процесса.

1.3.2. Случай чисто разрывного марковского управляющего процесса.

1.4. Резюме.

2. Фильтрация дисперсии коррелированного гауссовского процесса.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Линейная фильтрация.

2.2.1. Фильтрация в дискретном времени.

2.2.2. Фильтрация в непрерывном времени.

2.3. Нелинейная фильтрация.

2.3.1. Фильтрация в дискретном времени.

2.3.2. Фильтрация в непрерывном времени.

2.4. Имитационное моделирование.

2.5. Резюме.

3. Фильтрация дисперсии гауссовского шума в многомерном случае.

3.1 Математическая модель процесса в дискретном времени.

3.2 Линейная фильтрация управляющего процесса в многомерном случае.

3.3 Фильтрация управляющего процесса в случае многомерной авторегрессионой модели.

3.4 Фильтрация управляющего процесса в непрерывном времени.

3.5. Резюме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фильтрация процесса, управляющего дисперсией нестационарного гауссовского шума»

Актуальность работы

При разработке систем связи возникают следующие задачи:

- изучение свойств помех, действующих в каналах связи и имеющих как естественное, так и техническое происхождение;

- разработка математических моделей таких помех, отражающих тот факт, что мощность этих помех может меняться со временем;

- разработка методов, позволяющих в режиме реального времени оценивать мощность этих помех.

Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных этой проблеме [3, 4, 10, 24, 38, 41, 42, 63, 74], нет общепринятой математической модели этих помех, учитывающей то, что мощность этих помех изменяется со временем случайным образом, а анализ функционирования многих технических систем и оценка в режиме реального времени мощности этих помех невозможны без учета этой изменчивости. Поэтому проблема разработки таких моделей и, на их основе, алгоритмов оценки текущего значения мощности помехи остается актуальной и в настоящее время.

Гауссовские случайные процессы являются основой теории выделения и обнаружения сигналов в шумах, развитой для нужд техники и радиолокации, и поэтому в качестве модели помех, мощность которых изменяется со временем случайным образом, можно предложить модель дважды стохастического гауссовского случайного процесса, дисперсия которого зависит от другого процесса, который в данной работе выступает под именем управляющего процесса. Сам управляющий процесс предполагается диффузионным случайным процессом. Автору представляется, что такая модель может достаточно адекватно описывать реальность и поэтому заслуживает изучения как сама по себе, так и в качестве основы для выработки алгоритмов фильтрации мощности шума, работающих в реальном времени. Цель работы

При выполнении данной работы ставились следующие задачи:

1. Усовершенствовать математическую модель помех, действующих в канале связи, предложенную Т.В. Калашниковой [32], применительно к коррелированным гауссовским шумам, дисперсия которых зависит от диффузионного процесса с известными коэффициентами сноса и диффузии.

2. На основе этой модели построить алгоритмы фильтрации управляющего процесса из круга следующих алгоритмов:

- алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов;

- нормального (гауссовского) приближения для апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса, приводящим к алгоритмам, подобным фильтру Кал-мана;

- линейного алгоритма фильтрации текущего значения дисперсии гауссовского шума.

3. Методом имитационного моделирования проверить работоспособность предложенных алгоритмов.

4. Разработать программное обеспечение, реализующее линейные алгоритмы и алгоритмы нормального приближения, ориентированные на персональные ЭВМ.

Состояние проблемы

Одним из сравнительно новых направлений в теории случайных процессов и ма- ' тематической статистике является исследование и оценка характеристик так называемых дважды стохастических процессов. В Томском государственном университете подобные исследования ведутся под руководством профессоров Горцева A.M. и Терпугова А.Ф.

Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: берется какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики делаются зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом [52].

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастический пуассоновский поток событий [15 - 23, 34, 47, 49, 69, 70]. Этот поток событий имеет следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий интенсивности )), интенсивность которого зависит от управляющего процесса <^(7) . Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем; диффузионный марковский процесс; чисто разрывный марковский процесс. Такие дважды стохастические потоки успешно применялись в качестве математической модели для сигналов, получающихся при лазерном зондировании атмосферы, прохождении излучения через вещество и так далее [2, 65, 71]. Они нашли также применение при описании систем массового обслуживания, функционирующих в изменяющихся условиях [43 - 46].

В работах, посвященных этим потокам, рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков [52, 66, 72], оценка характеристик управляющего процесса [15 - 23, 30, 31], фильтрация интенсивности [35, 47, 48, 49, 50, 57, 58, 59] и так далее.

Вторым классом дважды стохастических процессов, также уже достаточно подробно исследованным, являются дважды стохастические авторегрессионые модели. В них берется процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты регрессии этого процесса считаются зависящими от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом [73]. В литературе исследованы характеристики таких процессов [26, 28, 29, 68], оценка параметров управляющего процесса [26, 27, 67], фильтрации таких процессов [14, 39, 51, 56]. Однако автору неизвестны работы, в которых управляющий процесс вводился бы в сомножитель, стоящий перед стохастической частью таких процессов, то есть в сомножитель, определяющий дисперсию получающегося процесса. В данной работе автор попытался восполнить этот пробел.

В настоящей работе рассматриваются оптимальные и субоптимальные алгоритмы фильтрации дважды стохастического гауссовского случайного процесса. В этом смысле она является продолжением и развитием работы Т.В. Калашниковой [32], в которой исследованы алгоритмы линейной фильтрации дисперсии белого гауссовского шума, дисперсия которого зависит от квадрата гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и известной функцией корреляции. Основные отличия данной работы от работ Т.В. Калашниковой следующие:

1. Для белого гауссовского шума рассмотрены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации и их нормальная аппроксимация.

2. Рассмотрена модель гауссовского процесса в виде авторегрессионой модели первого порядка, в которой от управляющего процесса зависит сомножитель, стоящий перед стохастическим слагаемым. Рассмотрены вопросы оптимальной линейной и нелинейной фильтрации этого коэффициента.

3. Алгоритмы линейной фильтрации обобщены на многомерный случай. Научная новизна работы

По мнению автора, научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем:

1. Для случая некоррелированного гауссовского процесса, дисперсия которого зависит от диффузионного марковского процесса, получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса и уравнения для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в нормальном приближении.

Эти алгоритмы получены в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

2. Предложена модель нестационарного гауссовского шума в виде авторегрессионого процесса первого порядка, у которого коэффициент при стохастическом слагаемом зависит от управляющего процесса, который считается либо марковским процессом, либо стационарным гауссовским процессом с известной функцией корреляции.

В рамках данной модели получены:

- алгоритмы оптимальной линейной фильтрации значений коэффициента при стохастическом слагаемом;

- алгоритм оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса;

- уравнение для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в рамках нормального приближения.

Эти алгоритмы получены также в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

3. Большая часть результатов, изложенных в предыдущем пункте, перенесена на многомерный случай.

Основные научные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты работы: 1. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени), определяющих апостериорную плотность вероятностей управляющего процесса для следующих случаев:

- некоррелированный гауссовский процесс;

- гауссовский процесс в виде авторегрессионого процесса первого порядка, у которого от управляющего процесса зависит сомножитель перед стохастическим слагаемым;

2. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени) определяющих апостериорные среднее и дисперсию апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса в нормальном приближении в тех же случаях, что и в предыдущем пункте.

3. Вид уравнений, определяющих весовые коэффициенты (в дискретном времени) или весовую функцию (в непрерывном времени) оптимального линейного фильтра для фильтрации дисперсии гауссовского процесса, когда этот процесс является авторегрессионым процессом первого порядка, или произвольного порядка, у которого управляющий процесс, входящий в сомножитель перед стохастическим слагаемым, является гауссовским случайным процессом с известной функцией корреляции.

4. Явное решение этих уравнений в случае, когда управляющий процесс является гауссовским случайным процессом с экспоненциальной функцией корреляции.

Методика исследования

Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей [8, 11, 13, 50], теории условных марковских процессов [12, 13, 50, 53], теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов[53, 61]. Правильность и работоспособность линейных алгоритмов фильтрации, а также алгоритмов фильтрации, основанных на нормальной аппроксимации апостериорной плотности вероятностей, подтверждается результатами имитационного моделирования этих алгоритмов на ЭВМ. Практическая ценность

Данная работа выполнялась в инициативном порядке в плане продолжения тематики хоздоговорных работ, финансирование которых было прекращено, а также в соответствии с планом научно - исследовательских работ факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Результаты исследований могут найти применение при построении систем связи, адаптирующихся к уровню мощности шума в канале связи, а также при анализе экспериментальных данных о шумах, действующих в реальных каналах связи. Реализация полученных результатов

Разработанные алгоритмы фильтрации мощности шума в канале связи реализованы программно в виде комплекса программ. Содержание работы

Во введении излагаются: актуальность работы; цель работы; состояние проблемы и место данной работы среди других работ по данной тематике; научная новизна работы; основные научные положения, выносимые на защиту; методика исследования; практическая ценность и реализация полученных результатов. Приводится также краткое изложение результатов работы по главам.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Богданов, Александр Леонидович

Заключение

В работе были рассмотрены вопросы линейной и нелинейной фильтрации ненаблюдаемого управляющего процесса в моделях коррелированного и некоррелированного шума. Идея этих моделей состоит в том, что коэффициент, определяющий дисперсию наблюдаемого процесса, считается зависящим от управляющего процесса. Относительно последнего делались предположения, что он является либо диффузионным марковским случайным процессом с известными коэффициентами сноса и диффузии, либо чисто разрывным марковским случайным процессом с известной переходной плотностью вероятностей.

В случае линейной фильтрации наблюдаемый процесс моделировался как процесс авторегрессии первого порядка. В рамках этой модели выведены уравнения, определяющие оптимальный фильтр в дискретном и непрерывном времени.

Для частного случая экспоненциальной функции корреляции был найден явный вид оптимальных весовых коэффициентов в дискретном времени и весовой функции фильтра в непрерывном времени, а также определено значение минимальной среднеквадратичной погрешности фильтрации. Полученные результаты были проверены предельным переходом от дискретного к непрерывному времени.

Было сделано обобщение результатов линейной фильтрации на случай авторегрессии произвольного порядка К.

При решении задачи нелинейной фильтрации была использована теория оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов. Однако тот факт, что от управляющего процесса зависит коэффициент, определяющий дисперсию наблюдаемого процесса (обычно рассматривается случай, когда от управляющего процесса зависит

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Богданов, Александр Леонидович, 1999 год

1. Андерсон Т. Стохастический анализ временных рядов. -М.: Мир. 1976. -755с.

2. Апанасович В.В., Коляда A.A. Чернявский А.Ф. Статистический анализ потоков событий в физическом эксперименте Минск: Университетское, 1988.-251 с.

3. Бакут П., А. , Большаков И. А. , Герасимов Б. М. , Курикша А, А. , Репин В. Г., Тартаковский Г. П. , Широков В. В. Вопросы статистической теории радиолокации. -М. : Сов. радио. 1964, Том 2. 1079с.

4. Бакут П. А. , Большаков И. А. , Герасимов Б. М. , Курикша А. А. , Репин В. Г., Тартаковский Г. П., Широков В. В. Вопросы статистической теории радиолокации. М. : Сов. радио. 1963, Том 1. - 424с.

5. Богданов А. Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного дважды стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика 1998. № 4 - С. 15-22

6. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика 1999. № 4 - С. 3 - 7

7. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация мощности нестационарного гауссовского шума //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сборник статей / Под ред. Проф. А.Ф. Терпугова Томск: Изд - во ТГУ - 1999 160 с.

8. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986

9. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана Бьюси. - М.: Наука, 1982. -200 с.

10. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями к радиолокации. Пер. с англ., под ред. Горелика Г. С. Изд -во Сов. радио. 1955.

11. Гихман Й.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов М.: Наука, 1982.-200 с.

12. Гнеденко Б. В., Коваленко И. И. Введение в теорию массового обслуживания . -М.: Наука, 1987. 313 с.

13. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 256 с.

14. Голубев Г. А., Писарев О. В. Линейная фильтрация стационарных процессов с дискретным временем // Автомат, и телемех. 1992, № 7. - С.55.61.

15. Горцев А. М. , Катаева С. С. Оптимизация гистерезисной дисциплины обслуживания несимметричным резервным каналом. // Изв. вузов. Физика. 1996. №4. -С. 3-10.

16. Горцев А. М., Баранник Н. Ф. Оценка максимального правдоподобия параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий //Радиотехника. 1991, № 12. С. 20 - 25.

17. Горцев А. М., Катаева С. С. Оптимальное подключение несимметричного резервного прибора к однолинейной СМО в нестационарных условиях. //Радиотехника. 1994, № 8. С. 20 - 24.

18. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание периода наблюдаемости и-интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996, № 2. -С. 8- 11.

19. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание параметров знакопеременного пуассоновского потока событий //Радиотехника. 1994, № 8. С. 3 - 9.

20. Горцев А. М., Климов И. С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его не наблюдаемости // Радиотехника. 1991, № 12.-С. 3-7.

21. Горцев А. М., Нежельская JI. А. , Шевченко Т.И, Оценивание состояний МС потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. 1993. Хз 12. - С. 67 - 85.

22. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оптимальная нелинейная марковская фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Серия "" Системы связи '\ 1989. - Вып. 7. с. 46 - 54."

23. Гримм. Основные характеристики внешнего шума // Зарубежная радиоэлектроника. 1960 № 6.

24. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования М. Наука 1976., 317 с.

25. Идрисов РФ. Идентификация дважды стохастической авторегрессионой • модели первого порядка методом максимального правдоподобия // Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств. Тезисы докладов. Новосибирск. 1987. С. 78

26. Идрисов Р.Ф. Оценка параметров дважды стохастической, авторегрессионой модели методом максимального правдоподобия // Стат. анализ и обработка экспериментальных данных. Межвузовский сборник науч. трудов. Новосибирск, НЭТИ, 1988. С. 40 - 46.

27. Идрисов Р.Ф. Статистический анализ дважды стохастической авторегрессионой модели // Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. Тезисы докладов. Гродно. 1988. С. 42 - 43.

28. Идрисов Р.Ф. Устойчивость и идентификация дважды стохастической авторегрессионой модели //П Конференция молодых ученых Сибири и дальнего востока. Тезисы докладов. Новосибирск. 1987. С. 52 - 53.

29. Идрисов Ф.Ф. выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Изв. вузов. Физика. 1996. № 4. С. 11 - 16. •

30. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока// Радиотехника. 1996, № 2.-С. 3-7.

31. Калашникова Т.В. Фильтрация и оценка функции корреляции управляющего процесса дисперсии дважды стохастического шума /дис. на соиск. ученой степ. канд. техн. /ЛГУ; 1996, 105с.

32. Калашникова Т.В., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного белого шума //Известия высших учебных заведений. Физика 1995. № 3 - С. 32 - 36.

33. Коваленко И. Н. , Кузнецов Н. Ю., Шуренков В. М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наук, думка. 1983. - 368 с.

34. Коротаев И. А. Адаптивная фильтрация интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий // Управляемые системы массового обслуживания. Томск : Изд во Томского университета, 1984

35. Крамер Г., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987.-313с.

36. Кульман Н. К. Асимптотически оптимальная фильтрация гауссовского процесса в канале с запаздыванием // Вероятностные процессы и их приложения. М., 1989. - С. 46 - 50.

37. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. -М.: Сов.радио. 1960.

38. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная фильтрация диффузионных марковских процессов. Труды математического института им. В.А."

39. Стеклова АН СССР, 1968. т. 104, с. 135 180.

40. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М. Наука, 1974.-696 с.

41. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ. , под ред. Левина Б. Р. М.: Сов. радио. 1961. Том 1.

42. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ. , под ред. Левина Б. Р. М.: Сов. радио. 1962. Том 2.

43. Назаров А. А., Никифоров Е. С. Асимптотический анализ дважды стохастических потоков, управляемых марковскими процессами // Стохастические и детерминированные модели сложных систем. Новосибирск, 1988. с. 78 - 85.

44. Назаров А. А., Никифоров Е. С. Асимптотический анализ дважды стохастических потоков, управляемых полумарковскими процессами// Техника средств связи. Сер. С. С. 1989. Выл. 7. с. 71 76

45. Назаров А. А., Никифоров Е. С. Асимптотический анализ полумарковских потоков// Оптимальное управление: Геометрия и анализ. Кемерово, 1988. -с. 123

46. Поттосина С. А. , Терпугов А. Ф. Линейная фильтрация случайных процессов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. вузов. Физика. 1994. № 2. С. 67 - 72.

47. Поттосина С. А. , Терпугов А. Ф. Фильтрация дважды стохастических рекуррентных точечных процессов // Радиотехника. 1991. № 12. С. 20 -25.

48. Поттосина С. А. , Терпугов А. Ф. //Изв. Вузов. Физика. 1993. № 12. С. 54.

49. Радюк Л. Е. , Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск. : Изд во Томск, ун - та, 1988. - 174 с.

50. Репин В.Г. Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. Сов. радио, 1977. -432 с.

51. Скляревич А. Н. , Скляревич Ф. К. Вероятностные методы объектов с возможными изменениями. Рига: Зитатне. 1989. - 366 с.

52. Стратонович Р.Л. Принципы адаптивного приема. М.: Сов. радио, 1973.320 с.

53. Стратонович P.JL Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд - во МГУ, 1966. - 320 с.

54. Терпугов А.Ф., Поттосина С.А. Фильтрация интенсивности дважды стохастических точечных случайных процессов // Радиотехника, 1991, N 2 -с. 8 14.

55. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975 - 720 с.

56. Федосов Е. Н. Адаптивная нелинейная фильтрация интенсивности дважды стохастического рекуррентного потока событий // Теория и техника приема, передачи и обработки информации.: Тез. докл. 4.1. Харьков - Туапсе, 1996-с. 38.

57. Федосов Е. Н. Оптимальная нелинейная фильтрация дважды стохастического пуассоновского потока, управляемого чисто разрывным марковским процессом //Изв. вузов. Физика. 1995. № 3. С. 17-21.

58. Федосов E.H. Нелинейная фильтрация MC потока при наличии мертвого времени // Изв. Вузов. Физика, 1997, N 4 - с. 38 - 44.

59. Хазен Э.М. Байесовские оценки в задачах фильтрации сигналов // Радиотехника и электроника. 1968. - N 5 - с. 842 - 850.

60. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1969

61. Хазен Э.М. О стохастических дифференциальных уравнениях для апостериорного распределения вероятностей в задачах адаптивной фильтрации и обнаружения сигналов// Автоматика и телемеханика: 1971. -N11. с. 86 -93.

62. Широков В. В. , Репин В. Г. Воздействие помех на систему автоматической регулировки усиления // Радиотехника. 1959, № 4.

63. Fedosov On filtering for double stochastic sifting Poisson processes // Исследование систем и сетей массового обслуживания.: Тез. докл. -Гродно, 1996-с. 68-69.

64. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes. Lecture notes in mathematics' 529. Berlin: Springer - Verl. 1976. - 234 p.

65. Helm W.E., Woldmann К. H. Optimal control of arrivals to multiserver queues in a random environment//!. Appl. Probability. 1984. - Vol. 21, № 3. - P. 602 -615.

66. Nicholls D. F. The Box Jenkins approach to random coefficient autoregressive128modelling. Applied Probability Trust. 1986. - P. 231 - 240.

67. Ray D. On the autoregressive model with random coefficients. Calcutta Statist. Assoc. Bull. 1983, 32. № 127 - 128. - P. 136 - 142.

68. Ben Slimane and T. Le Ngoc. A double stochastic Poisson model for self -similar traffic. //Conference Record of the International Conference on Communications (ICC). 1995.

69. Snyder D. L. Random point processes. N. Y. Wiley. 1975.

70. Snyder D.L. Filtering and detection for doubly stochastic Poisson point process // IEEE Transactions on Information Theory. 1972. - Vol. IT-18. N1.-p. 91102.

71. Snyder D.L. Random point processes. N. Y.: Wiley, 1984. - 465 p.

72. Tjostheim D. Some doubly stochastic time series models. J. of Time Series Analyssis, - Yol .7,№1. 1986.-P. 51-71.

73. Wiesner Source noises and their in influence on radar systems. Trans. IRE. 1954. DE-1.№4.