Анализ временных рядов при измерениях в случайные моменты времени тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.14, доктор технических наук Идрисов, Фарит Фатыхович

• Идрисов, Фарит Фатыхович
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Идрисов, Фарит Фатыхович

Введение

1. Математические модели потока случайных моментов измерений

1.1. Пуассоновский поток моментов измерений

1.2. Техника усреднения при пуассоновском потоке моментов измерений

1.3. Асимптотическое поведение статистик

1.4. Рекуррентный поток моментов измерений

1.5. Техника усреднения при рекуррентном потоке моментов измерений

1.6. Асимптотическое поведение статистик

1.7. Имитационное моделирование потока моментов измерений 60 Резюме

2. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени

2.1. Постановка задачи

2.2. Выделение тренда при известных моментах измерений

2.2.1. Метод наименьших квадратов

2.2.2. Упрощенный алгоритм оценки параметров ~

2.2.3. Исследование упрощенных оценок при пуассоновском потоке моментов измерений

2.2.4. Исследование упрощенных оценок при рекуррентном потоке моментов измерений

2.3. Выделение тренда при неизвестных моментах измерений

2.3.1. Построение оценок при пуассоновском потоке моментов измерений

2.3.2. Исследование свойств оценок при пуассоновском потоке моментов измерений

2.3.3. Оценка параметров при рекуррентном потоке моментов измерений

2.4. Выделение тренда при наличии ошибок в моментах измерений

2.4.1. Построение оценок при пуассоновском потоке моментов измерений

2.4.2. Свойства оценок параметров тренда

2.4.3. Свойства оценок для рекуррентного потока событий

2.4.4. Упрощенные оценки

2.5. Имитационное моделирование 119 Резюме

3. Выделение трендов временных рядов сплайнами

3.1. Постановка проблемы

3.2. Выделение тренда в виде сплайна первого порядка

3.2.1. Случай, когда моменты измерений известны точно

3.2.2. Случай, когда относительно моментов измерений известен только их порядок

3.2.3. Оценка сплайном первого порядка тренда произвольного вида

3.3. Выделение тренда сплайном второго порядка дефекта

3.3.1. Случай, когда моменты измерений известны точно

3.3.2. Случай, когда относительно моментов измерений известен только их порядок

3.3.3. Оценка сплайном второго порядка тренда произвольного вида

3.4. Выделение тренда сплайном третьего порядка дефекта

3.5. Имитационное моделирование 157 Резюме

4. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса

4.1. Постановка задачи

4.2. Ядерные оценки

4.2.1. Ядерные оценки функции корреляции при пуассоновском потоке моментов измерений

4.2.2. Ядерные оценки функции корреляции при рекуррентном потоке моментов измерений

4.2.3. Оценка функции корреляции при неизвестных моментах измерений

4.3. Оценки методом полиномиальной аппроксимации

4.3.1. Случай, когда моменты измерений известны точно

4.3.2. Полиномиальные оценки при наличии ошибок в моментах измерений

4.3.3. Оценка функции корреляции, когда о моментах измерений известен только их порядок

4.4. Оценка функции корреляции рядами Фурье

4.4.1. Оценка функции корреляции, когда моменты измерений известны точно

4.4.2. Оценка функции корреляции, когда известен лишь порядок производства измерений

4.5. Сплайновая оценка функции корреляции

4.5.1. Сплайновая оценка, когда моменты измерений известны точно

4.5.2. Сплайновая оценка функции корреляции, когда моменты измерений известны с ошибками

4.5.3. Случай, когда моменты измерений неизвестны

4.6. Проверка гипотез о виде функции корреляции стационарного гауссовского случайного процесса

4.7. Имитационное моделирование 233 Резюме

5. Оценка спектра мощности стационарного случайного процесса

5.1. Постановка задачи

5.2. Ядерные оценки

5.2.1. Случай, когда моменты измерений известны точно

5.2.2. Случай, когда о моментах измерений известен лишь их порядок

5.3. Оценка спектра мощности частными суммами ряда Фурье

5.3.1. Случай, когда моменты измерений известны точно

5.3.2. Случай, когда о моментах измерений известен лишь их порядок

5.4. Сплайновая оценка спектра мощности

5.4.1. Случай, когда моменты измерений известны точно

5.4.2. Случай, когда моменты измерений известны с ошибками

5.4.3. Случай, когда о моментах измерений известен лишь их порядок

5.5. Имитационное моделирование оценок спектра мощности 290 Резюме

6. Оценка функции корреляции и спектра мощности интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока

6.1. Описание объекта исследования

6.2. Ядерные оценки функции корреляции интенсивности потока

6.3. Полиномиальные оценки функции корреляции

6.4. Сплайновые оценки функции корреляции

6.5. Ядерные оценки спектра мощности интенсивности потока

6.6. Сплайновые оценки спектра мощности интенсивности потока

6.7. Имитационное моделирование 330 Резюме

7. Оценка параметров матричной авторегрессионной модели при случайных пропусках измерений

7.1. Математическая модель процесса и ее описание

7.2. Модель процесса наблюдений

7.3. Оценка матрицы В

7.4. Сходимость построенной оценки почти наверное

7.5. Оценка матрицы В по методу наименьших квадратов

7.6. Асимптотическая нормальность оценки матрицы В

7.7. Вычисление дисперсий и ковариаций элементов матрицы В

7.8. Оценка элементов ковариационной матрицы величин АЬг

7.9. Численная реализация алгоритма МНК-оценивания матрицы В Ъ1Ъ Резюме

8. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при наличии аномальных ошибок измерений

8.1. Математическая модель процесса и его измерений

8.2. Алгоритм для сравнения

8.3. Устойчивый алгоритм оценивания матрицы В

8.4. Вычисление некоторых характеристик

8.5. Ковариации оценок В1р параметров Ъ1р

8.6. Сравнение алгоритмов оценки 398 Резюме

9. Программное обеспечение разработанных алгоритмов

9.1 Общая характеристика программы

9.2 Основы работы с программой

9.3 Работа с документом

9.4 Работа с таблицами и графиками

9.5 Обработка данных

9.6 Описание примеров 419 Резюме 422 Заключение 423 Литература 425 Справки о внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ временных рядов при измерениях в случайные моменты времени»

Временные ряды встречаются очень часто в самых разнообразных областях науки, техники, экономики, медицины и т.д., так что вопросы статистической обработки этих рядов постоянно встречаются в практической деятельности многих людей.

Алгоритмам статистической обработки временных рядов посвящена обширная литература, среди которой, уже ставшие классическими, монографии [см. например 3, 8, 10, 23]. При этом надо отметить, что подавляющее большинство этой литературы посвящено ситуации, когда измерения, образующие временной ряд, производятся через равные промежутки времени.

Однако на практике часто встречаются ситуации, когда моменты измерений, порождающие временной ряд, случайны. Это имеет место в технике из-за так называемого "дрожания" моментов измерений. Случайные моменты производства измерений имеют место в телеметрических системах съема данных со спутников, где, кроме регулярных измерений, замеры осуществляются всякий раз, когда на борту наступает какое-то событие (срабатывание датчика, выход контролируемого параметра за определенные пределы и т.п.). И особенно часто такие ситуации возникают в экономических системах - в торговле, управления запасами, страховых компаниях, банках и т.д., где приход клиента происходит в случайные моменты времени и величина операции, производимой с этим клиентом, есть также случайная величина. Все это приводит к необходимости разработки теории и алгоритмов анализа временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени, что и определяет актуальность данной работы.

Работа проводилась в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ Анжеро-Судженского филиала Томского государственного педагогического университета, которым автор руководил в 1991-1997 годах, а также в порядке личной инициативы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы являлось:

1. Разработка алгоритмов анализа временных рядов, когда моменты измерений образуют пуассоновский или рекуррентный поток событий, что характерно для экономических и технических систем, а именно: выделение трендов временных рядов; оценка функции корреляции; оценка спектра мощности.

2. Разработка алгоритмов оценки функции корреляции и спектра мощности интенсивности дважды стохастических пуассоновских потоков.

3. Разработка алгоритмов оценки параметров многомерных авторегрессионных моделей при случайных пропусках и аномальных ошибках измерений.

4. Разработка программного обеспечения на современном уровне, реализующего эти алгоритмы на персональных ЭВМ в операционных системах Windows 3. X, Windows-95.

СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Отличительной особенностью данной работы является то, что в ней рассматриваются ситуации, когда: а) моменты измерений образуют пуассоновский или реккурентный поток событий с известными характеристиками ; б) моменты измерений могут быть известны точно; известны с ошибками и с известным порядком их производства; о моментах измерений может быть известен только порядок их осуществления.

Поэтому прежде всего еще раз укажем на те практические ситуации, где подобные ограничения могут реализовываться.

Во-первых, в таких ситуациях часто находятся системы съема телеметрической информации со спутников. Обычно в таких системах заложены две программы. По одной из них производится съем информации о состоянии бортовых систем во вполне определенные промежутки времени, как правило, отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии по времени. Вторая программа производит съем информации всякий раз, когда на борту спутника происходит какое-то "событие", как-то: срабатывание датчика; включение или выключение) какой-то системы. Кроме того, есть группа важнейших параметров, за которыми осуществляется постоянное слежение, и как только хотя бы один их этих параметров выходит за определенные границы, на всякий случай производится съем значений и других параметров. Так как такие события происходят случайно, то это приводит к тому, что моменты измерений образуют обычно пуассоновский поток событий.

Во-вторых, такие ситуации возникают в экономических системах, связанных с обслуживанием клиентов. К ним относятся: системы торговли, складирования, страховые и инвестиционные компании, банки и т.д. Обычно в такие системы приход клиентов осуществляется независимо друг от друга, так что поток моментов прихода, как правило, является пуассоновским (по крайней мере на небольших интервалах времени) [75, 93]. Поэтому возникает ситуация, когда измерения, образующие временной ряд, формируются в случайные моменты времени. Нередко момент обращения клиента фиксируется с ошибкой или вообще не фиксируется, так что известен лишь порядок обращения клиентов в компанию. Все это приводит к ситуации, изучаемой в данной работе. Более того, если рассматривать большие интервалы времени, то интенсивность потока обращений клиентов в компанию изменяется, причем случайным образом. И когда интенсивность пуассоновского потока сама является случайным процессом, это приводит к ситуации так называемого дважды стохастического пуассоновского потока [105, 119]. Такой объект также изучается в данной работе, так как знание статистических свойств интенсивности может помочь при прогнозировании работы экономической системы.

Дадим теперь краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе. Основная цель этого обзора - показать место данной работы среди аналогичных работ, указать на пересечение результатов в приведенных работах, а также на их отличие.

Как уже подчеркивалось выше, большинство исследований по анализу временных рядов посвящено исследованию случая, когда измерения (составляющие временной ряд) получены через равные промежутки времени. Работ по этому направлению так много, что укажем лишь на монографии [3, 1, 8, 30, 48].

Одним из главных направлений в исследованиях временных рядов, измерения в которых были получены в случайные моменты времени, являлись исследования временных рядов при наличии пропуска данных. Как на обобщающую можно указать на монографию Дж. А. Литтла и Д.В. Рубина [64], где суммированы результаты подобных исследований.

Однако есть один объект, оценок которого, при наличии пропусков измерений, автору не удалось найти в доступной ему научной литературе - это многомерная (матричная) авторегрессионная модель. Оценки матрицы этой модели в литературе исследовались [11, 68. 114]. В целом матричное оценивание привлекает внимание исследователей [71]. Что касается авторегрессионной модели, то при наличии пропусков была построена оценка параметра только одномерной авторегрессионной модели, да и то лишь для бернуллиев-ской схемы пропусков, когда отдельные измерения пропадают независимо друг от друга [82, 102, 122]. Поэтому в данной работе построены и исследованы оценки параметров многомерной авторегрессионной модели при схеме пропусков, аналогичной рекуррентному потоку событий, а также для случая наличия аномальных ошибок измерений.

Большая часть работы посвящена оценке характеристик случайных процессов, когда моменты измерений случайны. Автору неизвестны обобщающие монографии по этим исследованиям. Дадим лишь краткий обзор статей по этой проблеме.

Первые работы в этом направлении появились в связи с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для такой обработки производится дискретизация (взятие отсчетов) сигнала через равные промежутки времени А(. Однако в силу погрешностей аппаратуры происходит так называемое "дрожание" (рШгщ) этих моментов, в результате которого истинный момент измерения + где 2,п - независимые случайные величины. При этом сам момент обычно неизвестен, а известна лишь величина п • Д?.

В работах изучалось влияние этого эффекта на характеристики получающегося после измерений процесса [97, 99, 100, 104], оценка параметров исходного процесса [110], интерполяция процесса в интервалах между измерениями [111, 112, 113], фильтрация процессов [101] и некоторые другие вопросы, связанные с последующей обработкой и восстановлением сигнала [95].

В более поздних работах начали изучаться те же временные ряды, что и в работе автора - то есть изучался случай, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий.

Среди~работ, посвященных выделению тренда рядов, в которой рассматривалась задача выделения тренда при наличии пропусков в измерениях, отметим [96]. Алгоритмы выделения трендов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, впервые были предложены в статье [121]; однако эти алгоритмы совершенно не исследовались с вероятностных позиций. В работе [87] рассматривались свойства оценок параметров полиноми-ального^^енда, полученных по методу наименьших квадратов, когда моменты измерений образуют случайный точечный процесс. Автора в основном интересовали вопросы сходимости получающихся оценок.

Более подробно выделение полиномиальных трендов, когда моменты измерений образуют рекуррентный или пуассоновский поток событий, в предположении, что сами моменты измерений неизвестны, было исследовано в работе Н.В. Степановой [80], результаты которой частично пересекайся с результатами автора. Аналогичная задача рассматривалась в работах Б.Е. Три- j воженко [85, 86], в которой были подняты проблемы выделения трендов при помощи сплайнов, хотя и в другой постановке, чем в данной работе. Его ре- ^ зультаты также частично пересекаются с работами автора. Близка к этой тематике и работа [56], в которой постановка задачи совсем иная. Созвучными с этой тематикой являются исследования по фильтрации случайных процессов, измеряемых в случайные моменты времени [59, 74].

Первыми работами по оценке характеристик второго порядка (функции корреляции, спектра мощности) в случае измерений, образующих пуассоновский или рекуррентный поток событий, были, по-видимому, работы [117, 24], но в этих работах предлагался лишь вид оценок и не было приведено их математическое исследование.

Частичное исследование ядерных оценок функции корреляции и спектра мощности, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий и точно известны, было сделано в работах В.И. Высоцкого [12, 13], результаты которого частично пересекаются с результатами автора.

Из тех направлений, которые не затронуты в данной работе, отметим работы, связанные с оценкой параметров сигналов, измеряемых в случайные моменты времени [25, 98, 115, 116, 120], оценкой плотности вероятностей значения процесса [94, 106].

Очень интересная тематика исследований была начата в работе Б.В. Гне-денко [16], где рассматривались вопросы оценок неизвестных параметров при случайном числе измерений, но, насколько известно автору, эта работа не получила дальнейшего развития.

Что касается тематики, посвященной дважды стохастическим потокам событий [105, 119], то здесь исследования проводились по следующим направлениям: оценка параметров таких потоков [18, 19, 20, 21]; выделение трендов интенсивности таких потоков [67, 83, 84, 86]; фильтрация интенсивности, когда управляющий процесс является марковским [73, 88]. I

Работы других авторов по оценке функции корреляции и спектра мощно- | I сти интенсивности такого потока неизвестны. I г

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ С ДРУГИМИ АВТОРАМИ

Частичное использование работ других авторов и частичное совпадение с результатами других работ имеет место в параграфах 1.2, 2.3.1, 2.3.2, 3.2.2, 3.2.3, 4.2.2, 4.5.1, 5.2.1. Ниже указывается, в чем заключается совпадение и отличие результатов данной работы от других работ.

1. Методика усреднения статистик от моментов времени, образующих пуассоновский поток, принадлежит Н.Ю. Марголис [67], которая нашла средN ние значения и ковариации статистик вида где ti - моменты измерег=1 ний, образующие пуассоновский поток интенсивности . Однако все теоремы, касающиеся асимптотического поведения этих статистик (сходимости почти наверное, асимптотической нормальности и т.д.), принадлежат автору данной работы, так же, как и техника усреднения при рекуррентном потоке моментов измерений.

2. Выделение трендов временных рядов при пуассоновском потоке моментов измерений, когда относительно моментов измерений известен только их порядок, исследовались Н.В. Степановой [80], затем Б.Е. Тривоженко [86], Однако в их работах рассмотрены лишь полиномиальные тренды. Работа автора отличается тем, что а) рассмотрены тренды произвольного вида и б) применена другая техника вычисления средних, дисперсий и ковариаций получающихся оценок, что позволило получить более общие результаты, чем в работах [80, 85]. При полиномиальных трендах результаты автора совпадают с результатами работ [85, 86].

3. Выделение трендов временных рядов сплайнами, когда относительно моментов измерений известен лишь их порядок, исследовалось Б.Е. Тривоженко [85, 86]. Отличительные черты данной работы в том, что а) используется другое представление сплайнов, которое видится автору более удачным, чем у Б.Е. Тривоженко, которому пришлось пользоваться теорией уравнений в конечных разностях и б) иной техникой вычисления средних. Из-за другой формы представления сплайнов переход результатов автора в результаты Б.Е. Тривоженко невозможен.

4. В работе В.И. Высоцкого [12] рассмотрены оценки функции корреляции, имеющие (в обозначениях данной работы) следующий вид N-1 N где 1 если х|<

Ф#,аО)= 2

0, если х|< 1 если х< — г

Они очень похожи на наши оценки (4.22), отличаясь от них тем, что со- I множитель л:(т) вынесен за знак суммы и частным видом функцииф(х) . Однако отметим, что дисперсия этих оценок в работе [12] явно не вычислена, указана лишь ее асимптотика. Таким образом, в данной работе эти оценки исследованы более точно и подробно. Кроме того, случаи, когда ti известны с ошибками или известен лишь их порядок, другими авторами не рассматривались.

5. В работе Т.М. Куликовой [60] дана оценка функции корреляции R(x) сплайнами первого порядка при пуассоновском потоке моментов измерений. В этом частном случае результаты данной работы совпадают с результатами работы [60]. Случаи рекуррентного потока моментов измерений, наличие ошибок в моментах измерений и случай, когда о моментах измерений известен лишь их порядок в работах Т.М. Куликовой не рассматривались.

6. Наконец, ядерные оценки спектра мощности, имеющие (в наших обозначениях) вид

1 " X(tt)x(tf) и -и) V ны ) рассмотрены в работе В.И. Высоцкого [13]. Они аналогичны исследованным нами оценкам (5.3) и в асимптотике N —> со их свойства совпадают. Однако и в [13] не получено явного выражения для дисперсии этой оценки, так что наше исследование более точное. Кроме того, в [13] изучен лишь случай, когда моменты измерений известны точно.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация содержит девять глав и приложение (оформленное в виде отдельного тома).

В первой главе описывается техника вычисления средних от статистик

N N N вида и тп> к0ГДа моменты измерений образуют пуас

1 /=17=1 N 1 ооновский поток событий. Для статистик вида —^/(Л) доказываются теоремы, устанавливающие достаточные условия их сходимости в средне квадратичном смысле, почти наверное и их асимптотической нормальности при X —>■ оо, когда ti образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности.

Далее излагается техника вычисления средних от статистик вида

N N N

Еда TLf^tj), i=1 i=\j-\ когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий. Выводятся формулы, определяющие асимптотическое поведение этих средних, когда интенсивность потока Я стремится к бесконечности. Доказываются теоремы, устанавливающие достаточные условия, при выполнении которых статистики

1 N вида —^Г/(7г) сходятся в средне квадратичном, почти наверное и являются

XTi=1 асимптотически нормальными при А, —>■ оо .

В последнем параграфе кратко описывается методика имитационного моделирования пуассоновского и эрланговского потоков.

Вторая глава посвящена оценке параметров трендов вида

S к= 1 когда моменты измерений образуют пуассоновский или рекуррентный пол ток событий. В основном исследуются упрощенные оценки Qk параметров G^, полученные на основе линейных комбинаций статистик вида

I N I N J N Г ; л г^2>(х/)*/> ттЕф\Т'

Х1

4 ^ соответственно для случаев, когда моменты ^ известны точно; когда известны т/ = Ч + > гДе ~~ ошибки измерений Ц ; известен лишь порядок производства измерений, а сами моменты измерений неизвестны. Все исследование проведено для пуассоновского и рекуррентного потоков моментов измерений. В случае, когда ti известны точно, найден явный вид несмещенных оценок б^ параметров получено выражение для их ковариационной матрицы, доказаны сходимость оценок в средне квадратичном смысле, почти наверное, а также получены достаточные условия, при которых эти оценки будут асимптотически нормальными. Построена асимптотически несмещенная оценка ковариационной матрицы оценок и доказана сходимость этой оценки в средне квадратичном смысле и почти наверное при Л, —» °о.

В § 2.3 рассмотрена задача выделения тренда при неизвестных моментах измерений (известен лишь их порядок). Используя модификацию метода наименьших квадратов, строятся асимптотически несмещенные оценки параметров тренда и вычисляется ковариационная матрица этих оценок. Строится оценка ковариационной матрицы, которая сходится к истинному значению этой матрицы по крайней мере по вероятности.

В § 2.4 рассмотрен промежуточный случай, когда моменты известны с ошибками, которые считаются независимыми нормальными случайными величинами. Дополнительно считается известным порядок производства измерений (то есть их взаимное расположение во времени). Используя модификацию метода наименьших квадратов, строятся несмещенные оценки параметров тренда, находится их ковариационная матрица и строится оценка этой ковариационной матрицы. Также находятся и изучаются упрощенные оценки параметров, для которых удается более точно исследовать их асимптотические свойства (доказать сходимость почти наверное, асимптотическую нормальность, сходимость оценки ковариационной матрицы в средне квадратичном).

В § 2.5 приводятся результаты имитационного моделирования предложенных оценок ддя случая полиномиальных трендов, подтверждающие результаты теоретического исследования.

Третья глава посвящена выделению трендов временных рядов сплайнами. В отличие от обычных сплайнов, автор рассматривает рекуррентные сплайны (то есть, когда сплайн строится не весь сразу, а последовательно, участок за участком, начиная с первого). Такая процедура позволяет продолжать выделение тренда по мере поступления новых данных.

Другой особенностью является такой выбор представления сплайна, когда параметрами сплайна являются значения тренда на концах интервалов. Это позволяет более точно фиксировать эти концы.

В § 3.2 рассматривается выделение тренда сплайном первого порядка. Строятся оценки параметров сплайна (в данном случае это значения тренда на концах интервала) в предположении, что истинный тренд также является сплайном. Также находится дисперсия этих оценок и строятся оценки этой дисперсии. Все это проделано для двух крайних случаев - когда моменты измерений известны точно и когда о моментах измерений известен лишь их порядок. Сам поток моментов измерений считается пуассоновским или рекуррентным.

В ситуации, когда сам тренд не является сплайном, возникает неустранимая ошибка, связанная с ошибкой аппроксимации сплайном произвольной функции. В § 3.2.3 оценивается величина этой неустранимой ошибки для рекуррентных сплайнов.

В § 3.3 аналогично рассматривается проблема выделения тренда сплайном второго порядка дефекта 2, а в § 3.4 (очень коротко) выделение тренда сплайном третьего порядка дефекта 2.

Четвертая глава посвящена оценке функции корреляции стационарного гауссовского случайного процесса, когда моменты измерений образуют рекуррентный или пуассоновский поток событий.

В § 4.2.1 рассматриваются ядерные оценки функции корреляции при пуассоновском потоке моментов измерений, когда {ti} известны точно. Выводятся выражения для смещения оценки и находится главное (имеющее наименьший порядок малости) слагаемое в выражении для дисперсии оценки. На основании этих выражений из условия минимума общей средне квадратичной погрешности находится асимптотическое поведение параметра, определяющего ширину ядра, а также вид ядра.

В § 4.2.2 все результаты § 4.2.1 переносятся на случай рекуррентного потока моментов измерений.

В § 4.2.3 рассматриваются ядерные оценки функции корреляции, когда о моментах известен лишь их порядок. Находятся смещение этих оценок, которое оказывается (видимо, принципиально) неустранимым, а также асимптотика для дисперсии таких оценок.

В § 4.3. рассматриваются оценки функции корреляции, названные автором полиномиальными. Смысл их построения заключается в том, чтобы в окрестности значения аргумента т, при котором надо оценить Я(т), представить в виде полинома по степеням (г - т) и оценить лишь первое слагаемое, то есть оценка должна обратить в нуль все последующие слагаемые. Оказывается, что если ограничиться полиномом конечной степени, то это возможно сделать.

В работе обсуждаются такие оценки, когда Я(г) представляется в виде полинома по (г - т) второй, четвертой и шестой степени. Находится явное выражение для весовой функции и основное слагаемое для дисперсии. Такие полиномиальные оценки строятся для случаев, когда а) моменты измерений известны точно; б) моменты измерений известны с ошибками и в) относительно моментов измерений известен лишь их порядок. В последнем случае оценки имеют неустранимое смещение.

В § 4.4 рассматривается оценка функции корреляции частными суммами ряда Фурье. Для случаев, когда а) моменты измерений известны точно и б) о моментах измерений известен лишь их порядок, построены асимптотически несмещенные оценки коэффициентов ряда Фурье и найдены оценки смещения и дисперсии частной суммы ряда Фурье, оценивающего функцию корреляции. Получено асимптотическое поведение числа слагаемых, минимизирующее средне квадратичную погрешность оценки.

В § 4.5 выводится оценка функции корреляции рекуррентными сплайнами первого и второго порядков для случаев, когда а) моменты измерений известны точно; б) моменты измерений известны с ошибками и в) относительно моментов измерений известен лишь их порядок. Во всех случаях построены оценки параметров сплайна, являющиеся асимптотически несмещенными, если сама функция корреляции является сплайном того же типа.

В § 4.6 рассмотрена задача о проверке гипотез адекватности построенной оценки реальной функции корреляции, которая сводится к проверке гипотезы о том, что функция корреляции наблюдаемого процесса равна заданной функции. В работе построена статистика для проверки этой гипотезы и указано решающее правило.

В § 4.7 приведены результаты имитационного моделирования предложенных оценок.

В пятой главе оценивается спектр мощности стационарного гауссовского процесса, для моментов измерений, образующих пуассоновский или рекуррентный поток событий.

В § 5.2.1 рассмотрены ядерные оценки спектра мощности, когда моменты измерений {ti} известны точно. Для случаев пуассоновского и рекуррентного потоков моментов измерений выведены асимптотики ддя смещения оценки и ее дисперсии и определен вид зависимости параметра, определяющего ширину ядра от времени наблюдения Т.

В § 5.2.2 изучены ядерные оценки спектра мощности, когда о моментах измерений известен лишь их порядок и получено выражение для неустранимого смещения этих оценок.

В § 5.3 рассмотрены оценки спектра мощности частными суммами ряда Фурье.

В § 5.3.1 для пуассоновского и рекуррентного потоков моментов измерений, когда ti известны точно, построены оценки коэффициентов Фурье и получены выражения для асимптотического смещения и дисперсии оценки спектра мощности в виде частной суммы ряда Фурье. В § 5.3.2 то же самое проделано для случая, когда о моментах измерений { ^ } известен лишь их порядок.

В § 5.4 исследуется сплайновая оценка спектра мощности в виде сплайнов первого и второго порядков. Для случаев, когда а) моменты измерений известны точно; б) моменты измерений известны с ошибками и в) о моментах измерений известен лишь их порядок, построены оценки параметров рекуррентного сплайна - найден явный вид весовых функций и для случая в) - величина неустранимого смещения оценки.

В § 5.5 приведены результаты имитационного моделирования предложенных оценок.

Шестая глава посвящена оценке функции корреляции и спектра мощности дважды стохастического пуассоновского потока и по своим основным идеям повторяет главы 4 и 5 (отличаясь от них появлением в структуре соответствующих выражений дополнительных слагаемых).

В § 6.2 предлагаются и исследуются ядерные оценки функции корреляции интенсивности - предлагается вид оценок, вычисляется их асимптотическое смещение, дисперсия и общая средне квадратичная погрешность (вариация) оценки.

В § 6.3 аналогично модифицируются и изучаются полиномиальные оценки функции корреляции, а в § 6.4 рассматриваются сплайновые оценки в виде рекуррентных сплайнов первого и второго порядков.

В § 6.5 исследуются модификации ядерных оценок спектра мощности интенсивности дважды стохастического потока - предлагается вид таких оценок, вычисляется их асимптотическое смещение, дисперсия и вариация.

В § 6.6 строятся сплайновые оценки спектра мощности в виде рекуррентных сплайнов первого и второго порядков.

В § 6.7 приводятся результаты имитационного моделирования предложенных оценок для потока Волда.

В седьмой главе изучаются оценки параметров матричной авторегрессионной модели при случайных пропусках измерений. В § 7.1 дается описание матричной авторегрессионной модели и доказываются теоремы, определяющие некоторые свойства этой модели, необходимые для дальнейшего исследования.

В § 7.2 излагается модель пропусков, изучаемая в данной работе. По своей сути она эквивалентна рекуррентному потоку и выглядит следующим образом: после наблюденного значения следует случайное число пропусков 5. Эти величины, то есть ^ , независимы и одинаково распределены, что приводит к тому, что моменты наблюдений образуют рекуррентный поток событий, правда, с очень своеобразной плотностью вероятностей интервалов между ними.

В § 7.3 описана корреляционная оценка Й матрицы перехода модели В. В § 7.4 доказывается сходимость этой оценки почти наверное.

В § 7.5 и далее рассматривается оценка В матрицы В по методу наименьших квадратов и доказывается, что получившееся уравнение с вероятностью 1 имеет при N —>ао корень В-В. Далее доказываются теоремы об асимптотической нормальности оценки, вычисляются дисперсии и ковариа-ции элементов матрицы В, а также строятся оценки этих величин, которые сходятся при N -> оо к их истинным значениям.

В § 7.9 изложена численная реализация МНК-оценки, в которой в качестве исходной используется корреляционная оценка.

Восьмая глава посвящена оценке параметров многомерной авторегрес-синной модели при наличии аномальных ошибок измерений.

В § 8.1 описывается математическая модель аномальных ошибок, которая исследуется далее в работе. В § 8.2 излагается оценка матрицы В, предложенная В.А. Морозовым, которая далее используется для сравнения с предлагаемой в работе оценкой. Для такого сравнения вычисляется корреляционная матрица элементов матрицы В при наличии аномальных ошибок.

В § 8.3 изучается устойчивый алгоритм оценивания матрицы В, по своей идее представляющий комбинацию метода наименьших модулей и критерия знаков, но не совпадающий с методом наименьших модулей, который оказывается дает в этой ситуации неустойчивые оценки. Доказывается почти наверное сходимость построенной оценки к истинному значению матрицы при N со.

В § 8.4-8.5 вычисляются ковариации оценок переходной матрицы многомерной авторегрессионной модели. В § 8.6 приводится сравнение предлагаемой оценки с оценкой В.А. Морозова и показывается, что при наличии аномальных ошибок она может быть неограниченно лучше оценки В.А. Морозова.

В девятой главе приводится описание первой версии программного обеспечения, реализующего алгоритмы, разработанные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, полученные в данной работе и защищаемые автором, состоят в следующем:

1 ы

1. Асимптотические свойства статистик вида —^/0/)

ХТ ,=1 сходимость почти наверное, асимптотическая нормальность), когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий.

2. Методика усреднения и асимптотические свойства статистик ви

1 ^ да —(сходимость почти наверное, асимптотическая нормаль-1=1 ность), когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий.

3. Оценки параметров тренда для случая, когда моменты измерений {¿г }образуют пуассоновский или рекуррентный поток событий и известны точно, а также асимптотические свойства этих оценок (сходимость почти наверное, асимптотическая нормальность). Оценка ковариационной матрицы оценок параметров тренда и ее сходимость к истинной ковариационной матрице в средне квадратичном смысле.

4. Оценки параметров тренда, когда относительно моментов измерений {} известен лишь их порядок, асимптотическая несмещенность этих оценок, вид их ковариационной матрицы. Оценка ковариационной матрицы оценок коэффициентов тренда.

5. Оценка параметров тренда, когда моменты измерений известны с ошибками, несмещенность этих оценок, вид их ковариационной матрицы и ее оценка. Упрощенная оценка параметров тренда и ее асимптотические свойства (сходимость почти наверное, асимптотическая нормальность, сходимость оценки ковариационной матрицы).

6. Вид оценок параметров рекуррентных сплайнов первого порядка дефекта 1, второго и третьего дефекта 2, выражения для дисперсий и ко-вариаций этих оценок, а также оценки этих дисперсий и ковариаций для случаев а) моменты измерений известны точно и б) когда о моментах измерений известен лишь их порядок. Во всех перечисленных выше случаях, когда поток моментов измерений является пуассоновским или рекуррентным потоком.

7. Вид ядерных оценок, когда о моментах измерений известен лишь их порядок. Асимптотическое смещение и асимптотическая дисперсия ядерных оценок. Вид ядра полиномиальных оценок в случаях, когда а) моменты измерений известны точно; б) моменты измерений известны с ошибками; в) о моментах измерений известен лишь их порядок.

Асимптотическое смещение и асимптотическая дисперсия этих оценок.

8. Вид оценок коэффициентов Фурье разложения функции корреляции в ряд Фурье, когда моменты измерений известны точно и когда о моментах измерений известен лишь их порядок.

9. Вид оценок параметра сплайна при сплайновой оценке функции корреляции.

10. Вид статистики для проверки гипотезы о том, что функция корреляции измеряемого процесса равна или пропорциональна заданной функции.

11. Вид ядерных оценок спектра мощности, когда о моментах измерений известен лишь их порядок. Асимптотическое смещение и асимптотическая дисперсия этих оценок.

12. Вид оценок коэффициентов Фурье в случаях, когда моменты измерений известны точно и когда о моментах измерений известен лишь их порядок, и асимптотические свойства этих оценок.

13. Вид оценок параметров сплайна, оценивающего спектр мощности для случаев, когда а) моменты измерений известны точно; б) моменты измерений известны с ошибками и в) о моментах измерений известен лишь их порядок.

14. Вид ядерных, полиномиальных и сплайновых оценок функции корреляции интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока и свойства этих оценок (асимптотическое смещение, дисперсия, вариация).

15. Вид ядерных и сплайновых оценок спектра мощности интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока и свойства этих оценок (асимптотическое смещение, дисперсия, вариация).

16. Корреляционная оценка переходной матричной авторегрессионной модели и ее сходимость почти наверное при объеме выборки, стремящемся к бесконечности.

17. Вид уравнения, определяющего оценку переходной матрицы по методу наименьших квадратов. Асимптотические свойства этой оценки при неограниченном увеличении объема выборки: асимптотическая нормальность, сходимость почти наверное, асимптотические дисперсии и ковариации оценок. Оценки асимптотических дисперсий и ковариаций оценок и их сходимость почти наверное.

18. Устойчивый алгоритм оценки переходной матрицы многомерной авторегрессионной модели при наличии аномальных ошибок измерений. Сходимость полученных оценок почти наверное при N ^ со. Выражения для асимптотических ковариаций предложенных оценок. Сравнительные характеристики предложенных оценок по сравнению с оценками, предложенными В.А. Морозовым.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Большая часть исследований носила теоретический характер и проводилась с использованием аппарата теории вероятностей, математической статистики, а также ряда разделов математики, таких как преобразование Фурье и Лапласа, ортогональные ряды и т.д. Правильность результатов исследования и предлагаемых алгоритмов подтверждена результатами имитационного моделирования на ЭВМ.

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, заключается в том, что в ней с единых позиций и единой методикой изучены основные вопросы анализа временных рядов, когда моменты измерений образуют пуассоновский или рекуррентный поток событий. Эта методика может быть применена также к анализу других вопросов обработки временных рядов, измерения которых сделаны в случайные моменты времени.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные алгоритмы обработки могут быть применены для анализа реальных данных, возникающих в экономических и технических системах, что позволит анализировать работу таких систем и прогнозировать их поведение в будущем.

РЕАЛИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Большинство предложенных алгоритмов для анализа временных рядов при измерениях в случайные моменты времени реализовано в виде комплекса программ, работающих в операционных системах Windows З.Х и Windows 95 (русифицированные версии). Программы написаны в системе Delphi в соответствии со стандартами, принятыми в указанных выше операционных системах.

ВНЕДРЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Алгоритмы и реализующие их программы использовались при выполнении ряда работ по анализу данных для банков, страховых и инвестиционных компаний (см. справки о внедрении).

ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

Статьи

1. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при наличии аномальных ошибок // Изв. высш. учебн. за-вед., сер. Физика, 1993. Т.36. № 12. С. 86-92.

2. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при случайных пропусках измерений // Изв. высш. учебн. за-вед., сер. Физика, 1994. Т.37. № 2. С. 43-54.

3. Идрисов Ф.Ф., Ткаченко В.Н. Ядерные оценки функции корреляции и спектра мощности случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1994. Т.37. № 2. С. 55-66.

4. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995. Т.38. №3. С. 3-10.

5. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995. Т.38. № 3. С. 11-16.

6. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра мощности гауссовского случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Радиотехника, 1995. № 9. С.3-9.

7. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. № 4. С. 11-16.

8. Идрисов Ф.Ф. Полиномиальные оценки функции корреляции при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. № 4. С. 17-22.

9. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока // Радиотехника, 1996. №2. С.3-7.

10. Идрисов Ф.Ф. Сплайновая оценка спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. Т.40. № 4. С. 27-31.

11. Идрисов Ф.Ф. Оценивание сплайнами функции корреляции и спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. Т.40. № 4. С. 32-37.

12. Идрисов Ф.Ф. Проверка гипотез о виде функции корреляции стационарного случайного процесса // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1998. Т.41. №4. С.10-15.

Тезисы докладов на конференциях

1. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при случайных пропусках измерений // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов", Новосибирск, 1994. С.56-57.

2. Идрисов Ф.Ф. Оценка статистических характеристик интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока // Тезисы докладов десятой Белорусской зимней школы-семинара по теории массового обслуживания, Минск, 1994. С.57-58.

3. Идрисов Ф.Ф., Ткаченко В.Н. Оценка функции корреляции и спектра мощности случайного процесса, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий // Тезисы докладов десятой Белорусской зимней школы-семинара по теории массового обслуживания, Минск, 1994. С.59-60.

4. Idrisov F.F. Polynomial estimation of correlation function from measurements at random points of time // Proceedings of the International Conference "Computing Data Analysis and Modelling", Minsk, 1995, Vol. 1. P. 3842.

5. Idrisov F.F. Estimation of the correlation function and spectral density of the intensity of double stochastic Poison point process // Transactions of the twelfth Prague conference on Information Theory, Statistical Decision Function and Random Process", Prague, 1994. P. 116-118.

6. Idrisov F.F. Filtering of the time series trend by the first order spline while measurements at the random points of time // Computer Data Analysis and Modelling: Proc. of the Fifth International Conference (June 8-12, 1998, Minsk). Vol. 1: A-M. Minsk, BSU, 1998, p.81-86.

7. Идрисов Ф.Ф. Комплекс программ для анализа временных рядов при измерениях в случайные моменты времени // Компьютерный анализ данных и моделирование: Сборник научных статей V международной конференции (8-12 июня 1998 года, Минск). Часть 3: А-М. Минск, БГУ, 1998, стр. 173-176.

8. Idrisov F.F. Identification of the trend of time series in measurements at random times // Transactions of the twelfth Prague conference on Information Theory, Statistical Decision Function and Random Process",August 23 to 28,1998, Prague, vol. 1, pp. 247-252.

9. Идрисов Ф.Ф. Оценка характеристик управляющего процесса в дважды стохастическом пуассоновском потоке // Тезисы докладов III Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998, часть III, с. 135-136

10. Идрисов Ф.Ф. Оценивание сплайнами функции корреляции при измерениях в случайные моменты времени // Теория, практика, инновации: Тез. Докладов. - Анжеро - Судженск, 1996, с. 63-65.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. X Белорусской зимней школе-семинаре по теории массового обслуживания, Минск, 1994.

2. IV международной конференции "Компьютерный анализ данных и моделирование", Минск, 1995.

3. XII Пражской конференции по теории информации, статистическим решающим функциям и случайным процессам, Прага, 1994.

4. Международной практической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов", Новосибирск, 1994.

5. Международной научной конференции по робастным методам в математической статистике, Красноярск, 1995.

6. Региональной научно-методической конференции "Наука и образование: теория, практика, инновации", Анжеро-Судженск, 1996.

7. V международной конференции "Компьютерный анализ данных и моделирование", Минск, 1998.

8. XIII Пражской конференции по теории информации, статистическим решающим функциям и случайным процесса, Прага, 1998.

9. III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998.

Заключение диссертации по теме «Системы обработки информации и управления», Идрисов, Фарит Фатыхович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной работе, автор хотел бы отметить следующее.

Автору представляется, что данная работа достаточно полно осветила вопрос о статистическом анализе временных рядов, когда моменты измерений случайны и образуют пуассоновский или рекуррентный поток событий. Действительно, в этой работе исследованы основные аспекты анализа временного ряда, а именно:

- выделение тренда ряда;

- оценка функции корреляции;

- оценка спектра мощности.

Все эти вопросы исследованы в трёх вариантах:

- моменты измерений известны точно;

- моменты измерений известны с ошибками;

- относительно моментов измерений известен только их порядок.

Кроме того, автор дополнил раздел анализа временных рядов при наличии пропусков измерений оценкой параметров многомерной авторегрессионной модели, когда пропуски измерений образуют аналог рекуррентного потока событий и исследовал вопрос об оценке функции корреляции и спектра мощности интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока.

Автор реализовал разработанные им алгоритмы в виде пакета программ, сделанном в полном соответствии с требованиями, предъявляемыми к современному программному обеспечению.

Автор полностью сознает все недостатки и недоработки данного труда. К ним он относит следующее.

1. Автору не удалось доказать асимптотическую нормальность оценок функции корреляции и спектра мощности - сказался недостаток его математического образования. Вместе с тем автор указывает на большую сложность такого доказательства: наличие произведения типа х^.-, наличие сразу двух моментов времени ^ и tj, случайность объёма выборки N и, главное, одновременное стремление Т —» оо и Нт —» 0 (или /гу —» оо ). По-видимому, данная проблема под силу лишь математику достаточно высокой квалификации.

2. В своей работе автор не коснулся оценки функции кросс-корреляции и взаимного спектра мощности двух процессов при их измерениях в случайные моменты времени. Однако, по-видимому, решение этой проблемы не содержит ничего принципиально нового.

3. Автор не затронул вопроса об аналоге метода взвешенного скользящего среднего при выделении тренда временного ряда. Но и здесь принципиально новых моментов не предвидится.

4. Уже в процессе внедрения своего программного продукта автор обнаружил, что его алгоритмы иногда не работают, так как требуют излишне подробной информации. Так, при попытке применения этих программ к анализу фондового рынка оказалось, что информация там имеется не о каждой сделке в отдельности, а лишь о числе сделок за каждую сессию, средней цены купли-продажи и среднего объёма сделки. Таким образом, появляется задача анализа временных рядов при измерениях через равные промежутки времени, но когда число измерений в каждый момент времени случайно. Но это - уже новое направление в анализе временных рядов, отличное от тематики данной работы.

Вместе с тем автор надеется, что ему удалось внести свой скромный вклад в теорию анализа временных рядов.

В заключение автор хотел бы выразить свою благодарность ректору Томского Государственного Педагогического Университета проф. В.И.Слободскому и проректору по научной работе проф. В.В.Обухову за предоставленную ему возможность завершить эту работу. Особую благодарность автор выражает доктору физико-математических наук, профессору А.Ф.Терпугову за постоянное внимание и консультации в процессе работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Идрисов, Фарит Фатыхович, 1998 год

1. Абрамович М., Стигаи И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.-300 с.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматиздат, 1963. - 500 с.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов М.:Мир,1976-755 с.

4. Апанасович В.В., Коляда A.A., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Изд-во "Университетское", 1988.-254 с.

5. Башарин Т.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных системах. М.: Наука, 1989. - 335 с.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. -М.: Наука, 1969.-343 с.

7. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.-464 с.

8. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. Вып.1 -406 е.; вып. 2- 197 с.

9. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. - 287 с.

10. Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-536 с.

11. Васильев В.А., Конев В.В. Последовательное оценивание параметров динамических систем при наличии мультипликативной и аддитивной помех в наблюдениях // Автоматика и телемеханика, 1985. N 6. - С. 3344.

12. Высоцкий В.И. Оценка корреляционной функции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986.-Вып.4.-С. 14-21.

13. Высоцкий В.И. Оценка характеристик случайного процесса по случайным выборкам // Поиск сигнала в многоканальных системах. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. Вып.2. - С. 41-48.

14. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. -375 с.

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 447 с.

16. Гнеденко Б.В. Об оценке неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений // Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГССР, 1989. Т. 92. - С. 146-150.

17. Гнеденко Б.В., Коваленко И.А. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. - 431 с.

18. Горцев A.M., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его наблюдаемости // Радиотехника, 1991. № 12. - С. 3-7.

19. Горцев A.M., Баранник Н.Ф. Оценка максимального правдоподобия параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий // Радиотехника, 1991. -№ 12. С. 20-25.

20. Горцев A.M., Нежельская J1.A., Шевченко Т.И. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1993. -№ 12. С. 67-85.

21. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание параметров знакопеременного пуассоновского потока событий // Радиотехника, 1994. -№ 8. С. 3-9.

22. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

23. Гренджер К., Хатанага М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. М.: Статистика, 1972. - 312 с.

24. Грибанов Ю.И., Мальков B.J1. Применение случайной выборки к спектрально-корреляционному анализу случайных процессов. -Обнинск, 1977. 22 с. (Препринт. Физико-энергет. ин-т. № 782).

25. Денио Кл., Оппенхейм Ж., Виано Кл. Выборка в случайные моменты времени: параметрическое оценивание // Тр. 1 Всемирн. конгр. об-ва Бернулли, Москва-Тула, 1988. Вып.2. - Секц. 6-8. - М., 1988. - С. 184— 189.

26. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высш. школа, 1965. - 466 с.

27. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

28. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad PLUS 6.0 PRO. М.: СК Пресс, 1997.-328 с.

29. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.-319 с.

30. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. М.: Изд-во МГУ, 1982.- 168 с.

31. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

32. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при наличии аномальных ошибок // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1993. Т. 36. -№ 12. - С. 86-92.

33. Идрисов Ф.Ф. Оценка параметров многомерной авторегрессионной модели при случайных пропусках измерений // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1994. Т. 37. - № 2. - С. 43-54.

34. Идрисов Ф.Ф., Ткаченко В.Н. Ядерные оценки функции корреляции и спектра мощности случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1994. Т. 37. - № 2. - С. 55-66.

35. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995.-Т. 38. -№3. -С. 3-10.

36. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995.-Т. 38.-№3.-С. 11-16.

37. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра мощности гауссовского случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Радиотехника, 1995. № 9. С. 3-9.

38. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. -№ 4. - С. 11-16.

39. Идрисов Ф.Ф. Полиномиальные оценки функции корреляции при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. - № 4. - С. 17-22.

40. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока // Радиотехника, 1996. № 2. С. 3-7.

41. Идрисов Ф.Ф. Сплайновая оценка спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика,1997.-Т. 40.-№4.-С. 27-31.

42. Идрисов Ф.Ф. Оценивание сплайнами функции корреляции и спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. Т.40. - № 4. - С. 32-37.

43. Идрисов Ф.Ф. Проверка гипотез о виде функции корреляции стационарного случайного процесса // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1998. -Т.41. -№ 4. С.10-15.

44. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1975.

45. Кендал М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. -587 с.

46. Кендал М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.- 899 с.

47. Кендал М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

48. Китаева A.B. Медианные оценки параметров трендов временных рядов // Дис. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1989.

49. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наукова думка, 1983. - 368 с.

50. Кокс Дж. Р., Смит В. Теория восстановления. М.: Сов. радио, 1967299 с.

51. Кокс Дж. Р., Смит В. Теория очередей. М.: Мир, 1966. - 218 с.

52. Кокс Дж. Р., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. - 312 с.

53. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

54. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. -М.: Наука, 1984. -352 с.

55. Корякин А.И., Ченцов Н.Н. Об оценивании заданной в случайных узлах функции методом наименьших квадратов // Теория вероятностей и ее применение, 1990. Т. 35. - № 4. - С. 771-774.

56. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

57. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987.-313 с.

58. Круглов В.В. Оптимальная линейная фильтрация в условиях случайной дискретизации сигналов // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1995.-№6.-С. 92-106.

59. Куликова Т.М. Оценивание линейными сплайнами функции корреляции стационарного случайного процесса // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. - № 4. - С. 23-29.

60. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965. -716 с.

61. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964. - 498 с.

62. Лифшиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 180 с.

63. Литтл Дж. А., Рубин Д.В. Статистический анализ данных с пропусками. М.: Финансы и статистика, 1991. - 336 с.

64. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 719 с.

65. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.

66. Марголис Н.Ю. Оценка интенсивности флуктуирующего пуассоновского потока методом полиномиальной аппроксимации // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1984.-Вып. 3.-73-91 с.

67. Морозов В.А. Оценивание параметров линейных динамических систем с неопределенными наблюдениями // Автоматика и телемеханика, 1984. -№ 4. С. 84-94.

68. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

69. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. - 428 с.

70. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Алгоритмы матричного оценивания // Автоматика и телемеханика, 1995. -№ 11. С. 122-139.

71. Поляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

72. Поттосина С.А., Терпугов А.Ф. Фильтрация дважды стохастических рекуррентных точечных процессов // Радиотехника, 1991. № 12. - С. 20-25.

73. Поттосина С.А., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация случайных процессов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1994. № 2. - С. 67-72.

74. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. М.: Мир, 1984.-С. 180-189.

75. Прабху Н.У. Методы теории массового обслуживания и управления запасами. М.: Машиностроение, 1969. - 356 с.

76. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. -М.: Наука, 1981.-800 с.

77. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их приложения. М.: Наука, 1968. 547 с.

78. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1971. - 286 с.

79. Степанова Н.В. Выделение трендов временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. Вып. 4. с.180-189.

80. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976.-292 с.

81. Терпугов А.Ф., Валеев Т.И. Статистический анализ авторегрессионной модели первого порядка при независимых пропусках измерений // Техника средств связи. Сер. СС, 1990. Вып. 7. - С. 56-62.

82. Тривоженко Б.Е. Оценка интенсивности нестационарного пуассоновского потока путем кусочно-линейной аппроксимации // Техника средств связи. Сер. СС, 1986. Вып. 4. - С. 1-6.

83. Тривоженко Б.Е. Рекуррентная оценка интенсивности нестационарного пуассоновского потока // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. Вып. 4. - С. 203-209.

84. Тривоженко Б.Е. Сглаживание временных рядов кривыми первого и второго порядка при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987.-Вып. 2. - С. 193-199.

85. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. - 285 с.

86. Трофимчук С.Ю. Оценка коэффициентов полиномиального тренда процесса, наблюдаемого в случайные моменты времени // ДАН УССР. Сер. А, 1985. № 11. - С. 67-70.

87. Федосов E.H. Оптимальная нелинейная фильтрация дважды стохастического пуассоновского потока, управляемого чисто разрывным марковским процессом // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995.-Т. 38.-№3.-С. 17-21.

88. Фомин А.Ф., Новоселов О.Н., Плющев A.B. Отбраковка аномальных результатов измерений. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 198 с.

89. Форсайт Дж. Э., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

90. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. Минск: Изд-во "Университетское", 1987. - 304 с.

91. Хеннекен П.А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974. - 472 с.

92. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. -Цюрих, 1988. 147 с.

93. Юркевич О.М. Оценка распределения случайных процессов по рекуррентному потоку наблюдений // Докл. АН Украины, 1994. № 7. -С. 23-26.

94. Akaike Н. Effect of timing-error on the power spectrum of sampled data //Ann. Inst. Statist. Math., 1960. Vol.11. - P. 145-165.

95. Akaike H., Ishiguro M. Trend estimation with missing observations // Ami. Inst. Statist. Math., 1980. Vol.32. - № 3. - P. 481-488.

96. Balakrishnan A.V. On the problem of time-jitter in sampling // IRE Trans. Inform. Theory, 1962. Vol. 8. - P. 226-236.

97. Bentler F.J. Alias-free randomly time sampling of stochastic processes // IEEE Trans. Inform. Theory, 1970. Vol. 16. - P. 147-152.

98. Blum J.R., Rosenblatt J. On randomly sampling from a stochastic process // Ann. Math. Statist., 1964. Vol.35. - № 3. - P. 1713-1717.

99. Blum J.R., Boyles R.A. Random sampling from a continuous parameter stochastic process // Lect. Notes Math., 1981. Vol.861. - P. 15-24.

100. Cohen R. A filtering formula for a nonlinear system having continuous observations and a discrete observations at random times // Lect. Notes Math., 1988. Vol.1316. - P. 352-371.

101. Cristobal C.A. Un algoritmo iterativo para la estimacion de modelos ARMA con ausencia de observaciones // Trab. Estad., 1988. Vol. 3. -№ 2. - P. 141-156.

102. Devroye L. A course in density estimation. — Boston: Birkhauses, 1987. 183 p.

103. Garter M., Roberts J.B. Spectral analysis of randomly sampled signals // J. Inst. Meth. and Appl, 1975. Vol. 15. - № 2. - P. 195-216.

104. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes // Lect. Notes Math. -Berlin: Springer Verlag, 1976. 234 p.

105. Gu Chong, Qin Chufu. Smoothing spline density estimation: theory // Aim. Statist., 1963. Vol.21. - № 1. - P. 217-234.

106. Isokava Y. Estimation of frequency by random sampling // Ann. Inst. Statist. Math., 1983. Vol.35. - P. 201-213.

107. Leneman O.A.Z., Lewis J.P. Random sampling of random processes: meansquare comparision of various interpolators // IEEE Trans. Automat. Control, 1966. Vol. 11. - P. 396-403.

108. Leneman O.A.Z. Random sampling of random processes: optimum linear interpolation // J. Franklin Inst., 1966. Vol. 281. - P. 302-314.

109. Leneman O.A.Z. Random sampling of random processes: impluse processes // Information and Control, 1966. — Vol. 9. — P. 347—363.

110. Peple P.A., Choi Sung C. Analysis of complete data under nonrandom mechanism: Bayesian inference // Commun. Statist. Simul. and Comput., 1994. Vol. 23. - № 3. - P. 743-767.

111. Ruschendorf L. Inference for random sampled processes // Stoch. Process, and Appl., 1989. Vol. 32. - №1. - P. 129-140.

112. Scott P.F. Estimation of the correlation function and spectra from randomly sampled data // IEEE Int. Conf. Acoust., Speech and Signal Proc. Hartford, 1977. -New York, 1977. P. 70-73.

113. Siotani M., Hayakawa Т., Fujikoshi Ya. Modern multivariate statistical analysis. Columbus, Ohio. Amer. Sci. Press, 1985. 759 p.

114. Snyder D.L. Random point processes. N.-Y., Willey, 1975. — 485 p.

115. Solo V. Topics in advanced time series analysis // Lect. Notes Math.,1986. № 1215. - P. 165-328.

116. Stoyanov J.M., Vladeva D.I. Estimation of unknown parameters of continuous time stochastic processes by observation at random points // Докл. АН НРБ, 1982. Т. 35. - № 2. - С. 153-156.

117. Qian W. Gaussian estimation of the first order time series models with Bernoulli observations // Stochastic Processes and their Applications,1987. Vol. 27. - № 1. - P. 85-96.1. Справки о внедрении

118. Ниже приводятся ксерокопии актов и справок о внедрении в различных организациях системы обработки информации, описанной в диссертации.

119. Автор хотел бы указать, что это внедрение производилось на коммерческой основе: пакет программ передавался в организацию за определенную плату, работники организации обучались работе с ним, и далее они сами производили необходимую им обработку данных.

120. Аналогично использовался пакет и в Томском территориальном фонде обязательного медицинского страхования для выделения трендов величины страховых платежей в зависимости от времени года, что давало возможность прогнозировать расходы фонда.

121. Акционерный коммерческий "Сибирский банк развития нефтяной промышленности, энергетики, науки и образования"1. НЕФТЕЭНЕРГОБАНК "

122. ИНН 7000000476 ОКОНХ 96120 ОКПО 36287537 БИХ 046902766 Корреспондентский счет № 30101810300000000766 РКЦ ГУ ЦБ РФ по Томской области634050, г. Тонек,ул. Набережная реки Ушайки, 24тел.: [phone]факс.: [phone]

123. Е-та11: ох1Ьапк@оз.1Ьапк. tomsk.suот pj~.pf.ej,

124. АКТ о внедрении пакета прикладных программ «РИОЕКТ»

125. Исх. N 1307 30 Апреля, 1998 г.1. ВНИИ

126. О внедрении пакета программ «РИОЕКТ»

127. Настоящим актом удостоверяется факт внедрения пакета программ «РЯОЕКТ» в аналитическую практику филиала КБ ГО «Газпромбанк» в г. Томске.

128. Пакет программ «РШЭЕКТ» передан банку Идрисовым Ф.Ф. 16 марта 1998 года и используется тля разработки моделей депозитной и инвестиционной политики.

129. Пакет программ «Р1ЮЕКТ» банку удобен, выполнен в стиле современных программных продуктов и может быть рекомендован к широкому внедрению финансовыми институтами (банками,страховыми и инвестиционными компаниями. •1. АКТ

130. О ВНЕДРЕНИИ ПАКЕТА ПРОГРАММ «РЯОЕКТ» в аналитическом отделе ипотечного банка «КЕМЕРОВО»

131. Пакет программ «Р1ЮЕКТ» принят к практическому использованию аналитическим отделом банка для выявления устойчивых тенденций депозитных и кредитных показателей в краткосрочной перспективе с учетом сезонности их колебаний.

132. Пакет программ удобен, выполнен в современной программной среде и допускает (в соответствии со своей архитектурой) дальнейшее развитие.

133. Между банком и автором пакета программ «Р1ЮЕКТ» Идрисовым Ф.Ф. достигнуто соглашение о передаче банку всех последующих версий пакета.

134. Банк запрещает Идрисову Ф.Ф. разглашать где-либо данные о финансовом состоянии банка и, в случае необходимости, приводить данные без указания масштаба.

135. Председатель банка «Кемерово»1. СПРАВКА

136. Банк запрещает Идрисову Ф.Ф. разглашать фактические данные о финансах банка (это является предметом коммерческой тайны) и разрешает при необходимости приводить результаты в относительных величинах.

137. Председатель правления банка

138. Открытое Акционерное Общество "Сибирская Инвестиционная Компания" 634050, Россия, г. Томск, ул. Смирнова 9, тел.: [phone], факс : [phone]. Акто внедрении пакета программ "РЬЮЕКТ"

139. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ФОНД ОБЯЗАТЕЛЬНОГО МЕДИЦИНСКОГО СТРАХОВАНИЯ

140. ТОМСКИЙ ТЕРРИТОРИАЛЬНЫЙ ФОНД ОБЯЗАТЕЛЬНОГО МЕДИЦИНСКОГО СТРАХОВАНИЯ634034, г.Томск, ул. Учебная 39/1, телефон/факс: [phone]. OS 199<£Г.№1. На№ от 199г.1. Акто внедрении пакета прикладных программ «РЮЕКТ»

141. Пакет прикладных программ "Р1ЮЕКТ" передан Ф.Ф.Идрисовым 19 февраля 1998 года Институту оптики атмосферы. Данный пакет используется для обработки статистических данных природно-климатических показателей в лаборатории оптической погоды.

142. Зам. директора по HP, д.ф.-м.н.

143. Зав. лабораторией, д.ф.-м.н.1. Российская Академиямедицинских наук Томский научный центр1. ИНСТИТУТ ФАРМАКОЛОГИИ634028, г. Томск,пр. Ленина, 3, тел. 26-83-75«»199—Г.о внедрении и использовании пакета программ «PROEKT»

144. Предложенный и используемый пакет прикладных программ «PROEKT» ориентирован на распространенную среду Windows 95, достаточно удобен в работе и рассчитан на самостоятельное освоение пользователем.1. СПРАВКА1. А.М.Дыгай1. В.В.Удут1. У I *

145. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ