Исследование математических моделей RQ-систем в условии большой загрузки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Фёдорова, Екатерина Александровна

• Фёдорова, Екатерина Александровна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Фёдорова, Екатерина Александровна

Содержание

Введение

Глава 1. Асимптотический анализ ЯО-систем в условии большой загрузки

1.1 Исследование ЯС^-системы М|М| 1

1.2. Исследование БК^-системы М|С1| 1 марковизированием непрерывной компонентой

1.3. Исследование ЫС)-системы ММРР|М|1 марковизированием дискретной компонентой

1.4. Исследование ЯС>-системы ММРР|С1|1 марковизированием двумя

дополнительными компонентами

Резюме

Глава 2. Асимптотический анализ второго порядка ЯС)-систем в условии большой загрузки

2.1 Исследование ЛС^-системы М|М|1

2.2 Исследование ЫС^-системы М|01[ 1

2.3 Исследование ТК^-системы ММРР|М| 1

2.4 Исследование БК^-системы ММРР|01|1

Резюме

Глава 3. Квазигеометрическая и гамма аппроксимации распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в 11С)-системах

3.1 Метод моментов для Ж^-систем

3.1.1 Метод моментов для ЯС)-системы М|М|1

3.1.2 Метод моментов для ЯС)-системы ММРР|М|1

3.2 Гамма аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в ЯС)-системах

3.3 Квазигеометрическая аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в 11С)-системах

3.4 Сравнение квазигеометрической и гамма аппроксимаций

Резюме

Глава 4. Численные методы и комплекс проблемно-ориентированных программ

4.1 Численные методы и комплекс программ вычисления допредельных характеристик RQ-систем

4.1.1 Алгоритм вычисления распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в RQ-системах М|М|1 и M|GI|1

4.1.2 Численные методы вычисления распределения вероятностей числа

заявок в ИПВ в RQ-системе ММРР|М|1

Рекуррентный алгоритм

Мегаматричный метод

4.2 Численная реализация метода асимптотического анализа первого порядка

4.3 Численная реализация метода асимптотического анализа второго порядка

4.4 Численная реализация квазигеометрической и гамма аппроксимаций

Заключение

Список использованной литературы

156

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей RQ-систем в условии большой загрузки»

Введение

В качестве математических моделей реальных экономических, технических, информационных систем часто используются различные модели теории массового обслуживания. В частности, финансовые системы и процессы страхования моделируются в виде систем массового обслуживания (СМО) с бесконечным числом обслуживающих приборов, производственные - однолинейными и многолинейными СМО с очередью, а телекоммуникационные системы — RQ-системами.

Теория массового обслуживания (ТМО) зародилась в начале 20-го в рамках научной дисциплины теории телетрафика, занимающейся анализом производительности ручных (в последней четверти 19-го века), а затем автоматических телефонных станций. Теория массового обслуживания это область прикладной математики, занимающаяся исследованием процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, автоматических линиях производства, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации и др.

Объектом исследования ТМО являются ситуации, когда имеется какой-то ограниченный ресурс и множество запросов на удовлетворение потребностей в этом ресурсе. Ограниченность ресурса и случайный характер поступления запросов приводят к потерям клиентов или задержке в обслуживании. Стремление уменьшить эти задержки и вероятность отказов и послужило причиной развития теории.

Можно привести множество постановок проблем реального характера в технических, экономических, информационных и других системах, которые сводятся к задачам теории массового обслуживания. Примером могут служить страховые и пенсионные компании; телекоммуникационные системы, сети мобильной связи, транспортные системы, серверы и т.д.

Основоположником теории массового обслуживания является датский ученый Агнер Краруп Эрланг (A.K. Erlang) (1878-1929 гг.). Являясь сотрудником Ко-

пенгагенской телефонной компании, Эрланг в 1909 г. опубликовал работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры» [95], в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами. Предметом его исследования были телефонные системы, характеризующиеся случайным потоком вызовов абонентов, требующих случайного времени занятости телефонной линии. В такой ситуации возникает задача расчета объема телефонного коммутатора, при котором вероятность занятости коммутатора не должна превышать заданного уровня. Эрлангом была получена формула для расчета доли вызовов, получающих обслуживание на телефонной станции, его формулы до сих пор используются при расчетах пропускной способности современных телекоммуникационных сетей [96].

Труды А. К. Эрланга стимулировали интерес в мировом сообществе к таким задачам. В 1924 г. G. Jule ввел понятие процесса чистого размножения (при решении задач из теории эволюции), а в 30-х годах W. Feller ввел понятие процесса размножения и гибели.

Дальнейшее развитие ТМО получила в 40-50-х годах в работах С. Palm [129], D.G. Kendall [24, 116], L. Kleinrock [26], А.Я. Хинчина [73]. A.A. Боровкова [2].

Александр Яковлевич Хинчин (1894 — 1959 гг.) внес значительный вклад в создание математической теории массового обслуживания, к примеру, исследовав одноканальную систему с простейшим входящим потоком и рекуррентным обслуживанием. Кроме того, он ввел сам термин «теория массового обслуживания» [73] (в англоязычной литературе она носит название queuing theory - теория очередей).

Большое влияние на развитие ТМО также оказали работы советских математиков Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко [14, 15].

Пик своего развития ТМО достигла в 50-70-е годы. В это время ежегодно публиковались большое количество статей, появились многочисленные монографии по различным проблемам теории массового обслуживания.

В 1961 г. американским ученым Т. L. Saaty было написано фундаментальное руководство по теории массового обслуживания [64], в которое вошли все основные разделы теории, идеи и методы ТМО и круг решаемых практических задач. В

монографии были описаны все известные результаты для обоих классов моделей систем массового обслуживания — системы с ожиданием и системы с отказами.

В 70-х гг. интерес к теории массового обслуживания ослабел. Казалось, были решены все задачи, представляющие интерес с практической точки зрения. Стоит упомянуть, что до этого времени исследовались в основном системы, на вход которых поступает пуассоновский поток заявок.

Однако с появлением сетей ЭВМ, многочисленные исследования реальных телекоммуникационных потоков [4, 5, 77] показали существенную неадекватность модели пуассоновского потока реальным данным. Возникшая проблема привела к возникновению моделей коррелированных потоков и дважды стохастических потоков Кокса [27].

Впервые понятие МАР-потока (Markovian arrival process) и ВМАР-потока (Batch Markovian arrival process) ввел в 1979 г. M.F. Neuts [126]. Современные используемые обозначения ВМАР-потока были предложены D.M. Lucantoni [119].

Появление новых потоков возобновило интерес к теории массового обслуживания. Кроме того, особое влияние на развитие ТМО оказало возникновение имитационного моделирования, основы которого были изложены в работах американских ученых G. Gordon и J. Forrester.

Наиболее известны своими исследованиями в области ТМО такие ученные как В.В. Анисимов [82], Г.П. Башарин [1-3], и К.Е. Самуйлов [2, 12], A.A. Боровков [7], П.П.Бочаров [8] и A.B. Печинкин [63], В.М. Вишневский [11], А.Н. Ду-дин [18, 19], В.И. Клименок [27], В.В. Рыков [25] и др. [20, 21, 32, 33, 65, 125].

Большой вклад в исследование систем массового обслуживания различных структур внес московский ученый В.А. Ивницкий [22, 23], который рассмотрел большое количество вопросов и задач (в частности, для сетей СМО).

Также широко известна томская школа ТМО такими учеными, как А.Ф. Терпугов, A.M. Горцев, A.A. Назаров [13, 16, 17, 45-59]. Деятельность этой школы направлена на большой круг задач: исследования разных моделей потоков и систем, их управления и оптимизации; исследования СМО различной сложно-

сти и конфигурации (системы с неограниченным числом прибором, системы с повторными вызовами и др.).

Большую известность имеют работы в области асимптотических методов. Такие методы исследования различных моделей СМО (например, систем с очередью, бесконечнолинейных систем) развивались математиками D. Y. Burman и D. R Smith [87], B.B. Анисимов [82], A.A. Боровков [6], A.A. Назаров [45, 49]. Метод асимптотического анализа Боровкова A.A. состоит в совершении некоторого предельного перехода (имеющего определенный вид для каждого конкретного случая) в последовательности случайных процессов, описывающих систему. Суть метода асимптотического анализа Назарова А. А. [45, 49] заключается в решение при выполнении предельного условия систем уравнений, определяющих характеристики математической модели.

В последнее время исследования реальных информационных систем привели к необходимости рассмотрения моделей СМО, выходящих за рамки классических (систем с ожиданием и систем с потерями). В таких системах часто возникают ситуации, когда нельзя выявить явную очередь, но и нельзя сказать, что необслу-женный вызов теряется, если он поступает в момент занятости всех линий. Как правило, источник заявок не отказывается от обслуживания, а осуществляет повторные попытки.

Ярким примером таких систем являются телекоммуникационные системы или сети связи [137, 144], в которых сообщения между вызывающими и вызываемыми абонентами в большинстве случаев не теряются, а происходит лишь задержка в обслуживании. Повторные вызовы, поступающие на телекоммуникационную систему, могут быть вызваны не только потерей первичных вызовов из-за отсутствия свободных соединительных путей в моменты поступления вызовов, но и занятости линии вызываемого абонента, неответом вызываемого абонента, ошибками вызывающего абонента в процессе набора номера, неустановления соединения по техническим причинам и т.д., но математически описание каждой ситуации эквивалентно. Наличие повторных попыток получить обслуживание яв-

ляется неотъемлемой чертой этих систем, игнорирование данного эффекта может привести к значительным ошибкам при принятии решений.

В связи с этим стали выделять новый класс систем массового обслуживания - системы с повторными вызовами (Retrial Queueing System или RQ-системы). Принципиальное отличие RQ-систем от классических СМО состоит в том, что заявки, пришедшие в систему и обнаружившие прибор занятым, не покидают систему, а идут в источник повторных вызовов и после случайной задержки вновь пытаются занять прибор для обслуживания.

Возникновение моделей RQ-систем, прежде всего, связывают с работами американских ученых Wilkinson R.I. [140] и Cohen J.W. [89] в середине 20-го века. Большинство первых работ о системах с повторными вызовами были посвящены практическим задачам, возникающим в телефонных сетях, и описанию влияния эффекта повторных вызовов на производительность технических систем.

Первые подходы к математическому описанию систем с повторными вызовами были предприняты в 1970 г. G. Gosztony [111] и A. Elldin [94].

J.W. Cohen в своей работе [89] предложил необходимые условия эргодичности систем, найденные при помощи усеченных методов. В 1980 г. Deul N. [90] исследовал эргодичность многоканальных моделей при помощи вложенных цепей Маркова для непрерывных марковских процессов. Кроме этого, вопросами эргодичности занимались Г.И. Фалин [101,102], Foster F.С. [108], T. Hanschke [112], A.A. Назаров [59], а также Sennot L.I. [134] и др.

Считается, что пик активности исследований систем массового обслуживания с повторными вызовами приходится на 90-е годы. Это связано в первую очередь с масштабным внедрением информационных технологий и ЭВМ в различные сферы деятельности человека.

Наиболее полное описание RQ-систем и детальное их сравнение с классическими СМО было проведено учеными Artalejo J.R., Gomez-Corral A., Falin G.I. и Templeton J.G.C. и отражено в монографиях [85, 105], которые признаны фундаментальными в рассматриваемой области. Здесь представлены допредельные характеристические функции для RQ-систем М|М|1, M|GI|1, М|М|с и т.д., а также

рассмотрены разнообразные методы для исследования RQ-систем (а именно численный анализ характеристик систем, метод максимальной энтропии, использование усеченных моделей и аппроксимация моделей в виде систем с потерями и др.). Кроме того, в статье [84] проведено детальное сравнение RQ-систем с их классическими аналогами.

На сегодняшний момент исследованию RQ-систем посвящено большое количество работ. Только в монографии J.R. Artalejo [85] приведено более семисот ссылок.

Однако большинство исследований систем с повторными вызовами реализуются численно или с помощью имитационного моделирования [66, 83, 85, 128, 132]. Аналитические методы получены только в тех случаях, когда модели потока и дисциплина обслуживания относительно просты (например, пуассоновский поток и экспоненциальное распределение закона обслуживания).

RQ-системы с входящими MAP и ВМАР-потоками активно исследуются учеными белоруской школы В.И. Клименок, А.Н. Дудии [93, 117, 118], в работах которых используются преимущественно матричные методы решения полученных систем уравнений.

Кроме того, матричными методами исследования RQ-систем пользуются такие ученные M.F. Neuts [128], J.R. Artalejo [86], A. Gomez-Corral [109], J.E. Diamond, A.S. Alfa [91] и др.

В рамках исследования систем массового обслуживания с повторными вызовами также большой интерес приобрела задача моделирования протоколов множественного доступа. Такие протоколы имеют место в сетях связи, когда на коммутационный узел приходится несколько абонентских станций (АС), посылающих сигналы. Очевидно, что могут возникать ситуации одновременной отправки данных несколькими АС, в результате чего возникают конфликты, искажающие или вовсе не позволяющие получить информацию. Поэтому каждая станция «прослушивает» канал на предмет его занятости, и если канал не свободен, то осуществляет случайную задержку, после которой снова пытается передать данные.

Модели подобных протоколов были исследованы И.И. Хомичковым [76], А.А.Назаровым [47], В.А. Вавиловым [10], ДЛО. Кузнецовым [31], Д. В. Коло-усовым [30], Ю. Д. Одышевым [54], Е.А. Судыко [58], А. Н. Туенбаевой [68], С. Л. Шохором [50] и др.

Кроме того, широко известны работы, посвященные RQ-системам следующих ученых: П.П. Бочаров [9], A.S. Alfa [79], B.D. Choi [88] и др. [103, 104, 119].

Асимптотические и приближенные методы исследования RQ-систем развивались Фалиным Г.И. [69, 97, 98, 100], В.В. Анисимовым [80] и др. [57, 67, 92, 130, 136, 138].

Исследования RQ-систем в условии большой и малой загрузки проводились Фалиным Г.И. [99, 105], A. Aissani [78] и В.В. Анисимовым [82]. Кроме того, работы Степанова С.Н. [137] посвящены исследованиям систем в условии экстремальной загрузки (интенсивность входящего потока заявок стремиться к бесконечности или к нулю). Однако, в отличие от исследований, проведенных в настоящей диссертационной работе, указанные выше авторы исследовали в основном системы с простейшим входящим потоком. Кроме того, суть подходов анализа систем в предельных условиях существенно отличается: например, в работе Фалиным Г.И. [105] исследование в условии большой загрузки заключалось в совершении предельного перехода р| 1 в полученной им допредельной формуле для производящей функции.

На основе всего вышесказанного, можно сделать вывод о том, что исследование систем массового обслуживания с повторными вызовами (RQ-систем) представляет большой научный интерес, так как результаты таких исследований востребованы со стороны практических задач. Однако большинство результатов получены с помощью численных алгоритмов и имитационного моделирования, аналитические же методы разработаны лишь в случаях, когда в систему поступает простейший поток заявок. Таким образом, необходимость разработка аналитических методов исследования RQ-систем по-прежнему является актуальной задачей.

Актуальность диссертационной работы заключается в том, что исследованы различные RQ-системы, являющиеся математическими моделями реальных теле-

/

и

коммуникационных систем [80, 112, 113, 121, 126, 130, 132], са11-центров [109, 119], сетей сотовой связи [123, 134, 141] и др. [140, 142]. Выполнено развитие метода асимптотического анализа и аппроксимационных методов для исследования ЯС)-систем в условии большой загрузки.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей СМО с повторными вызовами в условии большой загрузки. Исследование 11С)-систем проводится методами асимптотического анализа в условии большой загрузки первого и второго порядков точности, а также квазигеометрической и гамма аппроксимациями.

Межпредметность рассматриваемых моделей. Системы массового обслуживания как математические модели реальных систем широко используются при решении практических задач в различных отраслях деятельности человека. Например, на предприятиях с автоматическими линиями производства; страховых и пенсионных компаниях; системах передачи информации и во многих других физических, демографических, экономических и технических процессах.

Исследуемый в диссертации класс ИХ^-систем, используется для моделирования и оптимизации процессов, возникающих в информационно-коммуникационных системах (ИКС), сетях мобильной связи, системах передачи информации в различных технических системах, а также в других экономических, социальных и технических задачах.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертации является развитие методов исследования систем массового обслуживания с повторными вызовами (ИС^-систем) в условии большой загрузки.

В соответствии с поставленной целью сформулированы следующие задачи:

1. Развитие метода асимптотического анализа для исследования 11С)-систем в условии большой загрузки.

2. Расширение области применимости метода асимптотического анализа в виде получения асимптотики второго порядка.

3. Построение квазигеометрической и гамма аппроксимаций распределений вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов.

4. Разработка численных алгоритмов исследования рассматриваемых систем.

5. Реализация комплекса программ расчета вероятностных характеристик исследуемых систем и численного анализа результатов применения аналитических методов.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Впервые выполнено исследование ЯС>-систем с входящим ММРР-потоком и неэкспоненциальным обслуживанием заявок на приборе, а также впервые получены аналитические формулы для характеристической функции распределения вероятностей числа заявок в ИПВ для Ш^-систем с входящим ММРР-потоком и экспоненциальным обслуживанием, что позволяет применить полученные результаты к анализу реальных телекоммуникационных сетей, управляемых протоколами множественного доступа.

2. Разработан модифицированный метод асимптотического анализа для исследования Яр-систем в условии большой загрузки, позволяющий получить аналитические формулы для характеристической функции распределения вероятностей числа заявок в ИПВ для ЯС)-систем различной сложности.

3. Впервые сформулированы и доказаны теоремы о том, что асимптотическая характеристическая функция распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в К<3-системах в условии большой загрузки имеет вид характеристической функции гамма-распределения.

4. Впервые получены формулы вычисления первого и второго начальных моментов для ЯС^-системы с входящим ММРР-потоком («квазиточные» моменты), позволяющие построить аппроксимирующие распределения. Впервые предложены квазигеометрическая и гамма аппроксимации распределения вероятностей числа заявок в ИПВ, что позволило расширить область применимости исследований не только для систем с большой загрузкой, но и для неперегруженных систем.

Положения и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Развитие метода асимптотического анализа в условии большой загрузки для исследования Ж^-систем различной сложности.

2. Асимптотические характеристические функции распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в Ш^-системах ММРР|М| 1 и ММРР|С1| 1.

3. Единый вид характеристических функций распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в условии большой загрузки для всех исследуемых 11С)-систем.

4. «Квазиточные» формулы вычисления первого и второго начальных моментов для К(3-системы с входящим ММРР-потоком и квазигеометрическая и гамма аппроксимации исследования ЯС)-систем.

5. Оригинальный комплекс программ, вычисляющий вероятностные характеристики исследуемых 11С)-систем.

Методы исследования. Для исследований, проведенных в диссертации, используются методы математического моделирования, теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории случайных процессов, а также методы математического анализа и линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений.

Для процессов, описывающих поведение рассматриваемых систем массового обслуживания, использовались метод характеристических функций, метод введения дополнительных переменных. Для вычисления математического ожидания и дисперсии распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в ИХ^-системе М|М| 1 и ММРР|М|1 применялся метод моментов.

Оригинальными результатами исследования ЯС>-систем являются развитие метода асимптотического анализа для Яр-систем в условии большой загрузки (первого и второго порядков), а также методы квазигеометрической и гамма аппроксимаций распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в 11(3-системах.

Результаты, полученные в работе, имеют как теоретическое, так и практическое значения.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии направления теории массового обслуживания, посвященного исследованию систем с повторными вызовами (Ш^-систем). Особенностью данной работы является развитие аналитических методов исследования ЯС^-систем, в то время как в настоящее вре-

мя большинство ученых в этой области используют численные методы решения поставленных задач. Описанные в диссертации методы существенно расширяют круг решаемых задач, позволяя найти аналитические формулы для систем с входящим ММРР-потоком и неэкспоненциальным обслуживанием заявок на приборе. Это позволяет надеяться на то, что область исследования RQ-систем в условии большой загрузки достаточно исчерпана.

Практическая значимость работы. Результаты настоящей диссертационной работы могут быть использованы для построения и анализа математических моделей реальных систем, в том числе информационно-коммуникационных сетей, распределенных вычислительных систем, компьютерных сетей, управляемых протоколами случайного множественного доступа (в частности, протоколом Ethernet), сетей сотовой связи, а также в других известных приложениях теории массового обслуживания.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими выкладками, проведенными в работе с использованием математического аппарата теории вероятностей и случайных процессов, интегрально-дифференциального исчисления, численных методов, а также согласованностью результатов диссертации в частных случаях с результатами, полученными ранее другими учеными (а именно, асимптотическая характеристическая функция распределения вероятностей числа заявок в ИПВ в RQ-системе M|GI|1, полученная в п.1.2., в предельном переходе р|1 эквивалентна формуле, описанной в монографии Фалина Г.И [105, стр. 11]).

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем - доктором технических наук, профессором Назаровым А. А. Доказательство и обоснование результатов, изложенных в диссертации, математические выкладки и численные расчеты выполнены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю Назарову А. А. принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты получены диссертантом.

Связь работы с крупным научным проектом. Значительная часть результатов, представленных в данной работе, была получена в рамках выполнения следующих научных проектов:

1) научный проект АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 — 2011 годы)» Федерального агентства по образованию, проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи» [60];

2) научно-исследовательская работа проектов в рамках госзадания Минобр-науки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012 - 2013 годы «Разработка и исследование вероятностных, статистических и логических моделей компонентов интегрированных информацион-но-телекоммуиикационных систем обработки, хранения, передачи и защиты информации» № 8.4055.2011 [61];

3) научно-исследовательская работа в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности Министерства образования и науки РФ № 1.511.2014/К «Исследование математических моделей информационных потоков, компьютерных сетей, алгоритмов обработки и передачи данных» (2014 г.) [62].

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 23 работы, в том числе 2 работы в изданиях, входящих в международные базы цитирования Scopus и Web of Science:

• Moiseeva, E. Asymptotic Analysis of RQ-systems M|M|1 on Heavy Load Condition / E. Moiseeva (Fedorova), A. Nazarov // Proceedings of the IV International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics», September 12-14, Baku, Azerbaijan.-2012.-P. 164-166. DOI: 10.1109/ICPCI.2012.6486407

• Fedorova, E. Quasi-geometric and gamma approximation for retrial queueing systems / E. Fedorova // A. Dudin et al (Eds.): Information Technologies and Mathematical Modelling. - CCIS 487. - Springer International Publishing Switzerland. -2014.-P. 123-136. DOI: 10.1007/978-3-319-13671-4

и 4 статьи в журналах списка ВАК:

• Назаров, А. А. Исследование RQ-системы ММРР|М|1 методом асимптотического анализа в условии большой загрузки / А. А. Назаров, Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Известия Томского политехнического университета. — 2013. — Т. 322, № 2.-С. 19-23.

• Моисеева, Е. А. Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа / Е. А. Моисеева (Фёдорова), А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. - № 4 (25). - С. 84-94.

• Назаров A.A., Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа второго порядка в условии большой загрузки / А. А. Назаров, Е. А. Фёдорова // Известия Томского политехнического университета. — 2014. — Т. 325, №5.-С. 6.-15.

• Фёдорова Е. А. Вычисление моментов в RQ-системе ММРР|М| 1 / Е. А. Фёдорова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2014. - № 4 (29). - С. 41-50.

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее вопросы докладывались и обсуждались па следующих научных конференциях:

• Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей. «Моделирование систем информатики (МСИ-2011). Школа научной молодежи», Новосибирск, 8-11 ноября 2011 г.

• X-XII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование», Анжеро-Судженск, 2011-2013 гг.

• IX Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», г. Томск, 21-22 марта 2012 г.

• Юбилейная 50-я международная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2012 г.

• XVI-XVIII Всероссийская научно-практическая конференции «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 2012-2014 гг.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фёдорова, Екатерина Александровна, 2014 год

Список использованной литературы

1. Башарин, Г. П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы анализа / Башарин Г. П., Бочаров П. П., Коган Я. — М.: Наука, 1989. - 336 с.

2. Башарин, Г. П. Новый этап развития математической теории телетрафика / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов., Н. В. Яркина, И. А. Гудкова // Автоматика и телемеханика, 2009. - № 12. - С. 16-28.

3. Башарин, Г. П. Массовое обслуживание в телефонии / Башарин Г. П., Харке-вич А. Д., Шнепс М. А. - М.: Наука, 1968. - 247 с.

4. Бертсекас, Д. Сети передачи данных / Бертсекас Д., Галлагер Р. — М.: Мир,

1989.-544 с.

5. Блэк, Ю. Сети ЭВМ: протоколы, стандарты, интерфейсы / Блэк Ю. - М.: Мир,

1990.-510 с.

6. Боровков, A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания / Боровков A.A. - М.: Наука, 1980. - 382 с.

7. Боровков, А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания / Боровков А. А. - М.: Наука, 1972. - 368 с.

8. Бочаров, П. П. Теория массового обслуживания / П.П. Бочаров, A.B. Печинкин -М.: Изд-во РУДН, 1995. - 520 с.

9. Бочаров, П. П. Система M|G|l|r с повторными заявками и приоритетным обслуживанием первичных заявок / Бочаров П. П., Павлова О. И., Пузикова Д. А. // Вестник Российского ун-та дружбы народов. Серия прикладной математики и информатики. - 1997. -№ 1.-С. 37-51.

10. Вавилов, В. А. Исследование математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде : дис. ... канд. физ.-мат. на-ук:05.13.18 / Вавилов, В. А. - Томск, 2006. - 158 с.

11. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. - Москва: Техносфера, 2003. — 512 с.

12. Гайдамака, Ю. В. Модели обслуживания вызовов в сети сотовой подвижной связи / Ю. В. Гайдамака, Э. Р. Зарипова, К. Е. Самуйлов. - М.: Изд-во РУДН, 2008.-72 с.

13. Гарайшина, И. Р. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания / И. Р. Гарайшина, С. П. Моисеева, А. А. Назаров - Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - 204 с.

14. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. -5-е изд. испр. — М: Наука. — 2010. — 400 с.

15. Гнеденко, Б. В. Элементарное введение в теорию массового обслуживания / Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. — 6-е изд. - М.: Наука, 1964. — 146 с.

16. Горцев, A.M. Управление и адаптация в системах массового обслуживания / Горцев A.M., Назаров A.A., Терпугов А.Ф. - Изд-во ТГУ, Томск. - 1978. - 208 с.

17. Горцев, А. М. Оптимальная оценка состояний МАР-потока событий в условиях непродлевающегося мертвого времени / А. М. Горцев, JI. А. Нежельская, А. А. Соловьев // Автоматика и телемеханика. — 2012. - № 8. - С. 49-63.

18. Дудин, А. Н. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания: Учебное пособие / А. Н. Дудин, Г. А. Медведев, Ю. В. Меленец - Мн.: Университетское, 2000.- 109 с.

19. Дудин, А.Н. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. / Дудин А.Н., Клименок В.И. - Минск: БГУ. - 2000. - 175 с.

20. Зорин A.B. Анализ стохастической модели сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим алгоритмом управления в случайной среде / Зорин A.B., Кузнецов Н.Ю., Кузнецов И.Н. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. — №.5. - С. 217-223.

21. Ивченко, Г.И. Теория массового обслуживания: учебное пособие для вузов / Ивченко Г.И., Каштанов, В.А., Коваленко И.Н. - М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

22. Ивницкий, В.А. Теория сетей массового обслуживания / В.А.Ивницкий. - М.: Физматлит, 2004. - 772 с.

23. Ивницкий, В. А. Многоканальная система массового обслуживания с выделенным каналом / Ивницкий, В. А. // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 6. -С. 91-103.

24. Кендалл, М. Теория распределений / Кендалл М., Стюарт А. — М.: Наука, 1966.-587 с.

25. Кёнинг, Д. Стационарные системы массового обслуживания с зависимостями / Д Кёнинг, В. В. Рыков, Ф. Шмидт. // Итоги науки и техники. Серия Теор. веро-ятн. Мат. стат. Теор. кибернет. - М. - 1981. - С. 95-186.

26. Клейнрок J1. Теория массового обслуживания / Клейнрок JL Перевод с англ. /Пер. И. И. Грушко; ред. В. И. Нейман -М.: Машиностроение, 1979. -432 с.

27. Клименок В. И. Многолинейная система массового обслуживания с групповым марковским входным потоком и повторными вызовами / Клименок В. И. // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 8. - С. 97-108.

28. Кокс, Д.Р. Теория восстановления / Кокс Д.Р., Смит В.А. / пер. с англ. / под ред. Ю.К. Беляева. - М. - 1967. - 200 с.

29. Коваленко И.Н., Филиппова A.A. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник / Коваленко И.Н., Филиппова A.A. - 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1982.-254 с.

30. Колоусов, Д. В. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа / Колоусов Д. В., Назаров А. А. // Вестник ТГУ. - 2002. - № 275. - С 193-194.

31. Кузнецов, Д.Ю. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых протоколами случайного множественного доступа / Кузнецов Д.Ю., Назаров A.A. // Мат. моделирование. Кибернетика. Информатика. — Томск: Изд-во Томского гос. ун-та. - 1999. - С. 89-98.

32. Лебедев, Е. А. Диффузионная аппроксимация сети с полумарковским входным потоком / Лебедев Е. А., Чечелышцкий А. А. // Кибернетика. - 1991. - № 2. — С. 100-103.

33. Ложковский, А. Г. Теория массового обслуживания в телекоммуникациях / А. Г. Ложковский - Одесса: ОНАС им. А. С. Попова, 2012. - 112 с.

34. Лгобина, Т. В. Исследование немарковской модели компьютерной сети связи, управляемой динамическим протоколом доступа / Любина Т. В., Назаров А. А.// Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 1 (18). - С. 16-27.

35. Моисеева, Е.А. Численное исследование RQ-системы М|М|1 в условии большой загрузки / Е. А. Моисеева (Фёдорова), А. А. Назаров. // «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011). Материалы X Все-

российской научно-практической конференции с международным участием» (2526 ноября 2011 г.). Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та. — 2011—С. 160-164.

36. Моисеева, Е. А. Численное исследование RQ-системы ММРР|М|1 / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Материалы Юбилейной 50-й международной студенческой конференции. — Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. -2012. - С. 194-195.

37. Моисеева, Е. А. Асимптотический анализ RQ-системы ММРР|М|1 в условии большой загрузки / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // «Технологии Microsoft в теории и практике программирования». Сборник трудов IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Томск, 21-22 марта 2012 г.). - Томск. - 2012. - С. 96-98.

38. Моисеева, Е. А. Асимптотический анализ RQ-системы МАР|М|1 в условии большой загрузки / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 17-18 мая 2012 г.). [Электронный ресурс], 4.2 — Анжеро-Судженск, 2012.-С. 38-41.

39. Моисеева, Е. А. Анализ результатов исследования RQ-системы M|GI|1 / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2012): материалы XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (г. Анжеро-Судженск, 23-24 ноября

2012 г.), 4.2. - Кемерово: Практика, 2012. - С. 104-109.

40. Моисеева, Е. А. Асимптотический анализ RQ-системы MAP|GI|1 в условии большой загрузки / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Научное творчество молодежи: материалы XVII Всероссийской научно-практической конференции (25-26 апреля

2013 г.), [Электронный ресурс], Ч. 1. - Анжеро-Судженск, 2013. - С. 40-44.

41. Моисеева, Е. А. Моделирование телекоммуникационных процессов методами RQ-систем / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. - Москва: РУДН, 2013. - С. 36-38.

42. Моисеева, Е. А. Исследование RQ-системы M|GI| 1 в допредельной ситуации / Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Труды Томского государственного университета. -

Серия физико-математическая: Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы Первой Всероссийской молодежной научной конференции, 288. — Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2013, — С. 116—121.

43. Моисеева, Е. А. Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа / Е. А. Моисеева (Фёдорова), А. А. Назаров. // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. - № 4 (25). - С. 84— 94.

44. Михайлов, В. А. Геометрический анализ устойчивости цепей Маркова в R2 и его применение к вычислению пропускной способности адаптивного протокола случайного множественного доступа / Михайлов В. А. // Проблемы передачи информации. - 1988. -№ 1. - С. 61-73.

45. Назаров, А. А. Асимптотический анализ марковизируемых систем: монография / А. А. Назаров. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. — 153 с.

46. Назаров, A.A. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. / А. А. Назаров. - Томск: Изд-во ТГУ, 1984. - 234 с.

47. Назаров, А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа / Назаров А. А. // Проблемы передачи информации. - 1997. - № 2. - С. 101-111.

48. Назаров, А. А. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. - Томск: Изд-во HTJI. 2004. - 228 с.

49. Назаров, А. А. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / Назаров А. А., Моисеева С. П. - Томск: Изд-во IITJI. - 2006. - 112 с.

50. Назаров, А. А. Исследование RQ-системы M|GI|1 методом асимптотического анализа в условии большой загрузки / А. А. Назаров, Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Материалы международной научной конференции «Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей» (22 белорусская зимняя школа-семинар по теории массового обслуживания (BWWQ-2013)), 22. - Минск: Издательский центр БГУ, 2013.-С. 106-113.

51. Назаров, A.A. Исследование RQ-системы ММРР|М|1 методом асимптотического анализа в условии большой загрузки / А. А. Назаров, Е. А. Моисеева (Фёдо-

рова) // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т. 322, № 2. -С. 19-23.

52. Назаров, А. А. Исследование RQ-систем в условии большой загрузки / А. А. Назаров, Е. А. Моисеева (Фёдорова) // Proceedings of International Conference "Distributed computer and communication network: control, computation, communications" (г. Москва, 7-10 октября). - M.: Техносфера, 2013. - С. 448—455.

53. Назаров, А. А. Метод асимптотического анализа в условии большой загрузки 2-го порядка на примере исследования RQ-системьт М|М|1 / А. А. Назаров, Е. А. Фёдорова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2013): Материалы XII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием имени А.Ф. Терпугова (29-30 ноября 2013 г.), 4.2. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. - С. 59-65.

54. Назаров, А. А. Гамма-аппроксимация в RQ-системе M|GI|1 / А. А. Назаров, Е. А. Фёдорова // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: сб. науч. ст. / под ред. Н.Н. Труша, Г.А. Медведева, Ю.С. Харина. — Минск: РИВШ, 2014.-С. 165-170.

55. Назаров А.А., Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа второго порядка в условии большой загрузки / А. А. Назаров, Е. А. Фёдорова // Известия Томского политехнического университета. - 2014. — Т. 325.-№5. - С.6-15.

56. Назаров, А. А. Исследование сети связи с динамическим протоколом доступа «синхронная Алоха» в условиях большой загрузки / Назаров А. А., Одышев Ю. Д. // Автоматика и вычислительная техника. - 2001. - № 1. - С. 77-84.

57. Назаров, А. А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов / Назаров А. А., Семенова И. А. // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2010. - № 3 (12). - С. 85-96.

58. Назаров, А. А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети случайного доступа / Назаров А. А., Судыко Е. А. // Проблемы передачи информации. - 2010. - № 1. - С. 94-111.

59. Назаров А. А. Исследование управляемого несинхронного множественного доступа в спутниковых сетях связи с оповещением о конфликте / Назаров А. А., Шохор С. Л. // Проблемы передачи информации. - 2000. - Т. 36, № 1. - С. 77-89.

60. Научный проект АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 — 2011 годы)» Федерального агентства по образованию, проект № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи» (рук. Назаров A.A.).

61. Научно-исследовательская работа проектов в рамках госзадания Минобрнау-ки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012 — 2013 годы «Разработка и исследование вероятностных, статистических и логических моделей компонентов интегрированных информационно-телекоммуникационных систем обработки, хранения, передачи и защиты информации» № 8.4055.2011 (рук. Горцев A.M.)

62. Научно-исследовательская работа в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности Министерства образования и науки РФ № 1.511.2014/К «Исследование математических моделей информационных потоков, компьютерных сетей, алгоритмов обработки и передачи данных» (2014-2016 гг.) (рук. Назаров A.A.).

63. Печинкин, А. В Стационарные характеристики многолинейной системы массового обслуживания с одновременными отказами приборов / А. В. Печинкин., И. А. Соколов, В. В. Чаплыгин // Информатика и её применения. - 2007. - Т. 1, № 2. - С. 28-38.

64. Саати, Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / Саати Т.Л. / пер. с англ. Е.Г. Коваленко / под ред. И.Н. Коваленко и Р.Д. Когана. — М: Советское радио, 1965. — 520 с.

65. Севастьянов, Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами / Б. А. Севастьянов // Теория вероятностей и ее применения — 1957. - Т. 2, № 1. - С. 106—116.

66. Степанов, С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами / Степанов С.Н. -М.: Наука, 1983. - 230 с.

67. Степанов, С. Н. Асимптотический анализ моделей с повторными вызовами в области больших потерь / Степанов С.Н. // Проблемы передачи информации. -1993.-№3.-С. 54-75.

68. Туенбаева, А.Н. Исследование немарковской модели сети связи случайного доступа с МР-входящим потоком / Туенбаева А.Н. // Вестн. Том. гос. ун-та. -2006. - № 290. - С. 203-207.

69. Фалин, Г.И. Асимптотические свойства распределения числа требований в системе типа т/£/1/со с повторными вызовами / Фалин Г.И. —М., 1983. — Деп. в ВИНИТИ. №5418-83.

70. Фёдорова, Е. А. Квазигеометрическая аппроксимация в К_С)-системы М|С1|1 / Е. А. Фёдорова // Научное творчество молодежи. Математика. Информатика: материалы XVIII Всероссийской научно-практической конференции (24-25 апреля 2014 г.), Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2014. - С. 89-93.

71. Фёдорова, Е. А. Численный анализ результатов исследования ЛС)-систем методом асимптотического анализа второго порядка в условии большой загрузки / Е. А. Фёдорова, А. А. Назаров // Материалы 10-й Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». - Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. - С. 108-109.

72. Фёдорова, Е. А. Метод моментов для 11С)-системы М|М|1 / Е. А. Фёдорова // Труды Томского государственного университета. - Серия физико-математическая: Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы II Всероссийской молодежной научной конференции, Т. 295. - Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. - С. 137-142.

73. Фёдорова, Е.А. Квазигеометрическая и гамма аппроксимации в ЯС)-системе ММРР|М|1. / Е. А. Фёдорова, А. А. Назаров // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014): Материалы XIII Международной научно-практической имени А.Ф. Терпугова (20-22 ноября 2014 г.). - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2014. - 4.2. - С. 207-212.

74. Фёдорова Е. А. Вычисление моментов в ЯС)-системе ММРР|М| 1 / Е. А. Фёдорова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2014. - № 4 (29). - С. 41-50.

75. Хинчин, А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. / Хинчин А.Я. - М.: Физматгиз. - 1963. - 236 с.

76. Хомичков, И.И. Исследование моделей локальной сети с протоколом случайного множественного доступа / Хомичков И.И. // Автоматика и телемеханика. -1933.-№12.-С. 89-90.

77. Шварц, М. Сети ЭВМ: Анализ и проектирование. / Шварц М. - М.: Радио и связь, 1981.-400 с.

78. Aissani, A. Heavy loading approximation of the unreliable queue with repeated orders / Aissani A. // Actes du Colloque «Methodes et Outils d'Aide "a la Decision», MOAD'92. - Bejaia, 1992. - V. 1 - P. 97-102.

79. Alfa A. S. Queueing Theory for Telecommunications. Discrete Time Modelling of a Single Node System / Alfa A. S. // Sule Alfa Attahiru. - Springer Science&Business Media LLC. - 2010. - 248 p.

80. Alfa, A. S. PCS networks with correlated arrival process and retrial phenomenon / Alfa A. S., Li W. // IEEE Transactions on Wireless Communications. - 2002. - V. 1, — P. 630-637.

81. Anisimov, V.V. Asymptotic analysis of highly reliable retrial systems with finite capacity. / Anisimov V.V. // Queues, Flows, Systems, Networks: Proceedings of the International Conference «Modern Mathematical Methods of Investigating the Telecom-municational Networks». - Minsk, 1999. - P. 7-12.

82. Anisimov, V.V. Asymptotic Analysis of Reliability for Switching Systems in Light and Heavy Traffic Conditions / Anisimov V.V. // Statistics for Industry and Technology. Recent Advances in Reliability Theory. - 2000. - P. 119-133.

83. Artalejo, J. R. Computational analysis of the maximal queue length in the MAP/M/c retrial queue / Artalejo J. R., Chakravarthy S. R. // Applied Mathematics and Computation. -2006. - V. 183.-P. 1399-1409.

84. Artalejo, J. R. Standard and retrial queueing systems: a comparative analysis / Artalejo J.R., Falin G.I. // Revista Matematica Complutense. - 2002. - V. 15. - P. 101129.

85. Artalejo, J. R. Retrial queueing systems: A computational approach / J. R. Artalejo, A. Gómez-Corral. - Springer, Berlin. - 2008. - 267 p.

86. Artalejo, J.R. Analysis of multiserver queues with constant retrial rate / Artalejo J.R., Gomez-Corral A., Neuts M.F. // European Journal of Operational Research. -2001.-V. 135. — P. 569-581.

87. Burman, D. Y. An asymptotic analysis of a queueing system with Markov modulated arrivals / Burman D. Y., Smith D. R. // Operations Research. - 1986. - V. 34, №. l.-P. 105-119.

88. Choi, B. D. Single server retrial queues with priority calls / Choi B. D., Chang Y. // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - V.30. - P. 7-32.

89. Cohen, J.W. Basic problems of telephone traffic and the influence of repeated calls / Cohen J.W. // Philips Telecommunication Review. - 1957. - V. 18. - № 2. - P. 49100.

90. Deul, N. Stationary conditions for multi-server queueing systems with repeated calls. / Deul N. // Electronische Informationsverarbeitung und Kubernetik (Journal of Information processing and Cybernetics). - 1980. - V. 18. - № 10. - P. 587-594.

91. Diamond, J.E. Matrix analytical methods for M/PH/1 retrial queues / Diamond J.E., Alfa A.S. // Stochastic Models. - 1995. - V. 11. - P. 447-470.

92. Diamond, J.E. Approximation method for M/PH/1 retrial queues with phase type inter-retrial times / Diamond J.E., Alfa A.S. // European Journal of Operational Research. - 1999. - V. 113. - P. 620-631.

93. Dudin, A.N. Queueing System BMAP/G/1 with repeated calls / Dudin A.N., Kli-menok V.I. // Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - V. 30. - № 3-4. - P. 115-128.

94. Elldin, A. Elementary Telephone Traffic Theory. / Elldin A., Lind G. - Stockholm: L. M. Ericsson AB, 1964. - 46 p.

95. Erlang, A. K. The theory of probability and telephone conversations / A.K. Erlang // Nyt Tidsskrift Mat. - 1911. - B. 20. - P. 33-39.

96. Erlang, A. K. Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges. / Erlang A. K. // The Post Office Electrical Engineers Journal. - 1918. - P. 189-197.

97. Falin, G.I. A diffusion approximation for retrial queueing systems. / Falin G.I. // Theory of Probability and Its Applications. - 1991. - V. 36. - № 1. - P. 149-152.

98. Falin, G.I. Limit theorems for queueing systems with repeated calls. / Falin G.I. // 4th Int. Vilnius Conf. on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius. -1985.

99. Falin, G.I. M|G| 1 system with repeated calls in heavy traffic / Falin G.I. // Moscow University Mathematics Bulletin. - 1980. - V. 35. - № 6. - P. 48-51.

100. Falin, G.I. Multichannel Queuing System with Repeated Calls Under High Intensity of Repetition / Falin G.I. // Journal of Inform. Processing and Cybernetics. - 1987. -№23.-P. 37-47.

101. Falin G.I. On ergodicity of multilinear queueing systems with repeated calls. / Falin G.I. // Soviet Journal of Computer and systems sciences. 1987. - V. 18. - № 4. - P. 60-65.

102. Falin G.I. On Sufficient Conditions for Ergodicity of Multichannel Queuing Systems with Repeated Calls / Falin G.I. // Advanced in Applied Probability. - 1984. - V. 16.-P. 447-448.

103.Falin, G. I. A finite source retrial queue / Falin G. I., Artalejo J. R. // European Journal of Operation Research. - 1998. - № 108. - P. 409^124.

104. Falin, G. I. Martin M. One the single server retrial queue with priority customers / Falin G. I., Artalejo J. R. // Queuing Systems. - 1993. - №14. - P. 439-455.

105. Falin, G. I. Retrial Queues / G. I. Falin, J. G. C. Tempeton. - London: Chapman and Hall, 1997.-328 p.

106.Fedorova, E. Quasi-geometric and gamma approximation for retrial queueing systems / E. Fedorova // A. Dudin et al (Eds.): Information Technologies and Mathematical Modelling. - CCIS 487. - Springer International Publishing Switzerland. - 2014. -P. 123-136.

107. Fedorova, E. Retrial Queueing System M|GI|1 researching by means of the second-order asymptotic analysis method under a heavy load condition / E. Fedorova, A. Naza-rov // Proceedings of the 3d International conference on application of Information and communication technology and statistics in economy and education (ICAICTSEE— 2013). University of National and World Economy, Sofia, Bulgaria. - 2014. - P. 510518.

108. Foster, F.C. On the Stochastic Matrices Associated with Certain Queuing Processes / Foster F.C. //Annuals Mathematical Statistic. - 1953. -V. 24. - P. 355-360.

109. Gans, N. Telephone call centers: Tutorial, review and research prospects / Gans N., Koole G., Mandelbaum A. // Manufacturing and Service Operations Management 2003. -V.5.-P. 79-141.

110. Gomez-Corral, A. A bibliographical guide to the analysis of retrial queues through matrix analytic techniques. / Gomez-Corral A. //Annals of Operations Research. -V. 141 -2006.-P. 163-191.

111. Gosztony, G. Repeated call attempts and their effect on traffic engineering / Gosz-tony G. // Budavox Telecommunication Review. - 1976. - № 2. - P. 16-26.

112. Gosztony, G. Some practical problems of the traffic engineering of overloaded telephone networks / Gosztony G., Honi G. // Proceedings of the 8th International Tele-traffic Congress, ITC-8. Melbourne. - 1976. - P. 141.

113. Grillo, D. Telephone network behaviour in repeated attempts environment: A simulation analysis / Grillo D. // Proceedings of the 9th International Teletraffic Congress, ITC-9, Torremolinos. - 1979.

114. Hanschke, T. Explicit formulas for the characteristics of the MjM|2|2| queue with repeated attempts. / Hanschke T. // Journal of applied probability. - 1987. - № 24. -P. 486-494.

115. Jonin, G.L. Telephone systems with repeated calls. / Jonin G.L., Sedol J.J. // Proceedings of the 6th International Teletraffic Congress, ITC-6. - Munich, 1970. -P. 435/1-5.

116. Kendall, D. G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of imbedded Markov chains / D. G. Kendall. // Annals of Mathematical Statistics. - 1953. - Vol. 24. - P. 338-354.

117. Kim, C.S. Optimal multi-threshold control by the BMAP|SM|1 retrial system / Kim C.S., Klimenok V.I., Birukov A.V., Dudin A.N. // Annals of Operations Research. -2006.-V. 141.-P. 193-210.

118. Kim, C. S. Investigation of the BMAP/G/l->-/PH/l/M tandem queue with retrials and losses. / Kim C. S., Park S. H., Dudin A.N., Klimenok V.I., G. Tsarenkov. // Applied Mathematical modeling. - V. 34, № 10. - 2010. - P. 2926-2940.

119.Koole, G. Queueing models of call centers: An introduction / Koole G., Mandelbaum A. // Annals of Operations Research. - 2002. - V. 113. - P. 41-59.

120.Krishnakumar, B. A single server feedback retrial queue with collisions / Krishna Kumar B., Vijayalakshmi G., Krishnamoorthy A., Sadiq Basha S. A // Computer and operations research. - 2010. -№ 37. - P. 1247-1255.

121. Lewis, A. Measurements of repeat call attempts in the intercontinental telephone service / Lewis A., Leonard G // Proceedings of the 10th International Teletraffic Congress, ITC-10, Montreal. - 1983.

122. Lucantoni, D.M. New results on the single server queue with a batch Markovian arrival process / Lucantoni D.M.//Stochastic Models. - V. 7 - 1991.-P. 1-46.

123.Machihara, F. Mobile customers model with retrials / Machihara F., Saitoh M. // European Journal of Operational Research. - 2008. - V. 189. - P. 1073-1087.

124.Moiseeva, E. Asymptotic Analysis of RQ-systems M|M|1 on Heavy Load Condition / E. Moiseeva (Fedorova), A. Nazarov // Proceedings of the IV International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» (PCI'2012), September 12-14, Baku, Azerbaijan.-2012.-P. 164-166.

125.Moustafa, M.D. Input-Output Markov Processes / Moustafa M.D. // Proc. Koninkijke Nederlande Akad. Wetenshappen. - 1957. - V. 60. - P. 112-118.

126.Nador, L. The effects of traffic overloads in automatic telephone networks / Nador L. // Budavox Telecommunication Review. - 1988. - №. 1. - P. 2-17.

127.Neuts, M. F. Versatile Markovian Point Process / Neuts M. F. // Journal of Applied Probability. - V. 16, №. 4 - 1979. - P. 764-779.

128. Neuts, M.F. Numerical investigation of a multiserver retrial model / Neuts M.F., Rao B.M. // Queueing Systems. - 1990. - V. 7. - №2 - P. 169-190.

129. Palm, C. The Distribution of Repairmen in Servicing Automatic Machines / C. Palm // Industritidningen Norden. -1947. - Vol. 75. - P. 75-80, 90-94, 119-123.

130. Pearce, C. E. M. On the problem of the re-attempted calls in teletraffic / Pearce C. E. M. // Stochastic Models. - 1987. - V. 3. - P. 393^107.

131. Pourbabai, B. Asymptotic analysis of G/G/K queueing-loss system with retrials and heterogeneous servers / Pourbabai B. // International Journal of Systems Sciences. — 1988.-V. 19.-P. 1047-1052.

132. Pourbabai, B. A random access telecommunication system / Pourbabai B. // Journal of Information Processing and Cybernetics. - 1988. - V. 24. - P. 613-625.

133.Ridder, F. Fast simulation of retrial queues / Ridder F. // Third Workshop on Rare Event Simulation and Related Combinatorial Optimization Problems. — Pisa, 2000. -P. 1-5.

134. Roszik, J. Retrial queues in the performance modeling of cellular mobile networks using MOSEL / Roszik J., Sztrik J., Kim C.S. // International Journal of Simulation. -2005. - V.6. - P.38-47.

135.Sennot, L.I. Mean drifts and the non-ergodicity of markov chains / Sennot L.I., Humblet P.A., Tweedie R.L. // Operations research. - 1983. - № 31 (4). - P. 783-789.

136. Shneps-Shneppe, M.A. The effect of repeated calls on communication system. / Shneps-Shneppe M.A. // Proceedings of the 6th International Teletraffic Congress, ITC-6, Munich.-1970.

137. Syski, R. Introduction to congestion theory in telephone systems. / Syski R. - Am-terdam: Elsevier Science Publisher. — 1968.

138. Stepanov, S.N. Asymptotic analysis of models with repeated calls in case of extreme load / Stepanov S.N. // Problems of Information Transmission. - 1993. — V. 29. — №. 3. - P. 248-267.

139. Stollez, R. Performance analysis and optimization of Inbound Call Centers. / Stol-lez R. - Berlin: Springer. - 2003.

140. Suprun, A.P. A stochastic model for estimating the influence of repeated calls in digital communication systems / Suprun A.P. // Moscow University Mathematics Bulletin. - 1987. - V.42, №. 3. - P. 22-24.

141. Tran-Gia, P. Modeling of customer retrial phenomenon in cellular mobile networks / Tran-Gia P., Mandjes M. // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. -1997.-V. 15.-P. 1406-1414.

142. Vlajic, N. Performance aspects of data broadcast in wireless networks with user retrials / Vlajic N., Charalambous C.D. and Makrakis D. // IEEE/ACM Transactions on Networking. - 2004. - V. 12. - P. 620-633.

143. Wilkinson, R.I. Theories for toll traffic engineering in the USA / Wilkinson R.I. // The Bell System Technical Journal. - 1956. -V. 35. -№ 2. - P. 421-507.

144. Wesolowski, K. Mobile communication systems / Wesolowski K. - N.Y.: John Wiley & Sons.-2002.

145. Yang T., M.J.M. An approximation method for the M/G/l retrial queue with general retrial times / Yang T., M.J.M. Posner, J.G.C. Templeton and H. Li // European Journal of Operational Research. - 1994. -V. 76. - P. 552-562.