Исследование математических моделей RQ-систем с вытеснением заявок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Измайлова, Яна Евгеньевна

• Измайлова, Яна Евгеньевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Измайлова, Яна Евгеньевна

Оглавление

Введение

Глава 1 Исследование ЯО-систем М | а |1 с вытеснением заявок

1.1 Исследование Я^-систем М10111 с вытеснением заявок и экспоненциальным распределением времени между повторами обращения заявок из ИПВ

1.1.1 Математическая модель

1.1.2 Пропускная способность Я^-систем М10111 с вытеснением заявок

1.1.3 Численное исследование некоторых свойств Я^-систем

М10111 с вытеснением заявок

1.1.4 Асимптотический анализ

1.2 Исследование Я^-систем М10111 с вытеснением заявок и гиперэкспоненциальным распределением времени между повторами обращения заявок из ИПВ

1.2.1 Математическая модель

1.2.2 Асимптотический анализ

1.3 Выводы по Главе 1

Глава 2 Диффузионная аппроксимация ЯО-систем М | С111 с вытеснением заявок

2.1 Асимптотический анализ

2.2 Локальная диффузионная аппроксимация в Я^-системах

2.3 Глобальная диффузионная аппроксимация в Я^-системах

2.4 Выводы по Главе 2

Глава 3 Исследование ЯО-систем И(2) | В(х}(2) | 1 с г-настоичивым вытеснением альтернативных заявок

3.1 Математическая модель

3.2 Асимптотический анализ

3.3 Выводы по Главе 3

Глава 4 Комплекс проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для исследования ЯО-систем с вытеснением заявок и численный анализ результатов

4.1 Численный алгоритм для исследования Я^-систем М10111 с вытеснением заявок

4.1.1 Численный анализ Я^-систем М10111 с вытеснением заявок в условии конечной ненулевой пропускной способности

4.1.2 Численный анализ Я^-систем с вытеснением заявок в условии неограниченной пропускной способности

4.1.3 Численный анализ нестационарных Я^-систем с вытеснением заявок и ограничением на объем ИПВ

4.1.4 Численная реализация асимптотической аппроксимации

4.1.5 Численная реализация диффузионной аппроксимации для двумодаль-ных распределений

4.2 Имитационная модель Я^-систем М10111 с вытеснением заявок и гиперэкспоненциальной задержкой

4.3 Имитационная модель Я^-систем М(2) | В( х)(2) | 1 с г-настойчивым вытеснением альтернативных заявок

4.4 Выводы по Главе 4

Заключение

Список использованной литературы

136

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей RQ-систем с вытеснением заявок»

Введение

Актуальность работы. В последнее время возродился интерес к задачам теории массового обслуживания (ТМО), обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и, особенно в областях, связанных с разработкой и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению.

К первым работам в области теории массового обслуживания можно отнести работы А. К. Эрланга, T.C. Fry [79], E.C. Molina [96], C.F. O'Dell [97]. Изучив их, R. Syski [103] приходит к выводу, что исследования были связаны в основном с одобрением или опровержением результатов А. К. Эрланга. Шведский ученый К. Пальм обобщил исследования А. К. Эрланга и в своей докторской диссертации привел важные результаты по изучению изменяемости телефонной нагрузки. Позднее подобные задачи стали возникать и в других областях, не связанных с телефонией. После появления обобщающей статьи D.G. Kendall [87] такого рода задачи выделяют в особую группу под названием теория очередей. Советский математик А. Я. Хинчин [38, 39] показал, что предметом теории очередей является как вероятностное описание процессов массового обслуживания, так и рассмотрение их в динамике. Также к ранним работам по теории систем массового обслуживания можно отнести работы R.I. Wilkinson [105], Г.Л. Ионина [10, 11], П.К. Ле Галля [17, 18].

Пик своего развития ТМО достигла в 50-70-е годы. До 1960-х гг., исследования систем массового обслуживания проводились, как правило, аналитическими методами [35], которые не всегда позволяют найти решения. По этой причине интерес к задачам ТМО ослабел. В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания [7, 8, 15, 27, 37, 90], развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Применение классических моделей теории массового обслуживания для повышения надежности прогнозирования и обработки информации телекоммуникационных, вычислительных и экономических систем не всегда дает адекватные результаты. Поэтому для анализа и исследования таких систем используют более адекватные модели, модели с повторной очередью (Retrial Queueing System). Системы с повторами характеризуются тем, что прибывшая в систему заявка, обнаружив прибор занятым, уходит в зону ожидания и через некоторое случайное время повторяет попытку обслуживания. Между повторами заявки (клиенты) находятся в «источнике повторных вызовов» (ИПВ или орбита). Обзор работ по этой тематике приведен в работах Artalejo J.R. [57-59]. Модели с повторными вызовами (RQ-системы) широко применяются для проектирования и оптимизации информационно-коммуникационных систем различного уровня (локальных, глобальных), цифровых сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, в сетях сотовой связи, вычислительных кластерах, в call-центрах [99], для оптимизации работы транспортных систем и во многих других областях.

В классических RQ-системах предполагается, что все запросы, поступающие в систему - однородные. Однако, во многих реальных системах запросы, поступающие в систему, неоднородны как по распределению времени обслуживания, так и по их ценности для системы и, следовательно, имеют право претендовать на первоочередное обслуживание в момент освобождения прибора. RQ-системам с приоритетами посвящено немалое количество исследований, к которым можно отнести работы A. Cobham [74], T. E. Phipps [98], L. E. Schräge [101], N. К. Jaiswal [82], К. C. Madan [95], B. Simon [102], B. D. Choi [71, 72], K. Altinke-mer [56], I. Bose, N. Rengnanathan [100], R. Kalayanaraman [84, 85], M. Martin, G. V. Krishna Reedy [90], R. Nadarajan, G. Ayyappan [63], С. D'Apice [75], П. П. Бочарова [64, 65], О. И. Павловой.

В работах [2, 6, 22, 80, 86, 88, 89] приоритет рассматривается в том смысле, что какому-то одному типу заявок разрешается обслуживание в порядке приоритета, в то время как другим, приходится находиться в ИПВ, ожидая обслуживания всех приоритетных заявок. Во всех указанных выше работы интервалы между по-

вторами обращения заявок к прибору имеют экспоненциальное распределение. В реальных системах интервалы между повторами могут иметь и не экспоненциальное распределение.

В исследованиях K. Avrachenkov [62], А. Н. Дудина [76, 77], В. И. Клименок [61], S.R. Chakravarthy [68], Y.W. Lee [92], M.J. Domenech-Benlloch [78] рассматриваются системы, в которых два типа входящих потоков (заявки первого и второго типов) и при этом назначается приоритет заявкам первого типа, которые в дальнейшем образуют очередь, а заявки второго типа уходят в ИПВ. В работе [68] предполагается, что интервалы между повторами обращения заявок из ИПВ имеют экспоненциальное распределение и зависят от количества заявок в источнике повторных вызовов, так называемая система с постоянной скоростью возврата (constant retrial policy). В работе [32] рассматривается RQ-система с фазовым распределением повторного времени. Показано, что распределение вероятностей числа заявок в ИПВ можно аппроксимировать гауссовским распределением. Были найдены параметры этого распределения.

В последние годы можно встретить немало работ, касающихся изучению RQ-систем с дискретным временем [91, 83, 67, 93, 94, 66, 104, 73]. К некоторым из них относятся работы I. M. Atencia [60]. В [60] рассматривается система с повторными вызовами, в которой прибывшая заявка, обнаружившая прибор занятым, может решить: начать обслуживание или присоединиться к орбите и повторить попытку позже согласно дисциплине FCFS. Были получены распределение числа заявок в источнике повторных вызовов и закон стохастического разложения. Также в работе [60] доказано, что RQ-система M / G / 1 с прерывания обслуживания может быть аппроксимирована с помощью соответствующей системы с дискретным временем. Для данной системы найдена производящая функция времени пребывания заявок в источнике повторных вызовов.

Однако приоритетные RQ-системы не учитывают эффект реально наблюдаемого в транспортных и телекоммуникационных системах вытеснения требований. Поэтому возникает необходимость построения и исследования математических моделей RQ-систем с вытеснением заявок.

В данной диссертационной работе будут рассмотрены Я^-системы с вытеснениями или, как было названо ранее, с приоритетом заявок. Будут рассмотрены приоритетные системы:

• С двумя входящими Пуассоновскими потоками;

• С одним входящим Пуассоновским потоком и вытеснением заявок, то есть в такой системе приоритетными заявками считаются те, которые обращаются к прибору (им требуется срочное обслуживание);

• С одним входящим Пуассоновским потоком, вытеснением заявок и гиперэкспоненциальным распределением между повторами обращения заявок из источника повторных вызовов.

Исследования систем будут проводиться при помощи модифицированного метода асимптотического анализа, имитационного моделирования [55, 33, 16], численными методами [36].

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертационной работы является исследование математических моделей однолинейных Я^-систем с вытеснением заявок.

Были поставлены следующие задачи:

1. Проанализировать существующие и предложить новые варианты систем массового обслуживания для моделирования предметных областей с приоритетами и вытеснением заявок.

2. Построить математическую модель Я^-систем с вытеснением заявок.

3. Найти пропускную способность Я^-систем с вытеснением заявок.

4. Построить математическую модель Я^-систем с двумя входящими потоками, произвольным распределением времени обслуживания и двумя источниками повторных вызовов.

5. Модифицировать метод асимптотического анализа для нахождения распределения вероятностей состояний обслуживаемого прибора и числа заявок в источнике (источниках) повторных вызовов.

6. Модифицировать метод диффузионной аппроксимации для нахождения распределения вероятностей состояний обслуживаемого прибора и числа заявок в источнике повторных вызовов.

7. Разработать численный алгоритм для вычисления допредельного распределения вероятностей числа заявок в ИПВ и состояний прибора Я^-системы с вытеснением обслуживаемых заявок.

8. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для имитационного моделирования и численного анализа RQ-систем с вытеснением заявок.

Научная новизна результатов. Научная новизна результатов данной диссертации состоит в следующем:

1. Впервые предложен новый класс математических моделей RQ-систем с вытеснением заявок и случайным доступом, отличающиеся от приоритетных Я^-систем тем, что в последних доступ приоритетных заявок осуществляется в порядке очереди.

2. Впервые построена математическая модель RQ-систем М10111 с вытеснением заявок. Найдена пропускная способность RQ-системы М10111 с вытеснением поступающих заявок. Определена область стабильного функционирования нестационарных систем, то есть область, в которой вероятностные характеристики RQ-систем не меняются с течением времени до момента выхода из нее.

3. Впервые построены математические модели RQ-систем М10111 с вытеснением и гиперэкспоненциальной задержкой заявок в источнике повторных вызовов, RQ-систем с двумя входящими потоками и вытеснением альтернативных заявок.

4. Впервые для исследования RQ-систем с вытеснением проведена модификация метода асимптотического анализа в предельном условии большой задержки заявок в ИПВ. С помощью данного метода получен вид предельной характеристической функции для систем с экспоненциальной и гиперэкспоненциальной задержкой заявок в источнике повторных вызовов в виде характеристической функции гауссовского распределения.

5. Впервые для RQ-системы с вытеснением заявок и с экспоненциальным распределением времени между повторами обращения заявок из ИПВ проведена модификация метода асимптотического анализа в виде асимптотических семиинвариантов. Данный метод позволяет получить более точную аппроксимацию характеристической функции по сравнению с гауссовской аппроксимацией.

6. Проведена модификация метода асимптотического анализа для RQ-системы с вытеснением заявок и экспоненциальной задержкой заявок в ИПВ, с помощью которой, найдена диффузионная аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в ИПВ и состояний прибора. Этот метод позволяет выполнить аппроксимацию двумодальных распределений.

7. Разработан численный алгоритм на основе реккурентных формул, представленных в диссертации, для нахождения двумерного распределения вероятностей состояний обслуживающего прибора и числа заявок в ИПВ для RQ-системы с вытеснением заявок.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Новый класс математических моделей RQ-систем с вытеснением заявок и случайным доступом.

2. Математические модели RQ-систем М10111 с вытеснением, экспоненциальной и гиперэкспоненциальной задержкой заявок в источнике повторных вызовов, RQ-систем с двумя входящими потоками и вытеснением альтернативных заявок.

3. Модификация метода асимптотического анализа для получения вида предельной характеристической функции распределения вероятностей состояний RQ-систем с экспоненциальной и гиперэкспоненциальной задержкой заявок в источнике повторных вызовов и вытеснением заявок.

4. Модификация метода асимптотического анализа в виде асимптотических семиинвариантов для нахождения аппроксимации третьего порядка RQ-системы М10111 с вытеснением заявок.

5. Модификация метода асимптотического анализа для нахождения диффузионная аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в ИПВ и состоя-

ний прибора RQ-системы с вытеснением заявок и экспоненциальной задержкой.

6. Комплекс проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для имитационного моделирования и численного анализа RQ-систем с вытеснением заявок.

Методы исследования. Исследования основаны на использовании аппарата теории вероятности, теории случайных процессов, теории массового обслуживания. Применялся метод характеристических функций. Основное исследование проводилось методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки. Для установления области применимости асимптотических результатов используются метод имитационного моделирования и численные эксперименты.

Результаты, изложенные в данной диссертации, имеют теоретическое и практическое значения.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы.

Предложенный новый класс Я^-систем с вытеснением заявок существенно расширяет возможности решения ряда научных проблем, связанных с исследованием систем массового обслуживания аналитическими и численными методами. Разработанные методы и алгоритмы позволяют выполнять анализ более широкого класса систем с повторными вызовами, который является важным разделом теории массового обслуживания.

Я^-системы с вытеснением заявок могут быть использованы в качестве математических моделей телекоммуникационных и транспортных систем, а также компьютерных операционных систем.

В телекоммуникационных системах при проектировании сетей нового поколения для создания новых протоколов случайного множественного доступа и модификации уже существующих.

В транспортных системах при разрешении коллизий при проезде перекрестков автономно управляемыми системами.

В компьютерных операционных системах при разработке алгоритмов управлением процессами (планировщиков).

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата, теории массового обслуживания, теории случайных процессов, согласованностью результатов, полученных разными методами, а так же численными экспериментами и имитационным моделированием.

Личное участие автора в получении результатов. Постановка изложенных задач была сделана научным руководителем, доктором технических наук, профессором А. А. Назаровым. Математические выкладки выполнены Я. Е. Измайловой. В совместных публикациях А. А. Назарову принадлежат постановки задач и указание основных направлений исследования.

Связь работы с крупными научными проектами. Значительная часть результатов диссертации была получена в рамках выполнения: 1) госзадания ми-нобрнауки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012-2013 годы «Разработка и исследование вероятностных, статистических и логических моделей компонентов интегрированных информационно-коммуникационных систем обработки, хранения и передачи информации» № 8.4055.2011, номер госрегистрации 01201261193 в 2012-2013 гг.; 2) научно-исследовательской работы в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности Минобрнауки РФ № 1.511.2014/К «Исследование математических моделей информационных потоков, компьютерных сетей, алгоритмов обработки и передачи данных» в 2014-2016 гг.; 3) научного проекта № 1631-00292 мол_а «Разработка асимптотических методов исследования математических моделей телекоммуникационных систем» при финансовой поддержке РФФИ.

Соответствие паспорту специальности.

Данное диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», а именно соответствует следующим областям (номера соответствуют пунктам в паспорте специальности):

п.2 - Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

п.4 - Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

п.5 - Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Научное творчество молодежи: XVII, XVIII Всероссийская научно-практическая конференция, г. Анжеро-Судженск, 2013-2014 гг; XX Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи. Математика. Информатика» (28-29 апреля 2016 г.), г. Анжеро-Судженск; I, II, III Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» г. Томск, 2013-2015 гг; XII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (29-30 ноября 2013 г.), Анжеро-Судженск; XIII, XIV Международная научно-практическая конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск, 20142015 гг; XV Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2016) (12-16 сентября 2016 г), пос. Катунь Алтайского края; 52-ая международная научная студенческая конференция (11-18 апреля 2014 г), г. Новосибирск; IV, VI Всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем», г. Москва, 2014 г., 2016 г.; X Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» ( 8-12 июня 2014 г), пос. Катунь Алтайского края; XV Всерос-

сийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (29-31 октября 2014 г), г. Тюмень; «Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения» (23-26 февраля 2015 года), г. Минск (Республика Беларусь); Международная научная конференция «Information Technologies for Complex System Analysis and Synthesis. The Second International Summer School» (8-12 июня 2015 г.), г. Анапа.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 21 печатная работа, в том числе 3 в журналах, включенных в Перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук, 18 в сборниках материалов международных и всероссийских конференций, из которых 3 публикации в сборниках, индексируемых Web of Science и Scopus.

Глава 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ИО-СИСТЕМ М|С1| 1 С ВЫТЕСНЕНИЕМ ЗАЯВОК

Модели с повторными вызовами широко применяются для проектирования и оптимизации информационно-коммуникационных систем различного уровня (локальных, глобальных), цифровых сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, в сетях сотовой связи, вычислительных кластерах, в са11-центрах, для оптимизации работы транспортных систем, для анализа и исследования экономических систем и во многих других областях.

В классических Я^-системах предполагается, что все запросы, поступающие в систему - однородные. Однако, во многих реальных системах запросы, поступающие в систему, неоднородны как по распределению времени обслуживания, так и по их ценности для системы и, следовательно, имеют право претендовать на первоочередное обслуживание в момент освобождения прибора.

Приоритетное обслуживание в наше время является главной особенностью функционирования любой производственной системы. По этой причине, приоритетные очереди получили значительное внимание в литературе.

В данной главе проводится исследование Я^-систем с вытеснением заявок, простейшем входящим потоком, произвольной функцией распределения времени обслуживания, экспоненциальной и гиперэкспоненциальной задержкой заявок в источнике повторных вызовов.

Ставится задача нахождения распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов. Исследования проводятся методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки.

1.1 Исследование ЯО-систем М | а |1 с вытеснением заявок и экспоненциальным распределением времени между повторами обращения

заявок из ИПВ

В данном параграфе исследуются Я^-системы с вытеснением заявок, простейшим входящим потоком, произвольной функцией распределения времени обслуживания и экспоненциальной задержкой заявок в источнике повторных вызовов.

1.1.1 Математическая модель

Рассмотрим Я^-систему М10111 с вытеснением заявок (Рисунок 1).

Рисунок 1 - Я^-система М10111 с вытеснением заявок На вход системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени с функцией распределения В (х). Если прибор занят, то поступившая заявка вытесняет обслуживаемую и сама встает на прибор, а заявка, которая обслуживалась, переходит в ИПВ, где осуществляет случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром а. Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь встает на прибор. Если прибор свободен, то заявка занимает его на случайное время обслуживания, если же он занят, то заявка из ИПВ вытесняет обслуживаемую заявку и сама встает на прибор, а заявка, которая стояла на приборе, уходит в ИПВ.

Обозначим / (7) - число заявок в ИПВ, к (7) определяет состояние прибора следующим образом:

Г0, если прибор свободен, к (7) = \

[1, если прибор занят.

Ставится задача определения условий существования стационарного режима в рассматриваемой Я^-системе и нахождения стационарного распределения вероятностей числа заявок в ИПВ и состояний прибора.

Так как процесс {к (7),/(7)} не является марковским, то рассмотрим процесс с переменным числом компонент.

Если к(1) = 0, то рассматриваем процесс (к(7),/(7)}. Если к(7) = 1, то рассматриваем процесс (к(7),/(7), )}, где г(7) остаточное время от момента 7 до

момента окончания обслуживания.

Обозначим Р{к(7) = 0,/(7) = /} = Р0(/, 7), / > 0 вероятность того, что прибор в момент времени 7 находится в состоянии 0 и в источнике повторных вызовов находится / заявок; Р{к(7) = 1,/(7) = /, г(7) < г} = Р1(/, г,7), / > 0 вероятность того, что прибор в момент времени 7 находится в состоянии 1, остаточное время обслуживания меньше г и в источнике повторных вызовов находится / заявок.

Для распределения вероятностей {Р0(/, 7), Рх(/, г, 7)}, применяя формулу полной вероятности, запишем равенства:

Р(/, г - А7,7 + А7) = ХШ(г)Р0 (/,7) + /стАВ(г)Р(/, да,7) + (/ + 1)стАВ(г)Р0(/ +1,7) + + [Р:(/, г,7) - Р:(/, А7,0](1 - ^А?)(1 - /стА7) + ААВ(г)Р[(/ -1,да,7) + о(А), Р0(/,7 + А7) = (1 - /стА7)(1 - АА)Р0(/,7) + Р1(/,А7,7) + о(А7). Отсюда, прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова будет

иметь вид:

дРМ,г,7) дРМ,г,7) ЭД(/,0,7) Л . Лп/. Л

37 & &

+(А, + /ст)Р1(/, А,7) + /стВ(г)Р:(/,да,7) + А£(г)Р[(/ -1,да,7) + (/ + 1)стВ(2)Р0(/ +1,7),

dP0{i,t) ap1(/,o,t)

dt dz

в которой применяется обозначение

0Pi(/At)_ dPx(i,z,t)

= -{X + ia)P0(i, t), (1.1.1)

z=0

dz dz

Рассматривая RQ-систему в стационарном режиме, для распределения вероятностей {P0 (i), P1(i, z)} из (1.1.1) запишем:

-Ю&л + а^К^,0) = щ z) Po(0 - (Jt+,СТ) Pi(hz)+

dz dz

+iaB(z)P1(i,да) + XB(z)P1(i -1,да) + (i + 1)*B(z)P0(i +1), (1.1.2)

dz

Для решения данной системы необходим переход к частичным характеристическим функциям.

Перейдем в системе (1.1.2) к частичным характеристическим функциям вида

да да

H0(u) = XeuiP0(i), H(u,z) = XeJulPl(i,z), i=0 i=0

где j = V-I - мнимая единица.

Запишем систему уравнений для частичных характеристических функций в

виде:

. dH1(u,z) dH1(u,0^ ,_dH1(u,z) ^dH1(u) ^ju dH0(u)

j . 7--^^ + j*-^- - j*B(z)—^ - jaB(z)e

5м ды ды

+ХВ( г) И 0(ы) - ХН1(ы, г) + ХВ( г)е]ыН1(ы) = 0, (1.1.3)

^Ы0-ХИ (ы) + уадИ(—) = о.

дг ды

Далее мы будем искать пропускную способность данной системы.

1.1.2 Пропускная способность ИО-систем М | а |1 с вытеснением

заявок

Определение. Пропускной способностью Б будем называть максимальное среднее число заявок, которые может обслужить система в единицу времени.

Чтобы найти значение Б данной системы, будем полагать, что выполняется равенство X = Б - е, где в - бесконечно малая величина.

Теорема 1. Пропускная способность Б RQ-систем Ы\01\ 1 с вытеснением заявок имеет вид

Б = £'(0). (1.1.4)

Доказательство.

Этап 1. В системе (1.1.3) выполним следующие замены

и = ем, Н0(и) = е/0(м,е), И1(п,г) = м,г,е).

Получим

д/^,г,е) д/^Де) . д/^,г,е) Л

—^----^-- + -- +(Б - е) в( 2 №(w, е) - (Б - е) / (w, е) -

д2 д2 едм

-устВ(2)^^ + (Б - в)£(2)еуме^(м,в) - уст£(2)е" уме = 0,

едм дм

д/^Д в) д/0(м, в)

—^-^ - (Б -в)в/0(м,в) + уст-^—- = 0. (115)

02 ш

В системе (1.1.5) сделаем предельный переход при 2 ^да и просуммируем уравнения данной системы, имеем

7ст Й/00) - (б - в/м в) + (Б - ф^м, в) - уст*-}™®0 = 0.

д д

Упростим

д/0(М в ) дм

уст(1 - ) ^^^ + (Б - е)(1 - е~уш- 7 / (м, в) = 0.

Разделим на (1 - е уме), получим

уст^З^ + (Б - е)еуш /1(м, е) = 0. дм

Выполним предельный переход при е ^ 0

Уа

дм

+ = 0.

(1.1.6)

Этап 2. В системе (1.1.5) домножим первое уравнение на в и сделаем предельный переход при в ^ 0, получим

№-2> - В(2)= 0,

дм дм

д^1(м,0) . дF0(м)

(1.1.7)

+ ]а-

0.

дг дм

Вычтем из второго уравнения системы (1.1.7) уравнение (1.1.6), имеем

д^(м,0) дг

+ SF1(w) = 0.

Полученное уравнение продифференцируем по м

_a{5Fl(w10V5w^+55Flíw)=0

дм дм

(1.1.8)

Первое уравнение системы (1.1.7) продифференцируем по г в точке г = 0. получим

д{д^(м,0)/дм}

&

д{В( г) дFl(w)| дм}

г=0

= 0.

(1.1.9)

2=0

Просуммируем (1.1.8) и (1.1.9) имеем

5 ^ - В(0) ВД = 0.

дм дм

Откуда находим значение 5

5 = В'(0).

Теорема доказана.

Получаем, что пропускная способность данной системы может иметь следующие значения

0, В'(0) = 0,

5 =

(1.1.10)

В'(0), 0 < В'(0) <да, да, В'(0) = да.

Примерами функций распределения В(х), принимающих все три возможные в (1.1.10) значения для их производных в нуле являются функции Вейбулла,

для которой В' (х) =

X

к_

х

• ехр

к

X

х

Vх/

, так как при к < 1 мы получаем, что

к

В'(0) = да, то есть Б = да, при к = 1 В'(0) = —, то есть имеем конечное значение,

X

при к > 1 В'(0) = 0, то есть значение Б = 0.

Так как условием существования стационарного режима в системе массового обслуживания с пропускной способностью Б является неравенство Х< Б, то для рассматриваемой Я^-системы при В'(0) = да стационарный режим существует при любых конечных значениях интенсивности X входящего потока. При В' (0) = 0 стационарного режима в данной системе не существует при любых, даже сколь угодно малых положительных значениях интенсивности X.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Измайлова, Яна Евгеньевна, 2017 год

Список использованной литературы

1. Анисимов, В. В. Асимптотические методы анализа стохастических систем / В. В. Анисимов - Киев: Тбилиси. Мецниереба, 1984. - 178 с.

2. Башарин, Т. П. Об одной системе массового обслуживания с двумя типами заявок с относительным приоритетом/ Т. П. Башарин, К. Е. Самуйлов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1983. - №3. - С. 48-56.

3. Боровков, А. А. О сходимости к диффузионным процессам / А. А. Боровков// Теория вероятностей и ее применение. - 1967. - №4. - С. 459-482.

4. Боровков, А. А. Об условиях сходимости к диффузионным процессам и асимптотических методах теории массового обслуживания / А. А. Боровков // Международный конгресс математиков, Тезисы докладов по приглашению. -Москва. - 1966. - С. 133-136.

5. Боровков, А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания /А. А. Боровков. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 384 с.

6. Бочаров, П. П. Об обслуживании двух типов заявок с относительным приоритетом и распределениями фазового типа / П. П. Бочаров // Теория телетрафика в системах информатики. - М.: Наука. - 1989. - С. 45-50.

7. Веклеров, Е. О некоторых новых книгах по теории массового обслуживания / Е. Веклеров, В. В. Рыков // УМН, 22. - 1967. - №5(137). - С. 228-233.

8. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: Эдиториал УРСС, 2005. - 400 с.

9. Ивницкий, В. А. Асимптотическое исследование стационарного распределения вероятностей состояний одного класса однолинейных систем обслуживания (без памяти) / В. А. Ивницкий // Проблемы передачи информации. - 1969. - Т.5, №3. - С. 88-95.

10.Ионин, Г.Л. Таблицы вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах / Г.Л. Ионин, Я.Я. Седол. - М.: Наука, 1970. - 155 с.

11.Ионин, Г.П. Исследование телефонных систем при повторных вызовах / Г.П. Ионин, Я.Я. Седол // Латвийский ежегодный еженедельник. Рига: Зинатне . -1970. - Вып.7. - С. 71-80.

12.Измайлова Я. Е. Исследование RQ-системы M(2)/ B(2)(x) / 1 с г-настойчивым вытеснением альтернативных заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Измайлова // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева. - 2016. - Т. 17, №2. - С. 328 - 335.

13.Измайлова Я. Е. Исследование RQ-системы M|GI| 1 с неэкспоненциальной задержкой заявок в ИПВ и вытеснением заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Измайлова // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем (ITTMM-2016): материалы VI Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 18-22 апреля 2016 г. - Москва, 2016. - С. 43 - 46.

14.Измайлова Я. Е. RQ-система M|GI| 1 с гиперэкспоненциальной задержкой заявок в ИПВ и вытеснением альтернативных заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Измайлова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016): материалы XV Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Катунь, 12-16 сентября 2016 г. - Томск, 2016. - С.97 - 102.

15.Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Маши- но-строение, 1979. - 432 с.

16.Кобелев, Н. Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем / Н. Б. Кобелев.- М: «Дело», 2003. - 333 с.

17. Ле Галль, П. К. Теории повторения телефонных вызовов / П. К. Ле Галль // Annales des Telecommunications. - 1969. - Т. 24, № 7/8. - С. 261-281.

18. Ле Галль, П. К. Теории повторных телефонных вызовов / П. К. Ле Галль / В сб.: Системы распределения информации. - М.: Наука, 1972.

19. Лебедев, Е. А. Диффузионная аппроксимация немарковских сетей обслуживания в переходном режиме / Е. А. Лебедев, А. А. Чечельницкий // Аналитические методы исследования стохастических систем. - Киев:КГУ. - 1989. - С. 61-66.

20.Марголис, Н. Ю. Локальная диффузионная аппроксимация процесса изменения состояний СМО / Н. Ю. Марголис, А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - №280. - С. 226-229.

21.Мещеряков, Р. В. Применение параллельных вычислений в имитационном моделировании сетей массового обслуживания / Р. В. Мещеряков, А. Н. Моисеев, А. Ю. Демин, В. А. Дорофеев, С. А. Матвеев // Известия Томского политехнического университета. - 2014. - Т. 325, № 5. - С. 99-109.

22. Мишкой, Г. К. Многомерные аналоги уравнения Кендалла для приоритетных систем: вычислительные аспекты / Г. К. Мишкой, В. В. Рыков, С. Джиордано, А. Ю. Бежан //Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 6. - С. 82-95.

23. Моисеев, А. Н. Программная система имитационного моделирования сетей массового обслуживания / А. Н. Моисеев // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». - 2015. - № 11 (78). -С. 34.

24. Моисеев, А. Н. Разработка объектно-ориентированной модели системы имитационного моделирования процессов массового обслуживания / А. Н. Моисеев, М. В. Синяков // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 1. -С. 89-93.

25.Назаров, А.А. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А.А. Назаров, С.П. Моисеева. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

26. Назаров, А. А. Асимптотический анализ марковизируемых систем/ А. А. Назаров // Том. гос. ун-т им. В. В. Куйбышева. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 157 с.

27.Назаров, А.А. Теория массового обслуживания / А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - 228 с.

28. Назаров, А. А. Асимптотический анализ многолинейных систем массового обслуживания с повторными вызовами / А. А. Назаров // Автоматика и вычислительная техника. - 1990. - №3. - С. 65-71.

29. Назаров, А. А. Исследование явления бистабильности в спутниковых сетях связи / А. А. Назаров // Автоматика и телемеханика. - 1994. - №10. - С. 117124.

30.Назаров, А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа / А. А. Назаров // Проблемы передачи информации. - 1997. - №2. - С. 101-111.

31.Назаров, А. А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов / А. А. Назаров, И. А. Семенова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2010. - №3 (12). - С. 85-96.

32.Назаров, А. А. Исследование RQ-системы M| M| 1 с фазовым распределением повторного времени / А. А. Назаров, Н. И. Яковлев // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2014. - №2 (27) . - С.39-46.

33. Рыжиков, Ю.И. Имитационное моделирование систем массового обслуживания / Рыжиков Ю.И. - Л.: ВИККИ им. А.Ф. Можайского, 1991. - 111 с.

34.Рыков, В. В. Математическая статистика и планирование эксперимента: уч. пособие / В. В. Рыков, В. Ю. Иткин. - М.: МАКС Пресс, 2010. - 308 с.

35. Севастьянов, Б. А. Некоторые аналитические методы в теории массового обслуживания / Б. А. Севастьянов // В сб. Кибернетику на службу коммунизму. - Т. 2. - М. - Л., «Энергия», 1964. - С. 325-338.

36. Степанов, С.Н. Численные методы расчета систем с повторными вызовами / С.Н. Степанов. - М.: Наука, 1983. - 229 с.

37.Тихоненко, О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах: учебное пособие, (ГРИФ) / О.М. Тихоненко. - М.: Технопринт, 2003. -327 с.

38.Хинчин, А.Я. Математические методы теории массового обслуживания / А.Я. Хинчин. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1955. - 120 с.

39.Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания / А.Я. Хинчин; под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Наука, 1963. - 528 с.

40.Черникова Я. Е. Исследование К^-системы М / 01 /1 с вытеснением в условии большой задержки / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. - Т. 323, №5. - С. 16 - 20.

41.Черникова Я. Е. Исследование двумерной К^-системы М(2)/ М(2) / 1 с г-настойчивым вытеснением альтернативных заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. -Т. 58, № 11/2. - С. 211 - 214.

42.Черникова Я. Е. Исследование К^-системы М|01| 1 / ИПВ с вытеснением заявки из прибора в условии большой задержки / Я. Е. Черникова (Измайлова) // Научное творчество молодежи: материалы XVII Всероссийской научно-практической конференции. Анжеро-Судженск, 25-26 апреля 2013 г. - Томск, 2013. - Ч. 1. - С. 57 - 59.

43.Черникова Я. Е. Исследование К^-системы М|01| 1 / ИПВ с вытеснением заявки из прибора / Я. Е. Черникова (Измайлова) // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы I Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием. Томск, 17 - 18 мая 2013 г. - Томск, 2013. - С. 125 -127.

44.Черникова Я. Е. Асимптотический метод исследования К^-системы М|01| 1 с вытеснением / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Информационные технологии и математическое моделирование (1ТММ- 2013): материалы XII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием им. А. Ф. Терпугова. Анжеро-Судженск, 29-30 ноября 2013 г. -Томск, 2013. - Ч. 1. - С. 65 - 70.

45.Черникова Я. Е. Численный анализ нестационарных Яр-систем с приоритетом поступающих заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Научное творчество молодежи: материалы XVII Всероссийской научно-практической конференции. Анжеро-Судженск, 24-25 апреля 2014 г. -Томск, 2014. - С. 100 - 104.

46.Черникова Я. Е. Исследование Яр- системы М|01| 1 с приоритетом поступающих заявок методом асимптотических семиинвариантов / Я. Е. Черникова (Измайлова) // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы II Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием. Томск , 16-17 мая 2014 г. - Томск, 2014. - С. 142 - 146.

47.Черникова Я. Е. Численное исследование Яр-системы М|0^ 1 с приоритетом поступающих заявок в случае конечной ненулевой пропускной способности / Я. Е. Черникова (Измайлова) // материалы 52-ой международной научной студенческой конференции МНСК-2014. Математика. Новосибирск, 11-18 апреля 2014 г. - Новосибирск, 2014. - С. 240.

48.Черникова Я. Е. Численное исследование некоторых свойств Яр-систем М^| 1 с приоритетом поступающих заявок в случае неограниченной пропускной способности / Я. Е. Черникова (Измайлова) // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем: материалы Всероссийской конференции с международным участием. г.Москва, 22-25 апреля 2014 г. - М., 2014. - С.107 - 109.

49.Черникова Я. Е. Исследование Яр-системы с приоритетом поступающих заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: материалы X Российской конференции с международным участием. Катунь, 09-11 июня 2014 г. -Томск, 2014. - С. 109 - 110.

50.Черникова Я. Е. Нестационарные Яр-системы с приоритетом поступающих заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // материалы XV Всерос-

сийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тюмень, 29-31 октября 2014 г. - Тюмень, 2014. - С. 82- 83.

51.Черникова Я. Е. Гауссовская аппроксимация дискретного распределения вероятностей состояний RQ-системы с приоритетом заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014): материалы XIII Международной научно-практической конференции имени А. Ф. Терпугова. Анжеро-Судженск, 20-22 ноября 2014 г. - Томск, 2014. - С. 188 - 192.

52.Черникова Я. Е. Исследование бистабильной RQ-системы с приоритетом поступающих заявок / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и приложения: материалы международной научной конференции, посвященной 80-летию профессора, доктора физико-математических наук Г. А. Медведева. Минск, 23-26 февраля 2015 г. - Минск, 2015. - С. 214 - 219.

53.Черникова Я. Е. Асимптотический анализ RQ-системы M(2)|M(2) | 1 с г-настойчивым вытеснением альтернативных заявок / Я. Е. Черникова (Измайлова) // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем: материалы III Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием. Томск, 22 -23 мая 2015 г. - Томск, 2015. - С. 143 - 150.

54.Черникова Я. Е. A M (2)| M (2)| 1 retrial queueing system with r-persistent exclusion of alternative customers / А. А. Назаров, Я. Е. Черникова (Измайлова) // Информационные технологии и математическое моделирование: материалы XIV Международной научно-практической конференции имени А. Ф. Терпугова. Анжеро-Судженск, 18-22 ноября 2015 г. - Томск,2015. - С.72 - 76.

55. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем / Р. Шеннон- Искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 420 с.

56.Altinkemer, K. Average waiting time of customers in an M/D/k queue with non-preemptive priorities / K. Altinkemer, I. Bose, R. Pal // Computers & Operations Research. - № 25(4) . - 1998. - P. 317 - 328.

57.Artalejo, J.R. A Classified Bibliography of Research on Retrial Queues / J.R. Arta-lejo // Progress in 1990-1999. - 1999. - Vol. 7, Issue 2. - P. 187 - 211.

58.Artalejo, J.R. Accessible Bibliography on Retrial Queues / J.R. Artalejo // Mathematical and Computer Modeling. - 1999. - Vol. 30, Issue 1 - 2. - P. 1 - 6.

59.Artalejo, J.R. Accessible Bibliography on Retrial Queues / J.R. Artalejo // Progress in 2000-2009 Mathematical and Computer Modeling. - 2010. - Vol. 51. - P. 1071 - 1081.

60.Atencia, I. M. A Geo/G/1 retrial queueing system with priority services / I. M. Atencia // European Journal of Operational Research. - Vol. 256, Issue 1. -2017. -1 January. - P. 178-186.

61.Avrachenkov, K. Queueing Model MMAP/M 2/1 with Two Orbits / K. Avrachen-kov, A. Dudin, V. Klimenok // Lecture Notes in Comput. Sci., 6235. - 2010. - P. 107- 118.

62.Avrachenkov, K. A retrial system with two input streams and two orbit queues / K. Avrachenkov, P. Nain, U. Yechiali // Queueing Systems. - Springer, Verlag. -2014. - Vol.77, Issue 1. - P. 1-31.

63.Ayyappan, G. Article:M/M/1 Retrial Queuing System with Loss and Feedback under Pre-Emptive Priority Service / G. Ayyappan, A. Muthu Ganapathi, G. Sekar // International Journal of Computer Applications. -№ 2(6). - 2010. - P. 27-34

64.Bocharov, P. P. A M| G| 1 |r retrial queueing systems with priority of primary customers / P. P. Bocharov, O. I. Pavlova, D. A. Puzikova // Mathematical and computer Modelling . - 1999. - Vol. 30. - № 3- 4. - P. 89- 98

65.Bocharov, P. A queueing system of finite capacity with the server requiring a priority search for customers / P. Bocharov, C. D'Apice, B. D'Auria, S. Salerno // Vest-nik RUDN, Seria Prikladnaia Matematika i Informatika. - 2000. - № 1 Bruneel, H., Kim, B.G., P. 50-61.

66.Bruneel, H. Discrete-time Models for Communication Systems including ATM / H. Bruneel, B.G. Kim. - Kluwer Academic Publishers, Boston, 1993. - 200 p.

67.Cascone, A. A Geom/G/1/n system with a LIFO discipline without interruptions in the service and with a limitation for the total capacity for the customers / A. Cas-cone, P. Manzo, A. Pechinkin, S. Shorgin // Avtomatika i Telemejanika. - 2011. -№ 1. - P. 107-120.

68.Chakravarthy, S.R. Analysis of a retrial queuing model with MAP arrivals and two types of customers / S.R. Chakravarthy, A. Dudin // Mathematical and Computer Modelling. - 2003. - Vol. 37, Issues 3-4. - P. 343-363.

69.Chernikova, Ya. The accuracy of Gaussian approximations of probabilities distribution of states of the retrial queueing system with priority new customers / A. Na-zarov, Ya. Chernikova (Izmailova) // Information Technologies and Mathematical Modelling: Procceding of the 13th International Scientific Conference, ITMM

2014. Anzhero-Sudzhensk, November 20-22, 2014. - Springer International Publishing Switzerland, 2014. - Vol. 487: Communications in Computer and Information Science. P. 325 - 333.- DOI: 10.1007/978-3-319-13671-4_34

70.Chernikova, Ya. Gaussian Approximation of Distribution of States of the Retrial Queueing System with r-Persistent Exclusion of Alternative Customers / A. Naza-rov, Ya. Chernikova (Izmailova) // Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications: Procceding of the 14th International Scientific Conference, ITMM 2015. Anzhero-Sudzhensk, November 18-22,

2015. - Springer International Publishing Switzerland, 2015. - Vol. 564: Communications in Computer and Information Science. P. 200- 208. -DOI: 10.1007/978-3-319-25861-4_19

71.Choi, B. D. M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls and finite capacity / B. D. Choi, K. B. Choi, Y. W. Lee // Queueing Systems. - 1995. - Vol.19. - P. 215-229.

72.Choi, B. D. Single Server Retrial Queues with Priority Calls / B. D. Choi, Y. Chang // Mathematical and Computer Modeling. - 1999. - Vol. 30. - № 3-4. - P. 7-32.

73.Choi, B.D. Discrete-time Geo1, Geo2/G/1 retrial queueing system with two types of calls / B.D. Choi, J.W. Kim // Comput. Math. Appl. - 1997. - Vol. 33. - P. 7988.

74.Cobham, A. Priority Assignments in Waiting Line Problems / A. Cobham // Operations Research. - 1954. - Vol. 2. - No. 1. - P. 70-76.

75.D'Apice, C. Priority service of primary customers in the M/G/1/r retrial queueing system with server searching for customers / C. D'Apice, T. De Simone, R. Manzo, G. Rizelian // J. Information Theory and Information Processing. - 2004. - Vol. 4. - No. 1. - P. 13 - 23.

76.Dudin, A.N. Analysis of the BMAP/G/1 retrial system with search of customers from the orbit / A.N. Dudin, A. Krishnamoorthy, V.C. Joshua, G.V. Tsarenkov // European Journal of Operational Research. - 2004. - Vol. 157, Issue 1. - P. 169179.

77.Dudin, A.N. Priority retrial queueing model operating in random environment with varying number and reservation of servers / A.N. Dudin, C. Kim, S. Dudin, O. Dudina // Applied Mathematics and Computation. - 2015. - Vol. 269. - P. 674-690.

78.Domenech-Benlloch, M.J. Solving multiserver systems with two retrial orbits using value extrapolation: a comparative perspective / M.J. Domenech-Benlloch, J.M. Gimenez-Guzman, V. Pla, V. Casarea-Giner, J. Martinez-Bauset // In: Al-Begain, K., Fiems, D., Horvath, G. (eds.) ASMTA . - 2009. Springer, Heidelberg , 2009.-Vol. 5513. - P. 56-70.

79.Fry, T.C. Probability and Its Engineering Uses / T.C. Fry. -Van Nostrand, New York, 1928.

80.Han, D.H. MMPP, M/G/1 retrial queue with two classes of customers / D.H. Han, Y.W. Lee // Comm. kor. Math. Soc. - 1996. - Vol. 11. - P. 481-493.

81.Izmailova Ya. Asymptotic Analysis Retrial Queueing System M/ GI/ 1 with Hyper Exponential Distribution the Delay Time in the Orbit and Exclusion of Alternative Customers / A. Nazarov, Ya. Izmailova // Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications: Procceding of the 15th International Scientific Conference, ITMM 2016. Katun, September 12-16, 2016. -Springer International Publishing Switzerland, 2016. - Vol. 638: Communications in Computer and Information Science. P. 292- 302. - DOI: 10.1007/978-3-31944615-8

82.Jaiswal, N. K. Priority Queues / N. K. Jaiswal. - Academic Press, New York. -1968.

83.Jinbiao, Wu. A discrete-time Geo/G/1 retrial queue with preemptive resume and collisions / Wu. Jinbiao, L. Zaiming, Yi. Peng // Applied Mathematical Modeling.

- 2011. - Vol. 35, Issue 2. - P. 837-847.

84.Kalyanaraman, R. A Retrial Queueing System with two Types of Calls and Geometric Loss / R. Kalyanaraman, B. Srinivasan // Information and Management Sciences. - 2004. - Vol.15. - P. 75-88.

85.Kalyanaraman, R. A Single server retrial queue with Two types of calls and Recurrent repeated calls / R. Kalyanaraman, B. Srinivasan // International Journal of Information and Management Sciences. - 2003. - Vol. 14. - P. 46-62.

86.Karasz, P. Exact solution for a two-type customers retrial system / P. Karasz, G. Farkas // Computers & Mathematics with Applications. - 2005. - Vol. 49, Issue 1.

- P. 95-102.

87.Kendall, D.G. Some problems in the theory of queues / D.G. Kendall // J. Roy. Statist. Soc., Ser. B. - 1951. - Vol. 13. - P. 151-173.

88.Kim, B. Stability of a two-class two-server retrial queueing system / B. Kim, J. Kim // Performance Evaluation. - 2015. - Vol. 88-89. - P. 1-17.

89.Kim, C. Priority tandem queueing system with retrials and reservation of channels as a model of call center / C. Kim, V.I. Klimenok, A.N. Dudin, // Computers & Industrial Engineering. - 2016. - Vol. 96. - P. 61-71.

90.Kleinrock, L. Queueing systems: Volume I, Theory / L. Kleinrock - New York: Wiley Interscience. - 1975. - 417 p.

91.Lee, Y. Discrete-time GeoX/G/1 queue with preemptive resume priority / Y. Lee // Mathematical and Computer Modelling. - 2001. - Vol. 34 (3-4) . - P. 243-250.

92.Lee, Y.W. The M/G/1 feedback retrial queue with two types of Customers / Y.W. Lee // Bulletin of the Korean Mathematical Society. - 2005. - Vol. 42. - P.875-887.

93.Li, H. Geo/G/1 discrete time retrial queue with Bernoulli schedule / H. Li, T. Yang // European J. Oper. Res. - 1998. - Vol. 111. - P. 629-649.

94.Li, H. Steady-state queue size distribution of discrete-time PH/Geo/1 retrial queues / H. Li, T. Yang // Math. Comput. Modelling. - 1999. - Vol. 30. - P. 51-63.

95.Madan, K. C. A Priority Queueing System with Service Interruptions / K. C. Ma-dan // Statistica Neerlandica. - 1973. - Vol. 27. - No. 3. - P. 115-123.

96.Molina, E.C. Application of the Theory of Probability to Telephone Trunking Problems / E.C. Molina // Bell System Tech. J. - 1927. - Vol. 6. - P. 461-494.

97.O'Dell, C.F. Theoretical Principles of the Traffic Capacity of Automatic Switches / C.F. O'Dell // P.O. Elec. Engrs. J. - 1920. - Vol. 13. - P. 209-223.

98.Phipps, T. E. Machine Repair as a Priority Waiting Line Problem / T. E. Phipps // Operations Research. - 1956. - Vol. 4. - No. 1. - P. 76-85.

99.Pustova, S.V. Investigation of calls centers as retrial queueing systems / S.V. Pus-tova // Cybernetics and System Analysis. - 2010. - Vol. 46. - P. 494-499.

100. Rengnanathan, N. A finite capacity single server retrial queue with two types of calls / N. Rengnanathan, R. Kalayanaraman, B. Srinivasan // International Journal of Information and Management Science. - 2002. - Vol.13. - No.3. - P. 47-56.

101. Schrage, L. E. The Queue M/G/1 with Feedback to Lower Priority Queues / L. E. Schrage // Management Science. - 1967. - Vol. 13. - No. 7. - P. 466-474.

102. Simon, B. Priorty Queues with Feedback / B. Simon // Journal of the Association for Computing Machinery. - 1984. - Vol. 31. - No. 1. - P. 134-149.

103. Syski, R. The Theory of Congestion in Lost-call Systems/ R. Syski // A.T.E. Journal. - 1953. - Vol.9. - P. 182-215.

104. Takahashi, M. Geo[X]/G/1 retrial queue with non-preemptive priority / M. Taka-hashi, H. Osawa, T. Fujisawa // Asia-Pacific J. Oper. Res. - 1999. - Vol. 16. - P. 215-234.

105. Wilkinson, R.I. Working Curves for Delayed Exponential Calls Served in Random Order / R.I. Wilkinson // Bell System Tech. J. - 1933. - Vol. 32. - P. 360-383.