Математические модели и методы исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Синякова, Ирина Анатольевна

• Синякова, Ирина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Синякова, Ирина Анатольевна

Содержание

Введение

Глава 1. Исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок с пуассоновским входящим потоком

1.1 Исследование математической модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок пуассоновского потока

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Нахождение производящей функции

1.1.3 Двумерное распределение вероятностей состояний системы М(2)М2оо

1.1.4 Моменты

1.2 Исследование выходящих потоков в системе параллельного обслуживания сдвоенных заявок

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Нахождение производящей функции

1.2.3 Нестационарное двумерное распределение вероятностей состояний выходящего потока

1.2.3 Моменты

1.3 Математическая модель страховой компании в виде системы с параллельным обслуживанием смешанного потока заявок

Резюме

Глава 2. Исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок непуассоновских входящих потоков

2.1 Исследование системы параллельного обслуживания сдвоенных заявок

с входящим МАР(2)-потоком

2.1.1 Уравнение Колмогорова

2.1.2 Характеристическая функция

2.1.3 Метод начальных моментов

2.1.4 Метод асимптотического анализа

2.2 Исследование системы параллельного обслуживания сдвоенных заявок

с входящим а^ потоком

2.2.1 Уравнение Колмогорова

2.2.2 Характеристическая функция

2.2.3 Метод начальных моментов

2.2.4 Метод асимптотического анализа

Резюме

Глава 3. Исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок с произвольным временем обслуживания

3.1 Модифицированный метод двумерного динамического просеивания

3.2 Исследование системы МАР{2)

GL

оо

3.2.1 Модифицированный метод двумерного динамического просеива-

ния для исследования системы МАР(2)

GL

00

3.2.2 Асимптотический анализ системы MAP

(2)

GL

оо

3.3 . Исследование системы GI

(2)

GL

00

86

86 88

3.3.1 Модифицированный метод двумерного динамического просеива-

00

GL

оо

95

ния для исследования системы

3.3.2 Асимптотический анализ системы

Резюме

Глава 4. Численный анализ, компьютерное моделирование и комплекс программ для систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок

4.1 Программа нахождения двумерного распределения вероятностей

состоянии системы

М®

М Jco,

109

4.2 Численная реализация метода начальных моментов

4.2.1 Программа метода начальных моментов для системы

мар{2)

■м,

00

4.2.2 Программа метода начальных моментов для системы

Gl

(2)

Л/,

оо

вероятностей числа занятых приборов системы MAP

(2)

М,

оо

системы

МАР{1)

М,

00

4.2.3 Влияние параметров времени обслуживания на изменение значений коэффициента корреляции

4.3 Программа нахождения асимптотического распределения вероятностей

числа занятых приборов

4.3.1 Сравнение асимптотического и допредельного распределения

4.3.2 Сравнение асимптотических и допредельных характеристик

117

118

4.4 Имитационное моделирование систем параллельного обслуживания

сдвоенных заявок с произвольным временем обслуживания

4.4.1 Алгоритм имитационного моделирования

4.4.2 Анализ результатов, полученных с помощью имитационного моделирования

Резюме

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков»

Введение

Большой скачок в развитии теории массового обслуживания (ТМО) произошел в середине XX века. В это время решались наиболее интересные математические задачи ТМО, связанные с анализом систем массового обслуживания (СМО), на вход которых поступают пуассоновские потоки заявок [11,7, 65, 68, 85 и др.]. А также были разработаны некоторые общие приемы решения широких классов задач и осмыслены специфические особенности самой теории. В свою очередь, ТМО оказала существенное воздействие на развитие других разделов теории вероятностей, в частности на теорию случайных процессов.

С конца XX века интенсивно развивается теория многолинейных систем и сетей, а также RQ-систем (Retrial Queue Systems), становление и развитие которой в значительной мере стимулировалось практическими задачами проектирования вычислительных систем и сетей. В этой области следует отметить работы А.Н. Дудина, В.И. Климснок [19, 20, 21], В.А. Ивницкого [35, 36], Г.П. Башарина [5, 6], П.П. Бочарова и A.B. Печинкина [10, 12, 63, 64], Ю.В. Малинковского [38], М.А. Маталыцкого [43, 44], Г.И. Фалина, J.G. Tempelton, J.R. Artalejo [94, 107, 108, 109], Т. Yang [140] и многих других.

Математическим методам исследования и моделирования информационных систем, основанным на теории массового обслуживания и теории телетрафика, посвящено большое количество статей, опубликованных за последние десять лет [1, 4, 9, 59, и др.].

Например, в работах Г.Г1. Башарина, К.Е. Самуйлова, Ю.В. Гайдамака [8, 14, 13, 66] рассматриваются однолинейные модели массового обслуживания, в том числе и с параллельно функционирующими блоками для расчета качества обслуживания в сетях сотовой подвижной связи (ССПС) с приоритетной передачей вызовов, для оценки производительности транзитного пункта сигнализации, описания процесса «фотонизации» транспортных сетей и функционирования SIP-сервера в нормальном и перегруженном режимах.

В статье A.B. Печинкима, И.А. Соколова и В.В. Чаплыгина [62] рассматривается важная для приложений задача анализа многолинейной системы массового обслуживания с ненадежными приборами. Предложены методы расчета стационарного распределения числа заявок в системе при различных вариантах функционирования системы.

Статья А.И. Зейфмана, ЯЛ. Сатина, A.B. Коротышевой и H.A. Тереши-ной [25] посвящена изучению предельных характеристик системы обслуживания с катастрофами в предположении, что интенсивности катастроф зависят от числа требований в системе. Получены достаточные условия слабой эргодичности процесса, описывающего число требований в системе, и соответствующие оценки.

В работах Е.В. Морозова [50, 51] развивается метод регенерации для исследования условия существования стационарности в СМО различной конфигурации.

В работах О.М. Тихоненко [80, 81] рассматриваются актуальные задачи проектирования информационных систем, учитывающих зависимость между объемом требования и временем его обслуживания.

Основным отличием систем с неограниченным числом обслуживающих приборов является отсутствие очередей и отказа в обслуживании заявок. Поэтому они являются удобными математическими моделями для описания социально-экономических процессов. Можно отметить работы М.А. Федоткина [84, 83], A.B. Зорина [26], М.Г. Носовой [60], И.Р. Гарайшиной [15], A.C. Морозовой [52], И.А. Захорольной [24], посвященные математическому моделированию транспортных потоков, демографических процессов и процессов изменения численности клиентов пенсионных фондов, торговых и страховых компаний.

Исследования СМО с неограниченным числом приборов можно встретить в статьях П.П. Бочарова, A.B. Печшисина [12], В.В. Рыкова [37], A.A. Назарова [16, 58], D. Baum и L. Breuer [98, 99], Е.А. Van Doom и А.А Jagers [138],

M. Parulekar и A.M. Makowski [130], С. Fricker и M.R. Jaibi [110], N.G. DuffieldM [106], A.K. Jayawardene и О. Kella [115], В. D'Auria [95] и многих других.

Важно отметить, что большая роль в развитии методов исследования систем с неограниченным числом обслуживающих приборов принадлежит профессору Томского государственного университета доктору технических наук A.A. Назарову. Предложенный им метод асимптотического анализа, суть которого изложена в монографиях [16, 53, 58], является оригинальной разработкой автора и может быть применен для исследования СМО различной конфигурации [54, 55, 69, 79]. Метод заключается в расширении фазового пространства состояний системы таким образом, что соответствующий многомерный случайный процесс их изменения во времени оказывается марковским (метод мар-ковизации). Составляются уравнения Колмогорова для распределения вероятностей, частичных производящих функций или характеристических функций значений полученных многомерных марковских случайных процессов. В этих уравнениях выполняется предельный переход в некоторых предельных условиях, который позволяет получить предельные (асимптотические) уравнения. Решениями этих уравнений являются соответствующие предельные (асимптотические) характеристики рассматриваемых систем обслуживания.

Обсуждаемый метод асимптотического анализа содержит несколько классов, в зависимости от применяемых предельных условий, среди которых можно выделить: предельное условия растущего времени обслуживания, условие высокой интенсивности входящего потока, условие большой задержки заявке в RQ-системах, предельное условие большой загрузки однолинейных систем, условие предельно-редких изменений состояний специальных потоков (ММРР, MAP, SM). Применение метода позволяет находить приемлемое для практических приложений решение.

Одной из модификаций СМО с неограниченным числом приборов являются системы параллельного обслуживания, которые применяются для описания процессов в телекоммуникационных системах. Системы массового обслуживания с параллельно функционирующими блоками можно встретить в стать-

ях A. Movaghar [129, 117], С. Knessl и J. A. Morrison [119], М. Armony и N Bambos [90], G. Michailidis [97], D. G. Down [104] и многих других [100, 113, 133]. В этих работах рассматриваются системы параллельного обслуживания различной конфигурации: однолинейные СМО с конечным и бесконечным буфером, приоритетным обслуживанием, нетерпеливыми заявками и общим ординарным входящим потоком; СМО с двумя и более блоками обслуживания с конечным числом приборов и общей конечной очередью. Характерно то, что все системы имеют пуассоновский входящий поток и экспоненциальное время обслуживания.

Однако пуассоновский поток не всегда адекватно описывает реальные потоки в мультисервисных сетях связи и телекоммуникационных системах. Как считают А.Г. Ложковский и В.М. Колчар [40, 41], применение пуассоновского потока для расчета характеристик качества обслуживания в реальных системах дает большую погрешность. В их работах показано, что функция распределения длин интервалов между моментами наступления событий лучше аппроксимируется распределениями, обладающими «длинным хвостом», а для описания трафика же характерна неравномерность интенсивности поступления заявок.

Обоснованность адекватности применения непуассоновских потоков (марковски модулированного пуассоновского потока и рекуррентного потока) для описания информационных потоков в мультисервисных сетях связи и телекоммуникационных системах следует из работ таких ученых, как, W.E. Leland, M.S. Taqqu, W. Willinger [125], V. Paxson, S. Floyd [131], SH. Kang, YH. Kim [116], A. Klemm, С. Lindemann, M. Lohmann [118].

На основе вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что существует необходимость расширения круга исследуемых моделей массового обслуживания различной конфигурации на случай непуассоновских входящих потоков с произвольным временем обслуживания и разработке методов их исследований.

В настоящей диссертационной работе предлагается исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков

(общего марковски модулированного пуассоновского потока (МАР(2)) и рекуррентного потока (GI(2))) с неограниченным числом приборов, экспоненциальным и произвольным временем обслуживания, как обобщение результатов исследования аналогичных систем с пуассоновскими входящими потоками и экспоненциальным временем обслуживания, впервые описанных в работах украинских ученых Е.А. Лебедева, A.A. Чечельницкого и О.В. Кучеренко [86, 122, 123].

Межпрсдметность рассматриваемых моделей. Системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов являются универсальными и могут служить для описания работы Пенсионного фонда, определения маркетинговой политики торговых компаний с целыо оптимизации дохода, для демографического прогнозирования на среднесрочную и долгосрочную перспективу и других социально-экономических процессов [52, 15, 60, 24]. Кроме того, СМО с неограниченным числом приборов используются для определения объема памяти стохастической вычислительной системы и учета зависимости между объемом требования и временем его обслуживания, а также в ряде других приложений.

Различные математические модели систем параллельного обслуживания кратных заявок могут применяться для анализа функционирования распределенных вычислительных систем [48] и определения величины капитала страховых компаний при различных условиях страхования [75, 136].

Цель исследования. Целыо диссертационной работы является построение математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков и разработка методов их исследования, а именно развитие метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках и модификация метода двумерного динамического просеивания для исследования систем с произвольной функцией распределения времени обслуживания.

В соответствии с целыо поставлены следующие задачи:

1. Построение математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и случайными входящими потоками.

2. Применение метода начальных моментов для вычисления стационарных характеристик систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков с экспоненциальным временем обслуживания.

3. Разработка метода двумерного динамического просеивания для исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с произвольным временем обслуживания.

4. Развитие метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках для исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с экспоненциальным и произвольным временем обслуживания.

5. Разработка комплекса программ, реализующего имитационное моделирование и численный анализ вероятностно-временных характеристик рассматриваемых систем.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Построены математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в виде СМО с двумя блоками, каждый из которых содержит неограниченное число обслуживающих приборов, являющиеся обобщением аналогичных марковских систем, на случай входящих общего марковски модулированного пуассоновского потока и рекуррентного потока.

2. Впервые для марковских систем параллельного обслуживания получено аналитическое выражение двумерного распределения вероятностей числа занятых приборов в каждом блоке, которое предложено называть двумерным пуассоновским распределением зависимых случайных величин.

3. Впервые метод начальных моментов применен для вычисления стационарных характеристик двумерных процессов, описывающих состояния систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок МАР(2) и в! входящих потоков с экспоненциальным временем обслуживания. Данный метод позволя-

ет последовательно находить в допредельном случае вектор средних значений, матрицу ковариаций, а также другие моменты.

4. Выполнено развитие метода асимптотического анализа на случай нового предельного условия, а именно эквивалентного роста времени обслуживания в блоках, что позволяет проводить исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с экспоненциальным временем обслуживания и неограниченным числом обслуживающих приборов. Показано, что для систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок число занятых приборов в блоках можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением.

5. Разработан метод двумерного динамического просеивания, являющийся модификацией метода просеянного потока, которая заключается в формировании двумерного просеянного потока, события которого определяются заявками, находящимися на обслуживании в блоках системы в момент времени Т. Применение метода позволяет проблему исследования немарковских систем параллельного обслуживания (с произвольными функциями распределения времени обслуживания) свести к задаче анализа двумерного просеянного нестационарного потока. Дальнейшее исследование методом асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания показало, что число занятых приборов в блоках также можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и случайными входящими потоками.

2. Метод начальных моментов для вычисления стационарных характеристик систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков с экспоненциальным временем обслуживания.

3. Метод двумерного динамического просеивания для исследования систем параллельного обслуживания случайных потоков с неограниченным числом приборов и произвольным временем обслуживания.

4. Развитие метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках для исследования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с неограниченным числом приборов, экспоненциальным и произвольным временем обслуживания.

5. Теоремы о том, что в условии эквивалентного роста времени обслуживания число занятых приборов в блоках можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением, параметры которого определяются функцией распределения времени обслуживания и характеристиками входящего потока.

6. Комплекс программ, реализующий имитационное моделирование и численный анализ вероятностно-временных характеристик рассматриваемых систем. Данный комплекс включает в себя программы последовательного нахождения допредельных моментов и ковариационной матрицы, а также программы вычисления допредельного и асимптотического двумерного распределения вероятностей числа занятых приборов в системе.

Методы исследования. Для исследования рассмотренных моделей систем параллельного обслуживания используется аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений.

Для процессов, характеризующих состояния систем параллельного обслуживания пуассоновского входящего потока и экспоненциального времени обслуживания заявки на приборе, применялся А/-метод составления уравнений Колмогорова, решение которых находится с помощью метода производящих функций. Для систем с непуассоновскими входящими потоками применяется метод начальных моментов, и метод асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания заявок в блоках. Для исследования систем с произвольной функцией распределения времени обслуживания предложен модифицированный метод двумерного динамического просеивания. 06-12-

работка результатов, полученных с помощью имитационного моделирования, проводится с использованием методов математической статистики.

Теоретическая ценность диссертационной работы заключается в построении математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок непуассоновских входящих потоков с экспоненциальным и произвольным временем обслуживания в блоках и разработке методов исследования. С помощью предложенных методов исследования, реализован переход от изучения одномерных процессов к двумерным, что позволяет расширить круг решаемых задач в теории массового обслуживания и в последующем позволит проводить исследования систем параллельного обслуживания с произвольным числом блоков.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть применены для анализа характеристик реальных объектов в различных предметных областях. В частности, для структурной и параметрической оптимизации реальных вычислительных и телекоммуникационных системах, для определения величины капитала и вероятности разорения страховых компаний при различных условиях страхования, для определения маркетинговой политики торговых компаний с целью оптимизации дохода.

Связь работы с крупным научным проектом. Значительная часть результатов, представленных в данной работе, получена при выполнении научного проекта № 4761: «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи» в рамках аналитической ведомственной целевой программы (АВЦП) «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2011 годы)» Федерального агентства по образованию [61].

На период 2012-2013 гг. исследования были поддержаны стипендией Президента Российской Федерации для аспирантов очной формы обучения, обучающихся по специальностям, соответствующим приоритетным направлениям модернизации и технологического развития российской экономики.

А также для представления результатов исследований на Международной конференции «Теория вероятностей и её приложения», посвященной 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко (Москва, 26-30 июня 2012 г.) был выделен грант РФФИ № «12-01 -16038-моб з рос».

Публикации. По тематики диссертации опубликовано 20 работ, из них 4 публикации в журналах, в журналах, включенных в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в нестационарном режиме / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2010. - № 3 (12). - С. 21 - 28. - 0,33 / 0,23 п.л.

2. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование математической модели параллельного обслуживания заявок смешанного типа / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика — 2010. - Т. 317, № 5. - С. 32 - 34. - 0,16 / 0,11 н.л.

3. Синякова И.А. Исследование системы MAP(2)|Gl2|oo методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2012. - Вып. 1 (49). - С. 47 - 53. -0,27/0,19 п.л.

4. Синякова И.А. Метод моментов для исследования математической модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок потока марковского восстановления / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - Т. 321, № 5. - С. 24 - 29. - 0,24 / 0,17 п.л.

1 статья в журнале, входящем в международную базу цитирования IEEE

5. Sinyakova I. Investigation of output flows in the system with parallel service of multiple requests / S. Moiseeva, I. Sinyakova // Problems of Cybernetics and Informatics (PCI'2012) : IV International Conference. Baku, Azerbaijan. September 12 - 14, 2012. - Baku : Elm, 2012. - P. 180 - 181. - 0,15 / 0,11 п.л.

6. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы MMP(2)|GI2| оо методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009) : материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 13 - 14 ноября 2009 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. - С. 32 - 36. - 0,10 / 0,07 п.л.

7. Ивановская (Синякова) И.А. Математическая модель параллельного обслуживания заявок в распределенных вычислительных системах / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : сборник научных статей. - Минск : РИВШ, 2010. — Вып.З.-С. 122-126.-0,19/0,13 п.л.

8. Ivanovskaya (Sinyakova) I. Investigation of the queuing system MMP(2)|M2| oo by method of the moments / S. Moiseeva, I. Ivanovskaya (Sinyakova) // Problems of Cybernetics and Informatics : the third international conference. Baku, Azerbaijan. September 6 - 8, 2010. - Baku : Elm, 2010. - Vol. 2. - P. 196 - 199. -0,13/0,10 п.л.

9. Ивановская (Синякова) И.А. Немарковская модель параллельного обслуживания сдвоенных заявок / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 15-16 апреля 2010 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010.-Ч. 1.-С. 35-38.-0,15 /0,10 п.л.

10. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы массового обслуживания ММР(2)|М2|оо методом моментов / М.Д. Жалкеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссий-

ской научно-практической конференции : в 2 ч. 15-16 апреля 2010 г. - Томск : Изд-воТом. ун-та, 2010. - Ч. 1.-С. 81 -83.-0,08/0,06 п.л.

11. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы MAP(2)|GI2| оо методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием, 5-8 октября 2010 г. - Томск : Изд-во НТЛ, 2010. - С. 33. - 0,06 / 0,04 п.л.

12. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы массового обслуживания GI(2)|GI2|oo методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2010) : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 19-20 ноября 2010 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - С. 77 - 82. - 0,17 / 0,12 п.л.

13. Sinyakova I. Investigation of queuing system Gl(2)|M2|co / S. Moiseeva, I. Sinyakova // Queues: flows, systems, networks : proceedings of the International Conférence «Modem Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Télécommunication Networks». Minsk, January 31 - February 3, 2011. -Минск : РИВШ, 2011. - P. 219 - 225. - 0,18 / 0,12 п.л.

14. Синякова И.А. Исследование системы обслуживания сдвоенных заявок с входящим потоком марковского восстановления методом моментов / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Научное творчество молодежи : материалы XV Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 28 -29 апреля 2011 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. - С. 34 - 37. - 0,14 / 0,10 п.л.

15. Синякова И.А. Исследование модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок с рекуррентным входящим потоком/ С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011) : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 25 - 26 ноября 2011 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011.-Ч. 1.-С. 175- 179.-0,15/0,10 п.л.

16. Sinyakova I. Modeling of Insurance Company as Infinite-Servers Queue-ing System / S. Moiseeva, A. Moiseev, I. Sinyakova // International conference on application of information and communication technology and statistics in economy and education. Sofia, Bulgaria. 2012. - Sofia : UNWE, 2012. - P. 78 - 84. -0,20/0,14 п.л.

17. Синякова И.А. Исследование системы массового обслуживания сдвоенных заявок с входящим МАР(2)-потоком [Электронный ресурс] / И.А. Синякова // Научное творчество молодежи : материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 17-18 мая 2012 г. — Электрон, дан. — Анжеро-Судженск, 2012. - Ч. 1.-1 электрон, опт. диск.

18. Синякова И.А. Сравнение асимптотических и точных результатов исследования СМО МАР(2)|М2| оо / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2012) : материалы XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 23 - 24 ноября 2012 г. - Кемерово : Практика, 2012. - Ч. 2. - С. 127- 130.-0,14/0,10 п.л.

19. Синякова И.А. Математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок / И.А. Синякова // Теория вероятностей и ее приложения : тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. 26 - 30 июня 2012 г. - М. : ЛЕНАНД, 2012. - С. 206-207.-0,05 п.л.

20. Синякова И.А. Математическая модель страховой компании в виде системы массового обслуживания М|М|оо / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей : международная научная конференция. Минск, 28-31 января 2013 г. - Минск : Изд-во центр БГУ, 2013. - С. 154- 159.-0,15/0,Юп.л.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались:

1. VIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2009 г.

2. XIV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2010 г.

3. VIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, 2010 г.

4. IX Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2010 г.

5. XV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2011 г.

6. Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики». Новосибирск, 2011 г.

7. X Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2011 г.

8. XVI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2012 г.

9. Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. Москва, 2012 г.

10. XI Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2012 г.

11. Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно - телекоммуникационных сетей». Минск, 2013 г.

12. XVII Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2013 г.

Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе исследуются математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок пуассоновского входящего потока в виде СМО с двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов.

В параграфе 1.1 исследуется модель параллельного обслуживания сдвоенных заявок пуассоновского входящего потока. Состояние системы определяется вектором {^(О'^СО)' гДе к ~ число заявок, находящихся на обслуживании в к -ом блоке.

Для распределения вероятностей у,= = /, /2(/) = у'} состояний

двумерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке в момент времени / записана система дифференциальных уравнений Колмогорова

^ЫЛ=_(х + + )р(Ш)+ХР^ _ _ и)+

а/

+ (/+1)(Д,р(/+1,л0+0' + Оцг^У + 1.0»

решение которой найдено с помощью производящей функции вида

, х2, () = ]Г 2 Х1Х2Р(1' Л 0-

|=07=0

Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Производящая функция двумерного процесса

{/, (/),/2 (/)} - числа приборов, занятых в момент времени / в блоках системы

мЩ Мт ро имеет вид:

Откуда следует, что в стационарном режиме одномерные маргинальные производящие функции числа занятых приборов в каждом блоке обслуживания являются пуассоновскими и имеют вид:

В результате получено стационарное двумерное распределение вероятностей которое будем называть двумерным пуассоновским распределением зависимых случайных величин

Для исследуемой системы найдены основные вероятностные характеристики, а именно - математическое ожидание и дисперсия числа занятых приборов для каждого блока системы. Также найдено выражение для коэффициента корреляции между компонентами процесса обслуживания требований, который показывает, что наибольшая зависимость изучаемых процессов достигается при одинаковых параметрах времени обслуживания, коэффициент корреляции в этом случае равен 0,5.

В параграфе 1.2 проводится исследование выходящих потоков в системе параллельного обслуживания сдвоенных заявок. Строится система параллельного обслуживания сдвоенных заявок пуассоновского потока и определяется двумерный случайный процесс {/?,(/),/*,(/)}, характеризующий число обслуженных заявок каждого блока за время /.

А.|(ц,+Ц2)2-Ц1Ц2|

Для исследования процесса {/21 (/), (/)} вводятся дополнительные компоненты /, (/), /2 (/), характеризующие число занятых приборов в первом и втором блоках системы.

Для распределения вероятностей Р(/{, 12,пх,п2^) = Р{/)(0>

записана система дифференциальных уравнений Колмогорова

дР(ц, 12,л,,п2,;) = + ^ ^+1)ц,/>(|1 + 1,/2,и, -1,л2,/)+

д(

+ (/2 + 1)ц2/>(/|,/2 + 1,я,,/г2 - 1,/)+ - 1,/2 - .

Найдено явное выражение для совместной производящей функции четырехмерного случайного процесса {/,(^),/2(/),и1(/),/72(/)}

,'>'1''= X!XX2]1 -^з'2^г"2»,,«2'и доказана следующая

(, /2 я, /г2

теорема.

Теорема 1.2. Производящая функция р(у],у2,() двумерного процесса

{«,(/),(/)} - числа обслуженных заявок в блоках системы М2\М 2

оо имеет вид:

= схр{А.[(у, -1)0;2 - 1)+ (у, - 1)+ (у2 - 1))}.

Отсюда видно, что одномерные маргинальные производящие функции числа обслуженных заявок являются пуассоновскими и имеют вид

/0>,) = ехр{А,Си, -1)}, /(Уг)=™?ЫУг

В результате получено нестационарное двумерное распределение вероятностей Р{},]) состояний выходящего потока

СО II

а

Р(/, /) = V — -е ь, если / = j

^ п\ , где а = №, Ь = .

Р(/,у) = 0, если / ^ у

Найдены математическое ожидание и дисперсия числа обслуженных за время ^ заявок в первом и втором блоках системы. Показано, что коэффициент корреляции между компонентами процесса обслуженных требований равен 1.

Отсюда следует, что Л/|[«1(/)-«2(/))2}= 0. То есть, в среднем квадратическом выполняется равенство «,(/) = я2(0, что говорит о высокой степени линейной зависимости выходящих процессов.

В параграфе 1.3 рассматривается математическая модель изменения числа рисков страховой компании в виде системы массового обслуживания с параллельным обслуживанием смешанного потока заявок, состоящего из трёх простейших потоков с параметрами: X - для сдвоенных заявок, А^, Х2— заявок 1-го и 2-го типа соответственно.

Состояние системы определяется вектором {^(О^гСО)' где Н ~ число занятых приборов в к -ом блоке.

Для распределения вероятностей _/,/)= Р{/,(0 = /,/2(/) = у} состояний двумерной цепи Маркова записана система дифференциальных уравнений Колмогорова

^ыА = (_ X - А,, - Х2 - гщ - ]\12)Р(Ш) + - + Р(г,] -1,0 + от

+хр{1 - -1,0+(/+Оц,^/++0 + +1.0»

решение которой найдено с помощью производящей функции вида

ОО со

^(х,, х2,0 - X XX,'х2р(/, 7, О.

(=0у-0

В результате получено, что вид производящей функции в стационарном режиме для распределения вероятностей числа занятых приборов в каждом блоке системы имеет вид

F(x,,x2)= ехр

^ + -1)+—L-fo -lXx2 -1)¡

JLl, Ц2 Ц,+Ц2

Записана формула для расчета капитала страховой компании в виде

5(0=Еф '+2>?>+Efe? ■ЕвМЧД

/, =0 /2=0 /,=0 /2=0

где ф/'^ф/2^ - страховые премии клиентов, - страховые взносы,

- размер страхового возмещения в случае наступления страховых случаев, V (о 5 М; (2) - интенсивности наступления страховых случаев, /А(/) - число рисков

(заявок) к-го типа, пришедших за время ij.it) - число заключенных договоров (занятых приборов) А:-го типа в момент времени / (к = 1,2) .

Получено математическое ожидание величины капитала страховой компании.

Во второй главе выполнено исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков: общего марковски модулированного пуассоновского потока и рекуррентного потока, с неограниченным числом обслуживающих приборов в каждом блоке. Время обслуживания для каждого блока имеет экспоненциальную функцию распределения с параметрами, зависящими от номера блока.

Исследуется двумерный случайный процесс {/,(/),/2(/)}, описывающий

число занятых приборов в момент времени £ соответственно в первом и втором блоках обслуживания.

В параграфе 2.1 исследуется система параллельного обслуживания сдвоенных заявок с входящим МАР(2)-потоком, заданным управляющей цепью Маркова к(0 с матрицей инфинитезимальных характеристик <3, набором уловных интенсивностей Хк и вероятностями А наступления событий в момент изменения состояния управляющей цепи к^).

Для исследования данной системы вводится дополнительная компонента к(/), характеризующая состояние управляющей цепи Маркова и рассматривается трёхмерный случайный процесс Получена система уравнений Колмогорова для стационарного распределения вероятностей П{к,^,12)

+ 0*2 +1 П(к, /,, /2 +1) ■+ £ {П (V, /„ /2 )(1 - ) + /, -1, /2 -1 К, = 0.

Для заданных векторных характеристических функций Н(щ,и2) = = [н( 1, и], и2),..., Н(к, и], и2)] записано векторно-матричное уравнение

Н(0,0)=К = [К(1),К(2),...],

которое будет являться основным для дальнейших исследований.

Здесь Н (и1,и2) = [н(1,щ,и2),...,н(к,и1,и2)] - вектор-строка, где

оо оо

Н(к,и1,и2) = ^^1е'щ',е^2'2Р(к,1\,12), Л - матрица с элементами Хк по главной

/,=0 I, о

диагонали, <2 — матрица инфинитезимальных характеристик qvk, А - матрица из элементов , В = Л + А.

Для системы МАР^ М2 |оо найдены основные вероятностные характеристики:

• среднее значение числа занятых приборов в блоках системы

т

(0

1

— ИВЕ, (¿ = 1,2); Их

начальные моменты второго порядка числа занятых приборов в блоках системы

т® = ИВ^ + - О]"' [М + 2В]}{2ц,1 - О}"1 Е, (& = 1,2); дисперсия числа занятых приборов в блоках системы

корреляционный момент двумерного случайного процесса {^(ОЛСО)

т\г =

— (кВЕ + ^ + ИГр^Е);

ц, +ц

коэффициент корреляции двумерного случайного процесса {^(ОЛСО)

cov

(ал)

О) . т{2)

тп - т\' • т

^Di}Di2 Д/D/, D/2

Далее рассматривается метод асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания заявок в блоках, позволяющий находить не только асимптотические моменты, но также и двумерные характеристические функции числа занятых приборов в блоках системы.

Для нахождения асимптотики первого порядка вводятся обозначения fj,, = в, ]i2=sq, где q = const и в уравнении для векторных характеристических функций Н{их,и2) выполняются замены щ = £х,, w2=ex2, H(w,,m2) = Fj(л:,,х2,с).

Теорема 2.3. Решение уравнения

J

Эх, дх2

F, (x,, x2, s) в предельном условии в —> 0 имеет вид

F,(x,,x2)=Rexp

( \

Х7

j х, + —

1 Ч)

к

| Г'

где величина к, определяется равенством к, =ЯВЕ.

Для нахождения асимптотики второго порядка в уравнении для векторных характеристических функций Н(г/,,м2) выполним замену

Н(и],и2) = Н2(щ,и2) ехр| у

После обозначения р.|=82, р.2=(ес/)2 и замены м,=£х,, и2=щх2, Н2(м,,и2)= Г2(х,,х2,е), доказывается следующая теорема. Теорема 2.4. Решение уравнения

и. И 2 >

1 + — К1

Иг.

уе(еГуЪг' -^дР2(л-,,л-2,е) + у^-лго _Л д¥2(х1,х2,г) _ Эх, дх2

= ^(х, ,х2,е){0 + - 1)в + к, (е'м -1)1 + к, -1^}

К2(х, , х2, г) в предельном условии е->0 имеет вид

К2(х,,х2) = Яехр|—(х,2 +х,2)к, +(2к2 -кх)ххх2~~ [2 ~ q

где величина к2 определяется равенством к2=к,+Г2ВЕ, здесь вектор f2 удовлетворяет условию 1'2 Е = О и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений 1"2(} + 1*(В - к,[) = О .

В результате можно записать асимптотическую характеристическую функцию, имеющую вид двумерной гауссовской характеристической функции

к2 {их, и2) = ехр

уг/|--1----г ----------------

щ 2 ц,)

уи., — + V "Мг 2 у

+ J и{и>,

которую будем называть асимптотикой второго порядка.

В параграфе 2.2 проводится аналогичное исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок с рекуррентным входящим потоком, который задается функцией распределения Л(х) - длин интервалов между моментами наступления событий рассматриваемого потока. Вводится дополнительная компонента г(^), равная длине интервала от момента времени / до момента наступления очередного события в рекуррентном входящем потоке. Рассматривается трёхмерный случайный процесс ),(/),/2, который является марковским.

Подобные исследования проведены для частных случаев систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок [74,11, 114].

Особый интерес вызывают исследования систем параллельного обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов и произвольным распределением времени обслуживания заявки на приборе.

В третьей главе выполнено исследование подобных систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков (МАР(2),01(2)).

Для рассматриваемых систем двумерный случайный процесс {/1 ),/2)} изменения во времени состояний системы, где /А(/) - число приборов, занятых в момент времени / в к -ом блоке обслуживания, не является марковским.

Поэтому для исследования предлагается модифицированный метод двумерного динамического просеивания. Данный метод позволяет свести проблему исследования немарковской СМО с двумя блоками обслуживания к задаче анализа нестационарного двумерного марковизируемого потока.

В параграфе 3.1 в отличие от работ [55, 69, 79], где рассматривается одномерное просеивание заявок методом просеянного потока, в диссертации предлагается его модификация, которая заключается в рассмотрении двумерного просеивания сдвоенных заявок.

Для реализации модификации метода динамического просеивания определяются вероятности , которые имеют смысл вероятностей того, что любая из сдвоенных заявок входящего потока, поступивших в систему в момент времени ? < Т, в момент времени Т будет продолжать обслуживание и формировать события двумерного просеянного потока. Очевидно, что завершившие обслуживание заявки не поступают в просеянный поток.

Тогда число пк(Т), к = 1,2 событий, наступивших в двумерном просеянном потоке, совпадает с числом занятых приборов в исходной системе, то есть

/, (г)=(г), /2 (г)=«2 (г).

оо,

В параграфе 3.2 проводится исследование системы

Введена дополнительная компонента k{t) - состояние цепи Маркова и рассмотрен нестационарный трехмерный марковский процесс {k{f),nx{t),n2{t^\. Для него определены частичные характеристические функции вида

«,=0/(2=0

Тогда для векторной функции н(г/,,«2,/) = {#(1,И[,м2,/),Н{1,их,и2,/)...} записана система векторно-матричных дифференциальных уравнений Колмогорова

Н(м,,«2,/0) = И.

Проведено исследование системы асимптотическим методом в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках при Ък —> оо, где

00

Ьк -1 (1 - Вк (х))сЬс - среднее значение времени обслуживания заявки на приборе

о

в каждом блоке (к = 1,2).

Для нахождения асимптотики первого порядка вводятся обозначения Ъх= 1/в, Ъ2 =1/<?8 ив уравнении для векторной функции Н(«],г/2,?) выполняются замены:

*б = т, 5(1)(0 = 5(1)(т), 5'(2)(0 = 5г(2)(т), и, = £*,, м2 =ех2, Н(м1,м2,г) = р|(х|,х2,т,е).

Доказана теорема.

Теорема 3.1. Решение уравнения

от

+ -1)?(2)(т)+(^ -1)?(,)(т^(2)(т)]в}

(х,, лг2 9 т, е) в предельном условии с —» О имеет вид

Р, (я,, х2, т) = И ехр-

7x,1с, $8{1)(г)ск + ух2к, ^8(1\г)сЬ ^,

где величина к, определяется равенством к, = ИВЕ.

-28-

Для нахождения асимптотики второго порядка в уравнении для векторной функции Н(и],и2^) выполнены замены

I I

ум, к,

, Ъх = 1/в2

Ь2= 1/482, ¿е2 = т, *0£2=т0, 5(1,(0 = 5(|)(т), 5,(2)(/) = 5г(2)(т), к, = ех,, и2 = ех2, Н2(и,,и2,/) = Р2(х,,л:2,т,е) и доказана теорема. Теорема 3.2. Решение уравнения

82 = р^ ^ ^ е^ + ^ _ ^^ + ^ _ +

+ -- 1^(1)(т)^(2)(х)]в - [/ех,к1$г(,)(т)+ 7£х2к,5(2)(х)]1} Р2(х,,х2,х,е) в предельном условии 8—>0 имеет вид

Р2(х,,х2,т) = Яехр

Ы 1

к,} 5 {х\г)ск + 2к2 ] [¿¡^{г)] ек

+

V Ч>

где величина к2 определяется равенством к2 =^(В-к, а {2 является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений + Я (В - к,1) = 0 и удовлетворяет условию Г2Е = 0.

В результате обратных замен показано, что число занятых приборов в блоках можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением с характеристической функцией вида

17 (и)2

Ь2{щ,и2)= ехр<^ У^к,^, -п 1' [к^, +2к2Р,]

+

+

к,62 + [к{ь2 +2к2(32] + У2и,м2[к1 + 2к2]Р12

Здесь

и от о 00

-/(1 - В^сЬ =р,, }Ифь =}('" =Р

-ОС о -00 о

о от

18[]){г)8(2\г)с1г =|(1 - В, (- г))(1 - В2 (- г))ск Ц312.

В параграфе 3.3 проводится аналогичное исследование системы 01^ а2 °о, для просеянного потока которой вводится дополнительная компонента г(() и рассматривается нестационарный трехмерный марковский процесс

Подобные исследования проведены для частных случаев систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок [31, 34].

В четвертой главе предложен комплекс программ, реализующий имитационное моделирование и численный анализ вероятностно-временных характеристик рассматриваемых систем, а также определения области применимости полученных асимптотических результатов и результатов имитационного моделирования.

В параграфе 4.1 рассмотрена программа нахождения двумерного распределения вероятностей состояний (/,,/2) системы М^ М2|оо.

В параграфе 4.2 описывается реализация метода начальных моментов, позволяющая находить допредельные характеристики исследуемых процессов, а именно математическое ожидание, дисперсию и коэффициент корреляции.

В параграфе 4.3 разработаны программы, реализующие двумерную га-уссовскую аппроксимацию исследуемых процессов, полученную методом асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках.

В параграфе 4.4 рассматривается имитационное моделирование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Синякова, Ирина Анатольевна

Заключение

В данной диссертационной работе построены математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в виде СМО с двумя блоками, каждый из которых содержит неограниченное число обслуживающих приборов.

Выполнено развитие метода асимптотического анализа на случай нового предельного условия, а именно эквивалентного роста времени обслуживания в блоках, что позволяет проводить исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков с экспоненциальным временем обслуживания и неограниченным числом обслуживающих приборов.

Разработан метод двумерного динамического просеивания, являющийся модификацией метода просеянного потока, который заключается в формировании двумерного просеянного потока, события которого определяются заявками, находящимися на обслуживании в блоках системы в момент времени Т.

Разработан комплекс программ, реализующий имитационное моделирование и численный анализ вероятностно-временных характеристик систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков.

В первой главе проведено исследование математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок пуассоновского входящего потока с экспоненциальной функцией распределения времени обслуживания.

Построена и исследована математическая модель в виде системы параллельного обслуживания сдвоенных заявок м{1)\м2\ оо. Получено аналитическое выражение для производящей функции Г(х1,х2). Впервые получено двумерное распределение вероятностей Р^у) числа занятых приборов в каждом блоке, которое предложено называть двумерным пуассоновским распределением зависимых случайных величин.

Для исследуемой системы найдены основные вероятностные характеристики, а именно - математическое ожидание и дисперсия числа занятых приборов для каждого блока системы. Также найдено выражение для коэффициента корреляции между компонентами процесса обслуживания требований, который показывает, что наибольшая зависимость изучаемых процессов достигается при одинаковых параметрах времени обслуживания, коэффициент корреляции в этом случае равен 0,5. Аналогичным образом для данной системы выполнено исследование выходящих потоков. Показано, что выходящие потоки и

2(/) являются простейшими с параметром X.

Построена и исследована математическая модель страховой компании в виде системы с параллельным обслуживанием смешанного потока заявок. Для данной модели записано математическое ожидание величины капитала страховой компании.

Во второй главе проведено исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков: МАР(2)-поток и С1(2)-поток с экспоненциальной функцией распределения времени обслуживания заявок.

Для рассматриваемых систем записаны уравнения для характеристических функций, которые является основными для дальнейших исследований. Используя метод начальных моментов, найдены основные вероятностные характеристики.

С помощью метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках получено выражение асимптотической характеристической функций, имеющей вид двумерной гауссовской характеристической функции числа занятых приборов в первом и втором блоках обслуживания.

В третьей главе проведено исследование систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных входящих потоков (МАР(2),01(2)) с произвольной функцией распределения времени обслуживания.

Для исследования данных систем разработан модифицированный метод двумерного динамического просеивания, то есть предлагается модификация метода просеянного потока, которая заключается в рассмотрении двумерного просеивания сдвоенных заявок. Данный метод позволяет свести проблему исследования немарковской СМО с двумя блоками обслуживания к задаче анализа нестационарного двумерного марковизируемого потока.

С помощью метода асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках получено выражение асимптотической характеристической функций, имеющей вид двумерной гауссовской характеристической функции числа занятых приборов в первом и втором блоках обслуживания.

В четвертой главе предложены программы нахождения двумерного распределения вероятностей состояний системы параллельного обслуживания с пуассоновским входящим потоком, а также программы, реализующие двумерную гауссовскую аппроксимацию числа занятых приборов в блоках, полученную методом асимптотического анализа в условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках.

Также в диссертации описан алгоритм и приведен анализ результатов имитационного моделирования систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков. Показано что отклонение результатов, полученных с помощью имитационного моделирования от аналитических результатов при увеличении числа поступивших сдвоенных заявок до ^109 составляют не более 2-3%, что говорит о высокой точности разработанных программ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Синякова, Ирина Анатольевна, 2013 год

Список использованной литературы

1. Абаев П.О., Гайдамака Ю.В. Самуйлов К.Е., Гистерезисное управление нагрузкой в сетях сигнализации. // Вестник РУДН. Математика. Информатика. Физика. - 2011. №4. - С. 55-73.

2. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории Марковских процессов и их приложения. - М.: Изд-во «Наука», 1969. - 512 с.

3. Башарин Г. П., Гайдамака Ю.В., Самуйлов К. Е. Актуальные задачи математической теории телетрафика // Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко (Москва, 26-30 июня 2012 года), Тезисы докладов. - М.: ЛЕНАНД, 2012. - С. 176-177.

4. Башарин Г. П., Самуйлов К. Е., Яркина Н. В., Гудкова И. А. Новый этап развития математической теории телетрафика // Автоматика и телемеханика.-2009.-№ 12.-С. 16-28.

5. Башарин Г. П., Толмачев А. Л. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем // Итоги науки и техники. Серия. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет. - 21, ВИНИТИ, М./ - 1983. С. 3-119.

6. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.Ф. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы анализа. - М.: Наука. 1989

7. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. - М.: Наука, 1968.

8. Башарин Г.П., Шибаева Е.С. Математическая модель функционирования коммутатора в OBS сети с FDL и маршрутизацией с отклонением // Материалы Седьмой отраслевой научной конференции «Технологии информационного общества», 20-21 февраля 2013г. - Москва: ФГОБУ ВПО МТУСИ, 2013.-С. 15.

9. Бородакий В.Ю. Вероятностная модель обслуживания трафика в системе сетецентрического типа // Информатика и её применения. - 2009. Т. 3. Вып. 3.-С. 35-39.

10. Бочаров П. П., Д'Апиче Ч., Манзо Р., Печинкин А. В. Анализ многолинейной марковской системы массового обслуживания с неограниченным

накопителем и отрицательными заявками // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 1. - С. 93-104.

11. Бочаров П.П., Громов А.И. О пуассоновской двухфазной системе ограниченной емкости // Методы теории телетрафика в системах распределения информации. - М.: Наука, 1975.- С. 15-28.

12. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания. -М.: Изд-во РУДН. - 1995. - 520 с.

13. Гайдамака Ю. В., Зарипова Э. Р., Самуйлов К. Е. Модели обслуживания вызовов в сети сотовой подвижной связи. - М.: Изд-во РУДН. - 2008. -72 с.

14. Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Вихрова О.Г. Применение системы поллинга с исчерпывающей дисциплиной обслуживания к анализу SIP-сервера // Материалы Седьмой отраслевой научной конференции «Технологии информационного общества», 20-21 февраля 2013 г. - Москва: ФГОБУ ВПО МТУСИ, 2013.-С. 22-23.

15. Гарайшина И.Р. Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск. 2005. - 148 с.

16. Гарайшина И. Р., Моисеева С. П., Назаров А. А. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания. - Томск: НТЛ, 2010. - 204 с.

17. Глухова Е.В., Змеев O.A., Ливщиц К.И. Математические модели страхования. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - 180с.

18. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. /Изд. 4-е, испр. М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 400 с.

19. Дудин А. Н., Сунь Б. Ненадежная многолинейная система с управляемым широковещательным обслуживанием // Автоматика и телемеханика, 2009, № 12.-С. 147-160.

20. Дудин А. Н, Клименок В. И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Мн.: БГУ, 2000. 175 с.

21. Дудин A.M. Оптимальное гистерезисное управление ненадежной системой AP/SM/1 с двумя режимами работы // Автоматика и телемеханика, 2002. №10. С. 58-72.

22. Дудин A.M., Медведев Г.А., Меленец Ю.В. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания: Учебное пособие — Мн.: Университетское, 2000.- 109 с.

23. Ефимушкин В.А. Классификация систем массового обслуживания случайной структуры / В кн.: Системы телекоммуникаций и моделирование сложных систем // М., Изд-во ПАИМС, 2000. - С.5-6.

24. Захорольная И.А. Исследование математических моделей потоков в системах с неограниченным числом линий методом предельной декомпозиции: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск. 2012. -171 с.

25. Зейфман А.И., Сатин Я. А., Коротышева А. В., Терешина Н. А. О предельных характеристиках системы обслуживания M(t)/M(t)/S с катастрофами //Информатика и её применения. - 2009. Т. 3. Вып. 3. - С. 16-22.

26.Зорин A.B., Федоткин М.А. Оптимизация управления дважды стохастическими неординарными потоками в системах с разделением времени // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 7. - С. 102-111.

27. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование математической модели параллельного обслуживания заявок смешанного типа / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика - 2010. - Т. 317, № 5. - С. 32-34.

28. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок в нестационарном режиме / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 3 (12). — С. 21 -28.

29. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы MMP(2)|GI2| 00 методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009)

: материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 13-14 ноября 2009 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009.-Ч. 1.-С. 32-36.

30. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы MAP(2)|GI2| 00 методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием, 5

- 8 октября 2010 г. - Томск : Изд-во НТЛ, 2010. - С. 33.

31. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы массового обслуживания ММР(2)|М2|о° методом моментов / М.Д. Жалкеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 15-16 апреля 2010 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - С. 29-33.

32. Ивановская (Синякова) И.А. Исследование системы массового обслуживания GI(2)|GI2|oo методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2010) : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 19-20 ноября 2010 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - С. 77 - 82.

33. Ивановская (Синякова) И.А. Математическая модель параллельного обслуживания заявок в распределенных вычислительных системах / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : сборник научных статей. - Минск : РИВШ, 2010.

- Вып.З. - С. 122- 126.

34. Ивановская (Синякова) И.А. Немарковская модель параллельного обслуживания сдвоенных заявок / С.П. Моисеева, И.А. Ивановская (Синякова) // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 15-16 апреля 2010 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1.-С. 35 -38.

35. Ивницкий В. А. Многоканальная система массового обслуживания с выделенным каналом // Автоматика и телемеханика. - 2000. № 6. - С. 91— 103.

36. Ивницкий В. А. Об инвариантности стационарных распределений вероятностей состояний многолинейной системы обслуживания конечного числа различных источников требований при абсолютном приоритете поступающего требования // Теория вероятностей и ее применение. - Том 37. - 1992,- С. 407-410.

37. Кёнинг Д., Рыков В., Штоян Д. Теория массового обслуживания. -М.: Московский институт нефтехимической и газовой промышленности. 1979.112 с.

38. Крыленко А. В., Малинковский Ю. В. Сети массового обслуживания с мгновенно обслуживаемыми заявками II. Модели с несколькими типами заявок // Автоматика и телемеханика. - 1998. - № 2. - С. 62-71.

39. Лапатин И.Л. Исследование математических моделей выходящих потоков систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск. 2012. - 138 с.

40. Ложковский А.Г. Теория массового обслуживания в телекоммуникациях. Одесса: ОНАС им. А. С. Попова, 2012. - 112 с.

41. Ложковский А.Г., Каптур В.А., Вербанов О.В., Колчар В.М. Математическая модель пакетного трафика // Вестник национального политехнического университета «ХПИ». - 2011. - №9. - С. 113-119.

42. Лопухова C.B. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск. 2008. - 167 с.

43. Маталыцкий М. А. Исследование сетей с многолинейными системами обслуживания и разнотипными заявками // Автоматика и телемеханика. -1996.-№9.-С. 79-91.

44. Маталыцкий М. А. О некоторых результатах анализа и оптимизации марковских сетей с доходами и их применении // Автоматика и телемеханика.-2009. - № 10.-С. 97-113.

45. Моисеев А.Н., Синяков М.В. Объектная модель событий системы имитационного моделирования процессов массового обслуживания // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: тезисы докла-

дов Восьмой Российской конференции с международным участием, 5-8 октября 2010г. - Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - С. 34.

46. Моисеев А.Н., Синяков М.В. Разработка объектно-ориентированной модели системы имитационного моделирования процессов массового обслуживания. Вестник томского государственного университета. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика». - 2010. -№1(10). - С.89-93.

47. Моисеев А.Н., Синяков М.В. Разработка объектно-ориентированной модели системы имитационного моделирования процессов массового обслуживания. Вестник томского государственного университета. «Управление, вычислительная техника и информатика». — 2010. - №1(10). — С.89-93.

48. Моисеева С.П., Захорольная И.А. Математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями // Автометрия - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2011 г. - Т. 47. - №.6. - С. 51 -58.

49. Морозов Е. В., Белый А. В., Боденов Д. В. Расширенная регенерация: применения к анализу сетевого трафика // ОПиПМ, 2007. Т. 14. Вып. 6. С. 1022-1042.

50. Морозов Е.В. Асимптотики вероятностей больших уклонений стационарной очереди // Информатика и её применения. - 2009. Т. 3. Вып. 3. -С. 23-34.

51. Морозов Е.В., Румянцев А. С. Вероятностные модели многопроцессорных систем: стационарность и моментные свойства // Информатика и её применения. -2012. Т. 6. Вып. 3. - С. 99-106.

52. Морозова A.C. Исследование математических моделей стимулирования сбыта продукции: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Филиал Кемеровского гос. ун-т. в г. А.-Судженске - Анжеро-Судженск. 2007. - 115 с.

53. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 153 с.

54. Назаров A.A., Горбатенко А.Е. Асимптотический анализ системы ММР|М1|ИПВ в условии предельно редких изменений состояний входящего

потока // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - Т. 315. - № 5. - С. 187 - 190.

55. Назаров A.A., Лапатин И.Л. Асимптотическое свойство выходящих потоков систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и входящим МАР-потоком // Автоматика и телемеханика.- 2012, № 5, С. 57-70.

56. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. - Томск: Изд-во НТЛ. 2004. - 228 с.

57. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - 2006. - № 10. - 200 с.

58. Назаров. А. А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания . - 2006. - № 10. - 112 с.

59. Наумов В. А., Самуйлов К. Е., Яркина Н.В. Теория телетрафика мультисервисных сетей. — М.: Изд-во РУДН, 2007. 191 с.

60. Носова М.Г. Автономная немарковская система массового обслуживания и ее применение в задачах демографии: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. - Томск. 2010. - 204 с.

61. Отчет по проекту № 4761 «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей шко-лы(2009-2010 годы)», 3. Под редакцией: Ананина И.А., Балакирева А.Ю., Вавилов В.А., Гарайшина И.Р., Горбатенко А.Е., Жалкеева М.Д., Ивановская И.А., Лапатин И.Л., Лопухова C.B., Назаров A.A., Носова М.Г., Ронжина Е.С., Люби-на Т.В., Семенова И.А., Сергеева В.В., Моисеева С.П., Судыко Е.А. - Кемерово: КемГУ, 2010. - 293 с.

62. Печинкин А. В., Соколов И. А., Чаплыгин В. В. Многолинейная система массвого обслуживания с конечным накопителем и ненадежными приборами // Информатика и её применения. - 2007. - Т. 1. Вып. 1. - С. 27-39.

63. Печинкин А. В., Соколов И. А., Чаплыгин В. В. Многолинейные системы массового обслуживания с независимыми отказами и восстановлениями приборов // Системы и средства информатики. Спец. выпуск «Математиче-

ское и алгоритмическое обеспечение информационно-телекоммуникационных систем». —М.: ИПИ РАН. - 2006. - С. 99-123.

64. Печинкин А. В., Соколов И. А., Чаплыгин В. В. Стационарные характеристики многолинейной системы массового обслуживания с одновременными отказами приборов // Информатика и её применения. - 2007. Т. 1. Вып. 2. - С. 28-38.

65. Саати T.J1. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. 2-е изд. - М.: Советское радио, 1971. - 519 с.

66. Самуйлов К.Е. Методы анализа и расчета сетей ОКС 7: Монография. - М.: Изд-во РУДН, 2002. - 292 с.

67. Самуйлов К.Е., Савочкин Е.А. Алгоритм свертки для расчета вероятностных характеристик звена сети мультивещания //В сб. «Системы телекоммуникаций и моделирование сложных // систем» М.: ПАИМС, -2002.

68. Севастьянов Б.А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным линиям с отказами // Теория вероятностей и ее прим. - 1957. - Т.2. - Вып. 1.- С. 106-116.

69. Семенова И.А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов / A.A. Назаров, И.А. Семенова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - №3 (12). - С. 85 - 96.

70. Синяков М.В., Моисеев А.Н. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №16326. Объектно-ориентированная имитационная модель системы массового обслуживания с одним или несколькими блоками обслуживания. Дата регистрации 22.10.2010 г.

71.Синякова И.А. Исследование модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок с рекуррентным входящим потоком/ С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011) : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 25 - 26 ноября 2011 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. - С. 175 - 179.

72. Синякова И.А. Исследование системы МАР1 |С12|оо методом просеянного потока / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Вестник Кемеровского государственного университета. -2012. - Вып. 1 (49). - С. 47 - 53.

73. Синякова И.А. Исследование системы массового обслуживания сдвоенных заявок с входящим МАР(2)-потоком [Электронный ресурс] / И.А. Синякова // Научное творчество молодежи : материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 17-18 мая 2012 г. - Электрон, дан. -Анжеро-Судженск, 2012. - Ч. 1.-1 электрон, опт. диск.

74. Синякова И.А. Исследование системы обслуживания сдвоенных заявок с входящим потоком марковского восстановления методом моментов / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Научное творчество молодежи : материалы XV Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 28 - 29 апреля 2011 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. - С. 34 - 37.

75. Синякова И.А. Математическая модель страховой компании в виде системы массового обслуживания М|М|со / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей : международная научная конференция. Минск, 28-31 января 2013 г. - Минск : Изд-во центр БГУ, 2013. - С. 154- 159.

76. Синякова И.А. Математические модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок / И.А. Синякова // Теория вероятностей и ее приложения : тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко. 26 - 30 июня 2012 г. - М. : ЛЕНАНД, 2012. - С. 206-207.

77. Синякова И.А. Метод моментов для исследования математической модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок потока марковского восстановления / С.П. Моисеева, И.А. Синякова // Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - Т. 321, № 5. - С. 24 - 29.

78. Синякова И.А. Сравнение асимптотических и точных результатов исследования СМО МАР(2)|М2|оо / С.П. Моисеева, И.А. Синякова//Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2012): материалы

XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 23 - 24 ноября 2012 г. - Кемерово : Практика, 2012. - Ч. 2. - С. 127-130.

79. Судыко Е.А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети случайного доступа / A.A. Назаров, Е.А. Судыко // Проблемы передачи информации. - 2010. - Т. 46. - № 1. - С. 94 -111.

80. Тихоненко О. М. Определение характеристик суммарного объема требований в однолинейных системах обслуживания с абсолютным приоритетом // Автоматика и телемеханика. - 1999. № 8, с. 181-188.

81. Тихоненко О. М., Климович К. Т. Анализ систем обслуживания требований случайной длины при ограниченном суммарном объеме // Проблемы передачи информации, 37:1 (2001), С. 78-88.

82. Топорков В. В. Модели распределенных вычислений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 320 с.

83. Федоткин М.А. Исследование статистической устойчивости движения транспортных потоков на перекрестке, управляемом автоматом с обратной связью // Теория вероятностей и ее применение. - 14:3 (1969). - С. 488^1-98

84. Федоткин М.А., Федоткин A.M., Анализ и оптимизация, выходных процессов при цикличном управлении конфликтными транспортными потоками Гнеденко-Коваленко // Автоматика и телемеханика. РАН. - 2009. - №12. -С. 92-108.

85. Хинчин А.Я. Математические методы теории массового обслуживания. -М.: Изд-во Академии наук СССР. 1955. - 120 с.

86. Чечельницкий A.A., Кучеренко О.В. Стационарные характеристики параллельно функционирующих систем обслуживания с двумерным входным потоком // Сборник научных статей. - Минск, 2009. Вып. 2. - С.262-268.

87. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

88. Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования. : Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2003.-512 с.

89. Ahrens J.H., Dieter U. Computer Method for Sampling from the Exponential and Normal Distribution, Connum. Assoc. Comput. March, 15, 1972. -P. 873-882.

90. Armony M., Bambos N. Queueing Dynamics and Maximal Throughput Scheduling in Switched Processing Systems // Queueing Systems. - 2003. Vol. 44. Issue 3. - P. 209 - 252.

91. Artalejo J. R. New results in retrial queueing systems with breakdown of the servers // Stat. Need., 1994. Vol. 48. No. 1. P. 23-36.

92. Artalejo J.R. Accessible bibliography on retrial queues, Mathematical and Computer Modelling. 1999. - Vol. 30. - P. 223-233.

93. Artalejo J.R. and Gromez-Corral A. (Eds.) Advances in Retrial Queues, European Journal of Operational Research, in press. 2008.

94. Artalejo J.R., Gomez-Coral A. Retrial queueing systems: A computational approach. - Springer. Berlin. - 2008. 318 p.

95. Auria B.D. M/M/oo queues in semi-Markovian random environment // Queueing Systems. - 2008. Vol. 58. Issue 3. - P. 221 - 237.

96. Baltzer J.C. On the fluid limit of the M/G/co queue queueing systems // Theory and applications. - August 2007. - Vol. 56, Issue 3-4. - P. 255-265.

97. Bambos N., Michailidis G. Queueing Networks of Random Link Topology: Stationary Dynamics of Maximal Throughput Schedules // Queueing Systems. - 2005. Vol. 50. Issue 1. - P. 5 - 52.

98. Baum D. The infinite server queue with Markov additive arrivals in space // Proceedings of the international conference "Probabilistic analysis of rare events" - Riga, Latvia, 1999. - P. 136-142.

99. Breuer L., Baum D. The Inhomogeneous BMAP/G/infinity queue // Proceedings 11th GI/ITG Conference on measuring, modelling and evaluation of computer and communication systems (MMB 2001)- Aachen, Germany, 2001,-P. 209-223.

100. Caudillo-Fuentes L.A., Kaufman D.L., Lewis M.E. A simple heuristic for load balancing in parallel processing networks with highly variable service time distributions // Queueing Systems. - 2010. Vol. 64. Issue 2. - P. 145 - 165.

101. Chakravarthy S. R. Analysis of production line systems with two unreliable machines with phase type processing times and a finite storage buffer // Stoch. Models, 1987.Vol. 3. P. 369-391.

102. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes / Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1955. - V. 51. - №3. - P. 433-441.

103. Daley D. J. The serial correlation coefficients of waiting times in a stationary single server queue // Austr. Math. Society, 1968. Vol. 8. P. 683-699.

104. Down D. G., Wu R. Multi-layered round robin routing for parallel servers // Queueing Systems. - 2006. Vol. 53. Issue 4. - P. 177- 188.

105. Dudin A.N.,Kazimirsky A. V.,Klimenok V. I.BMAP/G/1 system unreliable in an idle state // Bull. Kerala Math.Assoc., 2004. No. 2. P. 1-19.

106. Duffield N.G. Queueing at large resources driven by long-tailed M/G/oo-modulated processes // Queueing Systems. - 1998. Vol. 28. Issue 1-3. - P. 245 - 266.

107. Falin G.I. A Survey of Retrial Queues // Queuing Systems. - 1990. Vol. 7.-P. 127- 167.

108. Falin G.I., Artalejo J.R. A Finite Source Retrial Queue // European Journal of Operation Research. - 1998. - № 108. - P. 409 - 424.

109. Falin G.I., Tempeton J.G.C. Retrial Queues. - London: Chapman and Hall, 1997.-328 p.

110. Fricker C., Ja'ibi M. R. On the fluid limit of the M/G/oo queue // Queueing Systems. - 2007. Vol. 56 Issue 3-4. - P. 255 - 265.

111. Gomez-Corral A. A tandem queue with blocking and Markovian Arrival Process // Queueing Systems. - 2002. - №41. - P. 343-370.

112. IEEE Xplore. Digital library [Электронный ресурс]. - Режим дос-Tyna:http://ieeexplore.ieee.org/search/searchresult.jsp?newsearch=true&queryText=S inyakova&x=0&y=0 (дата обращения: 09.01.2013).

113. Iravani S.M.R., Luangkesorn K.L., Simchi-Levi D. A General Decomposition Algorithm for Parallel Queues with Correlated Arrivals // Queueing Systems. - 2004. Vol. 47. Issue 4. - P. 313 - 344.

114. Ivanovskaya (Sinyakova) I. Investigation of the queuing system MMP(2)|M2| oo by method of the moments / S. Moiseeva, I. Ivanovskaya (Sinyakova) // Problems of Cybernetics and Informatics : the third international conference. Baku, Azerbaijan. September 6 - 8, 2010. - Baku : Elm, 2010. - Vol. 2. - P. 196 - 199.

115. Jayawardene A.K., Kella O. M/G/co with alternating renewal breakdowns // Queueing Systems. - 1996. Vol. 22. Issue 1-2. - P. 79 - 95.

116. Kang SH, Kim YH., Sung DK. and Choi BD. An application of Markovian Arrival Process to modeling supeiposed ATM cell streams // IEEE Trans. Commun. - 2002. - Vol. 50. - No. 4. - P. 633-642.

117. Kargahi M., Movaghar A. Utility Accrual Dynamic Routing in RealTime Parallel Systems // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems (TDPS)/.-December 2010/- Vol. 21. No. 12.-P. 1822-1835.

118. Klemm A., Lindemann C., Lohmann M. Modeling IP traffic using the batch Markovian Arrival Process // Performance Evaluation, 54. - 2003. - P. 149173.

119. Knessl C., Morrison J. A. Heavy Traffic Analysis of Two Coupled Processors // Queueing Systems. - 2003. Vol. 43. No. 3. - P. 173-220.

120. Kofman D., YechialiU. Pollingwith stations breakdowns // Perform. Eval., 1996. Vol. 27-28. No. 4. P. 647-672.

121. LAW A. Efficient estimators for simulated queuing systems // Management Science 22, I, 1975. - P. 3(Ml.

122. Lebedev. E. On Asymptotic enlargement problem for stochastic networks // Queues flows, systems, networks. Proceedings of the International Conference "Mathematicals Methods and Optimization of Telecommunication Networks". Minsk, 22-24 Februaiy. 2011. - P. 108 - 109.

123. Lebedev. E., Chechelnitsky A. Limit diffusions for multi-channel networks with interdependent inputs // Proceedings of the International Conference "Modern Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Telecommunication Networks". Minsk, January 31-February 3, 2011. - P. 133 - 136.

124. Lee D.-S. Analysis of a single server queue with semi- Markovian service interruption // Queueing Syst., 1997.Vol. 27. No. 1-2. P. 153-178.

125. Leland W.E., Taqqu M.S., Willinger W., Wilson D.V. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic // Proceedings ACM SIGCOMM'93. - San Fran-sisco, CA. - 1993. - P. 183-193.

126. Mirasol N.M. The output of an M | G | oo queueing system is Poisson // Operations Research. 1963. No. 11. P. 282-284.

127. Morozov E. Communications systems: Rare event simulation and effective bandwidths. — Pamplona: Universidad Publica de Navarra, 2004.

128. Morozov E. V. Weak regeneration in modeling of queuing processes //Queueing Systems, 2000. Vol. 46. P. 293-313.

129. Movaghar A. Analysis of a Dynamic Assignment of Impatient Customers to Parallel Queues // Queueing Systems. - 2011. Vol. 67. No. 3. - P. 251-273.

130. Parulekar M., Makowski A. M. Tail probabilities for M/G/co input processes (I): Preliminary asymptotics // Queueing Systems. - 1997. Vol. 27. Issue 3-4.-P. 271 -296.

131. Paxson V., Floyd S. Wide-Area Traffic: The Failure of Poisson Modeling // IEEE/ACM Transactions on Networking. - 1995. - 3(3). - P. 226-244.

132. Ross K.W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks. — Springer, 1995. 343 p.

133. Sheu R.S., Ziedins I. Asymptotically optimal control of parallel tandem queues with loss // Queueing Systems. - 2010. Vol. 65. Issue 3. - P. 211- 227.

134. Sinyakova I. Investigation of output flows in the system with parallel service of multiple requests / S. Moiseeva, I. Sinyakova // Problems of Cybernetics and Informatics (PCI'2012) : IV International Conference. Baku, Azerbaijan. September 12-14, 2012.-Baku : Elm, 2012.-P. 180-181.

135. Sinyakova I. investigation of queuing system GI(2)|M2|oo / S. Moiseeva, I. Sinyakova // Queues: flows, systems, networks : proceedings of the International Conference «Modern Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Telecommunication Networks». Minsk, January 31 - February 3, 2011. - Минск : РИВШ, 2011.

136. Sinyakova I. Modeling of Insurance Company as Infinite-Servers Queueing System / S. Moiseeva, A. Moiseev, I. Sinyakova // International conference on application of information and communication technology and statistics in economy and education. Sofia, Bulgaria. 2012. - Sofia : UN WE, 2012. - P. 78 - 84.

137. Van Doom E. A., Zeifman A. Extinction probability in a birth-death process with killing // J. Appl. Probab., 2005. Vol. 42. P. 185-198.

138. Van Doom E.A., Jagers A.A. Note on the GI/GI/infinity system with identical service and interarrival-time distributions // Journal of queueing systems. -2004. - № 47. - P. 45-52.

139. Yang T., Li H. The M/G/l retrial queue with the server subject to starting failures // Queueing Syst. 1994. Vol. 16. Nos. 1-2. P. 83-96

140. Yang T., Templeton J.G.C. A survey of retrial queues // Queuing Systems, 1987. № 2. - P. 201-233.