Асимптотическое и численное исследование моделей RQ-систем и систем с неограниченным числом приборов с коррелированными входящими потоками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Семенова, Инна Анатольевна

• Семенова, Инна Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семенова, Инна Анатольевна

Введение.

Глава 1. Исследование марковских ЯС^-систем методом асимптоты- 29 ческих семиинвариантов.

1.1 Математическая модель марковских ЯС^-систем.

1.2 Уравнение Колмогорова для ЯС^-системы МАР|М| 1.

1.3 Метод характеристических функций для анализа ЯС>-системы МАР|М| 1.

1.4 Метод асимптотических семиинвариантов исследования марковских моделей ЯС)-систем.

1.5 Сравнение асимптотических и допредельных результатов марковской

Ж^-системы МАР|М| 1 и ее частных случаев.

Резюме.

Глава 2. Исследование СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками при экспоненциальном обслуживании.

2.1 Математическая модель СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов.

2.2 Уравнение Колмогорова для системы с неограниченным числом обслуживающих приборов и входящим МАР-потоком.

2.3 Метод асимптотических семиинвариантов для исследования системы с неограниченным числом обслуживающих приборов и входящим МАР-потоком.

2.4 Метод моментов для анализа системы с неограниченным числом обслуживающих приборов и входящим МАР-потоком в допредельной ситуации.

2.5 Уравнение Колмогорова для системы с неограниченным числом обслуживающих приборов и входящим полумарковским потоком.

2.6 Метод асимптотических семиинвариантов для исследования системы с неограниченным числом обслуживающих приборов и входящим БМпотоком.

2.7 Сравнение асимптотических и допредельных результатов СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов.

Резюме.

Глава 3. Методы просеянного потока и асимптотического анализа для исследования немарковских СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками.

3.1 Математическая модель немарковских СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов.

3.2 Метод просеянного потока.

3.3 Исследование системы MAP|GI|co методом просеянного потока.

3.4 Метод асимптотических семиинвариантов исследования системы MAP|GI|oo.

3.5 Исследование системы SM|GI|oo методом просеянного потока.

3.6 Метод асимптотических семиинвариантов исследования системы SM|GI|oo.

3.7 Сравнение асимптотических семиинвариантов входящего потока и системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов.

3.8 Область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации исследуемых систем.

Резюме.

Глава 4. Численные методы, компьютерное моделирование и комплекс проблемно-ориентированных программ численного исследования моделей RQ-систем и систем с неограниченным числом обслуживающих приборов.

4.1 Численные алгоритмы вычисления распределения вероятностей состояний RQ-системы МАР|М|1 и ее частных случаев.

4.2 Рекуррентный матричный алгоритм нахождения распределения вероятностей числа занятых приборов в системе МАР|М|оо.

4.3 Имитационное моделирование немарковских СМО с неограниченным числом приборов.

4.4 Область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации применением имитационного моделирования.

4.5 Комплекс проблемно-ориентированных программ расчета вероятностных характеристик RQ-систем и систем с неограниченным числом приборов.

Резюме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое и численное исследование моделей RQ-систем и систем с неограниченным числом приборов с коррелированными входящими потоками»

В настоящее время внимание к теории массового обслуживания в значительной степени стимулируется необходимостью применения ее результатов для важных практических задач, возникающих в связи с бурным развитием систем коммуникаций, возникновением информационно-вычислительных систем, появлением и усложнением разнообразных технологических систем, созданием автоматизированных систем управления, для задач экономико-математического моделирования.

Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый К.А. Эрланг (1878-1929). Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами.

Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик А.Я. Хинчин (1984-1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания [65]. В зарубежной литературе используется название теория очередей. Он исследовал од-ноканальную систему с простейшим входящим потоком и рекуррентным обслуживанием, установив, что стационарное распределение вероятностей числа заявок в системе совпадает с их стационарным распределением в моменты ухода заявок из системы.

Большой вклад в развитие теории массового обслуживания внесли А.Н. Колмогоров, Ю.К. Беляев, A.A. Боровков, Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [13-15], Дж. Кендалл, JI. Клейнрок, Г.П. Климов, С.Пальм, Ф. Поллачек, Т.Саати, А.Я. Хинчин [13, 66] и др.

Краткий исторический очерк развития теории массового обслуживания содержится, например, в работах [57, 106].

Важным разделом теории массового обслуживания является теория систем с повторными вызовами (Retrial Queue Systems или RQ-системы) [3, 19, 22, 62]. Это обусловлено их широкими практическими приложениями. Область приложений лежит в оценивании производительности и проектировании телефонных сетей, локальных вычислительных сетей с протоколами случайного множественного доступа, широковещательных радиосетей, мобильных сотовых радиосетей. Наличие повторных попыток получить обслуживание является неотъемлемой чертой этих систем, игнорирование данного эффекта может привести к значительным погрешностям при принятии инженерных решений.

Первые математические результаты, касающиеся систем с повторными вызовами, были опубликованы в 40-х гг. прошлого века [100]. Обзоры работ, посвященные данным системам, содержатся в статьях [72, 73, 84, 101, 108]. В монографиях известных специалистов в области теории систем с повторными вызовами Г.И. Фалина, Дж. Темплтона, например, в [97] подчеркнуто, что стандартные модели очередей не в силах описать ЯС)-системы, так как в них отсутствует эффект повторения, и поэтому они не могут быть применены к решению многих фактически важных проблем. В [97] проведено исследование ЯС)-системы М|М|1, где найдена гауссовская аппроксимация, в нашей терминологии асимптотика второго порядка, в настоящей диссертационной рабе предлагается исследование Ж^-систем методом асимптотических семиинвариантов произвольного порядка, которое существенно уточняет аппроксимацию. Также рост интереса к исследованию Ш^-систем отражен в международных журналах [49, 71, 74, 107]. По этой тематике в монографии [75] приведено более семисот ссылок на работы, опубликованные за последние двадцать лет. Исследования в области теории Ж^-систем можно найти в работах Г.И. Фалина [82, 83, 85-96].

Одной из трудных проблем, связанных с построением более адекватных моделей массового обслуживания для сетевых систем, является учет фактора повторных заявок. Особенно трудоемкой является задача исследования систем массового обслуживания с повторными заявками в случае, когда входящий поток заявок является коррелированным.

В данной работе будем рассматривать следующие модели входящих коррелированных потоков:

• МАР-поток (Markovian Arrival Process) и его частные случаи: пуассо-новский поток, ММРР-поток, SMAP-поток.

• SM-поток (Semi-Markovian).

Здесь МАР-поток является достаточно общей моделью ординарных потоков с дискретной компонентой, подробное описание которого можно найти в работах Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [14], А.Н. Дудина [17, 18], A.A. Назарова [35], С.В. Лопуховой [31]. Системам с входящим МАР-потокам посвящены работы [6, 7, 9, 10, 12, 23, 33, 98]. Непосредственно исследованию самого МАР-потока посвящена работа [69].

Наиболее общей моделью ординарных потоков с непрерывной компонентой является полумарковский поток - SM-поток. Идея введения такого потока была выдвинута Леви (1954) и Смитом (1955). Системы массового обслуживания (СМО) с таким входящим потоком интенсивно изучаются в настоящее время [12, 53,54, 67,81, 105].

Исследователи, занимающиеся потоками, также занимались изучением СМО с неограниченным числом приборов, на вход которых поступают коррелированные потоки, применяя главным образом методы численного анализа. Анализ числа занятых приборов в системах BMAP|GI|oo, COX|GI|oo, можно найти, например, в работах немецких ученых Д. Баума [77] и Л. Броера [78]. В работе О.М. Тихоненко [64] определяются характеристики суммарного объема требований в системе с неограниченным числом приборов M|G|oo.

A.A. Боровков в работе [4] выполнил исследование систем с бесконечным числом каналов обслуживания, где доказываются предельные теоремы для случайных процессов. Предложенный в настоящей диссертации метод асимптотических семиинвариантов реализуется в исследовании уравнений при выполнении некоторого асимптотического условия, вид которого конкретизируется для различных моделей исследования.

В работе [30] изучается бесконечнолинейная СМО с групповым числом заявок, одновременно поступающих в систему и доказывается теорема о максимальном числе заявок в группе. Так же исследованию систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов посвящены работы [И, 21, 55, 76, 79, 80, 104].

В настоящее время не существует универсального метода исследования немарковских систем с неограниченным числом приборов и непуассоновским входящим потоком, что не позволяет получить точные характеристики, аналитические выражения для вероятностей состояний исследуемых систем.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию ЯС>-систем и систем с неограниченным числом обслуживающих приборов с коррелированными входящими потоками. Исследование проводится при помощи модифицированного метода асимптотического анализа, методом асимптотических семиинвариантов [1, 20, 27, 31, 34, 36]. Также исследуются системы с неограниченным числом обслуживающих приборов методом просеянного потока.

Межпредметность рассматриваемых моделей. В настоящее время математические модели систем массового обслуживания широко применяются при исследовании систем телекоммуникации, транспортных системах, в экономических системах, таких как кредитно-депозитные организации и страховые компании.

На современном этапе развития теории массового обслуживания одним из востребованных направлений является исследование ЯС)-систем, которые возникли как аппарат моделирования систем телефонии [99] и зарекомендовали себя в исследовании моделей различных компьютерных сетей и логических системах.

В качестве математических моделей страховых компаний, кредитно-депозитных организаций, Пенсионного фонда и многих других экономических и социально-экономических систем предлагается рассматривать системы с неограниченным числом приборов. Например, количество возможных договоров между клиентами и кредитно-депозитной организацией практически неограниченно. Сроки, на которые заключаются договоры, имеют весьма широкий спектр продолжительностей, поэтому достаточно адекватно могут моделироваться некоторой случайной величиной с заданной функцией распределения их значений. Поток клиентов, обращающихся в кредитно-депозитную организацию, может быть как пуассоновским, так и коррелированным. Таким образом, математической моделью многих экономических систем может служить СМО с неограниченным числом приборов.

Также различные математические модели систем массового обслуживания широко применяются при исследовании процессов в системах управления и организаций промышленных предприятий, в сфере обслуживания (от предприятий общественного питания и бытового обслуживания до регулирования уровня воды в водохранилищах [51-52]); очистки воды [51]; в системах проектирования и анализа функционирования автоматизированных систем управления [51].

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка метода асимптотических семиинвариантов для анализа ЯС^-систем и систем с неограниченным числом приборов с коррелированными входящими потоками в условии большой задержки в И11В и растущего времени обслуживания, а также развитие метода просеянного потока для исследования немарковских СМО с неограниченным числом приборов, рекуррентным обслуживанием и коррелированными входящими потоками.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Модификация метода асимптотического анализа для исследования Яр-системы МАР|М| 1 и ее частных случаев, в условии большой задержки заявки в источнике повторных вызовов, в виде метода асимптотических семиинвариантов с использованием характеристических функций и матричной формы записи.

2. Развитие метода просеянного потока для исследования немарковских систем с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками.

3. Модификация метода асимптотического анализа для исследования систем с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками, в виде метода асимптотических семиинвариантов в условии растущего времени обслуживания заявки на приборе.

4. Разработка численных алгоритмов вычисления допредельного распределения вероятностей состояний ЯС>-систем и систем с неограниченным числом приборов.

5. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ расчета вероятностных характеристик ЯС)-систем и систем с неограниченным числом приборов.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Выполнена модификация метода асимптотического анализа для исследования марковских ЛС^-систем в виде метода асимптотических семиинвариантов в предельном условии большой задержки заявок в ИПВ. Предложенный метод определяет вид предельной характеристической функции в форме экспоненты с показателем в виде многочлена, коэффициентами которого являются асимптотические семиинварианты соответствующего порядка. Данный метод позволяет последовательно находить аппроксимации допредельного распределения вероятностей состояний системы более чем второго порядка, и отличается возможностью получения семиинвариантов произвольного порядка.

2. Выполнено развитие метода просеянного потока для исследования систем с неограниченным числом приборов, коррелированными входящими потоками широкого класса и рекуррентным обслуживанием. Данный метод позволяет проблему исследования немарковской СМО с неограниченным числом приборов свести к задаче анализа просеянного нестационарного потока, что позволило выполнить ее исследование асимптотическим методом и найти явные выражения для характеристической функции распределения вероятностей.

3. Выполнена модификация метода асимптотического анализа для исследования систем с неограниченным числом приборов в виде метода асимптотических семиинвариантов в предельном условии растущего времени обслуживания заявки на приборе. Предложенный метод определяет вид предельной характеристической функции в форме экспоненты, с показателем в виде многочлена, коэффициентами которого являются асимптотические семиинварианты

- 10соответствующего порядка. Данный метод позволяет последовательно находить аппроксимации допредельного распределения вероятностей состояний системы более второго порядка, и отличается возможностью получения семиинвариантов всё более высокого порядка.

4. Для марковской системы с неограниченным числом приборов и входящим МАР-потоком разработан алгоритм последовательного нахождения допредельных моментов произвольного (более чем второго) порядка.

5. С помощью полученных методов доказано, что асимптотические семиинварианты числа занятых приборов в системе с неограниченным числом приборов и коррелированными входящими потоками определяются лишь семиинвариантами этих потоков и определенными параметрами времени обслуживания, при этом количество семиинвариантов потока и параметров обслуживания совпадает с порядком асимптотики и аппроксимации.

6. Разработаны численные алгоритмы исследования ЯС)-систем и систем с неограниченным числом приборов, позволяющие находить различные вероятностно-временные характеристики рассматриваемых систем с коррелированными входящими потоками в допредельной ситуации, отличающиеся высокой точностью получаемых результатов.

Методы исследования. Основная часть проведенных исследований носит теоретических характер и основана на применении аппарата теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории матриц, теории дифференциальных уравнений, метода асимптотического анализа. Для исследования 11(2-систем использовались методы асимптотических семиинвариантов, методы аппроксимации, численного анализа. Для исследования систем с неограниченным числом приборов в работе применялись методы просеянного потока, методы асимптотических семиинвариантов, численные алгоритмы, имитационное моделирование, результаты которого обрабатывались методами математической статистики.

Результаты, полученные в работе, имеют как теоретическое, так и практическое значения.

Теоретическая ценность работы заключается в разработке методов исследования RQ-систем, применимых для широкого класса таких моделей, определяемых разнообразием класса входящих потоков, а также в разработке методов исследования систем с неограниченным числом обслуживающих приборов, которые позволили доказать то, что асимптотическое распределение вероятностей определяется лишь только асимптотическими семиинвариантами входящего потока и определенными параметрами времени обслуживания, что существенно упрощает исследование данных систем.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в работе, могут быть применены для анализа важных практических задач. Область приложений рассматриваемых RQ-систем лежит в оценивании производительности и проектировании компьютерных сетей, при создании космических (спутниковых) сетей связи, в которых спутник-ретранслятор исполняет роль центрального узла связи. Системы с неограниченным числом приборов являются математическими моделями страховых компаний, кредитно-депозитных организаций, Пенсионного фонда и многих других экономических и социально-экономических систем, где одной из важных характеристик является количество заключенных договоров. По результатам разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ получены два сертификата о регистрации электронных ресурсов, отвечающих требованиям новизны и приоритетности.

Связь работы с крупным научным проектом. Результаты, представленные в данной работе, были получены в рамках выполнения научного проекта АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)» Федерального агентства по образованию, проект № 11803: «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ, из них 4 статьи в журналах списка ВАК:

1. Семенова И.А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов / A.A. Назаров, И.А. Семенова // Вестник Томского госу

- 12дарственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - №3 (12). - С. 85 - 96.

2. Семенова И.А. Исследование системы MMP|GI|oo методом просеянного потока / A.A. Назаров, И.А. Семенова // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2011.-№4 (17).-С. 14-84.

3. Семенова И.А. Сравнение асимптотических и допредельных характеристик системы МАР|М|оо / A.A. Назаров, И.А. Семенова / Доклады ТУСУР. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. — №2 (42). Ч. 3. - С. 202 - 209.

4. Семенова И.А. Исследование систем массового обслуживания с повторными вызовами методом асимптотического анализа. / A.A. Назаров, И.А. Семенова // Автометрия. - 2011. - Т. 47. - №4. - С. 104 - 113.

5. Semenova I. Asymptotic analysis of retrial queueing systems / I. Semenova, A. Nazarov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, DOI 10.3103/S8756699011040121, 2011. Vol. 47. - Num. 4. - P. 406-413.

6. Семенова И.А. Численный метод исследования системы ММР|М|1 с источником повторных вызовов / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Филиал КемГУ в г. Анжеро-Судженске, 13-14 ноября 2009 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. - С. 68 - 70.

7. Семенова И.А. Сравнение асимптотических результатов анализа системы М|М|1|ИПВ / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: Материалы Международной конференции в Минске 22-25 февраля 2010 г. Минск: РИВШ,- 2010. - С. 272 - 277.

8. Семенова И.А. Исследование RQ-системы методом асимптотического анализа / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Филиал Кем

ГУ в г.Анжеро-Судженске, 14-15 апреля 2010 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010.-Ч. 1.-С. 65-69.

9. Semenova I. The research of RQ-system with input MMP process / I. Semenova, A. Nazarov // The third international conference «Problems of cybernetics and informatics» (PCI'2010), Baku, Azerbaijan. 6-8 September, 2010. - Baku: Elm, 2010.-Vol. 2.-P. 209-213.

10. Семенова И.А. Исследование системы массового обслуживания с входящим ММР-потоком и неограниченным числом обслуживающих приборов / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2010): Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Филиал КемГУ в г. Анжеро-Судженске, 19-20 ноября 2010 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. — Ч. 1.-С. 57-62.

11. Семенова И.А. Исследование системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов и входящим рекуррентным потоком / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети. Материалы международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». Минск, 31 января — 03 февраля 2011 г. — Минск: РИВШ, 2011.-С. 179- 185.

12. Семенова И.А. Исследование системы массового обслуживания с входящим МАР-потоком и неограниченным числом обслуживающих приборов / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Труды X Международной конференции по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий. Красноярск, 23 - 24 апреля 2011 г. - Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2011. - С. 278-281.

13. Семенова И.А. Исследование немарковской системы массового обслуживания с входящим ММР-потоком и неограниченным числом обслуживающих приборов / Материалы XV Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Филиал КемГУ в г. Анжеро

Судженске, 28 - 29 апреля 2011 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. — Ч. 1. - С. 28-31.

14. Семенова И.А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования системы SM|M|oo / И.А. Семенова, A.A. Назаров // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011): Материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Филиал КемГУ в г. Анжеро-Судженске, 25 - 26 ноября 2011 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011.-Ч. 1.-С. 164-170.

Авторские свидетельства о регистрации электронного ресурса

15. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №17615. Вычисление распределения вероятностей состояний RQ-системы МАР|М| 1 / И.А. Семенова, A.A. Назаров. Дата регистрации 22.11.2011.

16. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №17616. Рекуррентный матричный алгоритм нахождения распределения вероятностей числа занятых приборов в системе ММР|М|оо / И.А. Семенова, A.A. Назаров. Дата регистрации 22.11.2011.

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1. VIII Международная научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2009 г.

2. XIV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2010 г.

3. VIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, 2010.

4. IX Международная научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2010 г.

5. Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». Минск, 2011 г.

6. XV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2011 г.

7. Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики». Новосибирск, 2011 г.

8. X Международная научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2011 г.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе проводится исследование марковских RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов в предельном условии большой задержки заявки в источнике повторных вызовов (ИПВ).

В параграфе 1.1 строится математическая модель марковских RQ-систем с входящим МАР-потоком (МАР|М|1), описывается процесс функционирования исследуемых RQ-систем.

МАР-поток задается: матрицей инфинитезимальных характеристик Q, с элементами qvk, эргодической цепи Маркова k(t), диагональной матрицей А с элементами Хк > 0 по главной диагонали и матрицей D с нулевыми элементами на главной диагонали и элементами dk{k2 вне главной диагонали.

Случайный процесс {«(/),&(/),/(/)} изменения во времени состояний RQ-системы МАР|М|1 определяет: состояние прибора n{t), n{t)= 0, если прибор свободен, и «(/) = 1, если прибор занят; k{í) - цепь Маркова управляющая МАР-потоком; i(t) - число заявок в ИПВ.

В параграфе 1.2 для распределения вероятностей P\n{t) = п, k{t) = к, ¿(t) = /} = Р{п, к, /) состояний [п, к, /} рассматриваемой RQсистемы МАР|М|1 получена система уравнений Колмогорова в стационарном режиме

-{Хк + io)P(0,к,/) + ц/>(1,к,i) + XР(0, V,i)(l -dvk)qyk = 0, V

- - (Хк + ц)р(1, к, i)+Xk [р(0, к, i) + />(l, к, i -1)] + a(i +l)?(0, k, i +1) ■+ Z M1' v' 00 - ¿V*) + V, i) + P{1, V, i -1)] dvk } qvk = 0. V

Частным случаем МАР-потока является пуассоновский (простейший) поток. Для RQ-системы с простейшим входящим потоком (М|М|1) распределения вероятностей P(n,i) состояний {n,i} также получена система уравнений Колмогорова

X + ю)Р{ 0, /) + цР(1, /) = 0, \-(Х + /) + ХР(0, /) + ст(/ + 1)Р(0, i +1) ■+ ХР{1, i -1) = 0.

Так как МАР-поток является общим потоком для целого класса потоков однородных событий, то положив в данном потоке все вероятности dk^2 =0, получим ММРР-поток. Для стационарного распределения вероятностей P(n,k,i) RQ-системы ММРР|М|1 получена система уравнений Колмогорова

- (Хк + ig)p(0, к, i) + ]Г Р(0, V, i)qvk + цР(1, к, i) = 0 , V

-{Хк + ]х)р{\, к, i) + £ P(l, V, i)qvk + ХкР( 0, к, i)+ V ст(/ + 1)р(0, к, i +1) ■+ ХкР{\, к,i-l) = 0.

Далее была рассмотрена RQ-система с входящим синхронным МАР-потоком (SMAP|M|1), в котором моменты наступления событий совпадают с моментами изменения состояний управляющей этим потоком цепи Маркова k{t). Для распределения вероятностей P{n,k,i) была получена система уравнений Колмогорова

- ктР(0, к, i) + Р(0, к, i)qkk + |л/>(1, к, i) = 0, - к, i) + £ {Р{1, V, i -1) + Р(0, V, ¡)}qvk + <т(/ + 1)Р(0, к, i +1)+ V [р(1, к, /) - Р{ 1, к, i -1) - Р(0, к, i)]qkk = 0.

В параграфе 1.3 для марковского процесса (и(г), &(/), /(/)} определены характеристические функции

Н{п,к,и)=^шР(п,к,г),

1=0 для которых записана система векторно-матричных уравнении

А(/«) = Н(«)В(./И),

О/ ди где векторная характеристическая функция Н(и) имеет вид

Н(м) = {//(ОД, и), Я( 1,1, и), Я( 0,2, и), Я (1,2, и),., Я( 0, И, и), Я( 1, N. и)}, а матрицы А (ум) и В (ум) блочного вида являются матрицами коэффициентов системы уравнений Колмогорова относительно характеристических функций Н(п,к,и).

Выполнено допредельное исследование Ж^-системы с простейшим входящим потоком и найден явный вид характеристической функции к(и)

Х+а)/а

1-Р к(и) = Мем,) = [1 - -1)] —

11-1 у реу где р = Л/ц.

Дальнейшее исследование ЯС)-систем с входящим простейшим потоком, ММРР-потоком и БМАР-потоком показало, что уравнения для характеристических функций всех рассматриваемых Ж^-систем имеют одинаковый матричный вид си отличающийся лишь размерностями матриц А (ум) и В(у'м). Поэтому, предложенный унифицированный подход, позволил свести исследование рассматриваемых Яр-систем с простейшим и коррелированным входящими потоками к решению матричных уравнений одинаковой структуры. Этот результат дает возможность единообразно исследовать различные классы моделей.

В связи с тем, что уравнения для характеристических функций всех рассматриваемых RQ-систем имеют одинаковый матричный вид, поэтому предлагаемый далее метод асимптотических семиинвариантов в условии большой задержки при ст —» 0 применим для анализа всех RQ-систем, перечисленных в данной работе.

В параграфе 1.4 выполнено исследование марковских моделей RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов. Здесь были получены формулы, позволяющие находить асимптотики любого порядка hn+l (и) допредельной характеристической функции Mejui^\ которые существенно повышают точность аппроксимации допредельного распределения.

В параграфе 1.5 предложено численное обращение допредельной характеристической функции числа заявок в ИПВ, а также асимптотик hv(u), аппроксимирующих h(u) для числа заявок в ИПВ, которое определяет допредельное распределение P(i) и все его аппроксимации Pv (i). А также сформулирован численный алгоритм, реализованный в главе 4, для вычисления распределения вероятностей состояний RQ-системы МАР|М|1 и ее частных случаев. Найдены расстояния Колмогорова между допредельными распределениями и его второй и третьей аппроксимациями Л2 и А3 для различных значений параметра ст. Значения этих расстояний приведены в таблице 1.2.

Во второй главе выполнено исследование СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками при экспоненциальном обслуживании методом асимптотических семиинвариантов при условии растущего времени обслуживания заявки на приборе.

В параграфе 2.3 марковская система с неограниченным числом приборов и входящим МАР-потоком исследуется при помощи метода асимптотических семиинвариантов в предельном условии растущего времени обслуживания.

Для исследуемой системы случайный процесс {&(/), /(/)} является двумерной цепью Маркова с непрерывным временем, где /(/) — число приборов, занятых в системе в момент времени t, a k{t) — цепь Маркова управляющая МАРпотоком. Для этого процесса определены характеристические функции

00

H{k,u) = YejuiP{k,i), i=о для них составлена система векторно-матричных уравнений Колмогорова

H(0) = R, для векторной характеристической функции

Н(и) = {Н( 1, и), Н(2, иН(К, и)}, где R - стационарное распределение вероятностей значений цепи Маркова k{t), определяемое системой

RQ = 0, RE = 1,

Е - единичный вектор столбец, Q - матрица инфинитезимальных характеристик эргодической цепи Маркова k{t), Л - диагональная матрица с элементами Хк >0 по главной диагонали и набором вероятностей dk^2, причем dkk =0, матрица В с элементами Хк по главной диагонали и произведением dk^2 •qк^2 вне главной диагонали.

Результатом исследования данной системы является доказательство того, что вид предельной характеристической функции имеет вид экспоненты, с показателем в виде многочлена, коэффициентами которого являются асимптотические семиинварианты соответствующего порядка: (и) = ехр< ju — \, где к, = RBE;

I ^J h2 (и) - ехр

• Ki (Juf ju —- + ——— ц 2

К] +к2 М где к2 =f2BE, а вектор удовлетворяет условию ^Е = 0 и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Г2д + К(В-к,1) = 0;

3 (и) = ехр

У" С/«)2 К! +К2 , 0й)3 к, +3к2 +2к3

1 ■ 2 . М- "Г 6 5 где к3 = Г^ВЕ, а вектор Г3 удовлетворяет условию £3Е = 0 и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений ед + ^ (В - к,1)- к2И = 0; здесь величина к,/р. является асимптотическим семиинвариантом первого пок, +к2 рядка, величина рядка, а величина И асимптотическим семиинвариантом второго пок, +3к2 + 2к3

- асимптотическим семиинвариантом третьего порядка.

В параграфе 2.4 марковская система с неограниченным числом приборов и входящим МАР-потоком исследуется методом моментов в допредельной ситуации, записывается формула для нахождения скалярного центрального момента произвольного порядка Выполняется сравнительный анализ асимптотических и допредельных характеристик исследуемой системы.

В параграфе 2.6 марковская система с неограниченным числом приборов и входящим полумарковским потоком (8М-потоком), заданным процессом марковского восстановления {£,(«), т(и)} и полумарковской матрицей А(л:), исследуется при помощи метода асимптотических семиинвариантов в предельном условии растущего времени обслуживания.

Рассматривается трёхмерный случайный процесс {«(?), 2г(/), /(?)}, который является марковским с непрерывным временем, где г{{) - длина интервала от момента времени / до момента наступления очередного события в БМ-потоке, а дискретный процесс определяется следующим образом

0 = + если К < ^ *я+1» п где моменты восстановления определяются равенством = ^Г т(/), то есть 1 процесс на интервале tn<t< tn+l принимает и сохраняет значение +1). Реализации процесса непрерывны слева.

Для процесса определены характеристические функции

00 0 для них составлена система векторно-матричных уравнений Колмогорова решение и) которой удовлетворяет условию

Н(г,0) = 1ф), где Я^) - стационарное распределение вероятностей значений двумерного случайного процесса {$(/), 2^)}. Известно, что распределение К(г) имеет вид [31]

2 о где А(х) - полумарковская матрица, Р = А(оо) - стохастическая матрица вероятностей переходов вложенной цепи Маркова, г - стационарное распределение вероятностей значений вложенной цепи Маркова, а величина к, определяется равенством 1 к. =-,

1 гАЕ где матрица А определяется равенством

00

А = |(Р - А(х))ск. о

Результатом исследования данной системы является доказательство того, что вид предельной характеристической функции имеет вид экспоненты, с показателем в виде многочлена, коэффициентами которого являются асимптотические семиинварианты соответствующего порядка: к, (и) = ехр ум к2(и) = ехр

• К1 (у'")2 ум —у И

К, + К где к 2 = ^ Е а вектор функция удовлетворяет условию Г2(°°)Е = 0 и является решением уравнения (А(г) -1) + —^ А(г) - К1Щг) = 0; дг дг дг

И3(и) = ехр к, (ум)2 ум — +у '

М- 2 к, +к2 . О'«)3 к1 +3к2 + 2к3 ц 1 6 где к3 = Г3ВЕ, а вектор функция ^ удовлетворяет условию Гз (оо)Е = 0 и является решением уравнения (а(2)А(2) - К,Г2 (*) - к2ВД = О; оя & ох здесь величина к,/ц является асимптотическим семиинвариантом первого пок, +к2 рядка, величина рядка, а величина И асимптотическим семиинвариантом второго пок, +3к2 + 2к3 И асимптотическим семиинвариантом третьего порядка.

В параграфе 2.7 проводится численное сравнение асимптотических и допредельных результатов исследуемых СМО с неограниченным числом приборов и коррелированными входящими потоками.

В третьей главе выполнено исследование немарковских СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками методом просеянного потока и методом асимптотических семиинвариантов при условии растущего времени обслуживания заявки на приборе.

Для исследования таких систем возможны два подхода: метод дополнительных переменных и метод просеянного потока.

Для реализации метода дополнительных переменных случайный процесс \k(t),i{t),zx{t),.,z,(t)} с переменным числом компонент является марковским, где Zj(t) - остаточное время обслуживания / -ой заявки из i > /, находящихся в момент времени t в системе, и для его исследования, хотя и возможно применение теории марковских процессов, но практическое ее применение составляет значительные технические проблемы. Поэтому применен второй подход к исследованию СМО с неограниченным числом приборов и произвольным распределением времени обслуживания поступающих заявок - метод просеянного потока.

Метод просеянного потока позволяет проблему исследования немарковской системы обслуживания с неограниченным числом приборов свести к задаче анализа просеянного нестационарного потока.

Для реализации метода просеянного потока определяется вероятность S(t), которая имеет смысл вероятности того, что заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени t < tx, в момент времени будет находиться в системе, занимая для своего обслуживания один из приборов системы и формировать событие просеянного потока. Зависимость S от t определяется распределением вероятностей времени обслуживания. Не попавшие в просеянный поток заявки, завершат обслуживание и покинут систему до момента tx.

В некоторый конечный момент времени t\ число n(t) событий, наступивших в просеянном потоке равно числу занятых приборов в рассматриваемой системе массового обслуживания, то есть i(tx) = n(tx).

В параграфе 3.3 для просеянного потока системы MAP|GI|oo введена дополнительная переменная k(t) и рассмотрен двумерный процесс {k(t),n(t)}, который является нестационарной цепью Маркова. Для этого процесса определены характеристические функции

00 п=О для них составлена система векторно-матричных дифференциальных уравнений Колмогорова

Н(г/,/0) = Ы. для векторной характеристической функции

Результатом исследования данной системы является доказательство того, что вид предельной характеристической функции имеет вид экспоненты, с показателем в виде многочлена, коэффициентами которого являются асимптотические семиинварианты соответствующего порядка: к{(и) = ехр^'мк^,}, где к^ = КВЕ, к2{и) = ехр' икД+^|![к1р1+2к2р2] где к2 = иВЕ, а вектор {2 удовлетворяет условию Т2Е = 0 и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Г2О + Н(В-к,1) = 0; и) = ехр

2 3

Уик, р, +^-[к,р, + 2к2Р2 ] + [К1р, + 6к2р2 + 6кзрз ] где к3 = fзBE, а вектор fз удовлетворяет условию Г3Е = 0 и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Г3<2 + (В - к^Г) - к2Б1 = 0; здесь ру = |(1 - В(х)У сЬс - среднее значение минимума из V времен обслужи-о вания заявок, \ = 1,2,3, величина к^, является асимптотическим семиинвариантом первого порядка, величина [к,Р, + 2к2Р2] ~~ асимптотическим семиинвариантом второго порядка, а величина [к^р, + 6к2Р2 + 6к3Р3] - асимптотическим семиинвариантом третьего порядка.

В параграфе 3.5 для просеянного потока системы 8М|01|оо были введены дополнительные переменные , г(7) и рассмотрен трехмерный процесс и(0>г(0}, который является марковским процессом. Для этого марковского процесса определены характеристические функции

00 л=о для них составлена система векторно-матричных дифференциальных уравнений Колмогорова ш^м) = 5Н(г,и,0 + то,и,0 ^ ! + Ц. ^^Л

Э/ дг дг 7 ; для векторной характеристической функции

Щг, и, 0 = {#(1, г, и, /), Н{ 2, г, и, /),•••, Н(К, г, и, *)}. Результатом исследования данной системы является доказательство того, что вид предельной характеристической функции имеет вид экспоненты, с показателем в виде многочлена, коэффициентами которого являются асимптотические семиинварианты соответствующего порядка:

Их(и) = ехр(/мк1Р,}, где = , гАЕ

Ь2(и) = ехр< ик^.+^ЬЭ.+гкгРг] где к2 = Е, дг а вектор функция ^(г) удовлетворяет условию ^(со)Е = 0 и является решением уравнения к3(и) = ехр дг дг дг

2 3

2к2Р2] + ^-[к1(31 +6к2р2 +6к3р3] 2 о где к3 = —^^Е, а вектор функция f3 (г) удовлетворяет условию Г3(оо)Е = 0 и дг является решением уравнения

-^Г2 + -1 (М?) " I) + А(г) - к/2 (г) - к2К(г) = 0, дг дг дг здесь значения и смысл РУ и ку определены выше.

В параграфе 3.7 проводится сравнение асимптотических семиинвариантов входящего потока и системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на основании которого доказывается утверждение для системы МАР|01|оо и МАР-потока:

1. Для системы МАР|С1|оо асимптотическое (в условии растущего времени обслуживания) распределение вероятностей ее состояний определяется лишь только асимптотическими семиинвариантами входящего МАР-потока и параметрами ру времени обслуживания.

Аналогичным образом доказывается утверждение для системы 8М|С1|оо и полумарковского потока:

2. Для системы 8М|С1|оо асимптотическое (в условии растущего времени обслуживания) распределение вероятностей определяется лишь только асимптотическими семиинвариантами входящего 5М-потока и параметрами (Зу времени обслуживания.

На основании проведенных исследований третьей главы делается вывод о том, что для асимптотического исследования систем с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками достаточно знать асимптотические семиинварианты этих потоков и определенные параметры времени обслуживания.

В параграфе 3.8 проводится численное сравнение асимптотических и допредельных результатов исследуемых СМО с неограниченным числом приборов и коррелированными входящими потоками.

В четвертой главе были предложены численные алгоритмы анализа систем и систем с неограниченным числом приборов с коррелированными входящими потоками, а также показана область применимости асимптотических результатов к допредельной ситуации исследуемых моделей массового обслуживания, полученных в первых трех главах.

В параграфе 4.1 описывается численный алгоритм вычисления распределения вероятностей состояний 1К2-системы МАР|М|1 и ее частных случаев: М|М|1, ММРР|М|1, 8МАР|М| 1.

В параграфе 4.2 приводится численный метод по нахождению распределения вероятностей числа занятых приборов в системе МАР|М|оо.

В параграфе 4.3 проводится анализ имитационного моделирования систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов.

В параграфе 4.4 определяется область применимости асимптотических методов исследуемых систем с неограниченным числом приборов в допредельной ситуации.

В параграфе 4.5 приведено описание разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ расчета вероятностных характеристик 11(2-систем и систем с неограниченным числом приборов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Семенова, Инна Анатольевна

Заключение

В представленной диссертационной работе предложена модификация метода асимптотического анализа RQ-систем в условии большой задержки в ИПВ и систем с неограниченным числом приборов с коррелированными входящими потоками в условии растущего времени обслуживания в виде метода асимптотических семиинвариантов.

Развит метод просеянного потока для исследования немарковских СМО с неограниченным числом приборов, рекуррентным обслуживанием и коррелированными входящими потоками.

Разработаны численные алгоритмы вычисления допредельного распределения вероятностей состояний RQ-систем и систем с неограниченным числом приборов.

В первой главе выполнено исследование однолинейных RQ-систем с простейшим и коррелированными входящими потоками (MAP, ММРР и SMAP-потоками) методом асимптотических семиинвариантов в предельном условии большой задержки заявки в ИПВ.

Выполнено допредельное исследование RQ-системы с простейшим входящим потоком и найден явный вид характеристической функции h(u).

Матричная форма записи уравнений позволила свести исследование RQ-систем к решению уравнений одинаковой структуры для моделей с различными входящими потоками. Этот результат дает возможность единообразно исследовать различные классы моделей RQ-систем.

Получены формулы относительно асимптотик hv{u) v = 1,2,., AT и семиинвариантов произвольного порядка, характеризующие изменение состояния системы.

Сформулирован численный алгоритм, реализованный в главе 4, для вычисления распределения вероятностей состояний RQ-системы МАР|М|1 и ее частных случаев. Выполнено численное сравнение асимптотических и допредельных результатов RQ-систем. Предложено численное обращение допре

- 151 дельной характеристической функции h(u) числа заявок в ИПВ, а также асимптотик hv(u), аппроксимирующих h(u) для числа заявок в ИПВ, которое определяет допредельное распределение P(i) и все его аппроксимации Pv (г). Для определения точности аппроксимации найдены расстояния Колмогорова между допредельными распределениями и его второй и третьей аппроксимациями Д2 и Д3 для различных значений параметра а. При уменьшении параметра ст и увеличении порядка аппроксимации уменьшается отклонение результатов асимптотического исследования RQ-систем от результатов, полученных численным методом, что говорит о высокой точности метода асимптотических семиинвариантов.

Во второй главе выполнено исследование СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками (MAP и SM-потоками) при экспоненциальном обслуживании. Исследование проводилось методом асимптотических семиинвариантов в условии растущего времени обслуживания заявки на приборе.

Результатом исследования систем с неограниченным числом приборов являются формулы относительно асимптотик и семиинвариантов первого, второго и третьего порядков, характеризующие изменение состояний системы.

Для системы с неограниченным числом приборов и входящим МАР-потоком была найдена формула для нахождения центрального момента произвольного порядка. На основании этого был выполнен сравнительный анализ асимптотических и допредельных моментов данной системы, по результатом которого был сделан вывод о том, что с приближением ju. —> 0 допредельные последовательности сходятся к асимптотическим результатам.

Выполнено численное сравнение асимптотических и допредельных результатов систем с неограниченным числом приборов. Сформулирован численный алгоритм, реализованный в главе 4, для вычисления распределения вероятностей состояний системы с неограниченным числом приборов. Для определения точности аппроксимации найдены расстояния Колмогорова между допреw ¥ дельными распределениями и его второй и третьей аппроксимациями Д2 и А3 для различных значений параметра времени обслуживания р. При уменьшении параметра р и увеличении порядка аппроксимации уменьшается отклонение результатов асимптотического исследования от результатов, полученных численным методом, что говорит о высокой точности метода асимптотических семиинвариантов.

В третьей главе выполнено исследование немарковских СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и коррелированными входящими потоками (MAP и SM-потоками) методом просеянного потока и методом асимптотических семиинвариантов при условии растущего времени обслуживания заявки на приборе.

Метод просеянного потока исследуемых систем, позволил проблему исследования немарковской системы обслуживания с неограниченным числом приборов свести к задаче анализа нестационарного просеянного потока.

Результатом исследования систем с неограниченным числом приборов являются формулы относительно асимптотик и семиинвариантов первого, второго и третьего порядков, характеризующие изменение состояний системы.

По результатам исследований третьей главы был сделан вывод о том, что для систем с неограниченным числом приборов асимптотическое распределение вероятностей определяется лишь только асимптотическими семиинвариантами входящего потока и определенными параметрами времени обслуживания, при этом количество семиинвариантов потока и параметров обслуживания совпадают с порядком асимптотики и аппроксимации.

Выполнено численное сравнение асимптотических и допредельных результатов немарковских систем с неограниченным числом приборов на примере детерминированного времени обслуживания. Показана область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации.

В четвертой главе разработан комплекс программ расчета вероятностных характеристик RQ-систем и систем с неограниченным числом приборов. Предложены и описаны численные алгоритмы анализа ЛС^-систем и систем с неограниченным числом приборов с коррелированными входящими потоками.

Использован комплекс имитационного моделирования немарковских систем с неограниченным числом приборов. Показана точность функционирования имитационной модели, с помощью расстояния Колмогорова, доверительных интервалов и метода моментов. А также показана область применимости асимптотических результатов в допредельной ситуации применением имитационного моделирования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Семенова, Инна Анатольевна, 2012 год

1. Анисимов В.В Асимптотические методы анализа стохастических систем. Тбилиси: Мицниереба, 1984. - 178 с.

2. Баранцев Р.Г. Перспективные идеи в асимптотической методологии. Автообзор // Вестник молодых ученых. Серия Прикладная математика и механика. 2000. - С. 27-35.

3. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989.

4. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.-384 с.

5. Бочаров П.П. Система МАР/Г/l/r в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 11. -С. 89-98.

6. Бочаров П.П., Вискова Е.В. Однолинейная система массового обслуживания конечной емкости с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 2. - С. 73-91.

7. Бочаров П.П., Шлумпер JI.O. Система массового обслуживания MAP/G/1 /г с фоновыми заявками // Информационные процессы. 2005. - Т. 5, №5.-С. 367-369.

8. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / гл. ред. Прохоров Ю.В. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. С. 239, 244.

9. Вискова Е.В. Анализ систем массового обслуживания с марковским потоком и Марковским обслуживанием в дискретном времени: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2005. - 122 с.

10. Ю.Вискова Е.В. Двухфазная система массового обслуживания с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени // Информационные процессы. 2005. - Т. 5, № 3. - С. 247-257.

11. Гарайшина И.Р., Моисеева С.П., Назаров A.A. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания. -Томск: изд. НТЛ, 2010. 204 с.

12. Гнеденко Б. В., Хинчин А .Я. Элементарное введение в теорию массового обслуживания. 6-е изд. М.: Наука, 1964. - 146 с.

13. Гнеденко Б.В. Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 4-е изд. М.: изд-во ЛКИ, 2007. - 400 с.

14. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник. 6-е изд. М.: Наука, 1988.-448 с.

15. Двуреченский А.О., Ососков Г.А. О предельных свойствах обобщенной системы массового обслуживания с бесконечным числом каналов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. - №4. - С. 60-64.

16. Дудин А.Н. Ненадежная многолинейная система с управляемым широковещательным обслуживанием // Автоматика и телемеханика. 2009. N 12. -С. 147-160.

17. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками Мн.: БГУ, 2000. - 175 с.

18. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и приложение к сетям ЭВМ. Радио и связь, 1989.

19. Ивницкий В.А. Асимптотическое исследование стационарного распределения вероятностей состояний одного класса однолинейных систем обслуживания (без памяти) // Проблемы Передачи информации. 1969. Т.5. -№3. -С. 88-95.

20. Касконе А., Мандзо Р., Печинкин А., Салерно С. Система MAP/G/1/co в дискретном времени с инверсионной вероятностной дисциплиной обслуживания // Автоматика и телемеханика, 2010. — № 12. С. 57-69.

21. Клейнрок JI. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.

22. Клименок В.И. Многолинейная система массового обслуживания с групповым марковским входным потоком и повторными вызовами // Автоматика и телемеханика. 2001. - №8. - С. 97-108.

23. Кобелев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем. М: «Дело», 2003. - С. 333.

24. Коблев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем. М.: Дело. 2003.

25. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: изд. «Мир», 1969. - 310 с.

26. Колоусов Д.В. Исследование математических моделей потоков в сетях случайного доступа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 2004. - 141 с.

27. Комшаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. -М.: ИНФРА, 1997. 302 с.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 832 с.

29. Лебедев A.B. Асимптотика максимумов в бесконечнолинейной системе с ограниченным размером групп // Фундаментальная и прикладная математика. 1996.- Т. 2, № 4. - С. 1107-1115.

30. Лопухова C.B. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.18; Томский гос. ун-т. Томск. 2008. - 167 с.

31. Мушко B.B. Система МАР/М/С с адресной стратегией повторных вызовов и идентичными приборами // Computer Modeling and New Technologies. -2005. V. 9. - № 2. - P. 33-40.

32. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. -Томск: изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

33. Назаров A.A., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: Изд-во HTJI, 2006. - 112 с.

34. Назаров A.A., Семенова И.А. Исследование RQ-систем методом асимптотических семиинвариантов // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. - №3 (12). -С. 85-96.

35. Назаров A.A., Семенова И.А. Исследование систем массового обслуживания с повторными вызовами методом асимптотического анализа // Автометрия.-2011.-Т. 47.-№4.-С. 104-113.

36. Назаров A.A., Семенова И.А. Исследование системы MMP|GI|co методом просеянного потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. - №4 (17). - С. 74 -84.

37. Назаров A.A., Семенова И.А. Сравнение асимптотических и допредельных характеристик системы МАР|М|оо // Доклады ТУСУР. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. -№2 (42). Ч. 3. - С. 202 - 209.

38. Назаров A.A., Судыко Е.А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети случайного доступа //Проблемы Передачи информации. 2010. -№1. С. 94-111.

39. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. Томск: Изд-во HTJI. 2004. - 228 с.

40. Павский В.А. Лекции по теории вероятностей и элементам математической статистики: учеб. пособие для студентов технолог, специальностей /В.А. Павский. Кемерово: КемТИПП, 2005. - 184 с.

41. Павский В.А. Моделирование процесса очистки природных и сточных вод: монография / В.А. Павский, Ю.Л. Сколубович, Т.А. Краснова. Новосибирск: НГАСУ, 2005. - 144 с.

42. Печинкин A.B. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM/MSP/n/r // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 9. С. 85100.

43. Печинкин A.B. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM/MSP/n/r // Автоматика и телемеханика. 2004. - N 9.

44. Печинкин A.B., Зарядов И.С. Стационарные временные характеристики системы GI/M/n/oo с некоторыми вариантами дисциплины обобщённого обновления // Автоматика и телемеханика. 2009. - № 12. - С. 161-174.

45. Рыжиков Д.И. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Л.: ВИККИ им А.Ф, Можайского. 1991. - 111 с.

46. Саати T.J1. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. 2-е изд. М.: Советское радио, 1971. - 519 с.

47. Семенова И.А., Назаров A.A. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №17615. Вычисление распределения вероятностей состояний RQ-системы МАР|М|1. Дата регистрации 22.11.2011 г.

48. Семенова И.А., Назаров A.A. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №17616. Рекуррентный матричный алгоритм нахождения распределения вероятностей числа занятых приборов в системе ММР|М|оо. Дата регистрации 22.11.2011 г.

49. Синяков М.В., Моисеев А.Н. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №16326. Объектно-ориентированная имитационная модель системы массового обслуживания с одним или несколькими блоками обслуживания. Дата регистрации 22.10.2010 г.

50. Справочник по прикладной статистике: в 2-х т. / под ред. Ллойда Э., Ледермана У., Тюрина Ю.Н. М.: Финансы и статистика, 1989. - Т.1. - 510 с.

51. Степанов С.Н. Численные методы расчета моделей с повторными вызовами. М.: Наука, 1983.

52. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. Томск: изд. Томск. Унта, 1974.-136 с.

53. Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации. -Мн.: Университетское, 1990. 191 с.

54. Хинчин, А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания /А.Я. Хинчин; под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Наука, 1963. - 528 с.

55. Хинчин, А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания /А.Я. Хинчин; под ред. Б.В. Гнеденко. М.: Наука, 1963. - 528 с.- 161

56. Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с конечным накопителем и блокировкой полумарковского потока заявок // Информационные процессы. 2008. - Т. 8. - № 1. С. 1-9.

57. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Искусство и наука. -М.: Мир, 1978

58. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учебник для физических и физико-математических факультетов университетов. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 424 с.

59. Artalejo J.R. (Ed.), Algorithmic Methods in Retrial Queues, Annals of Operations Research 141, 2006. 1-301.

60. Artalejo J.R. A classified Bibliography of Research on Retrial Queues: Progress in 1990-1999. Complutense Univ. of Madrid, Spain. September 22-24 1999. - Top 7 - № 2. - P. 187-211.

61. Artalejo J.R. Accessible bibliography on retrial queues, Mathematical and Computer Modelling. 1999. Vol. 30. - P. 223-233.

62. Artalejo J.R. and Gromez-Corral A. (Eds.) Advances in Retrial Queues, European Journal of Operational Research, in press. 2008.

63. Artalejo J.R., Gomez-Coral A. Retrial queueing systems: A computational approach. Springer. Berlin. — 2008. 318 p.

64. Baltzer J.C. On the fluid limit of the M/G/oo queue queueing systems // Theory and applications. August 2007. - Vol. 56, Issue 3-4. - P. 255-265.

65. Baum D. The infinite server queue with Markov additive arrivals in space // Proceedings of the international conference "Probabilistic analysis of rare events" -Riga, Latvia, 1999.-P. 136-142.

66. Breuer L., Baum D. The Inhomogeneous BMAP/G/infinity queue // Proceedings 11th GI/ITG Conference on measuring, modelling and evaluation of com- 162puter and communication systems (MMB 2001) Aachen, Germany, 2001. - P. 209223.

67. Decreusefond L., Moyal P. A functional central limit theorem for the M/GI/oo queue Электронный ресурс. Режим доступа: http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euc lid.aoap/1227708915 (дата обращения: 05.05.2011).

68. Falin G.I. A diffusion approximation for retrial queueing systems. // Theory of Probability and Its Applications. 1991. - Vol. 36. - № 1. - P. 149 - 152.

69. Falin G.I. A Survey of Retrial Queues // Queuing Systems. 1990. -Vol. 7.-P. 127-167.

70. Falin G.I. A survey of retrial queues, Queuing Systems 1990. Vol.7. -P. 127-167.

71. Falin G.I. Asymptotic investigation of fully available switching systems with high repetition intensity of blocked calls. // Moscow University Mathematics Bulletin. 1984. - Vol. 39. - № 6. - P. 72 - 77.

72. Falin G.I. Continuous approximation for a single server system with an arbitrary service time under repeated calls. // Engineering Cybernetics. 1984. - Vol. 22. - № 2. - P. 66-71.

73. Falin G.I. Limit theorems for queueing systems with repeated calls. // A paper presented at the 4th Int. Vilnius Conf. on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius. 1985.

74. Falin G.I. M|G|1 system with repeated calls in heavy traffic. //Moscow University Mathematics Bulletin. 1980. -Vol. 35. -№ 6. - P. 48 - 51.-163

75. Falin G.I. Multichannel Queuing System with Repeated Calls Under High Intensity of Repetition // Journal of Inform. Processing and Cybernetics. 1987. -№23.-P. 37-47.

76. Falin G.I. On ergodicity of multilinear queueing systems with repeated calls. // Soviet Journal of Computer and systems sciences. 1987. - Vol. 18. - № 4. -P. 60-65.

77. Falin G.I. On Sufficient Conditions for Ergodicity of Multichannel Queuing Systems with Repeated Calls // Advanced in Applied Probability. 1984. -Vol. 16.-P. 447-448.

78. Falin G.I. Single-line Repeated Order Queuing Systems // Optimization. -1986. Vol. 17. - P. 649 - 667.

79. Falin G.I., Artalejo J.R. A Finite Source Retrial Queue // European Journal of Operation Research. 1998. - № 108. - P. 409 - 424.

80. Falin G.I., Artalejo J.R., Martin M. One the Single Server Retrial Queue with Priority Customers // Queuing Systems. 1993. - № 14. - P. 439 - 455.

81. Falin G.I., Sukharev Yu.I. On single-line queue with double connections. // All-Union Institute for Scientific and Technical Information, Moscow. 1985.

82. Falin G.I., Tempeton J.G.C. Retrial Queues. London: Chapman and Hall, 1997.-328 p.

83. Falin G.I., Templeton J.G.C. Retrial Queues. London: Chapman & Hall. 1997.- 328 p.

84. Gomez-Corral A. A tandem queue with blocking and Markovian Arrival Process // Queueing Systems. 2002. - №41. - P. 343-370.

85. Jonin G.L., Sedol J.J. Telephone systems with repeated calls // A paper presented at 6th International Teletraffic Congress, Munich. -1970.

86. Kosten L. On the influence of repeated calls in the theory of probabilities of blocking, De Ingenier. 1947. №1. - P. 1 - 25.

87. Kulkarni V.G., Liang H.M. Retrial queues revisited. Frontiers in Queuing. In: Models and Applications in Science and Engineering /J.H. Dshalalow (eds.). CRC Press, Inc., Boca Raton, 1997. P. 19-34.- 164

88. Nazarov A., Semenova I. Asymptotic analysis of retrial queueing systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, DOI 10.3103/S8756699011040121, 2011. Vol. 47. -Num. 4. P. 406-413.

89. Nazarov A., Semenova I. The research of RQ-system with input MMP process // The third international conference «Problems of cybernetics and informatics» (РСГ2010), Baku, Azerbaijan. 6-8 September, 2010. Baku: Elm, 2010. -Vol. 2.-P. 209-213.

90. Reed J. Distribution-valued heavy-traffic limits for the G/GI/oo queue Электронный ресурс. Режим доступа: http://pages.stern.nyu.edu/~jreed/Papers/DistributionFinal.pdf, свободный (дата обращения: 10.05.2011).

91. Sengupta В. The semi-markovian queue: theory and applications / Stochastic Models. 1990. - V. 6. - № 3. - P. 383 - 413.

92. Syski R. A personal view of queueing theory // Frontiers in Queueing Vodels and Applications in Science and Engineering/ Boca Raton: CRC. 1997. -P. 13-18.

93. Templeton J.G.C. (Ed.) Retrial Queues // Queueing Systems 7, 1990. -№2.-P. 125-227.

94. Yang Т., Templeton J.G.C. A survey of retrial queues // Queuing Systems, 1987. №2.-P. 201-233.