Математические модели гетерогенных бесконечнолинейных СМО с параметрами, зависящими от состояния случайной среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Полин Евгений Павлович

• Полин Евгений Павлович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Полин Евгений Павлович

Введение

1 Исследование бесконечнолинейных СМО с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов

1.1 Математическая модель СМО с интенсивностью входящего потока вида ад = а + Ы

1.1.1 Математическое ожидание и дисперсия числа заявок в СМО

1.1.2 Характеристики системы в стационарном режиме

1.1.3 Обобщение результатов на случай системы с повторным обслуживанием

1.2 Система массового обслуживания с условными интенсивностями входящего потока вида Хк (г) = ак+Ък1

1.2.1 Математическая модель

1.2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова

1.2.3 Метод характеристических функций

1.3 Аппроксимация распределения вероятностей числа заявок в системе отрицательным биномиальным распределением

1.3.1 Вырожденный случай. Погрешность имитационной модели

1.3.2 Влияние матриц Б и Q

1.3.3 Влияние матриц А и В

1.4 Выводы по главе

2 Исследование гетерогенных систем с параметрами экспоненциального обслуживания, зависящими от состояния внешней среды

2.1 Гетерогенная система массового обслуживания с интенсивностью обслуживания, зависящей от состояния управляющей потоком цепи Маркова

2.1.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова

2.1.2 Моменты первого порядка

2.1.3 Моменты второго порядка

2.1.4 Вероятностные характеристики в частном случае (для двух состояний управляющей цепи Маркова)

2.1.5 Влияние параметров системы на коэффициент корреляции

2.1.6 Модификация метода асимптотического анализа для исследования гетерогенной системы вида М|М|да в марковской случайной среде

2.1.7 Асимптотический анализ первого порядка системы М|М|да в марковской случайной среде

2.1.8 Асимптотический анализ второго порядка системы М|М|да в марковской случайной среде

2.1.9 Сравнение точных моментов с асимптотическими в системе М|М|да в случайной среде

2.2 Анализ вероятностных характеристик в гетерогенной СМО вида МЯ^)|М^)|к> с параметрами обслуживания, зависящими от состояния вложенной цепи Маркова

2.2.1 Поток марковского восстановления

2.2.2 Математическая модель потока марковского восстановления

2.2.3 Нахождение распределения г(г)

2.2.4 Математическая модель гетерогенной системы массового обслуживания

МЯ

( 2)

М2

да в полумарковской случайной среде

2.2.5 Система дифференциальных уравнений Колмогорова

2.2.6 Асимптотический анализ первого порядка системы массового

да в полумарковской случайной среде

2.2.7 Асимптотический анализ второго порядка системы массового

да в полумарковской случайной среде

обслуживания МЯ(2)

М2

обслуживания МЯ(2)

М2

2.2.8 Численный пример

2.3 Выводы по главе

3 Исследование систем с произвольным временем обслуживания, параметры которого зависят от состояния внешней среды

3.1 Гетерогенная система массового обслуживания М|0|к>, функционирующая в марковской случайной среде

3.1.1 Метод динамического просеивания

3.1.2 Асимптотика первого порядка

3.1.3 Асимптотика второго порядка

3.1.4 Численный анализ точности асимптотических результатов

3.2 Двухфазная система массового обслуживания с неоднородным обслуживанием на первой фазе

3.2.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова

3.2.2 Асимптотический анализ первого порядка

3.2.3 Асимптотический анализ второго порядка

3.2.4 Асимптотическое совместное распределение числа заявок на фазах тандема

3.2.5 Точность гауссовской аппроксимации

3.2.6 Обобщение результатов

3.2.7 Оптимальное количество серверов

3.3 Выводы по главе

4 Комплекс программ для численного анализа и имитационного моделирования систем массового обслуживания в случайной среде

4.1 Модификация архитектуры программного комплекса имитационного моделирования ODIS для возможности имитационного моделирования СМО, параметры которых зависят от состояния внешней среды

4.2 Алгоритм построения аппроксимации распределения вероятностей числа занятых приборов в системе с условными интенсивностями входящего потока вида Хк (г) = ак + Ък1 с помощью отрицательного биномиального распределения

4.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

122

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели гетерогенных бесконечнолинейных СМО с параметрами, зависящими от состояния случайной среды»

Актуальность темы исследования.

Теория массового обслуживания (ТМО) - это раздел прикладной математики, который изучает и анализирует процессы различных систем обслуживания, производства, управления и связи, в которых однородные события повторяются неоднократно. Примерами таких систем являются потребительские сервисные компании, системы приема, обработки и передачи информации и данных, автоматизированные производственные линии, системы связи и другие.

Можно указать множество постановок задач реального содержания, которые в своей математической части сводятся к вопросам теории массового обслуживания. Математические модели систем массового обслуживания (СМО) находят широкое применение в исследовании процессов экономических, технических, физических и других систем. Теория СМО исследует ситуации, когда существуют какой-то ограниченный ресурс и многочисленные запросы на удовлетворение потребности в этом ресурсе. В качестве примера можно привести кассовые аппараты в торговых точках, платежные терминалы в транспорте, банкоматы и серверы. Основной задачей ТМО является сведение к минимуму расхода ресурсов, временных затрат на обслуживание поступивших требований (заявок), отказов в обслуживании, возникающих при функционировании СМО. Исследуя характеристики системы, можно оказывать влияние на ее состояние, изменяя значения параметров так, чтобы система функционировала наилучшим образом в соответствии с каким-либо критерием. Таким образом, задачи теории массового обслуживания, в сущности, носят оптимизационный характер.

В последние несколько десятилетий возникали все больше новых задач, связанных с появлением систем гибкого автоматического производства, в которых возможно отключение, переподключение и переналадка оборудования, систем управления запасами и экономических систем, развитием сетей связи. Эти задачи способствовали началу исследований систем с изменяющимися параметрами функционирования.

Такие системы в теории массового обслуживания называются системами массового обслуживания, функционирующими в случайной среде. Эти СМО более адекватно по сравнению с классическими системами отображают реальные процессы, связанные с изменяющейся во времени внешней случайной средой и реакцией самой системы на эти изменения.

Стохастические модели, чьи параметры со временем изменяются случайным образом в зависимости от состояния некоторого внешнего случайного процесса, нашли большое применение в приложениях. Такие модели естественным образом возникают в задачах исследования операций, теории надежности, теории массового обслуживания.

В настоящее время исследование систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде особенно актуально. Прежде всего, такие системы наиболее адекватно описывают реальные ситуации и процессы. С появлением новых систем управления и связи повышается актуальность СМО с изменяемым режимом функционирования. С развитием технологий возрастает интерес к влиянию внешней среды на надежность различных систем.

Степень разработанности темы исследования.

Теория массового обслуживания зародилась в начале 20-го века в рамках научной дисциплины теории телетрафика, занимающейся анализом производительности ручных (в последней четверти 19 -го в.), а затем автоматических телефонных станций. Основоположником теории массового обслуживания является датский ученый А.К. Эрланг (1878-1929 гг.). В 1909 году он опубликовал работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами. Эрланг исследовал телефонные системы, в которых абоненты создавали случайный поток вызовов. На обслуживание каждого вызова требовалось случайное время, в течение которого телефонная линия была занята. Ставилась задача расчета объема телефонного коммутатора, при котором вероятность занятости коммутатора уменьшается. Основные исследования Эрланга в этой

области относятся к 1908-1922 гг. и тесно связаны с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций [101].

Полученные Эрлангом формулы до сих пор используются при расчетах пропускной способности современных телекоммуникационных сетей. В его честь была названа единица измерения трафика в телекоммуникационных системах -Эрланг.

Труды А.К. Эрланга послужили толчком для других работ. В 1924 г. G. Jule определил понятие процесса чистого размножения (при решении задач из теории эволюции), а в 30-х годах W. Feller ввел понятие процесса размножения и гибели.

Аналогичные оптимизационные задачи возникали при расчете нагрузок на энергетические сети, проектировании предприятий массового обслуживания и в других прикладных вопросах [93, 37, 14].

Развитие ТМО продолжилось в 40-50-х годах в работах К. Пальма (Швеция), Ф. Поллачека (Франция), А.Н. Колмогорова и А.Я. Хинчина (СССР). Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959 гг.) внес значительный вклад в создание общей теории массового обслуживания, он ввел сам термин «теория массового обслуживания» [93]. Кроме того, А.Я. Хинчин совместно с А.Н. Колмогоровым является создателем теории случайных процессов.

Выдающиеся исследования в области ТМО также провели советские математики И.Н. Коваленко и Б.В. Гнеденко [14], Е.С. Вентцель, и другие.

Американским специалистом Т. Саати было написано фундаментальное руководство по теории массового обслуживания [90], которое содержало все основные разделы, идеи и методы ТМО, а также множество решаемых практических задач. В данной монографии были описаны результаты для систем с ожиданием и систем с отказами. В этой работе достаточно полно показаны приложения ТМО к телефонии, движению транспортных потоков, управлению запасами и многим другим областям практической деятельности. Кроме того, приведена обширная библиография.

В 50-70-е годы ежегодно публиковались большое количество статей, были написаны многочисленные монографии по теории массового обслуживания. В

свою очередь, ТМО оказала стимулирующее воздействие на развитие других разделов теории вероятностей, в большей степени на теорию случайных процессов. Являясь формально ее частью, теория массового обслуживания выделилась в самостоятельную область исследований со своим кругом задач и методов их решения.

До 70-х гг. исследовались только системы с пуассоновским входящим потоком заявок. С появлением ЭВМ исследования реальных систем показали, что классические модели потоков событий не соответствуют реальным данным. Возникшая проблема привела к возникновению моделей коррелированных потоков [28], а также дважды стохастических потоков Кокса [38].

Впервые понятие МАР-потока (Markovian arrival process) и ВМАР-потока (Batch Markovian arrival process) ввел в 1979 г. M.F. Neuts [115]. Современные используемые обозначения ВМАР-потока предложил D.M. Lucantoni [105].

Исследования реальных систем передачи данных, сетей сотовой связи и др. привели к разработке новых моделей, которые не входят в классические системы массового обслуживания. Таким образом, стали выделять новые классы систем.

Широко известны своими исследованиями в области ТМО такие ученые как

A.М. Андронов, В.В. Анисимов [94], Г.П. Башарин [2-7, 68], П.П. Бочаров [1, 912], А.В. Печинкин [44, 69-71], В.М. Вишневский [13], А.Н. Дудин [23-28] и

B.И. Клименок [28, 26, 99], В.А. Ивницкий [29-31], Ю.В. Малинковский, Г.А. Медведев, В.В. Рыков [87-89], А.П. Кирпичников [36, 35], Е.В. Морозов [51, 52] и др.

Также широко известна томская школа ТМО такими учеными, как А.Ф. Терпугов [21, 54], А.М. Горцев [15-22], А.А. Назаров [53-67]. Эта школа занимается исследованием сложных систем методом асимптотического анализа при различных предельных условиях, а также исследованием систем с неограниченным числом приборов методами предельной декомпозиции и просеянного потока. Применение асимптотических методов является эффективным при исследовании различных систем массового обслуживания. Точные формулы удается получить, как правило, лишь в исключительных

ситуациях. Используя различные асимптотические методы можно получить приближенное (асимптотическое) решение задачи. Этого решения достаточно для практики, не смотря на отсутствие явного вида распределения характеристик.

Такие методы исследования для различных моделей СМО (с очередью, бесконечнолинейные системы) применялись математиками Бурман и Смит [ 96], В.В. Анисимов, А.А. Боровков [8] и др. Однако мировую известность в области асимптотических методов имеют работы томской научной школы теории массового обслуживания, осуществляемые под руководством профессора Томского государственного университета доктора технических наук А.А. Назарова.

Активно исследуемые в середине прошлого столетия классические модели систем массового обслуживания не учитывали изменения параметров систем во времени, в связи с чем область их применения существенно ограничивалась. Со временем появлялись качественно новые системы управления и связи, возникала необходимость в более адекватном описании случайных процессов, имеющих место в этих системах.

Одной из первых работ, посвященных исследованию систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде, была работа, опубликованная в 1963 г. авторами M. Eisen и M. Taineter [100], которые исследовали однолинейную систему в предположении, что среда может находиться только в двух состояниях. Эта система была исследована также в работах P. Naor и U. Yechiali [110], а затем обобщена на случай произвольного конечного числа состояний внешней среды.

Neuts M.F. впервые использовал матрично-аналитический подход для исследования поведения многолинейных систем массового обслуживания в случайной среде [112], его работа была опубликована в 1971 году.

В 1970-х годах большой интерес ученых вызывали управляемые системы массового обслуживания. Вместе с системами, функционирующими в случайной среде, они представляют класс систем массового обслуживания с изменяемыми параметрами функционирования. Объединяет эти системы то, что режим их

работы не является постоянным и изменяется с течением времени. В управляемых СМО это изменение осуществляется субъектом управления. В случае СМО в случайной среде изменение режима происходит стихийно под воздействием случайного процесса. Системами с изменяемым режимом функционирования занимались А.Н. Дудин [27], В.А. Каштанов [34], И.А. Коротаев [40, 39], Ю.И. Рыжиков, Г.И. Фалин [102], Т. Крейбелла, П. Наора, М. Сотело, А. Фукуда и др. Исследование таких систем при оценке ситуации и организации управления в современных и перспективных информационно-вычислительных сетях и сетях связи представляется особенно актуальным.

В 1981 г. Neuts M.F. предложил фундаментальный подход к проблеме анализа СМО в случайной марковской среде [113]. Он свел задачу расчета характеристик такой системы к решению матричного уравнения. Такой подход позволил исследовать характеристики систем массового обслуживания, параметры которых зависят от состояния некоторого случайного процесса, представляющего собой цепь Маркова с конечным множеством состояний. Анализом различных СМО, функционирующих в случайной марковской среде занимались и другие ученые, такие как Kogan Y.A., Litvin V.G., Tripathi S.K., Duda A. и др.

В работах [110, 118] исследована система массового обслуживания с ожиданием M/M/1 в марковской среде, особенностью которой является то, что ее параметры меняют свои значения в зависимости от режима функционирования (состояния) системы. Всего возможны два режима, переход от одного режима к другому управляется однородным марковским процессом. Впервые такая система была рассмотрена в статье [100]. Аналогичная система, в которой параметры изменяются в зависимости от значений управляющей цепи Маркова, была исследована в статье [114].

Еще одним классом систем, представляющих интерес для исследователей, являются СМО с переменной интенсивностью входящего потока. В работе [91] А.Г. Таташев рассмотрел одноканальную СМО с бесконечным накопителем и

пуассоновским входящим потоком, интенсивность которого зависит от суммарной остаточной длины заявок, находящихся в системе.

Множество работ посвящено СМО с входящими МС-потоками [6, 22, 26]. В таких потоках интенсивность представляет собой марковскую цепь или полумарковский процесс с дискретным пространством состояний.

В дальнейшем расширялся класс систем массового обслуживания, функционирующих в условиях изменяющейся внешней среды. Развитие исследований таких систем происходило в разных направлениях, а именно менялись входящие потоки, дисциплина обслуживания, свойства случайной внешней среды.

В конце 20-го века ученые занимались исследованием более сложных систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде различной структуры. Все больший интерес вызывали системы с ненадежными обслуживающими приборами, системы в случайной полумарковской среде, многофазные системы. Также в 1990-х годах широкое распространение получили исследования сетей массового обслуживания.

Имеется много работ, посвященных исследованию бесконечнолинейных систем как в марковских [95, 106, 116], так и полумарковских [98, 103] случайных средах. В разных работах рассмотрены различные варианты реакции заявок на переход среды в новое состояние. Например, в работе [104] представлен случай, при котором в момент смены состояния среды все заявки немедленно покидают систему. В работе [60] рассмотрен вариант, при котором в момент перехода среды в новое состояние заявки, имеющиеся в системе, переходят на соответствующий новый режим обслуживания. В диссертации же рассматриваются случаи, предполагающие, что режим обслуживания заявок не меняется до тех пор, пока они не покинут систему.

Цель и задачи исследования.

Целью работы является построение и исследование математических моделей гетерогенных бесконечнолинейных СМО, функционирующих в случайной среде.

Задачи:

1. Построить математические модели бесконечнолинейных СМО с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов.

2. Построить математические модели гетерогенных бесконечнолинейных СМО с параметрами обслуживания, зависящими от состояния случайной среды.

3. Разработать модификации метода многомерного динамического просеивания для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов в рассматриваемых гетерогенных системах с неэкспоненциальным временем обслуживания.

4. Разработать модификации метода асимптотического анализа для гетерогенных бесконечнолинейных СМО в случайной среде в условиях эквивалентного роста времени обслуживания на приборах и высокой интенсивности входящего потока.

5. Найти основные вероятностные характеристики числа занятых приборов каждого типа в рассматриваемых системах, функционирующих в случайной среде.

6. Провести численный анализ полученных результатов с помощью модифицированного комплекса проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для имитационного моделирования систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде.

Научная новизна исследования.

1. Предложены новые математические модели бесконечнолинейных СМО с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов.

2. Предложены новые математические модели гетерогенных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, функционирующих в случайной среде, позволяющие учитывать зависимость времени обслуживания требований от состояния среды в момент поступления и не меняющие свои параметры до конца обслуживания, что адекватно описывает реальные процессы передачи данных.

3. Впервые предложены модификации метода многомерного динамического просеивания для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов в рассматриваемых гетерогенных системах с неэкспоненциальным временем обслуживания.

4. Впервые предложены модификации метода асимптотического анализа в условиях эквивалентного роста времени обслуживания на приборах и высокой интенсивности входящего потока для получения вида предельной характеристической функции числа занятых приборов каждого типа в исследуемых системах, функционирующих в случайной среде.

5. Получены математическое ожидание и дисперсия числа занятых приборов в бесконечнолинейных системах с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов.

6. Получены выражения для асимптотических характеристических функций числа занятых приборов в гетерогенных бесконечнолинейных системах, функционирующих в случайной среде.

7. С использованием модифицированного комплекса проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для имитационного моделирования систем, функционирующих в случайной среде, установлена область применимости полученных асимптотических результатов.

Методы исследования.

Для исследования рассмотренных моделей СМО, функционирующих в случайной среде, использован аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений.

Исследование рассматриваемых систем массового обслуживания выполнялось с помощью предложенных в работе методов и оригинальных методов асимптотического анализа и многомерного динамического просеивания потока. Метод производящей функции и метод начальных моментов применялись для получения аналитических выражений для вероятностных характеристик числа занятых приборов каждого типа в рассматриваемых системах. Для решения

составленных уравнений для характеристических функций применялся метод асимптотического анализа в предельном условии эквивалентно растущего времени обслуживания, а также в условии высокой интенсивности входящего потока.

Модификация метода многомерного динамического просеивания потока была реализована для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов в системах с неэкспоненциальным обслуживанием. Модификация заключается в построении динамических вероятностей того, что требование, поступившее в момент времени I, будет находиться в системе в фиксированный момент времени Т, то есть не закончит обслуживание к этому моменту.

Методом асимптотического анализа было получено, что в предельном условии стационарные распределения вероятностей числа занятых приборов являются многомерными гауссовскими. Для определения области применимости полученных асимптотических результатов применялось имитационное моделирование, которое было произведено с помощью модифицированного комплекса проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для моделирования представленных в диссертации систем, функционирующих в случайной среде.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Предложенные модификации методов асимптотического анализа и многомерного динамического просеивания потока позволяют исследовать системы массового обслуживания, учитывающие зависимость параметров обслуживания поступающих требований от состояния внешней среды. Данные методы вносят вклад в теорию массового обслуживания, так как позволяют решать задачи анализа систем в случайной среде для случаев непуассоновских входящих потоков и неэкспоненциального времени обслуживания.

В условии высокой загрузки системы можно применять гауссовскую аппроксимацию для оценки распределения вероятностей числа занятых приборов.

Практическая ценность работы заключается в возможности нахождения оптимального числа каналов каждого типа для обслуживания требований с заданными параметрами входящего потока, обеспечивающего заданный уровень вероятностей отказа по причине отсутствия свободных каналов. Оценка этих значений основана на свойствах распределения Гаусса и применении «правила трех сигм».

Положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели бесконечнолинейных СМО с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов.

2. Математические модели гетерогенных бесконечнолинейных СМО с параметрами обслуживания, зависящими от состояния случайной среды.

3. Модификации метода многомерного динамического просеивания для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов каждого типа в рассматриваемых гетерогенных системах с неэкспоненциальным временем обслуживания.

4. Модификации метода асимптотического анализа в условиях эквивалентно растущего времени обслуживания на приборах и высокой интенсивности входящего потока.

5. Теоремы о виде производящей функции распределения вероятностей числа занятых приборов в системе с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов, в стационарном и нестационарном режиме.

6. Теоремы о виде асимптотических характеристических функций числа занятых приборов в гетерогенных бесконечнолинейных системах, функционирующих в случайной среде.

7. Модификация архитектуры программного комплекса имитационного моделирования ODIS для возможности имитационного моделирования СМО, параметры которых зависят от состояния внешней среды.

Достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что результаты, полученные разными методами, согласуются между собой, а также с

результатами проведенных численных экспериментов. Кроме того, в диссертационной работе представлены корректные с точки зрения математики формулировки и доказательства теорем.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в работе.

Постановки задач, представленных в работе, были сделаны научным руководителем, доктором физико-математических наук, профессором С. П. Моисеевой. Автор лично участвовал в получении всех результатов, изложенных в диссертационной работе, а именно в применении методов исследования систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде, выводе всех формул, доказательстве всех представленных в диссертации теорем, нахождении области применимости полученных результатов.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 19 работ, из них 5 статей в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 1 статья в зарубежном научном журнале, входящем в Scopus, 3 статьи в российских научных журналах, входящих в Scopus), 1 статья в прочем научном журнале, 13 статей в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций, школы-семинара.

Апробация работы.

Основные результаты работы и отдельные ее положения докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях Международного и Всероссийского уровня:

1. Двенадцатая Международная азиатская школа-семинар «Проблемы оптимизации сложных систем», г. Новосибирск, 2016 г.

2. XV Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование», 2016 г.

3. VI Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г. Томск, 2018 г.

4. XVIII Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Саратов, 2019 г.

5. Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь, информационные технологии и математическое моделирование, Москва, 2020 г. 23rd International Conference on Distributed Computer and Communication Networks (DCCN 2020).

6. Информационные технологии и математическое моделирование. XIX Международная конференция им. А.Ф. Терпугова, Томск, 2020.

7. Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь, информационные технологии и математическое моделирование, Москва, 2021. 24rd International Conference on Distributed Computer and Communication Networks (DCCN 2021).

8. Семинар научного центра прикладного вероятностного анализа Института прикладной математики и телекоммуникаций РУДН, 28 апреля, 2021 г., Москва.

9. Информационные технологии и математическое моделирование. XX Международная конференция им. А.Ф. Терпугова, Томск, 2021.

10. Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2022). XXI Международная конференция им. А.Ф. Терпугова, г. Карши, Узбекистан, 2022.

11. Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2023). XXIII Международная конференция им. А.Ф. Терпугова, Томск, 2023.

12. Stochastic Modeling and Applied Research of Technology Youth Camp: SMARTY Youth Camp 2023, August 21-25, 2023, Karelian Research Center of RAS, Petrozavodsk.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 135 страниц; иллюстративный материал представлен 14 рисунками и 16 таблицами; список литературы содержит 120 наименований.

В Главе 1 исследуются бесконечнолинейные системы массового обслуживания с интенсивностью входящего потока, зависящей от числа занятых приборов. Для исследования предлагаются метод производящей функции и метод характеристических функций.

В Главе 2 исследуются гетерогенные бесконечнолинейные системы массового обслуживания с параметрами экспоненциального обслуживания, зависящими от состояния внешней среды. Для исследования предлагаются метод моментов и метод асимптотического анализа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Полин Евгений Павлович, 2024 год

. - - -

dt dz dz

р22 Л2( г)р12 Л2( 2)+

ог ог

+Р(2, г, ¡1 +1, ''2, ? )('1 ++ Р(2, 2, ¿2 + 1, ?)(?2 + 1)^2 . Для стационарного распределения вероятностей запишем эту систему в

виде:

аи2,аио,¡„¡,) _ ( + ¡2Ц2)ра,2,г„¡2) + (2.31)

дг д2

+ ЭР(1'0:'' - '' ¡2) р» А1( 2) + дР(2'0^-^ р21 А1( 2) +

дг дг

+Р(1,2, '1 + 1, ¡2 )( '1 + 1)^1 + Р(1,2, '1, ¡2 + 1)( ¡2 + 1)^2 = 0,

дP(2'2''1' Й^С2,0,/"+ '2,2)P(2'Z''1''2) +

. - - -

д2 д2

дР(2,0, ', '2 -1) дР(1,0, ', '2 -1)

а -Р22Л2(2) + ' 2-"Р12Л2(2) +

д2 д2

+Р(2,2, '1 + 1, ¡2)('1 + 1)^1 + Р(2,2, '1, ¡2 + 1)('2 + 1)^2 = 0 .

Введем частичные характеристические функции

да да

Н (к, 2, и, и2) = ХХ^е7"2'2 Р(к, 2,', '2),

71 =0 =0

где 7 = >/-!.

Тогда учитывая, что

дН (к'2' Ы" и2) = 7 ХХ Р(к, 2,', '2),

д" 1 =0 12 =0

где '' = 1,2, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных для частичных характеристических функций

дН(1,и2) дН(1,0,и1,и2) ^ _ ^ ая(1,и1,м2) + ^

дг дг дщ

+т (1 _ )дН (1'г'и" и2) + дН ОА и1, и2) '1 ( 7) +

ди2 дг

+ дН(2,0,и„и2) еуи,Р21 (7) = 0,

дг

дН(2,г,и!,и2) дН(2,0,и1,е_'щ) дН(2,2,и\,и2)

дг

дг

+7И2(1-е_уи^ дН(2, ^ и2) , дН(1,0, ul, и2)

д и-

■ + ■

дг

ди1

е^2 Л( г ) +

+

+ 5Н (2'0'и1'и2) ' 4( г) = 0

дг

с начальными условиями Н (к, г,0,0) = г (к, г).

В векторно-матричной форме система (2.32) имеет вид

дИ (г, и, щ ) дИ (0, щ, и )

дг

дг

■( РА( г)В(и) _ I) +

+м (1 _ + УМя (1 _ ^^^^ = 0

0 " "1 0"

, I =

0 е]и1 0 1

(2.33)

д

с начальными условиями Ь (г ,0,0 ) = г (г),

где Ь (г, щ , щ ) = [Н (1, г, щ, щ), Н (2, г, щ, щ)], В(и)

Полученная система (2.33) является основной для дальнейших исследований. Поскольку найти решение системы в явном виде не удается, будем искать решение методом асимптотического анализа в условии эквивалентно растущего времени обслуживания на приборах.

2.2.6 Асимптотический анализ первого порядка системы массового

(2)

обслуживания МЯ( ' М2 в полумарковской случайной среде

Обозначим , = q8, q = const (8 - бесконечно малая величина).

Решение системы (2.33) будем находить в асимптотическом условии эквивалентно растущего времени обслуживания на приборах, то есть при ^,ц2 ^ 0. В (2.33) выполним замены

h(z, Щ, Щ) = f (z, w, Щ, 8), Щ = 8"Щ , Щ =8W, получим матричное уравнение для f (z, щ, w2, e):

af(z,w', w2,8) + af(0,щ2,8) (PA(z)B(w,8) -1)_ (2.34)

dz dz

_ j (jw _') fziWLWi£) _ Jq (j _') fzWlW88l = 0 ^ ' dwx ^ ' dw2

Теорема 2.3 Предельное при 8^ 0 решение f(z, щ, w2) уравнения (2.34) имеет вид

f (z, W', w2) = r (z) exp

A

гщг +

r2 W2

(2.35)

где г(z) = [г1(z), г2(z)] - вектор распределения вероятностей значений вложенной

цепи Маркова, г = [г1? г2 ] - вектор стационарного распределения вероятностей

значений вложенной цепи Маркова.

Доказательство. В уравнении (2.34) выполним предельный переход при 8 —> 0, получим, что f (м2) является решением уравнения

а г(^2) + аf (0, ^ м2) (РА( 2) _ 1 ч = 0 & ( ( ) 4 ,

которое определяет вектор-функцию г(2), формула (2.24). Поэтому f(2,м,М,8) будем искать в виде разложения

f(г, е) = г (г)Ф (щ, ) + о(е).

(2.36)

В уравнении (2.34) выполним предельный переход при г ^ да, умножим это уравнение на единичный вектор-столбец е, разложим экспоненты в ряд Маклорена до первого порядка. В полученное выражение подставим разложение (2.36), поделим на е и осуществим предельный переход при е ^ 0, получим уравнение для функции Ф( щ1, w2):

^Кщ) + ^ дф(щщ) = j т pWeФ( щ, ^),

дщ дщ дг

дг(0)

где —— = Аг, гР=г, ге=1, А =

дг

W =

|(1 - гА( х)е

щ 0 0 щ,

Решение имеет вид

Ф(щ1,щ2) = ехр< jк

г \

гщ1 +

г2 Щ2

V

я )

Подставляя полученное выражение в (2.36), получим (2.35). Теорема доказана.

В силу замены и равенства (2.35) запишем приближенное (асимптотическое) равенство

Ь( г, и, и2)« f (г, щ, щ) = г( г)ехр

А

г1щ1 +

Г2 щ

= г( г)ехр

А

Г1и1 ! Г2и2 ^2

Определим характеристическую функцию процесса {¿1(0, стационарном режиме

¿2(0} в

Н(их, и2) = ехр

А

Г1и1 ! Г2и2

^2

которую будем называть асимптотикой первого порядка характеристических функций числа занятых приборов в системе.

1

0

<

<

2.2.7 Асимптотический анализ второго порядка системы массового

(2)

обслуживания МЯ( ' М2 в полумарковской случайной среде

В уравнении (2.33) выполним замену

И (2, и1, и2) = Ь 2( 2, и1, и2)ехр

/X

г1и1 . г2и2

+ ■

М1 М2

получим уравнение для Ь2( 2, и1, и2):

а ь 2(2 ul, и2) + 0^2(01^11^2) (РА (2 ) в (и )_ х ) + 02 ( ( 4 ( 4 )

(2.37)

+(1 _ ) а Ь 2( 2, и1, и2) + (1 _ е"* )аЬ 2( 2 и1, и2)

а и1

а и0

-Ц (1 _ е")Ь2 (2, и, и) _ Ч (1 _ е" /и2 )Ь2 (2, и, и2) = 0

Обозначив м = 82, ц2 = ,82, в (2.37) выполним замены

Ь2 (2, и, и ) = f1 (2, м, м, 8), и =8М , и =8М

2'

получим уравнение для ^ (2, м, М, 8):

^ (2'^ 8) + аГ2 (0 ^ ^ 8) (рА(2)В(W, 8)_ X) +

(2.38)

+/8(1 _ е_/-1) + /8,(1 _ е--) »>(2 ^ ^8)

а

а

-Х; (1 _ е"^1) ^^ (2, М1, М2,8)_АГ2 (1 _ е-^) (2, м^, м^,8) = 0.

Теорема 2.4 Предельное при е ^ 0 решение уравнения (2.38) ^ (2, м, М) имеет вид

2, wl, м2) = Г ( 2 )еХР

7

•2

Г

X

2 м2 г1м1 + Г2 2

, У V

2

+ к

V

/

2 2. мм 2

Г2^! + 4^ —^ + Г2 —

мм

, +1

м.

2

, (2.39)

где к = Х2|(гА(х) -г(х))е^х.

о

Доказательство. Будем искать решение уравнения (2.38) в виде

Щ е) = Ф(Щ Щ2 ){Г(г) + МГ1Щ1 + Г2Щ2 )+ 0(е2) ,

(2.40)

где §( г) удовлетворяет условию g (да)е = 0. Подставим (2.40) в (2.38) и разложим экспоненты в ряд до первого порядка. Учитывая, что

дг (+^Г(0) (рА( *) -1 ) = 0,

дг

дг

получим уравнение для нахождения функции §( г):

т ^(*) , „т дg(0)

дг

Хет г( *) + ет (РА( *) -1) + ХА( *) = 0

дг

(2.41)

Из (2.41) получаем, что д^(0) = кг, где к = X21( гА( х) - г( х) )е^х. Подставим

дг 0

(2.40) в (2.38) и разложим экспоненты в ряд до второго порядка. Домножим на единичный вектор е и осуществим предельный переход при г ^ да, получим уравнение для нахождения функции Ф( щ, щ ) :

wl

+ ^ = Ф( щ )(-х( Щ + гЩ )-к( + г2щ2 )2). (2.42)

Решение уравнения (2.42) имеет вид

Ф( Щ, Щ ) = ехР

X

2Л 2 Щ Г1Щ1 + Г

Я у

/

+ к

2 2 щщ

Г щ +

Я +1

+ г

2щ

2 2

(2.43)

Подставим (2.43) в (2.40) и осуществим предельный переход при е ^ 0, получим (2.39). Теорема доказана.

В силу замены и равенства (2.39) для функции Ь2(г,и1,и2) запишем приближенное (асимптотическое) равенство

Ь2(^ul,и2) ~ 12(^ wl,щ2) =

да

да

= г(2)ехр

/

X

2 2 Л

ил и")

Г1~ + Г2

М1 М2

+ к

22 2 и . иМп 2 и 2+ 4пп 12 1 - 2

М1

12

+ г;

М1 + М2 М2

У

Для двумерного процесса (?), ц ^)} запишем асимптотическую характеристическую функцию, имеющую вид двумерной гауссовской характеристической функции

(и, и) = (2.44)

ехр

/X

Г1и1 | Г2и2 М1 М 2

2

+ ■

X

и

г — + г

и

2

М1

М2

+ к

2

^ + 4^2-^^ + Г2 —

V М1 М1 +М2 М2 У

2

2 и2

которую будем называть асимптотикой второго порядка характеристических

функций числа занятых приборов первого и второго типа системы МЯ

(2)

М-

да

2.2.8 Численный пример

Рассмотрим численный пример, на котором можно проиллюстрировать точность аппроксимации формулы (2.44). Рассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступает поток марковского восстановления, заданный матрицами

Р =

0.3 0.7 0.6 0.4

, А (х ) = diag {А (х), А (х)}.

Здесь функции А (х) и А (х) имеют гамма-распределение с параметрами формы и масштаба, принимающими следующие значения:

а = 0.5, ^ = 0.25, а2 = 1.5, Р2 = 1.5,

тогда интенсивность входящего потока, определяемая формулой (2.28), будет равна X = 1.3.

Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметрами м = 1 '8, М2 = 2 '8 для первого и второго типа заявок

соответственно. Здесь параметр е будет меняться для определения точности аппроксимации (2.44) согласно асимптотическому условию е ^ 0. Для установления точности аппроксимации воспользуемся ее сравнением с результатами имитационного моделирования соответствующей системы. Так как получена асимптотическая характеристическая функция нормального распределения непрерывной случайной величины, то для получения дискретного распределения воспользуемся следующими формулами:

Расимп ( , ^2 )

Г(ц + 0.5,*2 + 0.5)- Г(ц - 0.5,*2 - 0.5)

1 - Г (-0.5, -0.5)

где Г (х, х2) - функция распределения двумерной гауссовской случайной величины.

Для оценки погрешности (разности результатов) используем расстояние Колмогорова

А = тах |Г (ц, и) - Г (ц, и)|,

. . гТ имит\1' 2/ асимп\1' 2/|'

ц ,ц е|0,да

[0,

где ,Ч) - функция гауссовского распределения вероятностей (2.44), а

Гщи т(к, Ч) - распределение, построенное на основе результатов имитационного моделирования. Результаты сравнения представлены в таблице 2.7. Таблица 2.7 - Расстояние Колмогорова между асимптотическим распределением и распределением, полученным в результате имитационного моделирования для различных значений параметра е

8 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0.0005 0.0001

А 0.1137 0.0501 0.0371 0.0323 0.0253 0.0226 0.0197

Заметим, что расстояние Колмогорова уменьшается с уменьшением параметра е, поэтому аппроксимация (2.44) становится более точной при малых значениях этого параметра.

На основе численных экспериментов можно сделать вывод о том, что при X

загрузке системы р = — » 20 можно применять гауссовскую аппроксимацию для

М

оценки распределения вероятностей числа занятых приборов.

2.3 Выводы по главе 2

В данной главе рассмотрены математические модели бесконечнолинейных систем массового обслуживания с экспоненциальным временем обслуживания, параметры которого зависят от состояния внешней среды.

В разделе 2.1 рассмотрена гетерогенная система массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием, параметры которого зависят от состояния управляющей потоком цепи Маркова. В подразделе 2.1.1 составлена система дифференциальных уравнений Колмогорова. В подразделе 2.1.4 получены выражения для нахождения моментов первого и второго порядка числа занятых приборов в системе в случае, когда внешняя среда принимает два различных состояния. В подразделе 2.1.5 в этом случае представлены результаты численных экспериментов исследования влияния параметров системы на коэффициент корреляции. В подразделах 2.1.6-2.1.8 рассматриваемая система исследована методом асимптотического анализа в предельном условии эквивалентно растущего времени обслуживания. В подразделе 2.1.9 приведены результаты сравнения значений точных моментов с асимптотическими.

В разделе 2.2 рассмотрена гетерогенная СМО вида МЯ^)|М^)|да с параметрами обслуживания, зависящими от состояния вложенной цепи Маркова. Подразделы 2.2.1-2.2.3 содержат общую информацию о потоках марковского восстановления. В подразделах 2.2.4-2.2.7 рассмотрена система массового

М2 да в полумарковской случайной среде. Данная система

обслуживания МЯ(2)

исследована методом асимптотического анализа в предельном условии

эквивалентно растущего времени обслуживания. В подразделе 2.2.8 приведен численный анализ точности полученных асимптотических результатов.

Результаты данной главы опубликованы в работах [72, 74, 75, 81, 117].

3 Исследование систем с произвольным временем обслуживания, параметры которого зависят от состояния внешней среды

3.1 Гетерогенная система массового обслуживания М|С|го, функционирующая в марковской случайной среде

В данном разделе предлагается обобщение результатов раздела 2.1 на случай неэкспоненциального времени обслуживания заявок.

Рассматривается гетерогенная система массового обслуживания с неограниченным числом приборов, функционирующая в случайной среде, имеющей конечное множество состояний к = 1,...,К. Процесс изменения состояний внешней среды является цепью Маркова к(?), которая задается матрицей инфинитезимальных характеристик Q = ^ , у = 1,...,К. Дисциплина

обслуживания определяется следующим образом: если вложенная цепь Маркова находится в состоянии к^) = п, то заявка поступает с интенсивностью Хп, п = 1,...,К и обслуживается на приборе п-го типа в течение случайного времени, имеющего произвольную функцию распределения вероятностей Бп (х) = Рг |ти < х} и не меняющегося при изменении состояния среды (рисунок

3.1). Таким образом, в системе одновременно обслуживаются заявки с разными параметрами обслуживания.

Рисунок 3.1 - Гетерогенная система массового обслуживания в марковской

случайной среде

Обозначим Цп(?) - число занятых приборов п-го типа в рассматриваемой СМО. Ставится задача исследования многомерного случайного процесса К?) = [^(ОЖО,...,^?)] - числа занятых приборов разного типа в системе в момент времени ?.

Так как {¿1(?),г2(0,...,гк(0} - немарковский случайный процесс, то для исследования системы будем применять модифицированный метод динамического просеивания.

3.1.1 Метод динамического просеивания

Для решения поставленной задачи предлагается модификация метода динамического просеивания потока. Данный метод может быть использован для исследования немарковских СМО с неограниченным числом приборов, временем обслуживания, имеющим произвольную функцию распределения и марковизируемым входящим потоком. Марковизируемыми являются следующие потоки: простейший, рекуррентный, МАР, ВМАР, а также полумарковские потоки. Впервые основная идея метода опубликована в 2006 году в монографии [62].

Метод просеянного потока позволяет заменить исследование сложных процессов изменения во времени числа занятых приборов в системе исследованием более простых процессов изменения числа событий, наступивших в нестационарных просеянных потоках до некоторого момента времени.

Введем следующие обозначения: п(Т),п2(Т),...,п^(Т) - число заявок, поступивших в систему до момента времени ? и не закончивших обслуживание к некоторому фиксированному моменту времени Т, ? < Т;

(?) = Рг {хц > Т - ?} = 1 - Б1 (Т - ?) - вероятность того, что заявка Ц-го типа,

пришедшая в момент времени ?, к некоторому выделенному моменту времени Т еще не закончила своего обслуживания (Ц = 1,2,...,К). Пусть в начальный момент времени ?0 < Т система пуста, то есть п (?о) = П (?о) = .. = (?0) = 0. Тогда в момент времени Т:

Рг {¿1(Г) = nl, ¡2(Т) = n2,..., 1К (Т) = пк} =

= Рг {П1(Т) = ^ П2(Т) = n2,..., пк (Т) = пк } .

Таким образом, задача сводится к исследованию многомерного марковского случайного процесса {к(г),щ(г),п2(г),...,п^(г)} (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Просеивание заявок входящего потока По формуле полной вероятности запишем

Р ( к, п,,...пк, г + А ) = Р ( к, и^,...пк, г )(1 А? )(1 + Якк А ) + +Р (к, п1,...пк, г )Хк А (1 - ^ (г )) + Р (к, п,...п -1,...пк, г &Бк (г) + +Е qvkp (V п1,...пк, г ) + о(Аг).

\Фк

Для распределения вероятностей

Р (к, п, п2,..., п^, г) = Рг (к (г) = к, п (г) = п, п2 (г) = п2,..., п^ (г) = п^) запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

аР (к, п1,...пк, г) = (-Хк + ^кк) Р (к, п,...пк, г ) + Х (1 - ^ (г)) Р (к, п,...пк, г) + А (г)Р (к, п1,...пк- 1,.ппк, г ) + Е qvkp (v, п1,...пк, г)

vФk

с начальными условиями

Гг (к), еслищ = п2 =... = пг = 0, k = 1,..., ^ Р (к, п1,...пк, г0 ) = <(

[0, еслищ > 0, п2 > 0,...пК > 0

(3.1)

г (к) - стационарные вероятности значений цепи Маркова к (?). Преобразуем систему:

др(к,п,...пК,?) =хЛ(?)(р(к,^...Пк - 1,...пк,?)-Р(к,п^,...пг,?)) +

+Х (V, п1,...пк, ?).

V

Введем частичные характеристические функции вида

да да

Н(к,щ,?) = £...X ^^..^Р(к,п,1,?), к = 1,...,К, ] = 7-1.

»1 = 0 пк = 0

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для частичных характеристических функций

дН (к' ^^' ?}= ХА (?) Н (к, ц,...ик, ?)(^ -1)+

+Х^кН (V,ul'••.uк ,?) .

V

В векторно-матричной форме данная система примет вид дЬ (и1,;..ик, ?) = Ь ( щ,...ик, ?)( А (и1,...ик, ?) + О ),

А (щ ,...ик, ?) =

д?

(в]и1 - 1)Х ^ (?) 0

0 (^ - 1)Х2^(?)

(3.2)

0 0

0

0

(- 1)Хк$к (?)

Ь (ц,...^, ?) = [я (1, их,...ик, ?), Н ( 2,и1,...ик,?) ,...Н ( к, их,...ик, ?)].

Полученная система уравнений (3.2) является основной для дальнейших исследований. Предлагается провести анализ характеристик рассматриваемой СМО с помощью метода асимптотического анализа в условии эквивалентно растущего времени обслуживания.

3.1.2 Асимптотика первого порядка

Обозначим — = д 8, г = 1,...,к (8 - бесконечно малая величина). Решение Ъ

системы (3.2) будем находить в асимптотическом условии эквивалентно

| да

растущего времени обслуживания, то есть при--> 0, где Ъ = [(1 - Б (х)) &

Ъ

х -

среднее время обслуживания на приборе г-го типа, г' = 1,...,к.

В уравнении (3.2) выполним замены ?е = х, ?08 = х0, 5'1(?) = 5'1(т), щ = ехг. Ь ( щ ,...ик, ? ) = Г(х ,...х^, т, 8). Для Г(хг ,...х^, т, 8) получим матричное уравнение

дГ (х1,...хк, т, 8) (

1 ~ =Г (х1, дт

,.. .х^, Т, 8

т, 8) + О),

(3.3)

где А(х1,...хг,х,е) =

0 0

о о ...

Теорема 3.1 Предельное при 8^ 0 решение уравнения (3.3) Г(х1 ,...х^,т,8)

имеет вид

Г (х1 ,...хг, т) = г ехр

к } ~

г=1 т„

(3.4)

где г = [г,г2] - вектор стационарного распределения вероятностей значений вложенной цепи Маркова.

Доказательство. В уравнении (3.3) выполним предельный переход при 8 ^0

Г ( *1,...хк, т) О = 0. Функцию Г (х1 ,...х^, т) будем искать в виде

^ ( *!,...х*, т) = ф1 ( *!,...х^, т) г.

(3.5)

0

Уравнение (3.3) поделим на е, выполним предельный переход при е^ 0 и помножим на единичный вектор е размерности к х 1, получим

Эх

где А1(х1,...хг,т) =

у^Д(х) О О ух^Д^)

0 0

О 0 ... ух^Д^х)

Подставляя выражение (3.5) , получаем уравнение для нахождения функции Ф1 ( Х1,...Хк, х)

ЭФ,(х,...х^,х) ( \ ~ ( \ ---£ге = Ф1(х1,...хг,х)гА1(х1,...хг,х)е.

Эх

Решение будет иметь вид

Ф1 (Х1,...Хк, х) = ехр

к г ~

¿=1 х„

Подставляя полученное решение в (3.5), получим (3.4).

Теорема доказана.

В силу замены, а также равенства (3.4) можно записать приближенное (асимптотическое) равенство

И (щ ,...ик, г) = f (х1 ,...х^, х, е) « { (х1 ,...х^, х) =

г ехр

У

к } ~

1=1 х„

г ехр

к г

/ £ ги \ | 5,. ( 2 )

¿=1 и

Следовательно, для характеристической функции процесса {п (г), п2 (г),..., п^ (г)} можно записать

к

М ехр <1 у £ ип (г) I = Ь (и1,...ик, г) е « ехр

г = 1

к г

У £ 1 3 ( 2 ) ^

1=1 г.

Тогда при ? = Т = 0, ?0 = -да определим характеристическую функцию процесса {ц 1 (?), /г(?),..., гк(?)}

¿1 (и1,...ик ) = ехР 17ХГиЛ [ (1 - Бг (-7))1 =