Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Япарова Анна Валентиновна

• Япарова Анна Валентиновна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Япарова Анна Валентиновна

Оглавление

Введение

1 Применение уравнения Абеля для анализа космологической инфляции

1.1 Метод суперпотенциала и уравнение Абеля первого рода

1.1.1 Решение уравнений движения поля для известного суперпотенциала

1.1.2 Сведение уравнений движения поля к уравнению Абеля первого рода

1.1.3 Анализ уравнения Абеля

1.1.4 Примеры решений уравнения Абеля

1.1.5 Анализ инфляционной динамики с использованием решения уравнения Абеля

1.2 Практическое применение численных решений уравнения Абеля для

анализа инфляции

1.2.1 Уравнения Абеля для полиномиальных потенциалов

1.2.2 Эволюция вселенной, заполненной скалярным полем с потенциалами ш2ф2/2, Аф4/4 и ш2ф2/2 + Аф4/4

1.2.3 Подготовка к численному анализу «сильной» инфляции для трех полиномиальных потенциалов

1.2.4 Начальные условия, достаточные для существования «сильной» инфляции

1.2.5 Влияние начального значения скалярного поля и начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами его энергии на число е-расширений и время инфляции

1.2.6 Начальные условия для скалярного поля и условие медленного скатывания

1.2.7 Влияние медленного скатывания на время инфляции и число е-расширений

1.2.8 Сравнение моделей ш2ф2/2, Аф4/4 и ш2ф2/2 + Аф4/4

1.3 Итоги главы

2 Метод и(ф), суперпотенциал и уравнение Абеля первого рода для

скалярного поля с экспоненциальным потенциалом

2.1 Метод и(ф) и уравнение Абеля первого рода

2.1.1 Метод и(ф)

2.1.2 Сведение уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля первого рода

2.2 Анализ вселенных, заполненных скалярным полем с экспоненциальным потенциалом

2.2.1 Уравнение Абеля для скалярного поля с экспоненциальным потенциалом

2.2.2 Случай С =

2.2.3 Случай С <

2.2.4 Случай С >

2.2.5 Сшивка решений уравнений Эйнштейна-Фридмана в случае экспоненциального потенциала скалярного поля и положительной постоянной интегрирования в решениях уравнения Абеля

2.3 Итоги главы

3 Уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Шрёдингера и спектральный индекс в приближении медленного скатывания

3.1 Иерархия уравнений Кортевега-де Фриза и уравнение для спектрального индекса

3.1.1 Истоки идеи

3.1.2 Иерархия уравнений Кортевега-де Фриза

3.1.3 Преобразование Дарбу для решений иерархии уравнений Кортевега-де Фриза

3.2 Применение преобразования Дарбу для построения инфляционных потенциалов и спектральных индексов

3.2.1 Сведение уравнения для спектрального индекса к уравнению Шредингера

3.2.2 Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральный индекс

3.2.3 Преобразование Дарбу и новый потенциал: модель Харрисона-Зельдовича

3.2.4 Преобразование Дарбу и новый потенциал: возмущенная модель Харрисона-Зельдовича

3.2.5 Решение Лидси

3.3 Итоги главы

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Первые модели, описывающие экспоненциально быстрое расширение вселенной, заполненной сверхплотной материей, были предложены еще в шестидесятых годах прошлого столетия [18, 19, 67], однако и сейчас ранняя космологическая инфляция является активно развиваемой идей в современной космологии [77, 78, 72, 103, 52]. Изобилие исследований по данной теме [6, 93, 117, 68, 88, 94, 32, 8, 21, 118, 73, 100] привело в конечном итоге к созданию сценария хаотической инфляции [23, 91, 89], который на сегодняшний день разработан наиболее глубоко и полно. Именно он позволил разрешить многие затруднения, возникающие в теории горячей вселенной [65], такие как проблемы сингулярности, плоскостности, горизонта и другие [25].

Одна из простейших моделей хаотической инфляции — это инфляция во вселенной с метрикой Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛРУ) [16, 17, 108, 122, 83]

ds2 = ¿г2 — а2 (г)

(к'2 + г2 {¿в2 + 81п2 вdф2)

1 — кг2

где г — временная координата, г, в и ф — пространственные координаты, а(г) — масштабный фактор, к = 0, +1, — 1 для плоского, замкнутого или открытого пространства соответственно. Вселенная полагается заполненной единственным действительным скалярным полем ф, минимально связанным с гравитацией, которое, в принципе, не должно быть однородным на больших масштабах. Достаточно лишь, чтобы оно было однородным в некоторой малой области порядка планков-ской длины 1р ~ 10—33 см. Тогда второе из уравнений Эйнштейна-Фридмана

а2 8п к

а2 3Ш2Г а2

Р

р " (1)

р + 3Н (р + р) = 0 в этой области может быть записано в виде

ф + 3Нф + V '(ф) = 0,

где точка обозначает производную ¿/¿г, штрих — производную ¿/¿ф, Н = а/а — параметр Хаббла, р = 1/2ф2 + V(ф) — плотность энергии поля, р = 1/2ф2 — V(ф) — давление поля, а V(ф) — его потенциал. Здесь и далее везде полага-

ем с = К = 1. Таким образом, мы получаем систему из двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями а = а(Ь) и ф = ф(Ь).

Сложность решения такой системы, очевидно, зависит от выбора потенциала V(ф), который, как правило, берется из какой-либо теории элементарных частиц. Для большей части даже самых простых полиномиальных потенциалов найти аналитические решения невозможно. Помимо этого, часть из потенциалов, для которых аналитические решения существуют, являются нереалистичными. Ситуация усложняется еще и нелинейностью уравнений и наличием в них вторых производных от неизвестных функций. Таким образом, анализ поведения инфляционной вселенной оказывается нетривиальной задачей, вследствие чего становится особенно важным развитие методов анализа и численной оценки ее поведения.

Существует несколько распространенных подходов к исследованию системы. Первый их них заключается в поиске решения для поля с заданным потенциалом V(ф). Второй — в определении так называемого суперпотенциала как функции поля [113, 40, 99, 116, 34, 3, 53, 29, 120, 4, 41], зачастую приравниваемого к плотности энергии поля [64, 5, 14, 106, 60]. Еще один подход состоит в том, что скорость изменения поля ф вводят как заданную функцию самого поля ф = и(ф) («метод и(ф)») [106, 48, 45, 49, 46]. Каждый подход позволяет отыскать (хотя бы численно) функции зависимости масштабного фактора и скалярного поля от времени.

К счастью, существует весьма удобный инструмент для работы, значительно упрощающий изучение динамики вселенной по сравнению с непосредственным интегрированием исходных уравнений. Это - уравнение Абеля первого рода. Несмотря на то что изредка оно используется для некоторых частных задач, например, в работах [100, 126], оказывается, что возможности его применения гораздо шире. Хотя оно также нелинейно и имеет аналитические решения для весьма ограниченного числа случаев [102, 20, 127, 44], анализ одного дифференциального уравнения первого порядка выполнить проще, чем анализ системы (1) из двух уравнений. Свести уравнения Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля можно как с использованием суперпотенциала (см. [126]), так и комбинируя метод суперпотенциала и метод и(ф), причем оба метода дают абсолютно идентичные уравнения.

В различных инфляционных моделях одной из главных проблем остается проблема естественного выхода из инфляции без «тонкой настройки» для реалистичных потенциалов [36, 98, 47, 62, 48, 123, 95, 10]. Как показано, в частности, в работе [11], естественное завершение инфляции без «тонкой настройки» возмож-

но, однако не ясно, следуют ли потенциалы, соответствующие этим решениям, из некоторой теории элементарных частиц, например, какой-либо теории поля или теории струн.

Часто предполагается, что инфляция завершается, после того как перестает выполняться условие медленного скатывания (потенциальный член плотности энергии поля перестает намного превышать кинетический). Однако имеется множество примеров инфляции, протекающей без медленного скатывания [2, 36, 98, 59, 86, 37, 107, 41, 11, 124]. В целом, значение медленного скатывания для инфляции оказывается не совсем прозрачным. В то же время даже численные или приближенные решения соответствующих уравнений Абеля предоставляют ценную информацию о существовании инфляции и ее протекании, а также позволяют выяснить связь между инфляцией и медленным скатыванием и определить, происходит ли выход из инфляции для заданного потенциала. Таким образом, изучение и развитие предлагаемой методики анализа динамики вселенной с помощью уравнения Абеля является весьма актуальным.

Помимо оценки поведения вселенной для уже известных потенциалов скалярных полей также существует задача конструирования новых потенциалов, которые бы определяли эволюцию вселенной в соответствии с данными наблюдений. Одним из мощных инструментов для этих целей оказывается преобразование Дарбу [54, 26, 11, 125, 28].

Некоторые уравнения космологии вполне естественно приводятся к линейному стационарному уравнению Шредингера [12], например, одно из уравнений Эйнштейна-Фридмана в форме

а 4п

а =" зм(р+3р)

или уравнение, связывающее спектральный индекс спектра возмущений плотности с параметром Хаббла и его производными:

Н'' Н'2 8п

4Н - 8Н2 = - м2 (1 - п-)'

Применение преобразования Дарбу к решениям уравнения Шредингера позволяет генерировать новые решения космологических уравнений, и, в случае последнего уравнения, получать также инфляционные потенциалы и соответствующие им спектральные индексы. При должном выборе начальных решений в преобразовании Дарбу может оказаться возможным получать вселенные с желаемыми харак-

теристиками.

Итак, как развитие методик анализа уже имеющихся решений космологических уравнений, так и поиска новых решений являются достаточно серьезными и важными задачами.

Основные задачи. Диссертационная работа направлена на исследование, развитие и практическое применение метода изучения динамики вселенной, заполненной скалярным полем, с помощью сведения системы уравнения движения поля и уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Аблея первого рода. Помимо этого предлагается и используется новый способ построения инфляционных потенциалов с помощью преобразования Дарбу. Основные задачи состоят в следующем:

- исследование и оценка перспектив метода сведения уравнений Эйнштейна-Фридмана для пространственно-плоской вселенной с метрикой ФЛРУ, заполненной единственным действительным скалярным полем, минимально связанным с гравитацией, к уравнению Абеля первого рода; развитие этой методики, которое включает в нее не только подход, основанный на использовании суперпотенциала, но и подход, основанный на комбинировании суперпотенциала и метода и(ф);

- практическое применение численных решений уравнений Абеля, соответствующих трем полиномиальным потенциалам скалярного поля вида т2ф2/2, Аф4/4 и ш2ф2/2 + Аф4/4, для анализа динамики вселенной;

- оценка начальных условий, налагаемых на скалярное поле, скорость его изменения и соотношение между потенциальным и кинетическим членами его плотности энергии, необходимых и достаточных для начала инфляции; сравнение результатов для трех моделей;

- оценка роли условия медленного скатывания в космологической инфляции для указанных выше полиномиальных потенциалов;

- определение условий, при которых происходит естественный выход из инфляции, и проверка исследуемых потенциалов на наличие естественного выхода;

- применение аналитических решений уравнения Абеля для анализа динамики вселенной, заполненной скалярным полем с экспоненциальным потенциалом; проверка полученных решений на устойчивость скалярных возмущений метрики и поля в окрестности точек, в которых расходится производная давления поля по его плотности энергии;

- исследование соответствия между уравнением, связывающим спектральный индекс спектра возмущений плотности энергии и параметр Хаббла в приближении медленного скатывания, с уравнение Кортевега-де Фриза, раскрытого в [87], и развитие этого соответствия на всю иерархию уравнений Кортевега-де Фриза;

- построение новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов путем сведения уравнения для спектрального индекса к линейному стационарному уравнению Шредингера.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:

- с помощью уравнения Абеля первого рода проведен полный анализ динамики вселенной, заполненной скалярным полем с полиномиальным потенциалом, на инфляционной стадии ее эволюции; рассмотрены три потенциала: квадратичный потенциал, потенциал четвертой степени и их линейная комбинация;

- найдены начальные условия, налагаемые на скалярное поле, скорость его изменения и соотношение между потенциальным и кинетическим членами его энергии, необходимые и достаточные для возникновения инфляции и реализации условия медленного скатывания;

- точно установлена роль медленного скатывания для инфляции, порождаемой скалярным полем с полиномиальным потенциалом, а именно, условие медленного скатывания неизменно возникает в ходе динамики вселенной, если в ней протекает так называемая «сильная» инфляция;

- выявлена тонкая структура инфляции и показано, что естественный выход из инфляции обязателен для полиномиальных потенциалов; он происходит после окончания действия условия медленного скатывания, равно как и начаться инфляция может до реализации этого условия;

- с помощью уравнения Абеля получены аналитические общие решения уравнений Эйнштейна-Фридманад для вселенной, заполненной скалярным полем как с положительным, так и отрицательным экспоненциальным потенциалом; полностью описано поведение масштабного фактора и скалярного поля на протяжении всего времени существования вселенной для каждого решения;

- доказана устойчивость скалярных возмущений метрики и поля для полученных решений в окрестности точек, в которых расходится производная давления поля по его плотности энергии;

- изучено соответствие между уравнением Кортевега-де Фриза и уравнением, связывающем спектральный индекс спектра возмущений плотности энергии скалярного поля в приближении медленного скатывания; соответствие расширено на всю иерархию уравнений Кортевега-де Фриза;

- представлен метод сведения уравнения для спектрального индекса в приближении медленного скатывания к линейному стационарному уравнению Шре-дингера;

- посредством преобразования Дарбу построены новые потенциалы скалярного поля и соответствующие им спектральные индексы, а также выражения для масштабного фактора и скалярного поля, в том числе, обеспечивающие естественный выход из инфляции.

Научная новизна. Впервые выполнен подробный анализ эволюции вселенной, заполненной скалярным полем с полиномиальным потенциалом, при помощи уравнения Абеля первого рода. Выявлена тонкая структура инфляции, а именно, инфляция начинается до того как вселенная входит в режим медленного скатывания, и заканчивается уже после выхода из него. Доказано, что условие медленного скатывания реализуется в ходе динамики поля естественным образом, если начальное отношение потенциального члена плотности энергии поля к кинетическому не слишком мало. Установлено, что большая часть е-расширений и времени инфляции приходится на фазу медленного скатывания. Аналитически показан переход от режима инфляции к режиму осцилляции поля. Впервые общее решение уравнений Эйнштейна-Фридмана в плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с положительным и отрицательным экспоненциальными потенциалами, найдено с помощью уравнения Абеля. Выявлены точки, в которых расходится отношение давления к плотности (-сингулярность) и/или производная давления по плотности. Показано, что решение устойчиво относительно малых возмущений метрики и самого поля в этих точках.

Продемонстрировано, что получение решений космологических уравнений методом преобразования Дарбу может существенно упростить решение проблемы естественного выхода из инфляционной стадии эволюции Вселенной. Найдены новые инфляционные потенциалы, обладающие упомянутым свойством. Анализ ре-

шений показал, что значение спектрального индекса в период выполнения условия медленного скатывания может приближаться к наблюдаемым значениям.

Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могут иметь значение для изучения космологических моделей, описывающих инфляцию (глава 1). Основное достоинство метода сведения уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля 1-го рода, состоит в том, что он облегчает исследование инфляционных моделей с единственным скалярным полем и позволяет достаточно просто определить, в частности, будет ли в некоторой модели реализовываться инфляция, при каких условиях, происходит ли выход из инфляции. Комбинация метода суперпотенциала и метода и(ф) (глава 2) может быть полезной при поиске аналитических решений космологических уравнений. Наконец, изученная связь между уравнением для спектрального индекса спектра возмущений плотности с иерархией уравнений Кортевега-де Фриза и линейным стационарным уравнением Шредингера (глава 3) может быть использована для построения новых инфляционных потенциалов и получения решений космологических уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, 2013), II Российско-Испанском конгрессе по физике ядра и элементарных частиц на любых расстояниях и космологии (Санкт-Петербург, 2013), Российской школе «Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений» и Международном семинаре «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» (Казань, 2013).

Публикации. Основное содержание работы изложено в четырех публикациях, список которых приведен в приложении.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (127 наименований) и приложения, содержит 23 рисунка и 16 таблиц. Общий объем диссертации — 152 страницы.

Содержание работы. Во введении показывается актуальность работы, цели и задачи исследования, основные результаты и положения выносимые на защиту, отражена их научная новизна и практическая значимость.

Глава 1 посвящена исследованию метода решения уравнений Эйнштейна-Фридмана путем сведения их к уравнению Абеля первого рода и применению метода для анализа космологической инфляции трех полиномиальных потенциалов скалярного поля.

В разделе 1.1 главы 1 рассматривается метод суперпотенциала и процедура

редукции уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля, а также исследование некоторых его свойств. В подразделе 1.1.1 приводится метод суперпотенциала и пример его использования. В подразделе 1.1.2 описывается непосредственно процедура редукции, и указывается связь между величинами, описывающими эволюцию вселенной (время, масштабный фактор, параметр Хаббла, скалярное поле, его скорость изменения, а также давление и плотность энергии) и решением уравнения Абеля и его независимой переменной. В подразделе 1.1.3 рассматриваются некоторые случаи, в которых возможно получение аналитического решения уравнения Абеля, и обсуждается поведение его решений в соответствии с теоремой Пеано о существовании и единственности. Помимо этого подробно изучается особая ситуация, когда потенциал скалярного поля имеет нули. В подразделе 1.1.4 указываются два потенциала V(ф) = Л = const, V(ф) = ch ^уП/З/Ырф^ , позволяющих найти аналитическое решение уравнения Абеля и исследуются эти решения. В подразделе 1.1.5 приводится соответствие между значениями решений уравнения Абеля и этапами эволюции вселенной.

Раздел 1.2 посвящен исследованию динамики инфляционной вселенной для скалярных полей с потенциалами V(ф) = ш2ф2/2, V(ф) = ХфА/4 и V(ф) = ш2ф2/2 + Хф4/2. В подразделе 1.2.1 составляются уравнения Абеля для каждого потенциала, и аналитически оцениваются области начальных условий, определяющие различные классы их решений. В подразделе 1.2.2 описывается динамика вселенной с указанными потенциалами. В подразделе 1.2.3 подготавливаются данные для упрощения численного поиска начальных условий, необходимых и достаточных для существования и инфляции и реализации условия медленного скатывания. В подразделе 1.2.4 приводятся результаты численных исследований, определяющие начальные значения скалярного поля и скорости его изменения, достаточные для начала «сильной» инфляции. В подразделе 1.2.5 изучается влияние исходной величины поля и соотношения между потенциальным и кинетическим членами его плотности энергии на число е-расширений и время инфляции. В подразделе 1.2.6 приводятся начальные условия, достаточные для реализации медленного скатывания в ходе динамики поля, они сравниваются с начальными условиями, достаточными для начала «мягкой» и «сильной» инфляции. В подразделе 1.2.7 оценивается значение медленного скатывания для инфляции. В подразделе 1.2.8 между собой сравниваются все результаты, полученные для трех моделей.

Раздел 1.3 суммирует важные положения первой главы.

Глава 2 посвящена еще одному способу приведения уравнений Эйнштейна-

Фридмана к уравнению Абеля первого рода, основанному на комбинации метода суперпотенциала и метода и(ф). Также в ней рассматривается еще одно приложение уравнения Абеля к анализу динамики вселенной для экспоненциального потенциала скалярного поля, который позволяет получить аналитическое решение уравнения Абеля и космологических уравнений.

В подразделах 2.1.1 и 2.1.2 раздела 2.1 описываются метод и(ф) и пример его использования и редукция уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля соответственно.

В разделе 2.2 с помощью решений уравнения Абеля производится анализ динамики вселенной, заполненной скалярным полем с экспоненциальным потенциалом. В подразделе 2.2.1 составляется и аналитически решается соответствующее уравнение Абеля, а также рассматриваются различные классы его решений в зависимости от начальных условий. В подразделах 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 приводятся решения космологических уравнений, вид которых определяется знаком постоянной интегрирования в решении уоавнения Абеля, и описывается эволюция масштабного фактора и скалярного поля на протяжении всего времени существования соответствующей вселенной. В подразделе 2.2.5 производится необходима сшивка решений в случае положительной постоянной интегрирования и показывается, что решения сшиваются гладко, а также что в точке сшивки не возникает неустойчивости скалярных возмущений метрики и поля.

Раздел 2.3 подводит итоги главы 2.

Глава 3 посвящена исследованию связи уравнения для спектрального индекса спектра возмущений плотности в приближении медленного скатывания с иерархией уравнений Кортевега-де Фриза и построению новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов.

В подразделе 3.1.1 раздела 3.1 приводятся истоки самой идеи связи между двумя указанными уравнениями. В подразделе 3.1.2 описывается построение иерархии уравнений Кортевега-де Фриза. В подразделе 3.1.3 рассматривается преобразование Дарбу для решений из иерархии.

В разделе 3.2 преобразование Дарбу применяется для построения новых инфляционных потенциалов и получения решений космологических уравнений. В подразделе 3.2.1 уравнение, связывающее спектральный индекс и параметр Хаб-бла в случае вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем, в приближении медленного скатывания сводится к линейному стационарному уравнению Шредингера. В подразделе 3.2.2 в качестве исходного выбира-

ется нулевой спектральный индекс, после чего над решением соответствующего уравнения Шредингера дважды производится преобразование Дарбу, а затем для каждого нового решения определяется спектральный индекс, масштабный фактор, скалярное поле и его потенциал. В подразделе 3.2.3 в качестве исходного выбирается спектральный индекс из модели Харрисона-Зельдовича и8 = 1, после чего над решением отвечающего ему уравнения Шредингера производится однократное преобразование Дарбу, и находится новое решение космологических уравнений. В подразделе 3.2.4 те же операции проделываются для возмущенного спектра Харрисона-Зельдовича со спектральным индексом, лежащим в диапазоне, задаваемом наблюдениями: и8 € (0,939 ; 0, 987). Производится оценка возможности приближения новых спектральных индексов к единице в условиях медленного скатывания. В подразделе 3.2.5 решение из [87] получается более простым способом с применением редукции уравнения для спектрального индекса к уравнению Шре-дингера и преобразования Дарбу.

Раздел 3.3 представляет основные результаты главы 3.

В заключении формулируются главные выводы из работы и перспективы дальнейшего исследования ее тем.

В приложении приводится список публикаций автора по теме диссертации.

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ДЛЯ АНАЛИЗА

КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФЛЯЦИИ

В данной главе рассматривается одна из задач инфляционной космологии, в ходе изучения которой мы приходим к уравнению Абеля первого рода [100, 126]. Цель этой главы — показать, что сведение уравнений, описывающих динамику вселенной, к уравнению Абеля оказывается весьма полезным для анализа космологической инфляции. При этом, хотя полученные уравнения в большинстве случаев не решаются аналитически, их исследование, в том числе, с помощью численных методов, может дать ценную информацию о начале инфляции и ее динамике.

Первая часть главы посвящена применению метода суперпотенциала в случае пространственно-плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем. Во второй части анализируются несколько простых и хорошо известных потенциалов [90, 92, 89, 80, 76, 9, 94, 66].

1.1. Метод суперпотенциала и уравнение Абеля первого рода

Метод суперпотенциала хорошо известен и широко применяется в инфляционной космологии [113, 40, 99, 116, 34, 3, 53, 29, 120, 4, 41]. Существуют различные подходы к определению суперпотенциала, однако в данной работе мы будем задавать его как квадрат параметра Хаббла [64, 5, 14, 106, 60], умноженный на константу, зависящую от выбора системы единиц. Таким образом, в пространственно-плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем, суперпотенциал совпадает с плотностью энергии р этого поля. Будем также считать, что он зависит только от значения самого поля, то есть

w (ф)=3П н2=2 Ф2+^ м- (1.1)

Динамика самого поля при этом описывается уравнениями

ф + 3Нф + У' = 0, (1.2)

н2 = 2ф2 + У - к2, (1.3)

2 а2

где ф = ф(Ь) — скалярное поле, Н — параметр Хаббла, У = У(ф) — потенциал скалярного поля, а = а(Ь) — масштабный фактор, к = 0 для пространственно-

плоской вселенной, к = +1 для открытой вселенной и к = —1 для замкнутой вселенной. Точка здесь и далее обозначает производную ¿/¿Ь, а штрих — ¿/¿ф.

1.1.1. Решение уравнений движения поля для известного суперпотенциала

Рассмотрим уравнения движения поля (1.2), (1.3) вместе с выражением, задающим суперпотенциал (1.1). В случае плоской вселенной в уравнениях движения к = 0. Дифференцируя суперпотенциал по времени и используя (1.2), а также учитывая, что W(ф) = 3Мр/(8п) Н2, получаем

W' = —3Нф , (1.4)

н = е-)

где к = ±1 и выбирается положительным в случае расширения вселенной и отрицательным в случае сжатия.

Из уравнений (1.1), (1.4), (1.5) видно, что производная поля по времени ф может быть выражена посредством только лишь суперпотенциала W(ф) и его производной W'(ф):

№(ф)

к^ШуЩф]' '

То же верно и для потенциал поля V(ф):

™=*»>—М£Ш. 1-7»

Выбирая W(ф) и решая (1.6), можно получить функцию ф(Ь), выражающую зависимость скалярного поля от времени:

Г ^(ф) , 1 Мр , ч \г,, \ ¿ф =---7= (Ь — Ьо), (1.8)

где Ь0 — постоянная интегрирования. Изначально уравнение движения для ф является дифференциальным уравнением второго порядка, следовательно, его общее решение должно содержать две постоянных интегрирования. Второю постоянную можно ввести, рассматривая (1.7) как дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции W(ф) при известной V(ф). Общее решение этого уравнения будет содержать некоторую постоянную интегрирования С, W(ф; С). Тогда

если зависимость ф(Ь; Ь0,С) явная, то подставляя ее в уравнение (1.5), находим Н(Ь; Ь0,С). Зная же параметр Хаббла, получаем масштабный фактор

a(t; t0, C) = a0 exp H(t; t0,C) dt.

(1.9)

Здесь а0 также является постоянной интегрирования.

Таким образом, задавая суперпотенциал как функцию скалярного поля, можно отыскать решение уравнений движения скалярного поля (1.2), (1.3), потенциал поля (1.7) и масштабный фактор, то есть решение уравнений Фридмана

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Япарова Анна Валентиновна, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

1 Виленкин, Н.Я. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. / Н.Я. Виленкин, М.А. Доброхотова,

A.Н. Сафонов. —М.: Просвещение, 1984.

2 Журавлев, В.М. Новые классы точных решений в инфляционной космологии /

B.М. Журавлев, С.В. Червон, В.К. Щиголев // ЖЭТФ. — 1998. — Т. 114, № 2. —

C. 406-4017.

3 Арефьева, И.Я. Точное решение в струнной космологической модели / И.Я. Арефьева, С.Ю. Вернов, А.С. Кошелев // ТМФ. — 2006. — Т. 48, № 1. — С. 23-41.

4 Червон, С.В. Точные космологические решения для тахионных полей / С.В. Червон, О.Г. Панина, М. Сами // Вестник Самарского государственного технического университетаю Серия физ.-мат. науки. —2011. — Т. 23, № 2. — С. 221-226.

5 Потенциал полной энергии как суперпотенциал в интегрируемых космологических моделях / А.В. Юров, В.А. Юров, С.В. Червон, М. Сами // ТМФ. — 2011. —Т. 166, № 2. —С. 299-311.

6 Гурович, В.Ц. Квантовые эффекты и регулярные космологические модели / В.Ц. Гурович, А.А. Старобинский // ЖЭТФ. — 1979. — Т. 77, № 5. — С. 16831700.

7 Карташев, А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления / А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. — 2-е перераб. и доп. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.

8 Муханов, В.Ф. Квантовые флуктуации и несингулярная Вселенная / В.Ф. Му-ханов, Г.В. Чибисов // Письма в ЖЭТФ. — 1981. — Т. 33. — С. 549-553.

9 Белинский, В.А. О степени общности инфляционных решений в космологических моделях со скалярным полем / В.А. Белинский, И.М. Халатников // ЖЭТФ. — 1987. — Т. 93, № 3. — С. 784-799.

10 Журавлев, В.М. Модели космологической инфляции, допускающие естественный выход на радиационно-доминирующую стадию и эру преобладания вещества / В.М. Журавлев, С.В. Червон // ЖЭТФ. —2000. — Т. 118. — С. 259-272.

11 Верещагин, С.Д. Преобразование Дарбу и точно решаемые космологические модели / С.Д. Верещагин, А.В. Юров // ТМФ. - 2004. - Т. 139, № 3. - С. 405422.

12 Ландау, Л.Д. Курс теоретическоой физики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -6-е, испр изд. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - Т. 3: Квантовая механика (нерелятивистская теория).

13 Горбунов, Д.С. Введение в теорию ранней Вселенной: Космологические возмущения. Инфляционная теория / Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. - М.: КРА-САНД, 2010.

14 Червон, С.В. Точные космологические решения для фантомных полей / С.В. Червон, О.Г. Панина // Вестник Самарского государственного технического университетаю Серия физ.-мат. науки. - 2011. - Т. 24, № 3. - С. 129135.

15 Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис; Под ред. А.Б. Шабат. -М.: Мир, 1988.

16 Фридман, А.А. О кривизне пространства / А.А. Фридман // Журн. Русск. физ.-хим. о-ва, часть физ. - 1924. - Т. 56. - С. 59-68.

17 Фридман, А.А. О возможности мира с постоянной отрицательной кривизной пространства: пер. с нем. А.А. Сазыкина, под. ред. В.А. Фока / А.А Фридман // УФН.-1963.-Т. 80.-С. 447-452.

18 Глинер, Э.Б. Алгебраические свойства тензора энергии-импульса и вакуу-моподобные состояния вещества / Э.Б. Глинер // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 49. -С. 542-548.

19 Сахаров, А.Д. Начальная стадия расширения Вселенной и возникновение неоднородности распределения вещества / А.Д. Сахаров // ЖЭТФ. - 1965. -Т. 49.-С. 345-357.

20 Камке, Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с нем. / Э. Камке.-4-е, испр. изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - Т. 1.

21 Старобинский, А.А. Спектр реликтового гравитационного излучения и начальное состояние Вселенной / А.А. Старобинский // Письма в ЖЭТФ. -1979.-Т. 30, № 11.-С. 719-723.

22 Лэм, Дж.Л. Введение в теорию солитонов / Дж.Л. Лэм; Под ред. В.Е. Захаров.-М.: Мир, 1983.

23 Линде, А.Д. Раздувающаяся Вселенная / А.Д. Линде // УФН. — 1984. — Т. 144.-С. 177-214.

24 Ньюэлл, А. Солитоны в математике и физике: пер. с англ. / А. Ньюэлл; Под ред. А.В. Михайлов. — М.: Мир, 1989.

25 Линде, А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология / А.Д. Линде. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

26 Юров, А.В. Преобразование Дарбу в квантовой механике: Учеб. пособие /

A.В. Юров.—Калининград: Калининградский университет, 1998.

27 Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике: пер. с англ. / М. Табор. —М.: Едиториал УРСС, 2001.

28 Юров, А.В. Исследование космологий скалярной материи методом спектрального дизайна: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Санкт-Петербургский государственный университет. — СПб., 2007.

29 Вернов, С.Ю. Построение точных решений в двухполевых космологических моделях / С.Ю. Вернов // ТМФ. —2008. — Т. 155, № 1. — С. 47-61.

30 Вайнберг, С. Космология: пер. с англ. / С. Вайнберг; Под ред. И.Я. Арефьевой,

B.И. Санюка. —М.: УРСС: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013.

31 Aguirregabiria, J.M. Exact Bianchi type I models for an exponential-potential scalar field / J.M. Aguirregabiria, L.P. Chimento // Class. Quantum Grav. — 1996. — Vol. 13, no. 12. —P. 3197-3209.

32 Albrecht, A. Cosmology for grand unified theories with radiatively induced symmetry breaking / A. Albrecht // Phys. Rev. Lett. — 1982. — Vol. 48. — P. 12201223.

33 Andrianov, A. General solution of scalar field cosmology with a (piecewise) exponential potential / A. Andrianov, F Cannata, A.Yu. Kamenshchik // JCAP. — 2011.—Vol. 2011, no. 10. —P. 004-1-004-19.

34 Aref'eva, I.Ya. Crossing the w = —1 barrier in the D3-brane dark energy model / I.Ya. Aref'eva, A.S. Koshelev, S.Yu. Vernov // Phys. Rev. D. -2005. - Vol. 72. -P. 064017-1-06401-11.

35 Barrow, J.D. Cosmic no-hair theorems and inflation / J.D. Barrow // Phys. Lett. D.-1987.-Vol. 187, no. 1-2.-P. 12-16.

36 Barrow, J.D. Exact inflationary universes with potential minima / J.D. Barrow // Phys. Rev. D. - 1994. - Vol. 49, no. 6. - P. 3055-3059.

37 Barrow, J.D. Scalar-field cosmologies / J.D. Barrow, P. Saich // Class. Quantum Grav. - 1993. - Vol. 10. - P. 279-283.

38 Barton, D. Mathematical Software / D. Barton, I.M. Willers, R.V.M. Zahar; Ed. by J.R. Rice.-New York: Academic Press, 1972.

39 Basilakos, S. Using the Noether symmetry approach to probe the nature of dark energy / S. Basilakos, M. Tsamparlis, A. Paliathanasis // Phys. Rev. D. -2011. -Vol. 83, no. 10.-P. 103512-1-103512-13.

40 Bazeia, D. Solitons in systems of coupled scalar fields / D. Bazeia, M.J. dos Santos, R.F. Ribeiro // Phys. Lett. A. - 1995. - Vol. 208, no. 1-2. - P. 84-88.

41 Bazeia, D. First-order formalism for scalar field in cosmology // arXiv.org. -2014.- http://arxiv.org/abs/hep-th/0610028 (online; accessed: 01.10.2015).

42 Burd, A.B. Inflationary models with exponential potentials / A.B. Burd, J.D. Barrow // Nucl. Phys. B. - 1988. - Vol. 308, no. 4. - P. 929-945.

43 Calcagni, G. Multi-scale gravity and cosmology / G. Calcagni // JCAP. -2013. -Vol. 2013, no. 12.-P. 041-1-041-57.

44 Cheb-Terraba, E.S. Abel ODEs: Equivalence and integrable classes / E.S. Cheb-Terraba, A.D. Rochec // Computer Physics Communications. - 2000. - Vol. 130, no. 1-2.-P. 204-231.

45 Chervon, S. Inflationary cosmological models without restrictions on a scalar field potential / S. Chervon // Gen. Relat. Grav. - 2004. - Vol. 36, no. 7. - P. 15471553.

46 Chervon, S.V. Exact cosmology and specification of an inflationary scenario / S.V. Chervon, M. Novello, R. Triay // Grav. Cosm. - 2005. - Vol. 11, no. 4.-P. 329-332.

47 Chervon, S.V. The cosmological model with an analytic exit from inflation // arXiv.org. — 1999. — http://arxiv.org/abs/gr-qc/9907051v1 (online; accessed: 01.10.2015).

48 Chervon, S.V. Comparative analysis of approximate and exact models in inflationary cosmology / S.V. Chervon, V.M. Zhuravlev // Russian Physics Jounrnal. —2000. —Vol. 43, no. 1. —P. 11-17.

49 Chervon, S. V. On calculation of the cosmological parameters in exact models of inflation / S. V. Chervon, I.V. Fomin // Grav. Cosm. — 2008. — Vol. 75, no. 9. — P. 163-167.

50 Chimento, L.P. General solution to two-scalar field cosmologies with exponential potentials / L.P. Chimento // Class. Quantum Grav. — 1998. — Vol. 15, no. 4. — P. 965-974.

51 Chimento, L.P. Isotropic and anisotropic N -dimensional cosmologies with exponential potentials / L.P. Chimento, A.E. Cossarini, N.A. Zuccala // Class. Quantum Grav. — 1998. — Vol. 15, no. 1. — P. 57-74.

52 Clesse, S. Massive primordial black holes from hybrid inflation as dark matter and the seeds of galaxies / S. Clesse, J. Garcia-Bellido // Physical Review D. —2015. — Vol. 9, no. 2. —P. 023524-1-023524-17.

53 Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory / A.S. Mikhailov, Yu.S. Mikhailov, M.N. Smolyakov, I.P. Volobuev // Class. Quantum Grav. — 2007. — Vol. 24. — P. 231-242.

54 Darboux, G. Sur une proposition relative aux equation lineaires / G. Darboux // Compt. Rend. —1882.—Vol. 94. —P. 1456-1459.

55 Das, A. Integrable Models / A. Das. — Teaneck: World Scientific Publishing Co. Inc., 1989. —Vol. 30 of World Scientific Lecture Notes in Physics.

56 de la Macorra, A. Causality and the speed of sound for general scalar field models, including w < — 1, tachyonic, phantom, k -essence and curvature corrections / A. de la Macorra, H. Vucetich // JCAP. — 2004. — Vol. 2004, no. 9. — P. 201-216.

57 Dudas, E. On climbing scalars in string theory / E. Dudas, N. Kitazawa, A. Sagnotti // Phys. Lett. B.— 2010.— Vol. 694, no. 1. —P. 80-88.

58 Elizalde, E. Late-time cosmology in a (phantom) scalar-tensor theory: Dark energy and the cosmic speed-up / E. Elizalde, S. Nojiri, S.D. Odintsov // Phys. Rev. D. — 2004.-Vol. 70, no. 4 A. —P. 043539-1-043539-20.

59 Ellis, C.F.R. Exact scalar field cosmologies / C.F.R. Ellis, M.S. Madsen // Class. Quantum Grav. — 1991. — Vol. 8. — P. 667-676.

60 An emergent universe with dark sector fields in a chiral cosmological model / A. Beesham, S. V. Chervon, S. D. Maharaj, A. S. Kubasov // Quantum Matter. — 2013. —Vol. 2, no. 5. —P. 388-395.

61 Emparan, R. A note on accelerating cosmologies from compactifications and s -branes / R. Emparan, J. Garriga // JHEP. —2003. — Vol. 7, no. 5. — P. 617-624.

62 Felder, G. Cosmology with negative potentials / G. Felder, L. Frolov, A. andKofman, A. Linde // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 66. — P. 023507-1023507-26.

63 Finelli, F. Generation of a scale-invariant spectrum of adiabatic fluctuations in cosmological models with a contracting phase / F. Finelli, R. Brandenberger // Phys. Rev. D. —2002.—Vol. 65. —P. 103522-1-103522-8.

64 First-order formalism and dark energy / D. Bazeia, C.B. Gomes, L. Losano, R. Menezes // Phys. Lett. B.— 2006.—Vol. 663, no. 4-5. —P. 415-419.

65 Gamow, G. The origin of elements and the separation of galaxies / G. Gamow // Phys. Rev. — 1948. — Vol. 74. — P. 505-506.

66 Granda, L.N. Inflation driven by scalar field with non-minimal kinetic coupling with Higgs and quadratic potentials / L.N. Granda // JCAP. — 2011. — Vol. 2011, no. 4.—P. 016-1-016-12.

67 Gurevich, L.E. On the origin of the metagalaxy / L.E. Gurevich // Astrophys. and Space Sci. —1975.—Vol. 38. —P. 67-78.

68 Guth, A. Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems / A. Guth // Phys. Rev. D. — 1981. — Vol. 23. — P. 347-356.

69 Halliwell, J.J. Scalar fields in cosmology with an exponential potential / J.J. Halliwell // Phys. Lett. B. — 1987. — Vol. 185, no. 3-4. — P. 341-344.

70 Harko, T. Arbitrary scalar-field and quintessence cosmological models / T. Harko, F.S.N. Lobo, M.K. Mak// Eur. Phys. J. C.—2014.—Vol. 74, no. 3. —P. 1-17.

71 Harrison, E.R. Fluctuations at the threshold of classical cosmology E.R. Harrison // Phys. Rev. D. — 1970. — Vol. 1, no. 10. — P. 2726-2730.

72 Hartle, J.B. Quantum probabilities for inflation from holography / J.B. Hartle, S.B. Hawking, T. Hertog // JCAP.—2014.—Vol. 2014, no. 1. —P. 015-1-015-10.

73 Hawking, S.W. The development of irregularities in a single bubble inflationary universe / S.W. Hawking // Phys. Lett. B. — 1982. — Vol. 115. — P. 295-297.

74 Heard, I.P.C. Cosmology with positive and negative exponential potentials / I.P.C. Heard, D Wands // Class. Quantum Grav. — 2002. — Vol. 19, no. 21.— P. 5435-5447.

75 Hille, E. Ordinary differential equations in the complex domain / E. Hille. — New York: John Wiley & Sons, 1976.

76 Inflationary stages in cosmological models with a scalar field / V.A. Belinsky, L.P. Grishchuk, I.M. Khalatnikov, Ya.B. Zeldovich // Phys. Lett. B. — 1985. — Vol. 155, no. 4. —P. 232-236.

77 Kallosh, R. Natural inflation in supergravity and beyond / R. Kallosh, A. Linde, B. Vercnocke // Phys. Rev. D.— 2014.—Vol. 90. —P. 041303-1-041303-5.

78 Kallosh, R. Chaotic inflation in supergravity after Planck and BICEP2 / R. Kallosh, A. Linde, A. Westphal // Phys. Rev. D. —2014. — Vol. 90. — P. 023534-1-02353412.

79 Khoury, J. Inflation versus cyclic predictions for spectral tilt / J. Khoury, P.J. Steinhardt, N. Turok// Phys. Rev. Lett. —2003. — Vol. 91, no. 16. — P. 1613011-161301-4.

80 Kofman, L.A. Inflationary universe generated by the combined action of a scalar field and gravitational vacuum polarization / L.A. Kofman, A.D. Linde, A.A. Starobinsky // Phys. Lett. B. — 1985. — Vol. 157, no. 5-6. — P. 361-367.

81 Korteweg, D.J. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary wave / D.J. Korteweg, G. de Vries // Philosophical Magazine. — 1895. — Vol. 39. — P. 422-443.

82 Late-time mild inflation a possible solution of a dilemma: The cosmic age and the Hubble parameter / T. Fukuyama, M. Miyoshi, M. Hatakeyama et al. // Int. J. Mod. Phys. — 1997. — Vol. 6, no. 1. — P. 69-90.

83 Lemaitre, G. Un Univers homogene de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nebuleuses extra-galactiques / G. Lemaitre // Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles A. — 1927. — Vol. 47. — P. 49-59.

84 Liddle, A.R. Cosmological Inflation and Large-Scale Structure / A.R. Liddle, D.H. Lyth. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

85 Liddle, A.R. Classification of scalar field potentials with cosmological scaling solutions / A.R. Liddle, R.J. Scherrer // Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 59. — P. 023509-1-023509-7.

86 Lidsey, J.E. Towards a solution of the u -problem in power law andchaotic inflation / J.E. Lidsey // Class. Quantum Grav. — 1991. — Vol. 8. — P. 923-933.

87 Lidsey, J.E. Cosmology and the Korteweg-de Vries equation / J.E. Lidsey // Phys. Rev. D. —2012.—Vol. 86. —P. 123523-1-123523-7.

88 Linde, A.D. A new inflationary universe scenario: A possible solution of the horizon, flatness, homogeneity, isotropy and primordial monopole problems / A.D. Linde // Phys. Lett. B. — 1982. — Vol. 108. — P. 389-393.

89 Linde, A.D. Chaotic inflation / A.D. Linde // Phys. Lett. B. — 1983. — Vol. 129. — P. 177-181.

90 Linde, A.D. Quantum creation of the inflationary universe / A.D. Linde // Lettere al Nuovo Cimento. — 1984. — Vol. 39, no. 17. — P. 401-405.

91 Linde, A.D. Eternal chaotic inflation / A.D. Linde // Mod. Phys. Lett. A. — 1986. — Vol. 1. —P. 81-85.

92 Linde, A.D. Eternally existing self-reproducing chaotic inflationary universe / A.D. Linde // Phys. Lett. B. — 1986. — Vol. 175, no. 4. — P. 395-400.

93 Linde, A.D. Axions in inflationary cosmology / A.D. Linde // Phys. Lett. B. — 1991.—Vol. 259, no. 1-2. —P. 38-47.

94 Linde, A.D. Hybrid inflation / A.D. Linde // Phys. Rev. D. — 1994. — Vol. 49, no. 2.—P. 748-754.

95 Linde, A. Fast-roll inflation / A. Linde // JHEP. — 2001. — Vol. 5, no. 11. — P. XLII-22.

96 Lucchin, F. Power-law inflation / F. Lucchin, S. Matarrese // Phys. Rev. D. — 1985.—Vol. 32. —P. 1316-1322.

97 Lyth, D. The Primordial Density Perturbation / D. Lyth, A. Liddle. — New York: Cambridge University Press, 2009.

98 Maartens, R. Exact inflationary cosmologies with exit / R. Maartens, D.R. Taylor, N. Roussos // Phys. Rev. D. — 1995. — Vol. 52, no. 6. — P. 3358-3364.

99 Modeling the fifth dimension with scalars and gravity / O. DeWolfe, D.Z. Freedman, S.S. Gubser, A. Karch // Phys. Rev. D. — 2000. — Vol. 62, no. 4. — P. 046008-1-046008-16.

100 Mukhanov, V.F. Theory of cosmological perturbations / V.F. Mukhanov,

H.A. Feldman, R.H. Brandenberger // Phys. Rept. — 1992. — Vol. 215. — P. 203333.

101 Muller, V. Power-law inflation as an attractor solution for inhomogeneous cosmological models / V. Muller, H.J. Schmidt, A.A. Starobinsky // Class. Quantum Grav. —1990.—Vol. 7, no. 7. —P. 1163-1168.

102 Murphy, J.M. Ordinary Differential Equations and Their Solutions / J.M. Murphy. — New-York: Van Nostrand Reinhold Company, 1960.

103 Myrzakula, S. Chaotic inflation in higher derivative gravity theories / S. Myrzakula, R. Myrzakulov, L. Sebastiani // Eur. Phys. J. C. —2015. — Vol. 75, no. 3. — P. 1111-111-14.

104 Neupane, I.P. Accelerating cosmologies from exponential potentials /

I.P. Neupane // Class. Quantum Grav. — 2004. — Vol. 21, no. 18. — P. 4383-4397.

105 New approach to find exact solutions for cosmological models with a scalar field / R. de Ritis, G. Marmo, G. Platania et al. // Phys. Rev. D. — 1990. — Vol. 42, no. 4. — P. 1091-1097.

106 New exact cosmologies on the brane / A.V. Astashenok, A.V. Yurov, S.V. Chervon et al. // Astrophys. and Space Sci. — 2014. — Vol. 353, no. 2. — P. 219-328.

107 Parson, P. New inflation from old / P. Parson, J.D. Barrow // Class. Quantum Grav. —1995.—Vol. 12. —P. 1715-1721.

108 Robertson, H.P. Relativistic cosmology / H.P. Robertson // Rev. Mod. Phys. — 1933. —Vol. 5. —P. 62-90.

109 Rosu, H.C. KdV adiabatic index solitons in barotropic open frw cosmologies / H.C. Rosu// Mod. Phys. Lett. A.—2002.— Vol. 17, no. 11.—P. 667-670.

110 Rubano, C. Scaling solutions and reconstruction of scalar field potentials / C. Rubano, J.D. Barrow // Phys. Rev. D. — 2001. — Vol. 64. — P. 127301-1127301-3.

111 Rubano, C. On some exponential potentials for a cosmological scalar field as quintessence / C. Rubano, P. Scudellaro // Gen. Relat. Grav. — 2002. — Vol. 34, no. 2. —P. 307-328.

112 Russo, J.G. Exact solution of scalar field cosmology with exponential potentials and transient acceleration / J.G. Russo // Phys. Lett. B. — 2004. — Vol. 600, no. 3-4. —P. 185-190.

113 Salopek, D.S. Nonlinear evolution of long-wavelength metric fluctuations in inflationary models / D.S. Salopek, J.R. Bond // Phys.Rev. D. — 1990. — Vol. 42, no. 12. —P. 3936-3662.

114 Scott, A.C. The Nonlinear Universe / A.C. Scott. The Frontiers Collection. — Berlin: Springer-Verlag, 2007.

115 Seven-year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) observations: Cosmological interpretation / E. Komatsu, K.M. Smith, J. Dunkley et al. // Astrophys. J. Suppl.—2011.—Vol. 192, no. 2. —P. 18-1-18-47.

116 Skenderis, K. Hamilton-Jacobi method for curved domain walls and cosmologies / K. Skenderis, P.K. Townsend // Phys. Rev. D. — 2006. — Vol. 74, no. 12-15. — P. 125008-1-125008-10.

117 Starobinsky, A.A. A new type of isotropic cosmological models without singularity / A.A. Starobinsky // Phys. Lett. B. — 1980. — Vol. 91, no. 1. — P. 99102.

118 Starobinsky, A.A. Dynamics of phase transition in the new inflationary universe scenario and generation of perturbations / A.A. Starobinsky // Phys. Lett. B. — 1982.—Vol. 117. —P. 175-178.

119 Tachyons, scalar fields, and cosmology / V. Gorini, A. Kamenshchik, U. Moschella, V. Pasquier// Phys. Rev. D.—2004.—Vol. 69. —P. 123512-1-123512-16.

120 Townsend, P.K. Hamilton-Jacobi mechanics from pseudo-supersymmetry / P.K. Townsend// Class. Quantum Grav. —2008. — Vol. 25. — P. 045017-1-04501716.

121 Townsend, P.K. Accelerating cosmologies from compactification / P.K. Townsend, M.N.R. Wohlfarth // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91, no. 6. — P. 061302-1061302-4.

122 Walker, A.D. Completely symmetric spaces / A.D. Walker // J. London Math. Soc. — 1994. — Vol. 19. — P. 219-226.

123 Yurov, A.V. Exact inflationary cosmologies with exit: from an inflaton complex field to an 'anti-inflaton' one / A.V. Yurov // Class. Quantum Grav. — 2001. — Vol. 18, no. 17. —P. 3753-3766.

124 Yurov, A.V. Phantom scalar fields result in inflation rather than Big Rip // arXiv.org. — 2003. — http://arxiv.org/abs/astro-ph/0305019 (online; accessed: 01.10.2015).

125 Yurov, A.V. Nonsingular brane solutions via the Darboux transformation / A.V. Yurov, V.A. Yurov // Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 72, no. 2. — P. 0260031-026003-12.

126 Yurov, A.V. Friedman versus Abel equations: A connection unraveled / A.V. Yurov, V.A. Yurov // J. Math. Phys. —2010. — Vol. 51, no. 8. — P. 082503-1-082503-17.

127 Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations / D. Zwillinger. — 3rd edition. — Academic Press, 1997.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Статьи в журналах, включенных в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ:

1 Yaparova, A.V. The KdV in cosmology: A useful tool or a distraction? / A.V. Yaparova, A.V. Yurov, V.A. Yurov // Grav. Cosm. -2015. - Vol. 21, no. 2. -P. 166-170.

2 Yurov, V.A. Application of the Abel equation of the 1st kind to inflation analysis of non-exactly solvable cosmological models / A.V. Yurov, A.V. Yaparova, V.A. Yurov// Grav. Cosm.-2014.-Vol. 20, no. 1.-P. 106-115.

Статьи в других научных изданиях и тезисы докладов на конференциях:

1 Юров, В.А. Уравнение Абеля и нули потенциала космологического скалярного поля / В.А. Юров, А.В. Япарова // Вестник БФУ им. И. Канта. -2015. -№. 4.-С. 30-36.

2 Япарова, А.В. Использование уравнения Абеля первого рода для анализа космологической инфляции / А.В. Япарова // Известия КГТУ. Научный журнал Клининградского государственного технического университета. -2012. -Т. 26.-С. 111-120.

3 Япарова, А.В. Применение уравнение Абеля для анализа космологической инфляции / А.В. Япарова // Фридмановские чтения: тезисы докладов международной научной конференции (Пермь, 24 июня - 28 июня 2013 г.) / Пермский государственный национальный исследовательский университет. -Пермь, 2013.-122 c.

4 Yaparova, A.V. Spectral index and Schrodinger equation / A.V. Yaparova, A.V. Yurov // Труды Российской школы «Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений» и Международного научного семинара «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии» (Казань, 21 октября - 26 октября 2013 г.) / Казанский (Приволжский) федеральный университет. - Казань: Отечество, 2013.-10. -248 с.