Исследование и разработка вероятностных и статистических методов распознавания характеристик движения точек на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Бычкова, Светлана Михайловна

• Бычкова, Светлана Михайловна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Бычкова, Светлана Михайловна

Содержание

Введение

Глава 1. Общая постановка распознавания случайного движения точек на плоскости на основе статистической теории распознавания образов

1.1 Модели случайного движения точек на плоскости

1.1.1 Упорядочение точек множества

1.1.2 Выделение размерности пространства признаков

1.1.3 Расстояния между объектами

1.2 Статистическая теория распознавания образов: краткий обзор основных подходов

1.2.1 Вероятностный подход к распознаванию

1.2.2 Статистический подход к распознаванию: критерии принятия решений

1.3 Современное состояние статистической теории распознавания образов

1.4 Выводы

Глава 2. Разработка методов вычисления вероятностных характеристик евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений

2.1 Математические модели случайных движений множества точек на плоскости в виде поворотов или отражений

2.2 Теоремы о виде плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений

2.3 Теоремы о виде начальных моментов евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений

2.4 Применение методов численного интегрирования для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений

2.5 Статистическое моделирование распределений евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений

2.6 Выводы

Глава 3. Обоснование и разработка статистических методов распознавания направлении сдвига точки на плоскости на фоне случайных помех

3.1 Математическая модель случайного движения точки на плоскости на фоне случайных поворотов

3.2 Характеристики распознавания сдвига точки на фоне случайных поворотов

3.2.1 Обоснование решающих правил распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов

3.2.2 Вывод условных плотностей распределения вероятностей выборочных средних наблюдаемой точки

3.2.3 Вывод аналитических выражений для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига с использованием условных плотностей распределения вероятностей

3.2.4 Вывод вероятностей распознавания направления сдвига путем усреднения по исходным распределениям случайных параметров движения

3.3 Математическая модель случайного движения точки на плоскости на фоне случайных гауссовских отклонений

3.4 Характеристики распознавания сдвига точки на фоне случайных гауссовских отклонений

3.4.1 Обоснование решающего правила распознавания направления сдвига точки на фоне случайных гауссовских отклонений

3.4.2 Вычисление вероятностей распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных гауссовских отклонений

3.5 Сравнение результатов, полученных для движения точки на фоне случайных поворотов и случайных гауссовских отклонений

3.6 Имитационное моделирование, подтверждающее корректность работы решающих правил распознавания направления сдвига

3.7 Применение методов численного интегрирования для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне помех двух типов

3.8 Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Приложение Е

Приложение Ж

Приложение И

Приложение К

Приложение Л

Приложение М

Приложение Н

Приложение П

Приложение Р

Приложение С

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и разработка вероятностных и статистических методов распознавания характеристик движения точек на плоскости»

Введение

Диссертация посвящена разработке теоретико-математических методов, применению численных методов и методов математического моделирования для исследования математических моделей случайного движения точек на плоскости.

Актуальность темы исследования. Разработка, исследование и реализация методов решения задач статистической теории распознавания образов относится к одному из ведущих направлений прикладной математики. Результаты теоретических и прикладных исследований в области статистической теории распознавания образов находят применение в медицинской диагностике, радиотехнике, криминалистике, биоинформатике, прогнозировании (погода, геология, сейсмология и т.д.), анализе изображений, обработке речи. Очевидно, что этот список приложений может быть продолжен.

Статистическая теория распознавания включает в себя два основных раздела - анализа и синтеза. Задачи анализа решаются методами теории вероятностей, задачи синтеза решаются методами математической статистики.

Раздел анализа включает в себя построение вероятностных моделей и преобразование одних вероятностных моделей в другие. При решении задач анализа применяются следующие методы и подходы: монотонные и немонотонные преобразования случайной величины; преобразование Фурье; теория обобщенных распределений; композиция распределений независимых случайных величин, составляющих сумму; расщепление смесей распределений и другие. Результатом решения задач анализа являются законы распределения вероятностей и результаты усреднения некоторых характеристик.

Задачи синтеза представляют собой оптимизационные задачи. Типичными задачами являются задачи нахождения оптимальных решающих правил при ограничениях на некоторые характеристики, например, средний риск, вероятность ошибки, ошибка измерения и т.д. Статистический подход в задачах распознавания базируется на использовании методов математической статистики для вычисления оценок параметров объекта, плотностей и функций распределения, проверке статистических гипотез. Исходные данные об объекте для вычисления таких оценок получают в результате наблюдений или измерений. При решении задач распознавания на основе статистического подхода используются байесовский критерий, минимаксный критерий, критерий Неймана-Пирсона и другие критерии. Детализация предметных областей приводит к более тонким и изощренным критериям для решения задач распознавания. Результатом решения задач синтеза являются решающие правила (алгоритмы распознавания) и их вероятностные характеристики.

В различных предметных областях требуется развитие моделей и методов статического распознавания образов. Отметим три из них, имеющие отношение к тематике диссертационного исследования. Это стохастическая геометрия, адаптивное поведение в биологии и случайные блуждания.

В современной стохастической геометрии исследуются задачи, в которых конечное число геометрических объектов одного вида независимо расположены и имеют сложные распределения. Например, распределения геологических структур, пористых сред, биологических тканей. Также можно предложить пример, когда имеется цельный объект, который в результате взрыва распадается на конечное число объектов или, например, косяк рыб может двигаться целиком, а в силу каких-то причин разделиться на конечное число подмножеств. Во всех приведенных примерах движение объекта как целого или в виде разделенных объектов можно моделировать, используя случайные аффинные преобразования.

В настоящее время в биологии развивается направление, связанное с адаптивньш поведением, которое заключается в построении искусственных организмов, которые могут приспосабливаться к окружающей среде. Движение является неотъемлемой частью взаимодействия организма со средой, при этом движение может иметь случайный характер. Например, бабочки чередуют две тактики движения, а именно движение в выбранном направлении и случайные повороты, приводящие к выбору нового направления. Движение бактерий может быть описано длинными прямыми смещениями, разделенными периодами очень коротких случайных поворотов. Приведенные примеры движений можно отнести к классу задач о случайных блужданиях.

Степень разработанности темы исследования. В различных предметных областях рассматриваемые объекты удобно представлять как множества точек плоскости. Движение таких объектов можно моделировать, используя случайные аффинные преобразования или задавая вероятности перехода из одной точки в другую, а также движение может быть комбинацией аффинных преобразований с заданием вероятности перехода из одной точки в другую. Новые координаты объекта, полученные в результате движения, могут содержать шумы различной природы. Случайные блуждания можно рассматривать как движения точки на плоскости. Случайные движения, при которых наблюдаемый объект представляется как множество точек плоскости или заменяется точкой (например, это может быть центр масс), можно наблюдать в биологии [50], геологии [36] и т.д. При изучении различных источников не выявлено работ, в которых исследованы вероятностные характеристики (законы распределения вероятностей и начальные моменты) движения точечного объекта на плоскости, когда объект разбивается на конечное подмножество точек и каждое из этих подмножеств подвергается случайному преобразованию. Также не найдены работы, в которых бы оценивалась вероятность

правильного распознавания направления движения точки на плоскости, когда помехой движению служат случайные повороты.

Цели работы: разработка теоретико-математических методов, применение численных методов и методов математического моделирования для исследования математических моделей случайного движения точек на плоскости.

Задачи. Для достижения поставленных целей сформулирован и решен ряд задач. Эти задачи можно разбить на две группы.

Первая группа задач - это вероятностные задачи. В данной группе задач исследовано движение упорядоченного множества точек на плоскости. Множество точек разбивается на к произвольных подмножеств с сохранением упорядоченности в каждом из них. Решены два класса задач. Первый класс задач соответствует варианту, когда каждое подмножество с номером г (г=1,...,/:) подвергается случайному повороту. Второй класс задач соответствует варианту, когда каждое подмножество с номером г (/—1,...,/с) подвергается случайному отражению. В обоих случаях получены следующие результаты:

- выражения для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между исходным и преобразованным множеством точек в виде элементарных функций, когда исходное множество целиком подвергается преобразованию и в виде несобственных интегралов I рода от произведений функций Бесселя и некоторой экспоненты, когда исходное множество разбивается на два и более произвольных подмножества, каждое из которых подвергается преобразованию;

- выражения в виде конечных сумм и сходящихся числовых рядов для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний, когда множество точек целиком подвергается преобразованию;

- выражения в виде конечных сумм и сходящихся рядов для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний, когда множество точек разбивается на два подмножества, каждое из которых подвергается преобразованию;

- программное средство «Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения» (разработано на языке С# в среде Microsoft Visual Studio 2005) для статистического моделирования евклидовых расстояний между исходным и преобразованным множеством точек;

- программы в Matlab для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний, представленных в виде несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования.

Вторую группу представляют задачи проверки статистических гипотез. В данной группе задач рассмотрено случайное движение точки на плоскости в одном из m эквидистантных по

углу направлений. Решены два класса задач. Первый класс задач соответствует варианту, когда помехой движению служит поворот на случайный угол. Во втором классе задач помехой движению служат изотропные гауссовские отклонения. В обоих случаях получены следующие результаты:

- решающие правила для распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов;

- решающее правило для распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне изотропных гауссовских отклонений;

- выражения для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений за п шагов наблюдения.

- программное средство «Имитационное моделирование случайного сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов и реализация асимптотически оптимального метода распознавания направления сдвига» (разработано на языке Visual Basic for Applications в среде Microsoft Office Excel 2007) для подтверждения корректности работы алгоритма распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов, основанного на полученных в диссертации решающих правилах;

- программы в Matlab для подтверждения корректности алгоритма распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне изотропных гауссовских отклонений, основанного на полученном в диссертации решающем правиле;

- программы в Matlab для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений.

В диссертации объектами исследования являются: 1) случайная величина, признак, которая представляет собой евклидово расстояние между множеством точек и его копией после сложного случайного движения этой копии; 2) случайное движение точек на плоскости с точно известными распределениями вероятностей параметров этого движения.

Предметами исследования являются: 1) плотности распределения вероятностей и начальные моменты евклидовых расстояний между множеством точек и его копией после сложного случайного движения этой копии; 2) вероятности распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Эти результаты представлены двумя группами.

1. Новые аналитические методы вычисления вероятностных характеристик евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества точек плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий. В частности можно отметить:

- теоремы о виде плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- теоремы о виде начальных моментов евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- программы для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- программное средство «Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения» для проведения статистического моделирования распределений евклидовых расстояний.

2. Новые статистические методы распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений. В частности можно отметить:

- утверждения о решающих правилах распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений;

- утверждения о вероятностях правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений;

- программы для подтверждения корректности решающих правил распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений;

- программы для расчета вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы состоит в следующем:

- исследована математическая модель случайного движения множества точек на плоскости, предполагающая случайные независимые повороты или отражения отдельных подмножеств;

- получены выражения для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- получены выражения для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний, когда множество точек подвергается случайному преобразованию целиком и, когда исходное множество разбивается на два подмножества, каждое из которых подвергается случайному преобразованию поворота или отражения;

- исследована математическая модель случайных сдвигов точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений;

- получены выражения для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или на фоне случайных гауссовских отклонений;

- предложена методика расчета вероятностей распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов, основанная на усреднении по распределениям исходных случайных параметров движения;

- предложена методика расчета вероятностей распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений, основанная на использование условных плотностей распределения вероятностей выборочных средних координат наблюдаемой точки;

- произведено сравнение двух моделей случайного движения точки на плоскости, в одной - сдвиг осуществляется на фоне случайных поворотов, в другой - на фоне случайных изотропных гауссовских отклонений.

Практическая значимость работы состоит в следующем: предложенные методы и алгоритмы могут использоваться для анализа случайного движения физических и биологических объектов на плоскости, а также в экономико-математическом моделировании. Аналитические методы и программные средства, разработанные в диссертации, могут быть использованы в учебном процессе.

Методология и методы исследования. Выполненное в диссертации исследование базируется на методологии статистической теории распознавания образов. Для решения поставленных задач в диссертации использовались теоретико-математические методы, методы математического моделирования и численные методы. В качестве теоретико-математических использованы следующие методы: теории вероятностей, математической статистики, математического анализа, теории функции комплексного переменного, теории обобщенных функций, теории преобразования Фурье. В качестве методов математического моделирования использовались методы статистического и имитационного моделирования. В качестве

численных методов использовались методы численного интегрирования несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования. Положения, выносимые на защиту:

- теоретико-математические методы, базирующиеся на доказанных теоремах, для вычисления вероятностных характеристик евклидовых расстояний между двумя упорядоченными копиями множества точек на плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- результат применения численного метода для расчета несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- программное средство «Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения» для расчета нормированных гистограмм распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

- результат применения программного средства «Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения»;

- теоретико-математические методы, базирующиеся на обоснованных утверждениях, для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений;

- результат применения численного метода для вычисления несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных помех;

- обоснованные утверждения о решающих правилах для распознавания направления сдвига точки, когда помехой является случайный поворот или когда помехой являются изотропные гауссовские отклонения;

- программа «Имитационное моделирование случайного сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов и реализация асимптотически оптимального метода распознавания направления сдвига» (разработана на языке Visual Basic for Applications в среде Microsoft Office Excel) для подтверждения корректности решающих правил распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов и программы в Matlab для подтверждения корректности решающего правила распознавания направления сдвига точки на фоне изотропных гауссовских отклонений.

Степень достоверности результатов исследования подтверждена совпадением характеристик, полученных в результате теоретического исследования и применения разработанных программных средств.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- XV Международная конференция «Ломоносов» (Москва, 2008 г.);

- Всероссийская конференция «Математические методы распознавания образов»

XIV (Суздаль, 2009 г.);

- Международная научно-техническая конференция «Наука и образование» — 2010 (Мурманск, 2010 г.);

- Международный молодежный научный форум «Ломоносов» (Москва, 2010 г.);

- Международная конференция «Интеллектуализация обработки информации» -2010 (Пафос, респ. Кипр, 2010 г.);

- Международная конференция «Pattern Récognition and Image Analysis: New Information Technologies» - 2010 (Санкт-Петербург, 2010 г.);

- Всероссийская конференция «Математические методы распознавания образов»

XV (Петрозаводск, 2011 г.);

- семинар в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, 3 ноября 2011 г.);

- Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '12 (Москва, 2012 г.);

- XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия) (Сочи-Вардане, 1-8 октября 2012);

- семинар кафедры ВМ и ПО ЭВМ МГТУ «Математические модели и численные методы в естественнонаучных, инженерных и социально-экономических исследованиях» (Мурманск, 6 декабря 2012);

- Международная научно-техническая конференция «Наука и образование» — 2013 (Мурманск, 2013 г.).

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации предложены теоретико-математические методы для исследования математических моделей случайного движения точек на плоскости. Проверка достоверности полученных теоретических результатов выполнялась с использованием численных методов и разработанных программных средств. Таким образом, выполненное исследование соответствует формуле специальности 05.13.18 (математическое моделирование, численные методы и комплексы программ) и пунктам 2, 3, 5, 8 в паспорте данной специальности.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 19 работ, в том числе 6 статей в журналах, указанных в списке ВАК РФ. Список публикаций приведен в автореферате.

Замечание: часть работ автора выполнено под фамилией Лясникова. Это девичья фамилия С.М. Бычковой.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, списка литературы из 82 наименований и 15 приложений. Общий объём работы 148 страниц, включая 48 рисунков и 3 таблицы.

Глава 1. Общая постановка распознавания случайного движения точек на плоскости на основе статистической теории распознавания образов

1.1 Модели случайного движения точек на плоскости

В различных предметных областях, при решении задач обработки зрительных образов, например в радиолокации и т.д., удобно представлять рассматриваемые объекты как множества точек плоскости. Например, на конечном этапе локационного наблюдения решаются задачи обработки изображений, которые представляют группу изолированных точечных объектов [41], т.е. множество точек плоскости. При этом объект, представленный множеством точек или точкой, может совершать случайные движения. Рассмотрим примеры таких движений.

В статье [40] рассмотрена задача навигации по точечным ориентирам. Авторами поставлена задача, в которой точечный датчик движется по плоскости и наблюдает точечные объекты этой же плоскости. Изображение, которое формирует датчик, представляет собой набор точек, которые задаются следующими координатами {(р, г), где (р - угол, отсчитываемый от оси обзора датчика, а /• — расстояние от датчика до объекта. Таким образом, подразумевается, что имеется два точечных изображения одной сцены, полученные датчиком из различных положений. Если одно из изображений получено при известном положении и угловой ориентации движущегося объекта, то его принимают за эталон. А по второму изображению требуется определить новое положение и ориентацию. Одна из задач, которая поставлена авторами - это определить смещение датчика и поворот оси обзора, повлекших переход первого изображения во второе.

В работе [2] рассматривается объект, который представляет собой группу точек и отличается по яркости от фона. Вводятся вероятности перемещения объекта из точки (к, т) в точку (/, _/) за один кадр. Представлена формула прогнозируемой вероятности присутствия объекта в точке (у). Решается задача обнаружения и выделения движущегося объекта.

В работе [43, с. 12] предполагается, что объект может представлять собой множество точек на плоскости. Автором рассмотрены следующие случаи: множество точек некоторым образом смещается и поворачивается; множество увеличивается и уменьшается (преобразование масштабирования); множество подвергается преобразованию сжатия или растяжения. В каждом случае приводится способ составления кода преобразованного множества.

В работе [26, с. 173 - 177] рассматривается деформированное изображение, которое представляет множество точек. При этом механизм деформации состоит из аддитивного шума и

экранировки пространства. Автором доказана теорема о восстановлении идеального изображения по деформированному. Данная теорема является инструментом, который позволяет избавиться от осложнений, возникающих из-за маскирующего эффекта деформации (аддитивного шума) и отсутсвием сведений об истинном упорядочении точек.

В [68, с. 416 - 417] рассматривается модель прямолинейной траектории точечной цели на экране индикатора. В процессе квантования прямолинейной траектории форма искажается.

Случайные блуждания можно рассматривать как модели движения точки на плоскости. Задача о случайных блужданиях возникла при изучении броуновского движения. Обычно исследуется два основных вида этой задачи - это случайные поступательные блуждания и случайные вращательные блуждания [33]. Формально задача о случайных блужданиях ставится следующим образом [22]: найти плотность вероятности того, что частица, испытав ./V прыжков в пространстве размерности С, окажется от места начала блужданий (можно взять начало координат) в интервале значений от я до я + Д/?. Каждый /-й прыжок может быть произведен в интервал длин от /-, до г,- + А г, с вероятностью р(г,). Все прыжки являются независимыми случайными величинам.

В работе [82] рассмотрено случайное движение точки на плоскости, которое описывается формулами:

п

Х„ =/1с08 фк

Ы1

<

п

уп=1^т(рк *=1

к

где <рк = 5 угол а1 равномерно распределен в промежутке (-7г; к), I -длина одного /=1

шага движения. В работе найдена плотность распределения вероятностей угла поворота случайного блуждания, которое начинается из начала координат и достигает точки с координатами (х„; уп) с общим углом поворота <р.

К. Пирсон поставил задачу о случайных блужданиях следующим образом [80]: найти вероятность нахождения человека (его можно принять за точку), который перемещается каждый раз на расстояние I по прямой с последующим поворотом на произвольный угол на расстояние Я от точки старта.

В работе [50] рассматривается движение анимата (аналога живого организма, например бабочки) в двумерном пространстве х, у. Движение осуществляется в дискретном времени, координаты х,у анимата изменяются на величины Лх(0 , Лу(0 соответственно. При движении в выбранном направлении анимат смещается на величину

Дх(/+1) = Я0 сое(р0, Лу(/+1) = Я0 эт<р0,

где угол (р0 характеризует сохраняющееся направление движения анимата, (р0 = агсЩ

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бычкова, Светлана Михайловна, 2013 год

Список литературы

1. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности/С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Ешоков, Л.Д. Мешалкин. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 607 с.

2. Алпатов, Б. А. Модели и алгоритмы обнаружения и выделения движущихся фрагментов изображений/ Б. А. Алпатов, А. И. Блохин // Автометрия. - 1995. - №4. - С. 100 - 104.

3. Амелькин, С.А. Обобщенное расстояние евклида-махаланобиса и его применение в задачах распознавания/ С.А. Амелькин, В. М. Хачумов // Математические методы распознавания образов: сборник докладов 12-ой всероссийской конференции. - М.: МАКС Пресс, 2005. - С. 7 - 9.

4. Анисимов, Б. В. Распознавание и цифровая обработка изображений: учеб. пособие для студентов вузов/ Б. В. Анисимов, В.Д. Курганов, В.К. Злобин. - М.: Высш. шк., 1983. — 295 с.

5. Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов/ Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков; под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с.

6. Бабаян, П.В. Распознавание объектов на изображениях при наблюдении из космоса / П.В. Бабаян, А.Б. Фельдман // Вестник РГРТУ, Рязань. - 2008. - №4. (26). - С. 3-10.

7. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы/ С.И. Баскаков - М.: Высшая школа, 2000.-462 с.

8. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения)/ Н.С. Бахвалов, II.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003.-632 с.

9. Белянкин, Г.А. Исследование статистической игры распознавания: автореф. диссертации канд. физ.-мат.наук: 01.01.09/ Г.А. Белянкин, МГУ им. М.В. Ломоносова. - М., 1996. - 14 с.

10. Бериков, В. Б. Байесовские оценки качества распознавания по конечному множеству событий/ В. Б. Бериков, Г.С. Лбов //Доклады Академии Наук, 2005. - Т. 402, №1. - С. 1 - 4.

11. Бериков, В.Б. Байесовский подход к определению качества распознавания/ В.Б. Бериков//Математические методы распознавания образов: сборник докладов 10-й Всероссийской конференции. - М.: АЛЕВ-В, 2001. - С. 6 - 9.

12. Бейтмен, Г. Высшие трансцедентные функции/ Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 297 с.

13. Боровков, A.A. Теория вероятностей: Учеб. пособие для вузов/ A.A. Боровков. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 432 с.

14. Бремерман, Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье/ Г. Бремерман. - М.: Мир, 1968. - 276 с.

15. Брюхомицкий, Ю.А. Статистические методы распознавания клавиатурного почерка/ Ю.А. Брюхомицкий // Известия Южного федерального университета. Технические науки, 2009. -Т. 100, №11.-С. 139-147.

16. Вапник, B.II. Теория распознавания образов (статистические проблемы обучения)/ В.II. Вапник, А.Я. Червоненкис. - М.: Паука, 1974. -416 с.

17. Ватсон, Дж.Н. Теория Бесселевых функций. Часть первая/ Дж. II. Ватсон; пер. со 2-го англ. изд. B.C. Бермана. -М.: Издательство иностранной литературы, 1949. - 799 с.

18. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей/ Е.С. Вентцель.- 4-е изд. стереотипное. - М.: Наука, 1969.-576 е.: ил.

19. Верхаген, К. Распознавание образов: состояние и перспективы/ К. Верхаген, Р. Дейн, Ф. Грун; пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1985. - 104 е.: ил.

20. Ветров, Д. П. Инвариантный метод настройки параметров в разреженном байесовском обучении/ Д. П. Ветров, Д. А. Кропотов// Математические методы распознавания образов: сборник докладов 13-ой всероссийской конференции. - М.: МАКС Пресс, 2007. - С. 93 - 95.

21. Ветров, Д.П. Новый метод обучения байесовской логистической регрессии с использованием лапласовского регуляризатора/ Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов, О.В. Курчин// Математические методы распознавания образов: сборник докладов 13-ой всероссийской конференции. - М.: МАКС Пресс, 2007. - С. 99 - 101.

22. Видов, П.В. Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий / П.В. Видов, М.Ю. Романовский //Труды института общей физики им. A.M. Прохорова, 2009. -Том 65-С. 3-19.

23. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции: Учебное пособие / И. М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. - М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. - 470 с.

24. Горелик, A.J1. Методы распознавания: Учеб. пособие для вузов/ A.JI. Горелик, В.А.Скрипкин - М.: Высш. школа, 1977.-222 с.

25. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник/ Б.В. Гнеденко. — М.: Едиториал УРСС, 2005.-448 с.

26. Гренандер, У. Лекции по теории образов. В 3 т. Т.2. Анализ образов/ У. Гренандер; пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-448 с.

27. Двоенко, С.Д. Обучение распознаванию с учетом априорной упорядоченности объектов/С.Д. Двоенко// Математические методы распознавания образов: сборник докладов 12-ой всероссийской конференции. - М.: МАКС Пресс, 2005. - С. 81 - 83.

28. Дуда, Р. Распознавание образов и анализ сцен/ Р. Дуда, П. Харт; под ред. Стефашока;

пер. с англ. Г.Г. Вайнштейна, A.M. Васьковского. - М.: Мир, 1976. - 511 с.

29. Егошипа, И.Л. Процедура упорядочения точек пространственных групповых точечных объектов/ И.Л. Егошина // Методы и устройства передачи и обработки информации /Муромский институт (филиал) государственного образовательного учреждения ВПО. — 2011.— № 13.-С. 81-85.

30. Журавлев, Ю.И. Распознавание. Математические методы. Программная система. Практические применения/ Ю.И. Журавлев, В.В. Рязанов, О.В. Сенько. - М.: Фазис, 2005. - 159 с.

31. Загоруйко, Н.Г. Методы распознавания и их применение/ Н.Г. Загоруйко. - М.: Советское радио, 1972. - 208 с.

32. Зорич, В.А. Математический анализ: Учебник. В 2 част. Ч. 2/ В.А. Зорич. - М.: Паука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 640 с.

33. Иванов, Е. Н. Еще о проблеме случайных блужданий/ Иванов Е. Н., Лавров И.В. // Химия и химическое производство. - 2007. -№3. - С . 101 - 105.

34. Кафтанова, Ю.В. Специальные функции математической физики. В 3 ч. 4.1. Функции Бесселя и цилиндрические функции в элементарном изложении с программами вычислений/Ю.В. Кафтанова. - Харьков.: ЧП Издательство «Новое слово», 2009. - 596 с.

35. Кибзун, А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами/ А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, A.B. Наумов, А.Н. Сиротин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.

36. Кириллова, В. В. Распределение расстояний между точечными геологическими объектами/ В. В. Кириллова //Вестник института геологии коми научного центра уральского отделения РАН. - 2012. - №7. - С. 15 - 21.

37. Кнут, Д. Искусство программирования. В 3 т. Т.2. Получисленные алгоритмы/ Д. Кнут. -3-е издание. - М.: Вильяме, 2000. - 788 с.

38. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. - М.: Наука, Главная редакции физико-математической литературы, 1976.-543 с.

39. Коршунов, В. Н. Алгоритм определения координат и сопровождения подвижных объектов в структуре телевизионного изображения/ В. Н. Коршунов, И.В. Илюшин // Математические методы распознавания образов: сборник докладов 9-й Всероссийской конференции. - М.: АЛЕВ-В, 1999. - С. 198 - 202.

40. Котоусов, A.B. Высокоточная навигация движущихся объектов по радиолокационным изображениям/ A.B. Котоусов, В.Б. Котоусов // Труды института математики и механики/ УрО РАН, 2005.-Том 11,№1. - С. 139- 148.

41. Кревецкий, A.B. Распознавание образов, заданных множеством характерных точек на плоскости изображения/ А.В Кревецкий // Автометрия (Сибирское отделение РАН). - 1999. -№2. - С. 28 - 36.

42. Кривенко, М.П. Распознавание элементов изображения, имеющих различные размеры/ М.П. Кривенко // Системы и средства информатики, 2007. - Том 17. -№1. - С. 30- 51.

43. Кудрявцев, В.Б. Введение в теорию интеллектуальных систем: Учебное пособие/ В.Б. Кудрявцев, Э.Э. Гасанов, А. С. Подколзин. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД № 05899 от 24.09.2001 г.); МАКС Пресс, 2006. - 208 с.

44. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т./ Л.Д. Кудрявцев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - Т. 1,2.

45. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.В.Шабат. - М: Наука, 1987. - 688 с.

46. Лбов, Г. С. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчивости решений/Г. С. Лбов, Н.Г. Старцева. - Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1999.-211 с.

47. Лбов, Г. С. Байесовский подход к решению задачи прогнозирования на основе информации экспертов и таблицы данных/ Г. С. Лбов, В. М. Неделько //Доклады РАН, 1997. -Т. 357, № 1.-С. 29-32.

48. Лбов, Г. С., О статистической устойчивости решающих функций в задачах распознавания и регрессионного анализа/ Г. С. Лбов, Т. А. Ступина // Доклады РАН, 1999. -Т. 368, № 1.-С. 31-34.

49. Лепский, А. Е. Математические методы распознавания образов: Курс лекций/ А. Е. Лепский, А. Г. Броневич. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. - 155 с.

50. Мосалов, О.П. Модель поискового поведения анимата/ О.П. Мосалов, В.Г. Редько, В.А.Непомнящих// Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -2003 .-№19. - С. 1- 16.

51. Моттль, В. В. Скрытые марковские модели в структурном анализе сигналов / В. В. Моттль, И. Б. Мучник - М.: Физматлит, 1999. - 352 с.

52. Моттль, В. В. Комбинирование потенциальных функций в многомодальном распознавании образов/ В. В. Моттль, А. И. Татарчук, О.В. Красоткина, В.В. Сулимова // Математические методы распознавания образов: сборник докладов 13-ой всероссийской конференции. - М.: МАКС Пресс, 2007. - С. 99 - 101.

53. Миленький, A.B. Классификация сигналов в условиях неопределенности/ A.B. Миленький. - М. : Сов. радио, 1975. - 328 с.

54. Муха, B.C. Статистическое распознавание многомерных негауссовских образов/В.С. Муха// Автоматика и телемеханика. - М.: Академиздатцентр «Наука» РАН, 2001. - №4. - С. 80 -90.

55. Обозов, A.A. Применение методов статистической теории распознавания образов при алгоритмизации систем диагностики судовых дизелей/ A.A. Обозов// Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2009. - №6. - С. 40 - 43.

56. Патрик, Э. А. Основы теории распознавания образов/ Э. А. Патрик; пер. с англ. В.М. Баронкина, Б.А. Смиренина, Ю.С. Шинакова; под редакцией Б.Р. Левина. - М.: Сов. Радио, 1980.-408 е.: ил.

57. Пересада, В.П. Автоматическое распознавание образов/ В.П. Пересада. - Ленинград: Энергия, 1970.-92 с.

58. Пискунов, II.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т./ Н.С. Пискунов. -СПб.: Мифрил, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1996. -Т1,2.

59. Румшиский, Л.З. Элементы теории вероятностей. Учеб. Пособие для вузов/Л.З. Румшиский. - М.: Наука, 1976. - 240 с.

60. Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений./ И.М. Рыжик, И.С. Градштейн. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. -1108 с.

61. Тихонов, В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем/ В.И. Тихонов, В.Н.Харисов. - М: Радио и связь, 1991. - 608 с.

62. Ту, Дж. Принципы распознания образов/ Дж. Ту, Р. Гонсалес; пер. с англ. И. Б. Гуревича; под редакцией Ю.И. Журавлева. - М.: Мир, 1978. - 414с.: ил.

63. Федотов, Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов / Н. Г. Федотов. - М.: Радио и связь, 1990. - 142 с.

64. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей: в 2 т. / В. Феллер. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - Т. 1,2.

65. Фомин, Я.А. Статистическая теория распознавания образов/ Я.А. Фомин, Г.Р. Тарловский. -М.: Радио и связь, 1986. - 264 е.: ил.

66. Фу, К. Структурные методы в распознавании образов/ К. Фу; перевод с англ. Н.В. Завалишина, C.B. Петрова, Р.Л. Шейнина; под ред. М.А. Айзермана. - М.:Мир, 1977. - 320 с.

67. Фукунага, К. Введение в статистическую теорию распознавания образов/ К. Фукунага. -М.: Наука, Главная редакции физико-математической литературы, 1979. - 368 с.

68. Введение в контурный анализ. Приложения к обработке изображений и сигналов/ Я.А. Фурман, A.B. Кревецкий, А.К. Передреев, A.A. Роженцов, Р.Г. Хафизов, И.Л. Егошина, А.Н. Леухин; Под ред. Я.А. Фурмана. - 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 592 с.

69. Цыпкин, Я.З. Основы теории автоматических систем/ Я.З. Цыпкин. - М.: Наука, 1977. -559 с.

70. Abramowitz, Milton Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables/Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. - New York: Dover, 1972. - 1046 p.

71. Berikov, V.B. On the convergence of logical decision functions to optimal decision functions/ V.B. Berikov //Pattern Recogn. Image Analysis, 1995. - Vol 5, №1. - 1995. - P. 1 - 6.

72. Berikov, V.B. Regression trees for analysis of mutational spectra in nucleotide sequences/ V.B. Berikov, I. B. Rogozin//Bioinformatics. - 1999. -№ 15. - P. 553 - 562.

73. Chi, Hau Chen Statistical pattern recognition in remoute sensing/ Hau Chen Chi, Peter Ho Pei - Gee //Pattern Recognition, 2008. - Vol. 41, Issue 9. - P. 2731 - 2741.

74. Jain, Anil K. Statistical pattern recognition: a review/Anil K. Jain, Robert P.W. Duin, Jianchang Mao //IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 2000. - Vol. 22, No. 1. - P. 4-37.

75. Jeune, Bernard Statistical recognition of random and regular phyllotactic patterns/ Bernard Jeune , Denis Barabe //Annals of botany/ Oxford University Press, 2004. - Vol. 94, No. 6. - P. 913 -917

76. Lbov, G. S. Recursive method of formation of the recognition decision rule in the class of logical functions/ G. S. Lbov , V. B. Berikov // Pattern Recognition and Image Analysis/ Pleiades Publishing, Ltd., 1993. - Vol 3, No 4. - P. 428 - 431.

77. Lbov, G. S. Recognition of a dinamic object and prediction of quantitative characteristics in the class of logical functions/ G. S. Lbov, V. B. Berikov //Pattern Recognition and Image Analysis/ Pleiades Publishing, Ltd, 1997. - Vol 7, No 4. - P. 407 - 413.

78. Mottl, V.V Fusion of Euclidian metrics in featureless data analysis: an equivalent of the classical problem of feature selection/V.V. Mottl, O.S. Sercdin, O.V. Krasotkina, I.В Muchnik // Proceedings of 7th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis, 2004. - P. 94-97.

79. Mottl, V.V. Mathematically correct methods of similarity measurement on sets of signals and symbol sequences of different length/ V.V. Mottl, O. S. Seredin, V. Sulimova//Pattern Recognition and Image Analysis, 2005. - Vol. 15, No. 1. - P. 87 - 89.

80. Pearson, K. The problem of the random walk/ K. Pearson // Nature, 1905. - Vol. 72. - P. 294 -311.

81. Webb Andrew R. Statistical Pattern Recognition/ Andrew. R. Webb. - The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex P019 8SQ, England: John wiley & sons, LTD, 2002. - 504 c.

82. Wiegel, F.W. Distribution of the angle of rotation for plane random walks / F.W. Wiegel // Physica A: Theoretical and statistical physics. - 1984. - P. 211 - 219.