Математическое моделирование эффективной теплопроводности композитов при помощи случайных блужданий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Хан Зо Тун

• Хан Зо Тун
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Хан Зо Тун

Введение

Глава 1. Моделирование теплопроводности случайными блужданиями

1.1. Решение уравнения теплопроводности при помощи свертки

1.2. Броуновское движение виртуальных частиц тепловой

энергии

1.3. Моделирование теплопроводности вблизи поверхности

раздела

1.4. Выводы по первой главе

Глава 2. Методы оценки эффективной теплопроводности

2.1. Распространение теплового импульса через плоский слой. Безразмерное время т

2.2. Оценка т по смещению центра тепловой энергии (С-метод)

2.3. Вероятность прохождения виртуальной частицы через слой

за заданное время

т

т

2.6. Выводы по второй главе

Глава 3. Результаты вычислительных экспериментов

3.1. Генератор случайных блужданий

3.2. Упорядоченное и хаотичное расположение включений

3.3. Нетеплопроводные и теплопроводные шаровые включения

т

3.5. Сравнение с теоретическими результатами

3.6. Выводы по третьей главе

Стр.

Глава 4. Анизотропные композиты

4.1. Проверка гипотезы об изотропности теплопроводности

4.2. Композиты с упорядоченными эллипсоидными включениями

4.3. Эффективная теплопроводность однонаправленных волокнистых композитов

4.4. Выводы по четвертой главе

Общие выводы и заключение

Список литературы

Приложение

Список используемых обозначений Обозначения из теории вероятностей:

Х2(п) — распределение хи-квадрат с п степенями свободы

— дисперсия случайной величины £ Е — единичная матрица

Е£ — математическое ожидание случайной величины £ N(0,1) — стандартное нормальное распределение N (а, а2) — нормальное распределение с о средним а и дисперсией а2 N (а, 2) — трехмерное нормальное распределение с вектором средних а

и матрицей ковариаций 2 ф _ функция стандартного нормального распределения 3' ...................... исправленный средний квадрат отклонения

а ...................... среднеквадратичная погрешность

аотн — относительная среднеквадратичная погрешность 0с ...................... МоменТ первого достижения процессом — значения с

ис — квантиль уровня с стандартного нормального распределения — _ стандартный одномерный винеровский процесс

Ль— — стандартный одномерный винеровский процесс, отражающийся от

точки Ь при первом попадании в нее (Х^, — трехмерный винеровский процесс

Параметры материалов:

С1 — объемная теплоемкость материала матрицы С2 — объемная теплоемкость материала включений С — эффективная объемная теплоемкость композита А1 — коэффициент теплопроводности материала матрицы Л2 — коэффициент теплопроводности материала включений

Л — эффективный коэффициент теплопроводности (ЭКТ) композита а1 — коэффициент температуропроводности материала матрицы а2 — коэффициент температуропроводности материала включений аЛ

^ _ статистическая оценка Л \х _ ЭКТ в направлен ни оси Ох

_ ЭКТ в поперечном направлении И = {щ) — тензор теплового сопротивления тх ...................... тепловое сопротивление в направлении оси Ох

т± — тепловое сопротивление в поперечном направлении

Геометрические параметры:

Ь — толщина слоя композита

О — сторона куба, на который приходится (точно или в среднем) одно шаровое включение, или сторона квадрата, через который проходит (точно или в среднем) одно цилиндрическое включение Я — радиус шаровых или цилиндрических включений т _ радиус шаровых или цилиндрических включений, если считать О = 1 — расстояния между узлами вытянутой кубической решетки, образованной центрами включений, в продольном направлении ¿2 — расстояния между узлами вытянутой кубической решетки, образованной центрами включений, в поперечном направлении Ях — продольная полуось включений, имеющих форму эллипсоидов вращения

Я± — поперечная полуось включений, имеющих форму эллипсоидов вращения

Вспомогательные величины и функции:

q ...................... тепловая энергия тела

Mx, My, Mz — статические моменты тепловой энергии тела (x, y, z) — координаты центра тепловой энергии тела At — шаг времени при моделировании случайного блуждания (Ax, Ay, Az) — смещение виртуальной частицы тепловой энергии за время At

T — ограничение времени блуждания виртуальной частицы тепловой энергии т — безразмерное время распространения теплоты через слой X (т) — безразмерное смещение центра тепловой энергии в слое D(t) — безразмерная дисперсия плотности распределения тепловой

энергии вдоль нормали слоя Ф(т) — вероятность прохождения виртуальной частицы сквозь слой

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование эффективной теплопроводности композитов при помощи случайных блужданий»

ВВЕДЕНИЕ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Многие физические задачи приводят к уравнениям в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов. Для решения таких уравнений применяются разнообразные численные методы: сеточные, метод Фурье, вариационные. Однако, если тело имеет сложную форму или состоит из различных материалов (композит), эти методы трудно реализуемы. В таких случаях может оказаться более эффективным так называемый метод Монте-Карло — моделирование случайных событий, по параметрам распределения которых можно найти значения интересующих нас величин.

Композит, состоящий из матрицы и включений различных материалов, может обладать новыми свойствами по сравнению со свойствами своих компонентов. По структуре можно разделить композиты на зернистые, волокнистые и слоистые. Исследованию теплопроводности композитных тел посвящены работы Г.Н. Дульнева, Ю.П. Заричняка, B.C. Зарубина, Г.Н. Кувыр-кина, Н.С. Солтанова, Л.П. Хорошуна, Т.Д. Шермергора и многих других авторов. Математические модели, описывающие процесс теплопроводности в композите, могут быть применены для оценки электропроводности, диэлектрической и магнитной проницаемости композита.

Данная работа посвящена исследованию теплопроводности зернистых и волокнистых композитов. Если включения в композите имеют близкие размеры во всех направлениях, то в первом приближении их можно рассматривать как шаровые. Форму, близкую к шару, имеют и некоторые наностру-ктурные элементы (в том числе фуллерены), которые в последнее время применяются как включения для композитов различного назначения. Для композита с шаровыми включениями удается построить адекватные мате-

матические модели, достаточно достоверно прогнозирующие зависимость его эффективного коэффициента теплопроводности (ЭКТ) от теплопроводности матрицы и включений и от объемной концентрации включений. Основными параметрами, определяющими эффективную теплопровод-

ность композита, являются

1) теплопроводность и объемная доля компонентов,

2) форма и размеры включений,

3) пространственное расположение включений.

Одной из самых ранних можно считать формулу Рэлея [56] для теплопроводности двухкомпонентного композита с шарообразными включениями:

_А_ = 2А1 + А2 + 2Су(А2 - АО (В

А1 2А1 + А2 — Су (А2 — А1)

А1 А2 АЛ

ЭКТ композита, Су — объемная концентрация включений. Эта формула совпадает с известной формулой Максвелла, полученной на основе более простой двухфазной модели, состоящей из включения в виде сплошного шара и окружающего его материала матрицы [33].

А. Миснар [38] исследовал влияние формы включений и их ориентации. Например, для кубических включений и теплового потока в направлении ребер куба им предложена формула

А = 1 + Су 1 — А1/А2

А1 у 1 — 3СУ {1 — А2/А1)'

а в случае теплового потока в направлении диагонали куба

А 1 — ^СУ + ^^

А1 У 2(1 — л^СУ) + л/2 УСУ А1/А2' Параметрическое сопоставление ЭКТ композитов с различной формой и ориентацией не соприкасающихся включений, при их объемной концентрации в пределах 30%, показало, что различие в расчетных значениях ЭКТ

для рассмотренных моделей не превышает 7,5%. Этот результат очень важен, так как позволяет рассматривать включения простейших форм. Поэтому в большинстве работ, где исследуется теплопроводность зернистых композитов (например, [35], [47]), форма этих частиц принята в виде шара, а тепловой контакт между ними и матрицей предполагается идеальным.

В работе [55] представлена методология для прогноза ЭКТ произвольных композиционных частиц с тепловым сопротивлением на границе раздела фаз. Результаты этой модели сравнивается с существующими моделями и имеющимися экспериментальными результатами. Предложенный подход переоткрывает существующие теоретические результаты в простых предельных случаях. Численные расчеты различных наборов композиционных материалов показывают очень интересные прогнозы относительно влияния формы и размера частиц на межфазное тепловое сопротивление.

В работе [51] эпоксидные композиты на основе паров, выращенных из углеродного волокна, были изготовлены и проанализированы на теплофизиче-ские свойства при комнатной температуре. Была получена беспрецедентно высокая теплопроводность 695 Вт/мК для полимерных композиционных материалов. Плотность всех композитов ниже, чем 1,5 г/см3. Кроме того, в отличие от металлического матричного композита, эпоксидный композит имеет электрически изолирующую поверхность.

В работе [5] рассматриваются асимптотические методы расчета неоднородных композитных материалов с учетом микромеханических эффектов, вызванных особенностями внутренней структуры. Получены решения широкого круга задач, касающихся вычисления эффективных характеристик композитов и определения концентраций полей на микроуровне.

В работе [49] предложена численно-аналитическая методика моделирования теплофизического поведения пространственно армированных композитов. Для предельного случая проведено сравнение расчетных значений

ЭКТ однонаправленно и перекрестно армированных композитов с экспериментальными данными. Показано удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных значений этих величин.

В работе [10] были применены новые подходы к задаче оценки ЭКТ материала с включениями определенной формы из другого материала. Использовались методы вариационного исчисления, при этом рассматривалась упрощенная модель окрестности включения.

В работе [26] предложена математическая модель переноса тепловой энергии в композите с включениями, имеющими форму волокон, на основе которой найдены ЭКТ такого композита. Выполнена оценка возможной погрешности полученных результатов с применением двойственной вариационной формулировки задачи стационарной теплопроводности. Полученные результаты могут быть полезны при прогнозе ЭКТ композитов, модифицированных наноструктурными элементами.

В нескольких работах В.С.Зарубина, Г.Н.Кувыркина, И.Ю.Савельевой 12*4 301 проведен сравнительный количественный анализ различных математических моделей теплового взаймодействия шаровых включений и матрицы композита, используемых для построения оценок ЭКТ такого композита; с применением двойственной формулировки вариационной задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле получены верхняя и нижняя границы возможных значений ЭКТ. Выявлено слабое влияние на ЭКТ композита замены формы включений на кубическую. При помощи модели теплового взаимодействия однородного материала как с шаровыми включениями, так и с частицами матрицы. Выведена расчетная формула для оценки искомого ЭКТ этого материала во всем диапазоне возможного изменения объемной концентрации включений. Также построена математическая модель переноса тепловой энергии в композите с включениями шаровой формы. Получены оценки ЭКТ такого композита. При-

мененный подход использовал трехфазную модель, в которой составной шаровой частице как представительному элементу структуры композита можно поставить в соответствие равновеликий шар большего радиусом с коэффициентом теплопроводности, равным искомому ЭКТ. Формула для ЭКТ, полученная таким путем, совпала с формулой (В.1).

Также для получения оценки ЭКТ композита с шаровыми включениями применялся метод самосогласования, основанный на осреднении параметров возмущенного температурного поля в элементах структуры композита. Проведен количественный анализ полученной расчетной зависимости для ЭКТ рассматриваемого композита. По мере увеличения различия между коэффициентами теплопроводности включений и матрицы ширина полосы между нижней и верхней оценками при промежуточных значениях объемной концентрации включений возрастает, что может привести к увеличению возможной погрешности полученной расчетной зависимости.

Также получены оценки ЭКТ композита, в том числе с применением двойственной формулировки вариационной задачи стационарной теплопроводности, которые могут быть использованы для прогноза ЭКТ композита, модифицированного наноструктурными элементами.

В работе [20] применительно к перспективным конструкционным материалам современных энергетических установок, подверженных воздействию интенсивных тепловых нагрузок, построена математическая модель переноса тепловой энергии в композите с изотропной матрицей и анизотропными шаровыми включениями в предположении хаотичной пространственной ориентации главных осей тензора теплопроводности включений. Получены оценки ЭКТ такого композита, в том числе с применением двойственной формулировки вариационной задачи стационарной теплопроводности. В предельном случае отсутствия матрицы эти оценки примененимы к поликристаллическому материалу, состоящему из анизотропных кристалли-

ческих зерен со статистически усредненной шаровой формой.

Возросшая мощность современных компьютеров позволяет применить принципиально другой подход к решению задачи об эффективной теплопроводности. Процесс теплопроводности можно моделировать при помощи диффузионных процессов, т.е. случайных блужданий виртуальных частиц тепловой энергии. Идея состоит в том, чтобы сформулировать удобно вычисляемую оценку температуропроводности, которая теоретически известна для однородного материала, и статистически оценивать ее для композитного материала.

Цель и задачи исследования. Построить математическую модель процесса теплопроводности, использующую случайные блуждания виртуальных частиц теплоты, и разработать методы оценки ЭКТ композита. При помощи этой модели найти ЭКТ композита с шаровыми включениями, расположенными упорядочение или хаотично, и проверить гипотезу о совпадении полученных коэффициентов. Проверить точность формулы Рэлея для композитов с шаровыми включениями материалов с различными коэффициентами теплопроводности и теплоемкости. В случае анизотропного композита с эллипсоидными включениями, представляя эффективную теплопроводность тензором теплового сопротивления, при различных отношениях теплопроводности материалов матрицы и включений и формах включений проверить гипотезу об изотропности теплопроводности. Найти продольный и поперечный ЭКТ композита с параллельными цилиндрическими включениями, расположенными упорядоченно или хаотично.

Методы исследования. Моделируя теплопроводность случайным блужданием виртуальных частиц теплоты, ЭКТ оценивается статистически по их смещению относительно начального положения или по статистической вероятности прохождения частицы сквозь слой композитного материала за

время, не превышающее заданный промежуток.

Научная новизна.

1. Разработана и реализована на компьютере модель процесса теплопроводности, использующая случайные блуждания виртуальных частиц тепловой энергии. Модель учитывает различные значения теплопроводности и теплоемкости в разных областях материала.

2. Предложены два критерия эффективной теплопроводности композита: оценка смещения за заданное время так называемого центра тепловой энергии, определяемого аналогично центру масс или заряда (С-метод), и оценка вероятности того, что виртуальная частица успеет пересечь слой композита за заданное время (Р-метод).

3. Найдены оптимальные параметры вычислительных экспериментов, использующих эти методы. Для обоих методов оценена точность при заданном объеме вычислений.

4. Статистически проверены гипотезы об одинаковости результатов, получаемых С-методом и Р-методом, и одинаковости ЭКТ при упорядоченном и хаотичном расположении шаровых или параллельных цилиндрических включений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Результаты, полученные рассматриваемым методом, позволяют учитывать различия не только теплопроводности, но и теплоемкости материалов матрицы и включений, а также анизотропность композита в случае упорядоченных включений. Разработанные методы можно применять для более сложных композитов (включения из нескольких материалов, произвольной формы). Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГТУ им. Н.Э.Баумана, С.-Петербургском государственном университете, Ярославском государствен-

ном университете, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Дальневосточном научном центре РАН.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Разработана модель процесса теплопроводности, использующая случайные блуждания виртуальных частиц тепловой энергии, учитывающая различные значения теплопроводности и теплоемкости в разных областях материала.

2. Предложены два метода оценки эффективной теплопроводности композита при помощи случайных блужданий виртуальных частиц теплоты. Статистически подтверждены гипотезы об одинаковости результатов, получаемых этими методами, и одинаковости ЭКТ при упорядоченном и хаотичном расположении шаровых или параллельных цилиндрических включений.

3. Результаты согласуются с полученными аналитическими методами в достаточно широком диапазоне коэффициентов теплопроводности и теплоемкости включений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов вычислительных экспериментов с известными в литературе расчетными данными других исследователей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы апробированы на XI Международном научном симпозиуме < Передовые технические системы и технологии» (г. Севастополь, 2015), Международной научно-методической конференции <Математика и естественные науки. Теория и практика» (г. Ярославль, 2015), International Conference on Aerospace Engineering (г. Москва, 2016). Результаты работы обсуждались на конференции <<Студенческая весна»(МГТУ им. Н.Э.Баумана, Москва, 2016, 2017).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, в том числе в 5 статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий и в 2 тезисах конференций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылкакми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих результатов и выводов, списка литературы и приложения. Работа представлена на 111 страницах, содержит 30 иллюстраций и 23 таблицы. Список литературы включает 64 наименования.

Во введении проведен обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе описана математическая модель процесса теплопроводности, использующая случайные блуждания. Пусть пространство заполнено изотропным материалом, имеющим объемную теплоемкость C и коэффициент теплопроводности А, тогда уравнение теплопроводности имеет вид

U = a V2u,

где

a = А/C

коэффициент температуропроводности. Если известно начальное распределение температуры u0(x,y,z), то можно получить распределение темпера-

туры через время t при помощи свертки

u(t, x, y, z) = u0 * p(t)(x, y, z),

где функция

x2 + y2 + z2

,2

4at

есть плотность нормального распределения с нулевыми средними и матрицей ковариаций 2а£Е, где Е — единичная матрица.

Решение уравнения теплопроводности по формуле свертки можно получить с использованием винеровского процесса , ): пусть трехмерная случайная величина (Х0, У, ^0) имеет плотность распределения и0(х, у, £), тогда трехмерная случайная величина с координатами

будет иметь плотность распределения u(t, x, y, z).

В данной математической модели процесс теплопроводности представляется как случайное блуждание виртуальных частиц, представляющих выборку из распределения, плотность которого в каждый момент времени пропорциональна плотности тепловой энергии (т. е. температуре, отсчитываемой от некоторого выбранного нуля, умноженной на объемную теплоемкость).

Если рассматривается ограниченное тело U, и на его поверхности нет теплообмена с окружающей средой путем теплопроводности или излучения, то решение уравнения теплопроводности при помощи случайных процессов модифицируется: траектории случайных точек (Xt, Y, Zt) должны отражаться от теплоизолируемой поверхности. При компьютерном моделировании это означает запрет виртуальной частице при выборе очередного шага покидать область U.

Xt = Xo + Y = Yo + nt, Zt = Zo + Zt

Пусть композит состоит из матрицы материала с объемной теплоемкостью С и коэффициентом теплопроводности Х\ — и включений из материала с объемной теплоемкостью С2 и коэффициентом теплопроводности А2 (Рис.В.1).

Рис. В.1. Пример траектории виртуальной частицы теплоты в композите

Скорость диффузии в каждом материале пропорциональна его коэффициенту температуропроводности. При переходе же из одного материала в другой, с меньшим коэффициентом теплопроводности А^., виртуальные частицы с вероятностью 1 — А^/А{ отражаются от поверхности раздела.

Во второй главе предложены методы оценки эффективной теплопроводности композита. В пространстве Охуг рассматривается плоский слой композита толщиной Ь, ограниченный параллельными плоскостями

и = {0 < х < Ь}.

Под эффективным коэффициентом температуроводности композита в направлении оси Ох будем понимать такую величину а, что в таком же слое однородного материала с постоянной температуроводностью а = а температура будет выравниваться столь же быстро, как в рассматриваемом композите.

Эффективная объемная теплоемкость композита это его средняя объемная теплоемкость

С = Сх{1 - Су) + С?Су,

где Су — объемная концентрация включений; ЭКТ выражается формулой

Л = С • а.

Перераспределение температуры в слое однородного материала единообразно выражается через безразмерное время

Т = Ь? ■

Мы будем рассматривать слой известной толщины Ь из материала, имеющего заранее неизвестную эффективную температуропроводность Л По тому, как тепло перераспределится в слое за время можно оценивать безразмерное время

т = Лг/Ь2 и таким образом находить значение

Ь2т

а = —.

г

т

гии. Пусть и — тело в пространстве (ж, у, г). Полная тепловая энергия тела равна

Q = JJJ Си<ж<у<г.

и

Будем называть статическими моментами тепловой энергии величины

Мх = JJJ жСи<ж<у<г,

и

Му = JJJ уСи<ж<у<г,

и

Мг = JJJ г С и

и

Центром тепловой энергии назовем точку с координатами

_ _МХ _ _Му _ _мг

х = у = * =

Сначала рассмотрим слой {0 < х < Ь} однородного материала с коэффициентом температуропроводности а с теплоизолированными поверхностями. Пусть в начальный момент (£ = 0) тепловая энергия распределена с единичной поверхностной плотностью в бесконечно тонком слое у поверх-х=0

с\

и = а У и = аиХХ при £ > 0

получаем

1/ ппх ( п2и2а1 \\

и = Ь( 1 + 22^с08"^ехН--ьГ) )■

^ п= 1 '

Первая координата центра тепловой энергии равна

Х(Ь) = ЬХ (т),

где т = а£/Ь2 — безразмерное время, а X(т) — безразмерная функция, заданная формулой

1 / О 1 \

Х(т) = 1(1 - ^ Е ехр(-п2+ 1)2Т))

__ Т

0,2 0,4 0.6

Рис. В.2. График функции X(т)

График функции X(т) показан на Рис. В.2.

Вычислительный эксперимент состоит в том, что п частиц стартуют с поверхности ж = 0 и совершают броуновское движение, отражаясь от теплоизолированных поверхностей ж = 0 и ж = Ь. В некоторый момент времени г вычислим среднее значение ж(г) координаты ж этих частиц. Его математическое ожидание равно ж(£). Дисперсия координаты ж одной частицы равна

Бж(г) = Ь2Л(т),

где

°(т) = 1 + 4 £ Щ- ехр(-п2п2т) - X2(т).

П=1

п

Бж(г) Ь2Л(т)

Бж(г) = —— = ——.

пп

Если в вычислительном эксперименте получено значение ж, то точечную оценку эффективного коэффициента температуропроводности а находим из уравнения

Ь2

ЬХ (т ) = ж, т = X-1(ж/Ь), а = —X-1(ж/Ь).

Согласно центральной предельной теореме, а-доверительный интервал для ж имеет вид

|ж - ж| < Ь,

п

1 + а

где ир — квантиль уровня р = - стандартного нормального распреде-

2

ления.

т

альной частицы сквозь слой материала. Так же, как и при С-методе, будем рассматривать неограниченный слой композита

и = {0 < ж < Ь}.

В качестве критерия температуропроводности рассмотрим вероятность Р того, что частица теплоты, стартующая на поверхности х = 0, дойдет за время, меньшее Т, до поверхности х = Ь.

С физической точки зрения это означает, что к одной поверхности слоя, имевшего нулевую температуру, был приложен мгновенный равномерный источник тепловой энергии, а на другой поверхности слоя тепловая энергия поглощается (фиксирована нулевая температура), и нас интересует, какая часть тепловой энергии пройдет сквозь слой за заданное время.

Для однородного материала с коэффициентом температуропроводности а имеем Р = Ф(т), оде т = аТ/Ь2 — безразмерное время, а безразмерная функция Ф(т) задана формулой

^ / 2к+1-

к=0

1 I

есть функция стандартного нормального распределения. График функции Ф(т) показан на Рис.В.З.

ф(т ) = 4 £(-1)к Ч -

Ф(х) = -= е /2 ¿п

—оо

Рис.В.З. График функции Ф(т)

Вычислительный эксперимент вьпушдит следующим образом. Имеется слой {0 < х < Ь} эффективную темпратуропроводность а кото-

poro нужно оценить. Пусть п частиц стартуют с поверхности x = 0. Пусть q = m/n — доля частиц, успевших за время, меньшее T, дойти до поверхности x = b. Согласно центральной предельной теореме, а-доверительный интервал для P имеет вид

О я(1 - я) / р ^ , М1 - я) Р

Р1 = я - ир\ -< Р < я + ир\ -= Р2,

V п V п

1 + а

где ир — квантиль уровня р =-стандартного нормального распределе-

2

пия. Следовательно, а-доверительный интервал для а в линейном приближении имеет вид

Ь2 '

q(l - q)

Сравнив два описанных метода оценки т, мы обнаружили, что С-метод менее эффективен в вычислительном отношении. Для получения такой

п

больше, чем при Р-методе. Однако, Р-метод выглядит не вполне естественным. Может возникнуть сомнение в том, что результат, получаемый с его помощью, можно считать эффективной теплопроводностью. Были проведены несколько серий вычислительных экспериментов, подтвердивших гипотезу о том, что два рассматриваемых метода дают одинаковые значения ЭКТ. В дальнейшем решено использовать Р-метод.

В третьей главе описаны результаты вычислительных экспериментов. Рассматривались шаровые включения одинакового размера, расположенные в узлах кубической решетки, и оценивался ЭКТ вдоль произвольной оси Н. Искомый безразмерный результат зависит от одного параметра — отношения г = Я/Р радиуса включения к шагу кубической решетки, 0 < г < 0,5. Толщина слоя Ь должна быть намного больше расстояний между центрами включений, решено взять Ь = 4. Затем рассмотрели включения

такого же радиуса, расположенные хаотично с плотностью 1/D3, для каждой частицы заново задавалось случайное расположение центров шаров во фрагменте слоя.

Полученные значения ЭКТ имели при объеме выборки n = 10 000 относительную среднеквадратичную погрешность около 1,2%. Несколько серий вычислительных экспериментов подтвердили гипотезу о том, что ЭКТ одинаков в случае хаотичных и упорядоченных шаровых включений. Это весьма полезный результат, так как вычислительные эксперименты с хаотично расположенными шарами занимают намного больше времени из-за сложности процедуры случайной расстановки шаров.

Далее обосновывается выбор параметров времени для оценки т по Р-методу. Пусть при моделировании случайного процесса мы взяли шаг времени At. Среднеквадратичные приращения каждой из трех координат при одном шаге составляют V2aAt. Чтобы дискретный процесс не сильно отличался от непрерывного, нужно V2aAt ^ R (мы будем рассматривать R > 0,2D).

Поскольку завышенные требования к малости шага At приведут к чрезмерному объему вычислений, было решено не действовать наугад, а повто-

At

вдвое, начиная с 10-3.

Сравнив результаты вычислительных экспериментов по нахождению ЭКТ при различных значениях шага времени при значениях теплопроводности и объемной теплоемкости включений, отличающихся от тех же параметров материала матрицы не более, чем в 4 раза, а также случай нетеплопроводных включений, взяв объем выборки 40 000 (среднеквадратичное отклонение результата около 0,6%), мы обнаружили, что вычислительные эксперименты с шагом времени 0,001 недостаточно точны, а вдвое меньший шаг нас устраивает, и брать его еще меньше уже нецелесообразно. Во всех дальней-

ших вычислительных экспериментах мы нашли оптимальным шаг времени At = 0,0005.

Далее мы выяснили, как оптимально задать время T для оценки т по Р-методу. Было обнаружено, что эффективность вычислений максимальна при T = 3. При увеличении T она снижается медленно, а при уменьшении T

При сравнении наших результатов с теоретически предсказанными в работе В.С.Зарубина, Г.Н. Кувыркина и 14.Ю. Савельевой (2012) обнаружено, что полученные нашим методом ЭКТ мало отличаются от предсказанных, если коэффициент температуропроводности материала включений а2 = Л2/С2 не сильно (менее, чем в 4 раза) отличается от коэффициента температуропроводности матрицы ai = Х\/С\. Если же он отличается в 4 раза и более, то полученный нами ЭКТ отличается от вычисленного по формуле (В.1) на 5 15% в большую сторону.

В четвертой главе рассмотрен пример композита, в котором наблюдалась анизотропия теплопроводности.

Рис. В.4. Упорядоченные эллипсоидные включения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хан Зо Тун, 2018 год

Список литературы

2. Арзамасов A.B. Волокнистые композиционные материалы с металлической матрицей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 23 с.

3. Научные основы материаловедения / Б.Н. Арзамасов, А.И. Крашенинников, Ж.П. Пастухова, А.Г. Рахштадт. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. 366 с.

4. Болотин В.В., Васильев В.В., Протасов В.Д. Композиционные материалы: Справочник. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

5. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутреней структуры. Днепропетровск: Пороги. 2008. 196 с.

6. Васильев Л.Л., Танаева С.А. Теплофизические свойства пористых материалов. Минск: Наука и Техника, 1971. 265 с.

7. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд., доп. М.: Наука, Физматлит. 1996. 400 с.

8. Войтишек A.B. Основы метода Монте-Карло: учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2010. 108 с.

9. Гихман И.П., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов, Наука, М., 1965.

10. Головин H.H., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита, модифицированного фуллеренами / Композиты и наноструктуры. 2012. № 4. С. 15-22.

11. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 264 с.

12. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Процессы переноса в неоднородных средах. М.: Энергоатомиздат, 1991. 243 с.

13. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 473 с.

14. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. СПб.: Невский Диалект, 2009. 192 с.

15. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. 304 с.

16. Заричняк Ю.П., Иванов В.А. Аналитические оценки эффективной теплопроводности композиционных материалов — фторпластов с различными порошковыми наполнителями. Научно-аналитический журнал. Природные и техногенные риски. 4 (12). 2014. С. 29-35.

17. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

18. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 496 с.

19. Зарубин B.C. Моделирование. М.: Издательский центр "Академия", 2013. 336 с.

20. Зарубин B.C., Котович A.B., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями. Известия РАН. Энергетика. 2012. № 6. С. 118-126.

21. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

22. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями / Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Л'° 3. С. 76-85.

23. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с анизотропными эллипсоидальными включениями. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2013. №4. С. 311-320. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/541050.html (дата обращения 06.05.2013). DOI: 10.7463/0413.0541050

24. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями / Тепловые процессы в технике. 2012. 10. С. 470-474.

25. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита при непрерывном изменении теплопроводности между шаровыми включениями и матрицей / Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Спецвыпуск "Прикладная математика и механика". С. 95-102.

26. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность композита, армированного волокнами. Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2013. 5. С. 75-81.

27. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с включениями в виде удлиненных эллипсоидов вращения // Тепловые процессы в технике. 2013. Т. 5. № 6. С. 276282.

28. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности композита с шаровыми включениями. Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2013. № 7. С. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319.

29. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования. Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2013. № 9. DOI: 10.7463/0913.0601512.

30. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности однонаправленного волокнистого композита методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон, журн. 2013. № И. С. 201-209. DOI: 10.7463/1113.0622927. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/622927.html (дата обращения 06.10.2013).

31. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1993. 360 с.

32. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории, Мир, М., 1968.

33. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.

34. Кац Е.А. Фу мерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 296 с.

35. Кингери У.Д. Введение в керамику: Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1967. 502 с.

36. Теория тепломассообмена / Под ред. Леонтьева А.И. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 684 с.

37. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа, ИЛ, М., 1957.

38. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций: Пер. с франц. М.: Мир, 1968. 464 с.

39. Печинкин A.B., Тескин О.И., Цветкова Г.М. и др. Теория вероятностей. Под ред. Зарубина B.C., Крищенко А.П. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 456 с.

40. Поздняков В.А. Физическое материаловедение наноструктурных материалов. М.: МГИУ, 2007. 424 с.

41. Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита при наличии промежуточного слоя между шаровыми включениями и матрицей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. Спецвыпуск "Математическое моделирование в технике". С. 180-186.

42. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.320 с.

43. Соболь П.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 313 с.

44. Соболь П.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1968. 68 с.

45. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: изд. МГУ, 1999. 799 с.

46. Физика композиционных материалов / Н.Н. Трофимов, М.З. Канович, Э.М. Карташов и др., Под общ. ред. Н.Н. Трофимова. В 2-х т. Т. 1. М.: Мир, 2005. 456 с.

47. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей Киев: Наукова думка, 1984. 111 с.

48. Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. М.: Физматгиз, 1962. 456 с.

49. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.

50. Янковский А.П. Численно-аналитическое моделирование процессов теплопроводности в пространственно армированных композитах при интенсивном тепловом воздействии. Тепловые процессы в технике. 2011. Т. 3. № И. С. 500-516.

51. Chen Y.-M., Ting J.-M. Ultra high thermal conductivity polymer composites. Carbon. 2002. V. 40. P. 359-362.

52. Deissler R.G., Boegli J.S. Thermal conductivity of mixtures. Trans. ASME. 1958. V. 80. P. 1417-1421.

53. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys, 1962. V. 33. P. 3125.

54. Hory M., Yonezava F. Statistical theory of effective electrical, thermal, and magnetic properties of randomly packed heterogeneous mixtures. Journ. Math. Phys. 1975. V. 16. P. 352-360.

55. Nan C.-W., Birringer R., Clarke D.R., Gleiter H. Effective thermal conductivity of particulate composites with interfacial thermal resistance / Journal of Applied Physics. 1997. V. 81. P. 6692-6699.

56. Rayleigh S.R. On influence of obstacles ordered in rectangular order upon the properties of medium. Phil. Mag. and Journ. of Science. 1892. V. 34. P. 481 485.

57. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Two-sided estimates for thermal resistance of an inhomogeneous solid body // High Temperature. 2013. V. 51. No 4. P. 519525.

58. Пугачев О.В., Хан З.Т. Теплопроводность композита с нетеплопроводными шаровыми включениями// Наука и образование: Электрон, журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана: 2015. Л'° 5. С. 205-217. Режим доступа: http://technomag. bmstu.ru/doc/ 493560.htm (дата обращения: 31.12.2015). DOI: 10.7463/0515. 0776224.

59. Пугачев О.В., Хан З.Т. Эффективная теплопроводность композита с шаровыми включениями// Наука и образование: Электрон, журнал. МГТУ им. Н. Э. Баумана: 2015. № 6. С. 99-111. Режим доступа: http://technomag. bmstu.ru/doc/493560.htm (дата обращения: 31.12.2015). DOI: 10.7463/0615. 0778049.

60. Хан З.Т. Эффективная теплопроводность композита с шаровыми включениями/ / Передовые технические системы и технологии: Труды XI Международного научного симпозиума. Севастополь, 2015. С. 123-129.

61. Han Z.T. Research of effective heat conductivity of anisotropic composite materials by means of momenta// International Conference on Aerospace Engineering. M., 2016. P. 56-64.

62. Пугачев О.В., Хан З.Т. Нахождение эффективной теплопроводности композита методом моментов// Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2016. № 4. С. 28-39. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-428-39.

63. Пугачев О.В., Хан З.Т. Исследование эффективной теплопроводности анизотропных композитов методом статистических моментов// Математическое моделирование и численные методы. 2016. № 4. С. 101-113.

64. Пугачев О.В., Хан З.Т. Моделирование теплопроводности композита с шаровыми включениями// Научный вестник МГТУ ГА. 2017. № 20(2). С. 83-93.

Приложение

П.1. Программа на языке Pascal, моделирующая теплопроводность с использованием Р-метода. Включения эллипсоидные, расположены упорядоченно. Предусмотрено несколько вычислительных экспериментов с разными параметрами, результаты записываются в разные файлы.

PROGRAM Pmethod; CONST

n= 10000 {объем выборки}; sps=2000 {шагов за единицу времени};

VAR

Term, b, maxstepl, maxstep2, x, у, z, hO, hi, P, dl, rx, r, lam2, C2: real; i, j, m, procent, inc, Nexp: integer; output: text;

function randl: real; {генератор независимых случайных величин, равномерно распределенных на интервале (0, 1)}

function h(x, у, z: real): real; {координата h точки (x,y,z)} begin

h:= 0.6*x+0.48*y+0.64*z

{в общем случае h = ux + vy + wz, где u2 + v2 + w2 = 1} end;

function mat(x, y, z: real): byte;

{в каком материале находится точка (x, y, z): 0 — теплоизоляция, 1 — матрица, 2 _ материал включений}

var xs, hh: real; begin

hh:= h(x, y, z);

if hh<h0 then mat:=0 else if hh>hl then mat: 1 {выход из слоя} else begin xs:=x/dl;

then mat: 1 {матрица} else mat:=inc; {включение, mat = 0 или 2} end; end;

procedure step; {один шаг виртуальной частицы}

var хх, уу, zz, maxstep: real; maygo: boolean; from, into: byte; begin

from:= mat(x, y, z); {в каком материале была частица} if from=l then maxstep:= maxstep 1 else maxstep:= maxstep2; repeat

xx:= (randl-0.5)*maxstep+x; yy:= (randl-0.5)*maxstep+y; zz:= (randl-0.5)*maxstep+z; into: mat(xx. yy, zz); if into=0 then maygo:= false

else if (from=l)and(into=2) then maygo:= (randl<lam2) else if (from=2)and(into=l) then maygo:= (randl*lam2<l) else may go := true until maygo;

X:=XX. y._yy. Z;=ZZ

Рис. П.1. Расположение слоя {ho < h < hi} относительно координатных осей

procedure particle; {блуждание i-ой частицы} begin

h

repeat

x:=randl*dl; y:=randl; z:=randl {начальное положение случайно} until mat(x, у, z) 0: h0:— h(x, y, z); hi:—hO • b; j:-0; repeat

j:-j • 1; step until(j=Term*sps)or(h(x, y, z)>=hl); if(h(x, y, v.) hi) then m:—m • 1

<

end;

procedure Sample; {эксперимент с выборкой n частиц} begin

rewrite(output);

writeln(output,'Прохождение 5 n, 5 частиц Term, 'секунд по', sps, ' шагов в секунду через слой толщины', Ь);

writeln(output, 'x-шаг решетки: dl); {шаги решетки вдоль у и z равны 1} writeln(output, 'ж-полуось: гх); writeln(output, 'поперечные полуоси: г); writeln(output, 'теплопроводность включений: ', 1ат2); writeln(output, 'объемная теплоемкость включений: ', С2); if(lam2>0.001) then begin

inc:= 2; {теплопроводные включения} end else begin

inc:=0; {не теплопроводные включения} end;

{Максимальная дальность шага частицы по каждой координате:} maxstep 1:= sqrt(24/sps); {в материале матрицы,} maxstep2:= maxstepl*sqrt(lam2/С2); {в материале включения.} т:=0; {число частиц, прошедших через слой за время Term} for i:= 1 to n do begin particle;

if(i mod procent=0) then begin

write('% '); if(i mod(10*procent)=0) then writeln; {Таблица 10 x 10 на экране заполняется знаками %,} {показывая, какая часть выборки уже обработана} end; end;

Nexp:= Nexp+1; writeln(Nexp, '-¡i эксперимент завершен'); writeln; P: in 11:

writeln(output, 'Вероятность пройти через слой: ', Р); writeln(output, 'радиус 95%-довер. ипт. ', sqrt(P*(l-P)/n)*1.96);

close(output); end;

BEGIN

Nexp:=0; {число проведенных вычислительных экспериментов} b: 4: {толщина слоя}

Term:=4; {ограничение на время блуждания частиц} procent:= round(n/100);

{Задание параметров перед каждым экспериментом: } dl:=2; {продольные расстояния между центрами включений} rx:=Q_g. r:=Q_g. {продольные и поперечные полуоси включений} biiii2: 4: {теплопроводность включений} С2:=4; {объемная теплоемкость включений}

assign(output, 'C : \TP\res1.txt'); {в этот файл запишется результат} Sample;

{Новые значения параметров и новые файлы для записи результатов:} lam2:=0.25; С2:=4; assign(output, 'C : \TP\res2.txt'); Sample; 1ат2:= 2; С2:=1; Гх:=0.6; assign (output, 'C : \TP\res3.txt'); Sample; и т. д. END.

П.2. Программа на языке Pascal, моделирующая теплопроводность с использованием Р-метода. Шаровые включения расположены хаотично.

program Chaotic; CONST

n= 10000 {объем выборки};

sps=2000 {шагов за единицу времени};

Term 4 {ограничение на время блуждания частиц};

Ь 4 {толщина слоя};

г 0.4 {радиус включений};

w=4 {ограничение на |у| и |z|};

{частицы движутся во фрагменте слоя {0 < ж < b, |у| < w, |z| < w}, см. Рис. 3.4} VAR

maxstepl, maxstep2, lam2, C2, q, eps, x, y, z: real; i, j, m, t, balls, inc: integer; output: text;

xc, yc, zc: array[1..300]of real; {центры шаровых включений}

function randl: real; {генератор независимых случайных величин, равномерно распределенных на интервале (0, 1)}

function mat(x, у, z: real): byte; {в каком материале находится точка (ж, у, z)}

var k,mm: integer; begin

if(x<0) then mm:= 0 else begin

mm:= 1; {материал матрицы} k:= 0;

{проверим попадание точки (x,y,z) во все включения} repeat k:=k+l;

if(sqr(x-xc[k])+sqr(y-yc[k])+sqr(z-zc[k])<=r*r) then mm:=inc; {k-oe включение, mat = 0 или 2} until (mm=inc)or(k=balls); end;

mat: mm;

end;

procedure step; {один шаг виртуальной частицы}

var хх, уу, zz, maxstep: real; maygo: boolean; from, into: byte; begin

from:= mat(x, y, z); {в каком материале была частица} if from=l then maxstep:= maxstep 1 else maxstep:= maxstep2; repeat

xx:= (randl-0.5)*maxstep+x;

yy:= (randl-0.5)*maxstep+y;

zz:= (randl-0.5)*maxstep+z;

{отражение от боковых граней:}

if (y>w) then y:= 2*w-y; if (y<-w) then y:=-2*w-y;

if (z>w) then z:= 2*w-z; if (z<-w) then z:=-2*w-z;

into: nmt(xx. yy, zz);

if into=0 then maygo:= false

else if (from=l)and(into=2) then maygo:= (randl<lam2) else if (from=2)and(into=l) then maygo:= (randl*lam2<l) else may go := true until maygo;

Х:=ХХ. у._уу. Z;=ZZ

end;

procedure SetBalls;

{расстановка центров шаровых включений во фрагменте слоя}

var k, 1, att: integer; хх, уу, zz: real; mayput: boolean; begin k:=l; repeat

att:=0; {число попыток вставить k-й шар} repeat

хх:= randl*b; уу:= (2*randl-l)*(w-r); zz:= (2*randl-l)*(w-r);

{проверяем, пересечется ли новый шар с уже расставленными}

mayput := true;

1:=1;

while(l<k)and mayput do begin

mayput:= (sqr(xx-xc[l])+sqr(yy-yc[l])+sqr(zz-zc[l])>4*r*r); 1:=1+1; end;

if not mayput then att: att 1: until mayput or(att=5); if(att=5) then k:=k-l else begin k:=k+l;

xc[k]:=xx; yc[k]:=yy; zc[k]:=zz;

end; until k=balls; end;

procedure particle; {блуждание i-ой частицы} begin

if odd(i) then SetBalls; x:=0. y:=0; z:=0; t:= 0; repeat

step; t:=t+l; until (x>=b)or(t=sps*Term); if (x>=b) then in: in 1:

<

end; BEGIN

lam2:= 0.3333; C2:=l;

if(lam2>0.001) then inc:=2; {теплопроводные включения}

else inc:=0; {не теплопроводные включения}

{Максимальная дальность шага частицы по каждой координате:}

maxstepl:= sqrt(24/sps); {в материале матрицы,}

maxstep2:= maxstepl*sqrt(lam2/C2); {в материале включения.}

balls:= round (4*w*w*b); {число включений во фрагменте слоя} \\

ш:= 0;

for i:= 1 to n do particle; writeln(output, m,' successes of ', n);

q:=m/n; eps:=sqrt(q*(l-q)/n)*1.96; {радиус доверительного интервала} "ут!е1п(ои1ри1,'95%-доверительный интервал: '),

writeln(output,round((q-eps)*1000),'%o < Р < ',round((q+eps)*1000),'%o');

close(output)

END.

ОТЗЫВ

научного руководителя на диссертацию ХАН ЗО ТУНА «Математическое моделирование эффективной теплопроводности композитов при помощи случайных блужданий», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ХАН 30 ТУН, 1989 года рождения, иностранный гражданин; страна: МЬЯНМА, является аспирантом третьего года обучения кафедры прикладной математики Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана (национального исследовательского университета) (МГ ТУ им. Н.Э. Баумана). Направление подготовки: 09.06.01 - Информатика и вычислительная техника.

В 2010 году ХАН ЗО ТУН окончил с отличием кафедру прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана (образовательная программа магистратуры). За время обучения на кафедре обнаружил достаточно глубокие знания как общетехнических, так и специальных математических дисциплин, современных информационных технологий. Проявил склонность к самостоятельному изучению специальных математических дисциплин, научно-исследовательской работе.

При выполнении диссертационной работы ХАН ЗО ТУН проявил себя как высококвалифицированный научный работник, способный проводить комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности, отражены в 7 научных работах, в том числе в 5 статьях, входящих в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий, и апробированы на всероссийских и международных научных конференциях.

Считаю, что диссертация ХАН 30 ТУНА <Математическое моделирование эффективной теплопроводности композитов при помощи случайных блужданий»представляет собой самостоятельно выполненную, завершенную научно-квалификационную работу, соответствует критериям, установленным Положением о присуждении ученой степени кандидата наук, утвержденным постановлением Правительства РФ от 24 сентября 2013 г. №842, и рекомендую ее к защите на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по заявленной специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Профессор кафедры прикладной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения « Московского государственного технического университета имени Н.Э.Баумана (национальногоисследовательского университета)», доктор физико-

математических наук, доцент Пугачев

Олег Всеволодович