Исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Лебедев, Михаил Владимирович

• Лебедев, Михаил Владимирович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лебедев, Михаил Владимирович

Введение

1. Исследование статистической модели двумерного рекурсивного цифрового фильтра второго порядка с учетом эффектов квантования

1.1. Исходные положения

1.2. Квантование результатов сложения

1.3. Квантование результатов умножения

1.4. Краткие выводы

2. Исследование нелинейных эффектов в автономных двумерных рекурсивных фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами

2.1. Исходные положения

2.2. Динамические процессы в фильтрах с бинарным квантованием

2.3. Динамика фильтра с трехуровневым квантованием в прямом коде

2.3.1. Фильтр с округлением

2.3.2. Фильтр с усечением

2.4. Динамика фильтра с четырехуровневым квантованием в дополнительном коде

2.4.1. Фильтр с округлением

2.4.2. Фильтр с усечением

2.5. Динамика фильтра с пятиуровневым квантованием в прямом коде

2.5.1. Фильтр с округлением

2.5.2. Фильтр с усечением

2.6. Динамические процессы в фильтрах с произвольным числом уровней квантования

2.6.1. Фильтр с округлением в прямом коде

2.6.2. Фильтр с усечением в прямом коде

2.6.3. Фильтр с округлением в дополнительном коде

2.6.4. Фильтр с усечением в дополнительном коде 99 2.7. Краткие выводы

3. Исследование нелинейных эффектов в неавтономных двумерных рекурсивных фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами при единичном входном воздействии

3.1. Исходные положения

3.2. Реакция фильтра с бинарным квантованием

3.3. Реакция фильтра с трехуровневым квантованием в прямом коде

3.3.1. Фильтр с округлением

3.3.2. Фильтр с усечением

3.4. Реакция фильтра с четырехуровневым квантованием в дополнительном коде

3.4.1. Фильтр с округлением

3.4.2. Фильтр с усечением

3.5. Реакция фильтра с пятиуровневым квантованием в прямом коде

3.5.1. Фильтр с округлением

3.5.2. Фильтр с усечением

3.6. Реакция фильтра с произвольным числом уровней квантования

3.6.1. Фильтр с округлением в прямом коде

3.6.2. Фильтр с усечением в прямом коде

3.6.3. Фильтр с округлением в дополнительном коде

3.6.4. Фильтр с усечением в дополнительном коде

3.7. Краткие выводы 155 Заключение 157 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование эффектов квантования и переполнения в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами»

В самых различных областях науки и техники все чаще возникают задачи, связанные с обработкой изображений. Важные практические задачи, примерами которых может служить обработка радио-и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, статических и динамических изображений (цифровое телевидение, цифровое видео) стимулируют активное развитие теории многомерной цифровой обработки сигналов. Развитие этой теории обусловлено несколькими причинами: высокая эффективность цифровых методов позволяет лучше обрабатывать и анализировать сигналы; при ее применении появляется большая гибкость, имеется возможность использовать все более совершенные вычислительные средства. Методы цифровой обработки сигналов не только заменяют классические аналоговые методы во многих традиционных областях науки и техники, но и применяются во многих новых областях.

Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р., Джури Э. и др. [1-6]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: Цыпкина ЯЗ., Трахтмана A.M., Ланнэ A.A., Карташева В.Г,, Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [7-33].

Цифровые ЭВМ и цифровые процессоры стали составной частью систем цифровой обработки сигналов. Процесс проектирования и отладки устройств цифровой обработки сигналов может быть проведен на универсальной ЭВМ с последующей реализацией данного устройства в виде специализированной интегральной микросхемы с соответствующим программным обеспечением. Стоимость процессоров цифровой обработки сигналов постоянно снижается, а быстродействие растет, что способствует внедрению цифровой обработки в те области, где еще недавно это считалось нецелесообразным. Хорошим примером в данном случае может служить бытовая техника.

При обработке изображений, которые можно рассматривать, как частный случай многомерных сигналов, цифровые методы также приобрели первостепенное значение. В различных областях науки и техники имеется множество задач, связанных с обработкой изображений. Это, например, анализ и интерпретация аэрофотоснимков и космических снимков Земли в метеорологии, астрономии, исследовании природных ресурсов; анализ оптических, рентгеновских, тепловых, радиографических и других изображений в медицинской диагностике, промышленной дефектоскопии, научных исследованиях; анализ изображений и полей, зарегистрированных методами оптической, радио- и акустической голографии и т.д. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича A.B. [3438].

Из всех методов, используемых при цифровой обработке сигналов, одним из важнейших является цифровая фильтрация. Этот факт объясняется следующими причинами: наличием эффективных и относительно простых методов построения цифровых фильтров; прогрессом в области технологии микросхем с высокой и сверхвысокой степенью интеграции; успехами в части разработки технических средств и программного обеспечения.

Несмотря на указанные достоинства, в цифровых системах при обработке сигналов возникает ряд ошибок, связанных с представлением чисел конечным числом разрядов. Цифровые фильтры оперируют с цифровыми сигналами, которые отличаются от дискретных сигналов наличием квантования мгновенных значений, т.е. значения сигнала представляются конечным числом двоичных разрядов. Коэффициенты цифрового фильтра также представляются конечным числом двоичных разрядов, что тоже влияет на точность выходного сигнала. Таким образом, это обуславливает необходимость введения некоторого ограничения по точности представления выборок сигнала. Кроме того, ввиду конечной разрядности регистров сумматора в цифровом фильтре квантуются и результаты арифметических операций. Такого рода эффекты называются эффектами конечной разрядности. Эти ошибки помимо погрешностей в выходном сигнале могут приводить к потере устойчивости системы, появлению паразитных сигналов на выходе цифровой системы при отсутствии входного сигнала и другим негативным явлениям [1-4,42,44,46].

Исследование эффектов конечной разрядности производится двумя способами: с применением линейной вероятностной модели ошибки квантования и детерминированной модели ошибки квантования. Выбор подхода зависит от цели исследований. Статистический подход гораздо проще детерминированного. С его помощью можно определить средний уровень шума квантования на выходе системы и его мощность. Недостатком статистического подхода является определенная жесткость исходных требований для его применения, что не всегда выполняется на практике [21].

Детерминированный подход сложнее статистического, но он используется в тех случаях, когда неприменима статистическая модель. В рамках детерминированного подхода также возможно использование статистических свойств системы.

В области цифровой фильтрации следует отметить работы зарубежных и отечественных авторов: Кайзера Д., Каппелини В., Константинидиса А., Эмилиани П., Хэмминга Р., Антонью А., Ланнэ A.A., Гольденберга Л.М., Левчука Ю.П., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А., Мингазина А.Т., Тяжева А.И. и др. [4, 10-54].

В настоящее время быстро развивается теория многомерных цифровых сигналов и систем, в том числе и многомерная цифровая фильтрация. Здесь обработке подвергаются сигналы, представленные в виде многомерных массивов чисел, например, массивов, полученных после дискретизации изображений или результатов дискретизации непрерывно изменяющихся во времени сигналов, поступающих одновременно от нескольких датчиков. Разработка этой теории стимулируется важными практическими задачами, к которым относятся, например, обработка радио-и гидролокационных сигналов, геофизических и акустических полей, обработка изображений и сигналов в телекоммуникационных системах, в космонавтике, ядерной физике, медицине и т.д.

Значительный вклад в развитие многомерных цифровых сигналов и систем внесли зарубежные ученые Хуанг Т., Шэнкс Д., Даджион Д., Мерсеро Р., Боуз Т., Фахми М., Митра С., Мария Г. и многие другие [55-63]. Вместе с тем определенный вклад сделан и отечественными авторами, среди которых можно выделить работы по двумерным и многомерным цифровым фильтрам Миронова В.Г., Чобану М.К. и их школы [64-66]. Определенный вклад в развитие двумерных цифровых систем внесен и сотрудниками Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова (ЯрГУ) [67-84].

В области двумерной цифровой фильтрации за последние три десятилетия проведены значительные исследования. Разработаны методы синтеза двумерных цифровых фильтров рекурсивного и нерекурсивного типов, создан аппарат исследования устойчивости таких фильтров (в рекурсивном случае), найдены алгоритмы их эффективной реализации [5567,69-89,97-99].

Задачу реализации двумерных цифровых фильтров часто решают в пространстве состояний [54,60-61]. Данный метод ранее применялся в основном только для одномерных систем, и использование накопленного материала для реализации двумерных систем позволило получить ряд преимуществ по сравнению с другими методами реализации. Наиболее часто в пространстве состояний рассматриваются модель Россера, а также первая и вторая модели Форназини-Маркезини [63]. Для исследования устойчивости фильтров, реализованных в пространстве состояний, часто применяют критерий Ляпунова [61].

Вместе с тем, в двумерных цифровых фильтрах недостаточно изученными являются нелинейные эффекты и эффекты квантования арифметических операций, обусловленные нелинейностью сумматора и нелинейностью квантователя соответственно [56-61].

Объектом исследования в настоящей работе являются двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка. Указанные фильтры, в смысле вычислительных затрат на их реализацию, наиболее эффективны, что делает их особенно привлекательными при работе систем в реальном или близком к реальному масштабах времени. Вместе с тем, двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка исследованы недостаточно. Особенно это касается эффектов конечной разрядности в них, поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Цель исследования

Целью диссертационной работы является исследование нелинейных явлений, обусловленных эффектами переполнения и квантования в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- Исследование статистических характеристик шума квантования арифметических операций на выходе фильтра при использовании различных способов квантования и представления чисел;

- разработка методики анализа нелинейных колебаний в автономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным видом начальных условий;

- анализ свойств фильтра с двух-, трех-, четырех- и пятиуровневым квантованием, с дальнейшим обобщением на случай произвольного числа уровней квантования;

- разработка методики анализа нелинейных колебаний в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка при постоянном внешнем воздействии с произвольным видом начальных условий;

- исследование реакции фильтра с малым числом уровней квантования на постоянное единичное входное воздействие с дальнейшим обобщением на случай произвольного числа уровней квантования;

- создание программного комплекса для подтверждения результатов расчетов.

Достоверность полученных научных результатов

Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.

Научная новизна

Разработана методика анализа нелинейных колебаний в автономных и неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с симметричными коэффициентами с произвольным видом начальных условий и произвольным количеством уровней квантования;

- исследованы нелинейные свойства таких фильтров с учетом эффектов переполнения и квантования;

- получено разбиение пространства параметров фильтра на области, соответствующие различным типам сигналов на выходе системы для малого числа уровней квантования и произвольного вида начальных условий;

- создан программный комплекс для подтверждения результатов исследования.

Практическая ценность

Исследование эффектов конечной разрядности важно при технической реализации двумерных фильтров, особенно в случае использования их для обработки сигналов и изображений в режиме реального времени. С помощью полученных статистических характеристик исследованной системы можно оценить мощность и дисперсию шума квантования на выходе фильтра и выбрать при проектировании аппаратной или программной реализации параметры фильтра в соответствии с желаемыми результатами.

Предлагаемая методика помогает прогнозировать нелинейные эффекты, возникающие в автономных и неавтономных фильтрах при квантовании и переполнении. Разработанные алгоритмы отличаются невысокой вычислительной сложностью и простотой реализации.

Знание нелинейных свойств фильтров и, в частности, условий возникновения в них двумерных предельных циклов, позволяет использовать исследуемые системы для фильтрации двумерных сигналов и изображений, избегая нежелательных эффектов переполнения и квантования. Использовать их в качестве автогенераторов двумерных цифровых сигналов с определенными свойствами, а также служить базой для реализации на их основе более сложных многомерных цифровых устройств.

Часть результатов диссертационной работы использована при реализации программно-алгоритмического продукта цифровой обработки изображений "РюЫаЬ", который уже несколько лет используется как в научной, так и в учебной деятельности в ЯрГУ и Санкт-Петербургском университете телекоммуникаций им. М.А. Бонч-Бруевича. Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

- Разработка методики анализа нелинейных колебаний в автономных и неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным типом начальных условий.

- Анализ свойств фильтра с двух-, трех-, четырех- и пятиуровневым квантованием.

- Разбиение пространства параметров фильтра на характерные зоны, соответствующие различным типам фильтров при малом количестве уровней квантования.

- Обобщение результатов на случай произвольного числа уровней квантования.

- Разбиение пространства параметров фильтров с малым количеством уровней квантования на области, соответствующие определенным двумерным предельным циклам.

Апробация

Результаты работы обсуждались на следующих научных и научно-технических семинарах и конференциях:

4-я - 7-я международные конференции и выставки "Цифровая обработка сигналов и ее применения". Москва, 2002-2005.

10-я международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь", Воронеж, 2004.

ЫУ, ЬУТ-ЬУШ научные сессии, посвященные Дню радио, Москва, 2002-2005.

Международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии», Москва, 2005.

Научно-техническом семинаре «Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания», Самара, 2005.

11

5-я - 7-я всероссийские научно-технические конференции "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем". Чебоксары, 2003- 2005.

1-st - 2-nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications. St. Petersburg, 2002. Moscow, 2004.

The 11 -th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Scuol/Schuls Switzerland, 2003.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 научных работах, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК («Известия вузов. Радиофизика»), 4 статьи в сборниках научных трудов и 11 докладов на всероссийских и международных научных конференциях.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, трех приложений, заключения, списка литературы, содержащего 99 наименований. Основное содержание работы изложено на 169 страницах машинописного текста, в ней содержится 86 рисунков и 11 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Лебедев, Михаил Владимирович

Заключение

1. Исследована статистическая модель эффектов квантования двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка с симметричными коэффициентами.

2. Разработана методика анализа нелинейных колебаний в автономных фильтрах с произвольным видом начальных условий.

3. Для случая двухуровневого квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на зоны, соответствующие определенным видам колебаний на выходе фильтра. В пространстве коэффициентов фильтра получены области существования конкретных типов предельных циклов. Методами анализа и компьютерным моделированием определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов.

4. Установлено, что при трехуровневом квантовании и нелинейности сумматора типа насыщение с округлением и усечением результатов сложения в прямом коде бифуркационные диаграммы системы похожи, что обуславливается видом характеристики сумматора. Разница состоит в том, что пространство параметров системы при усечении делится плоскостями, сдвинутыми относительно начала координат в два раза дальше, чем при округлении.

5. Несимметричность характеристики квантователя при использовании дополнительного кода приводит к тому, что границы разбиения пространства параметров сдвигаются относительно начала координат и усложняется разбиение. Установлены зависимости возможных колебаний на выходе фильтра от величины параметра с. Несмотря на относительную простоту модели фильтра, некоторые результаты, полученные для бинарного и трехуровневого квантования, являются основой для обобщения на случаи начальных условий общего вида и произвольного числа уровней квантования.

6. Для случаев четырех и пяти уровней квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на области, соответствующие определенным типам движений на выходе фильтра. Найдена область, соответствующая режиму фильтрации системы. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов. Показан пример нахождения области в пространстве коэффициентов, соответствующей заданному типу выходных движений. Рассмотрены случаи представления чисел в прямом и дополнительном кодах. Для аппроксимации результатов суммирования использованы усечение и округление.

7. Проведено обобщение полученных результатов на случаи произвольных начальных условий и произвольного числа уровней квантования. Найдены аналитические условия на параметры системы, описывающие уравнения плоскостей, разделяющих бифуркационный портрет на области, соответствующие различным типам выходных движений.

8. Разработана методика анализа эффектов квантования и переполнения в неавтономных двумерных рекурсивных цифровых фильтрах второго порядка с произвольным видом начальных условий при постоянном внешнем воздействии.

9. Для случая двухуровневого квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра. Установлено, что внешнее воздействие увеличивает количество возможных видов сигналов, усложняя разбиение пространства параметров системы.

10. Установлено, что при трехуровневом квантовании и нелинейности сумматора типа насыщение с округлением и усечением результатов сложения в прямом коде бифуркационные диаграммы системы похожи, а так же пропорционально значению внешнего воздействия происходит увеличение количества и объем областей, соответствующих различным выходным движениям.

11. Несимметричность характеристики квантователя при использовании дополнительного кода приводит к тому, что границы разбиения пространства параметров сдвигаются относительно начала координат и усложняется разбиение.

12. Для случаев четырех и пяти уровней квантования получено разбиение пространства коэффициентов фильтра на области, соответствующие определенным типам движений на выходе фильтра. Определены области существования двумерных предельных циклов различных периодов.

13. Проведено обобщение полученных результатов на случаи произвольных начальных условий и произвольного числа уровней квантования.

14. Установлено, что постоянное внешнее воздействие усложняет разбиение пространства параметров системы, увеличивая количество различных видов выходных движений. По сравнению с автономным случаем, добавляются новые виды выходных сигналов. Области существования двумерных предельных циклов сужаются и смещаются от начала координат пропорционально значению внешнего воздействия.

15. Разработан программный комплекс для подтверждения результатов исследования.

16. Результаты расчетов подтверждены компьютерным моделированием на базе программного комплекса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лебедев, Михаил Владимирович, 2007 год

1. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.-416 с.

3. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

4. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

5. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. -М.: Мир, 1988.-488 с.

6. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1978.-299 с.

7. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.-968 с.

8. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. - 560 с.

9. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

10. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. М.: Высшая школа, 1982. - 109 с.

11. Ланнэ A.A. Оптимальный синтез линейных электронных схем. М.: Связь, 1978.-336 с.

12. Ланнэ A.A. Нелинейные динамические системы: синтез, оптимизация, идентификация. Л.: ВАС, 1985. - 240 с.

13. Гольденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. М.: Связь, 1974.- 160 с.

14. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. Л.М. Гольденберга. М.: Радио и связь, 1982. - 224 с.1АП

15. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

16. Гольденберг JI.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

17. Витязев В.В. Новое в цифровой обработке сигналов // Там же. 1998. № 10. С. 48-52.

18. Витязев В.В., Бодров К.А., Иванов С.В. Адаптивная многоскоростная фильтрация узкополосных процессов // Докл. 1-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. I. С. 155160.

19. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993. -240 с.

20. Витязев В.В., Соловьев А.Н. Цифровые процессоры обработки сигналов и их применение в технике связи // Электросвязь, 1994. № 5. С. 37-42.

21. Брюханов Ю.А. Управление динамическим режимом колебательных систем. Ярославль: ЯрГУ, 1994. - 400 с.

22. Брюханов Ю.А. Вынужденные колебания и частотные свойства цифрового линейного осциллятора // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1994. №9. С. 46-50.

23. Брюханов Ю.А. Частотные свойства цифровых цепей первого порядка //Там же. 1996. №11. С. 37-41.

24. Брюханов. Ю.А. Периодические колебания в рекурсивной системе второго порядка дискретного времени с нелинейностью насыщения // Радиотехника и электроника, 2001. Т46. № 3. С. 320-323.

25. Брюханов Ю.А. Частотные свойства нерекурсивных цифровых цепей второго порядка//Радиотехника, 1997. № 12. С. 75-78.

26. Брюханов. Ю.А. Периодические движения в цифровой рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения // Изв. вузов. Радиофизика, 2000. Т 43. № 1. С. 59-65.

27. Брюханов Ю.А. Частотные свойства рекурсивных цифровых цепей второго порядка // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42. №7. С. 836-838.

28. Брюханов. Ю.А. Периодические колебания в цифровых рекурсивных фильтрах второго порядка с пилообразной нелинейностью //Там же. №5. С. 581-587.

29. Брюханов. Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине // Изв. вузов. Приклад, нелин. динамика, 2002. Т. 10. №6. С.35-41.

30. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине после сложения // Радиотехника и электроника, 2003. Т. 48. №5. С. 565-570.

31. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по модулю результатов сложения // Радиотехника и электроника, 2002. Т.47. №10. С. 1208-1211.

32. Брюханов Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с округлением // Изв. вузов. Радиофизика, 2003. Т. 46. №11. С. 990-997.

33. Брюханов Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием. Изв. вузов. Радиофизика, 2001. Т. 44. №11. С. 976-983.

34. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

35. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Т. 1, Т. 2. М.: Мир, 1982.

36. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений// В.П. Дворкович, A.B. Дворкович, Ю.Б.Зубарев и др.; Под редакцией Ю.Б. Зубарева и A.B. Дворковича. М.: МЦНТИ. 1997.-216 с.

37. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений// В.П. Дворкович, A.B. Дворкович, Ю.Б.Зубарев и др.; Под редакцией

38. Ю.Б. Зубарева и A.B. Дворковича. Изд. Второе, перераб. И доп. М.: HAT. 1997.-256 с.

39. Зубарев Ю.Б., Кривошеее М.И., Красносельский И.Н. Цифровое телевизионное вещание. Основы, методы, системы. М.: Науч.-исслед. институт радио (НИИР), 2001. - 568 с.

40. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980.-224 с.

41. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

42. Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров в задачах синтеза цифровых КИХ-фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // Там же. С. 162-166.

43. Мингазин А.Т. Синтез и анализ цифровых фильтров с конечной длиной слова коэффициентов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. T. I. С. 85-88.

44. Мингазин А.Т. Начальные приближения для синтеза цифровых фильтров с минимальной длиной коэффициентов // Электронная техника. Сер. 10, 1983. № 6. С. 3-8.

45. Мингазин А.Т., Зорич A.A. Минимизация шума округления каскадных рекурсивных цифровых фильтров. // Электронная техника, Сер. 10, 1992. №1-2. С. 37-43.

46. Мингазин А.Т. Вариация исходных параметров при синтезе рекурсивных цифровых фильтров. // Там же, 1989. № U.C. 53-54.

47. Мингазин А.Т. Синтез рекурсивных цифровых фильтров при ограниченной разрядности коэффициентов. // Электросвязь, 1987. № 9. С. 58-62.

48. Мингазин А.Т. Синтез передаточных функций цифровых фильтров в области дискретных значений коэффициентов (обзор). // Там же, 1993. № 1-2. С. 3-35.

49. Мингазин А.Т. Синтез каскадных цифровых фильтров с минимальным числом сумматоров в блоках умножения // Там же. С. 122-125.

50. Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров с малоразрядными коэффициентами при дополнительных требованиях к виду передаточной функции // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1998. № 2. С. 48-52.

51. Мингазин А.Т. Синтез цифровых фильтров на основе фазовых цепей с конечной длиной слова коэффициентов. // Докл. 2-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1999. Т. I. С. 112-116.

52. Мингазин А.Т. Распределенная арифметика и мультиплексирование в цифровом фильтре второго порядка с описанием в пространстве состояний. // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. I. С. 158-160.

53. Тяжев А.И. Расчет рекурсивного цифрового фильтра второго порядка // Радиотехника, 1990. № 4. С. 94-96.

54. Тяжев А.И. Борьба с предельными циклами в рекурсивных цифровых фильтрах // Там же. № 10. С. 34-37.

55. Бондарев Б.Г., Пушкарев Ю.А. Определение переходных процессов в цифровых фильтрах методом пространства состояний // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1987. Т. 30. № 7. С. 85-87.

56. Mitra S., Sagar A., Pendergrass N. Realizations of two-dimensional recursive digital filters // IEEE Trans. Circuits Syst. V. CAS-22, mar. 1975. P. 177-184.

57. Dudgeon D., Mersereau R., Merser R., Multidimensional Digital Signal Processing. , 1995.-408 p.

58. Maria G., Fahmy M.; Limit cycle oscillations in first-order two-dimensional digital filters // Там же. P. 246-251.

59. Chang T. Limit cycles in a two-dimensional first-order digital filter // Там же. V. CAS-24, jan. 1977. P. 15-19.

60. Mertzios В. On the roundoff noise in 2-D state-space digital filtering // Там же. V. CAS-32, feb. 1985. P. 201-204.

61. El-Agizi N., Fahmy M. Sufficient conditions for the nonexistence of limit cycles in two-dimensional digital filters // Там же. V. CAS-26, june 1979. P. 402-406.

62. Lu W.-S. Order reduction of 2-D FIR filters with applications // Там же. V. CASII-44, dec. 1997. P. 1055-1058.

63. Bose T. Stability of the 2-D state-space system with overflow and quantization // Там же. V. CASII-42, june 1995. P. 432-434.

64. Krzysztof G. The Fornasini-Marchesini and the Roesser Model: Algebraic Methods for Recasting // IEEE Trans. Autom. Contr. V. 41. N. 1, jan. 1996. P.107-112.

65. Миронов В.Г., Чобану М.К. Проблемы синтеза многомерных цифровых фильтров // Докл. 1-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. I. С. 12-18.

66. Миронов В.Г., Чобану М.К. Проектирование двумерных цифровых фильтров с малой чувствительностью к ошибкам квантования и округления // Там же. С. 24-31.

67. Чобану М.К. Применение полиномов Бернштейна для синтеза многомерных многоскоростных систем // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. II. С. 306-308.

68. Приоров А.Л., Ганин А.Н., Хрящев В.В. Цифровая обработка изображений: Учеб. пособие. Ярославль. Яросл. гос. ун-т, 2001.- 218 с.

69. Приоров A.JL, Тарасов B.JI. Исследование двумерных рекурсивных цифровых ФНЧ и ФВЧ второго порядка // Докл. науч.-техн. конф. "Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация". Воронеж, 1997. С. 1006-1010.

70. Приоров A.JT. Двумерные цифровые сигналы и системы: Учеб. пособие. Ярославль. Яросл. гос. ун-т, 2000. 168 с.

71. Брюханов Ю.А., Приоров A.JL, Мясников Е.А., Калинин С.А. Частотные свойства двумерных рекурсивных цифровых систем первого порядка // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1995. №4. С. 26-30.

72. Priorov A.L., Lukashevich Y.A., Image Processing Based on Two-Dimensional First Order Digital Filters // Proc. of the 1-st IEEE Internat. Conf. on Circuits and Systems for Communications. St. Petersburg, 2002. P. 130-133.

73. Балусов И.JI., Калинин С.А., Приоров А.Л. Исследование частотных свойств двумерного цифрового фильтра второго порядка с симметричными коэффициентами // Там же. С. 999-1005.

74. Лукашевич Ю.А., Судаков A.A., Приоров А.Л. Синтез двумерных цифровых фильтров с использованием линии среза // Там же. Т. 2. С. 297-300.

75. Приоров А.Л. Лукашевич Ю.А. Применение двумерных цифровых фильтров первого порядка для обработки изображений // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2002. Т. 2. С. 295-297.

76. Балусов И.Л., Приоров А.Л. Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка в частотной области // Матер. 1-й межд. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 1998. Т. 3. С. 213-220.

77. Лебедев М.В. Преобразование сигналов с помощью двумерных рекурсивных цифровых фильтров второго порядка // Докл. 7-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2005. Т. 2. С. 467-471.

78. Elagin A., Priorov A. Quantisation effects in 2-d first-order recursive digital filters // Proc. of the 2000 Internat. Symp. of Nonlinear Theory and its Applications. NOLTA 2000. Dresden, 2000. V.l. P. 185-188.

79. Волков Д.Б., Приоров А.Л., Елагин А.А. Исследование двумерных рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с двухуровневым квантованием // Докл. 3-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". М., 2000. Т. 3. С. 58-60.

80. Лебедев M.B., Рудых Д.В., Балусов И.Л. Двумерные рекурсивные цифровые фильтры второго порядка с постоянным внешним воздействием. // Тр. межд. науч.-техн. конф. «Информационные средства и технологии» М. 2005 Т. 1, С. 123-126.

81. Рудых Д.В., Лебедев М.В., Приоров А.Л. Предельные циклы в двумерных рекурсивных цифровых фильтрах первого порядка с тремя уровнями квантования // Труды международной науч.-техн. конф. «Информационные средства и технологии» М. 2005 Т. 1, С. 139-142.

82. Liu D., Mitchel A. Stability analysis of state-space realizations for two-dimensional filters with overflow nonlinearities // IEEE Trans, on circuts and systems-I: fundamental theory and applications. 1994. V. 41, № 2. P. 127-137.

83. Tzafestas S., Kanellakis A., Theodorou N. Two-dimensional digital filters without verflow oscillations and instability due to finite word length // Там же. N. 9, sep. 1992. P. 2311-2317.

84. Bose Т., Trautman D. Two's compliment quantizations in two-dimensional state-space digital filters // Там же. 1992. V. 40, № 10. P. 2589-2592.

85. El-Agizi N., Fahmy M. Two-dimensional digital filters with no overflow oscillations // IEEE Trans, on acoustic, speech and signal processing. V. ASSP-27. N. 5, oct. 1979. P. 465-469.

86. Werter M. J. Suppression of limit cycles in the first-order two-dimensional direct form digital filter with a controlled rounding arithmetic // IEEE Trans, on signal processing. V. 40. N. 6, june 1992. P. 1599-1601.

87. Burns W., Yao S., Cliping Noise Loss in the One-Bit Autocorrelation Spectral Line Receiver//Radio Sci. V. 4, 1969. P. 431-436.

88. Cooper B. Correlations with Two-Bit Quantization // Aust. J. Phys., V. 23, 1970. P. 521-527.

89. D'Addario, L., Thompson A., Schwab F. and Granlund J. Complex Cross Correlators with Three-Level Quantization Design Tolerances // Radio Sci. V. 19, 1984. P. 931-945.

90. Kulkarni, S.R., Heiles C. How to Obtain the True Correlation From a Three-Level Digital Correlator//Astron. J. V. 85, 1980. P. 1413-1420.

91. Thompson A.R., Moran J.M., Swenson Jr. G.W. Interferometry and Synthesis in Radio Astronomy. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley and Sons. New York, 1986. - 568 p.

92. Морозов В. А., Хаджи Б. А. О выборе наилучшей группы кодированных ортогональных сигналов в канале множественного доступа при двухуровневом квантовании // Радиотехника и электроника, 2002. Т. 47. № 10. С. 1212-1218.

93. Ogorzalek M. Complex behavior in digital filters // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992. V. 2. N. l.P. 11-29.

94. Лебедев М.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с тремя уровнями квантования // Докл. 9-ой межд. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'2007). Москва, 2007. Т. 2, С. 502-505.

95. Брюханов Ю.А., Лебедев М.В., Приоров А.Л., Рудых Д.В. Колебания в двумерных рекурсивных цифровых системах второго порядка с симметричными коэффициентами // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 7. С. 635-642.