Использование алгоритмов с обучением для решения задач радиоволновой интроскопии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Хилькевич, Виктор Владимирович

• Хилькевич, Виктор Владимирович
• кандидат технических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат технических наук Хилькевич, Виктор Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРИ РАДИОЧАСТОТНОЙ ИНТРОСКОПИИ.

1.1. Общая постановка задачи.

1.2. Способы измерения информационного параметра.

1.3. Радиоволновые методы.

1.4. Выводы.

Глава 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ИНТРОСКОПИИ

2.1. Общие положения.

2.2. Метод параметрической идентификации.

2.3. Метод Фурье-интроскопии.

2.4. Другие методы.

2.5. Выводы.

Глава 3. АЛГОРИТМЫ С ОБУЧЕНИЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

3.1. Общие положения.

3.2. Задача обучения нейронной сети.

3.3. Нейронные алгоритмы на основе теории нечеткой логики.

3.4. Алгоритм NEFPROX.

3.5. Выбор нейронного алгоритма.

3.5.1. Сравнение погрешностей предсказания.

3.5.2. Устойчивость к воздействию шумов.

3.5.3. Сравнение быстродействия.

3.6. Выводы.

Глава 4. МОДЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТРОЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ.

4.1. Восстановление параметров многослойного диэлектрического объекта.

4.1.1. Способ расчета коэффициента отражения.

4.1.2. Метод параметрической идентификации.

4.1.3. Метод Фурье-интроскопии.

4.1.4. Применение алгоритма NEFPROX.

4.2. Применение нейронной сети для измерения параметров однородных диэлектрических объектов резонаторным методом.

4.3. Определение параметров неоднородных диэлектрических объектов резонаторным методом.

4.4. Применение нейронного метода для измерения параметров неоднородных диэлектрических объектов с «гладким» профилем диэлектрической проницаемости.

4.5. Выводы.

Глава 5. СОПОСТАВЛЕНИЕ ВАРИАНТОВ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

5.1. Оценка времени, затрачиваемого рассматриваемыми методами на получение результата.

5.2. Исследование воздействия шумов на результаты восстановления параметров диэлектрических объектов.

5.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование алгоритмов с обучением для решения задач радиоволновой интроскопии»

Актуальность проблемы.

Необходимость определения внутренней структуры неоднородных диэлектрических объектов часто возникает при проведении различных технологических процессов. Кроме того, подобные задачи возникают при зондировании земных атмосферы и поверхности, интроскопии недр и объектов, поиске неоднородностей в трактах и линиях передачи сигналов, в медицинских приложениях. Для получения первичных измерений целесообразно использовать радиоволновые методы.

При всем разнообразии радиоволновых методов, различающихся типом зондирующего сигнала, способом взаимодействия электромагнитного поля с объектом и т. д., все они решают обратную электродинамическую задачу, заключающуюся в определении электродинамических параметров объекта по характеристикам вторичного поля, возбуждаемого этим объектом. Данная задача относится к классу математически некорректных, что существенно затрудняет ее решение.

Известные методы в ряде случаев не дают удовлетворительных результатов, поэтому в данной работе для решения подобных задач предложено использовать нейронные методы, имеющие ряд преимуществ перед другими подходами.

В последнее время подобные методы стали применяться достаточно широко, что обусловлено, в первую очередь, появлением мощных вычислительных машин. Программные и аппаратные реализации этих методов применяются для решения широкого круга задач: распознавания образов, предсказания временных рядов и поведения сложных систем, аппроксимации функций, приема радиосигналов, радиолокации и т. п.

Цель и задачи работы

Диссертационная работа имеет целью исследование нового метода определения параметров неоднородных диэлектрических объектов, взаимодействующих с СВЧ полем, основанного на применении нейронных алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

• Анализ известных методов решения подобных задач, выявление их недостатков.

• Исследование возможности применения и выбор структуры нейронной сети, адекватной решаемой задаче.

• Разработка программных моделей исследуемых электродинамических задач.

• Разработка структуры исходных данных для обучения и работы нейронной сети.

• Разработка примеров и применение нового алгоритма для решения типовых задач радиоволновой интроскопии.

• Анализ потенциальной точности предлагаемого подхода и пределов его применимости.

Методы исследования

Для решения поставленных задач в процессе работы использовались методы прямого и обратного Фурье-преобразования; поиска экстремума функции нескольких переменных; параметрической идентификации; Фурье-интроскопии; нейронного логического базиса; теории нечеткой логики; математического моделирования физических процессов и погрешностей измерений.

Новые научные результаты, полученные в диссертации

• предложено использовать алгоритм, основанный на применении нейронной сети (НС), для решения обратных электродинамических задач. Обоснована возможность его применения для решения обратных электродинамических задач;

• показано, что предложенный метод обработки результатов на основе НС обладает большей устойчивостью к шумам и погрешностям измерений по сравнению с известными ранее;

• показано, что использование алгоритмов с обучением позволяет существенно сократить время, затрачиваемое на получение конечного результата;

• проведено сравнение потенциальных возможностей нейронного метода и традиционных методов по восстановлению профилей неоднородных диэлектрических объектов;

• предложена конфигурация измерительной установки, реализующей процедуру измерений с помощью нейронного метода.

Практическая значимость

• проведены вычислительные эксперименты по восстановлению профилей распределения диэлектрической проницаемости различных диэлектрических объектов с помощью нейронного метода;

• предложен резонаторный метод определения параметров неоднородных диэлектрических объектов;

Имеется акт об использовании результатов диссертационной работы в практической деятельности РНИИ КП (г. Москва) и в учебном процессе Московского энергетического института.

Положения, выносимые на защиту

• Возможность применения предложенного алгоритма для решения задач радиоволновой интроскопии.

• Предложенный метод превосходит традиционные методы по быстродействию и точности получаемых результатов.

• Предложенный метод решения обратной задачи позволяет оценивать параметры диэлектрических объектов с достаточной точностью.

Публикации и апробация результатов работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на конференции студентов и аспирантов России «Радиоэлектроника и электротехника в народном хозяйстве» (г. Москва, 1998 г.), на 5-ой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 1999 г.), на 6-ой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2000 г.), на Международном симпозиуме по управлению частотой и генерированию сигналов (г. Санкт-Петербург, 2000 г.), на Международном научном семинаре «Электродинамика периодических и нерегулярных структур» (г. Москва, 2001 г.), на Всероссийской научной конференции «Дистанционное зондирование земных покровов и атмосферы аэрокосмическими методами» (г. Муром, 2001 г.).

Основные результаты диссертационной работы изложены в 7 печатных работах.

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость определения внутренней структуры неоднородных диэлектрических объектов часто возникает при проведении различных технологических процессов, таких, например, как сушка, полимеризация, литье, экструзия, напыление покрытий и т. п. Подобные задачи возникают при зондировании земной атмосферы и земной поверхности [1, 2], трактов линий передач [3,4], в медицинских приложениях [5].

В большинстве упомянутых выше задач конечной целью является определение таких параметров исследуемых объектов, как распределение плотности и влажности материалов из которых они состоят. Как известно, изменение плотности и влажности вещества меняет его электродинамические свойства, что выражается в изменении его диэлектрической и магнитной проницаемостей [1]. Благодаря этому становится целесообразным использование для решения поставленных задач радиоволновых методов, основанных на взаимодействии объектов с электромагнитным полем. Зондирующее поле, в большинстве случаев, обладает малой мощностью, что позволяет практически исключить влияние процедуры измерений на параметры образца.

При всем разнообразии радиоволновых методов, различающихся типом зондирующего сигнала, способом взаимодействия электромагнитного поля с объектом и т. д., все они решают обратную электродинамическую задачу, заключающуюся в определении электродинамических параметров объекта по характеристикам вторичного поля, возбуждаемого этим объектом. Данная задача относится к классу математически некорректных [6], что существенно затрудняет ее решение.

В данной работе для решения подобных задач предложено использовать нейронные методы, имеющие ряд преимуществ перед другими подходами.

В последнее время подобные методы стали применяться достаточно широко, что обусловлено, в первую очередь, появлением мощных вычислительных машин. Программные и аппаратные реализации этих методов применяются для решения широкого круга задач: распознавания образов, предсказания временных рядов и поведения сложных систем, аппроксимации функций, приема радиосигналов, радиолокации и т. д.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Хилькевич, Виктор Владимирович

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Проведен обзор и классификация существующих методов интроскопии, в том числе радиоволновой.

2. Перечислены методы решения обратных задач радиоволновой интроскопии. Выявлены их основные недостатки.

3. Предложено использовать нейронные обучающиеся алгоритмы для решения обратных задач радиоволновой интроскопии.

4. Осуществлено сравнение трех разновидностей нейронных алгоритмов на примере предсказания хаотического процесса с точки зрения быстродействия, точности и устойчивости к воздействию шумов, на основе которого выбор сделан в пользу алгоритма NEFPROX.

5. Проведены численные эксперименты по восстановлению параметров многослойных диэлектрических объектов традиционными методами.

6. Проведены численные эксперименты по восстановлению параметров неоднородных диэлектрических объектов с помощью нейронного метода, в том числе рассмотрены конфигурации резонансного способа измерения исходных параметров, а также решение обратной задачи для объекта с «гладким» профилем диэлектрической проницаемости.

7. Продемонстрирована устойчивость нейронного метода к случайным и систематическим погрешностям измерения исходных параметров.

8. Проведено сопоставление возможностей нейронного метода и метода параметрической идентификации. Показано, что на этапе восстановления быстродействие нейронного алгоритма в 100 раз превосходит быстродействие алгоритма параметрической идентификации. Показано, что при воздействии шумов погрешность определения параметров нейронным методом возрастает незначительно, в то время как погрешность определения параметров методом параметрической идентификации может принимать неприемлемо высокие значения.

9. Разработана программная реализация метода параметрической идентификации, программа расчета коэффициентов отражения слоистых диэлектрических структур, а также программа подготовки данных для работы алгоритма NEFPROX.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основное содержание диссертационной работы составляют вычислительные эксперименты по восстановлению параметров неоднородных диэлектрических образцов радиоволновым методом с использованием нейронных обучающихся алгоритмов, а также сравнение возможностей нейронного алгоритма и метода параметрической идентификации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Хилькевич, Виктор Владимирович, 2001 год

1. Подповерхностная радиолокация. Под ред. Финкелыптейна М. И. - М. Радио и связь, 1994. -221 с.

2. Ахметшин А. М. Интроскопия слоистых структур по фазочастотной зависимости коэффициента отражения. Дефектоскопия, 1995, №12, с. 64-69.

3. Барташевский Е. JI. Варывдин В. С., Дробахин О. О. Локализация неоднородностей в трактах. Известия ВУЗов, Радиоэлектроника, 1985, №9, с. 78-80.

4. Дробахин О. О. и др. Использование многочастотных методов для оценки качества СВЧ трактов. В сб. Труды 2-й Между нар. Конф. "Спутниковая связь", 23-27 сент. 1996 г., -М.,т.2, с. 96-107.

5. Анпилогов В. Р. Активная микроволновая томография для медицинской диагностики человека. Зарубежная радиоэлектроника, 1996, №1, с. 45-50.

6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 285 с.

7. Неразрушающий контроль. В 5 кн. Кн. 4. Контроль излучениями: Практ. пособие/ Епифанцев Б. Н., Гусев Е. А., Матвеев В. И., Соснин Ф. Р.; Под ред. Сухорукова В. В. М.: Высшая школа, 1992. - 321 с.

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. -343 с.

9. Исследование объектов с помощью пикосекундных импульсов. Глебович Г. В., Андриянов А. В., Введенский Ю. В. и др. Под ред. Глебовича Г. В. М.: Радио и связь, 1984.

10. Ахметшин А. М., Погорелов А. А. Оценивание параметров слоистых по методу разложения Брейта-Вигнера. Дефектоскопия, 1995, №6, с.3-13.

11. Jarem J. М., Johnson J. В., Albritton W. S. Measuring the permittivity and permeability of a sample at Ka band using a partially filled waveguide. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1995, №12, pp. 2654-2667.

12. Harrington R. F. Time-harmonic electromagnetic fields. New-York, McGraw-Hill, 1961.

13. Kent G. Nondestructive permittivity measurements of substrates. IEEE Trans, on Instrum. and Meas., 1995, №1, pp. 70-76.

14. Blackham D. Free space characterisation of materials, in Proc. 1993 Antenna Meas. Tech. Assoc. Mtd. & Symp. October 1993.

15. Ghodgaonkar D. K., Varadan У. V., Varadan V. K. Free space measurement of complex permittivity and complex permeability of magnetic materials at microwave frequences. IEEE Trans. Instrum. Meas. April 1990 pp. 384-394.

16. Steel M. C., Sheppard R. J., Collins R. Precision waveguide cells for the measurement of complex permittivity of lossy liquids and biological tissue at 35 GHz. J. Phys. E: Sci. Instrum. 1987 pp. 872-877.

17. Abdoulnour J., Akyel C., Wu K. A generic approach for permittvity measurement of dielectric materials using discontinuity in a rectangular waveguide or a microstrip line. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1995, №5, pp. 1060-1066.

18. Wu W., Smith С. E. Dielectric measurements using the HP 85070A probe, in Proc. IEEE reg. Ill southeast conf. /92 apr 12-15, 1991, pp. 83-86.

19. Birch J. R., Simonis G. J., Asfar M. N. and other. An intercompar-sion of measurement techniques for the determination of the dielectric properties of solids at near millimeter wave lengths. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1994, №6, pp. 956-965.

20. Любошенко И. В., Ахметшин М. А. Регуляризирующий алгоритм широкополосной интроскопии по зашумленной фазочастотной характеристике коэффициента отражения зондируемой структуры. Дефектоскопия, 1997, №1, с. 71-75.

21. Батраков Д. О., Жук Н. П. Метод радиоволнового контроля слоисто-неоднородных диэлектриков, использующий численное решение обратной задачи рассеяния в области значений поляризационных параметров. Дефектоскопия, 1994, №12, с. 82-88.

22. Конев В. А., Любецкий Н. В., Тиханович С. А. Радиоволновая эллипсометрия диэлектрических структур. Минск:, Наука и техника. 1989.

23. Plumb R., Ma Н. Swept frequency reflectometer design for in-situ permittivity measurement. IEEE Trans, on Instrum. and Meas. 1993; pp. 730740.

24. Hanson E.R., Gordon P. R. An ideal six-port network consisting of a matched reciprocal lossless five-port and a perfect directional coupler. IEEE Trans, on MTT., Vol MTT-31, № 3, March 1983.

25. Ахметшин A. M. Информационные возможности широкополосной Фурье-интроскопии дисперсионных сред с большим коэффициентом затухания на базе теории сложных сигналов и оптимальной фильтрации. -Дефектоскопия, 1994, №12, с. 8-17.

26. Андреев М. В., Борулько В. Ф., Дробахин О. О. Сравнительный анализ информационных возможностей методов многочастотного радиоволнового контроля слоистых диэлектрических структур с использованием квазирешения. Дефектоскопия, 1996, №2, с. 76-86.

27. Тарасов Д. А. Автогенераторный метод автоматизированной оценки параметров неоднородных материалов в процессе их обработки в СВЧ поле. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. МЭИ. Кафедра ФКС, 1999.

28. Багацкая О. В., Жук Н. П., Малец Е. Б., Шульга С. Н. Аналитический расчет комплексных коэффициентов отражения и прохождения диэлектрической пластины с учетом электромагнитной анизотропии материала. Дефектоскопия, 1997, №1, с. 76-89.

29. David J., Clavery J.-P., Crampagne R. Methode d'analise des mate-riaux inhomogenes. Reports de conference "Dynamique des systemes complexes", Toulouse, 9-12 juin 1997.

30. Леснова Т. А., Пермяков В. А. Сравнение методов расчета коэффициентов отражения и прохождения плоских электромагнитных волн в плоскослоистой среде. Труды МЭИ, выпуск 497, М. 1980 г. с 21-26.

31. Тихонов А. Н., Гончарский А. В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. -М.: Наука, 1983.

32. Дробахин О. О. Синтезирование временных сигналов как метод решения обратной задачи для слоистых сред. Электродинамика и устройства СВЧ. Днепропетровск: ДГУ, 1991. с. 15-20.

33. Михнёв В. А. Реконструкция профиля распределения диэлектрической проницаемости листовых материалов методом направляемых волн. Дефектоскопия, 1996, №4, с. 56-62.

34. Caorsi S., Ciaramella S., Gragnani G.-L., Pastorino M. On the useof regularisation techniques in numerical inverse-scattering solutions for microwave imaging applications. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1995, №3, pp. 632-640.

35. Ney М. М. Method of moments as applied to electromadnetic problems. IEEE Trans., MTT-33, 1985, pp. 972-980

36. Горшков В. А., Воробьев В. А., Низимов В. А., Аносов Ю. В., Соловьев К. Д. Оптимальная по критерию наименьших квадратов реконструкция в томографии на обратнорассеянном неколлимированном изучении. Дефектоскопия, 2001, №2.

37. Горшков В. А., Кренинг М., Воробьев В. А. Устойчивость алгоритма реконструкции в томографии на обратнорассеянном излучении. -Дефектоскопия, 1998, №3, с. 78-85.

38. Murch R. D., Chan Т. К. К. Improving microwave imaging by enhancing diffraction tomography. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1996, №3, pp. 379-388.

39. Соломонов С. В., Розанов С. Б., Кропоткина Е. П., Лукин А.

40. Н. Спектрометр для дистанционного зондирования атмосферного озона на миллиметровых радиоволнах. Радиотехника и электроника, 2000; т. 45, №12, с 1519-1525.

41. Климов К. Н., Сестрорецкий Б. В. Анализ во временной области планарных структур с произвольным распределением диэлектрической проницаемости. Радиотехника и электроника, 2001; т. 46, №3, с. 271-246.

42. Haykin S. Neural Networks. A Conprahensive Foundation. Macmilla College Publishing Company, New York, 1994.

43. Галушкин А. И. Теория нейронных сетей. Кн. 1. М.: ИПРЖР, 2000.-416 с.

44. Грачев JI. В., Симоров С. Н. Распознавание радиосигналов с помощью нейрокомпьютера, реализующего нейросетевую парадигму со случайными порогами. Нейрокомпьютер, 1998, №3, 4, с. 57-67.

45. Карелов И. Н. Реализация алгоритмов цифровой обработки сигналов на основе нейроподобной сети. Нейрокомпьютеры: разработка и применение, 2000, №1, с. 54-59.

46. Sabisch Т., Ferguson A., Bolouri Н. Identification of Complex Shapes Using a Self Organizing Neural System. IEEE Transactions on Neural Networks, July 2000, Vol. 11, No. 04, p. 921.

47. Chew L. Т., Tong S. Q., Hoon H. T. An Artificial Neural Network that Models Human Decision Making, Computer, Vol. 29, No. 3, March 1996. pp. 64-70.

48. Pan J., DeSouza G. N., Как A. C. FuzzyShell: A Large-Scale Expert System Shell Using Fuzzy Logic for Uncertainty Reasoning. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, November 1998, Vol. 06, No. 04, p. 563.

49. Liang X.-B., Wang J. A Recurrent Neural Network for Nonlinear Optimization with a Continuously Differentiable Objective Function and Bound Constraints. IEEE Transactions on Neural Networks, November 2000, Vol. 11, No. 06, p. 1251.

50. Nigrin A. Neural Networks for Pattern Recognition, Cambridge, MA: The MIT Press, 1993.

51. Заенцев И. В. Нейронные сети: основные модели. Воронеж.1999.

52. Adrian Е. The Physical Background of Perception, Clarendon Press, Oxford, 1946.

53. Круглое В. В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия Телеком, 2001. - 382 с.

54. Hecht-Nielsen R. Kolmogorov's Mapping Neural Network Existence Theorem // IEEE First Annual Int. Conf. on Neural Networks, San Diego, 1987, Vol. 3, pp. 11-13.

55. Zadeh L. A. Fuzzy Sets. Information and Control, 8: pp. 338-353,1965.

56. Zadeh L. A. Outline of a New Aproach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes. IEEE Trans. Systems, Man & Cybernetics, v. 3, pp. 28-44 (1973).

57. Mamdani E. H. Applications of Fuzzy Algorithms for a simple dynamic plant. Proc. IEE vol. 121, pp. 1585-1588 (1974).

58. Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон./ Асаи. К., Ватада Д., Иваи С. и др.; под ред. Тэрано. Т., Асаи К., Сугэно М. М.: 1993. - 368 с.

59. Pedrycz W. Card Н. С. Linguistic Interpretation of Self-Organizing Maps. Proc. IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems 1992 San Diego (1992), 371378.

60. Lee С. C. Fuzzy Logic in Control Systems: Fuzzy Logic Controller. IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 20 (1990) Part I: 404-418, Part II: 419-435.

61. Roger Jang J.-S. ANFIS: Adaptive-network-based fuzzy inference systems. IEEE Trans. Systems, Man & Cybernetics, 23:665-685, 1993. (разработчик метода)

62. Buckley Jamrs J. On the equivalence of neural nets and fuzzy expert systems. Fuzzy Sets and Systems. 1998 (1999) 100, Suppl. 145-150.

63. Westphal L. C. Fuzzy inference systems and artificial neural networks for continious piecewise multilinear interpolation. Electron. Lett. 1998 -34-№18. 1764-1766.

64. Wang, L.-X. Adaptive fuzzy systems and control: design and stability analysis, Prentice Hall, 1994.

65. Nauck D. Neuro-Fuzzy Systems: Review and Prospects Paper appears in Proc. Fifth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT'97), Aachen, Sep. 8-11, 1997, pp. 1044-1053.

66. Nauck D. Kruse R. Neuro-Fuzzy Systems for Function Approximation. Paper of the 4. International Workshop Fuzzy-Neuro Systems 1997 in Soest.

67. Nauck D. Kruse R. A Neuro-Fuzzy Approach to Obtain Interpretable Fuzzy Systems for Function Approximation. Paper appears in Proc. IEEE International Conference on Fuzzy Systems 1998 (FUZZ-IEEE'98), Anchorage, AK, May 4-9, 1998, pp. 1106-1111

68. Mackey M.C., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems, Science, 197 (1977) pp. 287-289.

69. Нечеткий нейронный алгоритм NEFPROX. ftp://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/pub/nefprox/nfident.tar.gz

70. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences 20(1963), pp. 130-141.

71. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова H.B. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

72. Хилькевич В. В. Радиоволновые методы измерения электродинамических параметров неоднородных материалов. Радиотехнические тетради, 1999, № 18, с. 49-52.

73. HP EEsof Design Technology. HP High Frequency Structure Simulator 5.4 User's Guide. May 1999. HP Part No. 85180-90166.

74. Хилькевич В. В. Определение параметров земных покровов с помощью нейронного метода. Дистанционное зондирование земных покровов и атмосферы аэрокосмическими методами. Всероссийская научная конференция. Сборник докладов. Муром: 2001. с. 147-151.