Инвариантные характеристики и преобразования в термоупругости и термовязкопластичности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Леонова, Эмилия Александровна

• Леонова, Эмилия Александровна
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Леонова, Эмилия Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФОРМЫ ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ.

§ I. Следствия закона движения.

§ 2. Поле вектора £> ( , "О

§ 3. Поле вектора ^ ( ot0 Ь )

§ 4. Векторные тождества.

§ 5. Напряженное состояние

§ 6. Замкнутая система

ГЛАВА II. СКАЛЯРНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В СТАТИКЕ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ

§ I. Инвариантное представление общего решения через скалярные гармонические функгщи.

§ 2. Векторные тождества.

§ 3. Приграничный слой упругого тела.

§ 4. Скалярная постановка первой смешанной краевой задачи.

§ 5. Скалярная постановка второй смешанной краевой задачи.

§ 6. Некорректные задачи теории упругости

ГЛАВА III. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ТЕРМ0ВЯЗК0-ПЛАСТИЧНОСТИ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ОБ

ОПРЕЩЕЛЯЮШИХ СООТНОШЕНИЯХ.

§ I. Замкнутая система уравнений и основные соотношения .ИЗ

§ 2. Инвариантные свойства динамических уравнений.

Специализации .Ц

§ 3. Инвариантные свойства квазистатических уравнений.

Специализации.

§ 4. Класс функций ФСЩТ) для определяющих соотношений.

§ 5. Способ обработки экспериментальных данных на основе функций класса £ <D \

§ 6. Геометрический вариант реализации способа.

§ 7. Статистический вариант реализации способа.

ГЛАВА. 1У. НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

§ I. Напряженно-деформированное состояние тонкого слоя, затвердевающего из расплава на охлаждаемой поверхности.

§ 2. Полый шар с неизвестным термомеханическим процессом внутри полости.Л.

§ 3. Треугольная призма в условиях первой смешанной краевой задачи.

§ 4. Треугольная призма в условиях второй смешанной краевой задачи.

§ 5. Термоупругие напряжения и деформации в секторе полого цилиндра с переменными модулями.

§ 6. Термоупрутие напряжения и деформации в секторе цилиндра с модулями упругости специального вида.

§ 7. Термоупругие напряжения и деформации в цилиндрах с сечениями металлургических изложниц.

§ 8. Модификация метода гидродинамических приближений.

§ 9. Результаты обработки экспериментальных данных по предложенному способу.

ВЫВОДЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные характеристики и преобразования в термоупругости и термовязкопластичности»

Широкий крут научных и практических проблем естествознания и техники, решаемых методами механики деформируемых сред и, в частности, ее разделов - термоупрутос-ти и термовязкопластичности, - высочайшие достижения отечественных и зарубежных ученых, характеризующиеся глубиной научных идей и методов и многочисленностью разнообразных плодотворных применений фундаментальных результатов к решению конкретных практических задач, демонстрируют важность и перспективность научных исследований в этой области.

Открытия новых физических явлений, возможности их практического использования и связанное с ними возникновение новых научных и технических проблем расширяют область применения этих методов. Углубление научных знаний, развитие вычислительных методов и экспериментальной техники создают дополнительные возможности для решения существовавших сложных и вновь возникающих проблем.

Технический прогресс с критериями надежности и экономичности, с возрастающими требованиями к качеству изделий, прочности конструкций, точности приборов, производительности и экономичности технологических процессов вызывает необходимость постановки и исследования новых задач, совершенствования существующих и разработки новых общих теоретических и экспериментальных методов в механике континуума и их применения к конкретным средам и процессам.

Среди этих общих положений, свидетельствующих об актуальности проблем, являющихся предметом изучения в механике деформируемых сред, можно отметить постоянную актуальность проблем, решаемых методами термоупругости и термовязкопластичности с расширяющейся сферой их применения, связанных с термопрочностными расчетами деталей машин, механизмов, элементов конструкций, функционирующих в сложных, экстремальных и новых условиях; с совершенствованием действующих и созданием новых технологических' процессов, в частности литья и обработки давлением металлов и других материалов, в том числе обработки металлов в состоянии сверхпластичности; с течением сложных жидко-твердых смесей, применяемых в нефтепромысловой механике; с необходимостью исследования мало изученных и новых сред, требующих Создания экспериментальных методов реологических испытаний; с разработкой методов адекватного математического описания.

Математические модели, описывающие на требуемом уровне адекватности реальные явления для определенных классов физических сред и процессов, основанные на юс предварительном изучении, как известно, являются основным инструментом теоретического исследования этих явлений.

Главные трудности при решении математических задач механики деформируемых сред связаны с необходимостью анализа тензорных полей различных рангов и типов, с многомерностью задачг с нелинейностью уравнений и граничных условий.

Цель предлагаемой работы - поиск точных математических упрощений за счет более полного использования инвариантности материальных объектов и физических законов. ,

Поиск основан на известных работах А.А.Ильюшина, Л.И.Седова, У.Нолла, К.Трусделла, ведется в соответствии с ними и состоит в выявлении возможностей понижения валентности математических объектов и упрощений замкнутой системы уравнений посредством специального выбора искомых функций, их аргументов и формы определяющих соотношений.

Результаты работы изложены в четырех главах. Каждая глава начинается с краткого обзора наиболее близких к ее тематике известных рйбот. Результаты автора представлены в следующих за ним параграфах.

В первойглаве изучается возможность понижения валентности математических объектов в кинематике материального континуума.

Вводятся в рассмотрение законы сохранения одномерных и двумерных материальных многообразий ( волокон и поверхностей как материальных образов регулярных геометри-- ческих кривых и поверхностей ) и их массы. Выводится эволюционное уравнение для произвольного волокна и приводится к известному в электродинамике и теории вихрей виду. Показано, что соответствующее векторное поле пред-ставимо через три соленоидальных векторных поля. Выводится эволюционное уравнение для элемента произвольной материальной поверхности. Показано, что соответствующее векторное поле предетавимо через три потенциальных векторных поля. Устанавливаются связи свойств потенциальности и соленоидальности этих полей с известными свойствами символов Криетоффеля и равенством нулю тензора Риччи в евклидовом пространстве.

Вводится в рассмотрение векторная мера скорости деформации поверхности частицы. Получены два векторных кинематических тождества, связывающих соответственно локальную и полную скорость деформации поверхности частицы со скоростью изменения объема и угловой скоростью.

Устанавливаются связи введенных векторных характеристик с традиционными тензорными. Таким образом кинематика материального континуума представляется в виде законов сохранения материальных элементов, а анализ тензорных полей приводится к анализу векторных полей.

На этой основе предлагаются две основные эквивалентные формулировки замкнутой системы уравнений. Замкнутая система механических уравнений в каждой из них состоит из двух векторных дифференциальных уравнений и определяющих соотношений. Одна формулировка основана на законе сохранения импульса и законе сохранения волокон, другая - на законах сохранения импулься и материальных поверхностей. Закон сохранения массы в традиционном' виде в замкнутую систему не входит, плотность и изменение объема вычисляются по ее решению.

По решению замкнутой системы при заданных начальных и граничных условиях вычисляются все характеристики напряженно-деформированного состояния и скорости их изменения.

Вовто£рй главе рассматривается статика теории упругости и несвязанной термоупругости. Получено новое представление общего решения уравнений через гармонические функции.' В отличие от известных, которые все содержат гармонический вектор, в этом представлении все гармонические функции скалярны, их число минимально, представление инва- , риантно. Минимальное число равно размерности геометрического пространства: для трехмерных уравнений - три, для плоской задачи - две функции и одна произвольная константа. Задачи для векторных искомых функций сводятся к задачам для скалярных функций.

Кинематические тождества, полученные в первой главе, конкретизируются для вектора перемещения. Закон Гука предт ставляется через векторные характеристики деформации.

Для постановки краевых задач на основе полученного общего решения рассмотрен тонкий приграничный слой упругого тела. Получены значения кинематических характеристик слоя в выражении через заданные или измеренные на поверхности вектор перемещения и вектор напряжения.

На этой основе краевые задачи с заданными на границе нормальной ( касательной ) составляющей вектора напряжения и касательной ( нормальной ) - вектора перемещения для класса областей сформулированы в виде задач для скалярных гармонических функций и дан метод решения сведением к задачам Дирихле и Неймана.

Рассмотрены некорректные задачи теории упругости и несвязанной термоупругости с известными на части границы и вектором напряжения, и вектором перемещения при неизвестных условиях на остальной части границы. Задачи приводятся к задаче Коши для уравнения Лапласа.

Б третье! глава анализируется инвариантность системы уравнений относительно непрерывных преобразований независимых переменных и искомых функций. Система уравнений, отражая инвариантность физических величин, понятий и законов относительно преобразований системы отсчета и выбора единиц измерения, может обладать дополнительными инвариантными свойствами, которые являются источником полезной инфор- " мации. Расширение этой информации и возможностей ее практического использования предлагается заложить еще на начальной стадии формирования математической модели за счет оптимального представления определяющих соотношений, включая обработку данных базового эксперимента.

Этот подход реализован для уравнений термовязкопластич-ности с тензорно линейными определяющими соотношениями и экспериментально определяемой скалярной функцией, связывающей вторые инварианты девиаторов напряжений, скоростей деформаций и температуру.

Найдена максимальная группа непрерывных точечных преобразований динамических и квазистатических уравнений, их специализаций и их приближений за счет пренебрежения диссипацией и конвекцией в различных сочетаниях. Найден полный класс скалярных функций для определяющих соотношений. Функции соединяют расширенные возможности точных упрощений замкнутой системы и удовлетворительной аппроксимации данных опыта. Упрощения состоят в сокращении числа независимых переменных, искомых функций, в линеаризации уравнений, в выборе определяющих параметров для моделирования процессов.

Сопоставление найденных функций с эмпирическими, предлатавшимися разными авторами для металлов в условиях горячей обработки давлением и высокотемпературной ползучести, показало, что большинство эмпирических функций являются частными случаями найденных.

Предложен способ обработки экспериментальных данных на основе этих функций и два варианта его реализации: геометрический и статистический. Способ включает определение температурно-скоростного диапазона адекватного описания, вычисление свободных параметров и областей допустимой их вариации, оценки точности.

В четвертой главе приводятся решения некоторых прикладных задач, использованные в качестве иллюстративных и тестовых для полученных в первых трех главах результатов, и методы решения без конкретизации экспериментально определяемых функций в определяющих^соотношениях.

Сформулирована математическая постановка задачи о термоупругих напряжениях и деформациях в тонком слое металла, затвердевающего из расплава на охлаждаемой поверхности произвольной конфигурации. Определяющие соотношения гипоупру-гого материала представлены в векторной форме в соответствии с § 6 главы I. Задача сведена к задаче теории оболочек.

Задача об определении термоупругих напряжений и деформаций в полом шаре, вызванных 'Неизвестными термомеханическими воздействиями процесса внутри полости, по измерениям вектора перемещения на свободной от нагрузок внешней поверхности решается двумя разными методами: методом § 6 главы II=и непосредственным интегрированием уравнений с последующим удовлетворением граничных условий. Аналитические решения, полученные тем и другим методом, совпадают.

Задачи о термоупругих напряжениях и деформациях в прямой призме с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника при заданных на боковой поверхности и торцах нормальной ( касательной ) составляющей вектора напряжения и касательной ( нормальной)- вектора перемещения решаются методом § 4 и § 5 главы II. Полученные решения соответствуют известному решению задачи Сен-Венана для длинной призмы.

Задачи о температурных напряжениях и деформациях в секторе полого цилиндра рассматриваются при произвольной зависимости модулей упругости от температуры (координат) .

Специальной заменой искомых функций задача приводится к решению интегрального уравнения методом последовательных приближений. Приводятся полученные решения для цилиндра и для сектора при двух вариантах закрепления радиальных элементов. Примеры расчетов показывают быструю сходимость.

Те же задачи решены для модулей упругости, заданных функциями температуры ( координат ) специального вида. Получены аналитические решения в конечном виде для всех рассмотренных вариантов. Сравнение показало практическую применимость приближенных решений для задач с модулями общего вида.

Задачи о термоупругих напряжениях и деформациях в цилиндрах с сечениями металлургических изложниц решаются для двух типов сечений: квадрата с закругленными углами и тела, образованного соединением двух: пластин с двумя полуцилиндрами. Получены аналитические решения в замкнутой форме для произвольных зависимостей модулей от температуры.

- 12

Задачи о квазистатических изотермических течениях сред, обладающих вязкостью и пластичностью, рассмотрены .; при характерных для обработки металлов давлением граничных условиях с заданными на поверхности нормальной составляющей вектора скорости и касательной - вектора напряжения Для произвольной функции, связывающей интенсивности напряжений и скоростей деформаций, предлагается модификация метода гидродинамических приближений, в котором каждое приближение сводится к решению задачи гидромеханики ньютоновской вязкой жидкости. На основе результатов глав I и II каждое приближение сводится к решению задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона.

Для апробации предложенного в § 5 главы III способа обработки экспериментальных данных проведены расчеты по опубликованным данным для металлов в Фемпературно-скорост-ном диапазоне горячей обработки давлением. Результаты обработки по геометрическому^ § 6 главы Инварианту способа и по статистическому ( § 7 главы III) варианту подтверждают представимость большинства проанализированных опытных данных функциями найденного > класса.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Леонова, Эмилия Александровна

- 227 -ВЫВОДЫ

1. Введением в рассмотрение :в кинематике континуума векторных законов сохранения материальных элементов и новых искомых функций анализ тензорных полей приводится к анализу потенциальных или соленоидальных векторных полей и понижается порядок замкнутой системы уравнений. Деформированное состояние описывается на традиционном уровне адекватности введенными функциями.

2. Полученное новое представление общего решения уравнений статики теории упругости через гармонические функции отличается от известных совокупностью признаков: все гармонические функции скалярны, их число минимально, представление инвариантно. Оно позволяет сводить краевые задачи теории упругости и несвязанной термоупругости к задачам классической теории потенциала. Задёчи с заданными на границе нормальной ( касательной)составляющей вектора напряжения и касательной ( нормальной ) вектора перемещения приводятся к задачам Дирихле и Неймана. Задача с известными на части границы обоими векторами при неизвестных, отыскиваемых в процессе решения, условиях на остальной части границы приводится к задаче Коши для уравнения Лапласа.

3. Предложенное использование инвариантности относительно преобразований независимых и зависимых переменных на начальной стадии формирования математической модели для оптимального представления экспериментальных данных в определяющих соотношениях существенно расширяет возможности точных упрощений замкнутой системы. Найдена максимальная группа инвариантности уравнений термовязкоплас-тичности и полный класс скалярных функций для тензорно линейных определяющих соотношений с условием несжимаемости. Функции найденного класса сочетают расширенные возможности точных упрощений замкнутой системы и удовлетворительной аппроксимации данных опыта. Они имеют общую структуру с одинаковой степенью произвола в виде произвольной функции одного аргумента, выражающего эффект совместного влияния скорости деформации и температуры на сдвиговое сопротивление, и двух свободных параметров, ■ один из которых входит в аргумент произвольной функции. Специфика класса позволила предложить способ обработки экспериментальных данных с единым для всех функций алгоритмом, вычисления свободных параметров без конкретизации функции одного аргумента. Произвол в способе ее задания может при необходимости быть использован в дальнейшем как для уточнения аппроксимации при появлении новых опытных данных, так и для дополнительных математических упрощений при решении задач.

4. Предложенные для прикладных задач ( характерных' для процессов литья, горячей обработки металлов давлением, упругого деформирования различных тел термомеханическими воздействиями^ методы и решения без аналитического представления экспериментальных функций,аналитические решения в замкнутой форме для функций специального вида,использованные также в качестве тестовых, и конкретные расчеты в соответствии с экспериментальными данными подтвердили применимость результатов для анализа реальных проблем и послужили основой ряда практических рекомендаций.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Леонова, Эмилия Александровна, 2001 год

1. ИльюшинА.А. Механика сплошной среда. М.: Изд-во Моск. ун - та., 1990. 310 с.

2. С е д о в Л.И. Механика сплошной среды. T.I. М.: Наука, 1972. 492 с.

3. Л у р ь е А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

4. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной меха- * ники сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

5. I е р м е н П. Курс механики сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 340 с.

6. ФрейдентальА., ГейрингерХ. Математическая теория неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.432с.

7. Рашевски й П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.661 с. tр

8. Дубровин В.А., Н о-в и к о в С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 759 с.

9. П о б е д р я Б.Е. Лекций по тензорному анализу. М.: Изд-во1. Моск. ун-та, 1986. 262 с.

10. Ш W. Л wtxi'f} &maéLC-Cí-¿ t-heoiij of ¿fie-' мес$с(г?сса-£f c&né¿/4¿oai л ec¿¿a. //¿¿cf?. #¡ecú. af, /ЯХ К 137- 2H.

11. YíJjга ¿bote ti C., ¿folí V. The non-f^eai fufa/

12. G и г ¿in е. Speccl &п ike i&tationship ¿eiwczn /¿e ' ^й'^л'с Sitetin täte an J iU etc/it*.

13. Ы /. See. a Stud, *9*3. V. Sf,

14. Г p и н А., А д к и н с Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

15. Новожилов В,В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

16. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об "истинных" мерах * напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела.// Изв. АН СССР МТТ 1987. $ 5. С. 73 80.

17. П о з д е е-в A.A., Трусов П.В., Н я ш и н Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 232 с.

18. Толоконников I.A., Марки н A.A. Определяющие соотношения при конечных деформациях. // Проблемы механики деформируемого тела. Калинин.: Изд-во Калининского ун-та,1986. С.49 57.

19. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформиро-iвания.// Прикл. пробл. прочнести и пластичности. Горький,1987. С. 32 37. .

20. П о б е д р я Б.Е. О задаче в напряжениях. Докл. АН СССР. 1978. Т.240., В 3. С. 564 567.

21. ПобедряБ.Е. Новая постановка задачи механики деформируемого твердого тела в напряжениях. // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. № 2, с. 295 297.

22. Суслова H.H. К постановке краевых задач теории упругости в дисторсиях. Изв. АН СССР, МТТ. 1980. № 2. С. 59 67.

23. К о н д а у р о в В.И. О законах сохранения и симметризации уравнений нелинейной теории термоупругости. // Докл. АН СССР,1981. Т. 256, М. С.819 823.

24. Кондауров В.И., Никитин Л.В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах. // Докл. АН СССР.1982. Т. 262, № 6.

25. С о л о М'в щ И.А., Соломен М.А. Уравнения упрутоплас-тичности для репера упругой деформации и скоростей точек.

26. Докл. РАН 1997, Т.354, № 6. С. 759 761.

27. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.939 с.

28. Н о в а ц к и й В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

29. Л я в А. Математическая теория упругости.' М.-Л. :.0НТИ, 1935.674с.

30. КурантР. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

31. МихлинС.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 430 с.

32. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.- Л.: Гостехиздат, 1946. 318 с.

33. Гюнте.рН.М. Теория потенциала и ее приложения к основным задачам математической физики. М. : Гостехиздат, 1953.416 с.

34. Антонов В.А., Тимошкова Е.И. ,Холщевни-ко^в К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 272 с.

35. ГалеркинБ.Г. К вопросу об исследовании-напряжений и деформаций в однородном изотропном упругом теле.// Докл. АН СССР. 1930. Т.190. С. 1047 1048.

36. Г а л е р к и н Б.Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле. // Собрание сочинений Б.Г.Талеркина. М.: Изд-во АН СССР, 1953., T.I. С. 318 321.

37. ПапковичП.Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармонические функции.//Изв. АН СССР. Сер. матем. и естеств. наук. 1932. Ш). С. 1425-1435.

38. П а п к о в и ч П.Ф. Теория упругости.Л. :0богюнгиз Д939.640с.

39. Гродский Г. Д. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного упрутого тела при помощи ньютоновых потенциалов и гармонических функций. // Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. наук, 1935.№ 4. С.' 584 614.

40. V. 1416. H e й б e p Г. Кощентрадия напряжений. M.: Гостехиздат.1947.

41. Слободянский M.Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженные через гармонические функции.//ПММ.1954.Т.18.Вып.1.С.55-74.

42. Euian-кь Siunéetcj Û* ¿At comp^eée/iei*, o/tifa /bouline** (j, 'Pbpkovícfa Sitéis 9unt¿¿oni ,//Л ai. ,

43. Jtecfr. лЛГ. P. Русский перевод:1. Ц Механика. 1957. № 6 46

44. Ait ¿A. Sâc. и. 92, P.S23- 3Î6.

45. К p y t к о в Ю.А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М. : Изд-во АН СССР. 1949.200 с.24. УГ&пу /У. Z. 7и Лц&^И-Нъи

46. Ул^ /// /-Л и {гит¡0гтьНоп //у. ^ I/. У/. .д/7. Я

47. Н<>и 5«$. гертел/ат^ог) ¿^¿¿лелг е^^ИсИ^ ¿п /¿¿^ ¿>/ ^^е /алгШл!, //^ Лес*,

48. Тер-Мкртичьян Л.Н. Об общем решении задачи теории упругости. // Труды Ленингр. политехи, ин-та. 1947.4. С. 3 33.

49. ШмаковА.П. Представление общего решения в теории упругости. // Упругость и неупругость. М.: йзд-во МГУ, 1975. Вып. 4.- С. 5 12.

50. Б о р о д а ч е в Н.М. О преобразовании. Нахди-Хсу и решении . Яапковича Найбеш, Л .Изв. НЕ-ЖТ 1996. С. 36 - 43^

51. В о р о в и ч И, Йм Александров В. М. , Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

52. Александров В.М. и др. Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов н/Д, ,1983.

53. Флитман Л.М. Об одной задаче для упругого полупрост. ранства.//. Изв. АН СССР.Сер. геофиз. 1958. № I. С. 105-106.

54. ШачневВ.А. Некоторые представления решений граничных задач двумерной статической термоупругости. // ПММ 1981. Т.45. В I. С. 154 164.

55. ШачневВ.А. Представление решений двумерных граничных, задач связанной электроупругости. // ПММ 1987. Т. 51. Л 4. С. 662 669.

56. По ytH>, ¡low СЛ. 7)Ц(гасНоп е£«<Ыс, uraveiал с/ dLj/ia/bcc V. у, ;1. Glane ¿/51 , 3\

57. И с р а и л о в М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн.'М.: Изд-во МГУ, 1992. 208 с.

58. Иванов В.К., Васин В.В., Т а н а н а В.П. Теория некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.с*

59. Лаврентьев М.М. О некорректных задачах математической физики. Новосибирск.:Изд-во АН СССР, 1962. 92 с.

60. Л а н д и с Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка. // Успехи матем. наук.1. Т. 18. Вып. I. С. 3 62.

61. Л а т т е с Р., Л и о н с Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 336 с.

62. МорозовВ.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. 359 с.

63. Тихонов А.Н., Аре е нин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

64. Леонова Э,А, Скалярные характеристические функции в уравнениях термоупругости и термовязкопластичности. // Современные вопросы математики и механики и приложения. Тез.докл. Всесоюзн. конф. М. 1983. С.67.

65. Леонова Э.А,. К представлению граничных условий в теории упругости. // II Всесоюзная конф. по теории упругости. Тез. докл. Тбилиси. 1984. С. 153 154.

66. Леон о, в аЭ.А. К постановке смешанных краевых задач в теории упругости. // Смешанные задачи механики деформируемого тела. 1У Всесоюзн. конф. Тез. докл. Одесса. 1989. С.198.

67. ЛеоноваЭ.А. К постановке смешанных краевых задач теории упругости. // Вестн. МГУ Сер. I. Математика. Механика. 1991. № 3. С. 100 101.

68. Л е о н о в а Э.А. К постановке краевых задач теории упругости.// Вестн. МГУ Сер. I. Математика. Механика. 1991.5. С. 94.

69. Л~е о н о в а" Э.А.,' С а х а р о в а О .П. О напряженно-деформированном состоянии тонкого слоя,.затвердевающего из расплава. //Вопросы теории" пластичности■в современной технологии. Всес. симпозиум. Тез. докл. М.1985.СТ61.

70. Л е о н о в а Э.А. К анализу напряжений и деформаций в окрестности фронта затвердевания.// Вестн. МГУ. Сер. I. Математика. Механика. 1986. № 6. С. 75.

71. Леонова Э.А. формирование напряженно-деформированного состояния затвердевающего слоя на охлаждаемой поверхности.1У Всес. съезд по теорет. и прикл. механике. Аннот. докл. Ташкент. 1986. С. 417.

72. Леонова'Э.А. О некорректных задачах теории упругости. Деп. в ВИНИТИ. 1996. £ 3319.- В 96. С. I- 45.

73. Л е о н о в а Э.А. О некорректных задачах статики теории уп-рутости. // Изв. РАН МТТ. 1997. В 6. С. 71 77.1. К главе III.

74. С е д о в Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. 432 с.

75. БиркгофГ. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. Пер. с англ. М.: ВД., 1963.244 с.

76. Понтряги н Л.С. Непрерывные группы. М. : Наука, 1963.520с.

77. Чеботарев Н.Г. Теория групп ЛИ. М.-Л. ГИТТЛ, 1940. 396с.1. А*

78. ЭйзенхартЛ.Г. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947.360 с.

79. Ш е в а л л е К. Теория групп Ж. T.I. М. : ИЛ, 1948. 316 с. ' 7. Мв $. С/£еь die. InteyzctiLOft duzofi1.itiale- "iron el^et /С/аие ¿¿necczez paztlzg-¿ег ^iffeze-rttia^icltiocfi^e/n .8. && 5. ¿¿siéebtueAu/igef? и/et

80. Z)itffc ыи? "¿¿a ¿cA & ¿л е- со /г i ¿л ¿/д. г ¿с 'сАь

81. Gzufc/o-e £ И ¿Ce ¿¿es? //¿¿/zé-A, ■ ¿пла^е/?. /W/. Лс( XXI/. //. /9. гЛе S.yf/igei Ti?eozce ' de z Т2<х/?4 -fû гм ¿о n ¿f tu/эре h . ' АЛ Л 5. ^ ; Г-e^/iel

82. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных'уравнений. Новосибирск.: Изд-во СО АН СССР, 1962. 230 с.

83. О в с я н н и ков Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

84. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности. // Докл. АН СССР. 1959. Т.125. № 3.

85. О 3 с я н н и к о в Л. В., И б р а г и м о в Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики.// Итоги науки и техники. Общая механика. 1975. М.:; 1975. С. 5 59.

86. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Йаука, 1983. 280 с.

87. Овсянник о:® Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика. // ПММ. 1994. Т.58. Вып. 4. С.30-55.

88. О в с я н н и к о в Л. В. Некоторые итоги выполнения программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. // ПММ. 1999. Т.63. Вып.З.

89. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с. •»

90. Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластического течения. // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. Вып. 2. С. 64 86.

91. Ильюшин А. А. Деформация вязко-пластичного тела. Ученые записки МГУ, 1940. Вып. 38. С. 4 81.

92. И л ь ю ш и н А. А. Моделирование горячих и скоростных процессов обработки металлов давлением.

93. ПММ. 1952. Т. 16. В 4. С. 385 398.

94. К и й к о И. А. Теория пластического течения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 76 с.

95. К и й к о И. А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго деформируемым поверхностям. // Инженерн. .журн. 1965. Т.5. Вып.2. С. 372 375.

96. К и й к о И. А. Точное решение одной задачи пластического точения в тонком слое по упругим поверхностям.// ДАН СССР. 1965. Т.162. № I.1. С. ,40 42.

97. Р а б о т н о в Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с,

98. Р а б о т н о в Ю. Н. , М и л е й к о С. Г. Кратковременная ползучесть. М.: Наука, 1970. 1222 с.

99. К а ч а н о в I. М. Теория ползучести. М.: Физ-матгйз, 1960. 455 с.

100. Ш е с т е р и к о в С. А., Л о к о щ е н к о А. М., Ползучесть и длительная прочность металлов. // Итоги науки и техники. Механика твердого деформируемо*, го тела. ВИНИТИ. 1980. № 13. С. 3 104.

101. Ш е с т е р и к о в" С. А., М е л ь н и к о в Г.П., А р ш а к у н и А. Л. К выбору уравнений состояния при ползучести. // Проблемы прочности. 1980.1. В 6. С. 77 81.

102. В а с и н Р. А. Определяющие соотношения теории пластичности. // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика деформируемого твердого тела. М.: 1990. № 21. С. 3 75.

103. В а с и н Р. А., Е н и к е е в Ф. У. Введение в механику сверхпластичности. Уфа: Гилем, 1998. 4.1. 280 с.

104. Мирзаджанзаде А. X. Вопросы гидродинамики вязко-пластических и вязких жидкостей н нефтедобыче. Баку. Азернефтнешр, 1959. 409 с.

105. Огибалов П. М» М и р з а д ж а н з а д е. А. X. Нестационарные движения вязкопластических сред. М.: йзд-во МГУ, 1977. 415 с.

106. Колмогоров В, Л. Механика обработки давлением. М.: Металлургия, 1986. 687 с.

107. Л е о н о в а Э. А. Групповая классификация и инвариантные решения уравнений течения и теплообмена вязкопластической среды.// ПМТФ. 1966. $ 4. С. 3 18.

108. Л в о, н о в а Э.А. О неизотермических течениях нелинейной вязкопластической среды. // 1У Всесоюзн. конф. по прочности и пластичности. Тезисы докл.1967.

109. Л е о н о в а Э. А. Групповые свойства уравнений пространственных неизотермических вязкопластических течений.// III Всесоюзн. съезд по теоретич. и:. прикл. механике. Тезисы докл. 1968.

110. Л е о н о в а Э. А. Групповые свойства уравнений неизотермических вязкопластических течений. // Гидравлика промывочных и цементных растворов. 1969. Вып. 3. С. 7 19.

111. Леонова Э.А. Описание влияния температуры и скорости деформации- на процессы пластического течения и ползучести металлов. // Вестн. МГУ. Серия1 Математика. Механика. 1975. № 6. С. 124 125.

112. Леонова Э.А. О выборе определяющих уравнений для решения задач, связанных с пластичностью и ползучестью металлов. // У1 Всесоюзн. конф. по прочности и пластичности. Тезисы докл. 1975. С. 32-33.

113. А н н и н Б. Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: Изд~во НГУ, 1975. 96 с.

114. Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений идеальной пластичности с условием текучести Мизеса. // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978. Вып. 33. С. 109 117.

115. С е н а ш о в С. И. Об одном классе точных решений уравнений идеальной пластичности.// ПМТФ. 1986. & 3. С. 139 142.

116. Анн и и Б. Д«, Б: а т е в В. 0., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск. 1985. 142 с.

117. Душин В. Р. Инвариантные решения уравнений движения "степенных" жидйостей. // Вестн. МГУ. Сешя I. Математика. Механика. 1988. Л 2. С. 91-95.45. Zenet С., Но Потоп #1. M/>P¿- ^ V. -/5". ?. ЯП.1. G-zejjoZ Flohe гjBppí. Meißi> W6. S/З.Р. i

118. Л е о н о в а Э. А* Способ обработки эксперимент. тальных данных для задач термовязкопластичности

119. I Всесоюзн. научная конф. "Научно-техническое сотрудничество "Предаятие Вуз. М.: Изд-во МГУ. 1980. С. 25 - 26,

120. Л е о н о в а Э. А. Инвариантные преобразования в механике сплошной среды и вариант теории затвердевания отливки. // Вестник МГУ. Серия I. Математика. Механика. 1982. $ 4. С. 82.

121. Л е р н о в а Э. А. Инвариантные свойства задач термоупругости и термовязкопластичности. // Вестник МГУ. Серия I. Математика, Механика. 1983. $ 3.1. С. 182

122. Л е о н о в а Э. А., К а д и м о в М. Ю. Об аппроксимации свойств, материала в задачах установившейся ползучести. // Ползучесть в конструкциях.

123. Всесоюзн. конф. Новосибирск. 1984. Тезисы докл. С. 41 42.

124. Леонова Э. А. Особенности инвариантных свойств задач .термоупругости и термовязкопластичности. // Вестн. МГУ. Серия I. Математика. Механика. 1985о $ 3. С. 99

125. Л е о н о в а Э. А.-, Кадимов М. Д. К аппроксимации экспериментальных данных о температурной зависимости сдвиговых свойств материала.// Применение композиционных материалов на полимерной основе и металлической матрице./Пермь. 1985. С.52

126. Л е о н о в а Э. А., К а д и м о в М. Д. Об аналитическом представлении свойств материала для задач термовязкопластичности. // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ. 1987. С. 171 178.

127. Леонова Э. А. О представлении температурно-скоростной зависимости свойств металлов в условиях сверхпластичности.// Сверхпластичность металлов.1У всесоюзн. конф. Тезисы докл. Уфа. 1989 . 4.1. С.85.

128. Леонова Э. А., М о с к в'и т и-д В. В. Термомеханические явления в литейных-процессах.// Вопросы. теории пластичности кв современной технологии. Всесоюзн.симпозиум. Тез. докл. 1985. С. 29 30.

129. Л е о н о в а Э. А. Представление экспериментальуно заданных функций для задач термовязкопластичности. // Деп. ВИНИТИ. 1991.4541 В 91. С. I- 24.

130. Леонова Э.А. Классификация инвариантно-групповых решений уравнений термовязкопластичности.

131. Вестник МГУ. Серия I. Математика. Механика. 1992. № 2. С. 104.

132. Леонова Э.А. Об адекватности определяющих соотношений сермовязкопластичности, связанных с инвариантными свойствами уравнений. // Термовязко-пластические процессы деформирования в элементах конструкций. Научное совещание. Тезисы докл. Киев. 1992. С. 45.

133. Л е о н о в а Э. А. Инвариантные свойства уравнений термовязкопластичности с неполной информацией о свойствах среды. // Упругость и неупругость. М.: Изд во МГУ. Х993. С. 55 - 87 .

134. Леонова Э.А. Анализ адекватности определяющих соотношений термовязкопластичности, связанных с инвариантными свойствами уравнений. // Деп. ВИНИТИ. 1993. Л 449т В 93. С. I 25.

135. Л е о н о в а Э. А. Представление экспериментальных функций в определяющих соотношениях термовязкопластичности на основе анализа инвариантных свойств. // Математическое моделирование систем и процессов. Пермь. 1997. Л 5. С. 56 64.

136. Л е о н о в а Э. А. К формулировке определяющих соотношений для задач механики сверхпластичности.

137. Современное состояние теории и практики сверхпластичности материалов. Груды Международной научной конференции." Уфа: Гилем. 2000. С/ 266 -"270.

138. А г е е в Н. П., К а р а т у шин С. И. Механические испытания металлов при высоких температурах и кратковременном нагружении. М.: Металлургия, 1968

139. А г,е е в Н. П. Механические "свойства стали при высоких температурах и различных скоростях деформирования. ЛДЙТД. 1961.

140. А н д р е ю к Л. В., Т ю л е н е в Г. Г. Аналитическая зависимость сопротивления деформации металлов от температуры, скорости и степени деформации. // Сталь. 1972. № 9. С. 825-828.

141. Б а л ч у г о в Б. А., П о л у х и н П. И., Г а л-к и н А. М. Сопротивление деформации некоторых сплавов титана. // Пластическая деформация металлов и сплавов. М.: МИСИС. Научйые труды. 1977. $ 93.1. С. 81-84.

142. В а л к в и с т Г. Исследование энергосиловых параметров при горячей, прокатке металла. М.: Металл-лургиздат, 1957.

143. В а щ е и к о А. П., С у н ц о в Г. Н7, Б е л ал о в а Г. В. и др: // Проблемы прочности. 1990. М 8. С. 76-83.

144. Верещагин Н. В., Виноградов А.П. Определение работы при продольной прокатке.

145. Виноградов А. П. Расход энергии при прокатке и мощность двигателей при станах. М.: Металлургия,'1929.

146. В и т м а н Ф. Ф. и др. // №. 1939. Т. IX, Вып. 12. С. 1070; 1949. Т. XIX Вып. 3. С. 300-302 326; 1950. Т.XX.Вып. 10. С.1267-1272.

147. ВрацкийМ. В.»Францевич И. Н.

148. Сталь. 1932. № 7-8. С. 74-87; 1933. # 4-5.С.52-68

149. В ы д р и н В, Н,, Агеев Л. М., П о л ь с к и. „й

150. B. П. // Изв. Вузов. Цветная металлургия. 1966. № 3.1. C. 128-131.

151. Г а л к и н М. М. и др. // Цветные металлы. 1973. № I. С. 68-70; 1981. № 5. С. 81-82.

152. Г а р о ф а л о Д. Законы ползучести и длительной прочности металлов. М.: Металлургия. 1968.

153. Г и н ц б у р г К. Я., У л ь м а н Н. А. // Сталь. 1939.$ 6. С.26.

154. Г и н ц б у р г Я. К. // Металлург. 1926. Л 5.С.59.

155. Г р и ш к о в А. И., К а р д о н о в Б. А., П р а в-д и н А. В., Т и х о н о в А. С. Сопротивление деформации сплавов ХН678 М'Д0, Х15Н55Н16В и Н70М27.

156. Обработка давлением спец. сталей и сплавов. Научн. труды ЦНИИЧМ.•М.: Металлургия, 1967. $ 53. С. 58-63.

157. Г р у м Г р ж и м а й л о В. Е. Прокатка и калибровка. Л.:Кубуч. 1933.

158. Губкин С. И. Теория обработки металлов давлением. М.-Л.: Металлургиздат. 1947.

159. Губки н С. И. Пластическая деформация металлов. Т.2. М.: Металлургиздат. 1960,

160. Г е л е н Ш.Расчет усилий и энергии при пластической деформации металлов. М.: Металлургиздат, 1958.

161. Г у р в и ч Р. // ОТ. 1947. ft 12. С. 213.

162. Д и н н и к -А.* А, Истинные пределы текучести стали при высоких температурах и скоростях деформаций.// Обработка металлов давлением.Научные труды Днепропетровского металлург, ин-та. Харьков.: Металлургиздат, I960. Вып. 39. С.311-327.

163. Ж а д а н В. Т. и др. Применение математической модели для прогнозирования механических свойствстали после ВТМО. // Пластическая деформация металлов и сплавов. Научные труды МИСИС. М. Металлургия, 1974. ft 76. С. 167-173; 1977. ft 93. С.76-80.

164. Ж у р к о в С. Н., С а н ф и р о в а Т. П. // ДАН СССР. 1955. Т. 101, Ъ 2; ЖТФ. 1958. ft 8.

165. Кузнецов Р. И., Ш и л о в В. И. // Проблемы прочности. 19747 2. С. 66-69.

166. Л а ш к о Н. Ф. .Петренко Б. Г., С л о б од ян ю к Г. Я. // Металлург. 1938. J£ 5. С. 61.

167. Л е п и н Г. Ф. Ползучесть металлов и критерии жаропрочности. М.: Металлургия, 1976.

168. Лепин Г.Ф. К вопросу о теории деформации металлов при высокой температуре.// Конструирование и технология машиностроения. М.: Машгиз, 19610 С. 228-242.

169. Лозинский М. Г. Высокотемпературная металлография. М.: Машгиз. 1956'.

170. М а л и н и н Н. Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение. 1986.220 с.

171. М а л и н и н Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение. 1975. 399 с.

172. Механические свойства стали при горячей обработке давлением. // Тарковский И.Я., Поздеев A.A., Меандров Л.В., Хасин Г.А. Свердловск: Металлургиздат, i960.

173. Миле й ко С. Т., Теленков В. И. // ПМТФ. 1962. Л 5. С. 168-174.

174. Молотков Л. Ф. // Сталь. 1938. $ I. С. 38.

175. Падай А. Пластичность и разрушение твердых тел. ИЛ. 1954. 648 с.

176. П о з д е е в А. А., Т а р н о в с к и й В. И., Еремеев В. И, , Б а а к а ш в и л и В. С. Применение теории ползучести при обработке металлов давлением. С.: Металлургия. 1973.

177. II о л у хин П., И., Г у н Г. Я., Галкин А. М. Сопротивление, пластической деформации металлов и сплавов.'Справочник. М.: Металлургия. t t .1. I9Q3. , . . . , | ,

178. НО. П о л у х и н. П. И., Г а л к и н А. М. Исследование сопротивления деформации группы алюминиевых и титановых сплавов цакулачковом пластомет-ре. // Обработка- давлением металлов .и сплавов. . М.: йзд-во ВЙЛС, Д97Г., С. 49-55.

179. I. П э ж и ц.а П. Основное вопросы вязкопластично-. сти. м.: Мир, Щ8. 176 с.112 .1.V .1956. 484 с.

180. Розенберг В.М. Ползучесть металлов. М.: Металлургия. 1967.

181. Своде Швец Н, И. // Металлург. 1939. J§ 7. С. 82.

182. Серегин С. А. // Изв. вузов. Черн. мктал-лургия. 1963. № 8. С. 82 84.

183. С м о л и н а В. И. , 3 о т е е в В. С. // Новые методы испытаний металлов. М.: Металлургия. 1962. Вып. 24. С. 370 379.

184. Соколов Л. Д. Сопротивление металлов пластической деформации. М.: Тйеталлургивдат. 1963.

185. Соколов Л. Д. // ЖТФ. 1946. Т. 16, вып. II. С. 1277-1282; Вып. 4. С. 437-44J Докл. АН СССР.121. 1949. Т.67. $ 67. Jfc 3. С. 459-462; 1950. Т.70.$ 5. С. 839-841.

186. Сопротивление деформации и пластичность алюминиевых сплавов / Справочноик / Миляев II. Г., Дуденко В.М. / М.: Металлургия, 1979.

187. Сопротивление деформации и пластичностьстали при высоких температурах. / Тарновский И.Я., Поздеев A.A., Баакашвили B.C., Лиандров Л.В., Тар-новс кий В.И., Хасин Г.А./Тбилиси: Изд-во Сабчота сакартвело. 1978.

188. Теория ползучести и длительной прочности металлов. / Одинг И.А, Иванова■ В-Бурдукский В.В., Ге-минов В.Н./ М»: Металлургиздат. 1959.

189. Т р у н и н И. И. . Об одном -варианте уравнениясостояния при ползучести.// Деформирование и разрушение твердых тел. М.: Изд-во МГУ« 1977. С.83-89.

190. Т'О м с е н Э., Я н г Ч., К о б а я ш и Ш. Механикааника пластических деформаций при обработке металлов давлением. М.: Машиностроение. 1969.

191. Третьяков А. В., 3 го з и н В. И. Механические свойства металлов и сплавов при обработке давлением. Справочник. М.: Металлургия. 1973.

192. Третьяков А. В., Трофимов Г. К., Гурьянова М. К*. Механические свойства сталей и сплавов при пластической деформировании Справочник. М,: Машиностроение. 1871.

193. Целиков А. И. Теория расчета усилий в прокатных станах. М.: Металлургиздат, 1962.

194. Целиков А. И.,Гришков А. И. Теория прокатки. М.: Металлургия, 1970.

195. Чек.маре в А. П., Р и д н е р 3. А. // Изв. АН СССР. ОТН. 1967. #12. С. 22-29.

196. Чек марев А. П., Р и д н е р 3. А. Истинное сопротивление пластическому деформированию углеродистых сталей при высоких температурах и скоростях деформации // Прокатное производство % Труды МЧМ АН'СССР/ 1957. Т. II. вып. 2. С. 18-21.1. К главе 1У.

197. Леонова З.А. Напряженно-деформированное состояние тонкого слоя, затвердевающего из расплава на охлаждаемой поверхности. // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика. Механика. 1994. £ А. С. 64 67.

198. Л. е. о н о в а Э.А. Температурные напряжения и цилиндре с переменными термоупругими характеристиками. // Изв. ВУЗ-ов 1976. J* I. С. 161 166.

199. Панферов В.М., Леонова Э.А. К решению задач термоупругости с переменными модулями. .// Проблемы прочности. 1975. Л 6. С 22 27.

200. Леонова Э,А, 0 температурных напряжениях в секторе полого цилиндра с переменными упругими свойствами. // Прикладная механика. 1976. Т. XII, J6 2. С.20 25.

201. ЛеоноваЭ.А. К решению смешанных краевых задач теории "течения. // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2001. С. 210 212.,