Некоторые задачи наилучшего приближения в гильбертовых пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Гаврилов, Алексей Владимирович

• Гаврилов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаврилов, Алексей Владимирович

Содержание

Введение

1. Наилучшие квадратурные формулы

1.1. Постановка задачи

1.2. Наилучшие формулы в пространстве с воспроизводящим ядром и сплайны наилучшего приближения

1.3. Производная сплайн-проектора

1.4. Свойства наилучших формул в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром

1.5. Свойства наилучших формул в банаховом пространстве

1.6. Алгоритм оптимизации узлов. Численные эксперименты

1.7. Трудности, связанные с оптимизацией узлов

2. Рациональные и "полулинейные" аппроксимации в гильбертовых пространствах

2.1. Постановка задачи

2.2. Свойства локально наилучшего приближения

2.3. Полулинейная аппроксимация и методы ее построения

2.4. Численные эксперименты

3. Интерполяция в пространстве Харди

3.1. Основные понятия. Постановка задачи

3.2. Инволюция

3.3. Интерполяционная формула

3.4. Производная проектора

3.5. Некоторые замечания об оптимальных в Щ квадратурных формулах

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи наилучшего приближения в гильбертовых пространствах»

Введение

Начиная примерно с 60-х годов задачи наилучшего приближения в гильбертовых пространствах привлекают пристальное внимание в связи с приложениями к оптимальным квадратурным формулам, интерполяции, а также аппроксимации в соответствующих метриках. Хотя у таких задач есть много общего, используемые методы, как и сферы их приложения, чрезвычайно разнообразны.

В настоящей работе затронуты такие проблемы, как наилучшие квадратуры и рациональная аппроксимация в гильбертовых пространствах, а также интерполяция в пространстве Харди. По каждому из этих направлений имеется обширная литература. Рассмотрим их по очереди.

Построение квадратурной формулы означает аппроксимацию интеграла

J(f) = J f{x)p{x)dx, fi

где Q - область в RM, конечной суммой

Hf) = Ecif(U).

г=1

Требуется выбрать узлы í¿ бПи коэффициенты сг- 6 R так, чтобы в том или ином смысле

J(f)*L(f).

Функционал R(f) = J(f) - L(f) называется погрешностью формулы, и в конечном итоге метод ее построения зависит от условий, налагаемых на R(f).

Здесь существуют два разных подхода. При традиционном, алгебраическом, подходе требуется, чтобы

т=о, /6 5,

где в качестве S обычно используется пространство многочленов ограниченной степени. При функциональном подходе требуется выбрать формулу, минимизирующую норму погрешности, т.е. величину

ИН»рИ

11/11*0 11/11

где || • || - некоторая норма (или полунорма). Квадратурная формула, для которой норма погрешности достигает минимума, называется оптимальной в соответствующем пространстве. Следует отличать оптимальные формулы с заданными узлами от оптимальных формул со свободными узлами. Последние называются у Никольского [14] наилучшими, и мы будем придерживаться этой терминологии.

Оптимальные в гильбертовом пространстве квадратуры с заданными узлами хорошо изучены и достаточно подробно рассматриваются, например, в [18], см. также [12]. Важнейшим свойством таких квадратур, доказанным впервые для простейшего случая Сардом [38], является их точность для так называемых сплайнов. Именно, Сард рассматривал квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, оптимальные в пространстве L^, и показал, что они точны для кусочно-полиномиальных функций с теми лее узлами, известных как сплайны. Шёнберг [39] доказал это для произвольных узлов. Далеко идущие обобщения этого результата связаны с развитием общего понятия сплайна в гильбертовом пространстве; здесь прежде всего следует упомянуть имя С.Л. Соболева, впервые рассмотревшего с этой точки зрения многомерные квадратурные формулы. О сплайнах этого вида можно прочесть в [18] и в [12], а также в [40, 11] . В [18] имеется обширная библиография по оптимальным, в том числе многомерным квадратурным формулам с фиксированными узлами, включая работы последних лет.

В теоретическом плане самыми удобными для изучения являются оптимальные квадратурные формулы в пространствах с воспроизводящим ядром. Гильбертово пространство, элементами которого явля-

ются функции на некотором множестве О, называют пространством с воспроизводящим ядром, если значения функций в точках этого множества - непрерывные функционалы [22, 11]. Это означает, что для всякой точки t £ О, существует такой элемент к^ что х{1) = (х, к^ для любого х. Функция двух переменных К(э\ £) = к8) и есть воспроизводящее ядро (заметим, что если гильбертово пространство не обладает таким ядром, его элементы не являются, строго говоря, функциями). Нетрудно показать, что оптимальная в таком пространстве квадратурная формула с узлами ¿г- должна быть точна для функций к^; отсюда можно найти ее коэффициенты, решив систему уравнений с матрицей Грама {/<"(£,, [11].

В отличие от квадратурных формул с заданными узлами, наилучшие, то есть оптимальные со свободными узлами формулы изучены сравнительно мало. Наилучшие формулы впервые систематически рассматривались в монографии Никольского [14], вышедшей первым изданием еще в 1958 г. и многократно переиздававшейся. Несмотря на это, почти все известные в данном направлении результаты доказаны для конкретных пространств и конкретных интегралов, при этом многие - для квадратур довольно специального вида. Кроме того, наилучшие формулы рассматриваются лишь для одномерных интегралов, если не считать нескольких частных результатов.

В подавляющем большинстве работ по наилучшим квадратурам рассматриваются пространства двух типов : 0,1] = 0~тЬр (а также пространства периодических функций с такой нормой) и Нр (классы Харди). Простейшие результаты для Ь^ и Ь^ были получены Никольским и его учениками еще в 50-е годы (см. библиографию в [14]). Наилучшие формулы в Н2 впервые рассмотрел Вильф [41].

Существование и единственность оптимальных формул для гильбертовых и многих банаховых пространств является тривиальным следствием общих теорем о наилучшем приближении [12]. Напротив, существование наилучших формул не может быть доказано в слиш-

ком широких предположениях, не говоря уже о единственности. Теоремы о существовании наилучших формул имеются для обычного одномерного интеграла с единичным весом для пространства Харди Н2 [34], пространства [1] и некоторых других (гильбертовых и банаховых) [18, 14]. Для р > 1, кроме того, имеется интересная

теорема Женсыкбаева о единственности [9] и ряд других результатов, доказанных с применением так называемых моносплайнов (см. библиографию к Добавлению в 4-м издании [14]). Из работ последнего времени отметим статью Самокиша [17], где получены интересные результаты для наилучших в #2 квадратурных формул, аппроксимирующих интеграл

1

I л/1 -х2$(х)йх.

-1

Кроме того, в ней имеется обзор результатов по наилучшим квадратурам в Нр.

Один из немногих общих результатов содержится в статье Лар-кина [31], где показано, что наилучшие формулы в пространстве с воспроизводящим ядром точны для некоторых функций, являющихся производными от сплайнов.

При построении наилучших квадратур, на практике главной проблемой является определение их узлов. Для гильбертова пространства с известным воспроизводящим ядром она сводится к поиску минимума нормы погрешности, которая является явной, но довольно сложной функцией узлов. Такие вычисления проводились для одномерных интегралов для пространства Пэли-Винера [31], пространства Харди [28], и пространства Бергмана [32]. В первой работе использовался предложенный в [29] метод сопряженных градиентов, основанный на вычислении градиента нормы погрешности. В двух других использовались алгоритмы, опирающиеся на специфические свойства пространств Харди и Бергмана. Отметим еще недавнюю работу [23], где оптимизация узлов в пространстве Харди рассматривалась в свя-

зи с приложением к задачам оптимального управления. Отличие этой статьи в том, что в ней изучается аппроксимация функции, а не интеграла (функционала), но методы этой работы вполне могут быть применены к задаче оптимизации узлов квадратуры.

Эффект, достигаемый при оптимизации узлов, зависит как от вида интеграла, так и от свойств пространства. Для пространства Хар-ди наилучшая квадратурная формула имеет примерно вдвое меньше узлов, чем формула с оптимальными коэффициентами и произвольными узлами с близкой нормой погрешности (§3.5, см. также [21]). Для других пространств оценка "коэффициента оптимизации" представляется нелегкой задачей. Еще одним положительным..эффектом может быть улучшение коэффициентов квадратуры. Например, коэффициенты наилучшей формулы, аппроксимирующей интеграл с положительным весом в пространстве Харди, положительны [34, 21], чего отнюдь нельзя сказать об оптимальных коэффициентах, построенных, например, для равноотстоящих,узлов. Автору, к сожалению, неизвестны аналогичные результаты для других пространств; тем не менее здравый смысл подсказывает, что формула со знакопеременными и большими по абсолютной величине коэффициентами, скорее всего, не является наилучшей.

Как справедливо отмечено в [32], независимо от используемого подхода проблема отыскания оптимальных узлов довольно трудна: минимизация нормы погрешности является плохо обусловленной нелинейной задачей, которую необходимо решить с достаточной точностью. При этом возможно существование нескольких локальных минимумов; не исключены, вообще говоря, и случаи вырождения, когда минимумов вовсе нет. Другой трудностью, возникающей и при фиксированных узлах, является плохая обусловленность матрицы системы, из которой находятся оптимальные коэффициенты. В действительности число обусловленности С зависит от нормы погрешности р.— : С ~ р~2 по порядку величины (см. §1.7). Поэтому сложности, свя-

занные с решением этой системы, быстро возрастают с увеличением точности квадратуры.

Еще одной проблемой, связанной с наилучшим приближением, является рациональная аппроксимация в метрике гильбертова пространства. Задача заключается в наилучшем приближении данной функции рациональной функцией, степени числителя и знаменателя которой ограничены заданными величинами. Более простая задача о приближении функции дробью с фиксированным знаменателем по существу сводится к приближению многочленом.

Аппроксимация функции вещественной переменной дробно-рациональной функцией изучалась П.Л. Чебышевым еще в прошлом веке, однако вплоть до 30-х годов эта задача ставилась исключительно в равномерной метрике. Уолш был одним из первых, кто систематически рассмотрел такую аппроксимацию в других метриках [19]. В частности, он доказал существование наилучшего приближения в достаточно широком классе пространств [19] (гл. XII, теоремы 4,5,6). Единственность, вообще говоря, не имеет места; это следует из невыпуклости множества рациональных функций. Вопросы рационального приближения рассматривались в монографиях [12, 25] и многочисленных статьях, но почти исключительно в метрике С[0,1]. Более современная книга [35] содержит некоторые результаты, относящиеся к приближениям в других пространствах, таких как Ьр и ТУ1; однако в основном результаты такого рода излагаются в статьях, а не в монографиях.

В настоящее время исследования в этом направлении продолжаются; из последних работ можно упомянуть [30, 36]. В первой рассматривается обратная задача аппроксимации: какие рациональные функции могут быть наилучшими приближениями для (нерациональных) функций в метриках Ьр. Во второй выясняются условия, при которых множество рациональных функций плотно в некоторых пространствах типа Ьр(ц).

Особый случай составляют рациональные приближения в пространстве Харди, связанные с минимальной интерполяцией в этом пространстве (о чем ниже). Такие задачи рассматривались, например, в [23] в связи с аппроксимацией, и в [32] и [34] в связи с квадратурными формулами.

Задача минимальной интерполяции в отдельных пространствах с воспроизводящим ядром рассматривалась уже в [33]; более подробное изложение имеется в [11]. Она заключается в построении функции, принимающей заданные значения в заданных точках и имеющей минимально возможную норму. Для пространств, состоящих из достаточно гладких функций, можно использовать кратные узлы интерполяции, где наряду со значением функции определены значения ее производных вплоть до соответствующего порядка. Такая задача в приложении к пространству Харди Яг подробно изучена Уолшем [19]. Пространства Нр. называемые классами Харди, являются предметом многочисленных и разнообразных исследований, начиная с 20-х годов по настоящее время; из . имеющейся огромной литературы отметим лишь некоторые монографии: [33, 19, 8, 27, 20, 37].

Имеется несколько эквивалентных определений Н-2■ Рассмотрим, например, пространство, состоящее из функций, аналитичных- в единичном комплексном круге 2) = {;гЕС:|г|<1}и непрерывных вплоть до его границы. Введя в нем скалярное произведение

(/,<?) = и,

получим предгильбертово пространство. Его пополнение и есть пространство Харди. Существование воспроизводящего ядра вида К(г^ги) = (называемого ядром Сегё) можно вывести из инте-

гральной формулы Коши. Одной из особенностей Я2 является существование явной интерполяционной формулы, что эквивалентно явной формуле обращения матрицы Грама. Для случая простых узлов она имеет следующий вид:

= £ £ пат

где Pf -интерполяционная функция, а; - узлы, ¡3^ - некоторые числа, зависящие от узлов. В таком виде (т.е. для простых узлов) ее доказал Вильф [42], применив формулу обращения матрицы Коши [16]; другое доказательство дано в [24]. Эта формула может быть полезна для приложений, например, она использовалась в [43] для вычисления коэффициентов оптимальных в Н2 квадратурных формул и формул численного дифференцирования с заданными узлами. Уолш рассматривал общий случай, но явной формулы он не получил, ограничившись интегральным представлением. Интегральное представление Уолша с помощью теории вычетов приводится (для простых узлов) к виду

¡1 (г - а{)В'(щУ ¡=1 1 - хаС

что является слегка измененной интерполяционной формулой Лагран-жа. Функция В [г) имеет широкое применение в теории классов Харди и называется произведением Бляшке.

Интерполяционная проблема в Ич имеет двойственный характер: с одной стороны, это частный случай минимальной интерполяции в пространстве с воспроизводящим ядром, с другой стороны, это своеобразный вариант рациональной интерполяции с заданным знаменателем. Однако эта задача не всегда может быть сведена к интерполяции многочленом; в частности, явная интерполяционная формула не следует непосредственно из формулы Лагранжа.

Настоящая диссертация посвящена проблемам, касающимся наилучшего приближения в гильбертовом пространстве. Значительная ее часть в той или иной степени связана с приближениями, которые можно назвать "полулинейными". Именно, требуется найти элемент наилучшего приближения во множестве, являющемся -объединением некоторого семейства линейных подпространств. Задача о

наилучшем приближении элементом подпространства является классической; хорошо известно, что элемент наилучшего приближения при этом существует, единствен и является ортогональной проекцией приближаемого элемента на подпространство [12]. Поэтому в случае объединения подпространств основная проблема заключается в поиске того из них, в котором находится элемент наилучшего приближения. Отметим, что, в отличие от обычной ситуации, таких элементов может быть несколько или вовсе ни одного.

В диссертации затронуты следующие проблемы: наилучшие квадратурные формулы со свободными узлами, рациональная аппроксимация, минимальная интерполяция в пространстве Харди Н2■ Каждая из них рассматривается в отдельной главе, так что диссертация состоит из трех глав. Несмотря на кажущуюся разнородность, все эти темы взаимосвязаны: оптимальные в гильбертовом пространстве квадратуры связаны с минимальной интерполяцией, интерполяция в Н2 - с рациональной аппроксимацией, а полученные для наилучших квадратур и наилучших рациональных приближений результаты до некоторой степени аналогичны.

Рассмотрим содержание диссертации по главам. Первая глава посвящена главным образом наилучшим квадратурным формулам со свободными узлами в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром. Вместо наилучших формул удобно рассматривать несколько более общие квадратурные формулы, которые автор (возможно, неудачно) назвал локально наилучшими. Таковой является квадратура, имеющая меньшую норму погрешности, чем любая другая с близкими узлами (и произвольными коэффициентами). В первой главе выводится формула для производной сплайн-проектора как функции узлов. Сплайн-проектор рассматривается здесь как оператор в двойственном пространстве, проектирующий интеграл (как функционал) на соответствующую оптимальную квадратурную формулу при заданных узлах. Таким образом находятся коэффициенты фор-

мулы, а также ее норма погрешности.

На основании формулы производной проектора вычисляется градиент нормы погрешности квадратурной формулы с оптимальными коэффициентами, как функция узлов. Предложен алгоритм вычисления оптимальных узлов с использованием градиента нормы; этот алгоритм опробован в нескольких численных экспериментах (§1.6). Были проведены расчеты квадратурных формул с N узлами, 1 < N < 15, для двумерного интеграла по кругу, локально наилучших в пространстве Харди функций двух переменных. Расчеты с обычной точностью показали хорошую сходимость метода при небольшом числе узлов (N < 10); при большем их числе сходимость ухудшается из - за неточного вычисления градиента. По этой причине координаты оптимальных узлов для N = 14,15 были найдены со значительной погрешностью. При использовании переменных типа REAL* 16 никаких проблем не возникло.

Интересно, что для некоторых N были найдены по две или даже по три локально наилучшие формулы с разными нормами погрешности; таким образом, предположение о единственности оказалось неверным. При рассматривавшемся числе узлов точность квадратуры при их оптимизации возрастает приблизительно на порядок.

Формула для производной проектора "используется для доказательства того, что локально наилучшая квадратурная формула точна для некоторых функций, которые можно считать частными производными сплайнов; это является обобщением результата Ларкина [31] на многомерный случай. Наиболее наглядно этот результат можно сформулировать, используя понятие квадратуры гауссова типа. Автор заимствовал этот термин из работ о наилучших квадратурах в #2 (см., например, [32]), применив его к произвольному пространству (и к многомерным квадратурам).

Именно, рассмотррш оптимальную в некотором пространстве квадратурную формулу с заданными узлами, содержащую наряду со

значениями функции значения ее частных производных в этих узлах. Оптимальные коэффициенты, как при значениях функции, так и при производных, могут быть найдены теми же методами, что и для обычной квадратуры. Формулу такого вида назовем формулой гауссова типа, если оптимальными коэффициентами при производных являются нули, т.е. если она в действительности не содержит производных. Разумеется, такое возможно лишь при специальном выборе узлов.

Оказывается, локально наилучшая формула является одновременно формулой гауссова типа. Вероятно, до некоторой степени справедливо и обратное утверждение. Тот же вывод получен для банаховых пространств, но в более слабой форме: введение в формулу производных (при тех лее "обычных" коэффициентах) ухудшает ее.

Во второй главе рассматривается дробно-рациональное приближение функции вещественной переменной в метрике гильбертова пространства. Найдено необходимое условие для знаменателя дроби наилучшего приближения. Как и в первой главе, наряду с наилучшими рассматриваются локально наилучшие рациональные приближения (такие, погрешность которых меньше, чем у любой дроби с близким знаменателем).

Пусть дробь р/д является локально наилучшим приближением заданной функции среди дробей, степени числителя и знаменателя которых ограничены величинами га и гг. Тогда (при некоторых условиях) она же будет оптимальным приближением среди дробей вида г/д2 со степенью числителя не более га+п. Подобный факт для Ь^ можно вывести из теоремы, доказанной в [26]; для Н2 он получен в [23] при условии т — п — 1. Этот результат имеет сходство с результатами первой главы; можно провести аналогию между множеством дробей с фиксированным знаменателем, являющимся квадратом, и линейной оболочкой множества сплайнов и их производных.

Предложен итерационный алгоритм, позволяющий численно на-

ходить рациональные приближения в гильбертовых пространствах. Он основан на вычислении градиента нормы погрешности и в этом смысле аналогичен рассмотренному в первой главе методу оптимизации узлов квадратуры. С использованием этого алгоритма проделаны численные эксперименты по приближению рациональной функцией в метрике 1/2-

В последней главе исследуется приближение в конкретном гильбертовом пространстве, а именно задача .минимальной интерполяции в пространстве Харди. В случае, когда все узлы интерполяции простые, для такой задачи известна явная интерполяционная формула. Получена общая явная интерполяционная формула, включающая случай кратных узлов. Для доказательства применяется оригинальный подход, основанный на использовании некоторого вещественно-линейного оператора, являющегося инволюцией на инвариантном пространстве оператора обратного сдвига в Яг-

Указанная инволюция подробно изучена, как представляющая самостоятельный интерес. Доказаны ее основные свойства. Получено специфическое для пространства Н2 представление для производной сплайн-проектора. Показано, что, в отличие от общего случая, рассмотренного в первой главе, этот проектор в пространстве Харди может быть доопределен до вещественно-дифференцируемого во всей области DN оператора.

Формулы, теоремы и леммы имеют сквозную нумерацию в каждой главе: первое число - глава, второе - порядковый номер. Результаты численных экспериментов представлены в виде таблиц, которые имеют сквозную нумерацию через всю диссертацию.

Полученные результаты были изложены в докладах на конференциях молодых ученых ИВМиМГ (Новосибирск, 1997, 1998), на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998) и на научных семинарах ИВМиМГ СО РАН. Основные результаты опубликованы в работах [3, 4, 5, б, 7].

В заключение автор выражает благодарность В.П.Ильину за полезные замечания и Г.И. Забиняко за помощь в проведении численных экспериментов.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Гаврилов, Алексей Владимирович

Основные результаты настоящей работы следующие:

1. Получено явное выражение для производной сплайн-проектора в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, рассматриваемого как функция узлов. На его основе предложен алгоритм построения узлов многомерной квадратурной формулы, оптимальной в таком пространстве, путем вычисления градиента нормы погрешности формулы с оптимальными коэффициентами, как функции узлов. Работоспособность алгоритма подтверждена результатами численных экспериментов.

2. Доказана теорема о том, что оптимальная в пространстве с воспроизводящим ядром многомерная квадратурная формула со свободными узлами имеет меньшую норму погрешности, чем любая формула с этими же узлами, содержащая производные по направлению. Доказана аналогичная теорема для банаховых пространств в более слабой формулировке: наилучшая формула, т.е. квадратура с оптимальными узлами и коэффициентами, имеет меньшую норму погрешности, чем любая квадратура с теми же узлами и теми же коэффициентами, содержащая дополнительно производные в узлах.

3. Доказана теорема о свойствах знаменателя наилучшего дробно-рациональном приближения функции вещественной переменной в метрике гильбертова пространства. Предложен алгоритм вычисления такого приближения. Проделан ряд численных экспериментов.

4. Введено понятие инволюции на инвариантном подпространстве оператора обратного сдвига в пространстве Харди Н2, доказаны ее основные свойства. На этой основе получена явная формула для минимальной интерполяционной функции в Н^. включающая случай кратных узлов.

5. Получена специальная формула для производной сплайн-проектора в пространстве Харди, включающая случай кратных узлов. Показано, что этот оператор дифференцируем в вещественном смысле во всей области определения.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаврилов, Алексей Владимирович, 1999 год

Литература

[1] Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций, ДАН СССР. - 1977. - Т. 232,№6. - С. 1233 - 1236.

[2] Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М., 1976.

[3] Гаврилов A.B. Об аналоге интерполяционной формулы Эрмита для пространства Харди, Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, Новосибирск. 1997, с. 34-42.

[4] Гаврилов A.B. О наилучшем рациональном приближении, Труды конференции молодых ученых ВЦ СО РАН, Новосибирск, 1998, с. 25-31.

[5] Гаврилов A.B. Явная интерполяционная формула для пространства Харди, СМЖ, Новосибирск, 2000 (в печати).

[6] Гаврилов A.B. О наилучших квадратурных формулах. Препринт ИВМиМГ СО РАН, №1138, Новосибирск, 1998. - 14 с.

[7] Гаврилов A.B. О квадратурных формулах, наилучших в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, СибЖВМ СО РАН, Новосибирск, 1998.-Т.1, №4. - с. 313-320.

[8] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.:ИЛ, 1963.

[9] Женсыкбаев A.A. Характеристические свойства наилучших квадратурных формул, Сиб.мат.ж. - 1979. - Т. 20,№1. - С. 49 - 68.

[10] Забиняко Г.И. Программы по нелинейному программированию на основе квазиньютоновского метода (отчет). ВЦ СО АН; №ГР 0186.0125752; Инв. №0287.0 068269.- Новосибирск, 1987. - 123 с.

[11] Жидков Н.П. Линейные аппроксимации функционалов. - М., 1977.

[12] Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. - М.: Мир, 1975.

[13] Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига,- М.:Наука, 1980.

[14] Никольский С.М. Квадратурные формулы - М.гНаука, 1988.

[15] Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами, УМН,- 1950. - Т. 5, №2 .- С. 165-177.

[16] Полна Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть II. - М.:Наука, 1978.

[17] Самокиш Б.А., Квадратурная формула с весом Чебышева II рода, оптимальная в Н2. Асимптотическое представление узлов. Алгебра и анализ, 1993, т. 5, №5.-С. 118 - 154.

[18] Соболев С.Л., Васкевич B.JI. Кубатурные формулы.- Новосибирск: изд.-во ИМ СО РАН, 1996.

[19] Уолш Дж. JI. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961.

[20] Шведенко С.В., Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре. В сб. Математический анализ, т. 23 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), М.,1985, с. 3-124.

[21] Andersson J.-E., Bojanov B.D. A Note on the Optimal Quadrature in Hp, Numer. Math. - 1984. - Vol. 44, №2. - P.301-30S.

[22] Aronszajn N. Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc. - 1950. - Vol. 6S, №1-3.- P. 337 -407.

[23] Baratchart L., Olivi M., Wielonsky F. On a rational approximation problem in the real Hardy space tf2, Theor. comput. Sci. - 1992. - Vol. 94,№2. - P. 175-197.

[24] Chawla M.M. On the inversion of a certain Gram matrix, Calcolo. 1973. vol 10, fasc 3-4, P. 257-260.

[25] Cheney E.W. Introduction to approximation theory. - NY, 1966.

[26] Cheney E.W., Goldstein A.A. Mean-Square Approximation by Generalized Rational Functions. - Math. Z., 95 (67), №3. p.232-241. •

[27] Duren P.,'Theory of Hp spaces. N.Y.,1970.

[28] Engels H., Eckhardt U. The determination of nodes and weights in Wilf quadrature formulas, Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 48 (1979), p. 34-41.

[29] Fletcher L., Reeves C.M. Function minimization by conjugate gradients, Comput J. 1964. vol 7, n.2, P. 149-154.

[30] Gayle R.C., Inverse rational Lx approximation, J.Approx.Theory 83(1995), n.l, p. 84-92.

[31] Larkin F.M. Optimal Approximation in Hilbert Spaces with Reproducing Kernel Functions, Math. Comp. - 1970. - Vol. 24, №112. - P.911-921.

[32] Merschen B.A. Minimal quadrature formulae for the Spaces H^ and Lf. An Unified Interpolatory Approach. Computing 1985. vol 34, n.2, P. 169-177.

[33] Meschkowski H. Hilbertsche Räume mit Kernfunktion. Berlin.: Spr.-Ver., 1962.

[34] Paulik A. Zur Existern optimaler Quadraturformeln mit freien Knoten bei Integration analytiscer Funktionen, Numer. Math. - 1977. - Vol. 27, №4. - P. 395-406.

[35] Petrushev P.P., Popov V.A. Rational approximation of real functions. - Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 28, NY. 1987.

[36] Qiu James Zhijian, Approximation in the mean by rational functions, Integral Equations Operator Theory 25(1996), n.2, p. 235-252.

[37] Rosenblum M., Rovnyak J., Topics in Hardy classes and univalent functions. Basel. 1994.

[38] Sard A. Best approximate integration formulas, best approximation formulas, Amer. J. of Math. 1949,- LXXI, P. 80-91.

[39] Schoenberg I.J., Spline interpolation and best quadrature formulae, Bull. Amer. Math. Soc. - 1964.- 70,- P. 143-148.

[40] Bezhaev A.Yu.,Vasilenko V.A. Variational spline theory.- Novosibirsk, NCC Publisher, 1993 (Bull.Novos.Comput.Center, Num. Anal.; Special Issue 3).

[41] Wilf H.S. Exactness condition in numerical quadrature, Numer.Math. 1964. vol 6, n. 4, p. 315-319.

[42] Wilf H.S. Advances in Numerical Quadrature. In: Mathematical Methods for Digital Computers, A.Ralston and H.S.Wilf (Editors). N.Y., 1967, vol 2.

[43] Winslow L. "Best" Interpolation, Differentiation, and Integration Approximation on the Hardy Space H2, Math. Comp. 1970. vol 24, n.lll, P. 523-528.