Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Тиховская, Светлана Валерьевна

• Тиховская, Светлана Валерьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тиховская, Светлана Валерьевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Построение и анализ разностных схем для сингулярно возмущенной

задачи Коши

1.1. Постановка задачи

1.2. Анализ дифференциальной задачи

1.3. Построение и анализ разностной схемы на равномерной сетке

1.4. Построение и анализ разностной схемы на сетке Шишкина

1.5. Результаты численных экспериментов

Глава 2. Разностные схемы повышенной точности для нелинейного ОДУ второго

порядка на сгущающихся сетках

2.1. Повышение точности схемы направленных разностей для нелинейного ОДУ второго порядка

2.1.1. Предварительные сведения

2.1.2. Двухсеточная реализация схемы направленных разностей

2.1.3. Экстраполяции Ричардсона

2.1.4. Результаты численных экспериментов

2.2. Модифицированная схема Самарского для нелинейного ОДУ второго порядка

2.2.1. Предварительные сведения

2.2.2. Линеаризация Пикара

2.2.3. Линеаризация Ныотона

2.2.4. Двухсеточная реализация схемы Самарского

2.2.5. Результаты численных экспериментов

Глава 3. Двухсеточный метод решения эллиптического уравнения на сетке

Шишкина

3.1. Задача реакция-диффузия

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Двухсеточный метод

3.1.3. Экстраполяция Ричардсона

3.1.4. Результаты численных экспериментов

3.2. Задача конвекции-диффузии в случае параболических пограничных слоев

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Экстраполяция Ричардсона

3.2.3. Результаты численных экспериментов

3.3. Задача конвекции-диффузии в случае регулярных пограничных слоев

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Экстраполяция Ричардсона

3.3.3. Результаты численных экспериментов

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка разностных схем на сгущающихся сетках для краевых задач с пограничным слоем»

Введение

Актуальность темы исследования. При математическом моделировании различных физических явлений, таких как течение вязкой жидкости, процессы тепломассопереноса и др., возникают начальные и краевые задачи для уравнений с малыми параметрами при старших производных. Это могут быть малые коэффициенты диффузии при моделировании распространения примесей, малые коэффициенты вязкости при моделировании течений жидкости.

Как известно, решение сингулярно возмущенной краевой задачи имеет большие градиенты в области пограничного слоя, что приводит к потере сходимости классических разностных схем и делает их непригодными при решении задач с пограничными слоями. Вопрос построения разностных схем для таких задач исследуется в работах многих авторов.

Впервые вопрос о неприемлемости классических разностных схем |17,42j и построении специальных схем, обладающих свойством сходимости независимо от значения малого параметра, был поставлен в 1969 году в работах Бахвалова Н.С. |6] и Ильина A.M. [32]. В этих работах заложены два различных подхода к решению задач с пограничным слоем, которые в дальнейшем стали основополагающими.

В работе Ильина A.M. [32] строится схема экспоненциальной подгонки, коэффициенты схемы подобраны так, чтобы на экспоненциальной погранслойной составляющей решения схема была точной. Подход Ильина А. М. для построения равномерно сходящейся разностной схемы с экспоненциальной подгонкой на равномерной сетке использован в работах Багаева Б. М. [4,5], Задорина А. И. [22,23], Шайдурова В. В. [4,5], Miller J. J. Н. [19,67,76], Roos H.-G. [80-82], Stynes M. [69,81,82] и в работах других авторов. В [57] Шишкиным Г. И. было доказано, что в случае эллиптической задачи с параболическими пограничными слоями не существует схемы экспоненциальной подгонки, обладающей свойством равномерной сходимости. Схемы подгонки приемлемы при наличии регулярных пограничных слоев.

В работе Бахвалова Н. С. [6] применяется классическая центрально-разностная схема, но на сгущающейся в пограничных слоях сетке. Сетка строится так, чтобы погрешность аппроксимации была равномерной по узлам сетки. Доказано, что на такой сетке, впоследствии называемой сеткой Бахвалова, разностная схема обладает вторым порядком точности равномерно по малому параметру. Подход Бахвалова Н. С. для построения равномерно сходящейся разностной схемы за счет сгущающейся сетки использован в работах Андреева В.Б. [1-3], Бахвалова Н.С. [6-8], Благова И.А. [9,10], Ильина В.П. [35], Ко-

птевой Н.В. [2], Лисейкина В. Д. [38], Петренко В. Е. [38J, Шишкина Г. И. [58,67,76,88], Linfi Т. [73,75], O'Riordan Е. [65,67,76], Vulanovic R. [89,90] и других авторов.

Шишкиным Г. И. для решения сингулярно возмущенных задач предложено использовать кусочно-равномерную сетку с достаточно мелким шагом в области пограничного слоя в [58] и других работах этого автора.

Также при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач применяется метод Галеркина с выделением особенностей, когда предлагается функцию пограничного слоя включить в базис для решения задачи методом Галеркина или Ритца. Это приводит к равномерной сходимости метода в равномерной и энергетической нормах. Если функцию пограничного слоя не удается выписать в явном виде, то предлагается выделить краевую задачу для такой функции и решить ее переходом к «медленным переменным». В новых переменных используется классический метод типа Галеркина. Метод Галеркина используется и на специальных сетках, сгущающихся в пограничном слое. Данный подход использован в работах Багаева Б.М. [4,5], Блатова И. А. [11], Шайдурова В. В. [4,5], Linfi Т. [68], Roos Н.-G. [68,81,82], Stynes М. [81,82], Tobiska L. [81,82] и других авторов.

В 1973 году Рид и Хилл [78] впервые предложили разрывный метод Галеркина (Discontinuous Galerkin) для гиперболических уравнений, и с тех пор наблюдается активное развитие разрывных методов Галеркина для гиперболических и почти гиперболических задач. Позже разрывный метод Галеркина был применен к эллиптическим задачам. Данный подход использован в работах многих авторов [62,66,81,82]. Необходимость решать задачи с доминирующей конвективной частью, а также незначительным диффузионным участием, привело к распространению разрывного метода Галеркина для эллиптических задач. В 1992 году Рихтер [79] предложил обобщение оригинального разрывного метода Галеркина для линейных задач конвекции-диффузии в случае преобладающей конвекции.

В случае нелинейной или эллиптической задачи разностная схема разрешается на основе итерационных методов. Недостатком итерационных методов при разрешении разностных схем для эллиптических уравнений, таких как методы Якоби или Зейделя, является их невысокая скорость сходимости (так, в случае эллиптической задачи для метода Зейделя необходимое количество итераций пропорционально квадрату числа неизвестных). В этом случае эффективным решением проблемы является использование многосеточного алгоритма. Можно добиться того, чтобы скорость сходимости многосеточного метода не зависела от числа неизвестных в системе. С другой стороны, мпогосеточный метод устанавливает лишь структуру алгоритма, эффективность которого во многом зависит от адаптации его компонент к конкретной задаче.

Мпогосеточный метод был предложен Федоренко Р. П. в [53]. Далее этот метод развивался в ряде работ, отмстим [7,37,40,52,54,64,70,71]. Мпогосеточный метод для эллиптических задач с преобладающей конвекцией исследовался, например в [37,40,71]. Сложности, преодолеваемые в этих работах, связаны с сильной несимметричностью матрицы системы линейных уравнений и потерей диагонального преобладания при определенных соотношепи-

ях коэффициента диффузии и шага сетки. Отметим, что при этом вопрос равномерной по малому параметру сходимости реализуемых разностных схем не рассматривался.

Из многосеточных методов в ряде работ выделяется класс двухсеточных методов, например, [63,93,94]. Двухсеточиый метод рассматривается в следующей постановке. Краевая задача предварительно решается на достаточно грубой сетке. Затем найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение для итераций. Это приводит к выигрышу в количестве арифметических действий. В соответствии с [93], при таком подходе решение нелинейной задачи на исходной сетке может быть заменено на решение этой нелинейной задачи на довольно грубой сетке (с намного меньшим числом узлов) и лишь несколько итераций требуется сделать на исходной сетке. То есть практически на заданной сетке вместо нелинейной задачи решаются одна-две линейные задачи, соответствующие итерациям Ныотоиа.

Вопрос применения двухсеточных методов к решению сингулярно возмущенных задач ранее практически не исследовался и представляет интерес. Известно, что от разностной схемы в случае задачи с пограничным слоем целесообразно требовать свойство сходимости, равномерной по малому параметру [76]. Двухсеточиый метод должен учитывать это. Например, погрешность интерполяции сеточного решения с грубой сетки па исходную не должна быть выше погрешности разностной схемы. Как показано в работе Задорина А. И. [20], в случае сингулярно возмущенной задачи формулы полиномиальной интерполяции могут привести к погрешностям порядка единицы. Следовательно, точность, обеспеченная решением задачи на грубой сетке, в этом случае будет потеряна, поэтому снизится эффективность применения двухсеточного метода. Поэтому актуальна разработка двухсеточных алгоритмов для сингулярно возмущенных задач

Остановимся па работах, в которых исследовались эти вопросы. В [91,92] предложено применить двухсеточиый метод для численного решения сингулярно возмущенной задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для решения задачи применялась схема Ильина [32] на равномерной сетке, обладающая равномерной по малому параметру точностью порядка 0(/г). Использовалась формула неполиномиальной интерполяции [20], точная на погранслойной составляющей, также обладающая равномерной точностью порядка 0(К). Для разрешения разностной схемы, представляющей собой систему нелинейных уравнений, применялись методы Ньютона и Пикара. Показано, что число итераций на исходной сетке существенно уменьшается при использовании двухсеточного метода. В частности, если Н = Н2 , то на исходной сетке с шагом /г требуется лишь одна итерация метода Ньютона, остальные итерации делаются на грубой сетке с шагом Н. В [61] исследован двухсеточиый метод для нелинейного эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных без конвективных членов. В данной работе используется линеаризация Ныотона в случае равномерно сходящейся разностной схемы на сетках Бахвалова [6] и Шишкина [58]. Применяется полиномиальная интерполяция сеточного решения, которая в данном случае является равномерно точной. В работе [25] исследуется двухсе-

точный метод решения линейной эллиптической задачи с двумя регулярными пограничными слоями. Двухсеточный метод применяется на равномерной сетке, используется двумерный аналог схемы Ильина. Предложена формула двумерной неполиномиальной интерполяции, точная на погранслойной составляющей.

Актуально исследование двухсеточного метода в случае, когда разностная схема строится па сгухцаюшсйся в пограничных слоях сетке. При использовании двухсеточного метода решение разностной схемы вычисляется на двух сетках, поэтому представляет интерес анализ использования экстраполяции Ричардсона для повышения точности разностной схемы. Метод Ричардсона, в том числе применительно к сингулярно возмущенным задачам, исследован в ряде работ, например [39,56,77,88] и др.

Несмотря па большое количество публикаций, вопрос разработки разностных схем повышенной точности для сингулярно возмущенных задач, особенно нелинейных, остается актуальным. Актуальна и разработка эффективных вычислительных алгоритмов для реализации разностных схем.

Целью диссертации является разработка разностных схем на сгущающихся сетках для сингулярно возмущенных задач, исследование двухсеточного метода реализации построенных схем с повышением точности па основе экстраполяции Ричардсона. Для достижения поставленной цели ставились следующие задачи.

1. Рассмотреть задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Разработать аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке. Исследовать вопрос равномерную сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Исследовать двухсеточный метод решения сингулярно возмущенной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с повышением точности схемы направленных разностей на сетке Шишкина па основе метода Ричардсона.

3. Для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка разработать алгоритм повышенной точности на основе линеаризаций Пикара и Ньютона с использованием монотонной схемы Самарского, исследовать двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.

4. Исследовать двухсеточный метод решения линейной эллиптической задачи при наличии регулярных и параболических пограничных слоев па сетке Шишкина с повышением точности разностной схемы па основе метода экстраполяции Ричардсона. Провести сравнение итерационных методов.

5. Разработать научно-исследовательский вариант комплекса программ и по всем исследуемым задачам провести численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения теории дифференциальных уравнений, теории разностных схем, вычислительной алгебры. Достоверность полученных научных результатов основывается на строгих формулировках и доказательствах, подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов.

Научная новизна:

1. Впервые проведено исследование разностных схем в случае сингулярно возмущенной задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разработан аналог схемы А. М. Ильина на равномерной сетке и обоснована равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

2. Разработан двухсеточный алгоритм повышенной точности для сингулярно возмущенной краевой задачи в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на основе схемы направленных разностей на сетке Шишкина и экстраполяции Ричардсона.

3. На основе известной в случае линейной сингулярно возмущенной задачи монотонной схемы Самарского на сетке Шишкина разработан алгоритм повышенной точности для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с использованием линеаризаций Пикара и Ныотона. Предложен двухсеточный метод реализации построенных алгоритмов.

4. Исследованы двухсеточные алгоритмы для линейного эллиптического уравнения в случаях полного вырождения, регулярных и параболических пограничных слоев. Использование экстраполяции Ричардсона в двухсеточном методе приводит к повышению точности па порядок используемых разностных схем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации теоретические результаты представляют ценность в теории разностных схем для сингулярно возмущенных задач. Разработанные вычислительные алгоритмы и разностные схемы для сингулярно возмущенных задач могут быть использованы при математическом моделировании конвективно-диффузионных процессов с преобладающей конвекцией, которые встречаются в гидродинамике, механике, экологии, физике, химии. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моделирования в Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского при подготовке специалистов по математическому моделированию.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на XXXIII региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2009 г.), Восьмой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко (Казань, 2010 г.), XXXV региональной научно-практической студенческой конференции «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2011 г.), Всероссийской научной конференции но вычислительной математике с участием зарубежных ученых (КВМ-2011) и Всероссийской школы-конференции

молодых исследователей в рамках КВМ-2011 (Новосибирск, 2011 г.), XII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011 г.), XXXVI международной научной конференции с элементами научной школы для молодёжи «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2012 г.), XIX Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященной памяти К. И. Бабенко (Дюрсо, 2012 г.), VI Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2012 г.), Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012 г.), региональной конференции магистров, аспирантов и молодых ученых по физике и математике «ФМ ОмГУ 2013» (Омск, 2013 г.), а также на научном семинаре «Математическое моделирование и численные методы», проводимом лабораторией математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН совместно с кафедрой математического моделирования ОмГУ им. Ф. М. Достоевского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 научных работах [26-30,43-50], пять из них — в рецензируемых изданиях из списка ВАК [26,27,29,30,43].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объем диссертации — 105 страниц.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, приводятся основные результаты диссертации и информация об их апробации, кратко излагается содержание работы.

В первой главе рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной:

г и"(х) + а(х) и\х) - b{x) и(х) = f(x), 0 < х ^ X,

(0.1)

D

u(0) = А, и'{ 0) = -,

£

где А, В — некоторые постоянные. Предполагаем, что

0 < е < 1, а(х) > а > 0, ß ^ Ь{х) ^ 0, а, Ь, / G С2[0,1].

В п. 1.1 дается постановка задачи. В п. 1.2 проводится анализ дифференциальной задачи (0.1).

В п. 1.3 на равномерной сетке строится разностная схема для решения задачи (0.1). По аналогии с [32] требуется, чтобы разностная схема была точна на функции пограничного слоя. Задается аппроксимация производной в начальном условии (0.1), точная на ногранс-лойной составляющей.

Полученная схема является обобщением известной схемы Ильина [32] на случай начальной задачи (0.1). Доказывается равномерная сходимость полученной схемы. Обозначим

таь = min [а(х) — Ь{х)х].

Пусть uh - решение построенной схемы.

Теорема 0.1. Пусть выполнено таь > 0 . Тогда найдется С > 0 :

\u{xn)-uhn\ ^ Ch, n = 0, 1, ..., N,

где С не зависит от е и шага сетки.

В п. 1.4 показывается, что использование сетки Шишкина из [58] обеспечивает равномерную сходимость схемы направленных разностей в случае начальной задачи (0.1).

В соответствии с [58] сетка О определяется как кусочно-равномерная, с мелким шагом h в пограничном слое и крупным шагом Н вне его.

Доказывается равномерная сходимость схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

Теорема 0.2. Пусть таь > 0. Тогда найдется С - полоо/сителъная постоянная, не зависящая от е и числа узлов, такая, что выполнено:

\и(хп) -uhn с^-, п = 0,1,..., N,

где и(х) —- решение задачи (0.1), uh — решение схемы направленных разностей на сетке Шишкина.

В п. 1.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты.

Результаты первой главы опубликованы в [26,29,47].

В второй главе рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача в случае нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

еи"{х) + а{х)и'{х) = f(x, и(х)), хеП = (0,1), и(0) = А, и{ 1) = В,

где функции a, f - достаточно гладкие,

0<е<1, а(х) ^ о > 0, fi(x.u)>0 на О х R. (0.3)

В п. 2.1 исследуется возможность использования экстраполяции Ричардсона [39,88] для повышения точности разностной схемы в случае решения её двухсеточным методом. Исследуется схема направленных разностей на сетке Шишкина 5'дг,„ для решения задачи (0.2).

В п. 2.1.1 приводятся сведения, используемые далее. Пусть uN - решение рассматриваемой схемы. Согласно {82] имеет место оценка погрешности схемы направленных разностей:

I ( \ AM ^ nhlN max |и(жг) - иг К

где постоянная С > 0 не зависит от £ и числа узлов.

В п. 2.1.2 исследуется двухсеточпый метод для сокращения количества арифметических действий, необходимых для реализации методов Пикара и Ньютона в случае схемы направленных разностей. Для этого исходная задача (0.2) сначала решается па вспомогательной сетке с намного меньшим числом узлов, чем у исходной. Затем найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку и принимается за начальное приближение итерационного метода. Это приводит к уменьшению количества итераций на исходной сетке, а, следовательно, к выигрышу в количестве арифметических действий. Для интерполяции сеточного решения со вспомогательной сетки на исходную используется интерполяция, точность которой не ниже точности используемой разностной схемы.

В п. 2.1.3 исследуется возможность использования экстраполяции Ричардсона в двух-сеточном методе для повышения точности разностной схемы.

При реализации двухссточного метода решение разностной схемы известно на сетках Бща и 1 что можно использовать для повышения точности разностной схемы на основе экстраполяции Ричардсона.

В [77] исследована точность метода Ричардсона на сетке Шишкина в случае линейной задачи. Предполагается, что вспомогательная сетка Шишкина имеет то же значение параметра о, что и исходная сетка, и содержит вдвое большее количество сеточных интервалов, т. е. получена из исходной делением каждого шага на два. Но при использовании двухсеточиого метода подразумевается, что вспомогательная сетка в отличие от [77] является более редкой, чем исходная. Поэтому при исследовании двухсеточиого метода предполагается, что N = кп , где к > 1 — целое число, и вспомогательная сетка ¿>п>(7 вложена в исходную 5дг,а .

При анализе точности метода Ричардсона рассматривается случай линейной задачи:

еи"(х) + а(х)и'(х) — Ь(х)и(х) = д(х), х е О, = (0,1), и(0) = А, и( 1) = В, где Ь(х) ^ 0 , функции Ь(х), д(х) — достаточно гладкие.

Пусть

п 1 N _ к

На основе экстраполяции Ричардсона на сетке 5лг1(Т строится сеточное решение задачи (0.4), которое обозначается как , используя и14 и ип —решения схемы направленных разностей в линейном случае на сетках вы, а и Згиа соответственно.

В узлах вспомогательной сетки Зща функция ьпМ задается как

ип"{ХА = кпип{х^ + кмин{х)), XI е

В узлах Х{ исходной сетки ¿¡дг, а , не совпадающих с узлами сетки , функция ипК задается на основе формулы линейной интерполяции.

Теорема 0.3. Пусть е ^ . Тогда существует постоянная С > 0 такая, что для любого хг £ 5л'1(Т выполнено:

\и{х1)-и"ы{х1)\ (0.5)

где С не зависит от £, п, N и к.

В соответствии с оценкой (0.5) погрешность метода экстраполяции Ричардсона увеличивается с ростом к = И/п, а, следовательно, будет наименьшей при к = 2 .

Показано, что результат теоремы 0.3 подтверждается в нелинейном случае при решении задачи (0.2), используя двухсеточный метод на основе линеаризаций Пикара или Ньютона.

В и. 2.1.4 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты. Показано, что результат теоремы 0.3 подтверждается в нелинейном случае при решении задачи (0.2) с использованием двухсеточного метода на основе линеаризаций Пикара или Ныогона.

В и. 2.2 рассматривается модифицированная схема Самарского на сетке Шишкина для решения задачи (0.2). В п. 2.2.1 приводятся сведения, используемые далее.

При выполнении условий (0.3) решение задачи (0.2) ограничено равномерно по е:

1М1 < Ьо = а^Ц/МИ + тах{|А|, \В\}.

В соответствии с [58] задается кусочно-равномерная сетка Шишкина.

Вводятся следующие обозначения [3]:

+ К+1 ( К\ аг,Нп

' > ^х, п — ? Пп п > От — & [ Хп п ) ч —

v J. , Н 7 5 ~X, п 7 ' ~ ? I Ii Г* / 1 " л

пп пп 2 \ 2 J 2s

Пусть [w]q — проекция функции непрерывного аргумента и(х) на сетку Г2.

В случае, когда задача (0.2) является линейной: f(x,u) - b(x)u + g(x), b{x) ^ 0, в соответствии с [3] верна следующая теорема.

Теорема 0.4 . Пусть и(х) — решение линейной задачи (0.2) с достаточно гладкими коэффициентами и правой частью, uh — решение разностной схемы:

и

КЫ 1 / hb

* ' +°п+1<п-1Ьп + 7г-T^^TiTT + 5 ( 7ТТ75 ) К =

1 + Д/«,„ Г 2ап(1 + 1/Л„) 2 \1 + 1/Rjx

hnbn9n , 1 ( hg \ k Л h

(0.6)

где Ьп = Ь(х„), дп = д{хп). Тогда на сетке Шишкина при а(0) > а для некоторой постоянной С > 0 выполнится:

где С не зависит от е и числа узлов.

В п. 2.2.2 осуществляется линеаризация задачи (0.2), чтобы на итерациях, уже в случае линейной задачи, применить схему (0.6). Рассматривается линеаризация Пикара:

ф(т))" + а(х){и^т)У - ¡Зи{т) = ¡(х, и(т~1)) - (Зи(т~1\

и{т)(0)=А, и{т)(1) = В, ^ Л'

7>0 на Г2 х Я.

Используя на каждой итерации в (0.7) схему (0.0), осуществляется переход к итерационной формуле для сеточных решений. Пусть - решение полученной схемы. Тогда обосновывается оценка точности решения задачи (0.2) на основе итераций для произвольной г/г-ой итерации.

Лемма 0.1. Пусть и^^ = . Существует константа С\ >0, не зависящая

от £ и числа узлов, такая, что

1 2 \[ / \ 7п II«(т<л) - МпЛл ^ Сг-^ ' т >

где р= ||и<°> -к|| .

Осуществляя переход к пределу при т —У оо , получаем разностную схему для нелинейной задачи (0.2).

Теорема 0.5 . Пусть и{х) — решение задачи (0.2), ин ~ решение построенной предельной схемы. Найдется, постоянная С > 0 такая, что

где С не зависит от £ и числа, узлов.

В п. 2.2.3 рассматривается подход к решению задачи (0.2) па основе линеаризации Ньютона:

£(и{т))" + а(х)(и{т)У - Ц(х, и{т~1))и(т) = = /(х,и{т~1]) - Ги(хМт~1])п{т-1\ и{т\0) = Л, и(т)( 1) = В.

Осуществляется переход от (0.8) к итерациям на разностном уровне, применяя схему (0.6). Пусть - решение полученной схемы.

Лемма 0.2 . Пусть и= • Существуют и ро, не зависящие от е,

такие, что для N ^ Дго и р ^ ро для некоторой постоянной С2 > 0, не зависящей от £ и числа узлов, выполнится:

Ь 72 N

I«(И'А) - МпЛл ^ + ав~1 (а~1 вр)2'\ т > 0,

где р=\\и^-и\\, 9 = _тах \%и{х,£)\.

хеп, кК^о+р

Осуществляя переход к пределу при т —> оо, получаем разностную схему для задачи (0.2).

h 1 n2N

\\и ~ NnJU <

где С не зависит от £ и числа узлов.

В п. 2.2.4 исследуется двухсеточный метод для сокращения количества арифметических действий, необходимых для реализации методов Пикара и Ныотона.

В п. 2.2.5 приводятся численные эксперименты, демонстрирующие полученные результаты. Экспериментально показано, что использование экстраполяции Ричардсона повышает точность схемы Самарского до порядка О (In3 N/N3).

Результаты второй главы опубликованы в [27,28,30,46,48-50].

В третьей главе рассматривается краевая задача для линейного эллиптического уравнения типа реакция-диффузия и краевая задача для линейного эллиптического уравнения типа конвекция-диффузия в случае одного регулярного и двух параболических пограничных слоев и в случае двух регулярных пограничных слоев.

В п. 3.1 рассматривается линейная сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в случае полного вырождения:

euxr + £uyy - с(х, у) и = f(x, у), (х, у) е ü; ^

и(х,у) = д(х,у), (х,у)еГ,

где 12 = (0,1)2, Г = ü \ Q, функции с, /, g — достаточно гладкие,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тиховская, Светлана Валерьевна, 2013 год

Список литературы

[1] Андреев В. Б. О точности сеточных аппроксимаций негладких решений сингулярно возмущенного уравнетгя реакции-диффузии в квадрате // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42. - № 7. - С. 895 906.

[2] Андреев В. Б., Коптева Н. В. Об исследовании разностных схем с аппроксимацией первой производной центральным разностным отношением // Журнал вычисл. матем. и матем. ф'газики. - 1996. Т. 36. - № 8. - С. 101 - 117.

[3] Андреев В. Б., Савин И. А. О равномерной по малом,у параметру сходимости монотонной схемы A.A. Самарского и ее модификации, // Журнал вычисл,. матем. и матем. физики. - 1995. - Т. 35. - 5. - С. 739 - 752.

[4] Багаев Б. М., Карепова Е. Д., Шайдуров В. В. Сеточные методы, решения задач с пограничным слоем. - Новосибирск: Наука, 2001. - Ч. 2. - 224 с.

[5] Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Сеточные методы, решения задач, с пограничным слоем. - Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - Ч. 1. - 198 с.

[6] Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журнал вычислительной математик/и и математической физики. - 1969. - Т. 9. - № 4. - С. 841 - 859.

[7] Бахвалов Н. С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных огран-ичениях на эллиптический оператор // Журнал, вычисл. матем. и мат. (физики. - 1966. - Т. 6. - № 5. - С. 861 - 883.

[8| Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. - Москва: Наука, 1987. - 600 с.

[9] Блатов И. А. О проекционном методе для сингулярно возмущенных краевых задач //Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 1990. Т. 30. - Л'2 7. - С. 1031 1044.

[10] Блатов И. А., Добробог Н. В. Условная е -равномерная сходимость алгоритмов адаптации в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных задач // Журнал вычисл. матам, и мат. физики. - 2010. - Т. 50. - JV® 9. - С. 1550 - 1568.

[12] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва: Мир, 1968. - 464 с.

[ 13] Вап-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. - Москва: Мир, 1967. -310 с.

[14] Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - Москва: Наука, 1973. - 272 с.

[15] Вишик М. И., Люстериик Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. - 1957. - Т. 12. - № 5. - С. 3 - 122.

[16[ Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вы'числения. - Москва: Наука, 1984. -320 с.

[17] Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. - Москва: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962. - 340 с.

[18] Доледенок О. А., Ильин В. П. О скорости сходимости метода неполной факторизации для диффузионно-конвективных уравнений // Труды, ВЦ СО РАН. Выч. математика. - 1995. - Выи. 3. С. 41 51.

[19] Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. - Москва: Мир, 1983. - 200 с.

[20] Задорин А. И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем // Сибирский журнал вычисл. математики. - 2007. - Т. 10. - Л*а 3. - С. 267 - 275.

[21] Задорин А. И. Метод интерполяции на сгущающейся сетке для функции с погранс-лойной составляющей // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 2008. - Т. 48. - № 9. - С. 1673 - 1684.

[22] Задорин А. И. О численном решении третьей краевой задачи для уравнения с малым параметром // Журнал вычислительной математики и математической физики. ~ 1984. - Т. 24. - Я 7. - С. 1008 - 1015.

[23] Задорин А. И. Разностные схемы для задач с пограничным слоем. - Омск: ОмГУ, 2002. - 118 с.

[25] Задорин А. И., Задорин Н. А. Интерполяция функций с погранслойными составляющими и ее применение в двухсеточном методе // Сибирские электронные математические известия. - 2011. - Т. 8. - С. 247 - 267.

[26] Задорин А. II., Тиховская С. В. Анализ разностной схемы для сингулярно возмущенной задачи Коши на сгущающейся сетке // Сиб. о/сурн, вычисл. математики / РАН. Сиб. отделение. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 47 - 57.

[27] Задорин А. И., Тиховская С. В. Двухсеточный метод для нелинейной сингулярно возмущенной краевой задачи на сетке Шишкин,а // Сиб. жури, ипдустр. матем. -2013. - Т. 16. - Л* 1(53). - С. 42 - 55.

[28] Задорин А. И., Тиховская С. В. Двухсеточный метод на неравномерной сетке для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Сет,очные .методы для краевых задач и приложения. Материалы, Восьмой Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко. - Казань: Казанский университет, 2010. - С. 210 - 216.

[29] Задорин А. И., Тиховская С. В. Разностная схема па равномерной сетке для сингулярно возмущенной задачи Коши // Вестник НГУ. Серия: Математика,, механика, информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 3. - С. 114 - 122.

[30] Задорин А. И., Тиховская С. В. Решение нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка на основе схемы Самарского // Сиб. жури, вычисл. математики / РАН. Сиб. отделение. - 2013. - Т. 16. Л* 1. С. 11 - 25.

[31] Игнатьев В. Н., Задорин А. И. Численное решение сингулярно возмущенной третьей краевой задачи // Известия вузов, математика. - 1986. - № 7. - С. 20 - 26.

[32] Ильин А. М. Разностная, схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Математические заметки. - 1969. - Т. 6. -№ 2. - С. 237 - 248.

[33] Ильин А. М. Согласовать асимптотических разложений решений краевых задач.

- Москва: Наука, 1989. - 336 с.

[34] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. - Москва: Наука, 1982.

- Ч. 1. - 616 с.

[35] Ильин В. П. Методы конечны,х разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 2001. - 318 с.

[37] Крукиер Л. А., Муратова Г. В. Решение стационарной задачи конвекции-диффузии с преобладающей конвекцией мн,огосеточиым методом со специальными сглажива-телями // Матем. моделирование. - 2006. - Т. 18. - Л"9 5. - С. 03 - 72.

[38] Лисейкин В. Д., Петренко В. Е. Адаптивно-инвариантный метод числетюго решения задач с пограничными и внутренними слоями. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989. - 258 с.

[39] Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем,. -Москва: Наука, 1979. 320 с.

[40] Ольшанский М. А. Анализ многосеточного метода для уравнений конвек'ции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // Журнал вычисл. матем. и мат. (физики. - 2004. - Т. 44. - ^ 8. - С. 1450 - 1479.

[41] Подкорытов Е. М. Экстраполяционный метод повышения точности приближенных решений для уравнения еу"(х) + Ьу'(х) — с(х)у(х) = /(.ж) // Дифференциальные уравнения с малым, параметром. - Свердловск, 1980. - С. 118 - 129.

[42] Самарский А. А. Теория разностных схем. - Москва: Наука, 1983. - G1G с.

[43] Тиховская С. В. Двухсеточный метод для эллиптического уравнения с пограничными слоями па сетке Шишкина // Учен. зап. Казан, ун-та. Серия Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4. С. 49 - 56.

[44] Тиховская С. В. Двухсеточный метод решения эллиптического уравнения с пограничными слоями на неравномерной сетке // Сеточные методы для краевых задач и прилоо/сения. Материалы Девятой Всероссийской конференции. - Казань: Отечество, 2012. - С. 351 - 355.

[45] Тиховская С. В. Исследование двухсегпочного метода, для, решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения на сетке Шишкина // ФМ ОмГУ 2013: сборник статей региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2013. - С. 19 - 22.

[46] Тиховская С. В. Модифшкация схемы Самарского для численного решения нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Молодежь третьего тысячелетия: XXXV региональная гьаучио-практическая студенческая конференция: сборник статей секции "Физико-математические науки ". - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2011. - С. 36 - 39.

[47] Тиховская С. В. Разностные схемы, для сингулярно возмущенной начальной задачи //Молодежь третьего тысячелетия: XXXIII региональная, научно-практическая студенческая конференция: тез. докл. - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2009. - С. 257 -258.

[48] Тиховская С. В. Экстраполяция Ричардсона в двухсеточиом методе для нелинейного уравнения второго порядка с пограничным слоем // Тезисы докладов XIX Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач, математической физики посвященной памяти К. И. Ба-бенко. - М: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, 2012. - С. 94 - 96.

[49] Тиховская С. В. Экстраполяция, Ричардсона для обыкновенного нелинейного сингулярно возмущенного уравнения, второго порядка на сетке Шишкина // Молодежь третьего тысячелетия: XXXVI региональная научно-практическая студенческая конференция: сборник статей секции "Физико-математические науки". Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та, 2012. - С. 44 - 47.

[50] Тиховская С. В., Задорин А. И. Схема второго порядка точности для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка // Тезисы докладов VI Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова. - Екатеринбург: УрО РАН, 2012.

- С. 74.

[51] Тихонов А. II., Васильева А. В., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. -Москва: Наука, 1980. - 231 с.

[52] Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. - Москва: Изд-во МФТИ, 1994.

- 528 с.

[53] Федоренко Р. П. О скорости сходимости, одного итерационного процесса // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 1964. - Т. 4. - X2 3. - С. 559 - 564.

[54] Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. •- Москва: Наука, 1989. - 288 с.

[55] Шишкин Г. И. Метод повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии // Сиб. жури, вычисл. математики. - 2006. - Т. 9. - № 1. - С. 81 - 108.

[56] Шишкин Г. И. Метод Ричардсона, повышения точности сеточных решений сингулярно возмущенных эллиптических уравнений конвекции-диффузии // Известия высших учебных заведений: математика. - 2006. - Т. 2. - С. 57-71.

[57] Шишкин Г. И. Разностная аппроксимация сингулярно возмущенной краевой задачи для квазилинейных эллиптических уравнений, вырождающихся в уравнение первого порядка // Журнал, вычисл. матем. и мат. физики. - 1992. - Т. 32. - 4. - С. 550 -566.

[58] Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. - Екатеринбург: УрО РАН, 1992. - 232 с.

[59] Шишкин Г. И., Шишкина JI. П. Улучшенная разностная, схема метода декомпозии,ии решения, для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии // Тр. ИММ УрО РАН - 2010. - Т. 16. Л* 1. - С. 255 - 271.

[60] Andrceva М. Yu., H'iri V. P., Itskovich E. A. Two solvers for nonsymmetric SLAEs // Bull. Nov. Сотр. Center, Num. Anal. - 2003. - Issue 12. - P. 1 - 13.

[61] Angelova I. Т., Vulkov L. G. A two-grid, method on layer-adapted meshes for a semilin,ear 2D reaction-diffusion problem // Lecture Notes in Computer Science. - 2010. - V. 5910.

- P. 703 - 710.

[62] Arnold D. N., Brczzi F., Cockburn В., Marini L. D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SI AM Journal on Numerical Analysis. - 2002.

- V. 39. - Л* 5. - P. 1749 - 1779.

[63] Axelsson O., Layton W. A two-level discretization of nonlinear boundary value problems // SIAM J. Nurner. Anal. - 1996. - V. 33 - P. 2359 - 2374.

[64] Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary value problems // Math. Comput. -1977. - V. 31 - № 138. - P. 333 - 390.

[65] Clavero C., Gracia J. L., O'Riordan E. A parameter robust numerical method, for a two dimensional reaction-diffusion problem // Mathematics of computation. - 2005. - V. 74.

- № 252. - P. 1743 - 1758.

[66] Cockburn B. Discontinuous Galerkin Methods // Z. Angew. Math. Mech. - 2003. - V. 83.

- JV® 252. - P. 731 - 754.

[67] Farrell P. A., Hcgarty A. F., Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. I. Robust computational techniques for boundary layers. - Chapman and Hall.: CRC Press, Boca Raton, FL, 2000. - 254 pp.

[68] Franz S., LinB. Т., Roos H.-G. Super-convergence analysis of the SDFEM for elliptic problems with characteristic layers // Applied Numerical Mathematics. - 2008. - V. 58. № 12. - P. 1818 - 1829.

[70] Hackbusch W. Multi-grid methods and applications. - Berlin: Springer-Verlag, 1985. -377 pp.

[71] Hackbusch W., Probst T. Downwind Gauss-Seidel smoothing for convection dominated problems // Numer. Linear Algebra Appl. - 1997. - V. 4 - № 2. - P. 85 - 102.

[72] Han H., Il'in V. P., Kellogg R. B. Flow directed iterations for convection dominated flow // Proceeding of the Fifth Int. Conf. on Boundary and Interior Layers 1988. - P. 7 - 17.

[73] Kcllog R. B., Linfi. T., Stynes M. A finite difference method on layer-adapted meshes for an elliptic reaction-diffusion system in two dimensions // Mathematics of computation. -2008. - V. 77. ~ № 264. - P. 2085 - 2096.

[74] Kellog R. B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problem without turning points // Mathematics of computation. - 1978. -V. 32. - X* 144. P. 1025 - 1039.

[75] Linfi T. Layer-adapted meshes for reaction-convection-diffusion problems. Volume 1985 of Lecture Notes in Mathematics. - Berlin: Springer-Verlag, 2010. - 320 pp.

[76] Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. I. Fitted numerical methods for singular-perturbation problems. Error estimates in the maxim,um norm for linear problems in one and two dimensions. - Singapore: World Scientific, 1996. 164 pp.

[77] Natividad M. C., Stynes M. Richardson extrapolation for a convection-diffusion problem using a Shishkin mesh // Applied Numerical Mathematics. - 2003. - V. 45. - .№ 2. -P. 315 - 329.

[78] Reed W. H., Hill T. R. Triangular Mesh Methods for the Neutron Transport Equation // Los Alamos Scientific Laboratory Tech. Report LA-UR-73-479 - 1973.

[79] Richter G. R. The discontinuous Galerkin method with diffusion // Mathematics of computation. - 1992. - V. 58. - № 198. - P. 631 - 643.

[80] Roos H.-G. Ten ways to generate the Il'in and related schemes // Journal of comp. and appl. math. - 1994. - V. 53. - № 1 - P. 43 - 59.

[81] Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Numerical methods for singularly perturbed differential equations. - Berlin: Springer-Verlag, 1996. - 348 pp.

[83] Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. - New-York: PWS Publishing Co, 1996. - 448 pp.

[84] Schenk O., Bollhofer M., Romer R. A. On Large Scale Diagonalization Techniques For The Anderson Model Of Localization // SIAM Review. - 2008. - V. 50, № 1 - P. 91 - 112.

[85] Schenk O., Gartner K. Solving Unsymmetric Sparse Systems of Linear Equations with PARDISO // Journal of Future Generation Computer Systems. - 2004. - V. 20, № 3 -P. 475 - 487.

[86[ Schenk O., Wachter A., Hagemann M. Matching-based Preprocessing Algorithms to the Solution of Saddle-Point Problems in Large-Scale Nonconvex Interior-Point Optimization // Journal of Computational Optimization and Applications. - 2007. - V. 36, JV2 2-3 -P. 321 - 341.

[87] Shishkin G. I., Shishkina L. P. A Higher-Order Richardson Method for a Quasilinear Singularly Perturbed Elliptic Reaction-Diffusion Equation // Differential Equations. -2005. - V. 41, № 7 - P. 1030 - 1039.

[88] Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Volume lJt0 of Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. - Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2009. - 408 pp.

[89] Vulanovic R. A uniform numerical method for quasilinear singular perturbation problems without turing points // Computing. - 1989. - V. 41. - P. 97 - 106.

[90] Vulanovic R. Non-equidistant finite-difference methods for elliptic singular perturbation problems // Computational Methods for Boundary and Interior Layers in Several Dimensions (J. J. H. Miller, ed.). - 1991. - P. 203 - 223.

[91] Vulkov L. G., Zadorin A. I. Two-grid algorithms for an ordinary second order equation with exponential boundary layer in the solution // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. - 2010. - V. 7. - № 3. - P. 580 - 592.

[92] Vulkov L. G., Zadorin A. I. Two-grid iterpolation algorithms for difference schemes of exponential type for semilinear diffusion convection-dominated equations // American Institute of Physics, Conference proceedings. - 2008. - V. 1067. - P. 284 - 292.

[93] Xu J. A novel two-grid method for semilinear elliptic equation // SIAM J. Sci. Comput. - 1994. - V. 15. - P. 231 - 237.

[94] Xiaoxia D., Xiaoliang C. A two-grid method based on Newton iteration for the Navier-Stokes equations // Journal of Сотр. and Appl. Math. - 2008. - V. 220. - .,V° 1-2. -P. 566 - 573.

[95] Zadorin A. I., Zadorin N. A. Interpolation formula for functions ■with a boundary layer component and its application to derivatives calculation // Сибирские электронные математические известия. - 2012. - Т. 9. - С. 1 - 11.