Интегральные многообразия и затягивание потери устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Щетинина, Екатерина Владимировна

• Щетинина, Екатерина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щетинина, Екатерина Владимировна

Введение

1 Ограниченные решения нелинейных систем

1.1 Постановка задачи.

1.2 Существование ограниченного на всей оси решения

1.3 Доказательство теоремы 1.3.

1.3.1 Непрерывность функции ТК.

1.3.2 Существование ограниченного решения

2 Интегральные многообразия быстро-медленных систем

2.1 Постановка задачи.

2.2 Предположения. Обозначения.

2.3 Доказательство Теоремы 2.

2.3.1 Вспомогательные неравенства.

2.3.2 Непрерывность ТН при £ = О.

2.3.3 Существование медленного интегрального многообразия

2.3.4 Примеры

3 Асимптотические разложения

3.1 Доказательство Теоремы 3.

3.1.1 Непрерывность Тд в £ = 0.

3.1.2 Оценка погрешности.

4 Гладкость интегрального многообразия

4.1 Существование производных первого порядка

4.1.1 Предположения.

4.1.2 Вспомогательные неравенства.

4.1.3 Непрерывность функции -щ-ТК при 2 = 0.

4.1.4 Существование первой производной медленного интегрального многообразия

4.2 Существование старших производных.

4.2.1 Предположения.

4.2.2 Вспомогательные неравенства.

4.2.3 Гладкость функции а(у, е).

4.2.4 Гладкость интегрального многообразия.

5 Маятник Циглера

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные многообразия и затягивание потери устойчивости»

Актуальность работы.

Быстро-медленные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В общем случае автономную разнотемповую систему можно записать как в быстро-медленном виде dx = £f{x,y,£), dy , , (0-1) так, с помощью замены переменных t = т/е, и в сингулярно возмущенном виде dx

Тт = f{X^ , ч dy , . (0-2)

Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Андронова А. А., Аносова Д. В., Боголюбова Н. Н., Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вишика. М. И., Крейна С. Г., Крылова Н. М., Куриной Г. А., Ломова С. А., Люстерника Л. А., Мартыненко Ю. Г., Маслова В. П., Митропольского Ю. А., Мищенко

Е. Ф-, Моисеева Н. Н., Найфэ А. X., Новожилова И. В., Понтрягина Л. С., Розова Н. X., Чернышова К. И., Chang Н. С., Cole J., Howes F. A., Kelley A., Miller J., O'Malley R. E., Schneider K. R., Smith D. R., Van Dyke M. и многих других авторов (см. [1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 23, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 38, 46, 75, 82, 83, 84, 88]).

Для неавтономных систем быстро-медленная форма - £f(t,x,y,e), dy , ч (0-3) = g{t,x,y,£), и сингулярно возмущенная dx - f[T,x,y,e), ат dy , . (0-4) не эквивалентны из-за присутствия времени в правой части системы. Поэтому, помимо методов теории сингулярных возмущений, для исследования неавтономных быстро-медленных систем были разработаны собственные методы. Большое распространение получили асимптотические и итерационные методы. Например, метод замены переменных и методы усреднения, целью которых является построение упрощенной модели с помощью специально подобранной замены переменных [9, 17, 31, 34].

Поток публикаций, посвященный теории и приложениям разнотем-повых систем, непрерывно растет. Однако, абсолютное большинство работ по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрическая теория разнотемповых систем находит свои истоки в работах Пуанкаре и Ляпунова. Она занимается вопросами существования и исследования свойств как отдельных решений, обладающих специальными качествами, так и целых классов решений (интегральных многообразий). Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Боголюбова Н. Н. и Митропольского Ю. А. [8, 9]. Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхность дифференциальной системы. Большой интерес представляют интегральные многообразия меньшей размерности. Использование интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости. По сути дела производится построение упрощенных моделей изучаемых объектов, но при этом более простые модели с высокой степенью точности отражают поведение исходных моделей. Теория интегральных многообразий применялась для исследования разнотемповых систем в работах Бариса Я. С., Задираки К. В., Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic Р. V., Schneider K. R. и др. [6, 21, 27, 30, 43, 48, 58, 59, 75, 80, 83, 84, 90, 91, 92, 93].

Обычное предположение теории разнотемповых систем состоит в том, что линейная часть быстрой подсистемы удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии. Однако, во многих прикладных задачах это условие нарушается, и возникают критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Бутузова В. Ф.,

Васильевой А. В., Волосова В. М., Кононенко Л. И., Нефедова Н. Н., Рачинского Д.И., Соболева В. А., Щепакиной Е. А., Gu Z., O'Malley R. Е., Schneider К. R. [10, 11, 12, 24, 62, 63, 71, 77, 85, 87, 89, 94].

Нарушение этого условия может привести к возникновению эффекта затягивания потери устойчивости. Впервые этот эффект был описан в работе Шишковой М. А. [60]. В дальнейшем, исследование природы этого эффекта проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Нейштадта А. И. [36], в которых достаточно подробно описан эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем. Также в сингулярно возмущенных системах нарушение основного предположения может привести к появлению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов [16, 32, 33, 45, 52, 53, 85, 87]. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях [53, 61, 97].

Исследованию условий существования затягивания потери устойчивости и траекторий-уток посвящены работы многих авторов [3, 16, 32, 33, 45, 51, 53, 71, 85, 87, 89]. В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток и эффекта затягивания потери устойчивости в различных задачах биологии, механики, химии, экономики и электроники. Не претендуя на полноту, среди них можно выделить работы Горелова Г. Н., Нейштадта А. И., Покровского А. Н., Сидоренко В. В., Соболева В. А., Щепакиной Е .А., Dumortier F., Erneux Т., Guckenheimer J., Hoffman К., Krupa M., Milik A., Moehlis J., Roussarie R., Schneider K., Szmolyan P., Weekesser W. [16, 37, 45, 52, 61, 72, 73, 74, 85, 76, 78, 87].

Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости для быстро-медленных систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. В работе рассматриваются системы вида у = sY(t, y,z,e), z = B(t)z + Z(t, у, z, e) + a, (0.5) где s — малый положительный параметр, а — вектор параметров, у и 2 — векторные переменные размерности п и 2, соответственно, У, Z — достаточно гладкие функции.

Определение 0.1 Поверхность G I х I71 х I2 называется интегральным многообразием системы (0.5), если любое решение t, ¡/(t, е\Уо, zo),z(t, е\ у0, zq)) с начальными условиями (to, 2/о, ^о) € S£ лежит на S£ для всех £ € Е.

Среди интегральных многообразий системы (0.5) особый интерес представляют многообразия размерности медленной переменной, которые описываются уравнением г = h(t, у, е).

Предполагается, что функция h(t,y,e) достаточно гладко зависит от е. Движение по интегральному многообразию осуществляется со скоростями порядка е (в полной системе есть движения со скоростями порядка единицы). Такие многообразия называются интегральными многообразиями медленных движений.

Движение по медленному интегральному многообразию осуществляется в соответствии с уравнением где = /г(£, е), е), является решением исходной системы (0.5), так как эта пара задает траекторию на интегральном многообразии.

Задача о существовании медленного интегрального многообразия в случае, когда линейная система удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии, рассматривалась в работах Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovic Р. V. и др. [6, 21, 27, 30, 54, 58, 59, 75, 83, 84]. В работе предполагается, что матрица B{t) имеет вид

Таким образом, условие экспоненциальной дихотомии нарушается. Цель данной работы — определить условия, при которых система (0.5) имеет медленное интегральное многообразие.

Первая глава посвящена развитию теории ограниченных на всей оси решений для уравнений, у которых соответствующая линейная система не удовлетворяет условию экспоненциальной дихотомии. В первом у = £Y(t,y,h(t,y,£),e). Если y(t, е) — решение этого уравнения, то пара y(t,£),z(t,s)),

0.6) i = B{t)z

0.7)

параграфе получено необходимое условие существование ограниченного на всей оси решения. Основываясь на этом условии, объясняется метод склеивания решений, ограниченных на каждой из полуосей и объясняется роль параметра а. Исходя из геометрических соображений, будем называть этот параметр склеивающим параметром. Во втором и третьем параграфах формулируется и доказывается теорема о существовании ограниченных на всей оси решений.

Получившееся решение является притягивающим при Ь < 0 и отталкивающим при £ > 0. Остальные решения системы, начинающиеся при ^ = ¿о < 0 в любой начальной точке го через некоторое время попадают в малую окрестность ограниченного на всей оси решения и остаются в ней до момента £ = £* > 0. При Ь > | £0| решения быстро покидают малую окрестность ограниченного на всей оси решения. Такое поведение решений похоже на эффект затягивания потери устойчивости для сингулярно возмущенных систем [36, 60].

Вторая глава посвящена исследованию вопросов существования и единственности медленного интегрального многообразия для быстро-медленных систем. Показано, что задача о существовании интегральных многообразий может рассматриваться как обобщение задачи о склеивании решений, ограниченных на каждой из полуосей. Во втором параграфе формулируются основные предположения. В третьем параграфе доказывается теорема о существовании и единственности медленного интегрального многообразия. Полученное многообразие является притягивающим при 4 < 0 и отталкивающим при £ > 0.

В третьей главе рассматриваются вопросы асимптотического приближения медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. Получены рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов разложения и доказана теорема об оценках погрешностей этих разложений.

Четвертая глава посвящена исследованию дифференциальных свойств медленного интегрального многообразия и склеивающей функции. В первом параграфе доказана теорема о существовании частной производной первого порядка по пространственным переменным.

Во втором параграфе показана связь между дифференцируемостью правой части системы и существованием производных высших порядков для склеивающей функции и функции, описывающей медленное интегральное многообразие. Доказательство основывается на методе математической индукции, база для которой установлена в первом параграфе четвертой главы, и обобщенном принципе сжатия А. И. Перова [42, 55].

В пятой главе рассматривается система Циглера, описывающая колебания двухзвенного маятника под воздействием внешней силы. Исследуется устойчивость положения равновесия и определяются условия, при которых в этой модели существуют траектории с затягиванием потери устойчивости. Определяется траектория с наибольшим временем затягивания потери устойчивости.

Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории интегральных многообразий.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении широкого класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции International Conference on Differential Equations "Equadiff 2003" (Хассельт, Бельгия, 2003), на Международных семинарах "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 2000, 2004 гг.), на Международном семинаре "International Workshop on Relaxation Oscillations and Hysteresis" (Корк, Ирландия, 2002), на Международном семинаре "Multi-Scaled Systems and Hysteresis" (Корк, Ирландия, 2003), на Международном семинаре "Multiscale Systems and Applications" (Берлин, Германия, 2003), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005). Результаты обсуждались на научных семинарах Университета Гумбольдта, Свободного Университета Берлина и Института Вейерштрасса прикладного анализа и стохастики (г. Берлин, Германия, 2001, 2002, 2003, 2004, руководители семинаров — prof. В. Niethammer, prof. J. Naumann, prof. В. Fiedler, prof. К. R. Schneider),

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [64]-[69], [95], [96], [98]-[102]. Из совместных работ [95], [96], [98], [99] в диссертацию вошли только принадлежащие Щетининой Е. В. результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, содержащих 9 параграфов и 5 рисунков, и списка литературы, включающего 105 наименования. Общий объем диссертации 133 страницы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щетинина, Екатерина Владимировна, 2005 год

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Наука, 1981. — 568 с.

2. Аносов Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных / Д. В. Аносов // Матем. сборник. 1960. Т. 50, № 3. С. 299-334.

3. Арнольд В. И. Теория бифуркаций В кн.: Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. — М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-218.

4. Баничук Н. В. Об эффектах стабилизации и дестабилизации в неконсервативных системах / Н. В. Баничук, А. С. Братусь, А. Д. Мышкис // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, № 2. С. 206-214.

5. Барбашин Е. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством /Е. А. Барбашин, В. А. Табуева. — М.: Наука, 1969. 300 с.

6. Барис Я. С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий / Я. С. Барис, В. И. Фодчук // Укр. мат. журн. — 1970.- Т. 22, № 1. С. 3-11.

7. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. — М.: ИЛ, 1954. — 216 с.

8. Боголюбов Н. Н. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский // Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. — Киев, 1963. — Т. 1. — С. 93-154.

9. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М.: Наука, 1974. 504 с.

10. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов.- М.: Наука, 1973. 272 с.

11. Васильева А. Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 с.

12. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

13. Вишик М. И. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 121, № 5. - С. 778-781.

14. Воропаева Н. В. Декомпозиция многотемповых систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев. — Самара: СамВен, 2000. — 292 с.

15. Гольдштейн В. М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем / В. М. Гольдштейн, В. А. Соболев. — Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отделение, 1988. — 154 с.

16. Горелов Г. Н. Сингулярно возмущенные модели горения / Г. Н. Горелов, В. А. Соболев, Е. А. Щепакина. Самара: СамВен, 1999. 198 с.

17. Гребеников Е. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем / Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов // М.: Наука, 1979. — 432 с.

18. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1970. 536 с.

19. Демидович Б. П. Об ограниченных решениях некоторой нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. П. Демидович // Мат. сборник 1956. - Т. 40, № 1(82). - С. 73-94.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М.: Издательство МГУ, 1998. — 480 с.

21. Задирака К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы / К. В. Задирака // Укр. мат. журн. 1965. - Т. 17, № 1. - С. 47-63.

22. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. — М.: Наука, 1975. — 512 с.

23. Крейн С. Г. Поведение решений общих линейных систем, меро-морфно зависящих от малого параметра / С. Г. Крейн, К. И. Чернышов // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 260, № 3. — С. 530535.

24. Кононенко Л. И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / Л. И. Кононенко, В. А. Соболев // Сиб. мат. журн. 1994. - Т. 35, № 6. - С. 1264-1278.

25. Курина Г.А. Об одной вырожденной задаче оптимального управления и сингулярных возмущениях. / Г. А. Курина // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 237, N 3. - С. 517-520.

26. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. М.: Наука, 1981. - 400 с.

27. Лыкова О. Б. Приближенные интегральные многообразия / О. Б. Лыкова, Я. С. Барис. — Киев: Наукова Думка, 1993. — 314 с.

28. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.: Наука, 1965. — 520 с.

29. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980. — 368 с.

30. Митропольский Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский, О. Б. Лыкова. — М.: Наука, 1973. 512 с.

31. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. — Киев: Наукова Думка, 1971. — 440 с.

32. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов. М.: Наука, 1975. - 247 с.

33. Мищенко Е. Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е. Ф. Мищенко, Ю. С. Колесов, А. Ю. Колесов, Н. X. Розов. — М: Физматлит, 1995. 312 с.

34. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. — М.: Наука, 1969. — 380 с.

35. Найфе А. X. Методы возмущений / А. X. Найфе. — М.: Мир, 1976. 455 с.

36. Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях / А. И. Нейштадт // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23, № 12. - С. 2060-2067; 1988. - Т. 24, № 2. - С. 226-233.

37. Нейштадт А. И. Затягивание потери устойчивости в системе Циг-лера / А. И. Нейштадт, В. В. Сидоренко // Журнал прикл. мат. мех. 1997. - Т. 61, № 1. - С. 18-29.

38. Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при производных для исследования гироскопических систем / И. В. Новожилов // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. - № 4. - С. 50-51.

39. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г. Пановко, И. И. Губанова. — М.: Наука, 1979. — 384 с.

40. Перов А. И. Периодические, почти периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения dx/dt = f(t, х) / А. И. Перов // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 132, № 6. - С. 531-534.

41. Перов А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. / А. И. Перов. — Киев: Наукова думка, 1964. Вып. 2. - С. 115-134.

42. Перов А. И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А. И. Перов, А. В. Кибенко // Изв. АН СССР, сер. математика.1966. Т. 30, № 2. С. 249-264.

43. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В. А. Плисс. — М.: Наука, 1977. 304 с.

44. Приближенные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, М. Я. Стеценко. — М.: Наука, 1969. — 456 с.

45. Покровский А. Н. "Стая" решений-"уток" сингулярно возмущенной системы 2-го порядка / А. Н. Покровский // Математическая физика: Межвуз. сб. /Под ред. Н.М. Матвеева. — Ленинград. 1987. - С. 77-81.

46. Понтрягин Л. С. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с малым параметром / Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко // Труды МИАН СССР. 1985. - Т. 169. - С. 99-118.

47. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.М. Рыжик, И.С. Градштейн. — М.: Физматгиз, 1965. — 1100 с.

48. Самойленко А. М. О расщеплении системы дифференциальных уравнений с медленно меняющейся фазой в окрестности асимптотически устойчивого инвариантного тора / А. М. Самойленко, М. Я. Свищук // Укр. матем. журн. — 1985. — Т. 37, № 6. — С. 751-756.

49. Самойленко А. М. Об экспоненциальной дихотомии на К линейных дифференциальных уравнений в 1п / А. М. Самойленко // Укр. матем. журн. 2001. - Т. 53, № 3. — С. 356-371.

50. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных / А. М. Самойленко // — Укр. матем. журн. 2002. - Т. 54, № И. - С. 1505-1516.

51. Соболев В. А. Геометрия сингулярных возмущений в вырожденных случаях / В. А. Соболев // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 12. - С. 75-94.

52. Соболев В. А. Траектории утки в одной задаче теории горения / В. А. Соболев, Е. А. Щепакина // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 9. - С. 1175-1184.

53. Соболев В. А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории-утки / В. А. Соболев, Е. А. Щепакина // Известия РАЕН, сер. МММИУ. 1997. - Т. 1, № 3. - С. 151-175.

54. Стрыгин В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий / В. В. Стрыгин, В. А. Соболев. — М.: Наука, 1988. — 256 с.

55. Трубников Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. — Минск: Наука и техника, 1986. — 200 с.

56. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. — М.: Наука, 1983. 352 с.

57. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — М.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. Т. 2. - 860 с.

58. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1966. 229 с.

59. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

60. Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных / М. А. Шишкова // Докл. АН СССР. 1973. - Т. 209, № 3. -С. 576-579.

61. Щепакина Е. А. Интегральные многообразия, траектории-утки и тепловой взрыв / Е. А. Щепакина // Вестник Самарского гос. университета. — 1995. — Спец. выпуск. — С. 49-58.

62. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости в случае векторной быстрой переменной / Е.А. Щепакина // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 10. С. 1358-1364.

63. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости / Е. А. Щепакина // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38, № 11. - С. 1574.

64. Щетинина Е. В. Одна задача о смене устойчивости интегральных многообразий / Е. В. Щетинина // Известия РАЕН, сер. МММИУ. 1999. - Т. 3, № 3. - С. 129-134.

65. Щетинина Е. В. Интегральные многообразия и смена устойчиво-чти / Е. В. Щетинина // VII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. — Дубна, 2000. С.371.

66. Щетинина Е. В. Смена устойчивости интегральных поверхностей / Е. В. Щетинина // Материалы Международного семинара "Нелинейное моделирование и управление". — Самара, 2000. — С. 143-144.

67. Щетинина Е. В. Об управлении в задачах с затягиванием потери устойчивости / Е. В. Щетинина // Материалы Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: СамГТУ, 2004. С. 274-275.

68. Щетинина Е. В. Интегральные многообразия и затягивание потери устойчивости / Е. В. Щетинина// Воронежская зимняя математическая школа-2005. Тезисы докладов. — Воронеж: ВГУ, 2005. С. 254-255.

69. Щетинина Е.В. Управление механической системой маятникового типа / Е. В. Щетинина // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. — 2005. № 33. - С. 85-88.

70. Anderson G. L. Stabilization of Ziegler's pendulum by means of the method of vibrational control / G. L. Anderson, I. G. Tanjbakhsh // J. Math. Anal. Appl. 1989. - Vol. 143, No. 1. - P. 198-223.

71. Butuzov V. F. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities / V. F. Butuzov, N. N. Nefedov, K. R. Schneider // J. Math. Sci. 2004. - Vol. 21. - P. 1973-2079.

72. Dumortier F. Canard cycles and center manifolds / F. Dumortier, R. Roussarie // Mem. Am. Math. Soc. — 1996. Vol. 577. — 100 p.

73. Eckhaus W. Relaxation oscillations including a standart chase on French ducks / W. Eckhaus // Lect. Notes in Math. — 1983. — Vol. 985. P. 449-494.

74. Erneux T. Imperfect bifurcation with a slowly-varying control parameter / T. Erneux, P. Mandel // SIAM J. Appl. Math. 1986. - Vol. 46, No. 1. - P. 1-15.

75. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations / N. Fenichel //J. Diff. Equat. — 1979. — Vol. 31. P. 53-98.

76. Gorelov G. N. Mathematical modeling of critical phenomena in thermal explosion theory / G. N. Gorelov, V. A. Sobolev // Combust. Flame. 1991. - Vol. 87. - P. 203-210.

77. Gu Z.-M. On singular singularly perturbed initial value problems / Z.-M. Gu, N. N. Nefedov, R. E. O'Malley, Jr. // SIAM J. Appl. Math. 1989. - Vol. 49, No. 1. - P. 1-25.

78. Guckenheimer J. Numerical computation of canards / J. Gucken-heimer , K. Hoffman, W. Weckesser // Int. J. Bif. Chaos. 2000. -Vol. 10. - P. 2669-2687.

79. Guran A. Stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness / A. Guran, R. H. Plaut // Arch. Appl. Mech. 1993. - Vol. 63, No. 3. - P. 170-175.

80. Handrock-Meyer S. A method to determine the dimension of longtime dynamics in multi-scale systems / S. Handrock-Meyer, L. V. Kalachev, K. R. Schneider // J. Math. Chern. 2001. Vol. 30, No. 2. - P. 133-160.

81. Hale J. Behavior of solutions near integral manifolds / J. Hale, A. Stokes // Arch, ration, mech. and anal. — 1960. — Vol. 6, No. 2. — P. 133 170.

82. Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat. 1967. - Vol. 4. - P. 546570.

83. Knobloch H.-W. Singular perturbations and integral manifolds / H.W. Knobloch, B. Aulbach // J. Math. Sci. 1984. - Vol. 18, No. 5. - P. 415-424.

84. Kokotovic P. V. Singular perturbations methods in control / P. V. Kokotovic, H. K. Khalil, J. O'Reily. —• Analysis and design. — New York: Academic Press. — 1986. — 326 p.

85. Krupa M. Relaxation oscillation and canard solution / M. Krupa, P. Szmolyan // J. Diff. Equat. 2001. - Vol. 174. - P. 312-368.

86. Murdock J. A. Perturbations. Theory and Methods / J. A. Murdock.Philadelphia: SIAM, Classics in Applied Mathematics, 27, 1999.- 510 p.

87. Nefedov N. N. On immediate-delayed exchange of stabilities and periodic forced canards / N. N. Nefedov, K. R. Schneider. Preprint No. 872. — Berlin: Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, 2004. — 17 p.

88. O'Malley R. E., Jr. Introduction to singular perturbations / R. E. O'Malley, Jr. — New York: Academic Press, 1974. — 206 p.

89. Rachinskii D. I. Delayed loss of stability in systems with degenerate linear parts / D. I. Rachinskii, K. R. Schneider // Z. Ana.1. Anwendungen. 2003. — Vol. 22. P. 433 453.

90. Schneider K. R. Hopf bifurcation and center manifolds / K. R. Schneider // Colloquia. Mathematica Soc. Jänos Bolyai. — 1979. — Vol. 30, Qualit. Theory of Diff. Equations, Hungary, 1979. P. 953970.

91. Schneider K. R. On the application of the integral manifolds to Hopf bifurcation / K. R. Schneider // Math. Nachr. 1980. - Vol. 97. -P. 313-323.

92. Schneider K. R. On the existence of perturbed center submanifolds of a class of autonomous differential systems / K. R. Schneider. — Preprint P-Math-26/80 des KWI der AdW, 1980. — 17 p.

93. Schneider K. R. Model reduction by extended quasi-steady-state approximation / K. R. Schneider, Th. Wilhelm //J. Math. Biol.- 2000. — Vol. 408. P. 443-450.

94. Schneider K. R. New type of travelling wave solutions / K. R. Schneider, E. A. Shchepakina, V. A. Sobolev // Math. Methods Appl. Sci. 2003. - Vol. 26. - P. 1349-1361.

95. Schneider K. R. One-parametric families of canard cycles: two explicitly solvable examples / K. R. Schneider, E. V. Shchetinina // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. — 2003. — Vol. 2, Issue 1. P.74-75.

96. Schneider K. Integral manifolds for slow-fast nonautonomous systems without dichotomy / K. Schneider, E. Shchetinina, V. Sobolev. — Preprint No. 948. — Berlin: Weierstrafi-Institut fiir Angewandte Analysis und Stochastik, 2004. — 22 p.

97. Shchepakina E. Integral manifolds, canards and black swans / E. Shchepakina, V. Sobolev // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl.- 2001. Vol. 44A, No.7. - P. 897-908.

98. Shchepakina E. A. Scenario of Loss of Stability in the Ziegler System / E. A. Shchepakina, E. V. Shchetinina, V. A. Sobolev // Proc. of the V Intern. Congress on Math. Mod. — Dubna, 2002. P. 34.

99. Shchetinina E. Loss of stability scenario in the Ziegler system / E. Shchetinina // Proc. of Equadiff Conference, Hasselt, Belgium, July 22-26, 2003. Singapore: World Scientific Press, 2005. - P. 922-925.

100. Shchetinina E. V. On one problem of delayed loss of stability / E. V. Shchetinina //XI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. — Дубна, 2004. — С. 182.

101. Shchetinina Е. V. On existence of a bounded solution in a problem with a control parameter / E. V. Shchetinina. — Preprint No. 918. — Berlin: Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, 2004. 10 p.

102. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems / V. A. Sobolev // System and Control Lett. — 1984. No. 5. - P. 169-179.

103. Ziegler H. Die Stabilitätskriterien der Elastomechanik / H. Ziegler // Ingenieur-Archiv, 1952. — Band XX. — S. 49-56.

104. Young Т. H. Post-flutter analysis of beams subjected to subtangential forces / Т. H. Young, F. Y. Chen // Intern. J. Non-Linear Mechanics. 1993. - V. 28, No. 1. - P. 29-41.