Численные методы для обратных нелинейных параболических задач и их приложения к моделированию критических условий теплового взрыва тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Китаева, Елена Викторовна

• Китаева, Елена Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Китаева, Елена Викторовна

Введение.

Глава I. Математическая модель теплового взрыва, основные алгоритмы и результаты численных экспериментов. ^

§1 Классическая модель теплового взрыва.

1.1 Численный метод для задачи (1.9)-(1.12).

§2 Модель реакции горения с заданным законом выгорания

Глава II. Ограниченные на всей оси решения полудискретных моделей горения и численные методы их отыскания.

§3 Линейиые уравнения невысокого фиксированного порядка.

3.1 Теорема существования решения и оценки производных.

3.2 Доказательства и вспомогательные результаты.

3.3 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

§4 Нелинейные уравнения невысокого фиксированного по рядка. j 4.1 Теорема существования решения и оценки произj/ водных.

4.2 Численные алгоритмы и оценки погрешностей

§5 Линейные уравнения высокого порядка.

5.1 Теорема существования и оценки производных.

5.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

§6 Нелинейные уравнения высокого порядка.

6.1 Теорема существования решения и оценки производных.

6.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

Глава III.Ограниченные на всей оси решения параболических модельных задач горения и численные методы их отыскания.

§7 Линейная параболическая задача.

7.1 Теорема существования решения и оценки произи водных.,.

7.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

J §8 Нелинейная параболическая задача. v, 8.1 Теорема существования решения и оценки производных.

8.2 Численные алгоритмы и оценки погрешности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы для обратных нелинейных параболических задач и их приложения к моделированию критических условий теплового взрыва»

Настоящая работа посвящена численным методам решения некоторых классов некорректных сингулярно возмущенных задач для систем обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных и их приложениям к численному моделированию критических режимов теплового взрыва. Прикладное значение математической теории теплового взрыва фезвычайно велико для повышения эффективности энергетической системы, проектирования реакторов, двигателей внутреннего сгорания, моделей лазеров, механики полимеров и многих других задач и областей науки. Основы этой теории были заложены в трудах Н.Н.Семенова, Д.А. Франк-Каменецкого, Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, О. М. Тодеса, П. В. Мелентьева, А. Г. Мержанова и др. [52],[61],[33] ,[59]. Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва важнейшие характеристики, определяющие тип реакции, отражает некоторый параметр, значение которого определяется начальным состоянием химической системы. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что приводит к взрыву. При этом переход от медленного режима к взрывному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения этого параметра. Для некоторого значения данного параметра, которое называется критическим, реакция идет в течение длительного времени, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим будем называть критическим.

Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для различных форм реакторов и являются главными в рамках исследования моделей. Отметим, что в работах упомянутых выше авторов исследовалась, в основном, стационарная модель теплового взрыва, в рамках которой можно получить лишь приближенные решения, не учитывающие выгорание реагирующего вещества, и невозможно провести исследование перестройки решений в окрестности предела самовоспламенения.

Математическое исследование нестационарной модели проводилось с помощью асимптотических методов. Асимптотическим методам в этой области посвящены труды В.Ф. Бутузова, Г.Н. Горелова, Е.Ф.

Мищенко, Ю.Н. Митропольского, Н.Х. Розова, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, Е.А. Щепакиной [17],[19]-[20], [26], [47], [73], [53]-[56], [27], [80], [81], [46], [86]-[88]. В частности, В.А. Соболевым было замечено, что критические режимы теплового взрыва описываются медленными устойчиво-неустойчивыми и неустойчивыми интегральными многообразиями. Однако получить асимптотические разложения в явном виде удается далеко не всегда (исследуется, в основном сосредоточенная модель, не учитывающая неравномерности протекания реакции по объему реакционного сосуда), в связи с чем актуальной является задача численного отыскания интегральных многообразий. Но эта задача также весьма трудна, так как искомое интегральное многообразие неустойчиво как в прямом (£), так и в обратном (—t) времени. Это некорректная сингулярно возмущенная задача, и классические численные методы оказываются непригодными для ее решения.

Математическая теория некорректных задач является важной частью современной математики. Ее становление связано с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Г.И.Марчука, С.Г.Крейна, J. Lions'a [57], [58], [40], [44], [38], [39], [41], их многочисленных учеников и последователей [63], [48]-[50], [23]-[25], [2], [8]. Существенно менее развиты математические методы для некорректных сингулярно возмущенных задач. При этом наличие малого параметра часто создает принципиальные дополнительные трудности, так как, например, при переходе к быстрому времени, в котором задача не будет сингулярной, решение надо искать на асимптотически большом промежутке времени. Но тогда известные методы решения (J.Lions), для которых ограниченность временного промежутка принципиальна, становятся неприменимыми.

В последние десятилетия интенсивно развивалась теория численных методов для сингулярно возмущенных задач. Разностным методам для сингулярно возмущенных задач посвящены работы Н.С. Ба-хвалова, A.M. Ильина, В.Б. Андреева, И.П. Боглаева, А.И. Задорина, К.В. Емельянова, В.Н. Игнатьева, В.Д. Лисейкина, Г.И. Шишкина, Н.Н. Яненко, Е. Gartland'a, P. Hemker'a, D. Herceg'a, J.J.H. Miller'a, O'Riordan'a, К. Surla, M. Stynes'a, R. Vulanovic'a [1], [15], [16], [28], [84], [29], [30], [42], [43], [64]-[69], [97], [96], [98]. Методы конечных элементов изучались в работах Б.М. Багаева [3]-[6], Б.М. Багаева и В.В. Шайдурова [7], И.А.Блатова [10], [11], И.А.Блатова и В.В.Стрыгина [12], И.П. Боглаева [13] -[14], P. Hemker, P.P.N. de Groen [83],[82], Gartland E. [77], [79], J.J.H.Miller'a, O'Riordan'a, M. Stynes'a, [45], [91]-[95], W.Scymchak'a, I.Babushka'a [90], A.H.Schatz'a, L.B.Wahlbin'a [89]) и схемы на адаптирующихся к погранслою сетках ( U. Asher'a,R.

Weiss'a, К. Ringhover'a [70]-[72], [85], E. Gartland'a [78], J.E.Flaherty [76]). Однако подавляющее большинство этих работ относится к корректным задачам в ограниченных областях. Отметим работы А.И. Задорина [31], [32] о сингулярных задачах на полубесконечном интервале которые, однако, также относятся к корректно поставленным задачам.

Отметим, что важным промежуточным звеном решения данной задачи является задача приближенного отыскания ограниченных на всей оси решений, рассматриваемых как частный случай медленных интегральных многообразий, сингулярно возмущенных уравнений и систем в условно устойчивом случае, содержащая в себе основные теоретические и вычислительные трудности исследования основной проблемы. В диссертации детально исследуется именно эта задача. Для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений доказываются теоремы существования и априорные оценки ограниченных решений и производных, их дискретные аналоги для разностных схем, оценки погрешности, сформулированы вычислительные алгоритмы, и доказаны теоремы сходимости. Отметим, что для рассматриваемых дифференциальных задач теоремы существования ограниченных решений вытекают из результатов работ [46], [62], однако в диссертации эти результаты получены вместе с равномерными по порядку системы оценками производных, необходимыми для обоснования численных методов. Аналоги этих теорем для дискретных систем и оценки близости являются абсолютно новыми. В [22] (см. также библиографию в [22]) рассматривались многообразия дискретных систем, ио там не изучался условно устойчивый случай и системы высокого порядка, естественным образом возникающие при частичной дискретизации параболических задач.

В связи с этим целями настоящей работы являются

1) Разработка устойчивых численных методов и алгоритмов отыскания медленных интегральных многообразий сингулярно возмущенных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических задач.

2) Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения критических режимов теплового взрыва и определения критических значений управляющего параметра, соответствующих этим режимам.

3) Построение строгой математической теории этих методов в частном случае задачи отыскания ограниченных на всей оси решений сингулярно возмущенных параболических уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условно устойчивом случае.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, приводится краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Китаева, Елена Викторовна

Заключение

Таким образом в диссертации получены следующие основные результаты.

I. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений фиксированного невысокого порядка в условно устойчивом случае доказаны равномерные по малому параметру оценки производных ограниченных на всей оси решений.

II. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка в условно устойчивом случае, возникающих при частичной дискретизации параболических задач, доказаны теоремы существования и единственности ограниченных на всей оси решений и равномерные по малому параметру и порядку системы оценки этих решений и их производных.

III. Для линейных и нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений доказаны теоремы существования и единстве-ности ограниченных на всей оси решений вместе с равномерными по малому параметру оценками этих решений и их производных.

IY. Рассмотрены разностные дискретизации задач из п.п. I-III, для которых доказаны полные аналоги всех названных в I—III результатов.

Y. Доказаны оценки близости решений дифференциальных и разностных задач.

YI. Предложены устойчивые численные алгоритмы приближенного отыскания решений разностных задач, и доказаны оценки погрешности приближений, получаемых в этих алгоритмах.

YII. Предложен математически строго обоснованный численный алгоритм моделирования реакции горения с заданным законом выгорания реагирующего вещества.

YIII. Алгоритмы из п.п. III-IY распространены на задачи отыскания критических значений параметра и критических режимов теплового взрыва в рамках классической модели.

IX. Написан комплекс программ, реализующий данные алгоритмы, и проведены численные эксперименты по отысканию критических режимов и критических значений параметра, результаты которых хорошо согласуются с известными классическими данными в тех случаях, когда эти данные могут быть получены аналитическими методами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Китаева, Елена Викторовна, 2005 год

1. Андреев, В.Б. О сходимости модифицированной монотонной схемы Самарского для сингулярно возмущенного уравнения Текст. /В.Б.Андреев // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. - Т.38, N8.-с. 1266-1278.

2. Арсенин, В.Я. О решении некоторых интегральных уравнений Фред-гол ьма первого рода методом регуляризации Текст. /В .Я.Арсенин, В.В.Иванов //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1968.- Т.8, N 2.-с. 310-321.

3. Багаев, Б.М. Использование асимптотических разложений для задач с малым параметром Текст. /Б.М.Багаев У/ Асимптотич. и комбинатор, анализ. Красноярск.- 1979,- с. 5-15.

4. Багаев, Б.М. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром при старшей производной Текст. /Б.М.Багаев // Матем. модели и вычисл. методы мех. сплошн. среды,- Красноярск, 1979.152-157.

5. Багаев, Б.М. Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром Текст. /Б.М.Багаев // Числ. Методы мех. сплош. среды.- 1979.- Т. 10, N 1.- с. 5-16.

6. Багаев, Б.М. Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных Текст.: дис. . канд. физ.-мат. наук /Б.М.Багаев.-Новосибирск ВЦ СО АН СССР, 1982,- 142 с.

7. Багаев, Б.М. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром Текст. /Б.М.Багаев, В.В.Шайдуров //Дифференц. и ин-тегро-дифференц. уравнения.- Новосибирск, 1977.- Вып.1.- с. 89-99.

8. Бакушинский, А.Б. Замечания об одном классе регуляризирующих алгоритмов Текст. /А.Б.Бакушинский //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1988.- Т.28, N 5.- с. 683-694.

9. Блатов, И.А. Об оценках Z,{/-разложений разреженных матриц и их приложениях к методам неполной факторизации Текст. /И.А.Блатов

10. Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997.- Т.37, N 3. с. 259276.

11. Блатов, И.А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. I Текст. /И.А.Блатов // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 5. с. 661669.

12. Блатов, И.А. О методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных параболических начально-краевых задач. II Текст. /И.А.Блатов // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 7. с. 912922.

13. Блатов, И.А. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем Текст. /И.А.Блатов, В.В.Стрыгин.- Воронеж.-Изд-во ВГУ.-1997, 406 с.

14. Боглаев, И.П. Вариационно-разностная схема для краевой задачи с малым параметром при старшей производной Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1981.- Т.21, N 4.- С. 887896.

15. Н.Боглаев, И.П. Численные методы решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1981.- Т.21, N 4.- с. 887-896.

16. Боглаев, И.П. Численный метод решения квазилинейного эллиптит-ческого уравнения с малым параметром при старших производных Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988.-T.28.-N4.- с. 492-502.

17. Боглаев, И.П. Численное решение квазилинейного параболического уравнения с погранслоем Текст. /И.П.Боглаев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1990.- Т.30, N 5.- с. 716-726.

18. Бутузов,В.Ф. Асимптотика решения задачи горения в случае автокаталитической реакции Текст. /В.Ф.Бутузов,Л.В.Калачев //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1988.- Т.28, N 5.- с. 683-694.

19. Быков, В.И. Моделирование критических явлений в химической кинетике Текст. /В.И.Быков.- М.: Наука, 1988.- 264 с.

20. Васильева,А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений /А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов.- М.: Высшая школа, 1990.-208с.

21. Васильева, А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях Текст. /А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов.- М.: Наука, 1978.- 106с.

22. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст. /В.С.Владимиров.-М.: Наука, 1981.- 512с.

23. Воропаева, Н.В. Декомпозиция многотемповых систем/ Н.В.Воропаева, В.А.Соболев. Самара.: Изд-во НВФ "CMC", 2000.-292с.

24. Гончарский, А.В. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором Текст. /А.В.Гончарский, А.С.Леонов, А.Г.Ягола //Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физики.- 1972.- Т. 12, N 6.- с. 1592-1594.

25. Гончарский, А.В. Обобщенный принцип невязки Текст. /А.В.Гончарский, А.С.Леонов, А.ГЛгола //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1973.- Т. 13, N 2.- с.294-302.

26. Гончарский, А.В. Конечно-разностная аппроксимация линейных некорректных задач Текст. /А.В.Гончарский, А.С.Леонов ,А.Г.Ягола // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1974.- Т. 14, N 1.- с. 15-24.

27. Гольдштейн, В.М. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем Текст. /В.М.Гольдштейн, В.А.Соболев.- Новосибирск: Ин-т математики АН СССР.- Сиб. отделение, 1988.- 154 с.

28. Горелов, Г.Н. Сингулярно возмущенные модели горения Текст. /Г.Н.Горелов, В.А.Соболев, Е.А.Щепакина. Самара.: 1999.- 184 с.

29. Дулан, Э. Равномерные численные методы для задач с пограничным слоем Текст. /Э.Дулан, Дж. Миллер, У.Шилдерс.- М.: Мир, 1983.173 с.

30. Задорин, А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром Текст. /А.И.Задорин //Численные методы мех. сплош. среды. 1984. - Т. 15, N 1.- с. 33-44.

31. Задорин, А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром Текст. /А.И.Задорин //Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физики. 1998. - Т. 38, N 8. - С. 1255-1265.

32. Задорин, А.И. Численный метод для системы линейных уранвнеий второго порядка с малым параметром на полубесконечном интервале Текст. /А.И.Задорин., О.В.Харина //Сиб. журн. вычисл. матем. -2004.-Т. 7,N2. -с. 103-114.

33. Задорин, А.И. Численный метод для нелинейного уравнения с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции Текст. /А.И.Задорин., О.В.Харина //Вычислительные технологии.- Т.9, часть 2(спец. выпуск).- 2004.- с. 215-221.

34. Зельдович, Я.Б. Математическая теория горения и взрыва Текст. /Я.Б.Зельдович, Г.И.Баренблатт, В.Б.Либрович, Г.М.Махвиладзе.- М.: Наука, 1980.-480с.

35. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций/Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, B.JI. Мирошниченко.- М.: Наука, 1980. 352с.

36. Калиткин, Н.Н. Численные методы Текст. /Н.Н.Калиткин,- М.: Наука, 1977.-512с.

37. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа Текст. /А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин.- М.: Наука, 1981.-544с.

38. Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений /М.А.Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко, В.Я.Стеценко, Я.Б.Рутицкий- М.: Наука, 1969.

39. Крейн, С.Г. О классах корректности для некоторых задач Текст. /С.Г.Крейн //Докл АН СССР. 1957. Т.113, №3.- с. 791-794.

40. Крейн, С.Г. О приближенных методах решения некорректных задач Текст. /С.Г.Крейн, О.И.Прозоровская //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1963.- Т.З. №1.- с. 83-95.

41. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики анализа Текст. /М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский.- М.: Наука, 1980.-320с.

42. Лионе, Ж. Метод квазиобращения и его применения Текст. /Ж.Лионе, Р.Латтес.- М.: Мир, 1970.- 593с.

43. Лисейкин, В.Д. Адаптивно-инвариантный метод численного решениязадач с пограничными и внутренними слоями Текст. /В.Д. Лисейкин, В.Е. Петренко.- Новосибирск.- ВЦ СО АН СССР.- 258с.

44. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики Текст. /Г.И.Марчук.- М.: Наука, 1989.- 608с.

45. Миллер, Дж. Метод конечных элементов для двухточечных краевых задач с сингулярными возмущениями Текст. /Дж.Миллер, Е.Риордан // Числ. методы механ. сплошной среды.- Новосибирск: ИТПМ АН СССР.- 1983.-Т. 14, N2.- с. 142-154.

46. Митропольский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике Текст. /Ю.А.Митропольский, О.Б.Лыкова.- М.: Наука, 1973.-512с.

47. Мищенко, Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания Текст. /Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розов.- М.: Наука, 1975.- 247с.

48. Морозов, В.А. Об одном регуляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором Текст. /В.А.Морозов, В.И.Гордонова //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1973.- Т.13, N 3.- с. 539-545.

49. Морозов, В.А. Регулярные методы решения операторных уравнений Текст. /В.А.Морозов //Изв.вузов.Математика.- 1978.- Т.П.- с. 539545.

50. Морозов, В.А. О принципе невязки при решении несовместных уравнений методом регуляризации Тихонова Текст. /В.А.Морозов //Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1973.- Т.13, №5.- с. 10991111.

51. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений Текст. /А.А.Самарский, Е.Н.Николаев.- М.: Наука, 1978.- 590с.

52. Семенов, Н.Н. О некоторых проблемах химической кинетики реакционной способности Текст. /Н.Н.Семенов М.: Изд-во АН СССР, 1959.-418 с.

53. Соболев, В.А. Самовоспламенение запыленных сред Текст. /В.А.Соболев, Е.А.Щепакина // Физика горения и взрыва.- 1993.- №3.-с. 133-136.

54. Соболев, В.А. Траектории утки в одной задаче горения Текст. /В.А.Соболев, Е.А.Щепакина // Дифференциальные уравнения.-1996.- Т.32, №9.- с. 1175-1184.

55. Соболев, В.А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории утки Текст. /В.А.Соболев, Е.А.Щепакина // Известия РАЕН. МММИУ.- 1997.- Т.1,№3.- с. 151-175.

56. Стрыгин, В.В. Разделение движений методом интегральных многообразий Текст. /В.В.Стрыгин, В.А.Соболев.- М.: Наука, 1988. 256с.

57. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. /А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин.- М.: Наука, 1974.- 224с.

58. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач Текст. /А.Н.Тихонов, А.В.Гончарский, В.В.Степанов, А.ГЛгола.- М.: Наука, 1990.-230с.

59. Тодес, О.М. Теория теплового взрыва Текст. /О.М.Тодес, П.В.Мелентьев //Журнал физической химии. 1939.- т. 13, вып. 7. С. 52-58.

60. Уилкинсон, Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений Текст. /Дж.Х. Уилкинсон.- М.: Наука, 1970.- 564с.

61. Франк-Каменецкий, Д.А. Диффузия и теплоотдача в химической ки-нетике/Д.А.Франк-Каменецкий.- М.: Наука, 1967.- 492с.

62. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений/Д.Хенри,-М.: Мир, 1985. 376с.

63. Шишатский, С.П. Об одном методе приближенного решения некорректной задачи Коши для эволюционного уравнения Текст. /С.П.Шишатский.- Математические проблемы геофизики.- Вып.З.-Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972.- с. 216-228.

64. Шишкин, Г.И. Разностная схема для решения эллиптического уравнения с малым параметром в области с криволинейной границей Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.1978.-Т. 18, N 6.-е. 1466-1475.

65. Шишкин, Г.И. Разностная схема на неравномерной сетке для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.-1983.- Т. 23, N3.- с. 609-619.

66. Шишкин, Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим погранслоем Текст. /Г.И.Шишкин //Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1989. - Т. 29, N 7. - с. - 963978.

67. Шишкин, Г.И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых с угловым пограничным слоем Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1987.- Т. 27, N 9.- с. 13601374.

68. Шишкин, Г.И. Сеточная аппроксимация метода аддитивного выделения особенностей для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа Текст. /Г.И.Шишкин // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1994.- Т. 34, N 5. с. 720-738.

69. Шишкин, Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений Текст. /Г.И.Шишкин.-Екатеринбург, 1992.

70. Asher, U. A collocation solver for mixed order system of boundary value problems Text. /U.Asher, J.Christiansen ,R.Russel //Math. Comput.1979.- V.33.- No. 146.- p. 659-679.

71. Asher, U. Collocation for singular perturbation problems I: first order system with constant coefficient Text. /U.Asher, R.Weiss // SIAM, J. Numer. Anal.- June 1983.- V.20.- No.3.- p. 537-557.

72. Asher, U. Collocation for singular perturbation problems II: linear first order system without turning point Text. /U.Asher, R.Weiss // Math.Comput.- 1984.- V.43.-No.167.-p. 157-187.

73. Babushok, V.I. Critical Condition for the Thermal Explosion with Reactant Consumption Text. /V,I,Babushok, V,M,Goldstein, V.A.Sobolev // Combust. Sci. and Tech.- 1990.- Vol. 70.- p. 81-89.

74. Flaherty, J.E. Collocation methods for singularly perturbed boundary value problems Text. /J.E.Flaherty, W.Mathon.- Boundary and Inter. Lauers Comput. and Asympt. Meth. Proc. BAIL. I. Conf. Dublin.- 1980.- p. 7792.

75. Flaherty, J.E. Numerical methods for stiff systems of two-point boundary value problems Text. /J.E.Flaherty, R.E.O'Malley //SIAM J. Sci. Stat. Comput.- 5(1984).- p. 865-886.

76. Flaherty, J.E. High-order finite element methods for singular perturbed elliptic and parabolic problems Text. /J.E.Flaherty, M.Aiffa , S.Adjerid.-Rensselaer Polytechnic Institute- Troy.- New York.- 12180-3590.

77. Gartland, Jr. Uniform high-order difference schemes for a singularly perturbed two-point boundary value problem Text. /Jr.Gartland //Math. Comput.- 1987.-V.48.-p. 551-564.

78. Gartland, Jr. Graded mesh difference schemes for a model singularly perturbed boundary value problem Text. /Jr.Gartland //Math. Comput.-1988.- V.51.-p. 631-657.

79. Gartland, Jr. An analusis of a uniformly convergent finite-difference finite element scheme for a model singular perturbation boundary value problem Text. /Jr.Gartland //Math. Comput.- 1988.- V.51.- p. 111-123.

80. Gorelov, G.N. Duck-trajectories in a thermal explosion problem Text. /G.N.Gorelov, V.A.Sobolev // Appl. Math. Lett.- 1992- Vol.5, N6.- p. 3-6.

81. Gorelov, G.N. Mathematical modelling of critical phenomena in thermal explosion theory Text. /G.N.Gorelov, V.A.Sobolev //Combust. Flame.-1991.-Vol. 87.- p. 203-210.

82. Groen, P.P.N.de. A finite element with a large mesh-width for a stiff two-point boundary value problem Text. /P.P.N.de Groen// J. Comput. and Appl. Math. -1981.-V. 7.-N l.-p. 3-15.

83. Groen, P.P.N, de. Error bound for exponentially fitted problems Text. /P.P.N.de Groen, P.W Hemker// Numer. Analys. Singular perturbation Problems. New York. - Acad. Press. - 1979. p. 217-249.

84. Herceg, D. Numerical solution of some diskrete analogues of boundary value problem Text. /D.Herzeg //Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod. -Mat. Fak. Ser. Mat. 24.2 (1994).- p. 187-196.

85. Ringhover, C. On collocation schemes for quasilinear singularly perturbed boundary value problems Text. /C.Ringhover // SIAM J. Numer. Anal.-1984.- V.21.- No.5.- p. 864-882.

86. Shepakina, E.A. Black Swans and Canards in Applied Problems Text. /Е.A.Shepakina.- Preprint.- Ben Gurion University of the Negev.- Israel, 1998.

87. Shepakina, E.A. Standart Chase on Black Swans and Canards Text. /E.A.Shepakina,V.A.Sobolev.- Weierstrass-Institut fuer Angewandte Analusis and stochastik. Preprint No 426.- Berlin, 1998.

88. Schatz, A.H. On the finite element method for singularly two and one dimensions Text. /А.Н.Schatz,L.B.Wahlbin //Math. Comput.- 1983.- 40, No. 161.-p. 47-89.

89. Scymchak, W. Adaptivity and error estimates for the finite element method applied to convection-diffusion problems Text. /W.Scymchak, I.Babushka //SIAM. J. Numer Anal.- 1984.- V.21, N 5.- p. 910-954.

90. Stynes, M. A finite element method for a singularly perturbed boundary value problem Text. /M.Stynes, E.Riordan //Numer.Math.- 1986.- V.50.-p. 1-15.

91. Stynes, M. A uniformly accurace finite elements method for a singularly perturbed boundary value problem Text. /M.Stynes, E.Riordan //Math.Comput.- 1986.- V.47.-p. 555-570.

92. Stynes, M. i} and uniform convergence of a difference scheme for a semilinear singular perturbation problem Text. /M.Stynes, E.Riordan //Numer. Math.- 1987.- V.80.- No.5.- p. 519-531.

93. Stynes, M. Uniformly convergent difference schemes for singularly perturbed parabolic diffusion-convection problems without turning points Text. /M.Stynes, E.Riordan //Numer.Math.- 1989.- V.55.- p. 521-544.

94. Stynes, M. An analusis of a superconvergence result for a singularly perturbed boundary value problem Text. /М, Stynes, E.Riordan //Math. Com-put.- 1986.- V.46.- p. 81-92.

95. Sun, G. An almost fourth order uniformly convergent diference scheme for a semilinear singularly perturbed reaction-diffusion problem Text. /G.Sun, M.Stynes // Numer. Math. 1995. V. 70. p. 487-500.

96. Surla, K. On numerical solving singularly perturbed boundary value problems by spline in tension Text. /K.Surla // Univ. u Novom Sadu. Zb. Rad. Prir. Math. Fak. Ser. Math. -24. - 2(1994).- p. 175-186

97. Vulanovic, R. On numerical sution of seilinear singular perturbation prob-.i lems by using the Hermite scheme Text. /R. Vulanowic //Univ. u Novom

98. Sadu. Zb. Rad. Prir. Math. Fak. Ser. Math. -23. 2(1993) p. 363-379.

99. Китаева, E.B. Численное моделирование критических режимов реакций горения Текст. /Е.В.Китаева // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2001.- Т. 8, Вып.1.- С. 211.

100. Китаева, Е.В. Ограниченные на всей оси решения дискретных сингулярно возмущенных уравнений и систем Текст. /Е.В.Китаева //Вестник Самарского государственного университета.- 2003.- № 2(28).- с. 36-56.

101. Китаева, Е.В. Ограниченные на всей оси решения дискретных сингулярно возмущенных параболических уравнений и численное моделирование критических режимов горения Текст. /Е.В.Китаева,

102. В.А.Соболев.- Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II.- Новосибирск.- Изд-во ИВМ и МГ СО РАН.-2004, с. 511-517.

103. Китаева, Е.В. Эволюционные задачи и численные моделирование критических режимов реакций горения Текст. /Е.В .Китаева //Международный семинар "Нелинейное моделирование и управле-ние".Тезисы докладов. 22-25 июня 2004 г.- Самара, 2004.- с. 30-31.

104. Kitaeva, E.V. Numerical modelling of the critical conditions of thermal explosion in the case of a first order reaction Text. /E.V.Kitaeva //Progress in Combustions and Detonation"/ Moscow: TORUS PRESS Ltd., 2004.- p. 7-8.

105. Китаева, Е.В. Численное отыскание ограниченных на всей оси решений дискретных сингулярно возмущенных уравнений и критических режимов горения Текст. /Е.В.Китаева, В.А.Соболев //Журн. вы-числ.матем. и матем. физики.- 2005.- Т. 45, №1.- с. 56-87.