Редукция задач управления и оценивания для сингулярно возмущенных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Осинцев, Михаил Сергеевич

• Осинцев, Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Осинцев, Михаил Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Метод редукции

1.1 Интегральные многообразия медленных движений и критические случаи

1.2 Асимптотическое разложение медленных интегральных многообразий

1.3 Задача оценивания для уравнения Ланжевена

1.3.1 Случай 1

1.3.2 Случай 2

1.3.3 Случай 3

2 Редукция задач оптимального управления и оценивания

2.1 Теорема существования

2.1.1 Основные предположения

2.1.2 Вспомогательные неравенства

2.1.3 Оценка разности решений

2.1.4 Теорема существования

2.2 Устойчивость интегрального многообразия

2.2.1 Вспомогательная система интегральных уравнений

2.2.2 Поведение решений вблизи интегрального многообразия

2.3 Асимптотическое разложение интегрального многообразия

2.3.1 Алгоритм построения интегрального многообразия

2.3.2 Оценка остаточного члена

2.4 Применимость метода теории интегральных многообразия для исследования задач оптимального оценивания

2.4.1 Приведение системы к специальному виду

2.4.2 Существование интегрального многообразия

2.4.3 Устойчивость интегрального многообразия

2.5 Применимость метода теории интегральных многообразия для исследования задач оптимального управления

2.5.1 Приведение системы к специальному виду

2.5.2 Существование интегрального многообразия

2.5.3 Устойчивость интегрального многообразия

2.5.4 Малый параметр в функционале качества

3 Модели гибких однозвенных манипуляторов

3.1 Однозвенный манипулятор с гибким звеном

3.1.1 Математическая модель

3.1.2 Задача оптимального оценивания

3.1.3 Задача оптимального управления

3.2 Однозвенный манипулятор с гибким сочленением

3.2.1 Математическая модель

3.2.2 Задача оптимального оценивания

3.2.3 Задача оптимального управления

3.3 Пример нестационарной системы

3.3.1 Математическая модель простейшего кривошипно-шатунного механизма

3.3.2 Задача оптимального управления

4 Заключение 107 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Редукция задач управления и оценивания для сингулярно возмущенных систем»

Введение

Актуальность работы. Одной из важнейших задач математического моделирования является построение новых простых математических моделей или упрощение существующих. Современный уровень развития вычислительных систем позволяет решать многие прикладные задачи с высокой точностью за достаточно малый промежуток времени. Однако, несмотря на огромное количество разработанных методов оптимизации вычислений, а также быстрое развитие вычислительной техники, во многих случаях скорость проведения необходимых расчетов остается недостаточной. Причиной тому могут служить ограничения, накладываемые на вычислительную систему по различным параметрам: весу, размерам, стоимости. Наличие этих ограничений связано с областью применения вычислительных систем. В авиационной и космической технике применение крупногабаритных компьютеров для проведения сложных вычислений является неприемлемым. При этом следует понимать, что объемы необходимых вычислений в основном зависят от вычислительной сложности используемого алгоритма для решений той или иной задачи, а также от размерности математической модели, которая описывает объект. На практике, достаточно точная математическая модель может состоять из десятков и даже сотен параметров, описывающих состояние объекта. Оперирование с такими моделями и решение практических задач на бортовом компьютере мобильных устройств невозможно, поэтому задача разработки быстрых вычислительных алгоритмов остается весьма актуальной.

Известно, что широкий круг процессов различной природы характеризуется существенным различием скоростей изменения переменных, поэтому в качестве динамических моделей таких процессов используются дифференци-

альные системы с сингулярными возмущениями:

<1х .. л

— = /(¿,я,2/,е),

% „ л (01)

где х е Ят и у € Яп - векторные переменные, £ - переменная времени, а е - малый положительный параметр. Первое уравнение в (0.1) назывется медленной подсистемой, а второе уравнение - быстрой подсистемой системы (0.1). При этом функции / и д определены и непрерывны по совокупности переменных при всех х 6 Ят и у € И С Яп (I) является некоторой подобластью Яп).

Исследования в различных областях науки привело к развитию теории сингулярно возмущенных дифференциальных систем [2, 6, 11, 25, 48, 70, 90, 106]. Дальнейшее развитие теория получила в монографиях [7, 8, 9, 12, 29, 31, 32, 33, 34, 58, 59, 60, 69, 79, 86, 87, 88, 105]. Метод сплайнов использовался для численного решения сингулярно возмущенных систем в работе [3].

Общая теория сингулярно возмущенных систем получила развитие в работах и обзорах [4, 10, 19, 28, 56, 57, 64, 73, 74, 77, 78, 81, 82, 89, 92, 93, 97], а также [15, 21, 23, 55, 61, 62, 63, 67, 68, 71, 72, 75, 76, 80, 83, 84, 85, 94, 96, 99, 103, 104]. Другие классы систем с быстрыми и медленными переменными рассматривались в работе [51].

Используя теорему А.Н. Тихонова о предельном переходе [47, 48], возможно свести анализ исходной модели к исследованию решений вырожденной системы:

(1х

— = /(г:х,у, о),

о = д{г,х,у, 0).

При этом уравнением 0 = д(х, г/, £, 0) задается некоторая поверхность, называемая «медленной». В некоторых случаях такой подход приводит к упрощению рассматривамой задачи, однако в большинстве случаев это упрощение приводит к значительным погрешностям. Необходимо отметить, что такое приближение справедливо только для конечного промежутка времени.

В данной работе рассматривается подход, основанный на разделении быстрых и медленных движений системы. В этом случае система может быть приведена к виду, когда медленная подсистема не содержит быстрых переменных. После этого строится уравнение, описывающее медленные движения системы с высокой точностью, а быстрые уравнения определяются из соотношения вида у = х, е).

Такой подход применяется для исследования задач оптимального управления и оценивания сингулярно возмущенных систем. Исследованию задач управления с сингулярными возмущениями посвящено значительное число публикаций (см. обзоры [10, 20, 80, 81]). При этом в большинстве работ (см., например, [10, 20, 80, 81, 92]) применяется метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Наряду с методом пограничных функций для исследования таких задач успешно применяются метод усреднения [34, 53], методы декомпозиции [30, 49, 52, 100] и метод интегральных многообразий [13, 14, 22, 42, 45, 65, 76, 98]. Особое место в проблематике динимики и управления систем с сингулярными возмущениями занимают системы со слабой диссипацией, характерной особенностью которых является наличие слабо затухающих высокочастотных колебаний. Наиболее типичными представителями этого класса систем являются гироскопические системы и манипуляци-онные роботы с упругими звеньями или гибкими сочленениями. Метод пограничных функций в такой ситуации неприменим, а метод усреднения не позволяет учесть слабое затухание колебаний. Наиболее подходящим аппаратом исследования задач динамики и устойчивости для этого класса систем оказался метод интегральных многообразий [13, 46, 98]. Особенная ситуация возникает при рассмотрении задач оптимального управления и оценивания для таких систем, когда размерность интегрального многообразия медленных движений оказывается выше его размерности для систем с пограничным слоем. Это влечет за собой необходимость преобразования сингулярно возмущенной дифференциальной системы с целью выделения медленных и быстрых переменных в матричных дифференциальных уравнениях Риккати для дальнейшего анализа на основе метода интегральных многообразий, как это делалось в [17, 43, 98, 101] применительно к гироскопическим системам.

В данной работе такой подход развивается для анализа моделей манипуля-ционных роботов.

Целью работы является разработка математического аппарата редукции динамических моделей с сингулярными возмущениями и применение этого аппарата для понижения размерности задач оптимального управления и оценивания для моделей манипуляционных роботов.

Для достижения данной цели в работе решаются следующий задачи:

1. Получить достаточные условия существования интегральных многообразий медленных движений для сингулярно возмущенных дифференциальных систем в критических случаях.

2. Для обоснования возможности редукции динамических моделей с сингулярными возмущениями исследовать устойчивость интегральных многообразий медленных движений.

3. Изучить возможности приближенного построения в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра интегральных многообразий медленных движений для рассматриваемого класса систем.

4. Исследовать задачи оптимального управления и оценивания для некоторых классов динамических моделей с сингулярными возмущениями.

5. Исследовать возможность применения метода редукции для понижения размерности математических моделей манипуляционных роботов и задач управления для некоторых классов таких устройств.

6. Разработать комплекс программ для численного моделирования движений таких моделей под действием управляющий и внешних случайных воздействий и проведения численных экспериментов.

Методы исследования. В работе использованы методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы теории интегральных многообразий, а также методы численного моделирования решений линейных стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены условия существования интегрального многообразия для нового класса дифференциальных систем с сингулярными возмущениями, которые возникают при решении задач оптимального управления и оценивания для систем с быстрыми и медленными пере-

менными. Показано, что для таких систем возможно получить устойчивые интегральные многообразия медленных движений, при этом такие многообразия могут быть представлены в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.

Решены задачи оптимального управления и оценивания для гибкого однозвенного манипулятора и манипулятора с гибким сочленением. Для этих систем построены фильтры Калмана-Бьюси и оптимальные линейно-квадратичные регуляторы меньшей размерности на основе метода теории интегральных многообразий. Проведено численное моделирование движений манипуляторов под действием управляющих воздействий и внешних случайных возмущений. Показано, что при использовании метода теории интегральных многообразий размерность задач понижается, при этом точность работы фильтров и оптимальных регуляторов оказывается сравнимой с точностью исходных решений задач фильтрации и управления.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе утверждения о существовании и устойчивости медленных интегральных многообразий могут быть использованы для редукции широкого круга динамических моделей. При помощи полученных результатов возможно построение фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов меньшей размерности, обеспечивающих решение задач управления и оценивания для сингулярно возмущенных систем с необходимой точностью при значительно меньших затратах вычислительных ресурсов.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Метод редукции для динамических моделей с сингулярными возмущениями. Получение достаточных условий существования медленного интегрального многообразия и его устойчивости, и конструктивный метод приближенного построения в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра.

2. Редукция задач оптимального управления и оценивания для некоторых классов динамических моделей с сингулярными возмущениями в случае слабой диссипации энергии.

3. Редукция задач оптимального оценивания и управления для моделей

гибкого однозвенного манипулятора и манипулятора с гибким сочленением.

4. Разработка комплекса программ для численного моделирования движений манипуляторов и сравнения работы фильтров Калмана-Бьюси и оптимальных линейно-квадратичных регуляторов для исходных и редуцированных систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на тринадцатой и четырнадцатой международных конференциях «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2011, 2012), на Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), на Региональной научно-практической конференции, посвященной 50-летию первого полёта человека в космос (Самара, 2011), на Международной молодежной конференции «Королевские чтения» (Самара, 2011) на X Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление» (Казань, 2012), на Девятом симпозиуме «IFAC Symposium Advances in Control Education» (Нижний Новгород, 2012), на Третьей Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2012), на Международном научно-техническом форуме, посвященном 100-летию ОАО «Кузнецов» и 70-летию СГАУ «КОСМОС - 2012» (Самара, 2012), на Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Г.И. Бы-ковцева «Актуальные проблемы математики и механики» (Самара, 2013), на XVI Международной конференции «Dynamical System Modeling And Stability Investigation» (Киев, 2013), на Одинадцатой Международной конференции «llth International Conference on Vibration Problems» (Лиссабон, 2013), на Всероссийской школе-конференции молодых ученых «Управление большими системами» (Уфа, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [35, 36, 37, 38, 43], опубликованых в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

трех глав, разбитых на пункты, 15 рисунков и списка литературы, содержащего 106 наименований. Объем диссертации составляет 120 страниц текста.

Глава 1

Метод редукции

1.1 Интегральные многообразия медленных движений и критические случаи

Введем основные определения и выделим критические случаи, возникающие при рассмотрении задач, связанных с сингулярно возмущенными системами.

Определение 1.1. Поверхность S называется интегральным многообразием системы (0.1), если для любой точки {to,xo,yo) € S, траектория (t,x(t,£),y(t,e)) такая, что x(to,e) = xq, y(to,e) = уо, принадлежит S для всех t б М.

Далее мы будем рассматривать такие многообразия, которые могут быть представлены в виде

у = h(t,x,e), и для которых выполняется условие

lim h(t, х, е) = ho(t, х),

£—>0

где ho(t,x) — решение вырожденного уравнения 0 = g(t, х, у, 0), то есть ho(t, х) является функцией, задающей медленную поверхность.

Медленные интегральные многообразия можно понимать как однопара-метрическое семейство поверхностей, расположенных в е—окрестности медленной поверхности у — h$(t, х). Параметром этого семейства является е.

Движение по интегральному многообразию описывается уравнением

х — f(t, х: h(t: х, е), е). (1.1)

Далее будем рассматривать притягивающие интегральные многообразия. Пусть (to, Xq, уо) — начальная точка, не лежащая на интегральном многообразии у = h(t, х, е), то есть уо ф /i(to, хо, е).

Определение 1.2. Интегральное многообразие

у = h(t,X,E)

системы (0.1) называется притягивающим, если существует такое р > О, что при выполнении условия

||уо - h(t0,x0,£)\\ < р,

решение {x{t,£),y{t,e)) системы (0.1) с начальными условиями x(to,e) = х0, y(to,e) — уо имеет представление

х (t,e) = Cfr^O + Vifoe), y(t,e) = h(t,(;(t,£),e) + ip2(t,£),

zde£(t,£) — некоторое решение уравнения (1.1), а функцииipi(t,e) uip2(t,£) удовлетворяют условию

lim ip\(t,e) = lim ip2{t,e)—Q.

£—>•+00 i—>+00

Через Ii обозначим интервал Ii :— {e € R : 0 < £ < е*}, где 0 < £{ 1, ^ = 0,1, —

Сделаем следующие предположения:

(Ai). Функции / : Rm x Rn x R x 7J Дт, g : Rm x i?n x R x ij Rn непрерывны и равномерно ограничены вместе с достаточным количеством частных производных по всем переменным.

(Аг). Существует область G Е Rm и достаточно гладкая функция h : G х R-> Rm такая, что g

g(t:x,h{x,t), 0) = 0, V{x,t)eGxR.

(Аз). Собственные числа матрицы Якоби

В(Ь,х) = ду{Ь,х, /1о(ж^),0)

равномерно отделены от мнимой оси при всех (я, £) 6 С х Л.

Имеет место следующий результат (см., например, [46]):

Утверждение 1. Если выполнены предположения (Ах)-(Аз), то существует такое достаточно малое положительное число £1, £\ < £о,что для е 6 1\, система (0.1) имеет гладкое медленное интегральное многообразие Л4£ следующего вида:

М£ {(ж, у, г) е Яп+т+1 : у = ф(х, е), (х^)€(?х4 *

Рассмотрим присоединенное уравнение

йу . . .

~ = д(г,х,у, 0), т = 1/£

в котором х и 4 рассматриваются как параметры. Будем предполагать, что некоторые из положений равновесия у0 = у°(х, ¿) этого уравнения асимптотически устойчивы и что траектории присоединенного уравнения, начинающиеся в области влияния такого положения равновесия, неограниченно приближаются к нему при t со. Это условие выполнено, если матрица £?(£, х) устойчива для некоторых положений равновесия, т. е. условие (Аз) заменено более сильным: собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части.

Случаи, когда предположение (Аз) нарушается, называются критическими [9]. Выделим следующие ситуации:

1. Матрица В(Ь,х) вырождается на некотором подпространстве Я™ х Яп х Я. В этом случае система (0.1) называется сингулярной сингулярно возмущенной [66]. Такие системы рассматривались в работах [9, 26, 41, 44, 66, 91]. В этой ситуации можно ввести новые переменные таким образом, чтобы преобразованная дифференциальная система имела быструю подсистему меньшей размерности, что означает повышение размерности медленного интегрального многообразия для исходной системы.

2. Матрица х) имеет не обращающиеся в нуль собственные числа на мнимой оси. Такая ситуация исследовалась в работах [46, 91]. Если при учете возмущений чисто мнимые собственные числа сдвигаются в левую комплексную полуплоскость, тогда рассматриваемая дифференциальная система может иметь притягивающее медленное интегральное многообразие. К этому случаю относятся многие задачи механики гироскопов и манипуляционных роботов с высокочастотными и слабозатухающими переходными процессами.

Другие случаи нарушения условия (Аз) рассматривались в работах [5, 24, 91]. В задачах, которые рассмотрены в диссертации, условие (Аз) не выполняется, более того, эти задачи являются «вдвойне критическими». Во-первых, возникает необходимость исследования сингулярной сингулярно возмущенной системы. Во-вторых, В(1,х) имеет собственные числа на мнимой оси. Тем не менее, оказалось возможным применить метод интегральных многообразий и в такой ситуации.

1.2 Асимптотическое разложение медленных интегральных многообразий

В процессе отыскания интегрального многообразия и функции е), ко-

торая его описывает, центральным становится вопрос приближенного вычисления этой функции, так как точное выражение для функции /г(£, х, е) в практических задачах найти, как правило, не удается. Для приближенного вычисления интегральных многообразий удобно использовать тот факт, что функция /&(£, х,е) допускает асимптотическое разложение по степеням малого параметра

Н(г,х,£) = ко(Ь,х) + ек1{г,х) + ... + ж) + .... (1.2)

Подставив /г(а;,£, е) во второе уравнение системы (0.1) вместо у и продифференцировав это уравнение, получим

еЩг£>£) + еЩ^-т е\е) = х, Л(*. х, е),е). (1.3)

Подставив в (1.3) разложение (1.2), получим

+ (1.4)

fc>0 fc>0 \ fc>0 / V А;>0 J

Отсюда коэффициенты разложения (1.2) можно найти, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. Для этого функции, входящие в тождество (1.4), разложим в формальные ряды по степеням малого параметра

=Xy/(fc)(i,:r,/i о,-, Л*), (1-5)

V fc>0 / fc>0

д I t, х, £khb £ I = 9{t, x, ho, 0) + B(t, x) £khk+

\ k> о J fc>l

+ (1.6)

Jfc>l

Используя разложения (1.5) и (1.6) преобразуем (1.4) к виду

dt дх

к> 0 к>0 fc>0

(1.7)

= g{t, х, ho, 0) + B(t, x) ]Г ekhk + ]Г ek9(k)(t, x, ho,..., hk.i).

fc>i fc>i

Важно заметить, что при £ = 0 получим равенство

g(t,x,ho, 0) = 0,

которое выполняется в силу того, что функция ho{t, х) является решением вырожденного уравнения g(t, х, у, 0) = 0. Для вычисления h\{t,x) необходимо приравнять коэффициенты при в в тождестве (1.7)

где /(0) = fit, х, h0(t, х),0), gM — ge(t, х, h0(t, х),0). Отсюда получим

Далее, приравнивая коэффициенты при е2, получим выражение для вычисления /12 и так далее. Формула для коэффициента при ек имеет вид [46]:

/г, = -В-%х) Ь» - ^ - • (1-8)

V р=0 х /

Таким образом, возможно вычисление всех необходимых коэффициентов разложения /го(£,ж), х),..., х), входящих в разложени интегрального многообразия медленных движений (1.2).

1.3 Задача оценивания для уравнения Ланже-вена

Далее рассмотрим простые примеры, иллюстрирующие поведение решений сингулярно возмущенных систем в различных случаях. Рассмотрим уравнение Ланжевена, описывающее броуновское движение частицы в жидкости [95]:

тх(1) + /х(г) + кх{г) = у/2КТ/1Ь(г),

где х^) - положение частицы по одной из осей. Частица подвержена действию трех сил: от взаимодействия с другими частицами, которое представлено белым шумом у/2КТ}'и)(1), силе трения /х и внешней силе, пропорциональной смещению кх. Коэффциенты га, /, К, Т представляют собой массу частицы, коэффициент трения, константу Больцмана и абсолютную температуру, соответственно, а ги(£) - случайный процесс типа белого гауссовского шума с коэффициентом корелляции д.

Следуя [75], рассмотрим уравнение Ланжевена, приведенное к безразмерной форме

е2х(г) + а{е)х(г) + р(е)х{Ь) = 7(е)/ш»(*), (1.9)

где х(£) - положение частицы по одной из осей, е - малый положительный параметр.

Исходя из предположений об условиях, в которых протекает движение системы, а так же о параметрах самой системы, можно выделить три прин-

ципиально разные ситуации, возникающие при решении задачи оптимального оценивания, которые различаются видом параметров а(е), /3(е), 7(5) в (1.9).

1.3.1 Случай 1

В работе [75] уравнение (1.9) рассматривается в предположении о том, что параметры а(е), /3(е) и ^(е) порядка единицы. Тогда уравнение приводится к виду:

е2х + х -I- х — кхи, (1-Ю)

где е - малый положительный парамер. Это уравнение эквивалентно системе сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений:

= (1.11)

£2±2 — ~Х\ — Х2 + к1П.

Для этой системы рассмотрим задачу оптимальной фильтрации. В соответствии с работами Р. Калмана, выражение для получения оценки х положения системы х имеет вид:

^ = [Л - Р(1)Ст1Г1С}х + Р{Ь)С?ВГ1г{г),

(ЛЬ

где P(t) - решение матричного дифференциального уравнения Риккати

Р = АР + РАТ - PCTR~~lCP + BQBT,

(1.12)

Р(0) = Р0.

В данном случае соответствующие матрицы имеют вид:

А- ° 1 I - I °

-1/£2 ~1/£2 J ' В ~ { h¡£2

У c=(l 0),

ф = (<?), Д = (г).

Особый интерес при решении задачи оптимальной фильтрации вызывает матричное дифференциальное уравнение Риккати (1.12). Обозначим элементы матрицы Р следующим образом:

Р = ( Р1 Р2 Р2 РЗ

и запишем дифференциальные уравнения для каждого элемента этой матрицы:

Ро = 2^1 -

г

е2Р1 - £2Р2 -Р0-Р1- £2-РОРЪ (1.13)

г

£2р2 = -2р! - 2р2 - £2-р\ + /г2д.

г

Уравнения для р2 в этой системе являются сингулярно возмущенными. Это означает, что в системе (1.13) присутствуют быстрые и медленные переменные. В данном случае ро является медленной переменной, изменение которой происходит со скоростью порядка 0(1), а р1У р2 - быстрые, меняющиеся со скоростью порядка 1/е2. Наличие в системе быстрых переменных означает, что в процессе фильтрации возникнет необходимость снимать выходной сигнал системы с высокой частотой, чтобы при численном решении системы уравнений Риккати разностным методом частота разбиения интервалов времени была больше, чем скорость изменения быстрых переменных. Таким образом, для реализации фильтра Калмана-Бьюси потребуются значительные вычислительные мощности для организации численного решения системы уравнений Риккати с высокой частотой. Именно поэтому вопрос понижения размерности задачи оптимального оценивания и, в частности, понижение размерности системы дифференциальных уравнений Риккати для ковариационной матрицы фильтра, является весьма актуальным.

Рассмотрим решение для матричного уравнения Риккати (1.12) и выделим из него решение на интегральном многообразии медленных движений. Как и в скалярном случае, матричное уравнение Риккати может быть приведено к линейному, если известно одно частное решение этого уравнения Р = Р\. Тогда для матрицы II, введенной по формуле Р — II~1 + Р\ имеем линейное уравнение

II = иВ + Бти - СВГ1С,

где О = А—Р\СВГ1С. Обозначим через II\ частное решение этого уравнения, а в качестве возьмем фундаментальную матрицу однородного уравнения х = Их. В работе [42] показано, что в случае постоянных матриц А, В, С, Я. решение матричного уравнения Риккати для функции Р(£) может быть

легко найдено в виде

P(t) - №)[{Ро ~ PiГ1 ~ V + Pi-

При этом, в качестве частного решения Pi следует взять неотрицательно определенное решение уравнения Лурье:

АТР1 + PiA - P^R^CPi + BQBT = 0. (1.14)

Частное решение U\ для линейного уравнения может быть найдено из уравнения

UiDT + DUi = CR~lC, (1.15)

a F{t) - фундаментальная матрица решений уравнениях = —Dx.

Согласно (1.14), система (1.13) уравнений Риккати имеет частное решение

р _( гР/е2 гр2/2еА

1 \гр2/2е4 (е2гр + гр2 + гр3)/2е6

где

Будем считать, что начальное положение системы известно точно, то есть начальное значение ковариационной матрицы ошибки фильтра нулевое (Ро — 0). Выражение для матрицы И в нашем случае имеет вид

!>=(

\-(р2 + 2Е2)/2е4 -\/е2

Решение этого уравнение будем искать в виде суммы общего решения £/о(£) соответствующего однородного уравнения и частного решения С/1 неоднородного уравнения. Найдем общее решение однородного уравнения

и = ийт + юи

в виде

U0(t) = F(i)CiF(i)r,

где - матричная экспонента от — Ит, а С\ = (Ро — Р\) 1 — 11\. Для построения матричной экспоненты найдем собственные числа матрицы — которые имеют вид:

1+р + а _1+р—а Л ~ ' 11 ~ 2£2 '

где а = л/1 — 4е2 — 2р — р2. Необходимо отметить, что величина Л порядка 1/е2, а величина р, порядка единицы. Вычислив собственные векторы матрицы —Z>T, получим выражение для F{t):

F(t) = = { + в(е* " ^^^ \ (117)

\ (е'" - е'% + е"1^ )'

Ее определитель равен = Далее найдем частное решение U\ из

уравнения (1.15). Обозначив элементы этой матрицы как

и1=(щ щ

\ и2 Щ

получим выражения для ее элементов

е2(р2 + 2р + 2е2 + 2)

Щ =

2г{р + 1)(р2 + 2р + 2е2У

_4

U2 --г(р+1)(р2 + 2р + 2е2У (1Л8)

е6

из =

г(р + 1)(р2 + 2р + 2е2) Аналогично обозначим элементы матрицы С\ как

V С2 Сз

и запишем выражения для ее элементов:

-2( л

2е(р + р + 2е2) Cl rp{p2 + 2р + 4е2) Ul' 2еА

°2 = —7~Ъ-о-тт: ~ С1-19)

г{р2 + 2р + 4е2) _____

сз_ гр{р2 + 2р + 4е2)

Далее, для получения решения, необходимо вычислить обратную матрицу F(t)C\F{t)T + U\. Эта матрица имеет размер 2x2, для которой обратная вычисляется рокировкой элементов на главной диагонали, смене знака элементов на побочной, а также деления всех элементов на определитель матрицы. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то \F(t)CiF(t)T\ = e2(A+/i^(ciC3 — сИсходя из выражения (1.17) для матрицы F(t) ясно, что элементы матрицы F{t)C\F{t)T, обозначенные как

F{t)CxF(t)T + fi = ( £ ^У

имеют следующий вид fa = a^e2Ai + 6je2/ii + die^,l+x>t -Ь щ, где а\ — аз, Ь\ — 63, di—d?, - коэффициенты, которые могут быть выражены через е. В этом случае искомый определитель имеет вид

\F{t)CiF(t)T + Щ = e2(A+^4cic3 - с2) + щщ - и2+ +u3{a1e2Xt+ble2^t + d^^) + wi(a3e2Ai + 63e2/ii + d3e(/i+A)i)- (1-20) - 2и2(а2еш + he2* + d2e^1).

При вычислении обратной матрицы (F{t)CiF(t)T -f Ui)~l из каждого элемента в матрице F{t)C\F{t)T + U\, а также из определителя (1.20) вынесем

?Xt

множители е и сократим их.

Таким образом, элементы обратной матрицы, а также определитель будут содержать слагаемые с множителями e~xt и e~2Xt. Так как собственное число Л порядка 1/е2, то эти слагаемые суть быстро затухающие экспоненты. Они представляют собой быструю составляющую в решении системы Риккати. Для получения решения исходной системы на интегральном многообразии медленных движений, отбросим все слагаемые из элементов матрицы, которые содержат быстро затухающие экспоненты. Получим решение исходной системы в виде:

\-02 «1 J

где

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Осинцев, Михаил Сергеевич, 2014 год

Литература

[1] Александров, П. С. Введение в теорию размерности / П. С. Александров, Б. А. Пасынков. — М. : Наука, 1973. — 576 с.

[2] Аносов, Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных / Д. В. Аносов // Матем. сб. - 1960. - Т. 50. - № 3. - С. 299-334.

[3] Блатов, И. А. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем / И. А. Блатов, В. В. Стрыгин. — Воронеж : ВГУ. - 1997. - 406 с.

[4] Бутузов, В. Ф. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов // Автомат, и телемех.

- 1997. - № 7. - С. 4-32.

[5] Бутузов, В. Ф. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости / В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, К. Р. Шнайдер // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. — 2002. — Т. 109. — Тематические обзоры. Дифференциальные уравнения. Сингулярные возмущения. — С. 5-42.

[6] Васильева, А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной / А. Б. Васильева // Успехи матем. наук.

- 1963. - Т. 18, № 3. - С. 15-86.

[7] Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных воз-

мущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М. : Высшая школа, 1990.

- 208 с.

[8] Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Наука, 1973. - 272 с.

[9] Васильева, А. Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: Изд-во МГУ, 1978. — 262 с.

[10] Васильева, А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. - 1982. — Т. 20. - С. 3-78.

[11] Вишик, М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // УМН. - 1957. - Т. 12, № 5 (77). - С. 3-122.

[12] Волосов, В. М. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем / В. М. Волосов, Б. И. Моргунов. — М. : Изд-во МГУ, 1971. — 508 с.

[13] Воропаева, Н. В. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев. — М.: Физматлит, 2009.

- 255 с.

[14] Воропаева, Н. В. Декомпозиция линейно-квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными / Н. В. Воропаева, В. А. Соболев // Автомат, и телемех. — 2006. — № 8. — С. 3-11.

Voropaeva N. V., Sobolev V. A. Decomposition of a linear-quadratic optimal control problem with fast and slow variables // Autom. Remote Control. — 2006. V. 67. Ж 8. - P. 1185-1193.

[15] Гайцгори, В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями / В. Г. Гайцгори. — М. : Наука, 1991. — 224 с.

[16] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Физматлит, 2004. - 560 с.

[17] Горелова, Е. Я. Оптимальное оценивание в гироскопических системах / Е. Я. Горелова, В. А. Соболев // Теория вероятностей и ее приложения. - 1992. - Т. 37, № 4. - С. 804-806.

[18] Горелова, Е. Я. Устойчивость сингулярно возмущенных стохастических систем / Е. Я. Горелова // Автомат, и телемех. — 1997. — № 7 — С. 112-121.

Gorelova Е. Ya. Stability of Singularly Perturbed Stochastic Systems // Autom. Remote Control. - 1997. V. 58. Ж 7. - P. 1157-1164.

[19] Дмитриев, M. Г. Прямая схема построения асимптотики решения классических задач оптимального управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина; ред. А. К. Айламазяна. // Программные системы. Теоретические основы и приложения. — 1999. — С. 44-55.

[20] Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автомат, и телемех. — 2006. — № 1. — С. 3-51.

Dmitriev M. G., Kurina G. A. Singular perturbations in control problems // Autom. Remote Control. - 2006. V. 67. Ж 1. - P. 1-43.

[21] Дончев, A. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности // А. Дончев. — М. : Мир, 1987. — 156 с.

[22] Жарикова, Е. Н. Оптимальные периодические системы управления с сингулярными возмущениями / Е. Н. Жарикова, В. А. Соболев // Автомат. и телемех. — 1997. — № 7. — С. 151-168.

Zharikova E. N., Sobolev V. A. Optimal Periodic Control Systems Subject to Singular Perturbations // Autom. Remote Control. — 1997. V. 58. №. 7.

- P. 1188-1202.

[23] Калинин, А. И. Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем / А. И. Калинин. — Минск : Экоперспектива, 2000.

- 183 с.

[24] Китаева, Е. В. Численное отыскание ограниченных на всей оси решений дискретных сингулярно возмущенных уравнений и критических режимов горения / Е. В. Китаева, В. А. Соболев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2005. — Т. 45, № 1. — С. 56-87.

[25] Климушев, А. И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных / А. И. Климушев, H. Н. Красовский // Прикл. матем. и мех. — 1961. - Т. 25, № 4. - С. 680-694.

[26] Кононенко, JÏ. И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий / JI. И. Кононенко, В. А. Соболев // Сиб. матем. журн. - 1994. - Т. 35, № 6. - С. 1264-1278.

[27] Кузнецов, Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов / Д. Ф. Кузнецов. — СПб. : Наука, 1999. - 463 с.

[28] Курина, Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г. А. Курина // Изв. РАН. Техн. кибернетика. - 1992. - № 4. - С. 20-48.

[29] Ломов, С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / С. А. Ломов. - М. : Наука, 1981. - 400 с.

[30] Матюхин, В. И. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики привода / В. И. Матюхин, Е. С. Пятницкий // Автомат, и телемех. — 1989. — № 9. — С. 67-81.

Matiukhin V.I., Pyatnitskii E.S. Controlling the motion of the robot manipulators by decomposition taking into account the actuator dynamics. Autom. Remote Control. 1989. V. 50. No. 9. P. 1201-1212.

[31] Мищенко, E. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов. — М. : Наука, 1975. - 250 с.

[32] Мищенко, Е. Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е. Ф. Мищенко и др. — М. : Физматлит, 1995. — 336 с.

[33] Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. - М. : Наука, 1969. - 380 с.

[34] Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев. — М. : Наука, 1981. — 488 с.

[35] Осинцев, М. С. Редукция задач оптимального управления гибкими ма-нипуляционными системами / М. С. Осинцев //В мире научных открытий. - 2013. - № 10 (46). - С. 203-217.

[36] Осинцев, М. С. Понижение размерности задач оптимального оценивания для динамических систем с сингулярными возмущениями / М. С. Осинцев, В. А. Соболев // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Т. 54, № 1. — С. 50-64.

Osintsev, М. S. Reduction of Dimension of Optimal Estimation Problems for Dynamical Systems with Singular Perturbations / M. S. Osintsev, V. A. Sobolev // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2014. - Vol. 54, No. 1. - PP. 45-58.

[37] Осинцев, M. С. Понижение размерности задач оптимального оценивания и управления для систем твердых тел с малой диссипацией / М. С. Осинцев, В. А. Соболев // Автомат, и телемех. — 2013. — № 8. — С. 121-137.

Osintsev, M. Dimensionality reduction in optimal control and estimation problems for systems of solid bodies with low dissipation / M. Osintsev, V. Sobolev // Automation and Remote Control. — 2013. — V. 74, Issue 8. — PR 1334-1347.

[38] Осинцев, M. С. Понижение размерности задачи оптимального оценивания для уравнения Ланжевена / М. С. Осинцев // Вестник Самарского Государственного Университета (естественнонаучная серия). — 2012. — № 2(93). - С. 40-53.

[39] Пановко, Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Пановко Я. Г. — 4-е изд., перераб. и доп. — Л. : Политехника, 1990. — 271 с.

[40] Перов, А. И. Обобщённый принцип сжимающих отображений / А. И. Перов // Вестник ВГУ. - 2005. - № 1. - С. 196-207.

[41] Соболев, В.А. Геометрия сингулярных возмущений в вырожденных случаях / В. А. Соболев // Математическое моделирование. — 2001. — Т. 13, № 12. - С. 75-94.

[42] Соболев, В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления / В. А. Соболев // Автоматика и телемеханика. - 1991. - С. 53-64.

Sobolev V.A. Singular Perturbations in Linearly Quadratic Optimal Control Problems // Autom. Remote Control. 1991. V. 52. No. 2. P. 180-189.

[43] Соболев, В. А. Редукция задач динамики, управления и оценивания для систем твердых тел с малой диссипацией / В. А. Соболев, М. С. Осинцев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - Ш (часть 5). - С. 2499-2501.

[44] Соболев, В. А. Редукция моделей и критические явления в макрокинетике / В. А. Соболев, Е. А. Щепакина. — М. : Физматлит, 2010. — 320 с.

[45] Сметанникова, Е. Н. Регуляризация периодических задач управления с дешевой платой за управление / Е. Н. Сметанникова, В. А. Соболев // Автомат, и телемех. — 2005. — № 6. — С. 59-73.

Smetannikova, Е. N., Sobolev, V. A. Regularization of Cheap Periodic Control Problems // Autom. Remote Control. 2005. V. 66. No. 6. P. 903 -916.

[46] Стрыгин, В. В. Разделение движений методом интегральных многообразий / В. В. Стрыгин, В. А. Соболев. — М. : Наука, 1988. — 256 с.

[47] Тихонов, А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1948. — Т. 22, № 2. — С. 193-204.

[48] Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1952. - Т. 31, № 3. - С. 575-586.

[49] Фрадков, А. Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы / А. Л. Фрадков. — М. : Наука, 1990. — 292 с.

[50] Филатов, А. Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / А. Н. Филатов, Л. В. Шарова. — М. : Наука, 1976. — 192 с.

[51] Филатов, О. П. Усреднение систем дифференциальных включений / О. П. Филатов, М. М. Хапаев. - М. : Изд-во МГУ, 1998. - 160 с.

[52] Черноусько, Ф. Л. Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин. — М. : Физматлит, 2006. - 328 с.

[53] Черноусько, Ф. Л. Управление колебаниями / Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. — М. : Наука, 1980. — 384 с.

[54] Bellezza F., Lanari L., Ulivi G. Exact modeling of the flexible slewing link // Proc. 1990 IEEE Int. Conf. Robot, and Automat., P. 734-739.

[55] Bensoussan, A. Perturbation Methods in Optimal Control Problems. -Chichester, UK: John Wiley&Sons, 1988.

[56] Butuzov V. F., Vasil'eva A. B., Fedoryuk M. V. Asymptotic methods in the theory of ordinary differential equations. // Progress in mathematics /Ed. R. V. Gamkrelidge . - New York: Plenum Publishing, 1970. - V. 8. - P. 1-82.

[57] Calise A. J. Singular perturbations in flight mechanics. In A. Miele and A. Savetti editors // Applied Mathematics in Aerospace Science and Engineering. - New York: Plenum Press, 1994 . - P. 115-132.

[58] Chang K. W., Howes F. A. Nonlinear Singular perturbation phenomena: theory and application. - New York: Springer-Verlag, 1984.

[59] Eckhaus W. Asymptotic analysis of singular perturbations. - Amsterdam. North-Holland, 1979.

[60] Erdelyi A. Asymptotic Expansions. Dower Publications. - Ney York, 1956.

[61] Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations // J. Diff. Eq. 1979. Vol. 31. P. 53-98.

[62] Gajic Z., Lim M. Optimal Control of Singularly Perturbed Linear Systems and Applications. High-Accuracy Techniques. Marcel Dekker. Control Engineering series, 2000.

[63] Gajic Z., Petrovski D., Shen X. Singularly Perturbed and Weakly Coupled Linear Control Systems: a Recursive Approach. Lect. Notes Control Inform. Sci. - Berlin et al.: Springer, 1990. - V. VII, № 140.

[64] Genesio R. Milanese M. A note on the derivation and the use of reduced-order models// IEEE Trans. Autom. Control. - 1976. - V. AC-21. - P. 118-122.

[65] Ghorbel F., Spong M. W. Integral manifolds of singularly perturbed systems

with application to rigid-link flexible-joint multibody systems // Int. J. NonLinear Mechan. 2000. V. 35. P. 133-155.

[66] Gu Z-M, Nefedov N.N., O'Malley R.E., Jr. // On singular singularly perturbed initial value problems // SIAM J. Appl. Math. 1989. Vol. 49. No. 1. P. 1-25.

[67] Hale J. Ordinary differential equations. — New York: Wiley Interscience, 1969.

[68] Hale J., Stokes A. Behavior of solutions near integral manifolds // Arch. Ration Mech. and Anal. 1960. Vol. 6. No. 2. P. 133-170.

[69] Hinch E. Perturbation methods. - Cambridge, UK, Cambridge University 1991.

[70] Hoppensteadt F. Asymptotic stability in singular perturbation problems // J. Different. Equat. - 1974. - V. 15. - P. 510-521.

[71] Jones C.K.R.T. Geometric singular perturbation theory // Dynamical systems (Montecatini Terme, 1994) / Springer Lect. Notes in Math. Vol. 1609. - Berlin: Springer, 1995. P. 44-118.

[72] Kaper T.J. An introduction to geometric methods and dynamical systems theory for singular perturbation problems // Analyzing multiscale phenomena using singular perturbation methods / Eds. R. E. O'Malley and J. Cronin. - Proc. Sympos. Appl. Math., 1999. Vol. 56. P. 85-131.

[73] Kokotovic P. V. Applications of singular perturbation techniques to control problems // SIAM Review. - 1984. - V. 26, № 4. - P. 501-550.

[74] Kokotovic P. V. Recent trends in feedback design: an overview // Automatica. - 1985. - V. 21, № 3. - P. 225-236.

[75] Kokotovic P., Khalil H.K., O'Reilly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design // SIAM, 1999. P. 372.

[76] Kokotovic P. V., Khalil H. K., O'Reily J. Singular Perturbations Methods in Control. Analysis and Design. - New York: Academic Press, 1986.

[77] Kokotovic P. V., O'Malley R. E., Jr, Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory. An overview // Automatica. - 1976. - V. 12, № 2. - P. 123-132.

[78] Lagerstrom P. A., Casten G. G. Basic concepts underlying singular perturbation techniques// SIAM Review. - 1972. - V. 14. - P. 63-120.

[79] Murdock J. A. Perturbations Theory and Methods. - New York: John Willey & Sons, 1991.

[80] Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in aerospace systems: An overview // Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace, S. Sivasundaram (Ed.). - UK, Gordon and Breach Science Publishers. - V. 251-263.

[81] Naidu D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview // Dynam. Continuous, Discrete and Impulsive Syst. Ser. B: Appl. & Algorithms. - 2002. - V. 9, № 2. - P. 233-278.

[82] Naidu D. S., Price D. B., Hibey J. L. Singular Perturbations and Time Scales (SPaTS) in Discrete Control Systems — an Overview // Proc. of the 26-th Conf. on Decision and Contr., Los Angeles, CA. - 1987. - P. 2096-2103.

[83] Naidu D. S. Singular Perturbation Methodology in Control Systems, IEE Control Engineering Series, 34. - Peter Peregrinus Ltd., 1988.

[84] Naidu D. S., Calise A. J. Singular perturbations and time scales in guidance and control of aerospace systems: survey // Journal of Guidance, Control and Dynamics. - 2001. - V. 24, № 6. - P. 1057-1078.

[85] Naidu D. S., Calise A. J. Singular perturbations and time scales in guidance, navigation and control of aerospace systems: survey // Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, Baltimore, MD, August 7-10. - 1995. -P. 1338-1362.

[86 [87

[88

[89

[90

[91

[92

[93

[94

[95

[96

Nayfeh A. H. Perturbation methods. - New York: Wiley-Interscience, 1973.

Nayfeh A. H. Introduction to perturbation techniques. - New York: John-Wiley&Sons, 1981.

Nayfeh A. H. Problems in perturbation. - New York: John-Wiley&Sons, 1981.

O'Malley R. E., Jr. A boundary value problem for certain nonlinear second order differential equations with a small parameter // Arch. Rational Mech. Anal. - 1968. - V. 29. - P. 66-74.

O'Malley R.E., Jr. Introduction to singular perturbations. - New York: Academic Press, 1974.

O'Malley R.E., Eds. M.P. Mortell, Pokrovskii A., Sobolev V.A. // Singular perturbations and hysteresis. Philadelphia: SIAM, 2005.

O'Malley R. E., Jr. Singular perturbations and optimal control. Lect. Notes Math. - 1978. - V. 680. - P. 171-218.

Moiseev N. N., Chernousko F. L. Asymptotic methods in the theory of optimal control // IEEE Trans. Automat. Control. - 1981. - V. 26, № 5. -P. 993-1000.

Nipp K. Invariant manifolds of singularly perturbed ordinary differential equations // Zeitsch. Angew. Math. Phys. 1985. Vol. 36. P. 309-320.

Papoulis A. Probability, random variables, and stochastic processes. New York: McGraw Hill, 1965. 583 p.

Sakamoto K. Invariant manifolds in singular perturbation problems for ordinary diferential equations // Proc. Royal Soc. Sect. A - Math. Vol 116. - Edinburgh, 1990. P. 45-78.

[97] Saksena V. R., O'Reilly J., Kokotovic P. V. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976-1983 // Automatica. -1984. - V. 20, № 3. - P. 273-293.

[98] Singular Perturbations and Hysteresis / Mortell M. P., O'Malley R., Pokrovskii A., Sobolev V. (Ed.) Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005.

[99] Sobolev V.A. Geometrical theory of singularly perturbed control systems // Proc. 11th Congress of IFAC. Tallinn, 1990. Vol. 6. P. 163-168.

[100] Sobolev V. A. Integral Manifolds and Decomposition of Singularly Perturbed System // Syst. Control Lett. 1984. V. 5. P. 169-179.

[101] Sobolev V., Osintsev M. Global Invariant Manifolds in a Problem of Kalman-Bucy Filtering for Gyroscopic Systems, Global and Stochastic Analysis: An International Journal, Vol. 1 No. 1, 2011. p.102 - 124.

[102] Spong M. W., Khorasani K., Kokotovic P. V. An integral manifold approach to the feedback control of flexible joint robots, IEEE Journal of Robotics and Automation, 3(4), 291-300, 1987.

[103] Vasil'eva, A. B. On the development of singular perturbation theory at Moscow State University and elsewhere / / SI AM Review. - 1994. - V. 36. -P. 440-452.

[104] Vasil'eva A. B. The development of the theory of ordinary differential equations with a small parameter multiplying the highest derivatives in te years 1966-1976 // Russian Mathematical Surveys. - 1976. - V. 31. - P. 109-131.

[105] Vishik M. Asymptotic Behavior of solutions of evolution equations. -Cambridge, UK: Cambridge University, 1992.

[106] Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations - New York: Wiley-Nescience, 1965.