Геометрические методы анализа сложного поведения в динамических моделях с негладкими нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Жежерун, Андрей Александрович

• Жежерун, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жежерун, Андрей Александрович

Введение

Глава 1. Сложное поведение в динамических моделях

1.1 Гистерезис и оператор Прейсаха.

1.2 Вращение векторного поля.

1.3 Модели с сингулярными возмущениями и траектории-утки.

1.4 Хаотическое поведение.

Глава 2. Динамические модели с гистерезисом

2.1 Электронный осциллятор с гистерезисом.

2.2 Бифуркации Апдроиова-Хопфа и ветвь циклов.

2.3 Численный расчет ветвей циклов и примеры.

2.4 Гидрологическая модель с гистерезисом.

2.5 Поведение решений в точках разрыва.

2.6 Численные эксперименты.

2.7 Доказательство теорем 2.1-2.3.

2.8 Доказательство теоремы 2.4.

Глава 3. Траектории-утки в кусочно-линейных моделях

3.1 Введение.

3.2 Электронный генератор шума.

3.3 Описание математической модели.

3.4 Периодические траектории-утки.

3.5 Хаотические траектории-утки.

3.6 Пример и численный анализ модельной задачи.

3.7 Периодические утки в генераторе шума

3.8 Замечания.

3.9 Доказательство теорем 3.1 и 3.2.

Глава 4. Модели с негладкими малыми возмущениями

4.1 Введение

4.2 Периодические траектории-утки.

4.3 Хаотические траектории-утки.

4.4 Пример.

4.5 Системы высших размерностей

4.6 Доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические методы анализа сложного поведения в динамических моделях с негладкими нелинейностями»

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Диссертация посвящена анализу сложного поведения в динамических моделях с гистерезисными нелинейностями, а также в моделях с сингулярными возмущениями.

Модели с гистерезисными элементами часто возникают при решении задач физики, механики, экономики и др. Основы математической теории систем с гистерезисом, трактующей гистерезисные нелинейности как операторы или преобразователи с пространствами состояний, были созданы в 70-80-х годах прошлого века М.А. Красносельским и его коллегами. Предложенное единое математическое описание, охватывающее многие феноменологические модели гистерезиса и нелокальной памяти, позволило развить эффективные методы качественного и численного исследования моделей с гистерезисными элементами. Математические модели таких сложных систем, как правило, одновременно включают дифференциальные уравнения и операторные соотношения между частью переменных; их исследование, в основном в случае простых гистере-зисных операторов типа реле и люфтов, берет свое начало в классических работах по теории управления и теории колебаний. Теория гистерезиса и ее приложения подробно изучена в работах М. Брокате, А. Визинтина, М.А. Красносельского, П. Крейчи, И. Майергойза, А.В. Покровского pi других авторов [29, 59, 81, 85, 110].

В настоящее время свойства различных классов гистерезисных операторов достаточно хорошо изучены, включая непрерывность и липшицевость в функциональных пространствах, монотонность и др.; к важным общим свойствам относится физическая реализуемость, то есть независимость значений оператора от будущего, и коммутативность с монотонными преобразованиями времени: при изменении скорости изменения входа точно так же меняется скорость изменения выхода. В то же время вопросы, относящиеся к различным аспектам динамики систем с гистерезисом и, в том числе, колебаниям и бифуркациям, остаются открытыми. Их изучение осложняется тем, что гистерезисные операторы не обладают свойством дифференцируемости и могут иметь сложные пространства состояний. К таким операторам относится оператор Прейсаха, возникающий при моделировании электронных осцилляторов с ферромагнитными элементами, а также в гидрологических моделях проникновения осадков в почву, которые изучаются в настоящей работе. Подобные вопросы рассматривались также в работах B.C. Козякина, М.А. Красносельского, A.M. Красносельского, Н.А. Кузнецова, Д.И. Ра-чинского, М.Е. Семёнова и др. [24, 25, 27, 79, 80, 98].

Другим типом широко используемых на практике динамических моделей являются модели с сингулярными возмущениями. Такие модели применяются для анализа аэрокосмических, электрических, электромеханических, энергетических, роботехниче-ских, химических, биохимических, биологических, экономических и др. систем. Первые результаты по теории сингулярно возмущенных систем получены А.Н. Тихоновым. Дальнейшее развитие теория получила в работах Д.В. Аносова, В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильевой, М.И. Вишика, В.М. Волосова, С.А. Ломова, JT.A. Люстерника, С.А. Кащенко, Н.Н. Моисеева, Б.И. Моргунова, Е.Ф. Мищенко, Р. Е. О'Молли, Н.Х. Розова, Ф. Хауэса, К. Чанга и многих других авторов [1, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20, 33, 35, 44, 46, 90].

Поток публикаций, посвященных теории и приложениям сингулярно возмущенных систем, непрерывно растет. При этом большое разнообразие задач сочетается со сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа. Абсолютное большинство статей и монографий по указанной тематике имеют в своей основе тот или иной метод построения асимптотических разложений решений начальных или краевых задач. В то же время во многих случаях необходимо следить за поведением всей системы, а не отдельных траекторий, решать задачи качественного исследования системы. Для решения таких проблем представляется целесообразным привлекать не только асимптотические, но и геометрические методы анализа. Геометрический подход является более оправданным и в случае наличия в моделях негладких нелинейностей, которые делают построение асимптотических разложений затруднительным.

Геометрическая теория динамических систем находит свои истоки в работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова [30, 38]. Большое распространение получил метод интегральных многообразий, связанный с изучением целых классов решений. Основы теории интегральных многообразий были заложены в работах Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Мит-ропольского [6, 7]. Основные результаты по теории интегральных многообразий изложены в фундаментальной монографии Ю.А. Митропольского и О.Б. Лыковой [31]. Для исследования сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений метод интегральных многообразий применялся в работах Я.С. Бариса, К.В. Задираки, Ю.А. Митропольского, Ю.И. Неймарка, В.А. Соболева, В.В. Стрыгина, В.И. Фодчука, Д. Хенри и других авторов [3, 4, 13, 14, 17, 32, 36, 42, 43, 45].

Важным объектом в моделях с сингулярными возмущениями являются траектории-утки, которые проходят сначала вблизи притягивающей части медленной поверхности модели, а затем продолжают движение в течение некоторого времени вдоль отталкивающей части медленной поверхности. Траектории такого типа применяются для решения задач биологии, механики, химии, экономики и электроники. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах В.И. Арнольда, Г.Н. Горелова, Ю.С. Ильяшепко, А.Ю. Колесова, Ю.С. Колесова, Е.Ф. Мищенко, А.Н. Покровского, Н.Х. Розова, В.А. Соболева, Е.А. Щепакиной и др. [2, 5, 15, 22, 37, 40, 41, 47, 48, 49, 50, 51, 74, 104].

В настоящей работе предлагается новый геометрический метод анализа периодических и хаотических траекторий-уток в моделях с сингулярными возмущениями, основанный на теории вращения векторного поля. Данный метод позволяет обойти трудности, связанные с наличием в моделях негладких нелинейно стей. В качестве примера изучается электронный генератор шума. Основное внимание уделяется периодическому и хаотическому поведению.

Цель диссертационной работы

Основной целью данной работы является разработка геометрических методов анализа сложного поведения в различных динамических моделях. Для модели электронного осциллятора с гистерезисным элементом доказывается существование бифуркации Андронова-Хопфа и непрерывных ветвей периодических решений. Для модели проникновения осадков в почву доказывается существование и единственность решений и разрабатывается численный алгоритм их построения. Для модели электронного генератора шума с сингулярными возмущениями и негладкими элементами доказываются теоремы о существовании и локализации периодических и хаотических траекторий-уток.

Методы исследования

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории гистерезиса, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений. Алгоритмы для численных расчетов были реализованы с помощью компьютера.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты.

1. Доказаны новые теоремы о бифуркациях Андронова-Хопфа и существовании непрерывных ветвей циклов в системах операторно-дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной. Предложен численный алгоритм построения ветвей циклов для таких систем. Полученные математические результаты продемонстрированы на примере модели электронного осциллятора с гистерезис-ной индуктивностью.

2. Доказаны существование и единственность решений дифференциальных уравнений с оператором Прейсаха под производной и разрывной по времени правой частью. Разработан алгоритм численного решения таких уравнений. Алгоритм продемонстрирован на примере модели проникновения осадков в почву.

3. Предложен метод локализации периодического и хаотического поведения траекторий-уток в сингулярно возмущенных системах с негладкими нелинейностями. Полученные математические результаты продемонстрированы па примере модели электронного генератора шума.

4. Результаты о существовании определенных типов сложного поведения в моделях с сингулярными возмущениями обобщены на случай моделей с числом медленных переменных более двух.

Теоретическая и практическая ценность

Математические результаты диссертации позволяют производить качественное исследование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с негладкими нелинейностями, а также операторно-дифференциальных уравнений. Разработанные методы локализации сложного поведения могут быть использованы для моделирования и расчета явлений различной природы, так как имеют универсальный характер. Результаты численного исследования моделей гидрологии, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики процесса проникновеиия воды в почву в зависимости от интенсивности осадков. Результаты исследования электронных схем могут быть использованы для выбора определенных режимов функционирования этих схем, важных с точки зрения конкретных практических задач.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на международных конференциях по раз-нотемповым процессам и гистерезису MURPHYS-2006 (г. Корк, Ирландия, апрель 2006 г.) и MURPHYS-2008 (г. Корк, Ирландия, апрель 2008 г.), международном симпозиуме по гистерезису и микромагнитному моделированию (НММ-07, г. Неаполь, Италия, июнь 2007 г.), на генеральной ассамблее Европейского Геофизического Союза (EGU-2008 General Union, г. Вена, Австрия, апрель 2008 г.), на X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (г. Москва, июнь 2008 г.).

Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики университета г. Корк (Ирландия) и семинарах кафедры прикладной метематики СГОУН.

Публикации

По теме диссертационной работы Жежеруна А.А. опубликовано 14 работ, в том числе 6 статей в изданиях из списка ВАК и из международного списка Science Citation Index Expanded [16, 55, 56, 70, 87, 96], 4 статьи в других международных научных журналах [69, 95, 114, 115], 2 препринта [97, 113], 2 тезисов докладов [52, 53]. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка литературы из 115 наименований. Объем диссертации — 123 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Жежерун, Андрей Александрович

Заключение

В работе изучены геометрические методы анализа сложного поведения в динамических моделях с гистерезисным оператором Прейсаха, а также в моделях с сингулярными возмущениями.

Теория вращения вектоного поля применена к анализу бифуркаций Андронова-Хопфа в электронном осцилляторе с ферромагнитным гистерезисом в индуктивном элементе. Полученные результаты обобщены на класс систем, состоящих из главной линейной части и гистерезисной нелинейности. Предложены признаки рождения ветвей циклов из состояния равновесия и из бесконечности. При дополнительных предположениях удается проследить глобальную ветвь циклов, соединяющую состояние равновесия и бесконечность. Кроме того, рассмотрена модель проникновения осадков в почву, также содержащая гистерезисный элемент, и разработан алгоритм численного построения решений этой модели.

Также в работе предложена новая схема изучения периодических траекторий-уток в сингулярно возмущенных системах. Основная идея этой схема заключается в в сведении задачи о нахождении периодических траекторий динамической модели к задаче о неподвижных точках модифицированного специальным образом отображения Пуанкаре, после чего используется аппарат вращения векторного поля.

Применение геометрических методов позволяет обойтись без построения асимптотических представлений траекторий, что делает возможным анализ ситуаций, где нахождение таких представлений затруднительно. В частности, получен результат о существовании периодических уток в системах с негладкими малыми возмущениями правых частей. Найденные таким образом утки топологически устойчивы, однако могут не быть устойчивыми по Ляпунову, поэтому для использования в приложениях необходима стабилизация этих траекторий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жежерун, Андрей Александрович, 2009 год

1. Аносов Д.В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. / Аносов Д.В. // Матем. сб. - 1960. - Т, 50, № 3. - С. 299-334.

2. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. // Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 5. - С. 5-218.

3. Барис Я.С. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий. / Барис Я.С., Фодчук В.И. // Укр. матем. журн. 1970. - Т. 22, № 1. - С. 3-11.

4. Барис Я.С. К принципу сведения для сингулярно возмущенной системы. // Дифферент уравнения. 1979. - Т. 15, № 8. - С. 1390-1394.

5. Бобкова А.С. Проблема «выживания уток» в трехмерных сингулярно возмущенных системах с двумя медленными переменными. / Бобкова А.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. // Математические заметки. 2002. - Т. 71, № 6. - С. 818-831.

6. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

8. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990.

10. Васильева А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией. / Васильева А.Б., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х. // Матем. сб. 1986. - Т. 130, № 4. - С. 488-499.

11. Вишик М.И. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений. / Вишик М.И., Люстерник Л.А. // Докл. АН СССР. -1958. Т. 121, № 5. - С. 778-781!

12. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971.

13. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция многотемповых систем. Самара: CMC, 2000.

14. Гольдштейн В.М., Соболев В.А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1988. - 154 с.

15. Горелов Г.Н., Соболев В.А., Щепакина Е.А. Сингулярно возмущенные модели горения. РАЕН, Самара: СамВен, 1999.

16. Жежерун А.А. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах с оператором Прейсаха. / Жежерун А.А., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук.- 2008. Т. 422, № 3. - С. 302-306.

17. Задирака К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы // Укр. матем. журн. 1965. - Т. 17, Ns 1. -С. 47-63.

18. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. / Пер. с англ. Коноиепко А. при уч. Ферлегера С. М.: Изд-во «Факториал», 1995.- 768 с.

19. Кащенко С.А. Асимптотика релаксационных колебаний в математической модели реакции Белоусова. / Кащенко С.А. // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб. Горьк. уп-т, 1987. - С. 51-55.

20. Кащенко С.А. Быстро осциллирующие бегущие волны в системах с малой диффузией. / Кащенко С.А. // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28, № 2.- С. 254-262.

21. Кияшко С.В. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. / Ки-яшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. // Радиоэлектроника. 1980. - Т. 25. - С. 336.

22. Колесов А.Ю. Циклы-утки трехмерных релаксационных систем с одной быстрой и двумя медленными переменными. / Колесов А.Ю., Розов Н.Х. // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 2. - С. 180-184.

23. Кононенко Л.И. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий. / Кононенко Л.И., Соболев В.А. // Сиб. матем. журн. 1994. - Т. 35, № 6. - С. 1264-1278.

24. Красносельский A.M. Циклы больших амплитуд в автономных системах с гистерезисом. / Красносельский A.M., Красносельский М.А. // Доклады Академии Наук. 1985. - Т. 283, № 1. - С. 23-26.

25. Красносельский A.M. Нелинейные бифуркации Хопфа. / Красносельский A.M., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. 2000. - Т. 372, № 4. - С. 455-458.

26. Красносельский A.M. О резонансных уравнениях с неограниченными нелиней-ностями. / Красносельский A.M., Кузнецов Н.А., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. 2000. - Т. 373, № 3. - С. 295-299.

27. Красносельский A.M. О непрерывных ветвях циклов в системах с нелинеаризуе-мыми нелинейностями. / Красносельский A.M., Рачинский Д.И. // Доклады Академии Наук. 2003. - Т. 389, № 1. - С. 11-16.

28. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

29. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

30. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

31. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.

32. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики. Киев: Наукова думка, 1988.

33. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

34. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. -М.: Наука-Физматлит, 1995.

35. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

36. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1972.

37. Покровский А.Н. «Стая» решений-«уток» сингулярно возмущенной системы 2-го порядка. / Покровский А.Н. // Математическая физика: Межвуз. сб. / Под ред. Матвеева Н.М. Ленинград, 1987. - С. 77-81.

38. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-JL: ГТТИ, 1947.

39. Семёнов М.Е. Математическое моделирование устойчивых периодических режимов в системах с гистерезиснными нелинейностями. Воронеж: ВГУ, 2002. - 104 с.

40. Соболев В.А. Самовоспламенение запыленных сред. / Соболев В.А., Щепаки-на Е.А. // Физика горения и взрыва. 1993. - № 3. - С. 133-136.

41. Соболев В.А. Траектории-утки в одной задаче теории горения. / Соболев В.А., Щепакина Е.А. // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 9. - С. 1175— 1184.

42. Соболев В.А. Геометрия сингулярных возмущений в вырожденных случаях. / Соболев В.А. // Матем. моделирование. 2001. - Т. 13, № 12. - С. 75-94.

43. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988.

44. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / Тихонов А.Н. // Матем. сб. 1952. - Т. 31, № 3. - С. 575-586.

45. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

46. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. М.: Мир, 1988.

47. Щепакина Е.А. Интегральные многообразия, траектории-утки и тепловой взрыв. / Щепакина Е.А. // Вестник Самарского гос. университета. 1995. - Спец. выпуск. - С. 49-58.

48. Щепакина Е.А. Периодические колебания в модели каталитического реактора. / Щепакина Е.А. // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1998. - Т. 2, № 4. - С. 108-116.

49. Щепакина Е.А. Критические условия самовоспламенения в пористой среде. / Щепакина Е.А. // Химическая физика. 2001. - Т. 20, № 7. - С. 3-9.

50. Щепакина Е.А. Математическое моделирование теплового взрыва в многофазных средах. / Щепакина Е.А. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8, № 1. - С. 382-383.

51. Щепакина Е.А. Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения. / Щепакина Е.А. // Математическое моделирование. 2003. -Т. 15, № 8. - С. 113-117.

52. Жежерун А.А. Хаотическое поведение в кусочно-линейных системах. / Жежерун А.А. // Тезисы докладов международного семинара «Нелинейное моделирование и управление». Самара, 22-25 июня 2004 г. - 1с.

53. Anisimov I. О. Kijashko-Pikovsky-Rabinovich noise generator: computer simulation and experiment. / Anisimov I. 0., Schur A. V., Siversky Т. V. // Proceedings of VIII workshop «Plasma electronics and new acceleration methods». Kharkov, 2003.

54. Appelbe B. Hopf bifurcation in a van der Pol type oscillator with magnetic hysteresis. / Appelbe В., Rachinskii D., Zhezherun A. // Physica B: Cond. Matter. 2008. - Vol. 403. - P. 301-304.

55. Benoit E. Chasse au canard. // Benoit E., Callot J. L., Diener F., Diener M. // Coll. Math. 1981-1982. - Vol. 31-32. - P. 37-119.

56. The Science of Hysteresis. / Ed. Bertotti G., Mayergoyz I. Academic Press, 2006.

57. Brokate M., Sprekels J. Hysteresis and Phase Transitions. Springer, 1994.

58. Cox. E. A. On Chaotic Wave Patterns in Periodically Forced Steady-State KdVB and Extended KdVB Equations. / Cox E. A., Mortell M. P., Pokrovskii A., Rasskazov O. // Proc. R. Soc. A. 2005. - Vol. 461. - P. 2857-2885.

59. Deimling K. Nonlinear Functional Analysis. Springer, 1980.

60. The first 60 years of Nonlinear Analysis of Jean Mawhin. / Eds. Delgado M., Lopez-Gomez J., Ortega R., Suarez A. World Scientific Publishing, 2004.

61. Deng B. Food chain chaos with canard explosion. / Deng B. // Chaos. 2004. - Vol. 14. - P. 1083-1092.

62. Diamond P. Chaotic dynamics in nonsmooth perturbations of bishadowing systems. / Diamond P., Kloeden P. E., Krasnosel'skii M.A., Pokrovskii A. // Arab J. Math. Sci. 2000. - Vol. 6. - P. 41-74.

63. Durham J. Feedback control of canards. / Durham J., Moehlis J. // Chaos. 2008. -Vol. 18. - P. 015110.

64. Echevarria P. Digital hardware implementation of high dimensional fuzzy systems. / Echevarria P., Martinez M. V., Echanobe J., del Campo I., Tarela J. M. // Applications of Fuzzy Sets Theory, LNCS. Springer, 2007. - Vol. 4578. - P. 245-252.

65. Eleuteri M. Asymptotic behaviour of a Neumann parabolic problem with hysteresis. Preprint] / Eleuteri M., Krejcf P. WIAS preprint No. 1109. - 2006.

66. Flynn D. Application of the Preisach model to soil-moisture hysteresis. / Flynn D., McNamara H., О'Kane J. P., Pokrovskii A. // The Science of Hysteresis / Eds. Bertotti G., Mayergoyz I. Academic Press, 2006. - Vol. 3. - P. 689-744.

67. Flynn D. Numerical solution of ODEs involving the derivative of a Preisach operator and with discontinuous RHS. / Flynn D., O'Kane J. P., Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Ser. 2006 - Vol. 55. - P. 63-73.

68. Flynn D. Modeling discontinuous flow through porous media using ODEs with Preisach operator. / Flynn D., Zhezherun A., Pokrovskii A., O'Kane J. P. // Physica B: Cond. Matter. 2008. - Vol. 403. - P. 440-442.

69. Fujisawa T. Piecewise linear theory of nonlinear networks. / Fujisawa Т., Kuh E. S., // SIAM J. Appl. Math. 1972. - Vol. 22. - P. 307-328.

70. Gol'dstein V. Mediating operation of heterogeneous CSTR. / Gol'dstein V. Panfilov V., Shreiber I. // AIChE Journal. 1996. - Vol. 42. - P. 2273-2278.

71. Gol'dshtein V. Mediating operation of catalytic CSTR to stabilize intermediate steady state. / Gol'dshtein V., Panfilov V. // AIChE Journal. 1997. - Vol. 43. - P. 785-791.

72. Gol'dstein V. Slow/fast models of laser and chemical systems. / Gol'dstein V., Mclnerney J., Shchepakina E., Sobolev V. // Известия РАЕН. Серия МММИУ. -2001. Т. 5, № 1-2. - С. 32-53.

73. Gonzalez-Miranda J. М. Synchronization and Control of Chaos. An introduction for scientists and engineers. Imperial College Press, London, 2004.

74. Haines W. B. Studies in the physical properties of soils. V. The hysteresis effect in capillary properties and the modes of moisture distribution associated therewith. / Haines W. B. // J. Agric. Sci. 1930. - Vol. 2. - P. 97-116.

75. Hartman P. Ordinary Differential Equations. New York: Wiley, 1964.

76. Kennedy M. P. Hysteresis in electronic circuits: A circuit theorist's perspective. / Kennedy M. P., Chua L. 0. // Intl. J. of Circuit Theory and Applications. 1991. -Vol. 19. - P. 471-515.

77. Krasnosel'skii M. A. The method of parameter functionalization in the Hopf bifurcation problem. / Krasnosel'skii M. A., Kozjakin V. S. // Nonlinear Anal. TMA. 1987. -Vol. 11. - P. 149-161.

78. Krejcf P. Hysteresis, Convexity and Dissipation in Hyperbolic Equations. Tokyo: Gakk5tosho, 1996.

79. Krejcf P. Mathematical models of hydrological systems with Preisach hysteresis. Online preprint] / Krejcf P., O'Kane J. P., Pokrovskii A., Rachinskii D. // 2008.- 54 p. URL: http: //www.bcri.ucc. ie/BCRI58. pdf

80. Li T. Y. Period 3 imples chaos. / Li T. Y., Yorke J. A. // Amer. Math. Monthly.1975. Vol. 82. - P. 985-992.

81. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. Springer,1976.

82. Mayergoyz I. D. Mathematical Models of Hysteresis and Their Applications: Electro-magnetism. Academic Press, 2003.

83. Mayeri E. A relaxation oscillator description of the burst-generating mechanism in the cardiac ganglion of the lobster, homarus americanus. / Mayeri E. // J. Gen. Physiol.- 1973. Vol. 62. - P. 473-488.

84. O'Ceallaigh S. Algorithm for linear stability analysis in systems with Preisach hysteresis. / O'Ceallaigh S., Pimenov A., Pokrovskii A., Rachinskii D., Zhezherun A. // Physica B: Cond. Matter. 2008. - Vol. 403. - P. 305-307.

85. О'Kane J. P. Hysteresis in hydrology. / O'Kane J. P. // Acta Geophys. Pol. 2005. -Vol. 53. - P. 373-383.

86. O'Kane J. P. The FEST model — a test bed for hysteresis in hydrology and soil physics. / O'Kane J. P. // J. Phys.: Conf. Series. 2005. - Vol. 22. - P. 148-163.

87. O'Malley R. E., Jr. Introduction to singular perturbations. New York: Academic Press, 1974.

88. Ott E. Controlling Chaos. / Ott E., Gerbogi C., Yorke J. A. // Phys. Rev. Lett. -1990. Vol. 64. - P. 1196-1199.

89. Ozkan L. Control of a solution copolymerization reactor using piecewise linear models. / Ozkan L., Kothare M. V., Georgakis C. // IEEE Proc. of the American Control Conference. 2002. - Vol. 5. - P. 3864-3869.

90. Pokrovskii A. V. Topological shadowing and split-hyperbolicity. / Pokrovskii A.V. // Functional Diff. Eq., special issue dedicated to Krasnosel'skii M.A. 1997. - Vol. 4. -P. 335-360.

91. Pokrovskii A. V. Topological degree in locating homoclinic structures for discrete dynamical systems. / Pokrovskii A.V., Szybka S. J., Mclnerney J. G. // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. - Т. 5, № 1-2. - С. 152-184.

92. Pokrovskii A. Differentiability of evolution operators for dynamical systems with hysteresis. / Pokrovskii A., Power Т., Rachinskii D., Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Ser. 2006. - Vol. 55. - P. 171-190.

93. Pokrovskii A. Topological degree in analysis of chaotic behavior in singularly perturbed systems. / Pokrovskii A., Zhezherun A. // Chaos. 2008. - Vol. 18. - P. 023130-1-12.

94. Pokrovskii A. V. Topological methods in analysis of periodic and chaotic canard-type trajectories. Online preprint] / Pokrovskii A.V., Pokrovskiy A.A., Zhezherun A. arXiv:0805.0368vl [math.DS]. - 2008. - 41 p. - URL: http://arxiv.org/abs/0805.0368vl.

95. Pokrovskii A. V. Stable periodic regimes in control systems with monotone nonlinearities. / Pokrovskii A. V., Semenov M. E. / Automation and Remote Control. 1990. - Vol. 51, № 2(1). - P. 158-164.

96. Porter В. Genetic robustification of digital model-following flight-controlsystems. / Porter В., Hicks D. L. // IEEE Proc. of the National Aerospace and Electronics Conf.- 1994. Vol. 1. - P. 556-563.

97. Preisach P. Uber die magnetische Nachwirkung. / Preisach P. // Zeitschrift ftir Physik.- 1935. Vol. 94. - P. 277-302.

98. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback. / Pyragas K. // Phys. Lett. A. 1992. - Vol. 170. - P. 421-428.

99. Handbook of Chaos Control: Foundations and Applications. / Edited by Schuster H. G.- Wiley-VCH, Weinheim, 1999.

100. Shchepakina E. Black swans and canards in laser and combustion models. / Shchepakina E., Sobolev V. // Singular Perturbations and Hysteresis. / Eds. Mortell M. P., O'Malley R. E., Pokrovskii A. V., Sobolev V. A. SIAM, 2005. -P. 207-256.

101. Sekikawa M. Chaos via duck solution breakdown in a piecewise linear van der Pol oscillator driven by an extremely small periodic perturbation. / Sekikawa M., Inaba N., Tsubouchi T. // Physica D. 2004. - Vol. 194. - P. 227-249.

102. Stellardo D. On the complexity of periodic and nonperiodic behaviors of a hysteresis-based electronic oscillator. / Stellardo D., Bizzarri F., Storace M., De Feo O. // Chaos.- 2007. Vol. 17 - P. 043108.

103. Storace M. Synthesis of nonlinear multiport resistors: a PWL approach / Storace M., Julian P., Parodi M. // IEEE Trans. Circuits Syst. I. 2002. - Vol. 49. - P. 1138-1149.

104. Storace M. Towards analog implementations of PWL two-dimensional non-linear functions. / Storace M., Parodi M. // Intl. J. of Circuit Theory and Appl. 2005.- Vol. 33. P. 147-160.

105. Van Bokhoven W. M. G., Piecewise linear analysis and simulation. / Ed. Ruehli A. E. Circuit Analysis, Simulation and Design. Vol. 2 - Elsevier, 1987.

106. Visintin A. Differential Models of Hysteresis. Spriger, 1994.

107. Zgliczynski P. Fixed point index for iterations of maps, topological horseshoe and chaos. / Zgliczynski P. // Topol. Methods Nonlinear Anal. 1996. - Vol. 8. - P. 169-177.

108. Zgliczynski P. Computer assisted proof of the horseshoe dynamics in the Henon map. / Zgliczynski P. // Random Comput. Dynam. 1997. - Vol. 5. - P. 1-17.

109. Zhezherun A. Numerical simulations of hysteretic discontinuous flow through porous media. Online preprint] / Zhezherun A. Preprints of SMAMS. - 2009. - 6 p. - URL: http://euclid.ucc.ie/appliedmath/preprints/SMAMS0109.pdf.

110. Zhezherun A. Chaotic behavior in piecewise-linear Linz-Sprott equations. / Zhezherun A. // J. Phys.: Conf. Series. 2005. - Vol. 22. - P. 235-253.

111. Zhezherun A. ODEs with Preisach operator under the derivative and with discontinuous in time right-hand side. / Zhezherun A., Flynn D. // J. Phys.: Conf. Ser. 2006. - Vol. 55. - P. 232-242.