Инклинометрические системы с акселерометрическими датчиками (развитие теории, разработка, исследование) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат наук Дьячков Алексей Сергеевич

• Дьячков Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Дьячков Алексей Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР И КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ РАБОТ В ОБЛАСТИ ПОСТРОЕНИЯ ИНКЛИНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Назначение и область применения инклинометрических систем. Базовая система координат

1.2. Обзор и анализ известных работ в области инклинометрии

1.3. Варианты компоновочных схем ППН с акселерометрическими датчиками

1.4. Постановка задач исследований

Результаты и выводы

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ МАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ИнС КПН

2.1. Пространственные преобразования базовой системы координат

2.2. Сравнительный анализ математических методов моделирования ИнС КПН

2.3. Векторно-матричный метод преобразований прямоугольных систем координат

2.4. Метод малых вращений

2.5. Кватернионный метод математического моделирования

2.6. Анализ известных базовых математических моделей преобразователей

параметров наклона

Результаты и выводы

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПАРАМЕТРОВ НАКЛОНА

3.1. Разработка и анализ обобщенных математических моделей ППН с трёхосевым акселерометрическим датчиком

3.2. Анализ инструментальных погрешностей ППН с трехосевым акселерометрическим датчиком

3.3. Разработка и анализ обобщенных математических моделей ППН с двухосевыми акселерометрическими датчиками

3.4. Анализ инструментальных погрешностей ППН с двухосевыми

акселерометрическими датчиками

Результаты и выводы

ГЛАВА 4. МЕТОДИКА КАЛИБРОВКИ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИнС КПН

4.1. Структура и особенности построения ИнС с акселерометрическими датчиками

4.2. Структура и особенности построения ИнС КПН с двухосевыми акселерометрическими и датчиками

4.3. Разработка методики калибровки ИнС КПН с акселерометрическими датчиками

4.4. Методика и результаты экспериментальных исследований ИнС КПН

Результаты и выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

154

Список сокращений и условных обозначений

АКБ - аккумуляторная батарея;

АЦП - аналого-цифровой преобразователь;

ВМУ - векторно-матричное уравнение;

ЗАО - закрытое акционерное общество;

ИИС - информационно-измерительная система;

ИнС КПН - инклинометрическая система контроля параметров наклона;

ИнС - инклинометрическая система;

ИОН - источник опорного напряжения;

КНБК - компоновка низа бурильной колонны;

КО-60 - квадрант оптический;

НПФ - научно-производственная фирма;

МК - микроконтроллер;

ОАО - открытое акционерное общество;

ПЗВУ - преобразователь зенитных и визирных углов;

ПО - программное обеспечение;

ППН - преобразователь параметров наклона;

СП - скважинный прибор;

ФГБОУ ВПО - федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования; ФГУП - федеральное государственное унитарное предприятие; ЧЭ - чувствительный элемент; ЭВМ - электронно-вычислительная машина; gij - измеряемые проекции вектора ускорения свободного падения; МО^) - математическое ожидание; А(в, ) - погрешности определения искомых углов;

в и ^ - зенитный и визирный углы; и у - углы крена и тангажа.

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инклинометрические системы с акселерометрическими датчиками (развитие теории, разработка, исследование)»

Актуальность темы исследования

Одним из важнейших аспектов в пространственной ориентации скважинных и иных объектов является контроль параметров их наклона, представляющий собой одну из классических задач инклинометрии. При этом различают наклоны объектов в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях и наклоны, сопровождаемые неограниченными поворотами подвижных объектов вокруг продольной оси, совпадающей с траекторией их перемещения. Причем к параметрам относят как саму величину наклона, определяемую модулем, так и направление этого наклона, представляемое аргументом.

Данные задачи решаются с помощью инклинометрических систем, предназначенных для контроля параметров наклона скважинных объектов (ИнС КПН), разработкой и созданием которых занимаются отечественные организации и зарубежные фирмы. В современных ИнС КПН широко используются в качестве первичных измерительных преобразователей двухосевые и трехосевые акселерометрические датчики в микроэлектронном исполнении, обладающие приемлемыми нормированными метрологическими характеристиками. При этом фирмами-производителями (Analog Dev^es, Motorolla, Seika Mikrosystemtechmk, Honeywell и др.) гарантируется одна из важнейших характеристик: взаимная ортогональность осей чувствительности акселерометров - не хуже + 0,1 град. Тем не менее, критический анализ конструктивных особенностей преобразователей параметров наклона (ППН) с акселерометрическими датчиками показывает, что проявление доминирующих инструментальных погрешностей обусловлено рядом причин, к основным из которых следует отнести их несоосное позиционирование по отношению к ортогональному базису корпуса, что в конечном итоге не позволяет создавать аппаратуру, обладающую высокими точностными показателями.

В области разработки и создания ИнС КПН достигнуты частные результаты и в теоретических и в экспериментальных исследованиях. При этом разработчиками уделяется особое внимание методам коррекции погрешностей измерений. В то же

время существует необходимость в дальнейших систематизированных исследованиях в направлении повышения точности измерений параметров наклона объектов. Развитие ИнС КПН на сегодняшний день является актуальным, имеющим важное значение.

Степень разработанности темы исследования

Вопросам построения ИнС КПН, математического моделирования и анализа погрешностей уделялось большое внимание на протяжении ряда лет. Среди разработчиков и создателей подобного рода аппаратуры, внесших значительный вклад, следует выделить Ковшова Г.Н., Миловзорова Г.В., Коловертнова Г.Ю., Малюгу А.Г., Галету В.О., Солонину Н.Н., Рогатых Н.П., Алимбекова Р.И., Исаченко В.Х., Лаврова Б.В., Султанаева Р.А., Лутфуллина Р.Р., Зигангирова Л.Р. и других. Основные публикации относятся к области скважинных инклинометрических преобразователей. Направления исследований были ориентированы на совершенствование конструкций ППН и датчиковой части, на математическое моделирование, анализ погрешностей и их алгоритмическую коррекцию. Тем не менее, существующий уровень достигнутых результатов исследований в рассматриваемой области не позволяет обеспечивать дальнейшее развитие ИнС КПН в плане улучшения метрологических характеристик, т.к. принятая методика коррекции результатов измерений базируется на известном математическом обеспечении с принятыми допущениями, не учитывающими в полной мере параметры - константы несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе ППН.

Цель работы - разработка научно обоснованных технических и методических решений в области создания инклинометрических систем, обладающих улучшенными точностными показателями.

В соответствии с поставленной целью были сформулированы и решены следующие задачи.

1. выполнить обзор и критический анализ известных технических решений в рассматриваемой области и определить наиболее перспективные тенденции в развитии ИнС КПН;

2. разработать обобщенные математические модели, учитывающие угловые параметры несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе ППН, и провести имитационное моделирование на ЭВМ;

3. выполнить анализ инструментальных погрешностей ППН с трехосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками;

4. разработать математическое обеспечение и усовершенствовать методику калибровки ИнС КПН с акселерометрическими датчиками;

5. разработать научно-обоснованные технические решения ИнС КПН, обладающие улучшенными метрологическими характеристиками, выполнить экспериментальные исследования и внедрить результаты работы.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты.

Разработаны обобщенные статические математические модели ППН с трехосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками, в которых учтены константы в виде произведений трансцендентных тригонометрических функций малых углов несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе, и из которых следуют, как частные решения, известные математические модели при определенных допущениях. При этом предложено использовать лишь три дополнительных поворота акселерометрических датчиков вокруг собственных осей.

Выполнен анализ инструментальных погрешностей ППН с трехосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками, в результате которого установлено, что наиболее существенное влияние на точностные показатели оказывают константы, определяемые произведениями косинусов малых углов несоосного позиционирования акселерометров.

Разработано математическое обеспечение и усовершенствована методика калибровки и экспериментальных исследований ИнС КПН, позволяющие однозначное определение численных значений малых углов несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе ППН.

Практическая значимость работы

Разработанные научно обоснованные математическое и методическое обеспечение и практическое применение полученных в работе результатов позволяют решить важную научно-техническую задачу, связанную с дальнейшим повышением точности определения параметров наклона скважинных объектов.

Предложенные обобщенные математические модели ППН в плане дальнейшего развития теории пространственной ориентации составляют фундаментальную основу при алгоритмической обработке результатов измерений информационных сигналов с двухосевых и трехосевых акселерометрических датчиков. На основе полученных результатов предложена усовершенствованная методика калибровки и экспериментальных исследований ИнС КПН, практическое применение которой позволяет определять численные значения констант, включающих в себя функции малых углов несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе ППН.

Научные результаты диссертационной работы внедрены и используются:

1. в ГУП «БашНИИСТРОЙ» (г. Уфа);

2. в ООО НПП «Горизонт» (г. Ижевск);

3. в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» (г. Ижевск).

Методология и методы исследования

В работе при решении поставленных задач применялись методы теоретических и экспериментальных исследований. Объектом исследований являются

инклинометрические системы. Предметом исследований являются математические модели и инструментальные погрешности ИнС с акселерометрическими датчиками.

При разработке обобщенных математических моделей ППН был использован векторно-матричный аппарат общей теории пространственной ориентации твердых тел.

Теоретические исследования полученных математических моделей выполнены с помощью классической теории погрешности измерений, базирующейся на методах дифференциальных вычислений. При оценке адекватности разработанных математических моделей ППН и анализе их инструментальных погрешностей использовался метод вычислительного эксперимента.

Для расчётов и графической интерпретации использованы стандартные пакеты Delphi 7 и Microsoft Excel 2010.

Положения, выносимые на защиту:

1. обобщенные статические математические модели ППН с трехосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками, в которых учтены константы в виде произведений трансцендентных тригонометрических функций малых углов несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе;

2. анализ инструментальных погрешностей ППН, в результате которого установлено, что наиболее существенное влияние на точностные показатели оказывают константы, определяемые произведениями косинусов малых углов несоосного позиционирования акселерометров;

3. математическое обеспечение и усовершенствованная методика калибровки и экспериментальных исследований ИнС КПН, позволяющие однозначное определение численных значений малых углов несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе ППН;

4. разработанные и внедренные научно-обоснованные технические и методические решения в области создания ИнС КПН, обладающих улучшенными точностными показателями.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждена детальным анализом обобщенных статических математических моделей и теоретическими исследованиями инструментальных погрешностей, а также результатами проведенных вычислительных экспериментов и имитационного моделирования на ЭВМ.

Использование аттестованных средств (квадрант оптический КО-60) и воспроизводимость результатов также подтверждают достоверность экспериментальных исследований.

Достоверность и обоснованность результатов исследований подтверждена их внедрением и практическим использованием.

Основные положения диссертационной работы и результаты исследований докладывались и обсуждались на: научной конференции «Информационные технологии в нефтегазовом сервисе» в 2006 г. (г. Уфа); на научной конференции «Новая техника и технологии для геофизических исследований скважин» в 2007 г. (г. Уфа); Всероссийской молодежной научной конференции «Мавлютовские чтения» в 2007 г. (г. Уфа); XVIII научно-практической конференции «Новая техника и технологии для геофизических исследований скважин» 2012 г. (г. Уфа); VIII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства» 2012 г. (г. Ижевск); региональной научно-технической очно-заочной конференции «Информационные технологии в науке, промышленности и образовании» 2013 г. (г. Ижевск); Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования в техническом вузе» 2013 г. (г. Стерлитамак); XVIII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых учёных и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях (НИТ -2013)» 2013 г. (г. Рязань), XIV международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация (ИКИ - 2013)» 2013 г. (г. Барнаул); Всероссийской научно-практической конференции «Инновации в науке, технике и

технологиях» 2014 г. (г. Ижевск); III Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Измерения, контроль и диагностика - 2014» 2014 г. (г. Ижевск).

Публикации. Результаты работы отражены в 17 научных публикациях, в том числе: 3 статьи в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 7 статей в сборниках научных трудов, 6 тезисов доклада в материалах научно-технических конференций, 1 свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения. Работа включает 157 страниц машинописного текста и содержит 46 рис., 25 табл., список литературы, приложения.

В первой главе дано описание инклинометрических систем контроля параметров наклона скважинных и иных объектов. Проведен обзор и критический анализ известных технических решений в рассматриваемой области и выявлены основные тенденции их развития. Рассмотрены различные варианты компоновочных структур ППН с двухосевыми и трехосевыми акселерометрическими датчиками. Осуществлена постановка задач исследований.

Во второй главе рассматриваются общие вопросы теории пространственной ориентации твердых тел применительно к инклинометрии в целом и непосредственно к математическому описанию ИнС КПН.

В третьей главе рассматриваются вопросы математического моделирования ППН с трёхосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками, построенными по различным компоновочным схемам. Выполняется анализ инструментальных погрешностей ППН различных вариантов. Осуществляется постановка вычислительных экспериментов на ЭВМ.

В четвертой главе рассматриваются вопросы структурного построения ИнС КПН, вопросы разработки математического обеспечения и усовершенствования методики калибровки, а также приводятся результаты экспериментальных исследований.

ГЛАВА 1. ОБЗОР И КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ РАБОТ В

ОБЛАСТИ ПОСТРОЕНИЯ ИНКЛИНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В данной главе рассматриваются вопросы назначения и области применения ИнС КПН, выполняется обзор и критический анализ известных работ и разработок в области инклинометрии и наклонометрии, включая первичные измерительные преобразователи, выявляются основные тенденции развития, а также выполняется постановка основных задач исследований диссертационной работы.

1.1. Назначение и область применения инклинометрических систем.

Базовая система координат

Назначением преобразователей параметров наклона в системах контроля пространственной ориентации объектов является определение углов отклонения от вертикали в различных плоскостях и определение угла поворота вокруг собственной продольной оси корпуса ППН относительно базовой системы координат, связанной с Землей.

В общей теории пространственной ориентации твердых тел [2, 5, 68] в качестве базовой принята правая система координат, связанная с неколлинеарными векторами - вектором ускорения свободного падения, ориентированным ортогонально горизонтальной плоскости и направленным к центру Земли; вектором угловой скорости вращения Земли ¿о и вектором индукции естественного геомагнитного поля Т. Причем, при решении задач пространственной ориентации достаточны лишь два вектора, поскольку соответствующие проекции векторов ¿о и Т на горизонтальную плоскость связаны между собой так называемым углом магнитного склонения у, представляющимся константой для конкретных региональных широт местности, что позволяет выполнить элементарный переход от одного вектора к другому (со

и Т). Поэтому базовая система координат, связанная с Землёй, образована следующими ортонормированными осями (рисунок 1.1): ось О70 совпадает с

вектором ось ОХ0 совпадает с вектором Н0 - горизонтальной составляющей полного вектора Т, и направлена на Север магнитного меридиана, а ось ОУ0 представляет собой дополнение правой пространственной системы координат и ориентирована, соответственно, перпендикулярно плоскости ОХ070.

Рисунок 1.1. Базовая (основная) система координат

Для полноты рассуждений необходимо отметить следующее. Полный вектор индукции геомагнитного поля Т, лежащий в плоскости ОХ070, раскладывается на две составляющие - вертикальную Ъ0 и горизонтальную Н0:

V = аг^ ]|4.

1Но|

Причем угол магнитного наклонения V зависит от широты местности. Так, на экваторе Земли V = 00 и вектор Т лежит в горизонтальной плоскости, а на полюсах Земли V = 900 и вектор Т ориентирован перпендикулярно горизонтальной плоскости. В целом пространственная ориентация объектов определяется их положением по отношению к полному вектору Т, в частности -отклонением горизонтальной проекцией траектории движения от направления на Север магнитного (или географического) меридиана Н0, выражаемым в угловой мере, что соответствует параметру «направление», т.е. азимуту, а также и

угловыми параметрами наклона. Измерение азимута в геонавигационных системах осуществляется с помощью магниточувствительных или гироскопических датчиков и представляет собой обособленную научно-исследовательскую задачу. При этом, как правило, при определении азимута необходима информация об угловых параметрах наклона и, соответственно, метрологические характеристики современных измерительных преобразователей азимута непосредственно зависят от точностных показателей ППН, что подтверждает особую важность в общих вопросах пространственной ориентации.

Одним из важнейших элементов при разработке и создании ППН является комплекс теоретических исследований, включающий в себя этапы математического моделирования различных вариантов их кинематических схем и компоновочных структур [45], выполнение вычислительных имитационных экспериментов на ЭВМ с оценкой адекватности математических моделей, а также оценкой величины и изучения характера распределения погрешностей определения искомых угловых параметров по диапазонам измерений. При этом следует иметь в виду, что синтез обобщенных математических моделей обеспечивает также и техническую реализацию программно-алгоритмической обработки результатов измерений в процессе промышленной эксплуатации ППН, включая их аналитическую коррекцию.

При проведении теоретических исследований ППН изначально важным является постановка задач и регламентирование этапов математического моделирования, суть которых заключается в следующем. Для скважинных (или подвижных) объектов при их пространственных эволюциях, исходя из физических соображений, необходимо определиться и выстроить логическую последовательность отдельных плоских поворотов основного базиса (базовой системы координат) R0(OX0Y0Z0) вокруг осей на определенные углы, которые, по сути, в дальнейшем и являются искомыми угловыми параметрами наклона подвижного объекта (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2. Пространственные преобразования основного базиса

При этом немаловажным является начальное пространственное положение объекта в базовой системе координат. При вертикальном исходном положении подвижного объекта, при его перемещении по криволинейной траектории Ь, происходит отклонение от вертикали на зенитный угол в и поворот вокруг собственной продольной оси на визирный угол ф. При горизонтальной исходной ориентации подвижного объекта, при его дальнейшей эволюции в пространстве по отношению к вектору, происходит отклонение в вертикальной плоскости на угол тангажа у и поворот вокруг продольной оси на угол крена у. Данные углы в, у и ф, у непосредственно представляют собой угловые параметры наклона скважинных и подвижных объектов. К первой группе можно отнести скважинные объекты, осуществляющие движение по углубляемой траектории или располагающиеся в горных породах и грунтах. К этой же группе относятся высотные здания и иные сооружения и конструкции. Ко второй группе подвижных объектов относятся наземный, надводный, подводный транспорт, летательные аппараты (самолёты, вертолёты и т.д.). Возможно и промежуточное положение объекта - снаряды артиллерийских орудий, ракеты различного класса («земля-земля», «земля-воздух») и др.

Следует отметить, что вопросы, связанные с геонавигацией, в данной работе рассматриваются только по отношению к вектору Ц, не затрагивая ориентацию, связанную с «направлением» в горизонтальной плоскости, т.е. с азимутом.

В последние годы разработчиками и создателями аппаратуры введено понятие «скважинная геонавигация», которое относится непосредственно к скважинным инклинометрическим системам, обеспечивающим, в частности, контроль параметров наклона (зенитных и визирных углов) в каждой точке траектории скважины, причем здесь рассматриваются в рамках математического моделирования ППН два поворота основного базиса: на угол в вокруг оси OY0 и на угол ф вокруг оси OZ0.

Для объектов, изначально ориентированных в горизонтальной плоскости, при математическом моделировании рассматриваются повороты основного базиса вокруг оси OY0 на угол тангажа у и вокруг оси OX0 на угол крена Для скважинных объектов (строительные сооружения и конструкции, башенные краны и др.), как, впрочем и для морских судов, подводных лодок и т.д., для которых можно применять схему «консольного крепления», в математическом моделировании рассматриваются углы наклона в двух взаимно перпендикулярных плоскостях в1 и в2. Аналогичный подход используется при так называемых методах «связанных штанг» и «ориентированного спуска», применяемых в частности в шахтной инклинометрии, в строительной технике при динамическом зондировании грунтов, исключающих вращение корпуса ППН вокруг собственной продольной оси. При этом рассматриваются повороты основного базиса вокруг оси OY0 на угол в1 и вокруг оси OX0 на угол в2 [46].

В рассматриваемых случаях безусловно есть своя специфика, тем не менее имеются и общие аспекты, а именно - практически во всех вариантах подвижных и скважинных объектов принимаются во внимание два отдельных плоских поворота основного базиса на определённые углы вокруг соответствующих осей, которые необходимы априори в более детальном моделировании ППН и в теоретических исследованиях как математических моделей, так и инструментальных погрешностей.

1.2. Обзор и анализ известных работ в области инклинометрии

Под инклинометрическим устройством понимают прибор, предназначенный для контроля комплекса угловых параметров пространственной ориентации твердых тел по отношению к базисной системе координат, связанной с Землей. Инклинометрические системы (ИнС) нашли широкое применение в геофизике при определении пространственного положения траектории скважин и скважинных объектов, в строительной технике - в частности при зондировании несущей способности грунтов, а также могут быть использованы в иных областях, требующих определения пространственного положения объектов.

ИнС включает в себя скважинный измерительный прибор и наземную аппаратуру обработки и отображения информации, которые соединяются каналом связи [17, 51, 72]. В зависимости от решения конкретной инклинометрической задачи канал связи может быть проводным в виде геофизического каротажного кабеля с бронированной грузонесущей оплеткой или в виде кабеля, встроенного в колонну буровых труб, беспроводным - гальваническим, акустическим, гидравлическим, а в автономном варианте конструктивного исполнения инклинометра, так называемого сбрасываемого типа, канал связи в процессе измерений отсутствует. В такой ИнС измеренные сигналы записываются в автономную память скважинного прибора и при извлечении его на поверхность расшифровываются и обрабатываются.

Принцип действия ИнС заключается в следующем. При движении по траектории наклонно направленной скважины корпус скважинного прибора (СП) меняет свою пространственную ориентацию, а именно - отклоняется от вертикали на зенитный угол в, поворачивается в скважине на визирный угол р по отношению к плоскости наклона и ориентируется по направлению наклона траектории относительно точки устья скважины на азимутальный угол а. Первичные преобразователи зенитного и визирного угла выполняются чувствительными к гравитационному полю Земли так, что сигналы с выходов соответствующих чувствительных элементов (ЧЭ) являются пропорциональными

углам в и р. Первичный преобразователь азимута выполняется на основе магниточувствительных элементов или гироскопических устройств.

Скважинный прибор ИнС содержит три основных блока - преобразователь азимута с магниточувствительными или гироскопическими датчиками; преобразователь зенитных и визирных углов (ПЗВУ); электронный блок вторичного преобразования и передачи измерительной информации.

Технические и эксплуатационные характеристики ИнС, определяющие их конкурентоспособность, во многом зависят от метрологических характеристик первичных измерительных преобразователей, и в первую очередь - от точностных показателей преобразователя азимута и ПЗВУ.

Отечественная инклинометрия имеет давнюю историю, начиная с 50-х годов 20-го столетия, и, тем не менее на сегодня не утратила свою актуальность и представляет собой динамично развивающуюся область в бурении и геофизических исследованиях скважин.

К одним из первых разработок относятся ранее серийно выпускавшиеся магнитомеханические инклинометры КИТ, МИР-36, гироскопические инклинометры ИГ-36 и инклинометрические системы СТЭ и СТТ. Инклинометры КИТ, используемые для нефтяных скважин, и МИР-36 - для угольных геологоразведочных скважин, имеют преобразователь азимута в виде горизонтируемой магнитной стрелки, а преобразователь зенитного угла - в виде маятника. Кинематическая схема таких инклинометров имеет вид двух карданных рамок с эксцентричными грузами (рисунок 1.3), причем ось вращения внешней рамки совпадает с продольной осью корпуса прибора, а оси внутренних рамок-маятников, установленных во внешней рамке, перпендикулярны продольной оси корпуса ИнС. Повороты магнитной стрелки при ее ориентации в магнитном поле Земли и маятника зенитного угла при его ориентации по вектору ускорения свободного падения связаны с потенциометрическими преобразователями, сигналы с которых по кабельному каналу связи поступают в наземный пульт. В общем случае измерительная цепь магнитомеханических ИнС представляет собой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дьячков Алексей Сергеевич, 2015 год

Ц> - - 4-

N - ■К ■1 -1- —►

+1

Рисунок 1.10. Статическая характеристика акселерометра

1

0

Акселерометр имеет однополярное питание +5В и его статическая характеристика является смещенной по оси ординат. Следует заметить, что в двухосевых и трехосевых исполнениях каждый из акселерометров имеет подобную статическую характеристику.

Таким образом, вышеизложенное позволяет представить практически все возможные варианты построения ППН и компоновку акселерометрических датчиков в корпусе аппаратуры, которые дают вполне наглядные представления об их конкретном позиционировании в корпусе, позволяют определять источники инструментальных погрешностей и выполнять процедуры математического моделирования и анализа.

1.4. Постановка задач исследований

В диссертационной работе сформулированы ряд задач исследований, решение которых направлено на достижении цели, а именно: на разработку научно обоснованных технических и методических решений в области создания ИнС КПН, обеспечивающих повышенную точность измерений при контроле параметров наклона скважинных и иных объектов.

Первая задача связана с выполнением обзора и критического анализа известных технических решений в рассматриваемой области и определением наиболее перспективных тенденций в развитии ИнС КПН. Вопросы, связанные с решением этой задачи рассмотрены в данной главе.

Вторая задача связана с разработкой обобщенных математических моделей, учитывающих угловые параметры несоосного позиционирования акселерометрических датчиков в корпусе ППН, и с проведением имитационного моделирования на ЭВМ. Задачи математического моделирования в рассматриваемой области являются частными задачами в общей теории пространственной ориентации твердого тела.

На первом этапе определяются исходные основные базисы, связанные с вектором ускорения свободного падения и все базисы, связанные с корпусом и подвижными элементами рассматриваемых структур ППН.

Затем определяются источники инструментальных погрешностей.

Далее с использованием известных математических аппаратов устанавливается аналитическая зависимость измеряемых сигналов с чувствительных элементов с определяемыми углами с учетом угловых параметров, обусловленных источниками инструментальных погрешностей.

Обычно данная аналитическая зависимость выражается системой скалярных трансцендентных тригонометрических уравнений, совместные решения которых позволяют получить обобщенную математическую модель моделируемого варианта ППН относительно искомых углов. При этом искомый угол имеет функциональную зависимость по нескольким переменным - измеряемым сигналам с акселерометров и углам, определяющим инструментальные погрешности.

Полученные таким образом математические модели позволяют учитывать и в дальнейшем алгоритмически корректировать инструментальные погрешности, поэтому являются обобщенными моделями и составляют основу дальнейшей обработки результатов измерения. При решении задач математического моделирования в зависимости от их сложности, количества элементарных плоских поворотов и глубины последующего анализа может быть использован в качестве инструмента при теоретических исследованиях любой математический аппарат, применяемый в классической теории ориентации твердого тела.

На завершающем этапе необходимо осуществить постановку вычислительного эксперимента и выполнить имитационное моделирование на ЭВМ с разработкой соответствующего программно-алгоритмического обеспечения, целью которых является подтверждение адекватности полученных обобщенных математических моделей ППН.

Третья задача связана с выполнением комплексного анализа инструментальных погрешностей ППН с трехосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками. Решение данной задачи должно выполняться в полном соответствии с общей теорией погрешностей измерений и базироваться на всестороннем анализе полученных обобщенных математических моделей. При

решении данной задачи должны быть получены математические модели инструментальных погрешностей. В результате анализа инструментальных погрешностей должна быть выполнена оценка значений погрешностей, обусловленных влиянием малых углов несоосного позиционирования акселерометрических датчиков по отношению к базису корпуса ППН, должен быть изучен характер их распределения по диапазонам искомых углов пространственной ориентации и должны быть определены доминирующие составляющие.

Четвертая задача связана с разработкой математического обеспечения и усовершенствованием методики калибровки ИнС КПН с акселерометрическими датчиками. При решении данной задачи необходимо взять за основу и проанализировать традиционную методику калибровки инклинометрических скважинных систем, выполняемую с помощью специализированных поверочных установок. Разработать соответствующее математическое обеспечение технологических операций калибровки ИнС КПН для рассматриваемых вариантов построения ППН с трехосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками, основываясь на полученных результатах при разработке обобщенных математических моделей, и усовершенствовать известную методику в направлении ее упрощения.

Пятая задача связана с разработкой научно-обоснованных технических решений ИнС КПН, обладающих улучшенными метрологическими характеристиками, а также с выполнением экспериментальных исследований и внедрением результатов. Здесь необходимо разработать структуру и создать экспериментальный образец ИнС КПН с акселерометрическими датчиками, в основу которого должны быть положены научно обоснованные решения, представленные в данной диссертационной работе. Выполнить операции калибровки с определением конкретных численных значений малых углов несоосного позиционирования акселерометров в корпусе, основываясь на результатах в решении предыдущих задач. Провести экспериментальные исследования разработанной ИнС КПН с определением точностных показателей.

В рамках решения данной задачи необходимо также внедрить результаты диссертационной работы в организациях соответствующего профиля и в учебном процессе ВУЗа.

В итоге решение всех представленных задач исследований должно быть направлено на достижение сформулированной цели, а получаемые при этом результаты должны содержать научную новизну и практическую значимость диссертационной работы.

Результаты и выводы

1. Обзор и критический анализ известных работ в области инклинометрии и наклонометрии показывает, что отечественными и зарубежными специалистами ведутся исследования и осуществляются практические разработки в направлениях создания малогабаритной и высокоточной аппаратуры, а также в направлении совершенствования метрологического обеспечения.

2. Наиболее перспективным направлением на сегодняшний день является исследование, разработка и создание ИнС КПН на основе акселерометрических датчиков. Такие технические решения имеют более простые конструкции прибора по сравнению с известными вариантами ППН, выполненными по кинематическим схемам двух карданных рамок и на основе одностепенных маятников, однако искомые углы при этом вычисляются по более сложным аналитическим выражениям.

3. Наиболее актуальным и целесообразным в плане повышения точности ППН по сравнению с традиционными механическими методами регулировочных и балансировочных операций является применение метода алгоритмической коррекции их инструментальных погрешностей.

4. Практическая реализация метода алгоритмической коррекции погрешностей требует проведения комплекса теоретических и экспериментальных исследований, включающего математическое моделирование, анализ погрешностей и разработку соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

ГЛАВА II. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ИнС КПН

В данной главе рассматриваются вопросы математического моделирования ППН, выполняется сравнительный анализ известных математических методов описания пространственной ориентации твердых тел, приводятся базовые положения векторно-матричного метода линейных преобразований базисов и кватернионного метода, осуществляется анализ известных базовых математических моделей ППН.

2.1. Пространственные преобразования базовой системы координат

При решении классических задач пространственной ориентации твёрдых тел необходимо определить и ввести базисы - правые ортонормированные системы координат [2, 68].

1. Основной базис (рисунок 2.1), связанный с гравитационным полем Земли Ко(Х0,У0,70) - ось 070 ориентирована по вектору ускорения свободного падения; оси ОХ0 и OY0 - ортогональны оси 070 и ортогональны друг другу. Проекции вектора ^ в основном базисе описываются следующим образом ^ = (0,0, g), где g - величина (модуль) вектора g.

2. Базис корпуса ППН Як(Хк,Ук,7к) - ось 07К совпадает с продольной осью корпуса; оси ОХК и OYK - ортогональны оси 07К, ортогональны друг другу и направлены в апсидальной плоскости (плоскости, перпендикулярной продольной оси корпуса) произвольно для вариантов компоновки ППН с цилиндрическим корпусом, а для профилированного корпуса - по его соответствующим боковым плоскостям.

При вертикальной ориентации корпуса ППН его базис Як(Хк,Ук,7к) совпадает с основным базисом Яо(Х0,У0,70). При «неориентированном спуске», например при перемещении ППН, входящего в состав инклинометра, по траектории скважины (рисунок 2.1а) или при перемещении объекта преимущественно по квазигоризонтальной траектории (рисунок 1.7), происходят изменения его пространственной ориентации на зенитный угол в(у) и визирный

угол ф(щ). Эти изменения соответствуют ортогональным преобразованиям основного базиса R0(Xo,Yo,Zo) в базис корпуса Rk(Xk,Yk,Zk), при которых осуществляются последовательно два плоских поворота - вокруг оси OY0 на зенитный угол в (рисунок 2.1б), что соответствует преобразованию Я в R1, и вокруг оси OZ0 на визирный угол ф (рисунок 2.1в), что соответствует преобразованию в R2(Rк). Аналогично происходят пространственные преобразования и на углы тангажа у и крена щ.

Рисунок 2.1. Преобразования основного базиса К0(Х0,У0,20) для свободных поворотов корпуса ППН.

Для ориентированных наклонов корпуса ППН, исключающих повороты корпуса (цилиндрического или профилированного, рисунок 2.2а) вокруг собственной продольной оси, осуществляются следующие пространственные преобразования основного базиса Яо(Х0Д0^0) вокруг оси OY0 на зенитный угол в (рисунок 2.2б), что соответствует преобразованию в R1, и вокруг оси 070 на визирный угол ф (рисунок 2.2в). При консольной фиксации корпуса ППН осуществляются последовательно два плоских поворота - вокруг оси ОХ0 на угол

в1 (рисунок 2.2г), что соответствует преобразованию Я в R1, и вокруг оси OYo на угол в2 (рисунок 2.2д), что соответствует преобразованию R1 в R2(Rк).

г) д)

Рисунок 2.2. Преобразования основного базиса К0(Х0,У0,20) для ориентированных наклонов корпуса ППН Данные преобразования основного базиса К0(Х0,У0,70) для рассмотренных вариантов построения ППН предопределяют основу дальнейшего детального анализа компоновочных структур в плане их математического описания и теоретических исследований инструментальных погрешностей измерений. Поэтому выбор конкретного математического аппарата среди известных методов математического моделирования ППН при их теоретических исследованиях представляет собой весьма важную и отдельную задачу.

2.2. Сравнительный анализ математических методов моделирования ИнС КПН Известные математические методы, используемые в задачах пространственной ориентации [2, 5, 68], могут быть в той или иной мере применены при математическом моделировании измерительных преобразователей параметров наклона объектов и теоретических исследованиях их инструментальных погрешностей. Выполняя сравнительную оценку данных

методов следует заметить, что задачи моделирования ППН в сущности являются задачами преобразования координат.

Метод аналитической геометрии - сложен в составлении таблиц направляющих косинусов. Его применяют в решении простых задач математического моделирования ППН с малым числом поворотов базисов.

Дальнейшее развитие данного метода связано с использованием теории матриц [5]. Матричный метод решения задач преобразования координат получил наиболее широкое распространение. Применение матричного метода обусловливает составление общего векторно-матричного уравнения, в котором в строгом соответствии с последовательностью вращений указываются матрицы направляющих косинусов. Данный метод обладает двумя достоинствами: простотой получения результирующей преобразующей матрицы и применение операции транспонирования матриц, при котором путем сравнения соответствующих элементов матрицы преобразования при переходе от одной координатной системы к другой, выраженных через различные углы, устанавливаются все возможные соотношения между исходными и текущими координатами (и, соответственно, проекциями вектора в основном и во вновь образуемом базисе). Метод сравнительно прост и позволяет быстро решать различные задачи.

Отдельной задачей следует выделить анализ инструментальных погрешностей первичных преобразователей параметров наклона скважинных и подвижных объектов, спецификой которых является введение поворотов на малые углы. При решении таких задач весьма эффективен метод малых вращений твердого тела, являющийся частным случаем метода матриц направляющих косинусов. Этот метод, основанный на геометрическом подходе, обладает достаточной наглядностью, хорошо поясняет физическую сущность решаемых задач, позволяет непосредственно получать зависимости между рассматриваемыми координатами и измеряемыми проекциями.

Большие перспективы в теории ориентации имеют методы теории конечных поворотов твердого тела с использованием параметров Родрига-Гамильтона,

Кейли-Клейна, применение которых в итоге приводит к кватернионам [2, 68]. Данный метод связан с чисто аналитическими выкладками и не требует каких-либо геометрических построений. Использование кватернионов представляется более формализованным по сравнению с другими методами, хотя и требует внимания в выполнении математических преобразований при определении компонент результирующего кватерниона. Хорошие перспективы имеют также кватернионы малых поворотов, или так называемые малые (или неполные) кватернионы, применение которых в исследованиях инструментальных погрешностей ППН представляется достаточно простым и удобным.

Сравнительный анализ представленных методов с точки зрения их использования при решении рассматриваемых задач позволяет сделать следующие выводы. Для математического моделирования и для теоретического исследования инструментальных погрешностей ППН наиболее удобно применение теории матриц и кватернионов. В дальнейшем при рассмотрении конкретных компоновочных структур ППН будет использоваться тот или иной из выше рассмотренных методов.

2.3. Векторно-матричный метод преобразований прямоугольных систем координат

При решении обратной задачи инклинометрии при соблюдении правил перемножения и преобразования матриц можно легко получить статическую математическую модель первичного преобразователя ППН.

Рассмотрим применение данного метода при моделировании ППН.

Линейное преобразование базиса Rз, связанного с корпусом ППН, по отношению к основному базису R0 включает в себя два плоских последовательных поворота - на зенитный угол в вокруг оси OY1 и на визирный угол р вокруг оси OZ2 .

Для ППН на основе трех акселерометрических датчиков (рисунок 1.5а) векторно-матричное уравнение, описывающее данное преобразования базисов, имеет следующий вид

^к" АФ(г) Ав(у)^0 5

где - проекции вектора ^ в основном базисе К^(Х(^0,70)

(2.1)

gx 0

^0 = gy = 0

gxz g

- проекции вектора ^ в базисе корпуса ППН Кк(ХкДк^к); А^ф и Ае(у) - матрицы направляющих косинусов вида

А

ф(Х)=

С05^ sin^ 0 — cos ^ 0

0 0 1

; А

0(у)=

cos0 0 — sm0 0 1 0 sm0 0 cos в

Выполнив соответствующие аналитические преобразования в уравнении (2.2), получим систему скалярных трансцендентных уравнений связи проекций ^к, измеряемых акселерометрическими датчиками, с проекциями :

gx = — СО5^5Ш0Л

gy = sin ^ sin в

gz = COS в

(2.2)

Решением данной системы уравнений относительно искомых углов являются классические базовые математические модели ППН по компоновочной схеме трех ортогонально ориентированных акселерометрических датчиков:

^ = аг^ —

в = аг^

(2.3)

gz

Необходимо отметить, что в полученных выражениях (2.3) представлены отношения измеряемых проекций, т. е. по сути реализуется логометрический метод измерений в классическом его представлении. При обработке измерительной информации с целью однозначного определения искомых углов в и ф по базовым моделям (2.3) во всех четырех квадрантах необходимо принимать во внимание знаки измеренных сигналов. В соответствии с этим общий вид базовых моделей ППН следует представить, как

в = агй£

М

gx2 + gy2

gz

+ як; ^ = аг^

gy

^х)

+ як;

где к =0 при А>0, Б>0 для I квадранта; к=1 при Б<0 для II и Ш квадрантов; к =2 при А<0, Б>0 для IV квадранта;

А и Б - соответственно числитель и знаменатель дробных аргументов в функциях агс'г для углов д и ф.

Данная особенность математических моделей, реализующих функции агс'г, необходим при синтезе алгоритмов и соответствующего программного обеспечения. Однако, в дальнейшем для простоты рассуждений будем это положение упускать, тем не менее, имея его в виду.

Более детальный анализ системы уравнений (2.2) позволяет представить базовые математические модели несколько в ином виде:

tgв = + 'гр22

'г<р =

ЧРг

(2.4)

где р± и - углы, отсчитываемые соответственно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях ОХ^к и

Графическая интерпретация моделей (2.4) представляется в апсидальной плоскости следующим образом (рисунок 2.3).

tgP 2 "

tgP1

>

Рисунок 2.3. Интерпретация моделей (2.4) в осях и ЬдР-

При этом сам наклон объекта может быть представлен в комплексном виде N = ,в соответствии с которым в горизонтальной плоскости определяется

не только величина наклона ^в), но и направление этого наклона ф по отношению к базовым направлениям ^^ и tg^2) [79].

Полученные выражения (2.4) посредством угловых параметров и также представляют собой базовые математические модели, причем их применение наиболее целесообразно для компоновочной схемы ППН (рисунок 1.5а).

Представленные базовые математические модели (2.3) и (2.4), адекватно описывающие пространственную ориентацию ППН, являются идеализированными и не учитывают факторы, обусловливающие инструментальные погрешности измерений.

Базовые математические модели ППН по другим кинематическим схемам получают по аналогичной методике, но с некоторым дополнением при анализе систем скалярных уравнений связи. Эти вопросы будут рассмотрены в последующих разделах.

Таким образом, матричный метод преобразования координат в теории пространственной ориентации позволяет достаточно просто получать математические модели ППН при их моделировании. При этом следует обращать внимание на последовательность плоских поворотов базисов и правильно составлять исходные векторно-матричные уравнения.

2.4. Метод малых вращений

Малые вращения можно изображать векторами [68]. Совокупность малых вращений независимо от их последовательности можно заменить одним поворотом, вектор которого равен геометрической сумме векторов отдельных вращений.

Изменение порядка в последовательности малых вращений твердого тела сказывается лишь на слагаемых второго порядка малости, которыми в первом приближении можно пренебречь. Достоинства данного метода заключаются в простоте его применения и наглядности.

Для пояснения сущности рассматриваемого метода следует воспользоваться рисунком 2.4, на котором показаны неподвижная система координат OX0Y0Z0 и подвижная OXYZ, оси которой связаны с ориентируемым твердым телом.

Рисунок 2.4. Взаимное расположение осей систем координат ОХ0У020 и ОХУ2

Оси OXYZ повернуты относительно осей на малые углы а, ¡, у,

каждому из которых соответствуют векторы а, Преобразование систем

координат записывается в матричной форме:

=а[ходО^О],

где преобразующая матрица А при малых величинах а, 5, у будет иметь вид:

(2.5)

1 а —V

А = —а 1 У

Р —у 1

Представим преобразующую матрицу А в виде

Л=Б+е,

- единичная матрица;

(2.6)

1 0 0

где Е = 0 1 0

0 0 1

0 а — 0

£ = —а 0 у - матрица малых вращений

Р —у 0

(2.7)

(2.8)

Обратная матрица по отношению к (2.5) будет матрица А-1

А-1 = Е - £, т.к. при этом выполняется соотношение

АА-1 = (Е+ е)(е-е) = Е с точностью до членов второго порядка малости относительно £. Но для ортогонального преобразования обратная матрица совпадает странспонированной,следовательно:

Ат = Е + Ет = Е - е]

т

Ет = —Е

(2.9)

sin5 « cos 8

Следует отметить, что в (2.7) матрица малого поворота е является кососимметрической, что является общим свойством малого поворота таким образом, если обозначить е = ||1^у||(ц, V = 1,2,3) , то = —

Для полноты анализа рассмотрим более подробно матрицы направляющих косинусов. Как известно тригонометрические функции синуса и косинуса при малых значениях аргумента можно заменить следующим образом:

. (2.10)

При этом матрицы направляющих косинусов А 5(к) примут вид:

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Малому повороту системы координат вокруг оси ОХ на угол 5 будет соответствовать матрица направляющих косинусов:

1 а 0 0 а 0

Аа(г) = —а 1 0 =Е+ —а 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 —0 0 0 —0

А0(Г) = 0 1 0 =Е+ 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 ф 0 0 ф 0

АФ(г) = —ф 1 0 =Е+ —ф 0 0

0 0 1 0 0 0

А5(Х) =

1 0 0 1 0 0 0 0 0

0 cos 8 = 0 1 8 =Е+ 0 0 8

0 — sin5 cos 8 0 —5 1 0 —5 0

(2.14)

Выполняя правила перемножения матриц можно легко убедиться, что при учете допущения (2.10) перестановка местами матриц-сомножителей (2.11)-(2.13) не оказывает влияния на результирующую матрицу. Данное свойство метода малых вращений является довольно удобным при анализе инструментальных погрешностей ППН, особенно в тех случаях, когда имеет место несколько отдельных поворотов базиса на малые углы.

2.5. Кватернионный метод математического моделирования

Под кватернионом понимают число в четырехмерном гиперкомплексном пространстве, состоящее из одной действительной и трёх мнимых единиц с действительными элементами = 0,1,2,3) [2, 68].

Л = ( Яо, Ах, Я2, Яз) = ЯО1 + Я^ + Я212 + Я313. (2.15)

Кватернионы введены Гамильтоном в 1843 г. Необходимость расширения операций трехмерной векторной алгебры до операций умножения и деления обусловила введение алгебры для четырехмерных чисел. Изложим основные постулаты, определяющие свойства кватернионов, действия над ними, которые в той или иной степени будут использоваться в дальнейшем при математическом моделировании ППН.

1. Два кватерниона Л и М равны, если равны их элементы Л* = = 0,1,2,3).

2. Суммой кватернионов Л и М называется кватернион, элементами которого являются величины Л£ + :

Л + М = ( ЯО + ДО)1 + ( + + ( ¿2 + ^2^2 + ( ¿з + Дз)*з-

3. При умножении кватерниона Л на скаляр а происходит умножение на это число всех его элементов: аЛ=аЛ01 + а А111 + а Л212 + а Л313.

В частности, отрицательным является кватернион

а нулевым - кватернион Л(£ = 0,0,0,0).

Из этих определений следует, что сложение кватернионов и умножение их на скаляр подчиняются правилам обычной алгебры:

4. Л + М = М + Л; (Л + М) + N = Л + (М + М);

5. аЛ = Ла, (аЬ)Л = Л(аЬ);

6. (а + Ь)Л = аЛ + М, а (Л + М) = аЛ + аМ.

7. Правила умножения единиц кватерниона (1, ¡¡, ¡2, ¡3) следующие

1 о ¿1 = ¿1 о 1 = ¿1; 1 о ¿2 = ¿2 ° 1 = ¿2;

1 о ¿з = ¿з о 1 = ¿з; 1 о 1 = 1;

¿1 о ¿1 = —1; ¿2 о ¿2 = —1; ¿3 о ¿3 = —1;

¿1 о ¿2 = —¿2 о ¿1 = ¿3; ¿3 о ¿1 = —¿1 о ¿3 = ¿2; ¿2 о ¿3 = —¿3 о ¿2 = ¿1. (символ о обозначает операцию умножения). При таком правиле умножения произведение двух кватернионов также является кватернионом.

В общем случае произведение двух кватернионов имеет вид: N = л о М = ЛоДо — ¿1^1 — ¿2^2 — ¿3^3 + Яо(^1 + ^2 + Д3У +

+До( ¿1^ + Я212 + Я313) +

11 12 13 Я1 Я2 Я3 ^2 ^3

Приравнивая элементы при единицах 1, ¡¡, ¡2, ¡3, получим

Уо = ЯоДо — Я1Д1 — Я2Д2 — Я3Д3Л

= Я0Д1 — Я1Д0 — Я2Д3 — Я3Д2 (

^2 = Я0Д2 — Я2Д0 — Я3Д1 — Я1Д3 Г

^3 = Я0Д3 — Я3Д0 — Я1Д2 — Я2Д1У

8. Умножение кватернионов обладает ассоциативными и дистрибутивными по отношению к сложению свойствами.

Отсюда следует, что справедливо равенство для любых кватернионов

(Л о М) о N = Л о (М о М).

Аналогично можно убедиться в том, что A°(M + N) = Л ° М + Л ° М,поскольку компоненты произведений в обеих частях равенства совпадают при каждой единице.

9. Норма кватерниона||Л|| = Л ° Л=Л ° Л=Я§ + Я? + Я| + Я§. (2.16) Когда норма ||Л||=1, кватернион называют нормированным.

10. Кватернионом, обратным данному кватерниону Л, называют кватернион

Л-? = уЛ[, для которого выполняется равенство Л ° Л-1 = Л-1 ° Л=1. (2.17)

Каждому нормированному кватерниону Л может быть поставлена в соответствие дуга большого круга сферы радиуса a = b, имеющая направление положительного угла v и соединяющая концы векторов a и b (рисунок 2.5). В связи с этим кватернион Л может быть однозначным образом представлен дугой большого круга arc Л , плоскость которого определяется вектором а длина -углом v. Алгебра кватернионов позволяет представить конечный поворот (преобразование) в пространстве в простой и удобной форме. Такое представление базируется на следующей фундаментальной теореме.

л

Рисунок 2.5 Геометрическая интерпретация кватерниона

Теорема 1.Пусть Л и R - нескалярные кватернионы; в этом случае величина

д'=Л°Д°Л-1 (2.18)

есть кватернион, норма и скалярная часть которого равны норме и скалярной части кватерниона Я. Векторная часть уе&^Д' получается вращением R по конусу вокруг оси уе&^Л на двойной угол V. Так, если

Л = Л(соя V + (ят^),

то уек^' получается вращением ре^ Я вокруг оси ( на угол V.

Как следует из доказательства данной теоремы, операция (2.18) изменяет только векторную часть кватерниона Я:

уек: (Л о R о Л-1) = Л о (уекД) о Л-1

или

г'= Л ого Л-1. (2.19)

В соответствии с этим операции (2.18) и (2.19) будем называть операциями (преобразованиями) вращения.

Дадим координатное выражение преобразования (2.18). Пусть Я = Го + + ^2 + ^3, ^ = г0 + г^1 + ^2 + ^3

Л = ( Ло, Л^ Я2, Я3) = Ло1 + Я111 + ^2^2 + Я313. Выполняя умножение (2.18) и приравнивая члены при четырех единицах, а также учитывая, что кватернион Л, задающий преобразование вращения, есть нормированный кватернион (||Л||=Л2 = 1 и Л-1 = Л, получаем выражение кватерниона Я' в виде линейной функции компонент Я:

г/ = (Л§ + Я2 — я| — А§)Г1 + 2(^2 — ЛоЛ3)г2 + 2(А^ + Л0А2К г2 = 2(^1^2 + АоА3)г1 + (АО —А? + А2 — ^ + 2^ — АоА^ }. (2.20) г3 = (А1А3 — аоа2)г1 + 2(А2А3 — аОа1)г2 + 2(А0 — А2 — А2 + А3>3, Как следует из полученной системы (2.20), собственный кватернион преобразования имеет компоненты, которыми являются параметры Родрига-Гамильтона.

Рассмотрим последовательно данные повороты применительно к задачам моделирования 1111Н, при этом будем иметь в виду, что в соответствии с фундаментальной теоремой 1 каждому плоскому повороту соответствует свой кватернион.

Первому повороту, осуществляемому вокруг оси i2 (т.е. вокруг оси OY) на зенитный угол в„ соответствует кватернион

Л0(у) = cos^ + Í2 sin^, (2.21)

а второму повороту - вокруг оси i3 (т.е. вокруг оси OZ) на визирный угол р -кватернион

Л^) = cos I + Í3 sin|. (2.22)

В теории кватернионов существует основополагающая теорема.

Теорема 2. Пусть Л, М и N - собственные кватернионы соответственно первого, второго и результирующего поворотов. Тогда компоненты кватерниона результирующего поворота N определяются через компоненты кватернионов первого Л и второго М поворотов по правилу умножения кватернионов, причем сомножители берутся в обратном порядке:

N = Л оМ.

В соответствии с данной теоремой 2, имеем для кватерниона результирующего вращения:

Лр = Л0(у) о Лф(2)=(cos0 + Í2sin^) о (cos| + Í3sin^) (2.23)

Выполняя умножения кватернионов, получаем следующие значения для его компонент в функции углов Крылова:

, 0 ф\ Лп = cos-cos — 0 2 2

0ф A-, = sin-sin —

1 2 2

0

0ф А9 = sin-cos —

2

2

2

0ф

А3 = cos-sin —

3

(2.24)

2 2}

Можно получить систему уравнений связи для различных схем ППН, но при этом следует учесть, что [г1, г2, г3] = ^][г1 ^ г3] =

[0, 0, g] и система уравнений (2.20) будет иметь вид:

gxз = 2(А1А3 + AoA2)g

gyз = 2(А2Аз - ЛсЛь^ (2.25)

gzз = (Л2 + А2 - Л? - Л2)&

из которой непосредственно получают систему уравнений связи

gx = — cos^sin0N gy = sin ^ sin в gz = cos в

и базовые математические модели для различных вариантов ППН.

Приведенная выше методика получения систем уравнений связи, основанная на элементах кватернионной алгебры, является решением прямой задачи моделирования, поскольку далее путем аналитического решения данных систем получают непосредственно статические математические модели ППН.

Рассмотренные выше методы математического моделирования вполне приемлемы при решении задач пространственной ориентации твёрдых тел, а выбор того или иного математического аппарата в теоретических исследованиях определяется постановкой самой задачи математического моделирования и навыками исследователей и разработчиков подобного рода измерительных систем. Однако, по субъективному мнению автора, следует отдать предпочтение матричному методу и методу кватернионов. Так, в частности, при моделировании и анализе погрешностей ППН на отдельных этапах их развития были получены математические модели различных вариантов построения ППН, которые вполне удовлетворяли предъявляемым к ним требованиям. Тем не менее, анализ достигнутых результатов в моделировании и теоретических исследованиях инструментальных погрешностей требует отдельной критической оценки и в первую очередь - с точки зрения точностных показателей ППН.

2.6. Анализ известных базовых математических моделей преобразователей

параметров наклона

Математическому моделированию ППН, особенно в периоды интенсивного развития систем пространственной ориентации и геонавигации, включая инклинометрию скважин и наклонометрию, посвящено ряд фундаментальных и прикладных работ, в которых отражены основные направления теоретических исследований и получены вполне определенные результаты.

При проведении анализа известных, полученных ранее, базовых и обобщенных математических моделей необходимо рассмотреть каждый из вариантов построения ППН в отдельности и выполнить оценку степени приближения (адекватности) в рамках принятых авторами допущений, не претендуя при этом на полноту, а ограничиваясь лишь доступными публикациями в основном применительно к инклинометрии.

Развитие инклинометрических систем, включающих в себя ППН как неотъемлемую часть, в основном базировалось на достигнутых результатах в области авиационных курсовых систем, а также геонавигационных устройств морских судов. Поэтому в хронологическом порядке ППН инклинометрических систем выстраиваются в следующую цепочку: «карданные рамки» -«одностепенные маятники» - «акселерометрические датчики». Придерживаясь данного направления в развитии инклинометрии, следует рассмотреть и выполнить анализ развития теоретических положений в области создания и исследования ППН различных вариантов реализации кинематических схем и компоновочных структур.

2.6.1. Анализ математических моделей ППН по кинематической схеме двух

карданных рамок

Кинематическая схема ППН в виде двух карданных рамок с установленными на осях вращения датчиками угловых перемещений была наиболее распространенной в инклинометрических преобразователях (рисунок 1.3) на ранних этапах развития. Искомые углы в и р в ППН определяется по достаточно простым алгоритмам.

Впервые базовые статические математические модели такого ППН были получены Ковшовым Г.Н. из динамических моделей путем решения дифференциальных уравнений [34, 36, 37]. Затем Миловзоровым Г.В. был предложен оригинальный способ получения непосредственно статических математических моделей, без рассмотрения «динамики», при котором были введены матрицы обратных поворотов карданных рамок при их ориентации по вектору ускорения свободного падения [45, 46].

При этом каждая рамка данного варианта ППН по схеме рассматривалась в отдельности. Внешняя рамка - маятник с эксцентричным грузом представляет собой одностепенной маятник, ось вращения которого совпадает с продольной осью корпуса.

Общее векторно-матричное уравнение (2.26) с учетом отрицательных поворотов рамок при их ориентации по вектору ^было представлено в следующем виде:

где // - угол отрицательного поворота внешней рамки; /2 - угол отрицательного поворота внутренней рамки.

На основе решения векторно-матричного уравнения были получены базовые математические модели:

Были также рассмотрены источники инструментальных погрешностей для рассматриваемой кинематической схемы (рисунок 2.6):

-неполная ориентация внешней рамки по вектору g вследствие сил сухого трения в опорах ее вращения на угол А/;

- неполная ориентация внутренней рамки по вектору g на угол А/2 ;

- отклонение оси вращения внутренней рамки от ортогонали по отклонению к оси вращения внешней рамки на угол д.

(2.26)

р = аг^ в = аг^

(2.27)

Рисунок 2.6 Источники инструментальных погрешностей ППН по кинематической схеме двух карданных рамок

С учетом данных угловых параметров Ар, Ар2 и 8 уравнение (2.26) преобразовывалось следующим образом:

^ = Ад02(у)А/?2(у)А$(х)Ад01фА-1фА0(у)&о (2.28)

и было получено выражение обобщенной математической модели для зенитного угла:

9 = агЛя---. (2.29)

Далее принималось во внимание, что угловые параметры А@2 и 8 -малы, и, ограничиваясь первым приближением, обобщенная модель (2.29) была представлена следующим образом:

О = аг^-tg^2-. (2.30)

На основе полученных математических моделей и анализа инструментальных погрешностей был сделан вывод о том, что влияние параметров Ар1 и 8 на точность определения зенитного угла АО пренебрежимо мало, а доминирующее влияние оказывает АД -угол неточной ориентации внутренней рамки-маятника по вектору ^ вследствие сил сухого трения в опорах подвеса, или каких-либо других причин.

Анализ данного варианта ППН и достигнутых результатов в плане математического моделирования позволяет констатировать, что глубина проведенных теоретических исследований представляется вполне достаточной и дальнейшего развития теории рассматриваемой кинематической схемы не требует. Кроме того, непосредственно в инклинометрии данная кинематическая схема ППН постепенно перестала применяться в практических разработках и была вытеснена другими вариантами ППН. Тем не менее, ППН по данной кинематической схеме вполне может быть востребована в специфических устройствах навигации в сверхжестких условиях эксплуатации (по температуре и ударным перегрузкам), а также непосредственно в процессе проводки скважин в условиях низкочастотных крутильных колебаний низа бурильной колонны, где

другие компоновочных схемы ППН становятся мало эффективными, обладающими существенными динамическими погрешностями.

2.6.2. Анализ математических моделей ППН по кинематическим схемам

с одностепенными маятниками

К ППН данного типа в инклинометрических устройствах относятся кинематические структуры на основе трех ортогональных одностепенных маятников и трех одностепенных маятников, оси вращения которых ориентированы в апсидальной плоскости под углом в 120 градусов друг к другу (рисунок 1.4).

Теоретические исследования таких ППН, включая математическое моделирование и анализ инструментальных погрешностей, проводили в разные периоды Ковшов Г.Н. и Миловзоров Г.В. В дальнейшем развитие теории ППН по кинематическим схемам с ортогонально ориентированными одностепенными маятниками нашло отражение в работах Лутфуллина Р.Р. [42,43].

При этом были получены как базовые математические модели при определенных принятых авторами допущениях, так и обобщенные модели, а также и были выполнены оценки инструментальных погрешностей. Так, в частности, в работах [45, 46] использовался кватернионный метод, в соответствии с которым составлялись результирующие кватернионы для каждого маятника в отдельности и были получены уравнения связи следующего вида:

tg0i = sin ^tg0 tg& = cos p tg0 tg& = tgp

(2.31)

Было показано, что полученная система уравнений (2.31) обладает информационной избыточностью, поэтому работа ППН по кинематической схеме трех ортогональных маятников основана на дискретизации диапазонов в и р и устранении из рассмотрения показаний того датчика, устанавливающий момент маятника которого при данных в и р является неэффективным. Так при небольших углах наклона (в 45о) устанавливающий момент третьего маятника

>

является неэффективным и искомые углы О и р определяются из первых двух уравнений системы (2.31):

' (2.32)

^ = аг^

в = аг^0^1)2 + (:§^2)23

При больших углах наклона О> 45° в диапазонах ре (0^45°, 135°^225°, 315°^360°) устанавливающий момент первого маятника является неэффективным. В этих диапазонах искомые углы следует определять по выражениям

р = аг^^а&О tgД2

в = аг^

(2.33)

А в диапазонах ре (45°^135°, 225°^315°) устанавливающий момент второго маятника - неэффективен и искомые углы следует определять по формулам:

р = аг^^3) tgpl

в = аг^—

(2.34)

1 бШ^Г^С^)],!

Конструирование, изготовление элементов и сборка ППН связаны с точностью технологических процессов производства и возможными отклонениями в пределах полей допусков, что неизбежно приводит к возникновению инструментальных погрешностей измерения.

Для ППН на основе трех ортогональных маятников были рассмотрены также источники инструментальных погрешностей (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 Источники инструментальных погрешностей маятниковых ППН

В результате автором [45] были получены обобщенные модели измеряемых углов:

„ _ tg6(siny+jcosy) p _ tgflcos^ p _ tgfl siny+^i

g^1 1-5xtg0 cosф ' g^2 1-5ytg0sin^ ' g^3 tg0 cos^+oV

При небольших углах наклона (в< 45°) искомые зенитный и визирный углы определялись:

^ 6 tg^2-5ytg^itg^2 '

о = arctgV(tg^i)2 + (tg&)2 - 2tgfttgfo(* + 5*tg& + 5ytg&).

Полученные выражения являются обобщенными статическими математическими моделями ППН по кинетической схеме двух ортогональных маятников, из которых как частные решения при условии / =5Х =5у=0 следуют ранее полученные базовые модели (2.32). Аналогичным образом были получены и представлены обобщенные математические модели для ППН по кинематической схеме трех ортогональных маятников, а также выполнен комплекс теоретических исследований их инструментальных погрешностей. Однако, все модели содержали не полные тригонометрические функции малых углов, а лишь их аргументы, что обеспечивало только «грубую» оценку. Этот пробел восполнен Лутфуллиным Р.Р., в работах которого был предложен более детальный подход в моделировании и анализе инструментальных погрешностей.

Рассмотренный вариант ППН по кинематической схеме трех ортогональных маятников, как было показано из анализа полученных математических моделей, имеет структурную и информационную избыточность, поскольку для однозначного определения искомых зенитного в и визирного р углов достаточно иметь информацию об углах поворота двух маятников из трех. Искусственное введение структурной избыточности в ППН было направлено на повышение точности измерений в полном диапазоне зенитного угла в с учетом физической природы одностепенного маятника, а именно эффективности его устанавливающего момента, действующего на эксцентричный груз маятника при произвольной ориентации оси его вращения по отношению к вектору g.

Повышение точности измерений было основано на дискретизации диапазонов О и р и селективном выборе измеряемых сигналов с тех двух маятников, устанавливающие моменты которых в рассматриваемых диапазонах О и р являются наиболее эффективными, т.е. обеспечивают наиболее "полную" ориентацию маятника по вектору g.

Аналогичным образом были рассмотрены вопросы моделирования и анализа погрешностей для варианта ППН, структуру которого составляли три одностепенных маятника, оси вращения которых ориентированы под 120 градусов друг относительно друга.

Следует отметить важную особенность данного варианта ППН с тремя ортогональными маятниками, а именно - здесь явно просматривается аналогия с последующими разработками, в которых применены осевые акселерометрические датчики в классическом исполнении, как с точки зрения конструктивных принципов построения, так и с позиций в математическом моделировании и анализе инструментальных погрешностей.

Данный вариант ППН (рисунок 2.9) реализуется по компоновочной схеме трех ортогонально ориентированных одноосевых акселерометрических датчиков. Изменения пространственной ориентации корпуса ППН на зенитный угол О и визирный угол р соответствуют ортогональным преобразованиям основного базиса Яо.

Базовые математические модели впервые получены Ковшовым Г.Н. [34, 36, 37] и позволяют однозначно определить искомые угловые параметры О и р во всех измеряемых диапазонах.

2.6.3. Анализ математических моделей ППН с одноосевыми

акселерометрическими датчиками

gx = — cos ^ sin в gy = sin ^ sin в

gz = ^ в

Г 0 А1 п—1 ш. Л л

ж Ч т ^ с

1 иЛ

Ув "к 222 'о V \Л Х1

Рисунок 2.9. Схема трехкомпонентного ППН с одноосевыми акселерометрическими датчиками Однако данные модели являются идеализированными, характеризуют ППН, в котором оси чувствительности одноосевых акселерометров А1, А2, А3 (рисунок 2.9) строго совпадают с осями корпуса OX0Y0Z0. При реальном конструировании и изготовлении ППН оси чувствительности одноосевых акселерометров относительно осей базиса корпуса имеют разброс угловых параметров 81, и х, которые оказывают непосредственное влияние на точность измерения проекций gi и соответственно на точность определения параметров в и р. Данные угловые параметры являются источниками инструментальных погрешностей ППН [20, 45, 47]:

8х - угол отклонения оси акселерометра А1 относительно оси 0Х в плоскости 0Х7; 8у - угол отклонения оси акселерометра А2 относительно оси 0Y в плоскости 0YZ; Х- угол отклонения оси акселерометра А1 относительно оси 0Х в плоскости 0ХY; <1 и <2 - углы отклонения оси акселерометра А3 относительно оси 0Z соответственно в плоскостях 0YZ и 0XZ. В плане развития теоретических положений в дальнейшем Миловзоровым Г.В. были предложены обобщенные математические модели ППН, в которых учитывались малые угловые параметры 8, <■ и х

Поскольку при ненулевых значениях параметров di, oí и % оси чувствительности каждого из акселерометров А^=Х,У;2) образуют свой ортогональный базис (рисунок 2.9), то их было предложено рассматривать отдельно. При этом общие векторно-матричные уравнения были представлены в следующем виде:

gAx = A<5x(y)A^(z)A<p(z)A0(y)gRO Л

gAy = A<5y(z)A<p(z)A0(y)gRO gAz = Aff1(x)ACT2(y)A^(z)^0(y)gRO.

В результате решения векторно-матричных уравнений относительно соответствующих проекций (gx для Ax; gy для Ay; gz для Az), система скалярных уравнений связи определилась следующим образом:

gx = cos 5x(— cos ^ cos x + sin x sin sin в — sin 5x cos в gy = cos 5y sin ^ sin в + sin 5y cos в

gz = cos 0"1 cos a"2 cos в — sin 0( sin 0"1 sin ^ + sin 0"2 cos ^ cos 0)

где gi(i=x,y,z) - приведенные значения измеряемых сигналов с акселерометров, т е. |gi(i=x,y,z)| < 1.. В результате были приняты допущения cos 5fc = 1; sin5fc = 5fc и получены обобщенные математические модели ППН:

tgy = gy-gygz

-(gx-Jgy + ^xgz)

_ \

tg0 =

(gx-Jgy + ^xgz)2 + (gy-^ygz)2

gz-^2gx + 0"lgy

На дальнейшем этапе Лутфуллиным Р.Р. были получены уточненные математические модели данного варианта ППН, в которых принимались другие допущения cos 5k = cos 5fc ; sin 5k = 5k. Это позволило несколько повысить точностные показатели ППН. Далее в плане развития теории Зигангировым Л.Р. были получены и предложены наиболее полные математические модели без указанных выше допущений для рассматриваемой компоновочной структуры трехкомпонентного ППН с одноосевыми акселерометрическими датчиками. Практически на всех этапах развития ППН авторами выполнялись теоретические исследования инструментальных погрешностей, которые сопровождались анализом их конкретных значений в зависимости от величин прогнозируемых

малых угловых параметров отклонения осей вращения маятников и осей чувствительности одноосевых акселерометров от осей прямоугольного базиса корпуса ППН. При этом математические модели составляли основу алгоритмической обработки сигналов с первичных измерительных преобразователей ППН, что позволяло обеспечивать улучшение их точностных показателей.

Результаты и выводы

1. В результате критического анализа известных математических методов описания пространственной ориентации твердых тел с учетом специфики построения ППН показано, что предпочтительным и целесообразным представляется применение матричного метода и метода кватернионов как в математическом моделировании, так и при анализе инструментальных погрешностей.

2. На основе анализа известных математических моделей различных вариантов построения ППН установлено, что:

• ранние разработки ППН, основанные на маятниковых структурах, имеют достаточно полную теоретическую проработанность в виде полученных и исследованных обобщенных математических моделей;

• базовые математические модели варианта ППН по кинематической схеме трех (и как частного случая двух) ортогонально ориентированных одностепенных маятников представляются в схожем виде с моделями ППН по компоновочной схеме трех акселерометрических датчиков;

• на эволюционных этапах развития ППН разработчиками были получены базовые и обобщенные математические модели ППН с тремя одноосевыми ортогонально ориентированными акселерометрическими датчиками, причем при синтезе и анализе моделей принимались последовательно допущения cos5fc = 1; sin 5k = 5k и cos 5k = cos 5fc ; sin 5k = 5k;

• вариантам построения и моделирования ППН с двухосевыми и трехосевыми акселерометрическими датчиками с точки зрения их несоосного позиционирования в корпусе уделено не достаточное внимание.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И АНАЛИЗ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПАРАМЕТРОВ НАКЛОНА С АКСЕЛЕРОМЕТРИЧЕСКИМИ

ДАТЧИКАМИ

В данной главе рассматриваются вопросы математического моделирования ППН с трёхосевым и двухосевыми акселерометрическими датчиками. Выполняется теоретический анализ инструментальных погрешностей различных вариантов компоновочных схем ППН. Осуществляется постановка вычислительных экспериментов на ЭВМ и разрабатывается соответствующее программно-алгоритмическое обеспечение.

3.1. Разработка и анализ обобщенных математических моделей ППН с трёхосевым акселерометрическим датчиком

Одним из вариантов построения измерительных преобразователей параметров наклона скважинных объектов является применение в общей компоновке трёхосевого акселерометрического датчика, выполненного в едином конструктиве (рисунок 3.1) и обеспечивающего измерение всех трёх проекций ускорения свободного падения gi(x,y,z)на соответствующий оси чувствительности акселерометров. Такие устройства выпускаются серийно, вполне доступны и имеют одну важную особенность, а именно - нормированные метрологические характеристики, указываемые в документации на изделие [65]. Причем заявляемые и, по-видимому, гарантируемые точностные показатели позволяют на сегодняшний день отнести такие датчики к разряду прецизионных сенсоров. Так, одним из важнейших параметров, который во многом определяет точность вычислений искомых углов пространственной ориентации объектов, является взаимная «неортогональность» ориентации осей чувствительности акселерометров, лежащая в пределах + 0,1°. При идеальной компоновке, в соответствии с которой рёбра куба датчика строго ориентируются по прямоугольным осям корпуса, искомые углы в и ^ в основном варианте ППН определяются по известным базовому векторно-матричному уравнению

gRk= Ap(Z)A0(y)gRO и базовым статическим математическим моделям [45]:

gx = — cos^sin^4 gy = sin ^ sin в gz = cos 9

w = arctg —

-gx

gx2+gy2

gz

в = аг^

где gR0 - вектор - столбец проекций вектора g в базисе Rk корпуса ППН; А](к) - матрицы направляющих косинусов, соответствующие последовательным плоским поворотам базиса Яо.

Рисунок 3.1. Внешний вид трёхосевого акселерометрического

датчика ADIS16355 В соответствии с общей теорией погрешностей измерений [67], а также с теоремой о полном дифференциале функции общее аналитическое выражение погрешности определения искомых углов в и как аргументов функции тангенса, выглядит в частных производных следующим образом:

= yi=xyz d(gi(xyz)) (Agi(xyz)), (3.2)

из которого следуют аналитические выражения погрешностей определения искомых углов А(0) и А(^):

1

Л(^) ^^[sin^Agx+ cos^Agy]; А(0) = [(—Agx cos ^ +Agy sin ^)cos 0 - Agz sin 0]. (3.3)

Анализ полученных выражений (3.3) позволяет выполнить оценку предельных значений погрешностей при гипотетическом допущении cos р = sinp = 1{р е в,

|Д(в)| <

|sin0|

1 1 1 (3.4)

Xi=xyz(gi)2

Необходимо отметить, что в представленных выражениях (3.4) погрешности Д( 0) и Д( <) имеют размерности в радианах, а погрешности Дgi(x,y,z) - в относительных единицах, которые также могут быть выражены и в процентах.

В табл. 3.1 приведены прогнозные расчетные значения предельных погрешностей Д( 0) и Д( <) , а на рисунке 3.2 показана динамика изменения данных погрешностей Д( 0) и Д( <) в зависимости от различных значений погрешностей измерений проекций Дgi(x,y,z).

Таблица 3.1

^i(x,y,z),% |Д в|, угл. мин. При в =900; sin в=1 При в =50; sin в =0,0871

|Д <р|, угл. мин. |Д Н град.

0,05 2,977 2,431 0,465

0,10 5,954 4,862 0,929

0,15 8,931 7,292 1,394

0,20 11,909 9,723 1,859

0,25 14,885 12,154 2,324

0,30 17,863 14,585 2,789

0,35 20,840 17,016 3,254

0,40 23,817 19,447 3,718

0,45 26,795 21,878 4,184

0,50 29,771 24,308 4,64

Нормированные значения «неортогональности» осей чувствительности акселерометров по отношению к прямоугольному базису самого трёхкомпонентного датчика Кд(Хд,уд,2д) (рисунок 3.1), составляющие +0,10, безусловно является положительным фактором ППН. Однако, его позиционирование в корпусе ППН при окончательной сборке аппаратуры приводит к дополнительным угловым отклонениям базиса Кд(ХЦ,уд,2д) по

отношению к базису Кк(Хк,Ук,гк), что приводит в конечном итоге к появлению инструментальных погрешностей в определении искомых углов Д( 0) и Д( <) .

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Рисунок 3.2.а График погрешности Д 0 = f(Дgi(XyZ))

Рисунок 3.2.бГрафик погрешности Дф = f(Дgi(XyZ)) при вт0=1

Рисунок 3.2.в График погрешности Д^ = f(Agi(XyZ)) при 9=50