Иерархия фермионных масс и физика больших дополнительных измерений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Нугаев, Эмин Яткярович

• Нугаев, Эмин Яткярович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нугаев, Эмин Яткярович

Введение

1 Рассчет иерархии в модели с плоскими дополнительными измерениями

1.1 Двумерные вихри в шестимерном пространстве-времени 17 « 1.2 Численное нахождение устойчивых солитонных конфи 1 гураций.

1.3 Фермионный сектор.

1.4 Иерархия фермионных масс в четырехмерной теории

1.5 Модель со смешиванием.

2 Двумерная сфера как пример компактных дополнительных измерений w 2.1 Векторные поля на двумерной сфере S2.

2.2 Вихрь на сфере.

2.3 Фермионные нулевые моды во внешнем поле вихря на сфере

2.4 Иерархия поколений в сферической модели.

2.5 Взаимодействие калуца-клейновских мод калибровочных бозонов с фермионами.

2.6 Взаимодействия в массовом базисе

3 Феноменологические следствия, возникающие из получения иерархии поколений

3.1 AG = 0: запрещенные распады каонов.

3.2 AG = 1: нарушение мюонного числа.

3.3 AG = 2: разница масс Ki — Ks и CP-нарушение в ка-онах.

3.4 Сигнатуры для ускорительных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Иерархия фермионных масс и физика больших дополнительных измерений»

В настоящее время основой для описания электрослабого взаимодействия является теория Глэшоу-Вайнберга-Салама [1, 2, 3]. Расширение калибровочной группы этой теории, учитывающее SUC(3)~ инвариантность относительно группы цвета [4, 5, 6] приводит к Стандартной модели физики элементарных частиц. На сегодняшний момент в ее предсказаниях не существует каких-либо существенных противоречий с экспериментами, проводимыми на ускорителях.

Стандартная модель является перенормируемой квантовой теорией поля (см., напр., [7, 8, 9]), инвариантной относительно калибровочных преобразований из группы SU(3)C х SU(2)ew х Uy{ 1)- Полезно отметить некоторые следствия из этого, достаточно общего, утверждения. Если считать, что Стандартная модель верно описывает физику элементарных частиц на всех энергетических масштабах, то она внутренне непротиворечива. Однако, в последнее время появилось большое количество работ, в которых авторы выходят за пределы нынешних представлений о физике фундаментальных взаимодействий. Это связано с тем, что несмотря на самосогласованность Стандартной модели как фундаментальной теории, в ней появляются теоретические проблемы, если ее рассматривать как эффективную теорию поля с некоторым энергетическим масштабом обрезания

Л. О неполноте описания всей физики элементарных частиц свидетельствует отсутствие квантово-полевого описания гравитационного взаимодействия. Существует энергетический масштаб, Mpi ~ 1019 ГэВ, на котором гравитационное притяжение элементарных частиц становится сравнимым с сильным, слабым и электромагнитным взаимодействиями. При таких энергиях должны учитываться эффекты квантовой гравитации, поэтому масштаб обрезания Стандартной модели заведомо ниже Мр/. Другой, несколько меньший масштаб обрезания связан с идеей Великого объединения. В этих теориях группа SUC(3) х SU(2)eu> х Uy{ 1) Стандартной модели вложена в более общую группу, например SU(5) [10]. Выше масштаба нарушения большой группы теория описывается одной константой связи, а ниже — константами калибровочных взаимодействий Стандартной модели. Основой для такого предположения является сближение бегущих констант связи сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий на масштабе Mqut ~ Ю16 ГэВ.

К сожалению, появление такого большого масштаба обрезания А в теории ведет к нескольким проблемам. Первая из них возникает при описании спонтанного нарушения [11, 12] калибровочной группы SU(2)ew х Uy( 1) до подгруппы Ueто(1). Обычно для этого вводится скалярное поле, вакуумное среднее vew которого отлично от нуля и дает массы W- и Z-бозонам, а также полям материи. Для объяснения значений масс калибровочных бозонов необходимо использовать vew = 25б ГэВ. В квантовой теории поля квадрат этой величины перенормируется. Как известно, массовый член для скалярного поля в четырехмерном пространстве-времени получает квадратичный по масштабу обрезания А вклад из-за квадратичной расходимости соответствующей диаграммы. Если vew <С Л, то такая расходимость приводит к необходимости точной подстройки параметров на масштабе перенормировки. Действительно, чтобы сократить поправку порядка Л2 надо, чтобы затравочное значение было равно поправке с отрицательным знаком с относительной точностью ~ (vew/A)2. Проблема заключается в отсутствии механизма, контролирующего такое точное сокращение. Описанная трудность, возникающая при большой разнице между масштабом нарушения электрослабой теории и масштабом Мдит получила название проблемы калибровочной иерархии.

Другая проблема иерархии появляется при рассмотрении спектра масс лептонов и кварков. Наблюдаемое отношение между массой t-кварка, mt = 175 ГэВ, и массой электрона, те = 0.5 МэВ, превышает 105. Включение в рассмотрение нейтринного сектора приводит к увеличению значения отношения массовых параметров еще на б порядков. Если мы ставим задачу построить теорию, низкоэнергетическим пределом которой является Стандартная модель, то получение вышеуказанной большой величины можно сформулировать как отдельную проблему иерархии фермионных поколений. Таким образом, в настоящее время проблемы иерархий стали отдельными объектами интенсивных исследований со стороны теорий, претендующих на более полное описание природы фундаментальных взаимодействий. Помимо механизма получения иерархии фермионных масс, в теории должны восстанавливаться элементы матрицы смешивания. Рассмотрение этих ограничений является одной из основных задач настоящей диссертации.

Для решения проблем, связанных с иерархией энергетических масштабов, привлекается новая физика. Так, хорошо известно, что проблему квадратичных расходимостей в массовом члене для скалярных частиц можно решить при помощи суперсимметрии [13]. Суперсимметрия использовалась также для решения проблемы иерархии поколений (см., напр., [14], а также обзор [15]).

Суперсимметричные обобщения для Стандартной модели хорошо изучены (см., напр., [16,17]). Поиск подтверждения этих теорий в настоящее время является одной из основных задач экспериментальной физики. Недостаток суперсимметричных моделей состоит в сильном увеличении числа параметров по сравнению со Стандартной моделью (подробное сравнение см. в [16]).

Сравнительно недавно, появились попытки объяснить иерархию при помощи дополнительных пространственных измерений [18, 19]. В различных моделях объясняется как иерархия поколений, так и калибровочная иерархия [18].

Модели с использованием дополнительных измерений исторически явились первыми попытками синтеза электромагнетизма и гравитации в теории Калуцы-Клейна [20, 21, 22]. Однако, несмотря на то, что они появились сразу после работ Эйнштейна по общей теории относительности, феноменологи заинтересовались ими сравнительно недавно. Проблема заключалась в том, что малый радиус компакти-фикации (~ 10~33см) приводил к значительным эффектам лишь при энергиях порядка В последние годы появились теории, в которых компактификация происходит на расстояниях порядка нескольких миллиметров [18, 23] (см. также более ранние работы [24]), или же дополнительное измерение остается некомпактным, как в работах [19, 25, 26, 27] (см. также обзор [28]). При этом заметные отклонения от Стандартной модели могут появиться в экспериментах на

Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе (мы будем использовать для этого ускорителя более распространенную английскую аббревиатуру LHC).

Для объяснения основной идеи нам требуется определить энергетический масштаб объединения. В большинстве работ в качестве такового выбран А ~ 1 — 100 ТеВ, несильно отличающийся от vew. Для сравнения напомним, что обычно в теории Калуцы-Клейна масштаб объединения порядка Mpi ~ 1019 ГеВ. Рассмотрим многообразие Минковского с п дополнительными пространственными измерениями и радиусом компактификации R. Обычный интеграл Эйнштейна-Гильберта для действия гравитационного поля на нем обезразмери-вается домножением на где Мрц4+П) — зависящая от п величина с размерностью массы, характеризующая силу гравитационного взаимодействия в (4+п)-мерном пространстве-времени. Энергия притяжения двух частиц с массами т\ и 7712 при г R будет равна

Т Р1(4+п) где г - расстояние между телами. Если мы заинтересуемся взаимодействием при г Л, то получим обычный четырехмерный закон Ньютона: п Т Р1(4+п)

Сравнивая два последних выражения, найдем, что обычная масса Планка выражается через Mpi(4+n) и R по формуле

Мп =

Масса Mpi(4+n) определяется энергетическим масштабом объединения Мр1(4+П) ~ Л. Из формулы видно, что уже при п = 2 размер дополнительных измерений составляет десятые доли миллиметра. Закон Ньютона на таких расстояниях экспериментально еще только проверяется [29,30]. Следует отметить, что эти соображения стимулировали исследования в гравиметрии: принципиально новые явления в физике высоких энергий можно обнаружить не только на ускорителях, но и из измерений закона Ньютона на расстояниях ~ 100 мкм.

С другой стороны, экспериментально известно, что все остальные взаимодействия обладают четырехмерными законами вплоть до расстояний порядка l/veu,~10~16 см, поэтому для них должен быть разработан специальный механизм компактификации. Требование локализации калибровочных полей также продиктовано законами сохранения энергии, электрического заряда, барионного и лептонного чисел, которые выполняются в четырехмерной теории с высокой точностью.

Наиболее естественными представляются модели с локализацией на одномерных солитоноподобных объектах, впервые предложенные Рубаковым и Шапошниковым [25]. В подобных моделях локализация полей материи происходит за счет их специального взаимодействия с полем кинка. Максимумы профилей фермионных волновых функций в дополнительном измерении оказываются на различных гиперплоскостях (бранах) [31]. При этом появляется иерархия масс, возникающих за счет перекрытия решений для полей материи, которые убывают по гауссову закону в обе стороны от браны по пятому измерению. Различие в расположении фермионных бран достигается введением сравнительно большого числа различных, но мало отличающихся друг от друга (пятимерных) масс.

Уменьшить число параметров удалось в работах [32, 33], где три поколения киральных фермионов Стандартной модели естественным образом возникают из одного поколения в шестимерной теории. Возможность такого упрощения фермионного сектора была продемонстрирована при помощи локализации полей материи на вихре (о локализации гравитации на вихре см. работу [34]). Количество четырехмерных поколений равно числу нулевых мод [35] оператора Дирака во внешнем поле и по теореме Атиа-Зингера в применении для вихря [36] совпадает с топологическим индексом дефекта*. В этом случае иерархия получается за счет различного степенного поведения фер-мионных решений вблизи вихря. Предполагалось, что в окончательный ответ для масс фермионов эффективной четырехмерной теории войдет безразмерный параметр 5, зависящий от константы д юкав-ского взаимодействия фермионов с вихрем и размер вихря. Тогда соотношение между массами первого, второго и третьего поколений выглядит следующим образом б4 : 52 : 1, (1)

Из экспериментальных данных видно [39], что массы разных поколений и лептонов, и кварков по порядку величины удовлетворяют (1) при 6 ~ 0.1.

В статье автора [40] (совместно с М. В. Либановым) проведены аналитический и численный рассчеты для масс эффективной четырехмерной теории в модели [33]. Для сравнения была посчитана иерархия в случае глобального и калибровочного вихря. Как обнаружилось

Надо отметить, что теорема Атиа-Зингера является более общим геометрическим утверждением, которое имеет широкое применение в современной физике [37, 38]. из рассчетов на компьютере, в случае глобального вихря иерархии между первым и вторым поколением нет, в то время как для случая с калибровочным полем она появляется. Как оказалось, в последнем случае параметр 6, входящий в соотношение (1) пропорционален у/д.

Структура матрицы смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы [41, 42], полученная путем численного рассчета, находится в согласии с [39], при этом число фитируемых параметров модели меньше числа восстановленных параметров Стандартной модели. Рассмотрение нейтринного сектора было проделано в работе [43].

Успешное объяснение иерархии поколений стимулировало авторов включить в рассмотрение взаимодействие фермионов с калибровочными полями. Существует несколько подходов к решению этого вопроса. Можно обойти проблему локализации калибровочных полей, рассмотрев компактные дополнительные измерения [18]. Тогда уравнения для свободных безмассовых векторных полей можно свести к уравнению Лапласа на компактном многообразии. У него существует единственное решение с нулевой энергией, которое постоянно на всем многообразии. В эффективной четырехмерной теории, получаемой интегрированием по дополнительным измерениям, этой нулевой моде соответствует калибровочное поле Стандартной модели. Следствием независимости нулевой моды от координат, описывающих дополнительные измерения и нормированности нулевых мод фермионных полей является универсальность зарядов для всех трех поколений.

Пример конкретной реализации в модели с двумя дополнительными измерениями, образующими сферу S2, приведен в [44]. Там же приведен анализ появления иерархии поколений. Этой модели посвящена вторая глава настоящей диссертации.

Другой способ получить локализованную нулевую моду для калибровочных полей заключается в рассмотрении некомпактных дополнительных измерений, образующих многообразие с нетривиальной метрикой. Впервые эта идея была реализована для полей гравитации в [19, 27]. В нашем подходе с использованием сферы, эффективные взаимодействия фермионов через старшие калуца-клейновские моды калибровочных бозонов несущественно зависят от способа локализации калибровочных полей. Таким образом, радиус сферы (на который в Главе 3 будут получены экспериментальные ограничения) можно рассматривать не как параметр дополнительных измерений, а как масштаб локализации калибровочных полей в моделях, где существует динамический механизм такой локализации. Сферу же при этом удобно вводить как наиболее простой способ регуляризации теории, а размер дополнительных измерений может быть произвольным.

Еще одна возможность локализовать калибровочные поля на бране заключается в использовании некоммутативных дополнительных измерений [45, 46, 47] (см. также обзор [48]). В теории поля на некоммутативном пространстве существуют солитоноподобные решения, локализующие фермионные моды [49, 50, 51, 52]. Альтернативные способы реализованы в [53, 54].

В диссертации также исследуются ограничения, накладываемые на модель [33] из существующих экспериментальных данных. Основные ограничения на масштаб новой физики возникают из экспериментов по поиску редких процессов — процессов, которые сильно подавлены или вообще отсутствуют в Стандартной модели. Таковыми являются процессы, нарушающие точные или слабо нарушенные симметрии Стандартной модели. Ограничения, получаемые из отсутствия барионной или лептонной симметрии обычно настолько сильны, что эти симметрии стараются сохранить при построении феноменологических моделей. Поэтому ограничения на масштаб теории приходят из процессов с нарушением аромата, которые происходят в Стандартной модели с участием заряженных Ил±-бозонов. Наиболее существенными являются пределы, получаемые из каонной физики. Так, вклад в параметр нарушения CP-инвариантности ек происходит только в петлевой поправке [55], поэтому вклад от дополнительных бозонов будет сразу заметен. В модели [33, 44] дополнительные бозоны появляются из старших калуца-клейновских мод калибровочных полей Стандартной модели. Их масса, характеризующая масштаб новой физики М, пропорциональна 1/R, где R — радиус сферы S2, образованной в результате компактификации двух дополнительных измерений. Наиболее сильное ограничение на масштаб М в этой модели возникает при рассмотрении распада Kl —> Это связано с тем, что в таких теориях приближенно сохраняется номер поколения участвующих в реакции частиц, так как в шестимерной теории он отвечает приближенной симметрии. Поясним роль этой симметрии в моделях с двумя и более дополнительными измерениями. Нулевые моды фермионов являются решениями уравнения Дирака во внешнем поле солитона в пространстве дополнительных измерений (для малого числа измерений эти уравнения были исследованы в [35, 56]). Инвариантность потенциала приводит к вырождению уровней. Независимые фермионные решения с одинаковой, нулевой, энергией соответствуют разным поколениям полей материи Стандартной модели. В модели с двумя дополнительными измерениями есть только одно квантовое число, при помощи которого можно различить поколения.

Оно соответствует вращениям относительно оси вихря, дополненными калибровочными преобразованиями. Если бы эта симметрия была точной, то номер поколений в эффективной четырехмерной теории сохранялся. В нашей модели, однако, эта инвариантность нарушена смешивающими членами, следствия из введения которых можно исследовать на эксперименте. Заметим, что этот механизм локализации фермионов позволяет рассматривать и некомпактные дополнительные измерения. Надо только воспроизвести универсальность зарядов, которая для компактных многообразий получается автоматически.

В настоящее время существуют возможности для усовершенствования экспериментов по поиску редких распадов каонов [57]. Наблюдение распада Kl i^e* в отсутствии сигнатур для других редких процессов было бы свидетельством в пользу моделей с сохранением поколений.

Процессы с нарушением аромата, особенно с лептонами в конечном состоянии, могут быть исследованы на коллайдерах. Для модели [33, 44] возможности поиска таких процессов были оценены в [58].

Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и Приложения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Нугаев, Эмин Яткярович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

Исследована модель, в которой иерархия фермионных поколений возникает естественным образом в теории с двумя дополнительными измерениями. Найден аналитический способ описания фермионных масс и смешиваний в этой модели.

Численно проверены полученные результаты для массовых матриц кварков. Показано, что соотношение между массами ферми-оннов первого, второго и третьего поколений описывается одним малым параметром 5,

54 : б2 : 1.

Результаты обобщены на модель с компактными дополнительными измерениями, что позволило описать взаимодействие фер-мионов с калибровочными полями Стандартной модели. Анализ взаимодействия с высшими калуца-клейновскими модами позволяет найти ограничение на энергетический масштаб модели. Показано, что поперечные ограничения не зависят от способа локализации калибровочных полей и размер дополнительных измерений.

Показано, что в эффективной четырехмерной теории возможны процессы со слабым нарушением аромата, связанные с нейтральными токами. Из данных для редких процессов получены ограничения на это взаимодействие. Показано, что наличие определенной симметрии в эффективной теории приводит к приближенному сохранению номера поколений взаимодействующих частиц. Поэтому основное ограничение на массу старших мод калибровочных бозонов определяется верхним пределом для парциальной ширины распада Kl —► це. Остальные редкие процессы, разрешенные в моделях с нарушающими аромат нейтральными токами, приводят к более слабым экспериментальным ограничениям.

Рассмотрены сигнатуры полученной низкоэнергетической теории для ускорительных экспериментов. Показано, что для протон-протонных ускорителей есть возможность обнаружить первые калуца-клейновские возбуждения нейтральных бозонов в канале распада на антимюон и электрон.

В заключение хотелось бы высказать глубокую благодарность своему учителю, М. В. Либанову, руководившему данной работой и участвовавшему в ней на всех этапах.

Автор благодарен своим соавторам, С. В. Троицкому и Ж.-М. Фре-ру за успешное сотрудничество. Автор признателен Н. В. Красникову и В. А. Рубакову за ценные обсуждения на разных этапах работы, А. Н. Кузнецову, Ф. Л. Безрукову и С. В. Демидову за помощь при проведении численных рассчетов, Д. С. Горбунову и С. М. Сибиря-кову за многочисленные советы, а также всем сотрудникам и аспирантам, работающим в Отделе теоретической физики ИЯИ РАН, за творческую атмосферу и доброжелательность, проявленную во время работы над диссертацией. к

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нугаев, Эмин Яткярович, 2004 год

1. Glashow S. L. Partial symmetry of weak interactions. // - Nucl. Phys. -1961. -22. -p.579-588.

2. Weinberg S. A model of leptons. // -Phys. Rev. Lett. -1967. -19. -p. 1264-1266.

3. Salam A. Weak and electromagnetic interations of leptons // -In: Proc. of the Nobel Symposium of Elementary Particle Theory, ed. N. Svartholm. Lerum. -1968. -p.367-381.

4. Боголюбов H. H., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. Н. К вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц. — Дубна, 1965. 13 с. (Препринт ОИЯИ, Д-1986 )

5. Han М. Y., Nambu Y. Three-triplet model with double SU(3) symmetry. Phys. Rev., 1965, V.B139, p.1038-1040.

6. Fritzch H., Gell-Mann M., Leutwyller H. Advantages of the colour octet gluon picture. // -Phys. Lett. В -1973. -47. -p.365-368.

7. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. // М.: Наука, 1984. -600 с.

8. Славнов А. А., Фаддеев JI. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. // -М.: Наука. -1988. -272 с.

9. Пескин М., Шредер Д., Введение в квантовую теорию поля. // -Ижевск: РХД. -2001. -784 с.

10. Georgi Н., Glashow S. L. Unity of all elementary particle forces. //- Phys. Rev. Lett. 1974. - 32. -p.438-441.

11. Higgs P. W. Broken symmetries and the masses of gauge bosons. //- Phys. Rev. Lett. -1964. -13. -p.508-509.

12. Englert F., Brout R. Broken Symmetry And The Mass Of Gauge Vector Mesons. // -Phys. Rev. Lett. -1964. -13. -p.321-322.

13. Grisaru M., Siegel W., Rocek M., Improved methods for supergraphs. // -Nucl. Phys. В -1979., -159., -p.429-450.

14. Nelson A., Strassler M. Suppressing flavor anarchy.// -JHEP -2000. -0009. -030.

15. Kaplan D., Tait T. Supersimmetry breaking, ferminon masses and a small extra dimension. // -JHEP -2000. -0006. -020.

16. Kazakov D. I. Beyond the standard model: in search of supersymmetry. // Lectures given at European School of High-Energy Physics (ESHEP 2000), Caramulo, Portugal. - 2000. -p. 125199

17. Vysotsky M. I. Supersymmetric models of elementary particles: the physics for new generation accelerators? // -Usp.Fiz.Nauk -1985. -146. -p.591-636.

18. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter. // -Phys.Lett.B -1998. -429. -p.263-272.

19. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimension. // -Phys.Rev.Lett. -1999. -83. -p.3370-3373.

20. Kaluza T. On the problem of unity in physics // -Sitzungsber.Preuss.Akad.Wiss.Berlin (Math.Phys.) -1921. -p.966-972.

21. Klein 0. Quantum theory and five-dimensional theory of relativity. // -Z.Phys. -1926. -37. -p.895-906, // -Surveys High Energ.Phys. -1986. -5. -p.241-244.

22. Klein 0. The atomicity of electricity as a quantum theory law. // -Nature -1926. -118. -p.516.

23. Antoniadis I., Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV. // -Phys.Lett.B -1998. -436. -p.257-263.

24. Antoniadis I. A possible new dimension at a few TeV. // -Phys.Lett.B -1990. -246. -p.377-384.

25. Rubakov V. A., Shaposhnikov M. E. Do we live inside a domain wall? // -Phys.Lett.B -1983. -25. -p.136-138.

26. Akama K. Pregeometry. // -Lect.Notes Phys. -1982. -176. -p.267-271.

27. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimensions. // -Phys.Rev.Lett -1999. -83. -p.4690-4693.

28. Rubakov V. A. Large and infinite extra dimensions: an introduction. // -Phys.Usp. -2001. -44. -p.871-893.

29. Hoyle С., Schmidt u., Heckel В., Adelberger E., Gundlach J., Kapner D., Swanson H. Sub-millimeter tests of the gravitational inverse-square law: a search for large' extra dimensions. // -Phys.Rev.Lett. -2001. -86. -p.1418-1421.

30. Long J., Chan H., Price J. Experimental status of gravitational-strength forces in the sub-centimeter regime. // -Nucl.Phys.B -1999. -539. -p.23-34

31. Arkani-Hamed N., Schmaltz M. Hierarchies without symmetries from extra dimensions. // -Phys.Rev.D -2000. -61. -033005.

32. Libanov M. V., Troitsky S. V. Three fermionic generation on a topological defect in extra dimensions. // -Nucl.Phys.B -2001. -599. -p.319-333.

33. Frere J. M., Libanov M. V., Troitsky S. V. Three generations on a local vortex in extra dimensions. // -Phys.Lett.B -2001. -512. -p.169-173.

34. Giovannini M., Meyer H., Shaposhnikov M. Warped compactification on abelian vortex in six-dimensions. // -Nucl.Phys.B -2001. -619. -p.615-645.

35. Jackiw R., Rossi P. Zero modes of the vortex-fermion system. // -Nucl.Phys.B -1981. -190. -p.681-691.

36. Weinberg E. J. Index Calculations for the fermion vortex system. // -Phys.Rev.D -1981. -24. -p.2669-2689.

37. Eguchi Т., Gilkey P., Hanson A. Gravitation, gauge theories and differential geometry. // -Phys.Rept.66 -1980. -213. -298pp.

38. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн: В двух томах. Том 2. Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология. // -М.: Мир. -1990. -т.2 -656 с.

39. Hagiwara К. et al. Review of particle physics // -Phys.Rev.D -2002. -66. -010001.

40. Libanov M. V., Nougaev E. Y. Towards the realistic fermion masses with a single family in extra dimensions. // -JHEP -2002. -0204. -055.

41. Cabibbo N. Unitary symmetry and leptonic decays. // -Phys.Rev.Lett. -1963. -10. -p.531-532.

42. Kobayashi M., Maskawa T. CP violation in the renormalizable theory of weak interaction. // -Prog.Theor.Phys. -1973. -49. -p.652-657.

43. Frere J. M., Libanov M. V., Troitsky S. V. 'Neutrino masses with a single generation in the bulk. // -JHEP -2001. -0111. -025.

44. Frere J. M., Libanov M. V., Nugaev E. Y., Troitsky S. V. Fermions in the vortex background on a sphere. // -JHEP. -2003. -0306. -009.

45. Harvey J., Kraus P., Larsen F., Martinec E. D-branes and strings as non-commutative solitons. // -JHEP -2000. -0007. -042.

46. Harvey J., Kraus P., Larsen F. Exact noncommutative solitons. // -JHEP -2000. -0012. -024.

47. Gross D., Nekrasov N. Solitons in noncommutative gauge theory. // -JHEP -0103. -2001. -044.

48. Harvey J. Komaba lectures on noncommutative solitons and D-branes. Lectures presented at Komaba 2000 Workshop: Non-perturbative Dynamics in String Theory, Komaba, Japan, 14-16 Nov 2000 // -EFI-01-05, Feb 2001. 43pp.49