Генерация массы и фермионного тока в низкоразмерных моделях с нетривиальной топологией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Степанов, Евгений Андреевич

• Степанов, Евгений Андреевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Степанов, Евгений Андреевич

Оглавление

Введение

Предисловие

Модели с дополнительными измерениями

Модели с малым числом измерений

Теоретическая модель графена с учетом неоднородности

структуры

1 Генерация фермионной массы под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерением

1.1 Введение

1.2 Модель

1.3 Спектр масс

1.4 Эффективный потенциал модели

1.5 Критическая константа связи

1.6 Динамическое поле а

1.7 Асимптотическое поведение константы связи

1.8 Связь параметра обрезания £ с конденсатом т

1.9 Выводы

2 Влияние магнитного потока на поведение фермионов в двумерной модели с нетривиальной топологией

2.1 Введение

2.2 Вклад фазы Ааронова-Бома в фермионную щель

2.3 Индуцированный ток

2.4 Выводы

3 Прохождение через барьер в двумерной четырехфермионной модели с двумя типами фермионов

3.1 Введение

3.2 Коэффициент прохождения

3.3 Выводы

4 Псевдопотенциальная модель для дираковских электронов в модели графена с линейными дефектами

4.1 Введение

4.2 Псевдопотенциал для эффективного двумерного уравнения Дирака

4.3 Прохождение через барьер

4.3.1 Случай Ьх Ф 0, а = Ь2 = Ъъ = 0

4.3.2 Случай Ъх = 0, а Ф О, Ь2 Ф 0, Ъъ Ф 0

4.3.3 Сравнение с другими моделями

4.4 Численный анализ результатов

4.5 Выводы

Заключение

Список опубликованных работ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генерация массы и фермионного тока в низкоразмерных моделях с нетривиальной топологией»

Введение

Предисловие

Одной из главных задач физики является изучение свойств окружающего мира, законов его изменения и функционирования. Само слово "физика" вводится Аристотелем в своих сочинениях, датируемых IV веком до нашей эры. Изначально термины "физика" и "философия" были синонимами, поскольку обе эти дисциплины пытались объяснить законы мироустройства. Сначала человечество нуждалось в описании только тех процессов и явлений, которые были видимы невооруженным взглядом. Но с течением времени, строение окружающего мира усложнялось, происходили многие открытия, ставились эксперименты, исследовались новые явления природы и людям стал необходим обширный научный аппарат для описания новых свойств и закономерностей вселенной. Так, начиная с XVI века, физика из наблюдательной дисциплины превратилась в отдельное научное направление. Физическое понимание процессов, происходящих в природе, постоянно развивается. Однако новые исследования постоянно поднимают новые загадки и обнаруживают явления, для объяснения которых требуются новые физические теории. Таким образом, кроме описания видимых глазу явлений, появляется острая необходимость понимания процессов, которые

невозможно наблюдать непосредственно. С появлением в первой половине XX века квантовой физики, описание части таких процессов в микромире стало возможным. В настоящее время физика микромира активно исследуется с целью создания общей фундаментальной теории поля. Большим прорывом в этом направлении было начало создания Стандартной модели, которая на сегодняшний день наиболее полно описывает физику элементарных частиц до планковских масштабов 10-33см, соответствующая энергия Мр1 ~ 1019ГэВ) и является базисом для построения общей теории поля высоких энергий. В середине 80-х годов в ходе экспериментов было подтверждено существование промежуточных векторных бозонов, что завершило построение Стандартной модели, а совсем недавно, в 2012 году на ЬНС было экспериментально подтверждено существование бозона Хиггса, что и поставило окончательную точку в формировании модели. Но остановиться в исследованиях на создании Стандартной модели не представляется возможным, поскольку существует еще множество проблем, которые не получается объяснить в рамках Стандартной модели. Это и является основным стимулом для создания более общей теории, которая бы описывала все физические процессы на высоких энергиях, низкоэнергетическим пределом которой была бы Стандартная модель.

Модели с дополнительными измерениями

Одной из физических проблем, выходящих за рамки Стандартной модели является проблема иерархии масс. Стандартная модель включает в себя три поколения элементарных частиц. Соответству-

ющие частицы из разных поколений взаимодействуют одинаково, но массы их отличаются на порядки. Одним из возможных решений данной проблемы является модель Калуцы-Клейна, в которой пространство может иметь более четырех измерений. Оригинальной идеей Калуцы-Клейна является то, что дополнительное пятое измерение компактифицировано с тем, чтобы описать физические процессы в четырехмерном пространстве-времени нашего мира [1,2]. В таком случае при изучении обычных физических явлений в пределе малого радиуса компактификации Я —> О пространство-время выглядит как четырехмерное. Основной стимул для рассмотрения пространства как многомерного дают теории, которые включают в себя гравитацию, например теория струн. Почти все эти теории формулируются в пространстве-времени с числом измерений больше четырех. Многие исследования в этой области указывают на то, что масштаб компактификации должен быть порядка планковского. На планковских масштабах / ~ 10-33см с соответствующей энергией Мр1 ~ 1019ГэВ обнаружение дополнительных измерений на данный момент невозможно, поскольку даже на самом современном ускорителе ЬНС (Большом Адронном Коллайде-ре) достигаются энергии порядка 8ТэВ (в настоящее время он модернизируется с тем, чтобы достигать энергии порядка 13-14Тэв), что пока много меньше требуемых энергий.

Однако, существуют модели с дополнительными измерениями, размер которых больше планковского, что делает возможным их непосредственное обнаружение. Недавно, объектами рассмотрения ученых стали теории, в которых материя локализуется на трехмерной "бране", которая расположена в многомерном пространстве.

Примерами таких теорий являются модели ADD [3] и Рэндалл-Суидрума [4], в которых дополнительные измерения могут иметь достаточно большой размер, из-за чего появляется возможность их экспериментального детектирования. По этой причине рассматриваемые теории мира на бране вызывают большой интерес для исследования.

Остановимся подробнее на некоторых моделях с дополнительными измерениями (см., например [5]).

1) Модель K-K (Kaluza-Klein) [1,2]

Рассмотрим модель Калуцы-Клейна в случае одного дополнительного измерения х5 в 4+ 1 мерном пространстве (л^,*5). Индекс ¡.i пробегает значения /л = 0,1,2,3,. В случае малых энегрий физика в рассматриваемой модели будет четырехмерной, поскольку дополнительное измерение х5 будет компактифицировано по окружности радиуса таким образом дополнительное измерение в нашем четырехмерном мире проявляться не будет. Процесс компактифика-ции подразумевает то, что дополнительная координата х5 принимает значение от 0 до 2nR, а точки х5 = О и х5 = 2nR являются тождественными. Получившееся четырехмерное пространство выглядит как цилиндр с бесконечными тремя измерениями je1,*2,*3 и четвертым измерением х5 — окружностью радиуса R. Запишем полный набор волновых функций свободной безмассовой частицы для получившейся модели с компактификацией как решение пятимерного уравнения Клейна-Гордона

фр,п = № 7

где ри — (3 + 1)-мерный импульс, а п - 0, ±1,+2,____ Поскольку

ф(х, х5) удовлетворяет уравнению □(5)*А = 0, можно получить

п2

Из получившегося выражения видно, что при малых энергиях ниже 1 //?, в модели существуют только однородные состояния с п = О, таким образом дополнительное измерение при таких энергиях проявляться не будет и физика будет четырехмерной. При энергиях больше 1/7? будут существовать неоднородные состояния с п Ф 0, а значит физика из четырехмерной будет переходить в пятимерную.

В четырехмерном пространстве - времени состояния Калуцы-Клейна — это частицы с массами тп = \n\IR, а значит любое поле можно описать башней состояний Калуцы-Клейна, состоящей из частиц с возрастающими массами. При низких энергиях ниже 1//? существуют только безмассовые частицы, а при энергиях Е ~ начинают рождаться массивные, откуда, согласно многим экспериментам, следует что энергия 1//? должна быть порядка планков-ской Мр1 ~ 1019ГэВ 10"33см).

Однако с помощью модели Калуцы-Клейна можно получить массы, много меньшие чем т = 1 /Я. Генерация массы может осуществляться и с помощью юкавской связи четырехмерных скаляров с компонентой поля А5 из высшего измерения. Такая связь играет роль калибровочной связи, поле А5 нарушает калибровочную и киральную симметрию и играет роль хиггсовского поля [6]. Дей-

ствие такой модели выглядит следующим образом

= ^ с14х ^

где

г^ = Уц, Г5 = -1у5,

где у — матрицы Дирака, а индексы //=0,1,2,3; М = 0,1,2,3,5. После компактификации пятого измерения по кругу радиуса

+оо

X5

Ч\х,ф)= £ ф =—,

П-—00

действие выглядит следующим образом (а = gA5, = 0)

5ч> = 2тгД ГйАх^Ч{п\х)

^ п

I р — т — I

(п >

'--а

\Я }

ад,

где явно присутствует, описанная выше, юкавская связь. При малых значениях поля А5 эффективный потенциал такой модели можно записать в виде

~ ЛД +

J (2л-)4

-41п

- (2 ^Л5У

-2л7? ^р2+т2

-2яК л/

р2+т2

+ (2тгЯ8А5У

-2лЛ Ур2+т2

-4л-/? д/р2+т2

(-

+

р2+т2

^ _ ^р2+т2

где Л — константа, не зависящая от Л и а. Из полученного вы-

ражения явно видно, что вакуум характеризуется нетривиальным значением среднего А5, отличного от нуля. Можно переписать эффективный потенциал в виде

Veff = AR + [ci - c2(m)N](Ra)2 + [с3 + c4(m)N](Ra)4,

где ci, С3 упорядоченные и положительные, а С2, С4 зависимые от 5D фермионных масс т константы, а N номер вида фермиона. Можно получить для т следующие соотношения

-С] + C2(m)N = s 1 с3 + c4(m)N ~ 0(1) ,

откуда следует, что существует локальный минимум эффективного потенциала

gR

При выборе разных радиусов компактификации можно получить разные физические массы для фермионов, что приводит к иерархии масс. Получившиеся массы много меньше масс Калуцы-Клейна

л/е г m\v± —-— V^kk ,

а значит их уже можно детектировать в ходе нынешних экспериментов.

2) Модель ADD (Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali) [3]

Одним из примеров модели мира на бране является модель ADD. Очевидно, что физика при низких энергиях должна быть четы-

рехмерной. При рассмотрении моделей, учитывающих все типы взаимодействий, кроме гравитационного, четырехмерности физики можно добиться с помощью локализации материи на бране. Гравитационное взаимодействие можно включить в рассматриваемые модели разными способами. В модели ADD рассматривают брану без натяжения (плотность энергии на единицу трехмерного объема браны) и вводят компактные дополнительные измерения. В таком случае размер дополнительных измерений не обязан быть малым. Поскольку только динамика на бране определяет те энергии, при которых гравитационное взаимодействие из четырехмерного становится многомерным, то размер дополнительных измерений может быть намного меньше R. При энергиях меньше 1/R все взаимодействия, кроме гравитационного, являются четырехмерными. Гравитационное взаимодействие, как показывают опыты, четырехмерно, вплоть до расстояний R = 0.2мм [7], таким образом дополнительные измерения могут быть порядка R = 0.1мм.

3) Модель R-S (Randall-Sundrum) [4]

Л.Рендалл и Р.Сундрум предложили модель, в которой, в отличие от модели ADD, учитывается натяжение браны, т.е. ее собственное гравитационное поле. Отличительной особенностью данной теоретической модели является то, что компактификация дополнительного измерения производится с помощью введения двух бран, с положительным натяжением сг в положении х5 = 0 и отрицательным натяжением —сг в положении х5 = -^rbifold- Врана с отрицательным натяжением помещается в фиксированную точку

орбифолда, для того чтобы не позволить ей свободно колебаться, поскольку это могло бы приводить к физическим возбуждениям бесконечно большой отрицательной энергии. Дополнительное измерение при таком взаимном расположении бран будет компактифицировано, поскольку х5 пробегает значения от х5 = 0 до х5 = -^гЬИ-о1(1-Все бозонные поля в данной модели должны быть симметричны относительно отражений относительно двух бран, что является следствием помещения браны с отрицательным натяжением в точку орбифолда. Это граничное условие исключает возбуждения с отрицательной энергией, а значит в модели присутствуют только возбуждения с положительной энергией. В рассматриваемой теории массы находятся в диапазоне нескольких ТэВ, что создает возможность для их детектирования.

Таким образом, многомерные теории являются одним из способов объяснения иерархии масс элементарных частиц.

Модели с малым числом измерений

В последние годы, кроме моделей с дополнительными измерениями, развивается и другая область, вызывающая огромный интерес. Это теории с небольшим количеством пространственно - временных измерений (так называемые низкоразмерные модели, см., например [8-11], а также [12-15] и указанную там литературу). В 1979 году в работе [16] при исследовании линейных полимеров выяснилось, что непрерывная модель полимерной цепочки совпадает в основном с уже известными одномерными моделями квантованных полей. Теория поля в случае двух пространственных размер-

ностей давно признана важной для понимания некоторых физических явлений, которые могут быть приближенно рассмотрены как плоские. Особенный интерес к двумерным моделям возникает в физике конденсированного вещества, в рамках которой было открыто большое число важных новых явлений.

Примером такой двумерной модели является графен — плоский одноатомный слой углерода, который обладает целым рядом необычных характеристик [17-19]. В ряде недавних исследований [20-22] были открыты аномальный эффект Холла, необычные свойства проводимости и ряд других интересных характеристик материала. В этих исследованиях было показано, что переносчики заряда в графене обладают нулевой эффективной массой. Действительно, холловская проводимость в графене у = ±(\п\ + 1/2) квантуется аналогично теории эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов. Особенностью эффекта Холла в графене является то, что его можно наблюдать даже при комнатной температуре (при значениях магнитного поля больше 20Т) [23].

В описании графена поведение электронов эффективно подчиняется уравнению Дирака [24-27] и в таком случае удобно рассматривать эту задачу в рамках квантовой теории поля для фермионов в пространстве 2+1 размерности. В частности модели Гросса-Невё [28] и Намбу-Йона-Лазинио [29-32] хорошо подходят для рассмотрения подобных задач. В таких плоских системах модель Гросса-Невё обычно используется для исследования свойств симметрии, нарушения киральной симметрии [33], а также для задач генерации массы фермионов [34].

Вторым примером теории с малым числом пространственно -

временных измерений является полиацетилен. Интерес к этой модели вызван рядом причин. С экспериментальной точки зрения появляется возможность создания нано-полупроводниковых устройств из этого материала, а с теоретической точки зрения эту модель можно представить как одномерную модель графена. В задаче [35] была рассмотрена модель полиацетилена в рамках модели Гросса-Невё с размерностью 1+1 и было рассмотрено нарушение кираль-ной симметрии и генерация фермионной массы. Низкоразмерные модели с электромагнитными полями и нетривиальной топологией подобные двумерной модели графена и фулле-рена рассматривались в недавних работах [36-38]. Подобная проблема также обсуждалась в работе [39] как модель углеродной на-нотрубки (см. также [40-42]). В модели [39] исследовалась генерация массы фермионов под влиянием внешнего магнитного поля Ааронова-Бома [43]. Также, под действием внешнего магнитного поля может происходить поляризация вакуума (см., например, [44,45] и другие работы), что сказывается на появлении индуцированного тока в модели. В работе [45] была рассмотрена поляризация вакуума в графене в поле тонкого соленоида и было исследовано возникновение индуцированного тока. Остановимся подробнее на основных моделях, упомянутых выше.

1) Модель Гросса-Невё (Сгоэз-^еуеи) [28]

Данная модель обладает киральной симметрией и используется для описания фермионов в двумерном пространстве-времени. Двумерную модель Гросса-Невё можно получить из многих теорий с

числом измерений больше двух в процессе размерной редукции (в т.ч. из трехмерной модели Гросса-Невё [46]). Рассмотрим действие данной двумерной модели

8 /7 / \2

5 [ф, ф] = ^ й2х фу^дцф - ^ (фф)

Здесь g — это константа связи, N — число компонент фермионного поля ф, отвечающее за [/(ЛО-еимметрию. Матрицы у^ выражаются через матрицы Паули <хг следующим образом

71 = СГь у2 = СГ2, Уз = -1СГ 1<Х2 = сг3 = у5. Кроме и(ЛО-симметрии модель обладает 2(2)-симметрией

фь(хУ = ±фь(х), фь(х)' = ±фь(х), Фя(хУ = +фя(х), фк(хУ = +фк(х),

где

1 ± Уз - 1 4- Уз

Фя,ь(х) = 2 Ф(х), Фя,ь(х) = Ф(х) 2 •

Для преобразования четырехфермионного взаимодействия вводится новое скалярное поле, минимизирующее эффективный потенциал (преобразование Хаббарда-Стратоновича)

сг(х) = ^ф(х)ф(х),

после чего действие приобретает вид

N

8[ф,ф,сг] = ^ сРх

фуидиф - ффст + —сг2

2£

Таким образом мы получаем взаимодействие фермионного поля с некоторым вспомогательным полем сг — аналог юкавской связи. Стоит отметить, что после такого преобразования, эффективный потенциал тоже будет зависеть от поля сг. Среднее по вакууму значение в стационарном состоянии (сг0 — координата экстремума эффективного потенциала) будет равно

Таким образом, если о~о ф 0, в системе наблюдается конденсат.

Перейдем к пределу больших N, в этом случае, используя приближение среднего поля, можно заменить поле сг(х) на некоторое постоянное значение сг = const, не зависящее от координат. После чего перейдем в импульсное представление и перепишем действие в виде

где V — объем пространства. Далее, после нескольких преобразований можно получить выражение для эффективного потенциала модели

Можно найти минимум эффективного потенциала как экстремум эффективного потенциала по полю сг

N

< фф > = —СГо. 8

J сРкЩк2 + сг2)

что приводит нас к уравнению щели

2 1

Гк-

(2тг)^ к2 + сг2 8'

Введем параметр обрезания Л, поскольку получившийся интеграл расходится на верхнем предел по импульсам. После чего можно получить решение данного уравнения в виде

7Г

сг0 = Лехр (—).

8

Таким образом мы получили ненулевую массу для фермионов сг0, появляющуюся при спонтанном нарушении киральной симметрии. В двумерной модели Гросса-Невё спонтанное нарушение является динамическим, потому что ненулевой постоянный конденсат сто присутствует в теории при любом значении константы связи.

Из выражения для фермионной массы можно сделать еще один важный вывод. Выразим из этого соотношения константу связи

£ = #(А) = 7Г/ 1п —•

его

Из этого выражения следует, что двумерная модель Гросса-Невё обладает, так называемой, асимптотической свободой. Действительно при Л —> оо, #(Л) —» 0. Заменим параметр обрезания Л, используя соотношение для сг0, после чего можно привести выражение для эффективного потенциала к виду

сг

У^(СГ) = —

4 л

/

сг

111— -1

• /

Получившееся выражение больше не зависит от нефизичной кон-

станты Л. Взамен мы получили один единственный свободный параметр — фермионную массу сто- В самом начале в рассматриваемой нами безмассовой теории этим единственным свободным параметром была безразмерная константа связи Таким образом, вместо безразмерного параметра g, в теории появляется размерный параметр сг0. Приобретение размерности свободным параметром теории было названо "размерной трансмутацией" и было открыто Вайнбергом и Колеманом [47].

(Т

График зависимости эффективного потенциала У^ от сг в двумерной модели Гросса-Невё при о~о = 3.

Приведем график зависимости эффективного потенциала в зависимости от сг (сто = 3). Из Рис. видно, что в модели присутствует динамическое нарушение симметрии. Эффективный потенциал

имеет два симметричных минимума

Veff(± СТО) = -Оо/*Л.

Почти все исследования в данной диссертационной работе будут вестись в рамках модели Гросса-Невё, которая была расширена в работах [48,49] введением двух типов фермионов.

2) Модель Намбу-Йона-Лазинио (Nambu-Jona-Lasinio) [29]

Рассмотрим действие двумерной модели Намбу-Йона-Лазинио

S [ф, ф] = J d2x (уиди - т0) ф - ^ [(фф)2 + (ф1у5ф)2)

Данная модель отличается от модели Гросса-Невё наличием дополнительного слагаемого в четырехфермионном взаимодействии, т.е. в теории существует дополнительный канал взаимодействия. Сделаем преобразование Хаббарда-Стратоновича, вводя новые бозон-ные поля (аналогично введению вспомогательного поля в модели Гросса-Невё)

g _ g _

о-(х) = —ф(х)ф(х); л(х) = —ф(х)1у5ф(х),

после чего действие можно записать в виде

S = d2x ф(тЛ'д^ - га0) ф -ф(сг + iy5n) ф + (сг2 + л2)

После преобразований, аналогичных преобразованиям в главе, описывающей модель Гросса-Невё, можно получить выражение для эффективного потенциала и записать уравнения щели. В моде-

ли Намбу-Йона-Лазинио уравнение щели состоит из двух уравнений, поскольку при использовании преобразования Хаббарда-Стратоновича мы ввели два разных поля

dVeff „ dVeff л

—— = 0, —5— = 0.

дсг(х) дп(х)

Решив эти два уравнения, можно получить выражения для двух конденсатов <х и л\ Все вычисления в рамках данной модели похожи на вычисления в модели Гросса-Невё и подробно останавливаться на них не имеет смысла.

Теоретическая модель графена с учетом неоднородности структуры

Еще одним интересным аспектом низкоразмерных моделей, кроме нарушения симметрии и генерации массы, является теория дефектов в таких моделях. Большое число задач в рамках теории дефектов возникает в моделях кристаллов с различными дислокациями (см. [50,51] и указанную там литературу). Также, много недавних работ посвящено проблемам низкоразмерных моделей с дефектами применительно к графену [24-26,52,53]. Дефекты формируют неоднородные плотности в графене, что может привести к формированию препятствий на пути прохождения электронов. Очевидно, что если добиться хорошего понимания процессов формирования дефектов в таких моделях и выработать грамотную теорию для описания моделей с дефектами, можно научиться контролировать электронный транспорт в таких системах, что может привести к

многим приложениям результатов в наноэлектронике. Из недавних, экспериментально обнаруженных, дефектов стоит отметить топологический линейный дефект, состоящий из одного октогонального и двух пентагональных углеродных колец, периодически повторяющихся вдоль одного направления, встроенные в идеальный лист графена [54] и теоретическое исследование электронного транспорта в графене через эту дефектную линию [55], базирующееся на методе функций Грина. Еще одной интересной работой в этой области является исследование влияния дислокаций и конечных дефектов на магнитные свойства графена в магнитном поле [56]. Остановимся подробнее на эффективной дираковской модели графена.

Модель сильной связи графена ("tight-binding model") [24,25]

Графен — это плоская двумерная структура, представляющая собой правильную шестиугольную решетку из атомов углерода. Шестиугольную решетку можно разбить на две треугольные подре-

• А

ОВ

Рис. 1: Суперпозиция двух треугольных решеток А и В с базисными векторами щ и векторами соединяющими ближайшие узлы решеток А и В.

шетки А и В (см. Рис. 1), где вектора а\ и а2 являются генераторами решетки А. Вектора s\ - (0, -1)/, s2 = Й = ("Y' со~

единяют ближайшие узлы подрешеток А и В. Гамильтониан модели сильной связи графена без учета искривлений решетки с однородным параметром перескока t можно записать в виде

:Ко = -г ^ 2 [a\r)b(r+ Si) + b\r+ Si)a(r)\, t = const,

?&A ¿=1,2,3

где фермионные операторы а и b действуют на А и В подрешетках соответственно. Переходя к обратной решетке

а(Ь = JV^etf), b(t) = ^V'*^,

r&A feA

Гамильтониан D-Co в импульсном пространстве принимает диагональный вид

0<o = Yj [фФ)а\к)Ь{к) + Ф*ф)Ь\к)а{к)], Ф(£) = -tj^ •

S;

Одночастичный энергетический спектр е(к) = ±|Ф(£)| имеет две дираковских точки

/ 4тг \ * = *± = ± —,0 , Ф(К±) = 0.

З-Со линеаризуется вокруг двух дираковских точек, а фермионные операторы вблизи этих точек выглядят так

а±(р) = а(К± + р)9 Ь±(р) = Ь(К± + р),

после чего можно получить следующее выражение

*о = 5> [(рх + 1ру)а\(р)Ъ+(р) - (рх - 1Ру)а\($)Ъ-(р) + Н.с.].

Р

Используя обозначения

= ^(12р^Ъ±(р), 4>2,т(г) = J(РреГ^аШ т=± 1

и вводя двумерные *Рт(г) спиноры с компонентами

4>т(?) =

Ч,4

V^.x,

можно переписать гамильтониан в виде

т=± 1 ^

Теперь учтем, что параметр перескока t может быть неоднородным [57]. Шестиугольная решетка реального графена не всегда идеальна, а значит может существует небольшое отличие в расстояниях между атомами углерода. С другой стороны существует отличие в перекрываемых областях различных атомных орбиталей. В обоих случаях энергия перескока между двумя атомами углерода будет отличаться. Рассмотрим случай ближнего-соседнего перескока (nearest-neighbor "A/TV"), когда t = const = to заменяется на t = to + 6t(Si) в узле f в направлении Si. Гамильтониан модели преобразовывается 'Kq —> J~C = 0~Со + 6J-C, где 6Ж можно получить, используя вычисления описанные выше и линеаризуя выражение по 6t(rf, si). В результате можно получить выражение для поправки

к гамильтониану

ЯК = - й2х

-I

= - С 2 + (г))

^ т=±1

+ Н.с.

где

- - 1тАу(?) = ^ 30 е1'^', (т = ±1).

Получившееся выражение можно переписать в спинорном виде

)

Ч 1

Ч-4

+

+ (ЧЧ^.ЧЧ^,-) (о-Их - о-гАу) ].

Учтем различия в энергиях перескока между орбиталями атомов одной подрешетки, т.е. перескок к следующему от ближнего-соседнего (next-nearest-neighbor "Л/7У7У") атома. В этом случае, заменяя /о на ^ = ¿о + получим поправку к гамильтониану

ЯК1 = Г 2 + ,

^ г=±1

где

Суммируя все поправки, можно получить полное выражение

Ж = ^ Г АЛ*'Що-1[-УрЮх-А^] +

т=± 1 ^

т=± 1 ^

Представленная модель используется в Главе 4 для исследования модели графена с дефектной линией.

В настоящей диссертационной работе исследуются модели, объединяющие в себе два направления, описанные выше. В рамках низкоразмерных моделей с нетривиальной топологией и дополнительным измерением исследуется влияние разных параметров модели на динамическую генерацию массы фермионов. В двумерных плоских задачах с дефектными линиями исследуется электронный транспорт через получившийся эффективный барьер в случае одного и двух типов фермионов. В настоящей диссертации получены новые результаты, которые могут помочь в дальнейшем понимании описанных проблем, в частности, электронного транспорта в графене, что является актуальным на сегодняшний день.

Диссертация имеет следующую структуру. В Главе 1 исследуется копактифицированная низкоразмерная модель Гросса-Невё с двумя типами фермионов. В данной модели рассматривается генерация фермионной массы в зависимости от радиуса компакти-фикации поля Аз и параметра фазового смещения а. Для этой цели получено выражение для массы как собственного значения бесконечной массовой матрицы, а также выражение для эффективного потенциала модели. В Главе 2 рассматривается модель в

виде нанотрубки, в рамках которой исследуется влияние эффекта Ааронова-Бома на генерацию фермионной массы. В Главах 3 и 4 исследуются плоские модели с дефектными линиями и рассчитывается вероятность прохождения частиц через получившийся эффективный барьер в случае двух и одного типа фермионов соответственно. В Заключении представлены основные результаты диссертационной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанов, Евгений Андреевич, 2014 год

Литература

[1] Kaluza Т. Zum unitätsproblem der physik // d. Preuss. Akad. d. Wiss. Sitzungaber. 966 (1921);

[2] Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie // Zeitsch. f. Phys. 37, 895 (1926);

[3] Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G.R. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter // Phys. Lett. В 429, 263 (1998);

[4] Randall L., Sundrum R. Large mass hierarchy from a small extra dimension // Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999);

[5] Рубаков В.А. Большие и бесконечные дополнительные измерения // УФН 171, 913 (2001);

[6] Sundrum R. Tasi 2004 lectures: То the fifth dimension and back // arXiv:hep-th/0508134;

[7] Hoyle C.D. et al. Sub-millimeter tests of the gravitational inverse-square law: A search for "large" extra dimensions // Phys. Rev. Lett. 86, 1418 (2001);

[8] Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G. et al. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity // JETP Lett. 73, 121 (2001);

98

[9] Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G., Khudyakov V.V. Magnetic catalysis in a P-even, chiral-invariant three-dimensional model with four-fermion interaction // Theor. Math. Phys. 124, 1132 (2000);

[10] Zhukovskii K.V., Eminov P.A. Electron self-energy in (2+1) topologically massive QED at finite temperature and density // Phys. Lett. В 359, 155 (1995);

[11] Жуковский К.В., Эминов П.А. Поляризационный оператор и амплитуда упругого рассеяния фотона в (2+1)-мерной КЭД в постоянном магнитном поле // ЯФ 59, 1265 (1996);

[12] Жуковский В. Ч., Разумовский А. С., Жуковский К. В. Вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга-Миллса в (2+ 1)-мерном пространстве-времени // Изв. вузов (Поволжский Регион) 2, 80 (2003);

[13] Zhukovsky V.Ch, Razumovsky A.S., Zhukovsky K.V. Vacuum effects in electrodynamics and in Yang-Mills theory in (2+1) dimensions // arXiv:hep-th/0402070;

[14] Вшивцев А.С., Магницкий Б.В. и др. Динамические эффекты в (2+1)-мерных теориях с четырехфермионным взаимодействием // ФЭЧАЯ 29, 5 (1998);

[15] Rodionov V.N. Scalar and spinor particles with low binding energy in a strong stationary magnetic field in two and three dimensions // Phys. Rev. A 75, 062111 (2007);

[16] Su W.P., Schrieffer J.R., Heeger A.J. Solitons in polyacetylene // Phys. Rev. Lett. 42, 1698 (1979);

[17] Novoselov K.S., Geim A.K. et al. Electric field effect in atomically thin carbon films // Science 306, 666 (2004);

[18] Katsnelson M.I. Graphene: carbon in two dimensions // Mater. Today 10, 20 (2007);

[19] Geim A.K. Graphene: status and prospects // Science 324, 1530 (2009);

[20] Novoselov K.S., Geim A.K. et al. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. // Nature 438, 197 (2005);

[21] Castro Neto A.H., Guinea F. et al. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009);

[22] Zhang Y. et al. Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry's phase in graphene // Nature 438, 201 (2005);

[23] Novoselov K.S., Jiang Z. et al. Room-temperature quantum Hall effect in graphene // Science 315, 1379 (2007);

[24] Wallace P.R. The band theory of graphite // Phys. Rev. 71, 622 (1947);

[25] Semenoff G.W. Condensed-matter simulation of a three-dimensional anomaly // Phys. Rev. Lett. 53, 2449 (1984);

[26] Gusynin V.P., Sharapov S.G., Carbotte J.P. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. B 21, 4611 (2007);

100

[27] Castro Neto A.H. Selected topics in graphene physics // arXiv: 1004.3682 [cond-mat.mtrl-sci];

[28] Gross D., Neveu A. Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories // Phys. Rev. D 10, 3235 (1974);

[29] Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity // Phys. Rev. 122, 345 (1961);

[30] Klimenko K.G. Phase structure of generalized Gross-Neveu models // Z. Phys. C 37, 457 (1988);

[31] Rosenstein B., Warr B.J., Park S.H. Thermodynamics of (2+1)-dimensional four-fermion models // Phys. Rev. D 39, 3088 (1989);

[32] Ebert D., Volkov M.K. QCD-motivated Nambu-Jona-Lasinio model with quark and gluon condensates // Phys. Lett. B 272, 86 (1991);

[33] Caldas H., Rudnei O. Ramos Magnetization of Planar Four-Fermion Systems // Phys. Rev. B 80, 115428 (2009);

[34] Drut J.E., Son D.T. Renormalization group flow of quartic perturbations in graphene: Strong coupling and large-N limits // Phys. Rev. B 77, 075115 (2008);

[35] Caldas H. Asymmetrically doped polyacetylene // Nucl. Phys. B 807, 651 (2009);

[36] Fernando de Juan, Cortijo A., Vozmediano M.A.H. Charge

inhomogeneities due to smooth ripples in graphene sheets // Phys. Rev. B 76, 165409 (2007);

[37] Vozmediano M.A.H., Katsnelson M.I., Guinea F. Gauge fields in graphene // Physics Reports 496, 109 (2010);

[38] Gonzalez J., Guinea F., Vozmediano M.A.H. The electronic spectrum of fullerenes from the Dirac equation // Nucl. Phys. B 406, 771 (1993);

[39] Gamayun A.V., Gorbar E.V. Dynamical symmetry breaking on a cylinder in magnetic field // Phys. Lett. B 610, 74 (2005);

[40] Ferrer E.J., Vivian de la Incera Photons and fermions in spacetime with a compactified spatial dimension // arXiv:hep-ph/0408229;

[41] Song D.Y. Four-fermion interaction model on R2xS1: A dynamical dimensional reduction // Phys. Rev. D 48, 3925 (1993);

[42] Sitenko Yu.A. Induced vacuum condensates in the background of a singular magnetic vortex in 2+1-dimensional space-time // Phys. Rev. D 60, 125017 (1999);

[43] Aharonov Y., Böhm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. 115, 485 (1959);

[44] Kadyshevskii V.G., Rodionov V.N. Polarization of the Electron-Positron Vacuum by a Strong Magnetic Field in the Theory with a Fundamental Mass // Theor. Math. Phys. 136, 517 (2003);

[45] Jackiw R., Milstein A.I. et al. Induced Current and Aharonov-Bohm Effect in Graphene // Phys. Rev. B 80, 033413 (2009);

[46] Bietenholz W., Gfeller A., Wiese U.J. Dimensional reduction of fermions in brane worlds of the Gross-Neveu model // JHEP 10, 018 (2003);

[47] Coleman S., Weinberg E. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking // Phys. Rev. D 7 (1888);

[48] Abe H., Miguchi H., Muta T. Dynamical fermion masses under the influence of Kaluza-Klein fermions in extra dimensions // Mod. Phys. Lett. A 15, 445 (2000);

[49] Dienes K.R., Dudas E., Gherghetta T. Light neutrinos without heavy mass scales: A higher-dimensional seesaw mechanism // Nucl. Phys. В 557, 25 (1999);

[50] Пронин П.П., Смирнов Н.Э. Исследование эффектов взаимодействия электромагнитного поля со структурными неодно-родностями твердого тела методами дифференциальной геометрии и теории калибровочных полей // Физическая мысль России 3/4, 17 (1996);

[51] Мусиенко А.И., Копцик В.А. Калибровочная теория дислокаций и деклинаций в кристаллах с многоатомными решетками // Кристаллография 41, 586 (1996);

[52] Nair R.R., Sepioni М. et al. Spin-half paramagnetism in graphene induced by point defects // Nature Physics 8, 199 (2012);

[53] Castro Neto A.H., Guinea F. et al. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009);

[54] Lahiri J., Lin Y. et al. An extended defect in graphene as a metallic wire // Nat. Nanotech. 5, 326 (2010);

[55] Jiang L., Lv X., Zheng Y. Valley polarized electronic transport through a line defect in graphene: An analytical approach based on tight-binding model // Phys. Lett. A 376, 136 (2011);

[56] Lopez-Sancho M.P., Fernando de Juan, Vozmediano M.A.H. Magnetic moments in the presence of topological defects in graphene // Phys. Rev. В 79, 075413 (2009);

[57] Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Stepanov E.A. Pseudopotential model for Dirac electrons in graphene with line defects // J. Phys.: Condens. Matter 26, 125502 (2014);

[58] Hosotani Y. Dynamical mass generation by compact extra dimensions // Phys. Lett. В 126, 309 (1983);

[59] Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Tyukov A.V. Dynamical fermion masses under the influence of Kaluza-Klein fermions and a bulk abelian gauge field // Mod. Phys. Lett. A 25, 2933 (2010);

[60] Zhukovsky V.Ch., Stepanov E.A. Effective (2+l)-dimensional field theory of fermions: fermion mass generation with Kaluza-Klein fermions and gauge field // Phys. Lett. В 718, 597 (2012);

[61] Волобуев И.П., Кадышевекий В.Г. и др. Уравнения движения для скалярного и спинорного полей в четырехмерном неевклидовом импульсном пространстве // Теор. и Мат. физ. 40, 3 (1979);

[62] Жуковский В.Ч., Степанов Е.А. Генерации фермионной массы с участием Калуца-Клейновских фермионов под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерениями // Вестник МГУ, Серия 3, №1, 58 (2012);

[63] Chambers R.G. Shift of an electron interference pattern by enclosed magnetic flux // Phys. Rev. Lett. 5, 3 (1960);

[64] Osakabe N., Matsuda T. et al. Experimental confirmation of Aharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by a superconductor // Phys. Rev. A 34, 815 (1986);

[65] Ferrer E.J., de la Incera V., Romeo A. Photon propagation in space-time with a compactified spatial dimension // Phys. Lett. В 515, 341 (2001);

[66] Жуковский В.Ч., Степанов Е.А. Индуцированный ток и прохождение через барьер в четырехфермионной модели с 2+1 измерениями // Вестник МГУ, СерияЗ, №2, 36 (2014);

[67] Zhao L., Не R., et al. Visualizing individual nitrogen dopants in monolayer graphene // Science 333, 999 (2011);

[68] Ribeiro R.M., Peres N.M.R. et al. Inducing energy gaps in monolayer and bilayer graphene: Local density approximation calculations // Phys. Rev. В 78, 075442 (2008);

[69] Giovannetti G., Khomyakov P.A. et al. Substrate-induced band gap in graphene on hexagonal boron nitride: Ab initio density functional calculations // Phys. Rev. В 76, 73103 (2007);

[70] Jackiw R., Pi S.-Y. Chiral Gauge Theory for Graphene // Phys. Rev. Lett. 98, 26402 (2007);

[71] Chamon C., Hou C.-Yu et al. Irrational Versus Rational Charge and Statistics in Two-Dimensional Quantum Systems // Phys. Rev. Lett. 100, 110405 (2008);

[72] Chamon C., Hou C.-Yu et al. Electron fractionalization for two-dimensional Dirac fermions // Phys. Rev. В 77, 235431 (2008);

[73] Obispo A.E., Hott M. Fractional fermion charges induced by vector-axial and vector gauge potentials in planar graphene-like structures // arXiv:1206.0289 [hep-th];

[74] Huang P.Y., Ruiz-Vargas C.S. et al. Grains and grain boundaries in single-layer graphene atomic patchwork quilts // Nature 469, 389 (2011);

[75] Ori O., Cataldo F., Putz M.V. Topological anisotropy of Stone-Wales waves in graphenic fragments // Int. J. Mol. Sci. 12, 7934 (2011);

[76] Guinea F., Horovitz В., Le Doussal P. Gauge field induced by ripples in graphene // Phys. Rev. В 77, 205421 (2008);

[77] Gomes J.V., Peres N.M.R. Tunneling of Dirac electrons through spatial regions of finite mass //J. Phys.: Condens. Matter 20, 325221 (2008);

[78] Katsnelson M.I., Novoselov K.S., Geim A.K. Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene // Nature Phys. 2, 620 (2006);

[79] Klein O. Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac // Z. Phys. 53, 157

[80] Gunlycke D., White C.T. Graphene valley filter using a line defect // Phys. Rev. Lett. 106, 136806 (2011);

[81] Xiao-Ling L., Zhe L. et al. Valley polarized electronic transmission through a line defect superlattice of graphene // Phys. Rev. B 86, 045410 (2012);

[82] McKellar B.H.J., Stephenson Jr G.J. Relativistic quarks in one-dimensional periodic structures // Phys. Rev. C 35, 2262 (1987);

[83] McKellar B.H.J., Stephenson Jr G.J. Klein paradox and the Dirac-Kronig-Penney model // Phys. Rev. A 36, 2566 (1987);

[84] Sutherland B., Mattis D.C. Ambiguities with the relativistic f-function potential // Phys. Rev. A 24, 1194 (1981);

[85] Dong S.-H., Ma Z.-Q. The (2+1) Dirac Equations with 8 Potential // arXiv:quant-ph/0110158;

[86] Falomir H., Pisani P.A.G. Hamiltonian self-adjoint extensions for (2+l)-dimensional Dirac particles // J. Phys. A 34, 4143 (2001);

[87] Loewe M., Marquez F., Zamora R. The cylindrical ¿-potential and the Dirac equation // J. Phys. A: Math. Theor. 45, 465303 (2012);

[88] Gunlycke D., White C.T. Valley and spin polarization from graphene line defect scattering //J. Vac. Sci. Technol. B 30, 03D112 (2012);

(1929);