Групповые и вероятностные основания квантовой теории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Шелепин, Алексей Леонидович

• Шелепин, Алексей Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шелепин, Алексей Леонидович

ВВЕДЕНИЕ б ЧАСТЬ I.

ТЕОРИЯ АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЕ ГРУППОВЫЕ АСПЕКТЫ

Вводные замечания

ГЛАВА 1. Об аксиоматическом построении теории амплитуд вероятности

1.1 Аксиоматика

1.2 Вероятностные характеристики

1.3 Связь с теорией групп. Амплитуда вероятности па однородных пространствах 16 1.1 Амплитуда вероятности и квантовая теория

ГЛАВА 2. Функции распределения и предельные теоремы для амплитуд вероятности

2.1 Полиномиальное и гнпсргеометрпческое распределения для амплитуд и их симметрии. Задача о выборке в теории амплитуд

2.2 Отрицательное гипергеометрическос распределение и коэффициенты КГ группы SU( 1,1) 2G

2.3 Распределение Пуассона для амплитуд 29 2.1 Сложение подсистем и кооперативные числа 29 2.5 Соотношения нсопредслсиностеП и когерентные состояния. Нормальное распределение

2.G Предельные теоремы н классический предел

2.7 Марковские процессы с конечным числом состояний 3G

ГЛАВА 3. Марковские процессы со скачками и псевдодиффсренциальныс уравнения Шредипгера и Фоккера-Плапка

3.1 Уравнения для марковских процессов

3.2 Псевдодифферспциальпые уравнение Шредипгера

3.3 Пссвдоднффсренциалыюе уравнение Фоккера-Плапка и уширсиие спектральных линий

3.4 Многомерные исевдодифферепциальные уравнения

3.5 Пссвдодиффереициалыюе уравнение Фоккера-Плапка и броуновское движение

3.G Стохастические дифференциальные уравнения для скачкообразных процессов

3.7 Обобщение меры Випера па скачкообразные процессы

3.8 Пегауссов континуальный интеграл для пссвдодифференциалыюго уравнения Шредингера

ЧАСТЬ II.

КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГРУПП SU{N) И SU(N,\) И ИХ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Групповые и вероятностные основания квантовой теории»

Современная квантован теория органически включает в себя вероятностные и теоретико-групповые методы. Теоретико-групповые методы предоставляют весьма удобный и эффективный аппарат для решения широкого круга физических задач. Особое место занимают унитарные группы, возникающие в различных задачах как группы внутренней симметрии, и группа Пуанкаре, являющаяся группой пространственно-временной симметрии. Теория представлений группы Пуанкаре лежит в основе релятивистской квантовой физики.

Имея дело с унитарными представлениями групп, мы имеем одновременно дело с амплитудами вероятности. Теоретико-групповой и вероятностный подходы дополняют друг друга, и исследование причин и следствий их взаимосвязи представляет собой актуальную задачу, важную для приложений.

Диссертация посвящена взаимосвязи теоретико-групповых п вероятностных методов и их прпложеппям в квантовой теории.

Одной из задач является систематическое построение теории амплитуд вероятности как самостоятельной теории со всеми ее атрибутами - аксиоматикой, распределениями, предельными теоремами, уравнениями для марковских процессов. Такое построение важно как само по себе, так как понятие амплитуды вероятности лежит в основе квантовой теории, так и с точки зрения конкретных приложений.

Как известно, для волновых функций у, описывающих набор возможных состояний, справедливы соотношения суперпозиции " нормировки. Квадрат модуля волновой функции |С'п|2 определяет вероятность нахождения системы в состоянии п. Длительное время волновая функции рассматривалась как вспомогательное понятие, используемое в квантовой механике,тли вычисления зпачеппй физических величии. Однако с математической точки зрения у представляет собой самостоятельный вероятностный объект, для которого может быть построена последовательная теория. Он получил название амплитуды вероятности. Теория амплитуд вероятности дли всех своих объектов имеет аналоги с обычной теорией вероятности. Вместе с тем имеются и качественные различия. В обычной теории вероятностей каждому элементарному событию Л,- ставится в соответствие действительное неотрицательное число р, в интервале [0,1] с условием нормировки YliPi = 1* Матрицы перехода образуют полугруппу. В теории амплитуд вероятности ставится в соответствие величина г,, которая может быть действительным, комплексным числом, кватерипопом с условием нормировки Yli l*«|2 = Матрицы перехода образуют группу. Другими слонами, имеется неразрывная связь вероятностных п теоретико-групповых характеристик. Если, как отмечается в книге Феллера [1], "теория полугрупп приводит к цельной теории марковских процессов, что недостижимо при других методах", то аналогичное заключение может быть сделано относительно теории групп и марковских процессов для амплитуд вероятности.

Теория амплитуд вероятности теснейшим образом связана с теорией групп; в частности, все основные распределения для амплитуд можно рассматривать как базисы неприводимых представлений (НГ1) групп. Эта связь находит свое естественное выражение в рассматриваемой в работе концепции амплитуд вероятности па однородных пространствах, в рамках которой могут быть сформулированы многие задачи квантовой теории. Примерами таких пространств, важными с точки зрения приложении, являются однородные пространства постоянной кривизны, связанные с унитарными и иссвдоупитариыми группами, и однородные пространства группы Пуанкаре.

Кроме чисто математической точки зрения па связь теории групп н теории амплитуд вероятности возможна н физическая, основанная па структуре квантовой теории, т.к. квантовая механика может рассматриваться как теория марковских процессов для амплитуд вероятности.

В работе [2| Дпрак выдвинул положение, что именно с амплитудой вероятности будет связано развитие квантовой теории и преодоление существующих трудностей. По мнению Дирака, "концепции амплитуды вероятности возможно является наиболее фундаментальной концепцией квантовой теории*', а дальнейшее развитие квантовой теории должно лежать на пути совмещения требований релятивистской инвариантности и амплитудно-вероятностной интерпретации [2]. Фактически это означает необходимость синтеза теории амплитуд вероятности и теории унитарных представлений группы релятивистской инвариантности - группы Пуанкаре.

Более того, как отмечается в [3|, "одной квантовой механики недостаточно, поскольку она не является динамической теорией как таковой. Это всего лишь пустая сцепа. Вам придется ввести актеров, т.е. определить конфигурационное пространство, а также задать динамические правила, по которым вектор состояния изменяется со временем в этом пространстве". Далее С. Вайпбсрг пишет: ". вполне может стать реальностью, что все, что нам потребуется сверх квантовой механики для описания физической картины мира, - это определить группу симметрии природы".

Т.о., имеется как математическая, так и физическая аргументация необходимости исследования взаимосвязей и определенного синтеза групповых и амплптудповероятностных методой.

По сиосму содержанию настоящая работа распадается на три масти.

В первой масти рассматривается прежде всего теория амплитуд вероятности сама по себе. При последовательном построении теории амплитуд вероятности широко используется параллелизм с мощным аппаратом обычной теорией вероятности. Особое внимание обращается па ряд ключевых моментов. Показано, что распределения для амплитуд вероятности обладают и групповыми характеристиками. Общая структура теории сохраняется и для квантовых процессов со скачками, которые могут быть описаны иссвдодиффереициальными уравнениями.

Во второй и третьей частях рассматриваются амплитуды вероятности па однородных пространствах, связанных с группами внутренних и пространственно-временных симметрий.

Во второй части рассматриваются вероятностно-групповые структуры, а именно амплитуда вероятности на однородных пространствах постоянной кривизны, связанных с группами SU(N) и SU(i\\ 1). Строятся различные базисы (в том числе базис когерентных состояний), дается их вероятностная интерпретация как функций распределения, а также предельные теоремы п коэффициенты Клебша-Гордана. Характерно, что многие объекты теории имеют и вероятностные, и групповые свойства. Развитая теория применяется к построению континуального интеграла и уравнений для частицы в иеабслевом нале.

В третьей части рассматривается группа Пуанкаре, преобразования которой задаются формулой = А'^х^+а'1. Она представляет собой нолупрямое произведение группы Лоренца, которой принадлежат матрицы А, и группы трансляций. Хотя классификация унитарных неприводимых представлений группы Пуанкаре была дана Внгнером еще в 1939 году, эта дссятинараметрическая группа изучена не столь детально, как группа вращений или группа Лоренца. Последовательное развитие теории представлений группы Пуанкаре проводится па основе рассмотрения обобщенного регулярного представления - представления в пространстве функций па группе (т.е. сама группа рассматривается как однородное пространство), и метода гармонического анализа. Ранее подход, основанный на применение максимального набора коммутирующих операторов па группе, включающего как левые, так п правые генераторы, систематически применялся лишь в исрелятивистской теории ротатора. Такое рассмотрение позволяет построить в десятимерпом пространстве единое скалярное ноле, включающее поля всех сшпюв. В работе проводится исследование этого поля и, в частности, его спмметрийиых свойств и разложение на неприводимые компоненты. Релятивистские волновые уравнения строятся единым образом на основе выделения инвариантных подпространств в пространстве скалярных функции па группе Пуанкаре.

ЧАСТЬ I

ТЕОРИЯ АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЕ ГРУППОВЫЕ АСПЕКТЫ

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Волновая функция ^ и квантовой механике представляет собой некоторый вероятностный объект, который был назван амплитудой вероятности. Первоначально она рассматривалась как вспомогательная величина, физический смысл придавался \ф\2. На значимость амплитуд вероятности обратил внимание Дирак. Свое развитие понятие амплитуды вероятности получило в работах Фейимаиа [4]; оно сыграло ключевую роль в построении интегралов по путям, и в настоящее время рассмотрение амплитуды вероятности проводится в основном в контексте формализма интегрирования по путям [4-6]. Дирак же уже в 70-е годы высказал мнение, что из двух ключевых моментов квантовой теории (некоммутативности наблюдаемых и понятия амплитуды вероятности) последнее является более важным и именно с ним будет связано преодоление существующих трудностей; по его мнению, "концепция амплитуды вероятности возможно является наиболее фундаментальной концепцией квантовой теории", а дальнейшее развитие квантовой теории должно лежать па пути совмещения требований релятивистской инвариантности п амплитудно-вероятностной интерпретации [2]. Тем не менее самостоятельная последовательная теория амплитуд вероятности до последнего времени так и пе была разработана, хотя круг связанных с ней вопросов до сих нор привлекает значительное внимание (см., например, обзор [7]).

Ниже, следуя работам [8-11], мы анализируем общую структуру теории амнлнтуд вероятности п рассматриваем се приложения. В основе развиваемого подхода лежит своего рода синтез трех направлений: теории гильбертовых пространств, теории вероятностей и теории групп. Рассмотрены основы теории амплитуд вероятности: аксиоматика, вероятностные характеристики, связь с теорией групп. По аналогии с обычной теорией вероятности изучаются функции распределения (в том числе аналоги биномиального, отрицательного бипомпальпого, гнпергсометрического, Пуассона, а также когерентные состояния различных групп как аналоги нормального распределения) и предельные теоремы (связанные с переходом к классическому пределу). Особое внимание обращается па сходства п различия теории амплитуд вероятности и обычной теории вероятностей. Заметим, что полное последовательное изложение теории амплитуд вероятности невозможно в работе сравнительно небольшого объема и поэтому пашей целыо здесь прежде всего являются основные положения и обрисовка общих контуров теории.

Представлен широкий спектр объектов и приложений теории: волновые функции и коэффициенты Клебша-Гордапа, базисы унитарных представлений групп, формализм символов, уравнения, определяющие как непрерывные, так и скачкообразные марковские процессы, в том числе релятивистские волновые уравнении. На основе теории марковских процессов для амплитуд вероятности рассматриваются основания квантовой теории. В контексте связи с квантовой теорией строится теория амплитуд вероятности на однородных пространствах; именно эта конструкция возникает в широком круге физических задач.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шелепин, Алексей Леонидович

11.12. Выводы

Мы показали, что дискретные преобразования могут быть определены как симметрии скалярного поля на группе Пуанкаре. При этом теория представлений собственной группы Пуанкаре Л/(3,1) предполагает существование 5 нетривиальных независимых дискретных преобразований, отвечающих ипволютпипым автоморфизмам группы. В качестве таких преобразований можно выбрать пространственное и пространственно-временное отражения Р и 1Х, зарядовое сопряжение С, обращение времени Т; пятое преобразование для большинства физически интересных полей (кроме майораповско-го) сводится к появлению фазового множителя.

Рассматривая автоморфизмы как операторы, действующие в пространстве функций па группе Пуанкаре, и не прибегая к использованию каких-либо релятивистских уравнений или модальных предположений, мы нашли явный вид преобразований полей произвольного спипа. Рассмотрение действия автоморфизмов па операторы, и в частности генераторы группы Пуанкаре, даст возможность установить правила преобразований соответствующих физических величин. Использование поля на группе позволило нам также построить в явном виде состояния, отвечающие представлениям расширенной группы Пуанкаре, и дать классификацию решений основных типов РВУ по представлениям расширенной группы.

В общем случае лишь часть дискретных преобразований является преобразованиями симметрии РВУ, так как последнее могут фиксировать некоторые характеристики, маркирующие представления расширенной группы Пуанкаре, меняющиеся при дискретных преобразованиях. В частности, дискретные симметрии уравнения Дирака и уравнения Вейля порождаются несовпадающими наборами из трех операторов - соответственно P,C,TuPC,Ix,T.

Как известно, в перелятивистской теории имеется только один тип спиноров, в релятивистской теории имеется уже два типа спиноров (левые и правые, преобразующиеся но-разпому при бустах, различаемые обычно с помощью использования спинорных индексов с точкой и без точки). Проведенное явное построение представлений расширенной группы Пуанкаре показывает, что в релятивистской теории с дискретными преобразованиями существует четыре типа спиноров, по-разному преобразующихся при дискретных преобразованиях. А именно, кроме спиноров с точками и без точек, переходящих друг в друга при пространственном отражении Р, необходимо различать подчеркнутые и неподчеркнутые синпоры, переходящие друг в друга при СРТ-преобразовании.

Отметим, что теоретико-групповой вывод широкого класса уравнений может быть дан лишь па основе рассмотрения расширенной группы Пуанкаре: именно характеристики представлений расширенной группы в ряде случаев определяют знак массового члена РВУ. В общем случае для такого вывода мы псиатьзовали различные максимальные наборы коммутирующих операторов па группе.

Развитый метод, основанный па использовании патя па группе и рассмотрении автоморфизмов, может быть непосредственно применен к анализу дискретных симметрий для случая других размерностей (как это было сделано выше для 2+1 измерений), а также к другим группам пространственно-временной симметрии.

заключение

В заключении сформулируем основные результаты и выводы.

1. Дана теоретико-групповая трактовка основных распределений теории амплитуд вероятности. Установлены аналоги закона больших чисел и предельных теорем для амплитуд вероятности, связанные с переходом к классическому пределу в соответствующих квантовомехаиических задачах.

2. Построены и изучены иссвдодифференциальпые уравнения, описывающие скачкообразные марковские процессы для вероятностей и амплитуд вероятности.

3. Построены и подробно изучены КС групп SU(N) и SU(N,1), отвечающее им исчисление символов па комплексных проективных пространствах CPN = SU(N + 1)/SU(N) и CDN = SU(N,1)/SU(N), проанализирован переход к классическому пределу. Различные тины НП групп SU(N) построены в пространствах полиномов от коммутирующих и антикоммутирующих переменных.

•1. Квазпклассическпе релятивистские уравнении для частицы в неабелевом поле получены как уравнения для эволюции КС групп SU(N') и указана область их применимости. С помощью символов строится интеграл по путям для частицы в неабелевом • поле, причем в зависимости от типа представлений групп SU(N) используются коммутирующие либо антикоммутирующие переменные.

5. Подробно исследованы коэффициенты КГ групп SU(2) и S£/(l,l) в базисе КС и впервые введенные коэффициенты КГ в смешанных базисах. Показано, что последние могут быть выражены через полиномы Якоби. Теория коэффициентов КГ формулируется единым образом для различных типов базисов.

6. Построено и изучено скалярное поле па группе Пуанкаре (для пространств 2,3,4 измерений), включающее поля всех спинов и служащее производящей функцией для спин-тензорных полей. Показано, что это поле замкнуто также относительно дискретных преобразований.

7. Явный вид спиновых операторов для поля на группе Пуанкаре не зависит от величины спина. Эти операторы строятся как операторы дифференцирования по спиновым переменным г. Переход к обычному описанию посредством многокомпонентных функций фп{х) отвечает разделению пространственно-временных и спиновых переменных.

8. Различные типы РВУ получаются в рамках разложения скалярного поля на группе Пуанкаре с помощью различных наборов коммутирующих операторов, включающие функции как левых, так и правых генераторов. Дапа интерпретация правых геператоров группы Пуанкаре.

9. Дискретные преобразования определяются как ипволютивные автоморфизмы (внешние и внутренние) группы Пуанкаре, действующие в пространстве функций на группе. На этой основе без каких-либо допаиштельпых предположений или использования РВУ выводится законы преобразовании палей и строятся представления расширенной группы Пуанкаре.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шелепин, Алексей Леонидович, 2003 год

1. В. Феллср. Введение о теорию вероятностей и ее приложения, Т. 2. Москва: Наука, 1967.

2. P.A.M. Dirac. Relativity and quantum mechanics. // Fields and Quanta, 1972, 3(1), 139-164.

3. С. Вайнберг. Ila пути к окончательным физическим законам. Элементарные частицы и законы физики, с.80-137, Москва: Мир, 2000.

4. Р. Фсйнмап, А. Хиббс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Москва: Мир, 1968.

5. В.П. Маслов. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. Москва: Наука, 1976.

6. М.Б. Мсиский. Группа путей: измерения, поля, частицы. Москва: Наука, 1983.

7. R.F. Strcater. Classical and quantum probability. // J. Math. Phys., 2000, 41(6), 3556-3603.

8. A.Jl. Шслепии. Процессы со скачками и пссвдодпффсрепциальпые уравнения Шредингера и Фоккера-Планка. // Ядерная физика, 1997, 60(2), 265-276.

9. Я.А. С.мородипскпЛ, А.Л. Шслепни, Л.А. Шелешш. Групповые и вероятностные основы квантовой теории. // УФН, 1992, 162(12), 1-95.

10. А.Л. Шслепии, Л.А. Шслепии. Теория амплитуд вероятности и ее групповые аспекты. // Труды ФИЛИ, 1991, 218, 3-59.

11. А.Л. Шслепии, Л.А. Шелешш. Об аксиоматическом построении теории амплитуд вероятности. // Kjximк. еообщ. по физ. ФИЛН, 1991, .Y»7-8, 55-60.

12. S. Guddcr, С. Schindlcr. Regular quantum Markov processes. // J. Math. Phys., 1991, 32(3), 656-668.

13. Ф.А. Бсрезин, M.A. Шубин. Уравнение Шредингера. Москва: МГУ, 1983.

14. Д.П. Желобенко, А.И. Штерн. Представления групп Ли. Москва: Наука, 1983.

15. Л. Бидеихарн, Дж. Лаук. Угловой момент в квантовой фшзике. Москва: Мир, 1984.

16. А. фон Нейман. Математические основы квантовой MexatiuKu. Москва: Наука, 1964.

17. А.Л. Шелешш, Л.А. Шслеинн. Вероятностная трактовка коэффициентов Клебша-Гордапа унитарных групп. // Труды ФИАН, 1986, 173, 142-172.

18. А.Л. Шелспин. Коэффициенты Клсбша-Гордапа для симметричных представлений сим-илсктпческих групп. // Кратк. еообщ. по физ. ФИАН, 1986, ,\«9, 31-34.

19. А.О. Barut, R. Raczka. Theory of Group Representations and Applications. Warszawa: PWN, 1977.

20. E. Chacon, P. Levi, M. Moshinsky. Equivalence of a class of Wigncr coefficients of SU( 1,1) with those of SU{2). // J. Math. Phys., 1975, 16(9), 187G-1881.

21. A.Jl. Шелепии, Л.А. Шслепин. Нелинейные унитарные представления групп SU(l,m). // Кратпк. сообщ. по физ. ФИАН, 1996, .V10-11, 54-57.

22. R.H. Dicke. Coherence in spontaneous radiation proccss. // Phys. Rev., 1954, 93, 99-110.

23. T.M. Махвилад-зс, Л.А. Шелепии. Теоретико-групповой анализ когерентных свойств некоторых физических систем (спонтанное излучение, модулированные пучки). // Труды ФИАН, 1973, 70, 120-146.

24. Л.А. Шелепии. К теории когерентного спонтанного излучения. // ЖЭТФ, 1968, 54, 1463-1165.

25. А.В. Борезнн, 10.А. Курочкин, Е.А. Толкачей. Кватернионы о релятивистской физике. Минск: Наука и техника, 1989.

26. J. Rcinblinski. Quaternions and its applications. // J. Phys. A, 1981, 14, 2609-2621.

27. А.Л. Шелешш, Л.А. Шелепии. Метод производящих инвариантов к теории групп Ли. // Труды ФИАН, 1989, 191, 16-86.

28. D.M. Gitman, A.L. Shclcpin. On the definition of the coherent states. In Proc. XVIII Intern. Coll. Group Theoretical Methods in Physics, pages 251-251, New York: Nova Science, 1991.

29. D.M. Gitman, A.L. Shelcpin. Coherent states of the Sl/{N) and SU(N, 1) groups and quantization on the corresponding homogeneous spaccs. Preprint MIT CTP//1990, 1991.

30. R. Dclbourgo. Minimal uncertainty states for the rotation and allied groups. // J. Phys. A, 1977, 10(11), 1837-1816.

31. R. Dclbourgo, J.R. Fox. Maximal weight vcctors possess minimal uncertainty. // J. Phys. A, 1977, 10(12), L233-L235.

32. A.M. Pcrclomov. Coherent states for arbitrary Lie group. // Commun. Math. Phys., 1972, 26, 222-236.

33. A.M. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и их применения. Москва: Наука, 1987.

34. D.M. Gitman, A.L. Shclcpin. Coherent states of SU(N) groups. // J. Phys. A, 1993, 26, 313-327, arXiv: hep-th/9208017.

35. D.M. Gitman, A.L. Shclcpin. Coherent states of SU{1,1) groups. // J. Phys. A, 1993, 26, 7003-7018, arXiv: hcp-th/9308157.3G. Ф.А. Березин. Метод вторичного квантования. Москва: Наука, 1986.

36. Е.Б. Дыикин. Основания теории марковских процессов. Москва: ГИФМЛ, 1959.

37. И.И. Гнхмаи, А.В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов. Москва: Наука, 1977.

38. В.И. Тихонов, М.А. Миронов. Марковские процессы. Москва: Советское радио, 1977.

39. М. Hamermesh. Galilean invariance and the Srodinger equation. // Ann. Phys. (N.Y.), 1960, 9, 518-521.

40. J.-M. Levy-Leblond. Galilei group and nonrelativistic quantum mechanics. // J. Math. Phys., 1963, 4(6), 776-788.

41. Г.А. Скоробогатов, С.И. Свертнлов. Об описании квантовомеханического движения аппаратом пемарковекпх стохастических процессов. // Ядерная физика, 1999, 62(2), 285290.

42. А.Л. Шслепии. Пссвдодиффсреицналыюе уравнение Шредингера. // Крптк. еообщ. по физ. ФИАН, 1993, .V5-6, 60-65.-16. А.Л. Шслепии, Л.А. Шслепии. Процессы со скачками и уширепне спектральных линий. // Кратк. еообщ. по физ. ФИАН, 1993, .V'9-10, G2-68.

43. А.Л. Шслепии, Л.А. Шслепии. Многомерное пссвдодифферепциалыюе уравнение Шредингера. // Крптк. еообщ. по физ. ФИАН, 1991, ЛН1-12, 79-84.

44. А.Л. Шслеппп. О способах описания скачкообразных процессов. // Кратк. еообщ. по физ. ФИАН, 1998, Л*5, 41-49.

45. R.F. Pawula. Generalizations and extensions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equations. // Trans.IEEE, 1967, IT-3(1), 33-41.

46. K.B. Гардипер. Стохастические методы в естественных науках. Москва: Мир, 1986.

47. Л. Хермандер. Анализ линейных диферепциалъных операторов с частнылш производпыми. Москва: Мир, 198G.

48. Ф. Трсв. Введение в теорию псевдодифференциалъных операторов и интегральных операторов Фурье. Москва: Мир, 1984.

49. В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. Москва: Наука, 197G.

50. Б.В. Гнедсико. Курс теории вероятностей. Москва: ГИТТЛ, 1951.

51. Н.Л. Kramers. Brovvnian motion in a field of force and the diffusion model of chcmical reactions. // Phisica, 1940, 7(4), 284-304.

52. J.E. Moyal. Quantum mechanics as statistical theory. // J.R.Stat.Soc., 1919, 11, 151-210.

53. N.G. van Kampcn. Л power scries expansion of the master equation. // Can. J. Phys., 1961, 39, 551-567.

54. Н.Г. Ban Кампен. Стохастические процессы в физике и химии. Москва: Высшая Школа, 1990.

55. G.A. Skorobogatov, S.I. Svcrtilov. Quantum mechanics is a topic of the theory of real pure-juinp non-Markovian stochastic processes. // Int. J. of Theoretical Physics, Group theory, and Nonlinear optics, 2002, 8(1), 367-397.

56. GO. G.A. Skorobogatov. Deduction of the Klein-Fock-Gordon equation from a non-Markovian stochastic equation for real pure-jump process. // Int. J. of Quantum Chemistry, 2002, 88, 614-623.

57. В.Б. Бсрестецкий, E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Квантовая электродинамика. Москва: Наука, 1989.

58. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Ишпег})алы и ряды. Элементарные функции. Москва: Наука, 1981.

59. J. Sucher. Relativistic invariance and the square-root Klein-Gordon equation. // J. Math. Phys., 1963, 4(1), 17-23.

60. К.Л. Самаров. О пссвдодиффсрепцналыюм уравнении» Шредингсра. //ДАН СССР, 1984, 279, 83-87.

61. К.Л. Самаров. О решении задачи Коши для уравнения Шредингсра релятивистски свободной частицы. //ДАН СССР, 1983, 271, 334-337.

62. П.П. Физиев. Релятивистский гамнльтоииаи с квадратным корнем в формализме интеграла но путям. // ТМФ, 1985, 62(2), 186-195.

63. II.-J. Bricgel, B.-G. Englert, G. Siissinann. Canonical quantization of the classical liainiltonian for a rclativistic spin-0 particle. // Z. Naturforsch., A, 1991, 46, 933-938.

64. E. Triibenbachcr. A Lorcntz invariant Schrodinger equation for spin 0. // Z. Naturforsch., A, 1989, 44, 801-810.

65. Kh. Namsrai. Square-root Klein-Gordon operator and physical interpretation. // Int. J. Theor. Phys., 1997, 37(5), 1531-1510.

66. Barci D.G., Bollini C.G., Oxman L.E., Rocca M.C. Lorcntz-invariant pseudo-differential wave equations. // Int. J. Theor. Phys., 1998, 37(12), 3015-3030.

67. J.R. Smith. Second quantization of the square-root Klein-Gordon operator, microscopic causality, propagators, and interaction. Preprint UCD/IIRPA 93-13, University of California, Davis, 1993.

68. C. Lammcrzahl. The pscudodifferential operator square root of the Klein-Gordon equation. // J. Math. Phys., 1993, 34(9), 3918-3932.

69. M. Kaku. Quantum Field Theory. New York: Oxford University Press, 1993.

70. Gorbar E.V. Heat kernel expansion for operators containing a root of the Laplacc operator. // J. Math. Phys., 1997, 38(3), 1692-1699, hcp-th/9602018.

71. A. Carlini, J. Grecnsite. Square-root actions, metric signature, and the path integral of quantum gravity. // Phys. Rev. D, 1995, 52(12), 6947-6961.

72. Jl.A. ВайшнтсПн, II.II. Собельман, E.A. Юков. Возбуждение атомов и уширение спек-т]хмъпых линий. Москва: Наука, 1979.

73. А.А. Соколок, И.М. Тернов. Релятивистский электрон. Москва: Наука, 1983.

74. V.G. Bagrov, D.M. Gitman. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Dordrecht: Kluwcr Acad. Pub., 1990.

75. P. Балсску. Равновесная и не]Х1вповеспая статистическая механика, Т. 2. Москва: Мир, 1978.

76. А.К. Rajagopal, E.C.G. Sudarshan. Some generalization of the inarcinkiewicz theorem and its implications to certain approximation schemes in many-particle physics. // Phys. Rev. A, 1974, 10(5), 1852-1855.

77. А.А.Сланнов, Л.Д.Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. Москва: Наука, 1988.

78. К. Huang. Quarks Leptons and Gauge Fields. Singapore: World Scicntific, 1982.

79. Е. Schrodingcr. Dcr stctigc ubcrgang von der mikro- zur makroincchanik. // Naturwissenschaften, 1926, 12, 661-666.84 8586