Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сецинская, Елена Владимировна

• Сецинская, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сецинская, Елена Владимировна

Введение

1 Описание класса степенных рядов, определяемых произведениями классических L-функций Дирихле

1.1 Метод редукции к степенным рядам и задаче аналитического продолжения рядоп Дирихле целым образом на комплексную плоскость.

1.2 Граничные свойства степенных рядов, отвечающих конечным произведениям классических L-функций Дирихле

1.3 К вопросу аналитического продолжения степенных рядов, отвечающих произведению не менее двух L-функций Дирихле

1.4 Класс степенных рядов Ш1. Аналог теоремы Адамара для степенных рядов класса 9Л.

2 Задача о разложении в произведение L-функций числовых полей

2.1 Задача разложения L-функций в произведение.

2.1.1 Разложение в произведение L-функции Дирихле в абелевом случае

2.1.2 Разложение L-функций в произведение в случае нор-меииых характеров.

2.2 Задача описания нормсппых характеров.

2.3 Композит полей и норменные характеры.

3 Связь задачи о граничном поведении степенных рядов с теоретико-числовыми задачами

3.1 Задача Ю.В. Линпика о целостности скалярного произведения двух L-функций Дирихле. СО

3.2 Граничное поведение степенных рядов и оценки некоторых арифметических сумм.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей»

Актуальность темы. В данной работе исследуется следующая задача. Пусть к — числовое поле конечной степени. \ — характер этого поля и соответствующая //-функция поля к.

Рассмотрим степенной ряд. определяемый L-функцией (1), то есть степенной ряд с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (1) оо g(z) = Y, anz". (2) п= I

Работа посвящена изучению поведения степенного ряда (2) на границе сходимости, а именно, изучению радиальных производных вида lim g(n)(re0 < <р < 2тг, п = 0,1,. (3) г—»1-0

Замечание 1. В диссертации результаты, в направлении решения этой задачи, получены г> случае характеров Дирихле, но в заключении указана актуальность данной задачи и намечены пути ее решения в случае числовых характеров Гекке.

Данная задача представляет интерес в связи с тем, что граничное поведение степенных рядов вида (3) позволяет, в свою очередь, судить об аналитических свойствах рядов Дирихле, которые так или иначе определяются L-функциями числовых полей, а это, в свою очередь, позволяет решать отдельные теоретико-числовые задачи, встречающиеся в теории L-функций.

Впервые эти задачи изучались в работах В.Н. Кузнецова [10,17,19,21]. Там же В.Н. Кузнецов назвал метод изучения аналитических свойств рядов Дирихле, представляющих интерес в теории L-функций, с помощью изучения граничных свойств соответствующих степенных рядов, методом редукции к степенным рядам. В работе [1G] была получена новая аналитическая характеристика классических L-функций Дирихле в классе рядов

Дирихле с коиечнозпачными характерами. А именно, было показано, что в этом классе классические L-фупкции определяются как мероморфные функции f(s) с единственно возможным простым полюсом в точке 5=1 и со следующим условием роста модуля вдоль отрицательной действительной оси: f(-<j){l-a) ^c-eahia+Aa при — <т < —его < 0, (4) где А — положительная константа.

При доказательстве этого результата существенным моментом явилось доказательство того факта, что в классе рядов Дирихле с коиечнозпачными коэффициентами условие аналитического продолжения в комплексную плоскость как мероморфиой функции с единственно возможным простым полюсом в точке s = 1 и условием (4) равносильно условию регулярности соответствующего степенного ряда g(z) в точке 2 = 1.

В работах [17,21] метод редукции к степенным рядам получил дальнейшее развитие. Здесь рассматривалась задача аналитического продолжения рядов Дирихле вида

00 s = <r + it. (5) 1 г=1

В частности, было показано, что ряд Дирихле вида (5) тогда и только тогда продолжим целым образом на комплексную плоскость, когда соответствующий ему степенной ряд g(z) имеет конечные радиальные производные в точке z = I, то есть существуют конечные пределы вида lim д{и](х), п = 0,1. с—>1-0

Замечание 2. Идея использования поведения степенного ряда g(z) в окрестности точки z = 1 для аналитического продолжения ряда Дирихле /(s) восходит к G.H. Hardy [2j. Н.Г. Чудаков [39,40] указывал на возможность применения этого подхода в вопросах, связанных с периодичностью коэффициентов ряда Дирихле. Но в этих работах рассматривался случай регулярности степенного ряда g{z) в окрестности точки 2 = 1 и не исследовался вопрос о том, как свойство аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость влияет на поведение соответствующего степенного ряда в окрестности точки z = 1. Такая взаимосвязь между рядами Дирихле и соответствующими степенными рядами в общем случае (то есть без предположения регулярности g(z) в точке z = l) впервые была изучена в работах В.Н. Кузнецова [17,21].

Дальнейшее свое развитие метод редукции к степенным рядам, основанный на изучении поведения ряда (7(2:) в окрестности единицы, получил в диссертации A.M. Водолазова [11]. Этот подход позволил A.M. Водолазову для рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами получить следующие результаты. Во-первых, он показал, что ряд Дирихле тогда и только тогда продолжим целым образом на комплексную плоскость, когда существует такая последовательность полиномов Дирихле {jT„(s)}, для которой при любом натуральном к в полуплоскости а > 1 выполняются оценки nsK№-T„(s))\ = o(±y где r(s) — Г-функция.

Замечание 3. Последний результат имеет место для любого ряда Дирихле вида (5).

Далее, в [11] было показано, что периодичность коэффициентов ряда Дирихле с конечнозначными коэффициентами эквивалентна существованию такой последовательности полиномов Дирихле {Т„(5)}, что в полуплоскости сходимости выполняется оценка вида

I r(s)(f(s)-Tn(s))\ = o(±y где q — некоторая положительная величина.

В работе [19] В.Н. Кузнецов изучал задачу граничного поведения степенных рядов g(z). отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей. В частности, в работе [19] изучалось граничное поведение степенных рядов g(z), которые определялись L-функциями Дирихле числовых нолей, которые допускали разложение в виде конечного произведения классических L-функций Дирихле, то есть L-фуикций вида п

L{s,X,k)=Y[L{s,Xi,Q). (G) i= i

Для таких степенных рядов g(z) В.Н. Кузнецов показал, что для всех <р, которые не соответствуют полюсам рациональных функции Hi{z). определяемых сомножителями L(s,Xi, Q), существуют конечные радиальные производные вида (3).

Замечание 4. Задача изучения граничного поведения степенного ряда<7(2), отвечающего L-функции числового ноля, встала в работе [19| в связи с решением задачи о целостности композита двух L-функций, то есть функции вида

71=1 где \ °° 7 / , ч V- Xi (о) а 4 ' 7г=1 г / , у v^bn

Х^.д,./,,)^

Ъ к ' 77 = 1

В спою очередь, задача о целостности функции пида (7) встала в связи с решением (в случае характеров Дирихле) известной задачи Ю.В. Линнн-ка о целостности скалярного произведения L-функций Дирихле [36].

Замечание 5. Граничное поведение степенных рядов, регулярных внутри единичного круга, изучалось одновременно с появлением степенных рядов. В направлении решения данной задачи получены многие результаты [30], например, известны результаты, полученные Таубсром, Фату и многими другими. Но задача изучения граничного поведения степенных рядов, отвечающих L-функциям числовЕ)1х полей, впервые была поставлена и решалась в работах В.Н. Кузнецова [10,17,19,21].

Нужно отметить, что в связи с работой [19] встали многие вопросы, которые требовали своего решения.

1. Осталось не ясным поведение степенного ряда, определенного L-функцией Дирихле вида (б), в граничных точках, соответствующих полюсам рациональных функций Rj{z), определяемых сомножителями L(s,\'i?Q).

2. Остался не ясным ответ на вопрос о существовании регулярных точек па границе сходимости степенного рядаg(z), отвечающего L-функции Дирихле вида (G). Остался не ясным даже ответ на следующий вопрос: не определяют ли такие степенные ряды рациональные функции?

3. Остался не ясным ответ на вопрос о том, когда L-фуикция Дирихле поля к допускает разложение вида (G).

4. Какие еще теоретико-числовые приложения (отличные от частичного решения задачи Ю.В. Линника) можно получить, исходя из результатов о граничном поведении степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей?

5. Какие результаты относительно граничного поведения степенных рядов будут иметь место в случае числовых характеров Гекке?

Полному или частичному решению поставленных вопросов и посвящена данная диссертация. Таким образом, диссертация посвящена дальнейшему развитию метода редукции к степенным рядам.

Научная новизна. Автору удалось полностью ответить на первые два из поставленных выше вопросов и частично получить отпеты па последние три вопроса.

А именно, в работе получены следующие результаты.

1. Определен класс степенных рядов Ш: по определению, степенной ряд где R(z) — рациональная функция, полюсы которой лежат на единичной окружности, а функция g(z) в точках единичной окружности, отличных от полюсов функции R(z), имеет конечные радиальные производные вида (3). При этом для любого т существует полином Pkjz)., нули которого совпадают с полюсами функции R(z) и имеют определенную кратность, такой, что функция ограничена внутри единичного круга.

Показано, что степенные ряды g(z), отвечающие L-функциям числовых полей, которые допускают разложение (G), принадлежат классу

2. Показано, что степенные ряды g(z), отвечающие L-функциям числовых полей вида (G), при к ф Q, определяют функции, отличные от рациональных.

3. Для степенных рядов класса 9Я доказан аналог теоремы Адамара об умножении особенностей. А именно, доказано, что если

РкпШт){г)

Ш. ос

ОС

1=1 два степенных ряда из класса Ш, то степенной ряд ос g(z) = J2a»b»zn (8) п=1 н точках единичной окружности, отличных от точек, являющихся по парными произведениями полюсов функций R\(z) и Я'2(~), имеет конечные радиальные производные вида (3).

Замечание G. В отличии от известной теоремы Адамара об умножении особенностей [35], в нашем случае не предполагается регулярности функций gi(z) и g-2.(z) в точках, отличных от полюсов функций R.v{z) и R2(z).

Замечание 7. В работе [19] также получен аналог теоремы Адамара. Приведенный выше результат уточняет результат (в смысле определенного класса 9Я), доказанный в [19], и его доказательство в нашем случае отличается от доказательства соответствующего результата, приведенного в работе [19].

4. Получены условия, при которых для двух рядовgi(z) и gi{z) из класса 9Л их композит вида (8) определяет целую функцию.

5. Частично решена задача о представлении L-фуикции Дирихле числового ноля к в виде произведения классических L-функций Дирихле вида (G).

В частности показано, что такое разложение имеет место, если характер Дирихле поля к является пормсипым характером некоторого характера Дирихле поля Q, то есть в случае, когда существует характер Дирихле xi поля Q, для которого для любого простого идеала р поля к имеет место равенство х{р) = Xi{N{p)).

6. Частично решена задача описания норменных характеров числовых полей.

7. Кроме известной задачи Ю.В. Линника о целостности скалярного произведения L-функций числовых нолей в случае характеров Дирихле [3G] указаш»! другие приложения полученных результатов к задачам теоретико-числового характера.

8. В заключении приводятся рассуждения, которые указывают на возможность применения подобной методики для решения теоретико-числовых задач, связанных с числовыми характерами Гекке.

Замечание 8. Как стало известно автору, в последние годы было получено решение задачи Ю.В. Линника о целостности скалярного произведения //-функций с характерами Гекке. Существенными моментами здесь являются, во-первых тот факт, что L-функция Гекке квадратичного поля с не разветвленным характером является преобразованием Меллина некоторой модулярной формы, и, во-вторых, полученная в [22] формула следа преобразования Лапласа в теории модулярных форм. Развитие теории модулярных форм привело к решению многих других задач теории //-функций. Методы теории модулярных форм, начиная с известных работ Гекке, Эйзейнштейна и других авторов, интенсивно развиваются и в настоящее время. Но как показывают результаты данной диссертации, наряду с подходом, основанным на теории модулярных форм, при решении задач теории L-функций числовых нолей имеют право на существование и свое развитие и другие подходы, например подход, основанный на методе редукции к степенным рядам.

Все приведенные выше результаты являются новыми и получены самостоятельно автором. Эти результаты определяют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем ее составляет 81 страницу.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Сецинская, Елена Владимировна

Приведем oтдeJП:)ПI)IC доводы, которые указывают в каком паправле пии нул<но развивать метод редукции к степенным рядам для ренюния теоретико-числовых задач в теории Ь-фуикщт с числовыми характерами Гекке.Напомним сначала некоторые факты из теории модулярн1>1х форм.Пусть Г' С Г =: 5^2(Z) — некоторая конгруэнц подгруппа модуляр ной группы 5L2(Z) уровня N, и пусть / (s ) — модулярная форма веса к, то есть функция, мероморфная в верхней полуплоскости, инвариантна от носительно подгрупнгл Г', действующей следуюпщм образом: пусть тогда / о [a]k = f{ocz){cz + d)-'%det af''\ и го;юморфная во всех веритнах фундаментальной области для Г'. Напом ним, что модулярная форма f{z) является параболической формой, если она равна нулю во всех сери1ииах.В каждой вершине можно записать разложепис параболической фор мы f[z) в ряд Фурье. В частности, можно записать разложение в беско нечности foo{z) = ^апе В этом случае ряд Дирихле называется рядом Дирихле, соответствуюпщм параболической форме/(5).Известно [42], что ряды Эйзенштейна, принадлежащие конгруэнц подгруппе Г' уровня Л ,^ определяют модулярные формы веса А;, ограничен ные во всех параболических вершинах. Следовательно, paзJЮжeниe такой модулярной формы в бесконечности определяет параболическую форму уровня iV и веса к. Известно также [42] стр. 107, что соответствующий ей ряд Дирихле Lf{s) имеет следующее разложение Lf{s) = L{s,xi) • L{s-k+l,X2), (1) где L{s,x) классическая L-функция Дирихле, xi и X'2 некоторые ха рактеры Дирихле модуля N.Исследуем граничное новедснис степенного ряди g{z), соответствую н1,его ря;1у Дирихле (1). Для простоты рассмотрим случай к = 2, и в этом случае рассмотрим степенной ряд gi{z). соответствующий ряду Дирихле m = l l=Q m = l

Почлегнк) иитег1)ируя и ди(})({)еренцируя вновь полученный ряд, для ряда Х^/?/' (где ?/ = z^"^) имеем S"'' = a i^ {^-УУ Отсюда, для g\{z) получаем m 1 - Z N = НИ, где R{z) — рациональная функция, полюсы которой имеют второй порядок и располагаются на единичной окружности.Для стснен1Юго ряда g{z). определяемого рядом Дирихле (1) имеет место а1едующ1н1 результат.Лемма 1. Степенной ряд g{z). соответствующий ряду Дирихле, ассоци ированному с рядом Эйзегнптейна веса к, где к ^ 2, принадлежащему конгруэнц подгруппе модулярной гругппл SL-ii^) уровня N. определяет функцию вида g{z)=^R{z)+rj{z). (2) где R{z) — рациональная (1)ункция, полюсы которой располагаются на еди ничной окружности и имеют порядок не вьнне второго, iig{z) во всех точ ках, отличных от точек «типа nojHOca», имеют конечные радиальные про изводные вида г—>1—() Доказате;н.ство леммы 1 повторяет доказательство теоремы 1.2 из § 1.2 главы 1, если только учесть, что стенеппой ряд, отвечаюнщй нер '^ вому сомножителю в (1), определяет рациональную функцию с lЮJиocaми первого порядка на едипич1юй окружности, а степе1пюй ряд, отвечающий второму coмнoжитeJпo, определяет рационал1)Ную функцию с полюсами второго порядка на единичной окружности.Пример рядов Дирихле, ассоциированных с рядами Эйзе1пнтейна, и другие известные автору примеры позволяют сделатг> следующее прсдпо :юженис.Гипотеза 1. Степенные ряды, определяемые рядами Дирихле, ассоции рованными с параболическими формами коигруэнц подгруппы модулярной группы SL'zCZ), припадлеэ/сат классу Ш. Отметим, что в классе степеппых рядов 9Я имеет место теорема о це Л0СТ1ЮСТИ скалярного ироизведе1П1я соотвстствуюггц^х 1)ядов Дирихле. Из вестно [3G], что для мнимых квадратичных нолей L-фупкции Гекке совпа дают с рядами Дирихле, ассоциированными с на1)або;н1ческими формами коигруэнц подгруппы модулярной группы. По этому поводу см. такл<е [4].Поэтому гипотезу 1 можгю предположить так же для L-функций Гекке числовых нолей.% Укажем па одщп нз возможных подходов ре1пепия последнего пред положения, суть которого заключается в том, чтобьг, во-первых, доказать эту гипотезу для случая квадратичных полей, а затем случай произволь ного поля свести к квадратичным полям. С этой целью необходимо уметь раскладывать L-фуикцию Гекке числового поля к в виде произведения L-([)yнкций Гекке квадратичных нолей, и здесь, по мнению автора, суще ственную роль должны играть норменные характеры Гекке.Остановимся подробнее на OCHOBIH>IX НОИЯТИЯХ, связаниглх с числовы ми характерами Гекке, KOTopi>ie необходим1>1 для более подробного описа ния да1июго подхода.Пуст1> /j D Q — некоторое алгебраическое расширение ноля 1)ацио нальных чисел О. Определение 1. Изоморфизм а : к —>• С паз[>1вается вещес?пвенныл1, если

а{к) С R, в противном случае этот изоморфизм а называется комплекс ным.Определение 2. Поле к называется вполне колтлекспылг. если каждый изоморфизм из /г в С комплексный. И поле к называется вполне веще ственным^ если каждЕлй изоморфизм из А; в С вещественный.Определение 3. Поле к называется СМ-полем, если оно является внолис комплексным расширением некоторого своего BHOjnic вещественного под поля kQ.Примером СЛ/-ПОЛЯ может служить поле Q (\/—(i), где rf € Q и d > 0. Другие примеры дают круговые поля Q(-^ ,7i)- Вполне веп1,ественным подполем в Q(^m) является Q(^m + С / ) -

Пусть /с С С такое СЛ/-ноле. что pacnnipenne /c|Q — но{)мальное.Пусть 7 изоморфизм, являюп1,ийся 01'раниче1П1ем комплексног'о сопряже ния на иоле к. Известно, что j лежит в цегггре Г1)униы ГалуаС = Ga/(A:|Q).Кроме того, полем к^ является подполе иивариаитпых элементов при дей ствии изоморфизма J. В дальнейшем будем предполагать, что поле к удо влетворяет перечисленным вьпие условиям.Пусть О С к — кольцо це:п>1х чисел н Ш О — некоторый идеал ко;п1ца це;п>1х. Наномним [G], что в этом случае, алгебраическим характе ром Геккс но моду;по Ш1 является функция х-) заданная на группе идеалов кольца (9, удовлетворяющая следующим условиям: (i) х{о) = 1; (ii) (V 21 С О) х(21) ^ О ^ (21, Ш1) = 1; (iii) (V 21,« С О) х(21«) = х{Щхт\ (iv) {Зде Z[G]) (V а € О) а = 1 [mod Ш) =^ х ((a)) = о'^ ; (v) (3 m G Z) (V сг G G) п„ + rija = m Следует заметить, что по условию (iii) характер х полностью опреде лен своими значениями на простых идеалах, взаимнопростых сШ. В условии (iv) под Z[G] понимается групповое кольцо, то есть если

1? е Z[G], то " = Е П„(Т. Кольцо Z[G] действует на поле к следующим образом: если а € /с, то л' = П ("")"" • Условие (v), как показано в [G], эквивалентно условию (l+j)t!' = niN.Чис;ю т в этом условии называется весом характера х Если X некоторый алгебраический характер Гекке веса т , тогда V <Д С О при (21. Ш1) = 1, выполняется \х{Щ = Л^(21)"'/'^ .Отметим пекото{)ыс свойства характеров Гекке.1. Пусть х\ характер Гекке модуля 9Ki веса Ш], а Х2 " характер Гекке модуля Ш12 i^ eca 7П2. Тогда п1)оизведеннс х — XiX2 является характером Гекке модуля ШТ = 7YO/C(93Ti, Ш12) и веса m = mi + m2.Д о к а з а т е л ь с т в о Проверим выполнение условия (iv), остальные условия характеров Гекке очевид1п>1. Пусть а = 1 {mod Ш\) и а = 1 {mod Ш12), тогда ОЧСВИД1Ю Q = 1 {mod 9Я). Пусть ,Yi((< )^) — <^ '^S Х2((о;)) = а''-, тогда

Х((а)) = а'''+'^2.^# 2. Характер Дирихле является характером Гекке веса 0.Д о к а з а т е л ь с т в о Достато'ию в определегнш xajiaKTcpon Гекке взять '0 = 0.Следствие. Пусть х характер Дирихле, х характер Гекке. Тогда их произведение xi = XX является характером Гекке.3. Пусть Лдл группа идеалов, взаимнонростых с идеалом 9Я, Т/дл С

1р Лзл — подгруппа главных идеалов (7), таких, что 7 = 1 {jnod Ш).Известно, что A-j}i\ILjn конечная абелева группа. Пусть21i,.... 2(„, — представители класса смежности группы Л ^ по подгруппе //gjj- Тогда для jno6oro идеала 51 € Л^г существует 21 j и (7'шг) € Нш такие, тго 21 = 21г(7шО) следовательно х{Щ = x{^i)x{{lm))•, где х характер Дирихле модуля Ш. Для простоты из;гожения дальнейших (})актов будем рассматривать нормированные характеры Гекке, то есть такие Х; что |х(21)| = 1-

Тогда х(21) — множество корней из единицы, замкнутое относительно произведения, то есть группа. Следовательно, сун1,ествует характеру группы Аш\Н^у1 такой, что х(^) = x{^)lt- Далее, Та = IT, i7;c а,р = i (mod Ш), следовательно, существует г? € Z[G], что

ЛЧ1Ра))

Итак, получаем, что для jnoGoro 121 G Лда суп1,еству10т однозначно определенные 21,; и 7»2h 'Ж (тл) ^ -^эл; |тл| = 1, а так же характер х ^ группы Лот|Ядл и элемент i), не зависян1,ие от 21, что Хт = Х{%Ы (4) Рассмотрим другой характер х\ группы A^\Hf)}i и рассмотрим отоб ражение х\ из группы ylgjj в сдиничную окружность, который на иде алы из группы /Igjj действует следующим образом xim = Xi{%hl Легко проверить, что для xi вьнюлпяются свойства (i)-(v) характеров (# Гскке. Таким образом имеет место следу10н;ая теорема.Т Е О Р Е М А 1. Пусть х - нормированный характер Гекке по моду лю Ш, а Xi характер группы A^\H-2R. Тогда Х\. = XiX снова будет нормированным характером Гекке по модулю Ш1.Докажем следующее утверждение.Т Е О Р Е М А 2. Пустг^ к С L — расширение Галуа конечной степени п и W пусть х\ — '<е разветвленный характер Гекке гюляк. Тогда отображение Х.2, определяемое форлгулой является не разветвленным характером Гекке поляЬ. Замечание 1. В работе [З!) приведено доказательстг>о теоремы 2. Но дока зательство это1'о утверждения использует идельпую технику. Мы приведем здесь доказательство теоремы 2, которое использует только определение HHCjmBoro характера.Замечание 2. На самом деле можно показать, что утверждение теоремы 2 имеет место и для разветвленного характера.Д о к а 3 а т с; л и с т в о т е о р е м ы 2 Ясно, что Х2 мул1>типликативный xajjaKTcp на группе идеалов //, поля L. Покажем, что для Х2 вьнюлняется условие (iv) опредслспия харак теров Гекке. Пусть UL, G Ii — подгруппа главных идеалов поля L. Ясно, что NI\};{UL) С Uk; то есть норма переводит группу главных идеалов поля L в подгруппу главных идеалов ноля к. Пусть а € Gal{k\Q) и а* — неко торое продолжение автоморфизма а с поля к па поле L. Пусть (а) G U^.Тогда Мц,Да)) е U,, п UNiikiicy))) = N^{{a))^ TflsiO= Y.ria(JeZ[G].Обозначим где a*j — произвольное продолжение автомо1)фнзма o" с ноля к на L. Пока жем, что а^* = Ni\]SXayf.Таким образом, Х2((а')) = а^\, где О* е Z[G2i Go = Gal{L\q). Это и доказывает, что отображение Х'2 является характером Гекке поля L.Перейдем теперь к определепию 1/-функн,ии, задаваемой некоторым характером Гекке.Определение 4. Пусть х нормированный характер Гекке ноля к но мод1улю Ш. Тогда L-функция Гекке определяется следующим образом где произведение берется по всем простым идеалам р поля А;.Точно так же, как и для L-функции Дирихле, при сг > 1 имеет место '10ждество где cyMMMpooaiHic берется no всем це^ н>1М 1гдеалам поля к. а Запишем иное представление для L-фyнки,ии Гекке. В силу (4) и (5) имеем ,(, с L^ = S^ШL-\^\^ШL-Srv^ШЫ.-

где BHcuHiee суммирование берется но всем представителям фактор группы Известно [29], что Ь(1,хД') 7^ 0. Известно также [29], что для L-

функций Гекке имеют место и многие другие факты, Koropi^ ie имеют место для L-функций Дирихле. Haiii)HMep, для Ь-фуикщш Гекке имеет место фyнкциoнaJП)Hoe уравнение [9].Пусть где Gx{s) одна из функций вида Poo — множество ветвян1,ихся идеалов н идеалов, которые являются мно жителями идеала Ш характе1)а х Тогда имеет место функциональное уравнение A{s,x)=ax{b)mmmf' - Л(1 - 5 , Г ' ) , (7) 1» где а, Ь — некоторые константы, D — дискриминант поля /с, /?(9Я) — ре зольвента идеала Ш. Так как Г(5)', а следовательно, и V^{s + 5^)', — целая функция, то из (7) следует, что L(<j, s, к) — целая функция, если х "^ главный характер Гекке.Известно [10], что функция входящая в представление (б), также удовлетворяют ([)ункциоиальному уравнению тина (7), и, следовательно, является целой функцией.Замечание 3. Функциональное уравнение тина (7) для L-функций Гекке BnepBi.ie было получено Гекке [3]. Значительно позже Тейт обобн1,ил резуль тат Гекке на более широкий класс характеров — квази-характеров [9,29].Докажем теперь следу10И1,ее ут15ерждение.Т Е О Р Е М А 3. Пусть К — абелево раситрепие Галуа поля к с группой Галуа G = Gal{K\k), Х2 характер Гекке числового поля К, для которого существует характер Гекке xi поля к, что где 05 — любой простой идеал поля К, тогда для Г-(рутщии Гекке L{s, X? ^^) поля К имеет место разлолсепие L{s, Х2, К) = Д L{s, XiXb к), где произведение берется по всем характерам Дирихле Xi расширения К\к, согласованными с группой Галуа G этого расширения.Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть р — не разветвленный простой идеал поля к. то есть где !Bi, . . . ,Ъ( — pasjHiHHbie простые идеалы К. Обозначим Л''д'|/с(Ш )^ = р ' Хг расширения А'|/с выполняется Хг(р') — 1-

^ В этом случае имеет место тождество {^-УТ'=1[(^-Х1.{Р)УГ'. (8) Действительно, прологари(1)ми1)уем обе части этого равенства. Полу Jln{l-y^)^J2^n{i-Xiip)y), ос . оо ^ оо , •у Е ^v'"' = - Е Е ;^ МРГ г/"' = - Е ;^ Е (^ 'Л'))"' У""-

пг=1 Xi ^11=1 т=1 Xi Известно, что если Хг пробегает все характеры Дирихле группы Галуа Тогда Е^"'Н = о, если {п,т) = 1, п, если (п, ш) = /.ОО ^ 0 0 ^ ОС ^ m = l Xi f=l-' f=l •' Таким образом тол<дество (8) доказано. Положим в этом тождестве и учтем, что ироизведение характера Дирихле па ха1)актер Гекке есть ха рактер Гекке. В итоге получаем, что 1 - 'ЫРУ

Л ХМЫР) Отсюда Р 251 23, ^ У JJ / Ъг...<В,=р = 9{z)ll{^ М{РУ Xi{p)xiipy = <j{s)Y[4s,XiXi,k)- Итак, получили сле/1у10П1,ее равенство L(s, Х2, К) = 9{s) Yl Us, XiXu f<:); (9) ^ ы - П ( 1 ЫРУ Nip)\ и произведение берется но всем разветвленным идеалам поля к. Но из функционального уравнения для L-функции Гекке следует, что g{s) не имеет ни нулей, пи полюсов, что означает, что g{s) постоянна, а именно равна 1, что завершает доказательст1Ю тео1)емы 3.Замечание 4. Выше было показано, что если Xi характер Дирихле поля А:, Х\ характер Гекке этого поля, то XiXi xapaKTCj) Геккс поля к. Таким образом теорема 3 дает разложение Ь-(|)ункции Гекке поля К в произведе ние Ь-фупки,ий Гекке поля /с, если только характер Гекке поля К является иормеиным ха1)актером для характера Гекке поля к.Этим и заверншм наши рассуждения в пользу высказанной гипоте зы относительно граничного поведення степенных рядов, отвсча10Н1,их L-

функциям числов1>1х нолей с нормированнымн характерами Гекке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сецинская, Елена Владимировна, 2005 год

1. Duffcn R.L., Schacffcr А.С. Power saries with hounded coefficients // Amer. Л. Math., 1945. 67. P. 141-154.

2. Hardy G.H. Proc. bond. M. S. (2). T. 8. 1910. P. 277-294.

3. Hecke E. Einc neuc Art von Zetafunktionen und ihre Bezehungen zur Vcrtcilung der Primzahlen // Math. Z., 1920. 6. P. 11-67.

4. Hecke E. Zur Thcorie der clliptischcn Modulfunktionen // Math. Ann., 1926. 97. P. 240-242.

5. Landaiv E. Einfuhrung in die elcmentare und analitische Theorie der algebraischeii Zahlen und der Idealc. Leipzig, 1927.

6. Айерлэнд К., Роузси M. Классическое сведение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

7. Axtiedep Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М: ОГНЗ, 1947.

8. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

9. Вейль А. Основы теории чисел. М: Мир, 1972.

10. Виноградов А.И. О продолжении в левую полуплоскость скалярного произведения L-рядов Гекке с характерами величины // Известия АН СССР Сермат, 1965. Т. 29. № 2. С. 485-495.

11. Водолазов A.M. Аниоксимационный подход к проблеме обобщенных характеров: Дисканд. физ.-мат. наук. Саратов, 2003. 82 с.

12. Водолазов A.M., Кузнецов В.Н., Сецииская Е.В. К одной задаче В.Г. Спринджука // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докладов VI Между нар. конф. Саратов 13-17 сентября 2004 г. Саратов: Изд-во Саравт. ун-та, 2004. С. 36-38.

13. Водолазов A.M., Сецииская Е.В. Об аналитических свойствах рядов Дирихле допускающих аппроксимацию полиномами Дирихле // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2004. Вып. 6. С. 21-23.

14. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматгиз, 1994.

15. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Математические заметки, 1984. Т. 36. Вып. 6. С. 805-813.

16. Кузнецов В.Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислителыше методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 63-72.

17. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Труды 3-ей Сарат. зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. Ч. 2. С. 113-115.

18. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 9. С. 2329.

19. Кузнецов В.Н. Метод редукции к степенным рядам is задаче о целостности композита рядов Дирихле // Труды 4-ой Сарат. зимней школы но теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. Ч. 1. С. 147-149.

20. Кузнецов В.Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. С. 17-23.

21. Кузнецов Н.В. Нули произведений Петерсона для параболических форм и гипотеза Линника j j Мат. сборник, 111. № 3. С. 333-383.

22. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. Продолжимость целым образом на комплексную плоскость скалярного произведения L-рядов числовых полей // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2003. Вып. 5. С. 71-73.

23. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К одной задаче 10.В. Линника // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докладов V Междуиар. копф. Тула 19-24 мая 2003 г. Тула: Изд-во ТГПУ, 2003. С. 144-145.

24. Ленг С. Алгебраические числа. М: Мир, 19GG.

25. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 19G8. Т. 2.

26. Мороз Б.З. О дзета-функциях полей алгебраических чисел // Математические заметки, 19G8. Т. 4. Вып. 3. С. 333-339.

27. Постпиков М.М. Теория Галуа. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1983.

28. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

29. Титчмарги Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

30. Фоменко О.М. Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения L-рядов Гекке двух квадратичных полей // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. М.: Наука, 1972. Т. 128. С. 232-242.

31. Хассе Г. История теории нолей классов //В кн.: Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969. С. 397-416.

32. Хейльброн X. <,"-функции и L-функции //В кн.: Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969. С. 310— 347.

33. Чудаков Н.Г. Аналитические условия периодичности числовых функций // Тезисы всесоюзной конференции по актуальным вопросам теории чисел. Самарканд: Изд-во Самарк. гос. ун-та, 1972. С. 87.

34. Чудаков Н.Г., Назаров Э.Н. Аналитический критерий периодичности числовых функций // Исследования по тории чисел: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. уп-та, 1976. С. 115-119.

35. Шидловский А.Б. Диофаитовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во МГУ, 1982.

36. Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. М.: Мир, 1973.