Аппроксимационный подход к проблеме обобщенных характеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Водолазов, Александр Михайлович

• Водолазов, Александр Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Водолазов, Александр Михайлович

Введение

1 Вопросы аналитического продолжения рядов Дирихле

• 1.1 Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость.

1.2 Аппроксимационный критерий целостности рядов Дирихле

2 Вопросы аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами

2.1 О граничном поведении степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами.

2.1.1 Ограниченная полугруппа операторов и вопросы полиномиального приближения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами . 28 2.1.2 Оценки скорости приближения полиномами степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами

2.2 О граничном поведении степенных рядов с обобщенными характерами.

3 Аппроксимационный подход к гипотезе Н.Г.Чудакова

3.1 Аппроксимационная характеристика Ь - функций Дирихле. 51 3.2 Распределение значений обобщенных характеров.

Добавление

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимационный подход к проблеме обобщенных характеров»

Краткий исторический обзор по теме диссертации.

В различных задачах аналитической теории чисел важную роль играет изучение характеров мультипликативной полугруппы натуральных чисел. Характером называется теоретико-числовая функция к(п) обладающая следующими свойствами:

1) к(п)~ отлична от тождественного нуля,

2) Н{п\п2) = к{п\)к{п2) для любых натуральных щ и П2 (вполне мультипликативность) ,

3) \Ь(п)\ = 0,1 (нормированность).

Если к условиям 1,2,3 добавить требование периодичности Л(п), то получим определение характера Дирихле. Важность характеров Дирихле в теории чисел хорошо известна.

Из условия 2 вытекает, важное свойство: характер полностью и однозначно определяется значениями, которые он принимает на простых числах.

Базой характера Н{п) называется множество всех простых, для которых Н{р) ф 0. База называется конечной если она содержит конечное число простых, и бесконечной в противном случае. Базу называют полной, если в нее не входит лишь конечное число простых.

Важной характеристикой числового характера Н(п) является сумма-торная функция

В частности, если Н(п) = х(п> характер Дирихле основного модуля к, то хорошо известно

К) = ^ Л(п). п<х к

0, если х~~неглавный, (р(к), если ^-главный, п=1 ТГЧ'"/> и следовательно легко получаем, что

5(®,х) = о® + 0(1) J 0, если х-неглавный, 1 если Х-главный.

В 1950 году Н.ГЛудаков /40//39/ поставил задачу изучения характеров с ограниченной сумматорной функцией, которые были названы обобщенными характерами. Как и для характеров Дирихле, вводится понятие главного обобщенного характера: пусть

S(x, h) = ах + O(l) при £-»оо; тогда при а ф 0 характер h называется главным обобщенным характером, а при а = 0 характер h называется неглавным обобщенным характером или просто обобщенным характером.

Характер Дирихле является частным случаем обобщенного характера.

Свойства обобщенных характеров во многом схожи со свойствами характеров Дирихле. В частности из ограниченности сумматорной функции следует, что 72

71=1 можно аналитически продолжить в полуплоскость о > 0.

В работе /39/ показано, что если h(n)~ действительный неглавный обобщенный характер, то его L-функция положительна при s = 1, т.е. L(l, К) > 0, что является аналогом теоремы Пейджа для характеров Дирихле. В этой же работе для неглавных действительных обобщенных характеров получен аналог теоремы Зигеля.

Естественно возник вопрос о том, насколько класс обобщенных характеров шире, чем класс характеров Дирихле.

Имеется один очевидный пример обобщенного характера, не являющегося характером Дирихле. Пусть база характера h{n) состоит из одного простого р, причем h(p) = £ ф 1, |£| = 1, тогда

1 ст+1 где т = [gj].

Привести другие примеры долго не удавалось. Появились работы, в которых доказывалась неограниченность сумматорных функций некоторых классов характеров, заведомо не являющихся характерами Дирихле. В работе Н.Г.Чудакова и Ю.В.Линника 1950 г./40/, доказано, что сумматор-ная функция характера с конечной базой, состоящей более чем из одного элемента, неограничена. В доказательстве использовалось представление L - функции в эйлеровское произведение, которое позволило связать сум-маторную функцию с рядом по вычетам L - функции, а также результаты И.М. Виноградова и O.A. Гельфонда.

Дальнейшее развитие метода Чудакова-Линника происходило в двух направлениях: во-первых, рассматривались характеры с редкой базой, то есть когда число простых, для которых h(p) ф 0, в интервале (1,6*) не превосходит /(#): при ч 1-2М. . . . л лг 1

1п4—k1"1"1"137' где 0 < М < -, неограниченность сумматорной функции доказали Б.М. Бредихин, Н.Г. Чудаков /42/, /3/. Во-вторых, стали рассматривать не только мультипликативную полугруппу натуральных чисел, но и общие полугруппы. В этом направление Б.М. Бредихин /17/ доказал прямые и обратные теоремы связывающие распределение элементов полугрупп и их образующих.

В 1954 г. B.C. Бронштейн /5/ рассмотрел характеры, названные испорченными или возмущенными характерами Дирихле . Это такой характер h(n), для которого существует неглавный характер Дирихле такой, что h(p) ф х(р, к) при р £ Р и h(p) = х(р> к) при р £ Р.

В случае конечного множества Р, в /5/ доказано, что сумматорная функция является неограниченной.

Метод Бронштейна, который является элементарным и основан на применении системы счисления с подходящим основанием, получил развитие в работах Н.Г. Чудакова, Б.М. Бредихина и В.В. Глазкова. Так В.В. Глазков /11/,/12/,/13/ доказал, что если множество Р является редким, то есть ^ < оо, то возмущенный характер имеет неограниченную сум-рер маторную функцию, то есть не является обобщенным; и если характер является конечнозначным и главным, то он является характером Дирихле.

Кроме того В.В. Глазков изучал теоремы о распределении значений характеров, которые имеют аналог для характеров Дирихле: им был построен пример характера, реализующего любую последовательность своих значений, а именно, была доказана.

Теорема. Пусть h(n)-возмущенный на бесконечном множестве простых характер с полной базой, принимающий р различных значений в множестве корней из единицы степени р; • • • Лз любая последовательность корней степени р из единицы. Тогда существует натуральное п такое, что h(n + i)=£i (t = l,.,s).

В 1953 г. Н.Г. Чудаков /43/ построил пример нетривиального обобщенного характера, не являющегося характером Дирихле. Пусть h{n) = х(п)пи, где х(п)~ неглавный характер Дирихле, a t ф 0 действительное число, то 5(я?,Л) = 0(1).

Отметим, что в этом примере характер h(n) принимает бесконечное число значений.

Приведенные выше результаты позволили уточнить определение обобщенного характера.

Определение. Обобщенным характером называется теоретико - числовая функция h(n) удовлетворяющая следующим условиям

1) h{n) - вполне мультипликативна;

2) имеет полную базу (т.е. число простых р, при которых h(p) = О конечно);

3) h(n) - конечнозначная функция;

4) сумматорная функция ограничена.

Относительно обобщенных характеров Н.Г. Чудаков выдвинул следующую гипотезу /44/, /40/.

Гипотеза Чудакова. Обобщенный характер является характером Дирихле.

В период с начала 50-х по 70-е годы работы, связанные с проблемой обобщенных характеров, были в основном посвящены проверке тех или иных свойств, имеющих место для характеров Дирихле.

С начала 70-х годов появились работы Н.Г. Чудакова и его учеников, в которых решение проблемы обобщенных характеров сводилось к проверке определенных граничных свойств степенного ряда оо

9(х) = ^Чп)хп,

71=1 где h(n)— обобщенный характер /44/, /45/, /19/.

Это связано с тем, что для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами имеют место известные теоремы Сеге и Даффина—Шеффера, где условие периодичности коэффициентов (начиная с некоторого номера) связано с граничными свойствами таких рядов. Приведем эти теоремы: Пусть

00 g(z) = J2*nZn (1) п=0 степенной ряд с конечным числом различных коэффициентов. Имеет место /2/:

Теорема. (Сеге) Коэффициенты степенного ряда (1) являются частично периодическими, т.е. существуют щ и d такие, что ап = an+d при п ^ по, тогда и только тогда, когда ряд (1) аналитически продолжим за пределы единичного круга.

Теорема. (Даффин-Шеффер) Коэффициенты степенного ряда (1) частично периодичны тогда и только тогда, когда g(z) является ограниченной в некотором секторе единичного круга.

В работах /44/, /45/ получены результаты так или иначе связаные с теоремой Даффина-Шеффера.

Приведем один из результатов Н.Г.Чудакова /45/. Пусть /1(п)-конечнозначная функция натурального п,

М((р) = sup

5>(п) e(ntp)i п<х для х > 0, имеет место следующий результат.

Теорема. 1г(п)-частично периодична тогда и только тогда, когда М(<р) суммируема на некотором интервале («Рь^г)

Работа В.Н. Кузнецова /19/ посвящена получению аналога теоремы Сеге для рядов Дирихле; при этом была получена новая аналитическая характеристика L-функций Дирихле как мероморфных функций с единственно возможным полюсом в точке s = 1 и удовлетворяющих определенному условию роста модуля вдоль действительной оси. А именно, доказана

Теорема. Для рядов Дирихле оо = ££. » = ' + * (2)

1 " п=I с конечнозначными коэффициентами следующие условия эквивалентны:

1) коэффициенты ап частично периодичны;

2) функция f(s) является мероморфной с единственно возможным простым полюсом в точке s = I, и удовлетворяет следующему условию роста модуля s)(s-l)| < CelsMsl-b4lsl j где А - неотрицательная константа.

Результаты работ /44/, /45/, /19/ позволили более широко взглянуть на проблему обобщенных характеров и понимать ее как получение различных условий, в том числе и аналитических, при которых конечнозначная, вполне мультипликативная функция натурального аргумента с полной базой является периодической функцией.

Позднее, в работах /20/, /21/, /22/ В.Н. Кузнецова был разработан метод аналитического продолжения рядов Дирихле — метод редукции к степенным рядам, где в частности, показано, что ряд Дирихле тогда и только тогда определяет целую функцию, когда соответствующий (с теми же коэффициентами) степенной ряд имеет конечные радиальные производные любого порядка в точке 2 = 1, то есть существуют пределы вида lim о(п)Ы = ап, п = 0,1,2,.

Отметим, что в теории приближений функций, непрерывных на отрезке, алгебраическими полиномами известно /14/, что степенной ряд оо g(x) = апхП тогда и только тогда будет иметь производные любого п=1 порядка в точке х = 1 , когда для величины 8п{д) наилучшего приближения функции д(х) алгебраическими полиномами степени ^ п выполняются оценки при любом к.

Более того, точка г = 1 будет регулярной для функции д(г) тогда и только тогда, когда для 8п(д) (на отрезке [0; 1]) имеют место оценки

С этой точки зрения работы /20/, /21/, /22/ явились основой для аппроксимационного подхода в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, а также в проблеме обобщенных характеров.

Настоящая диссертация посвящена развитию аппроксимационного подхода к проблеме обобщенных характеров и приложениям в теории Ь-функций, а именно, в работе рассматриваются следующие вопросы:

1) Изучение величины £п{д) для степенных рядов с обобщенными характерами.

2) Получение критерия периодичности обобщенных характеров выраженного в терминах рядов Дирихле, аналогичного критерию имеющему место для степенных рядов в виде вп(д) = О , где д > 1.

3) Применение аппроксимационного подхода к изучению аналитических свойств ¿-функций Дирихле.

Все, сказанное выше, позволяет говорить об актуальности темы диссертации.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе изучается задача аналитического продолжения рядов Дирихле. Доказан критерий аналитического продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость в терминах аппроксима-ционных свойств функций, определяемых этим рядом в области сходимости. Этот критерий является аналогом известного критерия, выраженного в терминах аппроксимационных свойств функций, определяемых соответствующими степенными рядами, речь о котором шла выше. где д > 1.

Постановка задачи.

Содержание работы.

Изучение свойств прямого и обратного преобразования Меллина позволило доказать следующий результат.

Теорема 1.2.1. Следующие условия эквивалентны:

1) f{s)~ продолжима целым образом на всю комплексную плоскость;

2) существует последовательность полиномов Дирихле {Tn(s)}, которая при ai > а > его > J равномерно сходится к f{s) со скоростью о(^г), для любого натурального к.

Отметим, что в теореме 1.2.1 утверждается существование полиномов Дирихле (Tn(s)} с хорошими аппроксимационными свойствами, но не удается указать вид полиномов Дирихле {Tn(s)}.

Во второй главе диссертации изучается задача аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами для этого исследуется поведение степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами при подходе к точке х = 1. В основе этих исследований лежит аппроксимационный подход, использующий аппарат сильно непрерывных, ограниченных полугрупп операторов (С.И.О.П.О.). Известно /30/, /33/, что наличие С.Н.О.П.О. -(Уй,* > 0}, действующих в банаховом пространстве, обеспечивает прямые и обратные теоремы теории приближения по собственным подпространствам аналогичные классическим, т.е. прямым и обратным теоремам приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, но выраженные в терминах оператора, порождающего С.Н.О.П.О. и модулей функций к-го порядка. Все необходимые сведения относительно основных понятий, связанных с С.Н.О.П.О. вынесены в "Дополнение 1" настоящей диссертации.

В нашем случае построение соответствующей С.Н.О.П.О. позволило сравнить величину наилучшего приближения степенного ряда с вполне мультипликативными коэффициентами алгебраическими полиномами степени < п (£п(д)) с величиной наилучшего приближения этого ряда алгебраическими полиномами с вполне мультипликативными коэффициентами степени < п (S*(g)) сначала на отрезке [0,1 — е], а затем в результате предельного перехода при е —> 0 и на отрезке [0,1]. В результате сравнения мы получили некоторую информацию о модуле непрерывности функции д(х) на отрезке [0,1].

Реализация этой схемы заключалась в следующем. Прежде всего сравнивались модули функций к-го порядка tük(^,g{x), {V(t)}) и i ( \ 00 Ukl^gi(®), {V(t)}\ гдед(х) = £ апхп, 9l(x) = EvP. и где {V(t), t > п=1 р

0} определялась следующим образом :

V(t)xn = e~n2txn . В результате этого сравнения была доказана

Теорема 2.1.7.Пусть д{х) G С[0,1], а д\(х) = O(l) при х е [0,1]. Тогда для величин Sn{g) имеет место оценка п(д) = о(сь In"*(п)) , при п —У оо, где А;- любое натуральное и, где Сп- некоторые константы, зависящие от п.

Замечание 1. Теорема 2.1.7 имеет место для степенных рядов не обязательно с вполне мультипликативными коэффициентами.

Замечание 2. Из теоремы 2.1.7 на основе общих результатов относительно приближения функций из пространства С[0,1] алгебраическими полиномами следует, для модулей непрерывности 0^(^,(7(2;)) для любого к имеет место оценка шк(г> 9ÍX)) — ¿»(en 1п~*(п)) при п оо,

ТЪ где Сп~ некоторые константы, зависящие от п.

Далее исследуются условия теоремы в случае, когда коэффициенты ап = где h(n)~ обобщенный характер. Дело в том, что в этом случае функция т (i х h(n)

71— 1 как и в случае L-функций Дирихле, не имеет нулей в некоторой окрестности точки s = l. Этот факт позволил доказать следующий результат.

Теорема 2.2.1. Пусть h(n)~ обобщенный характер и в комплексном случае h2(n) - также обобщенный характер. Тогда

1) g*(x) = Y1 ^хр ограничена на отрезке [0; 1];

2) 9(х)=Е^пеС[0;1];

00 п=1

3) Еп(д) = о(сп\п-к п) где к- любое натуральное и Сп~ некоторые константы, зависящие

К сожалению, результаты теоремы 2.2.1 не позволяют сделать вывод относительно аналитического продолжения ряда Дирихле даже за ось сходимости. Но, по мнению автора, описанный выше подход исследования степенного ряда д(х) при подходе к точке х = 1 нуждается в дальнейшем совершенствование; он может привести к более сильным результатам.

В третьей главе работы получена важная аппроксимационная характеристика ¿-функций Дирихле. Доказана

Теорема 3.1.1. Следующие условия эквивалентны:

1) Н(п)- периодическая функция начиная с некоторого номера;

2) существует последовательность полиномов Дирихле {Тп(з)}, которая для любого а в полуплоскости а > сто > \ равномерно сходится к /(й) со скоростью 0(где д > 1 и где константа не зависит от сто

В этой теореме полиномы Дирихле (Т„(5)} имеют специальный вид. Они находятся по схеме по Бернштейна из полиномов Чебышева. Изучение полиномов Чебышева позволило доказать следующий результат.

Теорема 3.1.4. Пусть

Ь-функция Дирихле, где х(п)~ неглавный характер Дирихле модуля т = 3,4,5, б, 8,10. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле {Т^)}, которая в полуплоскости сг равномерно сходится к Ь(з) со от п. скоростью O(-Jr), где q > 1 и где константа не зависит от а. Более того, в для любой замкнутой ограниченной области D комплексной плоскости существует такая подпоследовательность (Tnfc(s)} полиномов Дирихле, которая равномерно в области D сходится к L- функции Дирихле.

Теоремы 3.1.1 и 3.1.4 могут иметь важное применение при изучение свойств L— функций. Во-первых, используя полиномы {Tnk(s)}, можно получить приближенное функциональное уравнение для L-функции, во-вторых, по теореме Гурвица /35/ нули L- функций приближаются нулями полиномов {Tnjt(s)}.

Как демонстрация возможности применения теорем 3.1.1 и 3.1.4 в работе доказана

Теорема 3.1.5. Пусть h- неглавный характер Дирихле модуля т = 3,4,5,6,8,10 , тогда

L(h, а + it)| = 0(1), при а > 1/2.

Далее в этой главе изучаются вопросы, связанные с распределением значений обобщенных характеров, и их взаимосвязь с гипотезой Н.Г.Чудакова. Как и в случае характеров Дирихле множество ненулевых значений обобщенного характера является некоторая группа корней к-ой степени из единицы. Поэтому рассматривается класс обобщенных характеров h(n), допускающих аппроксимацию характерами Дирихле в том смысле, что для любого натурального п существует характер Дирихле Хп такой, что h(l)=Xn{ 1), h(2) = Xn(2), . ,h{n)=Xn(n). (3)

Оказывается для обобщенных характеров, допускающих аппроксимацию характерами Дирихле Хп с медленно растущими модулями тп, степенной ряд оо gh(x) = Y, Кт)хт m=l в некоторой окрестности единицы допускает аппроксимацию рациональными функциями оо

А именно, имеет место

Теорема 3.2.1 Пусть ¡ъ{п)- неглавный обобщенный характер, удовлетворяющий следующим условиям:

1) последовательность

5(1) + 5(2) + . + 5(п) г = -> П где Б [к) — ^ Ь{п), сходится;

2) модули тп характеров Хп> определенных условиями (3), удовлетворяют следующему условию медленного роста 4

ТП 0 при п 00. (4) п

Тогда для любого е > 0 существует такая 6 - окрестность точки х = 1 и такое щ, что для некоторого п^ щ

9п{х) - дХп{х)\ < е, ж €[1-5,1]. (5)

Казалось бы, что аппроксимация степенного ряда дн{х) рациональными функциями дХп{х) в окрестности х = 1 позволит получить необходимую информацию о поведении ряда ди{х) при подходе к точке х = 1. Но, к сожалению, как показано в работе, такая аппроксимация не обеспечивает достаточной гладкости дн{х) в точке х = 1.

Несмотря на этот факт, возможность аппроксимации функции дь{х) в окрестности единицы рациональными функциями дХп{х) ПРИ некоторых дополнительных ограничениях позволяет получить периодичность характера И(п). С этой целью рассматривают степенные ряды вида

9п(х) = 0Л(*)[1 + * + . + Х™"'1] - Ртп-1(х), (6)

I \ ртп-\(х) где 9уЛх) = --г.

Отметим, что для дп{х) выполняется следующее условие, для любого е > О существует такое по, что для некоторого п > щ существует такая 5п - окрестность точки х = 1, что имеет место оценка дп(х)\<£, (7)

В терминах рядов дп(х) доказана

Теорема 3.2.3. Пусть обобщенный характер h(n) удовлетворяет условиям теоремы 3.2.1 и дополнительно условию

TiV*

- —> 0 при п —> оо , п и пусть для функций дп(х) вида (6), частичные суммы ряда Sn>k(x) также удовлетворяют условию (7) в некоторой окрестности точки х — 1, начиная с некоторого номера, то есть при k ^ ко хе [1-6,1]. (8)

Тогда h(n) - характер Дирихле.

Замечание 3. Условие (8) имеет место для любого характера Дирихле.

Более того доказан один упрощенный аналог теоремы Даффина и Шеффера /2/, имеющей место для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами. В отличии от этой теоремы мы не требуем ограниченности степенного ряда в некотором секторе единичного круга, а накладываем ограничение на поведение функции дп(х) в действительном направлении. Имеет место

Теорема 3.2.4. Пусть при некотором п степенной ряд

00 k=О в некоторой окрестности точки х = 1 имеет ограниченные в совокупности частичные суммы Зм(дп(х)). Тогда h(n) - характер Дирихле.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получен аппроксимационный критерий целостности ряда Дирихле, выраженный в терминах скорости убывания величин наилучшего приближения ряда Дирихле полиномами Дирихле в полосе, принадлежащей области сходимости ряда.

2. Предложен подход исследования граничного поведения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами, использующий аппарат ограниченных полугрупп операторов; предложенный подход увязан с задачей о вещественных нулях соответствующих рядов Дирихле.

3. Получен аппроксимационный критерий периодичности обобщенных характеров, выраженный в терминах скорости убывания величин наилучшего приближения ряда Дирихле полиномами Дирихле в области сходимости ряда Дирихле.

4. Как приложение аппроксимационного критерия периодичности обобщенных характеров для ¿-функций Дирихле с характерами малых модулей доказано существование последовательности полиномов Дирихле специального вида которая сходится к соответствующей ¿-функции в некоторой области, содержащей полуплоскость сходимости ¿-функции.

5. В ряде случаев выявлена связь между распределением значений обобщенных характеров и их периодичностью: получены условия периодичности для обобщенных характеров, значения которых допускают аппроксимацию значениями характеров Дирихле с медленно растущими модулями.

Теоретическая и практическая значимость.Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам работающим в теории Ь- функций. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам Саратовского государственного университета, Самарского государственного университета, Московского педагогического государственного университета.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2000-2003), на 11-ой Саратовской зимней школе по теории функций (2002), на международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002) , на V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, /7/, /8/, /9/, /10/, /24/, /25/, /27/, /28/.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Водолазов, Александр Михайлович, 2003 год

1. Ахиезер Н.И Лекции по теории аппроксимаций. // М.: Наука, 1965.

2. Бибербах JI. Аналитическое продолжение. // М.: Наука, 1967, 240 с.

3. Бредихин Б.М. О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой. // ДАН СССР, 1953, Т. 90, № 5, С. 707-710.

4. Бредихин Б.М. О сумматорных функциях характеров. // ДАН СССР, 1953, Т. 94, № 4, С. 609-612.

5. Бронштейн Б.С. Неограниченность сумматорной функции одного обобщенного характера. // Уч.записки МГУ, 1954, Т. 7, Вып. 165, ма-тем., С. 212-220.

6. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. // М.: Физ-матгис, 1994, 376 с.

7. Водолазов A.M. К проблемам обобщенных характеров. // Математи-ка.Механика: Сб. науч. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2002, Вып.4, С. 22-24.

8. Водолазов A.M., Кузнецов В.Н. Об обном критерии периодичности конечнозначной, вполне мультипликативной функции натурального аргумента. // Математика.Механика: Сб. науч. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2003, Вып.5, С. 11—13.

9. Глазков В.В. Об одном классе конечных гомоморфизмов. // ДАН СССР, 1964, Т. 158, № 1, С. 33-36.

10. Глазков В.В. О распределение значений характеров. // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1966, Вып. 1, С. 12-20.

11. Глазков В.В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел. // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1968, Вып. 2, С. 3-40.

12. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. // JL: Изд-во ЛГУ, 1977.

13. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. // М.: Наука, 1976, 536 с.

14. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, часть первая. // М.: Наука, 1978, 392 с.

15. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. // М.: Наука, 1971.

16. Купцов Н.П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов. // УМН, 1968, Т. 23, Вып. 4, С. 117—178.

17. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле. // Мат. заметки, 1984, Т. 36, № 6, С. 805-813.

18. Кузнецов В.Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечными коэффициентами. // Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. научн. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1987, С. 9-16.

19. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции. II Труды 3-ей Сарат. зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1988, Ч. 2, С. ИЗ— 115.

20. Кузнецов В.Н. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле. // Труды 4-ой Саратовской зимней школы по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1989, Ч. 1, С. 147-149.

21. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции. // Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. научн. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1991, С. 23-29.

22. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M., Королева O.A. Вопросы приближения по собственным подпространствам с заданной системой образующих. Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы, докладов. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Коледж", 2002, С. 109.

23. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К вопросу о целостности композита L функций числовых полей. // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. трудов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2003, С. 32—44.

24. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M. Об аналитической характеристике L —функций Дирихле. // Тезисы V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2003, С. 145-146.

25. Кузнецова Т.А. Отыскание полугруппы операторов, целой экспотен-циального типа на заданных подпространствах // Дис.канд.физ.-мат. наук. Саратов, 1980.

26. Купцов Н.П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов. // УМН, 1968, Т. 23, Вып. 4, С. 117—178.

27. Малоземов В.Н. Совместное приближение функций и ее производных. // Л.:Изд-во ЛГУ, 1973.

28. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. // М.:Наука, 1967, Т. 1.

29. Терехин А.П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение. // Дифференциальные уравнения и вычислит, математ: Меж-вуз. науч. сборн. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1975, С. 3—28.

30. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного. // М.: Физматгиз, 1960.

31. Титчмарш Е. Теория функций. // М.: Наука, 1980, 464 с.

32. Титчмарш Е. Теория дзета-функции Римана. М.: Изд-во Ин.лит., 1953, 407 с.

33. Спринджук В.Г. Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана. // Acta Arithmetica, 1975, Т. XXVII, С. 317-332.

34. Чудаков Н.Г. Введение в теория L —функций Дирихле. // М.: Изд-во ОГИЗ, 1947.

35. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере. // ДАН СССР, 1950, Т. 73, С. 1137-1139.

36. Чудаков Н.Г., Линник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных функций. И ДАН СССР, 1950, Т. 74, № 2, С. 193-196.

37. Чудаков Н.Г. Об одном классе вполне мультипликативных функций. // Успехи Мат. Наук, 1953, Т. 8, № 3(55), С. 149-150.

38. Чудаков Н.Г.,Бредихин Б.М. Применение равенств Парсеваля для оценок сумматорных функций числовых характеров числовых полугрупп. // Украинский математ. журнал, 1956, Т. 8, Вып. 4, С. 347—360.

39. Чудаков Н.Г. Обобщенные характеры. // Труды междунар. конгресса математиков в Ницце • 1970. М.: Наука, 1972, 335 с.

40. Чудаков Н.Г. Аналитические критерии периодичности функций. // Тезисы докладов Всесоюзной конф. по теории чисел. Вильнус, 1974, С. 302-304.

41. Назаров В.Н.,Чудаков Н.Г. Аналитические критерии периодичности числовых функций. // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1975, С. 115—119.

42. Hardy G.H. Proc. Lond M.S. // 1910(2), Т. 8, Вып 5, С. 277-294.