Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Матвеева, Ольга Андреевна
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 110
Оглавление диссертации кандидат наук Матвеева, Ольга Андреевна
Оглавление
Введение
1. Определяющие аналитические свойства некоторых классов рядов Дирихле и их приложения
1.1. Аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и проблема обобщённых характеров
1.2. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле и граничное поведение некоторых классов степенных рядов
1.2.1. Аналитические свойства рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке единица
1.2.2. Об одном критерии рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами
1.2.3. Об одном классе степенных рядов, которые определяют функции, не являющиеся мероморфными в единичном круге
2. Аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, определяющих целые функции
2.1. О рядах Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа
2.2. Аналитические свойства рядов Дирихле, отражающие их поведение в критической полосе
2.2.1. Аппроксимационный подход для исследования поведения рядов Дирихле в критической полосе
2.2.2. Некоторые сведения из теории почти-периодических функ-
ций класса Д
2.2.3. Плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащих в критической полосе
2.2.4. Результаты численного эксперимента, связанные с поведением рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе
3. Некоторые задачи, связанные с поведением 1_-функций Дирихле в критической полосе
3.1. Основная и расширенная гипотезы Римапа и нули целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами
3.2. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана
3.3. О численных экспериментах, связанных с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе
Заключение
Список литературы
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Некоторые вопросы целостности L-функций числовых полей2008 год, кандидат физико-математических наук Кривобок, Валерий Викторович
Аппроксимационный подход к проблеме обобщенных характеров2003 год, кандидат физико-математических наук Водолазов, Александр Михайлович
Некоторые приложения метода редукции к степенным рядам в задачах теории чисел2013 год, кандидат физико-математических наук Коротков, Александр Евгеньевич
Аналитические свойства эйлеровых произведений и некоторые задачи теории чисел2015 год, кандидат наук Матвеев Владимир Алексеевич
Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей2005 год, кандидат физико-математических наук Сецинская, Елена Владимировна
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле»
Введение
Диссертационная работа посвящена изучению аналитических свойств отдельных классов рядов Дирихле и приложениям полученных результатов в задачах теории Ь-функций Дирихле. Метод исследования аналитических свойств рядов Дирихле позволил также получить приложения и в теории степенных рядов.
Цель данной работы заключается в решении следующих задач:
1. Для некоторых классов рядов Дирихле получить определяющие их аналитические свойства и указать приложения этих результатов в теории Ь-функций Дирихле и в теории степенных рядов.
2. Изучить аналитические свойства рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающие поведение таких рядов в критической полосе.
3. Уточнить и дополнить новыми результаты, полученные для рядов Дирихле с периодическими коэффициентам в случае Ь-функций Дирихле. В частности, рассмотреть некоторые вопросы, связанные с расширенной гипотезой Римапа.
Диссертация состоит из трёх глав, в каждой из которых решается одна из этих задач. Что касается первой задачи, то её постановка не является повой. Ещё в 1984 году в работе [15] рассматривалась задача определения аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые характерны для рядов Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами.
А именно, в этой работе было доказано следующее утверждение:
Теорема 1 Для рядов Дирихле
Д5) = в = а + й
с конечнозначными коэффициентами следующие условия эквивалентны:
1. коэффициенты аппериодичны, начиная с некоторого номера;
2. функция / (в) является мероморфной с единственно возможным простым, полюсом в точке 5=1 и удовлеворяет следующему условию роста модуля:
где А- некоторая положительная константа.
Там же [15] было указано приложение этого результата в теории Ь-функции Дирихле.
Теорема 2 В классе эйлеровых произведений с конечнозначными характерами Ь-функции Дирихле выделяются как мероморфные функции с единственно возможным простым полюсом, в точке в = 1, удовлетворяющие следующему условию роста модуля:
где А— некоторая положительная константа.
Остановимся на основных моментах доказательства теоремы 1, так как они составляют основу так называемого метода редукции к степенным рядам, который является одним из основных методов решения поставленных выше задач.
Во-первых, основной подход при получении теоремы 1 заключался в изучении взаимосвязи между аналитическим продолжением рядов Дирихле
и граничным поведением соответствующих (т.е. с теми же коэффициентами)
|/(в)(в-1)| <<7еИьм+лИ
|/(б')(й- 1)| < Се|з|1пМ+л|я|,
ос
степенных рядов
ос п=1
в точке г = 1.
Такая взаимосвязь определялась на основании преобразования Меллина
оо
¡(з)Г(з) = I д(е-х)х»~1с1х, а > 1, о
где Г(й) — Г-функция Эйлера, д(е~х) = апе~~пт.
А именно, в работе [15] было показано, что ряды Дирихле с копечнозпачны-ми коэффициентами тогда и только тогда определяют функции, мероморф-ные в комплексной плоскости с единственным возможным полюсом первого порядка в точке 5 = 1, модуль которых удовлетворяет условию
|/(5)| =о(еМЬМ+л(а))?
где А — некоторая положительная константа, когда соответствующие степенные ряды определяет функции, либо регулярные в точке 2 = 1, либо имеющие в этой точке полюс первого порядка. Этот результат позволил воспользоваться известным фактом в теории степенных рядов с копечнозпачными коэффициентами — теоремой Сёге [6] о том, что коэффициенты степенных рядов с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда являются периодичными, начиная с некоторого номера, когда степенной ряд имеет на границе сходимости хотя бы одну точку регулярности.
В работах [17], [18], [16] рассматривались ряды Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды не являлись регулярными и не имели полюса конечного порядка в точке г = I. Задача аналитического продолжения в этих случаях сводилась к задаче существования конечных радиальных производных степенных рядов в точке г = 1. В этих же работах подход изучения аналитических свойств рядов Дирихле, основанный на изучении граничного поведения соответствующих степенных рядов в точке г = 1, впервые получил название метода редукции к степенным рядам.
Дальнейшее развитие метода редукции к степенным рядам было связано с расширением класса рядов Дирихле, где указанный подход приносил свои результаты. При этом приходилось использовать известные и получать новые результаты относительно граничного поведения степенных рядов. Нужно отметить, что и результаты относительно аналитических свойств рядов Дирихле позволяли получать новые факты относительно граничных свойств степенных рядов. Так, в работе [26] было получено усиление известной теоремы Адамара об особенностях композита двух степенных рядов с известными изолированными особенностями на границе сходимости (см., например, [44]), что позволило в отдельных случаях (см. [42]) решить известную гипотезу Ю. В. Липника о целостности скалярного произведения Ь-функций числовых полей. По этому поводу см., например, [46].
Обратно, в работе [21] была доказана аналитическая непродолжпмость за границу сходимости степенных рядов, отвечающих Ь-функциям Дирихле числовых полей в случае их отличия от поля рациональных чисел.
Укажем ещё два результата в направлении первой поставленной задачи, полученных методом редукции к степенным рядам.
В работе [19] было показано, что в классе рядов Дирихле с коиечнознач-ными коэффициентами ряды Дирихле с периодическими, начиная с некоторого номера, коэффициентами, определяющие целые функции, выделяются порядком их приближения в любой полосе: 0 < <то ^ а < оо, Щ < Т полиномами Дирихле. А именно, в этой работе доказано следующее утверждение: Теорема 3 В классе рядов Дирихле
оо
п6
п=1
с конечнозначными коэффициентам,и следующие условия эквивалентны:
1. коэффициенты ап периодичны, начиная с некоторого номера, и удовлетворяют условию
5>п = 0(1);
п^х
2. ряд Дирихле определяет функцию, регулярную в полуплоскости а > О,
для которой существует последовательность полиномов Дирихле (^п(х), приближающих /(з) в любой полосе 0 < сг о ^ о < оо, \Ь\ < Т , с показательной скоростью, т.е. существует, такая величина р > не зависящая от Т, что для любой точки из этой полосы,
где константа в символе Ю'! зависит только от величины Т.
Отметим, что результат теоремы 3 даёт апнроксимациониую характеристику Ь-фуикций Дирихле с неглавными характерами Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами.
В работе [27] было показано, что в классе рядов Дирихле, имеющих конечные абсциссы сходимости, ряды Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды регулярны в точке г — 1, определяются как целые функции с определённым порядком роста модуля в левой полуплоскости комплексной плоскости. А именно, доказана Теорема 4 В классе рядов Дирихле
оо
= Б = а + и,
¿.-4 ПЬ
11=1
имеющих конечные абсциссы сходимости, следующие условия эквивалентны:
1. соответствующий степенной ряд
оо п=1
определяет функцию, регулярную в точке г = 1;
2. ряд Дирихле определяет целую функцию, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости комплексной плоскости
|/(5)| = 0(е|8|1п|в|+Л(в)),
где А — некоторая положительная константа.
В диссертационной работе метод редукции к степенным рядам получил свое дальнейшее развитие, что позволило изучить аналитические свойства отдельных классов рядов Дирихле.
Первая глава посвящена изучению определяющих свойств отдельных классов рядов Дирихле и их приложениям к некоторым задачам теории L-функций Дирихле и теории степенных рядов.
В нервом разделе этой главы изучается задача определения таких аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, которые обеспечивали бы периодичность этих коэффициентов. Эта задача встала в связи с известной проблемой обобщённых характеров. Ещё в 1950 году [49], [48] Н. Г. Чудаков выдвинул гипотезу о том, что конечнозначная мультиилкативная функция натурального аргумента h(n), удовлетворяющая условиям:
1. h{p) ф 0 почти для всех простых р;
2. сумматорная функция значений функции h(ri) имеет следующую асимптотику:
S(x) = £>(га) = ах + 0(1),
появляется характером Дирихле.
Числовой характер h(n), удовлетворяющий условиям этой гипотезы, получил название обобщённого характера: главного в случае а Ф 0 и неглавного в противном случае. Проблема, связанная с решением или опровержением гипотезы Н. Г. Чудакова носит название проблемы обобщённых характеров.
В 1964 году [9] гипотеза Чудакова была доказана для главных обобщённых характеров В. В. Глазковым. В случае неглавных обобщённых характеров эта проблема остаётся открытой. В связи с этим в данном разделе изучаются аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, сумматорная функция которых удовлетворяет условию
S(x) = ах+ 0(1).
В этом направлении доказано следующее утверждение:
Теорема 1.2 Пусть h(n) — конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента, для сумматорной функции которой выполняется условие
S{x) = ах + 0( 1).
Тогда ряд Дирихле
ОС J
Я5) = s ~ а + it,
п= 1
определяет функцию, регулярную почти во всех точках полуплоскости о > О за возможным исключением точки 5=1, где она может иметь (а ^ 0) полюс первого порядка, у которой на оси а — 0 нет точек "типа полюса". Здесь точка s ~ сг + it называется точкой "тина полюса", если
|/(ст + it)| —>■ со, когда а —> 0.
Отметим один результат относительно степенных рядов с мултииликатив-ными коэффициентами, который лежит в основе доказательства теоремы 1.2.
Лемма 1.1 Пусть h(n) — конечпозначная мультипликативная функция натурального аргумента, для которой
S(x) = J^h(n) = 0( 1).
Тогда степенной ряд
ос
ф) = h(n)xn 1
имеет конечный предел в точке х = 1, т.е. предел вида lim g(x).
х—^ 1 —0
Результат теоремы 1.2 позволил получить новое доказательство гипотезы Чудакова в случае главного обобщённого характера, которое в отличие от элементарного доказательства В. В. Глазкова базируется на изучении аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле. Это доказательство приведено в теореме 1.3. Результаты теорем 1.2 и 1.3 опубликованы автором в работах [23], [30]. Нужно отметить, что результаты теорем 1.2 и 1.3 дают следующую анали-
тическую характеристику Ь-функций Дирихле с главными характерами.
В классе рядов Дирихле с главными обобщёнными характерами следующие условия эквивалентны:
1. ряд Дирихле определяет функцию /(5), аналитическую почти во всех точках полуплоскости а > 0 за исключением точки 5 = 1, где она имеет простой полюс, для которой па оси а — 0 нет точек "типа полюса".
2. ряд Дирихле определяет Ь-функцию Дирихле с главным характером Дирихле.
Есть предположение, что аналогичное утверждение имеет место и в случае неглавных обобщённых характеров.
Второй раздел этой главы посвящён описанию аналитических свойств рядов Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды имеют полюсы конечного порядка в точке г — 1. Указаны приложения полученных результатов в теории степенных рядов.
В начале этого раздела доказано следующее утверждение. Теорема 1.4 В классе рядов Дирихле
имеющих конечную абсциссу сходимости, следующие условия эквивалентны:
1. соответствующий степенной ряд
п=1
определяет функцию, имеющую в точке г = 1 полюс к-го порядка; 2. ряд Дирихле определяет функцию, мероморфную в комплексной плоскости с возможными полюсами первого порядка в точках 5= 1, 2,..., к (в точке 5 = к обязательно имеет полюс), модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости комплексной плоскости
ос
п=1
ОС
д{г) =
1/(5)1 = 0(е|А'|1п|8|+л(А,)),
где А — некоторая положительная константа.
Как следствие теоремы 1.4 получен следующий критерий рациональности степенных рядов с целыми коэффициентами.
Теорема 1.5 Степенной ряд
оо
д(г) — где \ап\ = 0(пк), к— натуральное,
п= 1
с целыми коэффициентами тогда и только тогда определяет, рациональную функцию, когда соответствующий ряд Дирихле определяет, функцию, ме-роморфную в комплексной плоскости, с конечным числом полюсов первого порядка в натуральных точках, модуль которой удовлетворяет следующему условию роста в левой полуплоскости
где А — некоторая положительная константа.
Результаты теорем 1.4 и 1.5 опубликованы в работах [38], [28] [34].
Нужно сказать, что задачей рациональности функций, заданных степенными рядами с целыми коэффициентами занимались многие авторы (см. по этому поводу [6]). Теорема 1.5 является новым результатом, полученным в этом направлении. Эта теорема в совокупности с известной теоремой Карлсона [2] о том, что степенной ряд с целыми коэффициентами, сходящийся в единичном круге, либо определяет рациональную функцию, либо функцию, непродолжимую за границу единичного круга, позволяет сразу говорить о непродолжимости за границу единичного круга степенных рядов, коэффициенты которых определены такими теоретико-числовыми функциями как функция Мёбиуса, функция Эйлера, функция Мангольдта, функция числа натуральных делителей числа п. Этот результат иным способом был получен в работах [1], [39], где основным моментом являлось получение асимптотики соответствующих степенных рядов при подходе к точке 2=1.
Другим следствием теоремы 1.4 является следующее утверждение, опубликованное автором в работе [35]
Теорема 1.6 Для двух ненулевых степенных рядов
ос
91= апг,п> ^^=
П=1 П=1
с периодическими коэффициентами, степенной ряд, полученный в результате их произведения по Дирихле
оо
д{г) = где Сп = Л щЬк'
п=1 ¿/с=п
определяет функцию, которая не является мероморфной в замкнутом круге.
Эта теорема, в частности, даёт простой способ строить степенные ряды с целыми коэффициентами, которые непродолжимы за границу единичного круга.
Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению аналитических свойств рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, отражающих поведение таких рядов в критической полосе. Этой задачей занимались многие авторы. Ещё в 1936 году в работе [3] Г. Дэвенпорт и X. Хейльбронн привели пример ряда Дирихле с немультипликативными периодическими коэффициентами, который удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа
где а — некоторая константа; 5 — величина, равная либо 0, либо 1; к период коэффициентов; /(з) — функция, заданная рядом Дирихле с коэффициентами, сопряжёнными к коэффициентам ряда Дирихле, определяющего функцию f(s). Там же [3] показано, что не все нули этой функции лежат на критической прямой.
В работах [12], [8] изучались плотностныс теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. В частности было показано, что для числа Л/о(Т) нулей функции Дэвениорта-Хейльбронна, лежащих на критиче-
ской прямой при Щ < Т, имеет место оценка
Щ (Т) ^ Те^1п1п1п1пТ
В связи с этим встают следующие вопросы. Во-первых, насколько широк класс рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению римановского типа. Во-вторых, какова плотность расположения нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе и на критической прямой.
Далее, в работе [8] показано, что Ь-функции Дирихле обладают свойством универсальности в том плане, что её сдвигами приближается любая функция, аналитическая и не равная нулю в круге радиуса г < лежащем в критической полосе.
Встаёт вопрос относительно свойства универсальности для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Встаёт также вопрос и о порядке роста модуля таких рядов на критической прямой.
Изучению аналитических свойств рядов Дирихле с конечнозначпыми коэффициентами, позволяющих в какой-то степени ответить на поставленные вопросы, и посвящена эта глава диссертационной работы.
В начале второй главы исследуется задача описания рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа.
Доказана
Теорема 2.1 Пусть {а^} — ненулевая периодическая последовательность периода к, для которой выполняются условия:
1.
= 0(1);
к к
Е27Г г1т _>г—\ 2т1
щек = ат к , 771 = 1,2,...,*;.
1=1 1=1 Тогда ряд Дирихле с такими коэффициентами удовлетворяет функ-
циональному уравнению римановского типа.
Из теоремы 2.1 следует, что линейная комбинация с вещественными коэффициентами Ь-функций Дирихле с первообразными характерами модуля к одинаковой чётности удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа.
Результат теоремы 2.1 опубликован в соавторстве в работе [25].
Далее, в этой главе исследуется задача расположения нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами в критической полосе.
С этой целью в работе предлагается новый подход, основанный па быстром приближении таких рядов Дирихле полиномами Дирихле. Основные положения такого подхода разработаны автором в работах [14], [36], [33].
Суть этого подхода заключается в том, что в ряде случаев удастся перенести свойства полипомов Дирихле на ряды Дирихле, в частности перенести результаты относительно плотности нулей. Известно [29], что полиномы Дирихле степени п являются почти-периодическими функциями класса Д = Цр, и количество нулей п(Т) таких полиномов (с учётом кратности), лежащих в полосе 0 ^ £ ^ Т, асимптотически определяется следующей формулой:
п{Т) = Т 1п Т + и;(Т),
271"
где — некоторая ограниченная функция, своя для каждого полинома.
Автором доказана теорема о совместном приближении ряда Дирихле и его производных полиномами Дирихле с показательной скоростью (теорема 2.4), которая с учётом распределения нулей аппроксимирующих полиномов позволяет доказать следующий результат
Теорема 2.5 Для любого е > 0 для числа пулей (с учётом их кратности) Ме(Т) ряда Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащих в прямоугольнике | — £ < ? < | + 0 ^ £ < X1, имеет место следующая асимптотическая формула
Аге(Т) = ^-ТЫТ + О (Г) + О ИТ)), 27г
где — некоторая функция, каждый раз своя в зависимости от величи,-
ны Т.
Результат теоремы 2.5 опубликован в работе [37].
Слагаемое 0(о;(Т)), стоящее в правой части асимптотического равенства для ЛГ£(Т) в теореме 2.5, оказывает разное влияние па величину ЛГ£(Т) для различных классов рядов Дирихле. В работе [36] показано, что для Ь-функций Дирихле имеет место оценка
Как показали результаты численного эксперимента, даже в отдельных случаях рядов Дирихле, являющихся линейной комбинацией Ь-функций Дирихле, отсутствует картина расположения основной части нулей в окрестности критической прямой. Задача определения порядка роста величины |^(Т)| для различных классов рядов Дирихле является самостоятельной темой исследования и в данной работе не рассматривалась.
Далее в этой главе реализован численный алгоритм построения аппроксимирующих полиномов и проведена серия численных экспериментов, связанных с оценкой модуля рядов Дирихле с периодическими коэффициентами на критической прямой. Предварительные результаты этих экспериментов говорят о том, что
Этот факт является основанием для теоретических исследований в этом направлении.
В конце второй главы обсуждаются вопросы, связанные с возможностью проявления свойства универсальности для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами.
Третья глава работы посвящена изучению отдельных вопросов, связанных с поведением Ь-функций Дирихле в критической полосе. В начале главы приводятся результаты, связанные с расшииренной гипотезой Римана о нулях Ь-функций Дирихле, высказанной Харди и Литтлвудом в 1923 году в работе [4].
Здесь, в первую очередь, рассматривается проблема взаимосвязи основной
НТ)| = 0(Т).
и расширенной гипотез Римана, вставшая ещё в работе Харди и Литтлвуда [4]. Этой проблемой занимались многие авторы, но она остаётся открытой и по настоящее время. Остановимся на одном результате В. Г. Спринджука, полученном в работе [43] в направлении решения этой проблемы.
В. Г. Спринджук рассмотрел класс функций <5(я), удовлетворяющих следующим условиям:
1. ¿(я) = 0(6), <т > С1, и раскладывается в ряд Дирихле;
2. 5{з) = а > с2, 0 < £ < §, |*| ^ 1;
3. ф) = с ^ с3, [¿| ^ 2;
4. ^\5(р)\е~т\р\ = 0(т~'п), где суммирование ведётся но всем нетривиальным нулям дзета-функции, 0 < ту < оо, г —> И + .
Для таких функций В. Г. Спринджук доказал, что из гипотезы Римана о нулях дзета-функции следует, что нули Ь-функции Дирихле с характером лежащие в полуплоскости а > тах(^,т]) являются так же нулями функции
1
8(в) = — любая функция из указанного класса.
Таким образом, из существования двух функций ^(й) и ¿^(з), для которых и $2Х(з) имеют различные нули при а > | , следует, что расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.
Нужно отметить, что проверка условия 4) принадлежности функции (5(з) к данному классу является сама по себе сложной задачей.
В начале третьей главы диссертации доказан следующий результат. Теорема 3.1 Предположим, что для функции Мангольдта А(п) и для любого рационального числа выполняется асимптотическое равенство
]ГЛ(п)е27Г^" = Ах + 0{х^+£),
п^х
где е > 0; А — констант,а, которая в зависимости от (/? моо/сет равняться и нулю. Тогда для любого числового характера х нули Ь-функций Дирихле Ь(в, х), лежащие в полуплоскости <; > ^ являются нулями любой, целой функции, определённой рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.
Замечание В работе показано, что из асимптотической оценки, приведённой в теореме 3.1, следует, основная гипотеза Римана. Но нет никаких оснований утверждать, что из этой оценки следует расширенная гипотеза Римана.
Результат теоремы 3.1 опубликован в соавторстве в работе [24].
Далее, в этой главе приводится эквивалент расширенной гипотезы Римана. выраженный в терминах поведения сумматорной функции значении характера Дирихле на множестве простых чисел. А именно, доказана
Теорема 3.2 Нетривиальные нули Ь-функции Дирихле с неглавным характером Дирихле х тогда и только тогда лежат па критической прямой, когда имеет, место оценка вида
р^х
где суммирование ведётся по простым р, £ — произвольное положительное число.
Из теоремы 3.2 следует тот факт, что если эйлерово произведение отличается от значений Ь-функции Дирихле на достаточно «редком» множестве простых чисел, то такое эйлерово произведение продолжается регулярным образом в полуплоскость о > и его нули в этой полуплоскости совпадают с нулями Ь-функции.
Отметим, что представляет интерес выяснить, как ведёт себя константа в символе "О" в теореме 3.2 в зависимости от е. Серия вычислений показала, что эта константа не зависит от е.
Представляет так же интерес получить результаты относительно распределения простых р, для которых
в полугруппе натуральных, порождённых такими р, аналогичные результатам Б. М. Бредихина [7].
Результат теоремы 3.2 опубликован в работах [31], [32].
Численный алгоритм построения полиномов Дирихле, сходящихся в критической полосе к рядам Дирихле с показательной скоростью, описанный в предыдущей главе для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, остаётся без изменений и в случае Ь-фупкций Дирихле. Быстрая сходимость полиномов Дирихле и современные языки программирования, используемые в программе реализации численной схемы, обеспечивают быстроту вычисления нулей Ь-функций Дирихле. Результаты численных экспериментов говорят в пользу расширенной гипотезы Римана.
В работе [8] доказано свойство универсальности Ь-функций Дирихле. Свойство универсальности значений Ь-фупкций заключается в том, что для любой функции регулярной внутри и непрерывной на границе круга радиуса
г (0 < г < |) и не равной нулю при |з| ^ г, для любого е > 0 найдётся такое Т, что выполняется условие
В конце этой главы рассматриваются такие свойства аппроксимационных полиномов Дирихле, которые обеспечивают свойство универсальности Ь-фун^ций
В заключении обсуждаются различные направления исследований, которые связаны с исследованиями, проведёнными в данной работе. В частности, обсуждаются вопросы, связанные с аналитическими свойствами эйлеровых произведений в случае числовых полей.
] ■ + гТ) <е.
Дирихле.
1. Определяющие аналитические свойства некоторых классов рядов Дирихле и их приложения
Эта глава посвящена получению определяющих аналитических свойств некоторых классов рядов Дирихле и приложениям полученных результатов в ico-рии L-функций Дирихле и в теории степенных рядов.
В первую очередь изучается задача получения определяющих аналитических свойств рядов Дирихле с обобщёнными характерами. Получено аналитическое описание рядов Дирихле с главными обобщёнными характерами, что, в свою очередь, привело к чисто аналитическому доказательству известной гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обобщённых характеров.
Вторым важным результатом этой главы является аналитическая характеристика рядов Дирихле, для которых соответствующие степенные ряды имеют полюсы конечного порядка в точке z = 1.
Указываются приложения этого результата в теории степенных рядов с целыми коэффициентами, а именно, получено необходимое и достаточное условие того, что степенной ряд с целыми коэффициентами определяет рациональную функцию, выраженное в терминах аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле. Это позволило, например, получить повое доказательство аналитической непродолжимости степенных рядов, коэффициенты которых являются известными теоретико-числовыми функциями.
1.1. Аналитические свойства рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и проблема обобщённых характеров
Пусть h(n) — конечнозначный числовой характер. Приведём аналитический критерий того, что h{n) является характером Дирихле. Этот критерий явля-
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости2013 год, кандидат наук Петрушов, Олег Алексеевич
Пространство решеток и функции на нем1999 год, кандидат физико-математических наук Реброва, Ирина Юрьевна
Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения2000 год, доктор физико-математических наук Добровольский, Николай Михайлович
О средних значениях арифметических функций2006 год, кандидат физико-математических наук Колпакова, Ольга Викторовна
Средние Рисса арифметических функций, распространенных на значения тернарной кубической формы2015 год, кандидат наук Камарадинова Заррина Нусратуллоевна
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Матвеева, Ольга Андреевна, 2014 год
Список литературы
[1] Banks W. D. Irrationality of Power Series for Various Number Theoretic Functions / W. D. Banks, F. Luca, S. J. E. // Manuscripta Math. - 2005. — T. 117. - C. 183—197.
[2] Carlson F. Uber Potenzreichen mit ganzzachliegen Koeffizienten / F. Carlson // Math. Zeitshrift. - 1921. — T. 9. — C. 1-13.
[3] Davenport H. On the zeros of certain Dirichlet series. / H. Davenport, H. Heilbronn // Y. bond. Math. Soc. - 1936. - Т. II. - C. 181-185.
[4] Hardy Some problems of Partitia numerorum III / Hardy, Littlewood // Acta Mathematica Bd. — 1922. - C. 44.
[5] Littlewood J. E. On the zeroes of the Riemann Zeta-function / J. E. Littlewood // Proc. Cab. Phil. Soc. - 1924. - Вып. 22. - С. 295-318.
[6] Бибербах Л. Аналитическое продолжение / JI. Бибербах. — М. : Наука, 1967. - 240 с.
[7] Бредихин Б. М. Остаточный член в асимптотической формуле для vg{x) / Б. М. Бредихин // Известия высших учебных заведений СССР. — 1960. — 6(19). - С. 40-49.
[8] Воронин С. М. Дзета-функция Римана / С. М. Воронин, А. А. Карацу-ба. — М. : Физматлит, 1994. — 376 с.
[9] Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел / В. В. Глазков // Исследования но теории чисел: Межвуз. сб. науч. тр. - Саратов, 1968. - Т. 2. - С. 3-40.
[10] Даугавет Н. К. Введение в теорию приближения функций / Н. К. Да-угавет. - Л. : Изд-во ЛГУ, 1977. - 182 с.
Демьянов В. Ф. Введение в минимакс / В. Ф. Демьянов, В. Н. Малозё-нов. - М. : Наука, 1972. - 358 с.
Карацуба А. А. О нулях функции Дэвеннорта -Хейльбронна, лежащих на критической прямой / А. А. Карацуба // Сер. мат. — М., 1990. — Т. 5, № 1. - С. 303-315.
Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел / А. А. Карацуба. - М. : Наука, 1983. - 238 с.
Короткое А. Е. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определённых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. / А. Е. Короткой, О. А. Матвеева // Науч. ведомости Белгородского государственного ун-та. : Математика. Физика., вып. 24 (17). - Белгород, 2011. - С. 47-53.
Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле / В. Н. Кузнецов // Мат. заметки. - 1984. - Т. 36, № 6. - С. 805 -812.
Кузнецов В. Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции / В. Н. Кузнецов // Выч. методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1988. — Т. 1. — С. 63—72.
Кузнецов В. Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечнознач-ными коэффициентами / В. Н. Кузнецов // Диф. уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1987. — Т. 7. — С. 8—16.
Кузнецов В. Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле / В. Н. Кузнецов // Выч. методы и программирование: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 1987. — Т. 1. — С. 13--23.
Кузнецов В. Н. Аппроксимационный критерий периодичности конеч-нозначных функций натурального аргумента / В. Н. Кузнецов, А. М. Водолазов // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 2. — С. 27-32.
Кузнецов В. Н. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами / В. Н. Кузнецов, А. М. Водолазов // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2003. — Вып. 1. - С. 43-59.
Кузнецов В. Н. Об аналитической непродолжимости за границу сходимости степенных рядов, отвечающих Ь-функциям Дирихле числовых полей / В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, В. В. Кривобок // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2009. — Вып. 5. — С. 31—36.
Кузнецов В. Н. О некоторых условиях периодичности конечиозначных мультипикативных функций / В. Н. Кузнецов, Т. А. Кузнецова, О. А. Полякова О. А. (Матвеева // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2010. - № 6. - С. 55-62.
Кузнецов В. Н. Об одном доказательстве гипотезы Н. Г. Чудакова в случае главных обощённых характеров / В. И. Кузнецов, О. А. Матвеева // Материалы докладов XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». — Тула, 2014. — С. 236-237.
Кузнецов В. Н. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами / В. Н. Кузнецов, О. А. ( О. А. Полякова // Чебышевский сборник; науч.-теор. журн. - Тула, 2010. - Т. 11, № 1. - С. 59-69.
Кузнецов В. Н. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначны-ми коэффициентами и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана / В. Н. Кузнецов, О. А. Полякова О. А.(Матвеева // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Инфор-мат. - Саратов, 2011. - Т. И, № 3. - С. 21-25.
Кузнецов В. Н. Об одном обобщении теоремы Адамара об умножении особенностей / В. Н. Кузнецов, Е. В. Сецинская // Исследования по
алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 3. — С. 47—58.
Кузнецов В. Н. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка / В. Н. Кузнецов, Е. В. Сеципская, В. В. Кривобок // Исследования по алгебре, теории чисел, функц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2005. — Вып. 3. — С. 47— 58.
Кузнецова Т. А. Об определяющих аналитических свойствах рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке z = 1 / Т. А. Кузнецова, О. А. Матвеева // Материалы XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». — Тула, 2014. — С. 237—238.
Левин Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. — М. : Изд-во технико-теоретич. литерат., 1956.
Матвеев В. А. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле с мультипликативными конечнозначными коэффициентами / В. А. Матвеев, О. А. Матвеева // Материалы XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». -Тула, 2014. - С. 240.
Матвеев В. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана / В. А. Матвеев, О. А. Матвеева // Материалы I внутривузовской конференции студентов и аспирантов. — Саратов, 2013. — С. 146—152.
Матвеев В. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле числовых полей / В. А. Матвеев, О. А. Матвеева // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Информат. - Саратов, 2013. - Т. 13, выи. 4 (ч. 2). - С. 76-80.
Матвеева О. А. Анпроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе / О. А. Матвеева // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия Математ. Механика. Информат. — Саратов, 2013. - Т. 13, выи. 4 (ч. 2). - С. 80-84.
Матвеева O.A. К задаче описания степенных рядов с целыми коэффициентами, непродолжимых за границу сходимости и определяющих рациональные функции / О. А. Матвеева // Учёные записки Орловского гос. ун-та: Научный журнал. Серия: естественные, технические и медицинские науки. — Орёл, 2013. — Т. 6, № 2. — С. 153—156.
Матвеева O.A. О граничном поведении одного класса степенных рядов / О. А. Матвеева // Чебышевский сборник. — Тула, 2011. — Т. 12, вып. 2. - С. 54-60.
Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе L-функции Дирихле / O.A. Матвеева / /' Чебышевский сборник. - Тула, 2013. - Т. 14, вып. 2. - С. 117-121.
Матвеева О. А. Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами / О. А. Матвеева // Материалы XII Международной конференции «Алгебра, теория чисел: современные проблемы и приложения». -- Тула, 2014. — С. 238--239.
О рядах Дирихле, определяющих мероморфпые функции с определённым порядком роста / В. Н. Кузнецов, В. В. Кривобок, О. А. Матвеева, Е. В. Сецинская // Исследования по алгебре, теории чисел, фупкц. анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов, 2012. — Т. 7. - С. 58-68.
Петрушов O.A. О поведении преобразования Лапласа некоторых мер на границе области сходимости: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Петрушов O.A. — Москва, 2013. - С. 118.
Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел / А. Г. Постников. — М. : Наука, 1971. — 416 с.
Прахар К. Распределение простых чисел / К. Прахар. — М. : Мир, 1967. - 511 с.
Сецинская Е. В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук / Сецинская Е. В. — Саратов : СГУ, 2005. - 86 с.
Сприндэюук В. Г. Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана / В. Г. Спринджук // Acta Arithmetica. -1975. - № XXVII. - С. 317-332.
Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана / Е. К. Титчмарш. — М. : И. Л, 1953. - 407 с.
Титчмарш Е. К. Теория функций / Е. К. Титчмарш. — М. : Наука, 1980. - 463 с.
Фоменко О. М. Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения L-рядов Гекке двух квадратичных полей / О. М. Фоменко // Труды Математ. института им. В. А. Стек-лова АН СССР. - М., 1972. - Т. 128. - С. 232-242.
Чандрасекхаран К. Арифметические функции / К. Чандрасекхаран. — М. : Наука, 1975. - 272 с.
Чудаков Н. Г. Об обобщенном характере / Н. Г. Чудаков, К. А. Родосский // ДАН СССР. - 1950. - Т. 74, № 4. - С. 1137-1138.
Чудаков Н. Об одном классе вполне мультипликативных функций. / Н. Чудаков, Ю. В. Линник // ДАН СССР. - 1950. - Т. 74, № 2. -С. 193-196.
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в изданиях, входящих в список ВАК
1. Матвеева О. А, К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана / Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 11. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. - 2011 - Вып. 3, с. 21 - 25.
2. Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. / Коротков А. Е., Матвеева О. А. // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — Белгород: Изд-во "БелГУ",- 2011 - Вып. 24, с. 47 - 54.
3. Матвеева О. А. К задаче описания степенных рядов с целыми коэффициентами, непродолжимых за границы сходимости и определяющих рациональные функции / Матвеева О. А. // Учёные записки Орловского государственного университета. Научный журнал. Серия: естественные, технические и медицинские пауки. — Орёл: Изд-во ВГСПУ "Перемена".— 2012 - Вып. 6, ч.2, с. 153 - 156.
4. Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-фупкций Дирихле в критической полосе. / Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 13. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во С арат, ун-та. — 2013 -- Вып. 4, ч. 2, с. 80 - 84.
5. Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Римана для L-функций Дирихле числовых полей. /Матвеев В. А., Матвеева О. А. // Известия Саратовского университета. Новая серия, т. 13. Серия: Математика. Механика. Информатика — Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та. - 2013 - Вып. 4, ч. 2, с. 76 - 80.
Публикации в прочих изданиях
6. Матвеева О. А. О некоторых условиях периодичности конечнозначных мультипликативных функций. /Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Полякова О. А. (Матвеева О. А.) // Межвузовский сборник научных трудов : Исследования но алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2010 — Выи. 4, с. 55 -62.
7. Матвеева О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами. /Кузнецов В. Н., Полякова О. А. (Матвеева О. А.) // Чебышевский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2010 — т. 11, вып. 1, с. 188 - 198.
8. Матвеева О. А. Аналитические свойства одного класса рядов Дирихле
с мультипликативными конечнозначными коэффициентами/Матвеев В. А., Матвеева О. А. // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" —Тула: Изд-во ТПГУ - 2014 - с. 240.
9. Матвеева О. А. Об определяющих аналитических свойствах рядов Дирихле, отвечающих степенным рядам, имеющим полюсы конечного порядка в точке = 1 / Кузнецова Т. А., Матвеева О. А. // Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" —Тула: Изд-во ТПГУ — 2014 — с. 237 - 238.
10. Матвеева О. А. О граничном поведении одного класса степенных рядов. / Матвеева О. А. // Труды Международной конференции: многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии. / Чебышевский сборник: научно-теоретический журнал. — Тула: Изд-во ТПГУ — 2011 — т. 12, вып. 3, с. 86 - 93.
11. Матвеева О. А. О граничном поведении степенных рядов с целыми коэффициентами. /Матвеева О. А. // Межвузовский сборник научных
трудов: Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2012 — Вып. 7, с. 78 - 81.
12. Матвеева О. А. О рядах Дирихле, определяющих мероморфные функции с определённым порядком роста модуля. /Кузнецов В. Н., Кривобок В. В., Сецинская Е. В., Матвеева О. А. // Межвузовский сборник научных трудов: Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. — Саратов: Изд-во СГУ — 2012 — Вып. 7, с. 58 - 68.
13. Матвеева О. А. Почти периодические функции и плотностные теоремы для рядов Дирихле с периодическими коэффициентами / Матвеева О. А. //Материалы XII Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения" — Тула: Изд-во ТПГУ - 2014 - с. 238 - 239.
14. Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе Ь-функции Дирихле. / Матвеева О. А. // Чебышсв-ский сборник: научно-теоретический журнал. Тула: Изд-во ТПГУ -2013 - т. 14, вып. 2, с. 117 - 121.
15. Матвеева О. А. Об одном эквиваленте расширенной гипотезы Рима-на / Матвеев В. А., Матвеева О. А. // «Студенческая наука: перекрестки теории и практики». Материалы I Внутривузовскоп научно-практической конференции студентов и аспирантов - Саратов: Издательский центр "Наука" — 2013 - с. 146 - 152.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.