Корни Артина абелевых многообразий и представления группы Вейля-Делиня тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сабитова, Мария Наилевна

• Сабитова, Мария Наилевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сабитова, Мария Наилевна

Введение

1 Корни Артина абелевых многообразий над локальными неархимедовыми полями нулевой характеристики

1.1 Общие факты и обозначения.

1.2 Случай абелева многообразия с потенциально хорошей редукцией

1.3 Общий случай

2 Корни Артина абелевых многообразий над числовыми полями (теорема А)

2.1 Доказательство теоремы А.

2.2 Специальный случай теоремы А.

3 Представления группы Вейля—Делиня (теорема Б)

3.1 Представления с неприводимыми цоколями.

3.2 Доказательство теоремы Б.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корни Артина абелевых многообразий и представления группы Вейля-Делиня»

1. История вопроса

Теория L-функций и е-функций является обобщением классической теории дзета-функций и восходит к работам Гекке и Хассе начала прошлого столетия (см. [68], [67]). По аналогии с классической теорией рациональных чисел, L-функции вводятся при доказательстве теорем о распределении простых идеалов в полях алгебраических чисел. В свою очередь, теория е-функций возникает в связи с необходимостью исследования функциональных уравнений для L-функций.

В 20-х гг. прошлого века Гекке обобщил классическое функциональное уравнение для обычной дзета-функции на случай L-функции с характерами групп идеалов полей алгебраических чисел (см. [68]). Спустя 30 лет Тэйт в своей диссертации обобщил результаты Гекке, —• он вывел функциональное уравнение для L-функций с мультипликативными характерами локальных полей, что позволило определить соответствующие б-функции для характеров локальных полей (см. [81], гл. XIV).

С развитием локальной теории полей классов (Вейль, Артин) стало возможным отождествить характеры локального поля К с одномерными (комплексными) представлениями группы Вейля W(K/K) этого поля посредством изоморфизма Артина: Кх = W(K/К)аЬ, где Кх = GLi(i^) и W(K/K)ab есть фактор-группа группы W(K/K) по замыканию ее коммутатора, которая естественным образом отождествляется с группой одномерных характеров группы W(K/K). Таким образом, с помощью изоморфизма Артина можно определить L-функцию и б-функцию для одномерных представлений группы W(K/K). Это обстоятельство послужило толчком к дальнейшему обобщению понятия L-функции, теперь уже для представлений группы W(K/K) произвольной размерности (Артин [2], см. также [136]).

Построение соответствующего обобщения б-функции является гораздо более сложной задачей, так как в одномерном случае определение б-функции, в отличие от L-функции, существенно опирается на изоморфизм Артина. Пытаясь обобщить изоморфизм Артина и б-функцию на случай представлений произвольной размерности, Ленглендс в своей неопубликованной статье (1970) доказал теорему о существовании естественного обобщения б-функции для представлений группы W(K/K) произвольной размерности (см. также [39], [40]). В 1973 г. Делинь предложил другое, сравнительно легкое доказательство теоремы Ленглендса (см. [34], §4, а также [128]).

В своей фундаментальной статье [34] Делинь ввел понятие группы (Вейля—Делиня) W'(K/K) локального поля К, построил теорию ее представлений, которая является обобщением теории представлений группы Вейля, определил L- и б-фуикции для представлений группы W(K/K) и (совместно с Гротендиком) сконструировал естественный функтор из категории представлений группы Ga\{К/К) в векторных пространствах над Q/ (так называемых l-адических представлений в категорию комплексных представлений группы W'(K/K) (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля К). С помощью этого функтора можно определить представления группы W'(K/K), соответствующие естественным Z-адическим представлениям группы Ga\{К/К) в Z-адических группах когомологий многообразий над К, и, как следствие, определить соответствующие L-функции, б-функции и связывающие их (гипотетические) функциональные уравнения.

Существование локальных е-функций (т. е. б-функций для представлений групп Вейля—Делиня локальных полей) позволяет определить глобальные е-функции (т. е. б-функции для представлений групп Галуа глобальных полей) как произведения соответствующих локальных б-функций. Глобальным (локальным) корнем Артина называется отношение глобальной (локальной) б-функции к ее абсолютному значению.

В начале 60-х гг. прошлого столетия Бэрч и Суиннертон-Дайер исследовали эллиптические кривые над Q и связанные с ними L-функции. На основе полученных данных они выдвинули гипотезу о равенстве ранга группы E(Q) (Q-значных точек эллиптической кривой Е над Q) порядку ords=i L(E, s) L-функции L(E, s), ассоциированной с этой кривой. Впоследствии гипотеза, сформулированная для эллиптических кривых, была перенесена на более общие объекты, в частности, на абелевы многообразия.

Из гипотезы Бэрча и Суиннертон-Дайера вместе с гипотетическим функциональным уравнением для функции L(A, s), ассоциированной с абе-левым многообразием А над Q, следует, что корень Артина W(A), ассоциированный с А, равен (—i)rank^№). Появление этой гипотетической формулы, называемой иногда гипотезой четностщ стимулировало интерес к исследованию корней Артина, а сама формула оказалась богатым источником информации об абелевых многообразиях и, в частности, эллиптических кривых. В этом контексте была получена явная формула для локального корня Артина, ассоциированного с эллиптической кривой над конечным расширением поля Qp (Рорлик [107] для р > 3; С. Кобаяши [79], [80] для р = 3; Тим и Владимир Докчитсеры [36] для р = 2; см. также таблицу в [66] для случаев р = 2,3), изучены глобальные корни Артина эллиптических кривых над числовым полем F вида Ed : у2 = ж3 + D, D 6 Ъ (Ливерэнс [82] для F = Q; С. Кобаяши [79]) и поведение корней Артина в различных семействах эллиптических кривых (Касселс, Счинзел [6]; Рорлик [107]; Мэй [84]; Грант, Мандучи [85], [61]; Риззо [102], [103]; Мазур, Рубин [88]; Брайэн и Кеннет Конрады, Гельфготт [31]; Е. Кобаяши [78]).

Исследование абелевых многообразий над числовыми полями привело к необходимости изучения локальных корней Артина вида W(Av,rv), где А — абелево многообразие над числовым полем F, т — неприводимое представление группы Gal(F/F), v — простой дивизор поля F, Av = А Хр FV: Fv обозначает пополнение поля F относительно v и. rv — ограничение представления т на подгруппу Gal(Fv/Fv) м- Gal(F/F). Пусть a'v — представление группы Вейля—Делиня yV'(Fv/Fv), ассоциированное с первой I-адической группой когомологий многообразия Av (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля Fv). Тогда, по определению, W(Av,rv) = W(<j'v®tv), где tv рассматривается как представление группы W'(FV/FV).

В 1996 г. Рорлик вывел формулу для локального корня Артина W(E, т), ассоциированного с эллиптической кривой Е над локальным полем К и представлением г группы Ga\(К/К) с вещественнозначным характером, в случае, когда характеристика р поля вычетов поля К строго больше трех ([109], см. также [72] и [110]), что позволило определить, при некоторых дополнительных условиях, глобальный корень Артина, ассоциированный с эллиптической кривой над числовым полем F и неприводимым представлением группы Gdl{F/F) с вещественнозначным характером. Этот результат был обобщен автором диссертации на случай абелевых многообразий. Известно, что для глобального корня Артина W(A, г) существует аналог гипотезы четности. Можно показать, что этот аналог согласуется с полученными автором результатами, что является еще одним подтверждением гипотезы четности (см. [111], [112]). •

Ряд работ, выполненных в рамках построения общей теории ефункций, посвящен нахождению формул для глобальных и локальных корней Артина в различных специальных случаях.

В статьях Фрелиха, Серра, Киру и Эрмитажа (70-е гг. XX в.) исследовался глобальный корень Артина W(r) представления т группы Галуа Gal(F/F) глобального поля F с вещественнозначным характером. Доказано, в частности, что W(r) = 1, если т — ортогональное представление, и приведены примеры представлений, имеющих вещественнозначные характеры и корень Артина, равный —1 (см. [43]—[46], [116], [1]).

Хотя в общем случае явная формула для локальной е-функции отсутствует, Делинь дал ее описание с помощью классов Штифеля—Уитни для ортогональных представлений группы W(K/K) (см. [35]), а спустя 19 лет была получена явная формула для локальной е-функции представления группы Gal(K/К), индуцированного единичным характером группы Галуа Gal(L/L) конечного сепарабельного расширения L поля К, при условии, что характеристика поля вычетов поля К не равна 2 (Хенниарт [69], Саито [114]). С учетом некоторых свойств е-функции последний результат дает конкретное описание поведения е-функции при индуцировании представлений подгруппы Gal(L/L) на группу Ga\{К/К).

Изучались также глобальные корни Артина некоторых характеров Гек-ке (Рорлик [104], [106]), глобальные корни Артина представлений дицикли-чсских групп Галуа (Лубутин [83]), локальные корни Артина представлений групп Галуа полиномов Гильберта и Тейлора (Вила [135]), локальные е-функции квадратичных характеров конечных расширений поля Qp (Кэн [74]) и квадратичных расширений Галуа поля Qp (Морено и Вэн [90]).

Был найден ответ на вопрос, какие комплексные числа могут быть локальными корнями Артина вещественных представлений группы Gal(Q/Q) (Перлис [91]), получены новые формулы для локальных корней Артина в случаях унитарных и ортогональных представлений групп Галуа с использованием "явной" версии теоремы Брауэра (Снейт, Риттер [118]— [122], [96]). Создается база математических данных для конечных расширений поля которая, в частности, содержит локальные корни Артина этих расширений (Джоунс, Роберте [73]) и др.

Другое важное направление в исследовании корней Артина представлений Галуа связано с их применением в теории модулей Галуа. Основы этой теории были заложены Фрелихом в 70-х гг. прошлого столетия в связи с изучением кольца целых элементов О^ конечного расширения Галуа N числового поля F с группой G = Ga\{N/F) как модуля над кольцом h[G]. В рамках этой теории был определен аддитивнъш инвариант Qa(N/F), который "измеряет" ^-структуру кольца On, сформулирован и доказан ряд глубоких гипотез, связывающих аддитивный инвариант £la{N/F) с корнями Артина симплектических представлений группы G (Фрелих и др. [43]— [60], Кассу-Ноге и др. [Т]—[12], Тейлор [131]—[133], Киру [92]—[94], Мартине

86], [87], Уллом [134], Вильсон [137], [138], см. также обзорную статью Ку-ньяр [32]).

В 80-х гг. Чинбург предложил так называемый мультипликативный аналог теории Фрелиха. Пусть S — достаточно большое конечное множество простых дивизоров поля N, инвариантное относительно действия группы G, и U — группа ^-обратимых элементов кольца On- Изучая ZfGj-модуль U, Чинбург ввел новый мультипликативный инвариант Clm(N/F), который, подобно аддитивному инварианту, "измеряет" G-структуру группы U. Чинбург выдвинул и частично разрешил новые гипотезы, касающиеся, в частности, связи между мультипликативным инвариантом Q,m(N/F) и корнями Артина симплектических представлений группы G ([15]—[18]). Среди других авторов, также работающих над гипотезами Чинбурга, — Берне, Холланд, Грюнберг, Риттер, Вейсс, Ким, Снейт, Хупер, Трен, Дюбуа, Грайтер, Кучера ([3]-[5], [62]—[65], [97]-[101], [123]-[126], [70], [71], [75], [76], [38]). В дальнейшем теория, развитая для расширений Галуа N/F, была перенесена на мотивы и объекты К-теории и переросла в теорию О-инвариантов (Чинбург, Костлер, Паппас, Снейт [23], [26]—[27]).

Начиная с 1992 г., ведется работа по созданию геометрической теории модулей Галуа, т. е. изучению вопросов классической теории модулей Галуа числовых полей в контексте алгебраической геометрии (Чинбург, Эрез, Паппас, Тейлор [19]—[21], [27], [29], [30], [41]).

2. Основные результаты

Основной объект диссертационного исследования — корень Артина W(A, г), ассоциированный с абелевым многообразием А размерности д над числовым полем F и комплексным конечномерным непрерывным неприводимым представлением г группы Галуа Ga\(F/F) поля F с веществен-позначным характером. Корень Артина W(A:r) = ±1 входит в гипотетическое уравнение для L-функции L(A, т, s), ассоциированной с А и т.

Основным результатом диссертации является следующая теорема, которая обобщает теорему Рорлика ([109], с. 313, предл. Е), доказанную для эллиптических кривых, на случай абелевых многообразий:

Теорема 1. Пусть F — числовое поле, L С F — его конечное расширение Галуа, т — комплексное конечномерное неприводимое представление группы Gal(L/F) с вещественнозначным характером ид— произвольное фиксированное натуральное число. Если подгруппы (группы Gal(L/F)) разлоэюения всех простых дивизоров поля L,- делящих все простые числа < 2д + 1, абелевы и индекс Шура т<^(т) представления г равен 2, то W(A, т) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности g над F.

Утверждение теоремы 1 косвенно подтверждает версию гипотезы Бэрча—Суиннертон-Дайера, согласно которой порядок L-функции L(A,t,s) при 5 — 1 равен кратности (сга,т) представления т в естественном представлении а а группы Ga l(F/F) в С <g>z Отсюда выводится равенство

W{A,r) = (-1)(с^'т>.

Так как а а реализуемо над Q и т неприводимо, то mq(r) делит (сг^,г). Таким образом, если т<д(т) = 2, то W(A,r) = 1 для всякого абелева многообразия А над F (ср. [109], с. 313).

При доказательстве теоремы 1 используется формула

W(A,T) = l[W(Av,rvl v где v пробегает все простые дивизоры поля F, Av = AxpFv, Fv обозначает пополнение поля F относительно v и rv — ограничение представления т на подгруппу Ga\{FvjFv) М- Ga\{F/F). Пусть <r'v — представление группы Вейля—Делиня W'(FV/FV), ассоциированное с первой группой когомоло-гий многообразия Av. Тогда, по определению, W(AV, rv) = W(cr'v ® rv), где rv рассматривается как представление группы W(FV/FV).

В диссертации показано, что справедливо более сильное утверждение, из которого следует теорема 1, а именно, имеет место

Теорема 2 (теорема А). В предположениях теоремы 1 имеем:

W(AV, rv) = 1 для всех v.

Доказательство теоремы 2 проводится в несколько этапов. Сначала дается описание локального корня W(Av,rv) в случае, когда rv — конечномерное непрерывное комплексное представление группы Gal(Fv/Fv) с ве-щественнозначным характером.

Если v — бесконечный дивизор, то a'v ассоциировано с компонентами группы H^{AV{С), С) в разложении Ходжа. В лемме 20 показано, что в этом случае

W(Av]rv) = (-iydknT\ (1)

Если v конечно, то и/ (av, tv) = w{av(& ту) =

-(cr'v <g> Tv,t/jv,dxv)y здесь фу — нетривиальный аддитивный характер поля Fv, dxv — мера Ха-ара на Fv и a'v — представление группы W{FV/FV), ассоциированное с естественным представлением группы Ga\(FV/FV) в первой /-адической группе когомологий Hj-(AV), где I — простое число, отличное от характеристики char поля вычетов kv поля Fv.

Хорошо известно, что H}{AV) и Vi(Av)* изоморфны как Gal(Fv/Fv)-модули над Qj, где Vi(Av) = Ti(Av) <g>Zj Q/, Ti(Av) есть /-адический модуль Тэйта многообразия Av и Vi{Av)* обозначает модуль, коитрагредиентный модулю Vi(Av). Таким образом, можно считать, что a'v — представление группы W{FV/FV), ассоциированное с Vi(Av)*. Из свойств б-функции следует, что W(a'v<S>Tv) не зависит от выбора меры dxv, и можно показать, что w{g'v ® rv) не зависит также от выбора iftv. Более того, w(a'v ®tv) = ±1 (см. §1.1).

В случае, когда Av — абелево многообразие с потенциально хорошей редукцией, по критерию Нерона—Огга—Шафаревича a'v является представлением группы Вейля W(FV/FV). Если char(fcv) > 2д + 1, то, используя теорию Серра—Тэйта и теорию представлений для описания класса <j'v в группе Гротендика виртуальных представлений группы W(FV/FV), получим следующую формулу:

W(a'v ® rv) = detr^C-l)'1 • /3dimr" • 7'2 ■ (-1)<^>, (2) где l\ G Z, Р — ±1, 7 = ±1, h = (1,t„) + (rjv,Tv), rjv — неразветвленный квадратичный характер мультипликативной группы поля F* и vv — представление группы Ga\(FV/Fy), реализуемое над Q (ср. [109], с. 318, теор. !)■

В случае произвольного абелева многообразия Av используется теория униформизации абелевых многообразий. В соответствии с этой теорией существуют такие полуабелево многообразие Gv над Fv и дискретная подгруппа Yv группы Gv, что Av изоморфно Gv/Yv. Здесь Yv — этальный пучок свободных абелевых групп над Spec(Fv) ранга г, а многообразие Gv является элементом точной последовательности

0 —>• Tv —> Gv By —у 0, (3) где Bv — абелево многообразие над Fv с потенциально хорошей редукцией и Ту — тор над Fv размерности г. Для описания представления a'v используется формула Рейно ([95], с. 314), определяющая действие подгруппы инерции Iv группы Gal(Fv/Fv) на точках кручения порядка 1п абелева многообразия над Fv в случае, когда данные униформизации расщепляются. С помощью этой формулы можно показать, что «и © (Xv ® ЦТ1 ® sp(2)), (4) где kv — представление группы W'(FV/FV), ассоциированное с естественным представлением группы Ga\{FV/FV) в Vi(Bv)*,

Xz; : Gal(Fv/Fv) —* GLr(Z) естественное представление группы Ga\(FV/FV) в YV(FV) и sp(2) определяется формулой (1.1) (см. предл. 14). Здесь wv — одномерное представление группы W(FV/FV), заданное формулой шу\1у = 1, ^(Ф^) = q'1, где Фу — обратный элемент Фробениуса группы Ga\{FV/FV) и qv = card(&„).

Учитывая, что корень Артина прямой суммы представлений группы W'(FV/FV) равен произведению корней Артина этих представлений, из (4) получим

W(a'v <8> rv) = W(kv <g> tv) ■ W(xv <8> w~1 <g> tv <g> sp(2)). (5)

Если, в частности, char(A;v) > 2д + 1, то к представлению ку может быть применена формула (2), т. е.

W{kv (g> tv) = detту(—1)11 ■ /3dimr" • У2 • (-1)<<^>, (6) где h G Z, /? = ±1, 7 = ±1, l2 = (1 ,tv) + {r]y,Tv), rjv — неразветвлен-ный квадратичный характер мультипликативной группы поля F* и vv — представление группы Ga\(FV/FV), реализуемое над Q.

Доказательство теоремы 2 может быть завершено аналогично доказательству Рорлика предложения Е ([109], с. 347). Действительно, из предположений теоремы 2 следует, что представление т имеет четную размерность ([109], лемма на с. 339 и лемма на с. 347). Следовательно, из (1) вытекает, что W(AV, tv) = 1 для всех бесконечных дивизоров v. Если v конечно, то, по предположению, тф(т) = 2, что влечет равенство W(xv <S> Ц71 ® Tv ® sp(2)) = 1, и из (5) имеем

W((T,V®TV) = W(KV®TV). (7)

Если v — конечный простой дивизор такой, что char(fcll) > 2g + 1, то выполняется соотношение (6), из которого в предположении т<^(т) = 2 следует равенство W(kv <g> tv) = 1, отсюда W{a'v 0 tv) = 1.

Если же v — конечный простой дивизор такой, что char(^) < 2^ + 1, то из условий теоремы 1 вытекает, что представление tv является симплек-тическим ([109], лемма на с. 347). При этом представление Куфи^2 также является симплектическим, так как kv связано с абелевым многообразием (см. §1.1). Поскольку вещественные степени характера ljv не меняют корень Артина, то корень

W{nv <g> rv) = W(kv <g> uj1J2 ® rv) = 1 (8) равен единице как корень Артина тензорного произведения двух симплек-тических представлений группы W(FV/FV) ([109], с. 319, предл. 2 и замечание после него). Учитывая (7), (8), и в этом случае имеем w{a'v (g) tv) = 1.

В диссертации изучаются также допустимые унитарные, ортогональные и симплектические представления группы Вейля—Делиня W'(K/K) неархимедова локального поля К.

Из определения допустимых представлений группы W'(K/K) непосредственно следует, что каждое допустимое представление является прямой суммой допустимых неразложимых подпредставлений. В свою очередь, известно, что каждое допустимое неразложимое представление группы W'{K/K) имеет вид a<2>sp(n), где а — неприводимое представление группы Вейля W(K/K) поля К, п — целое положительное число и представление sp(n) задается формулой (1.1). Легко показать, что а 0 sp(n) имеет единственное неприводимое подпредставление. Другими словами, цоколь представления а ® sp(n) является неприводимым. Поэтому изучение допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы W{K/К) естественно начать с изучения унитарных, ортогональных и симплектических представлений (некоторой группы D над некоторым полем к), которые могут быть представлены в виде прямых сумм неразложимых подпредставлений с неприводимыми цоколями (см. §3.1, теор. 26). В результате получим следующую теорему.

Теорема 3 (теорема Б). Пусть а' — допустимое минимальное унитарное, ортогональное или симплектическое представление группы W'(K/K). Пусть U — пространство представления а' и (•, ■) — невырожденная инвариантная форма на U. Тогда либо а' = ex. ® sp(n) для некоторого неприводимого представления а группы W(K/K) и целого положительного числа п, либо U = V 0 V, где V = (3 <g> sp(m) для некоторого неприводимого представления (3 группы W(K/K) и целого положительного числа т, V = V*, если форма (•, •) билинейная, и V =-V, если форма (■, ■) полуторалинейная. Более того, существует изоморфизм С[W'(К/К)]-модулей А : V © V —> U со следующим свойством: если (•, •)' : (v ф yj X ^Уф^ —> С есть форма на V 0 К, определенная равенством х, у)' = (А (ж), А (?/)), x,yeV®V, n-1 a <S> ш 2 то формы (-, -)'\v и {•, выроо/сдеппые и (•, •)' : V x V —> С есть стандартная форма, заданная уравнением = /(«), uev,fev.

Здесь V* = (5* (8) и1"771 ® sp(m) и представление симплектическое, если а симплектическое и п нечетное, ортогональное, если <т' симплектическое и п четное, ортогональное, если а' ортогональное и п нечетное, симплектическое, если сг' ортогональное и п четное.

9)

Под унитарным представлением здесь и далее понимается представление в комплексном конечномерном векторном пространстве, допускающем невырожденную инвариантную эрмитову форму (не обязательно положительно определенную), минимальное унитарное (или симплектическое, или ортогональное) представление — это представление, которое нельзя представить в виде ортогональной суммы своих ненулевых инвариантных подпред-ставлений, V* обозначает модуль, контрагредиентный модулю V, V будет определено в §3.1 (см. замеч. 27).

Диссертация состоит из введения, трех глав, пяти приложений, заключения и списка литературы, включающего 138 названий.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Сабитова, Мария Наилевна

Заключение

В диссертации исследован корень Артина W(A, т), ассоциированный с абе-левым многообразием А размерности д над числовым полем F и комплексным конечномерным непрерывным неприводимым представлением т группы Галуа Ga\{F/F) поля F с вещественнозначным характером. Метод исследования обобщает методы Рорлика, изучавшего корень Артина эллиптических кривых, и основан на теории представлений конечных групп и теории униформизации абелевых многообразий. Основным результатом диссертации является следующая теорема (теорема 1):

Пусть F — числовое поле, L С F — его конечное расширение Галуа, т — комплексное конечномерное неприводимое представление, группы Gal(L/F) с вещественнозначным характером и д — произвольное фиксированное натуральное число. Доказано, что если подгруппы (группы Ga\(L/F)) разложения всех простых дивизоров поля L, делящих все простые числа < 2(? + 1, абелевы и индекс Шура mq(r) представления т равен 2, то W(A,t) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности д над F.

Эта теорема обобщает теорему Рорлика, доказанную для эллиптических кривых, на случай абелевых многообразий и косвенно подтверждает версию гипотезы Бэрча—Суиннертон-Дайера, согласно которой порядок L-функции L(A,t,s) при 5 = 1 равен кратности (сг^т) представления т в естественном представлении а а группы GdX(F/F) в С A(F).

Известно, что W(A,r) — ДvW(Av,rv), где v пробегает все простые дивизоры поля F, Av = А Хр Fv, Fv обозначает пополнение поля F относительно v и rv — ограничение представления г на подгруппу Ga\(FV/FV) ^ Gal(F/jF). В диссертации показано, что справедливо более сильное утверждение — теорема 2, согласно которой при условиях теоремы 1 равенство W(AV, rv) = 1 справедливо для всех v.

В предположении, что характеристика поля вычетов локального неархимедова поля К нулевой характеристики строго больше, чем 2^ + 1, получена формула для локального корня Артина, ассоциированного с абеле-вым многообразием размерности д над К и комплексным конечномерным непрерывным представлением группы Gal(K/K) с вещественнозначным характером.

В диссертации дано также описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля. Классифицированы неприводимые симплекти-ческие представления полупрямого произведения конечной и бесконечной циклических групп и получен ряд следствий из результатов Рейно для по-луабелевых многообразий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сабитова, Мария Наилевна, 2008 год

1. Armitage, J. V. Zeta functions with a zero at s — 1/2 / J. V. Armitage // 1.vent. Math. - 1972. - V. 15, P. 199-205.

2. Artin, E. Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren // Hamb. Abh 1930. - V. 8. - P. 292-306, collected papers. - P. 165 -179.

3. Burns, D. Chinburg's third invariant for abelian extensions of imaginary quadratic fields / D. Burns, D. Holland // Proc. London Math. Soc. -1997. V. 74, Ш. - P. 29-51.

4. Burns, D. Equivariant Tamagawa numbers and Galois module theory / D. Burns // Compositio Math. 2001. - V. 129, №2. - P. 203-237.

5. Burns, D. On the equivariant Tamagawa number conjecture for Tate motives / D. Burns, G. Greither // Invent. Math. 2003. - V. 153, №2.- P. 303-359.

6. Cassels, J. W. S. Selmer's conjecture and families of elliptic curves / J. W. S Cassels, A. Schinzel // Bull. London Math. Soc. 1982. - V. 14.- P. 345-348.

7. Cassou-Nogues, Ph. Quelques theoremes de base normale / Ph. Cassou-Nogues // Journees Arithmetiques de Caen / Univ. Caen, Caen. 1976.- P. 183-189, Asterisque No. 41-42, Soc. Math. France, Paris, 1977.

8. Cassou-Nogues, Ph. Structure galoisienne des anneaux d'entiers (French) / Ph. Cassou-Nogues // Proc. London Math. Soc. (3). 1979. - V. 38, №3. - P. 545-576.

9. Cassou-Nogues, Ph. Structure galoisienne des anneaux d'entiers d'extensions sauvagement ramifiees. II. (French) / Ph. Cassou-Nogues, J. Queyrut // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1982. - V. 32, M. - P. 7-27.

10. Cassou-Nogues, Ph. Constante de l'equation fonctionnelle de la fonction L d'Artin d'une representation symplectique et moderee. (French) / Ph. Cassou-Nogues, M. J. Taylor // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). -1983. V. 33, №2. - P. 1-17.

11. Cassou-Nogues, Ph. Local root numbers and Hermitian-Galois module structure of rings of integers / Ph. Cassou-Nogues, M. J. Taylor // Math. Ann. 1983. - V. 263, m. - P. 251-261.

12. Cassou-Nogues, Ph. Relevement galoisien d'invariant de Clifford equivariant. (French) / Ph. Cassou-Nogues, M. J. Taylor // Seminar on number theory, 1983-1984 (Talence, 1983/1984), Exp. No. 9,12 pp., Univ. Bordeaux I, Talence, 1984.

13. Chai, C. Neron models for semiabelian varieties: congruence and change of base field / C. Chai // Asian J. Math. 2000. - V. 4, №4. - P. 715-736.

14. Chevalley, C. Algebra / C. Chevalley. New York: Springer-Verlag. -1988.

15. Chinburg, T. On the Galois structure of algebraic integers and .S-units / T. Chinburg // Invent. Math. 1983. - V. 74, №3. - P. 321-349.

16. Chinburg, T. The Galois structure of S-units / T. Chinburg // Seminar on number theory, 1982-1983 (Talence, 1982/1983), Exp. No. 40, 21 pp., Univ. Bordeaux I, Talence, 1983.

17. Chinburg, T. Multiplicative Galois module structure / T. Chinburg // J. London Math. Soc. (2) 1984. - V. 29, №. ~ P. 23-33.

18. Chinburg, T. The analytic theory of multiplicative Galois structure / T. Chinburg // Mem. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 77, №395. - 158 p.

19. Chinburg, T. Galois structure of de Rham cohomology / T. Chinburg // Sem. Theor. Nombres Bordeaux (2). 1992. - V. 4, №1. - P. 1-18.

20. Chinburg, T. Corrigendum: Galois structure of de Rham cohomology of tame covers of scheme / T. Chinburg // Ann. of Math. (2) 1994. - V. 140, №1. - P. 251.

21. Chinburg, T. Tame actions of group schemes: integrals and slices / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Duke Math. J. 1996. -V. 82, №2. - P. 269-308.

22. Chinburg, Т. On the ^-constants of a variety over a finite field' / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Amer. J. Math. 1997. - ' V. 119, №3. - P. 503-522.

23. Chinburg, T. Quaternionic exercises in if-theory Galois module structure / T. Chinburg, M. Kolster, G. Pappas, V. P. Snaith // Algebraic if-theory (Toronto, ON, 1996), 1-29, Fields Inst. Commun., 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

24. Chinburg, T. e-constants and the Galois structure of de Rham cohomology / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Ann. of Math. 1997.- V. 146. P. 411-473.

25. Chinburg, T. On the ^-constants of arithmetic schemes / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Math. Ann. 1998. - V. 311, №2. - P. 377-395.

26. Chinburg, T. Galois structure of K-groups of rings of integers / T. Chinburg, M. Kolster, G. Pappas, V. P. Snaith // if-theory. 1998-V. 14, №4. - P. 319-369.

27. Chinburg, T. Quaternionic exercises in if-theory Galois module structure. II / T. Chinburg, M. Kolster, V. P. Snaith // Algebraic K-theory and its applications (Trieste, 1997), 337-369, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1999.

28. Chinburg, T. ^-constants and the Galois structure of de Rham cohomology. II. / T. Chinburg, G. Pappas, M. Taylor //J. Reine Angew. Math. 2000. - V. 519. - P. 201-230.

29. Chinburg, T. ^-constants and equivariant Arakelov-Euler characteristics / T. Chinburg, G. Pappas, M. Taylor // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4)- 2002. V. 35, №3. - P. 307-352.

30. Chinburg, T. Duality and Hermitian Galois module structure / T. Chinburg, G. Pappas, M. Taylor // Proc. London Math. Soc. (3) -2003. V. 87, m. - P. 54-108.

31. Conrad, B. Root numbers and ranks in positive characteristic / B. Conrad, K. Conrad, H. Helfgott // Adv. Math. 2005. - V. 198, №2. - P. 684-731.

32. Deligne, P. Formes modulaires et representations de GL(2) / P. Deligne // Modular functions of one variable. New York: Springer-Verlag. - 1973.- V. 2. P. 55-105.

33. Deligne, P. Les constantes des equations fonctionnelles des fonctions L / P. Deligne // Modular functions of one variable. New York: Springer-Verlag. - 1973. - V. 2. - P. 501-595.

34. Deligne, P. Les constantes locales de Г equation fonctionnelle de la fonction L d'Artin d'une reprsentation orthogonale / P. Deligne // Invent. Math.- 1976. V. 35. - P. 299-316.

35. T. Dokchitser. Root numbers of elliptic curves in residue characteristic 2 / T. Dokchitser, V. Dokchitser // arxiv: math.NT/0612054.

36. Dokchitser, V. Root numbers of non-abelian twists of elliptic curves. With an appendix by Tom Fisher / V. Dokchitser // Proc. London Math. Soc. (3) 2005. - V. 91, №. - P. 300-324.

37. Dubois, I. S-unites et 5-groupe de classes d'un corps de nombres cyclique de degre premier / I. Dubois // J. Number Theory. 2000. - V. 85, №1.- P. 35-58.

38. Dwork, B. The local structure of the Artin root number / B. Dwork // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1955. - V. 41. - P. 754-756.

39. Dwork, B. On the Artin root number / B. Dwork // Amer. J. Math. -1956. V. 78. - P. 444-472.

40. Erez, B. Geometric trends in Galois module theory / B. Erez // Galois representaitons in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996): London Math. Soc. Lecture Note Ser., 254. Cambridge.: Cambridge Univ. Press, 1997. - P. 115-145.

41. Faltings, G. Degeneration of abelian varieties / G. Faltings, C. Chai // Berlin: Springer-Verlag. 1990.

42. Frohlich, A. Artin root numbers and normal integral bases for quaternion fields / A. Frohlich // Invent. Math. 1972. - V. 17. - P. 143-166.

43. Frohlich, A. On the functional equation of the Artin L-function for characters of real representations / A. Frohlich, J. Queyrut // Invent. Math. 1973. - V. 20. - P. 125-138.

44. Frohlich, A. Artin root numbers, conductors, and representations for generalized quaternion groups / A. Frohlich // Proc. London Math. Soc. (3) 1974. - V. 28. - P. 402-438.

45. Frohlich, A. Module invariants and root numbers for quaternion fields of degree 4Г / A. Frohlich // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1974. - V. 76. - P. 393-399.

46. Frohlich, A. Galois module structure and Artin L-functions / A. Frohlich // Journees Arithmetiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1974), pp. 9—13. Asterisque, Nos. 24-25, Soc. Math. France, Paris, 1975.

47. Frohlich, A. Resolvents and trace form / A. Frohlich // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. - V. 78, №2. - P. 185-210.

48. Frohlich, A. Artin root numbers for quaternion characters. Symposia Mathematica / A. Frohlich // Vol. XV (Convegno di Strutture in Corpi Algebrici, INDAM, Rome, 1973), 353-363. Academic Press, Lodon, 1975.

49. Frohlich, A. Galois module structure and Artin L-functions / A. Frohlich // Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, В. C., 1974), Vol. 1, pp. 351-356. Canad. Math. Congress, Montreal, Que., 1975.

50. Frohlich, A. Arithmetic and Galois module structure for tame extensions / A. Frohlich // J. Reine Angew. Math. 1976. - V. 286/287. - P. 380-440.

51. Frohlich, A. Symplectic local constants and Hermitian Galois module structure / A. Frohlich // Algebraic number theory (Kyoto Internat. Sympos., Res. Inst. Math. Sci., Univ. Kyoto, Kyoto, 1976), pp. 25-42. Japan Soc. Promotion Sci., Tokyo, 1977.

52. Frohlich, A. Galois module structure / A. Frohlich // Algebraic number fields: L-functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), pp. 133-191. Academic Press, London, 1977.

53. Frohlich, A. Local Hermitian group modules / A. Frohlich // Conference on Quadratic Forms—1976 (Proc. Conf., Queen's Univ., Kingston, Ont., 1976), pp. 493-514. Queen's Papers in Pure and Appl. Math., No. 46, Queen's Univ., Kingston, Ont., 1977.

54. Frohlich, A. On parity problems / A. Frohlich // Seminaire de Theorie des Nombres, 1978-1979, Exp. No. 21, 8 pp., CNRS, Talence, 1979.

55. Frohlich, A. The arithmetic theory of local Galois Gauss sums for tame characters / A. Frohlich, M. J. Taylor // Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 1980/81. - V. 298, №1437. - P. 141-181.

56. Frohlich, A. Value distributions of symplectic root numbers / A. Frohlich // Proc. London Math. Soc. (3) 1983. - V. 46, №1. - P. 83-99.

57. Frohlich, A. Galois module structure of algebraic integers / A. Frohlich // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) Results in Mathematics and Related Areas (3)], 1. Springer-Verlag, Berlin, 1983. x+262 pp. ISBN: 3-540-11920-5.

58. Frohlich, A. Classgroups and Hermitian modules / A. Frohlich, M. J. Taylor // Progress in Mathematics, 48. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984. xvii+226 pp. ISBN: 0-8176-3182-8.

59. Frohlich, A. Orthogonal representations of Galois groups, Stifel—Whitney classes and Hasse—Witt invariants / A. Frohlich // J. Reine Angew. Math.- 1985. V. 360. - P. 84-123.

60. Grant, G. R. Root numbers and algebraic points on elliptic surfaces with elliptic base / G. R. Grant, E. Manduchi // Duke Math. J. 1998. - V. 93, №. - P. 479-486.

61. Greither, C. The lifted root number conjecture for fields of prime degree over the rationale: an approach via trees and Euler systems / C. Greither, R. Kucera // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2002. - V. 52, №3. - P. 735-777.

62. Gruenberg, K. W. Galois invariants for 5-units / K. W. Gruenberg, A. Weiss // Amer. J. Math. 1997. - V. 119, №5. - P. 593-983.

63. Gruenberg, K. W. On Chinburg's root number conjecture / K. W. Gruenberg, J. Ritter, A. Weiss // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 1998. - V. 100, №1. - P. 36-44.

64. Gruenberg, K. W. A local approach to Chinburg's root number conjecture / K. W. Gruenberg, J. Ritter, A. Weiss // Proc. London Math. Soc. (3)- 1999. V. 79, №. - P. 47-80.

65. Halberstadt, E. Signes locaux des courbes elliptiques en 2 et 3 / E. Halberstadt // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1998. - V. 326, №9. - P. 1047-1052.

66. Hasse, H. Bericht iieber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkoerper / H. Hasse // Jber. dt. Math. Verein. 1926. - V. 35, 1927. - V. 36, .1930. - V. 39.

67. Hecke, E. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen / E. Hecke // Math. Z. 1920. - V. 6, №1/2.- P. 11-51.

68. Henniart, G. Galois б-factors modulo roots of unity / G. Henniart // Invent. Math. 1984. - V. 78, №1. - P. 117-126.

69. Hooper, J. J. Chinburg's second conjecture for quaternion fields / J. J. Hooper, M. V. Tran // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. -1996. V. 18, m. - P. 47-52.

70. Hooper, J. J. The second Chinburg conjecture for quaternion fields / J. J. Hooper, V. Snaith, M. V. Tran // Mem. Amer. Math. Soc. 2000.- V. 148, №704.

71. Howe, L. Twisted Hasse-Weil L-functions and the rank of Mordell-Weil groups / L. Howe // Canad. J. Math. 1997. - V. 49, №4. - P. 749-771.

72. Jones, J. W. A database of local fields / J. W. Jones, D. P. Roberts //J. Symbolic Comput. 2006. - V. 41, №1. - P. 80-97.

73. Kahn, B. Le groupe des classes modulo 2, d'apres Conner et Perlis / B. Kahn // Seminar on number theory, 1984-1985 (Talence, 1984/1985). Exp. No. 26, 29 pp., Univ. Bordeaux I, Talence, 1985.

74. Kim, S. A generalization of Frohlich's theorem to wildly ramified quaternion extensions of Q / S. Kim // Illinois J. Math. 1991. - V. 35, M. - P. 158-189.

75. Kim, S. The root number class and Chinburg's second invariant / S. Kim // J. Algebra. 1992. - V. 153, №1. - P. 133-202.

76. Kirillov, A. A. Elements of the theory of representations / A. A. Kirillov // Berlin-New York: Springer-Verlag. 1976.

77. Kobayashi, E. A remark on the Mordell-Weil rank of elliptic curves over the maximal abelian extension of the rational number field / E. Kobayashi // Tokyo J. Math. 2006. - V. 29, №2. - P. 295-300.

78. Kobayashi, S. The local root number of elliptic curves with wild ramification / S. Kobayashi // Math. Ann. 2002. - V. 323, №3. - P. 609-623.

79. Kobayashi, S. The local root number of elliptic curves / S. Kobayashi // Current trends in number theory (Allahabad, 2000), 73-83, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2002.81. , Lang, S. Algebraic number theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag.- 1994.

80. Liverance, E. A formula for the root number of a family of elliptic curves / E. Liverance // J. Number Theory. 1995. - V. 51, №2. - P. 288-305.

81. Louboutin, S. Formulae for some Artin root numbers / S. Louboutin // Number theory (Liptovky Jan, 1999) Tatra Mt. Math. Publ. 20 (2000), P. 19-29.

82. Mai, L. The analytic rank of a family of elliptic curves / L. Mai // Canad. J. Math. 1993. - V. 45, Ж. - P. 847-862.

83. Manduchi, E. Root numbers of fibers of elliptic surfaces / E. Manduchi // Compositio Math. 1995. - V. 99, №1. - P. 33-58.

84. Martinet, J. Bases normales et constante de l'equation fonctionnelle des fonctions L d'Artin / Martinet, J. // Seminaire Bourbaki, Vol. 1973/1974, 26eme annee, Exp. No'. 450, pp. 273-294. Lecture Notes in Math., Vol. 431, Springer, Berlin, 1975.

85. Martinet, J. Algebraic number fields: //-functions and Galois properties / Martinet, J. // Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham/- 1975. P. 525-538.

86. Mazur, B. Studying the growth of Mordell-Weil / B. Mazur, K. Rubin // Doc. Math. 2003. - Extra volume. - P. 585-607.

87. Milne, J. S. Abelian varieties / J. S. Milne // Arithmetic Geometry. -New York: Springer-Verlag. 1986. - P. 103-150.

88. Moreno, C. J. Unusual applications of "quadratic Gaussian sums / C. J. Moreno, A. Wan // Unusual applications of number theory, 227-264, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI; 2004.

89. Perlis, R. On the analytic determination of the trace form / R. Perlis // Canad. Math. Bull. 1985. - V. 28, №4. - P. 422-430.

90. Queyrut, J. Extensions quaternioniennes g6neralisees et constante de l'equation fonctionnelle des series L d'Artin / Queyrut, J. // Publ. Math.

91. Univ. Bordeaux Annee 1972/73, no. 4, 91-119; addenda, ibid. Annee 1973/74, no. 1, 71-72.

92. Queyrut, J. Fonctions L d'Artin / Queyrut, J. // Seminaire de Theorie des Nombres, 1972-1973 (Univ. Bordeaux I, Talence), Exp. No. 1, 10 pp. Lab. Theorie des Nombres, Centre Nat. Recherche Sci., Talence, 1973.

93. Raynaud, M. 1-Motifs et monodromie geometrique / M. Raynaud // Asterisque. 1994. - V. 223. - R 295-319.

94. Ritter, J. An explicit Brauer formula for local Galois characters / J. Ritter // J, Reine Angew. Math. V. 375/376. - 1987. - R 83-103.

95. Ritter, J. L-values at zero and the Galois structrue of global units / J. Ritter // Algebra. Trends Math. Basel: Birkhauser, 1999. - R 135169.

96. Ritter, J. The lifted root number conjecture for some cyclic extensions of Q / J. Ritter // Acta Arith. 1999. - V. 90, №4. - R 313-340.

97. Ritter, J. The lifted root number conjecture and Iwasawa theory / J. Ritter, A. Weiss // Mem. Amer. Math. Soc. 2002. - V. 157, №748. -90 p.

98. Ritter, J. Toward equivariant Iwasawa theory / J. Ritter, A. Weiss // Manuscripta Math. 2002. - V. 109, №2. - R 131-146.

99. Ritter, J. Representing Qqoq) for real abelian fields / J. Ritter, A. Weiss // J. Algebra Appl. 2003. - V. 2, №3. - P. 237-276.

100. Rizzo, O. G. Average root numbers in families of elliptic curves / O. G. Rizzo // Proc. Amer. Math.' Soc. 1999. - V. 127, №6. - P. 15971603.

101. Rizzo, O. G. Average root numbers for a nonconstant family of elliptic curves / O. G. Rizzo // Compositio Math. 2003. - V. 136, №1. - P. 1-23.105106107108109110111112113114115116

102. Rohrlich, D. E. Root numbers of Hecke //-functions of CM fields / D. E. Rohrlich // Amer. J. Math. 1982. - V. 104, №3. - P. 517-543.

103. Rohrlich, D. E. The vanishing of certain Rankin-Selberg convolutions / D. E. Rohrlich // Automorphic Forms and Analytic Number Theory. Les publications CRM. Montreal. - 1990. - P. 123-133.

104. Rohrlich, D. E. Root numbers of Jacobi-sum Hecke characters / D. E. Rohrlich // Illinois J. Math. 1992. - V. 36, №1. - P. 155-176.

105. Rohrlich, D. E. Variation of the root number in families of elliptic curves / D. E. Rohrlich // Compositio Math. 1993. - V. 87, №. - P. 119-151.

106. Rohrlich, D. E. Elliptic curves and the Weil—Deligne group / D. E. Rohrlich // Elliptic Curves and Related Topics. CRM Proceedings & Lecture Notes. Providence: Amer. Math. Soc. - 1994. - V. 4. - P. 125-157.

107. Rohrlich, D. E. Galois theory, elliptic curves, and root numbers / D. E. Rohrlich // Compos. Math. 1996. - V. 100. - P. 311-349:

108. Rohrlich, D. E. Root numbers of semistable elliptic curves in division towers / D. E. Rohrlich // Math. Res. Lett. 2006. - V. 13, №2/3. - P. 359-376.

109. Sabitova, M. Root numbers of abelian varieties / M. Sabitova // Trans. Amer. Math. Soc. 2007. - V. 359, №9. - P. 4259-4284.

110. Сабитова, M. H. Корни Артина абелевых многообразий / М. Н. Сабитова // Успехи Мат. Наук. 2007. - Т. 62, вып. 6. - С. 161-162.

111. Сабитова М. Н. О представлениях группы Вейля—Делиня / Сабитова, М. Н. // Изв. Вузов. Математика. 2008. - №549.

112. Saito, Т. Local constants of Ind^-1 / Т. Saito // Comment. Math. Helv. 1995. - V. 70, Ш. - P. 507-515.

113. Serre, J.-P. Good reduction of abelian varieties / J.-P. Serre, J. Tate // Ann. Math. 1968. - V. 88. - P. 492-517.

114. Serre, J.-P. Conducteurs d'Artin des caracteres reels / J.-P. Serre // Invent. Math. 1971. - V. 14. - P. 173-183.

115. Serre, J.-P. Linear representations of finite groups / J. P. Serre. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. - 1977.

116. Snaith, V. A presentation for the representation ring and the solution of a problem of E. Artin / V. Snaith // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1986. - V. 8, №4. - R 265-270.

117. Snaith, V. Applications of explicit Brauer induction / Snaith, V. // The Areata Conference on Representations of Finite Groups (Areata, Calif., 1986), 495-531, Proc. Sympos. Pure Math., 47, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.

118. Snaith, V. A construction of the Deligne-Langlands local root numbers of orthogonal Galois representations / V. Snaith // Topology. 1988. - V. 27, №. - P. 119-127.

119. Snaith, V. A local construction of the local root numbers / Snaith, V. // Theorie des nombres (Quebec, PQ, 1987), 823-840, de Gruyter, Berlin, 1989.

120. Snaith, V. Cyclotomic Galois module structure and the second Chinburg invariant / V. Snaith // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1995. - V. 117, №1. - P. 57-82.

121. Snaith, V. The second Chinburg invariant for cyclotomic fields- via the Hom-description / V. Snaith // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. -1995. V. 17, №. - P. 25-30.

122. Snaith, V. P. Algebraic K-groups as Galois modules / V. Snaith. -Progress in Mathematics, 206. Birkhauser Verlag, Basel, 2002. x+309 pp. ISBN 3-7643-6717-2

123. Snaith, V. Burns' equivariant Tamagawa invariant T^oc(n/Q, 1) for some quaternion fields / V. Snaith //J. London Math. Soc. (2) 2003. - V. 68, №. - P. 599-614.

124. Stoll, M. On the arithmetic of the curves y2 = xl + A. II. / M. Stoll // J. Number Theory. 2002. - V. 93, №. - P. 183-206.

125. Tate, J. Number theoretic background / J. Tate // Automorphic forms, Representations, and ^Functions. Proc. Symp. Pure Math. Part 2. -Providence: Amer. Math. Soc. 1979. - V. 33. - P. 3-26.

126. Tate, J. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields / J. Tate // Invent. Math. 1996. - V. 2. - P. 134-144.

127. Taylor, M. J. Adams operations, local root numbers, and the Galois module structure of rings of integers / M. J. Taylor // Proc. London Math. Soc. (3) 1979. - V. 39, №1. - P. 147-175.

128. Taylor, M. J. On Frohlich's conjecture for rings of integers of tame extensions / M. J. Taylor // Invent. Math. 1981. - V. 63, №1. - P. 41-79.

129. Taylor, M. J. Frohlich's conjecture, logarithmic methods and Swan modules / Taylor, M. J. // Integral representations and applications (Oberwolfach, 1980), pp. 207-218, Lecture Notes in Math., 882, Springer, Berlin-New York, 1981.

130. Ullom, S. V. Galois module structure for intermediate extensions / S. V. Ullom // J. London Math. Soc. (2) 1980. - V. 22, №2. - P. 204-214.

131. Vila, N. Local Artin root numbers associated to some classical polynomials / N. Vila // J. Algebra. 1990. - V. 131, №2. - P. 678687.

132. Weil, A. Sur la theorie du corps de classes / A. Weil // J. Math. Soc. Japan. 1951. - V. 3. - P. 1-35.

133. Wilson, Stephen M. J. Galois module structure of the rings of integers in wildly ramified extensions / Stephen M. J. Wilson // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1989. - V. 39, №3. - P. 529-551.