Гомоморфизмы АН-плоскостей и изотопии тернаров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Шатохин, Николай Леонидович

• Шатохин, Николай Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шатохин, Николай Леонидович

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Координатизация аффинных ельмслевовых плоскостей

§ 1. Аффинные ельмсйевовы плоскости

§ 2. Обобщенные тернарные кольца со смежностью

§ 3. Частичные тернарные кольца

§ 4. //-плоскости и /4//-тернары

Глава 2. Гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей

§ 1. ^//-морфизмы уШ-плоскостей

§ 2. АН-тернары с улучшенной смежностью

§ 3. Гомоморфизмы ^//-плоскостей

Глава 3. ^//-плоскости и изотопии ^//-тернаров

§ 1. Изотопии //-тернаров и реперные изоморфизмы ^//-плоскостей

§ 2. Изоморфные .¿//-плоскости и изотопии ^//-тернаров

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гомоморфизмы АН-плоскостей и изотопии тернаров»

Диссертация посвящена разработке теории ,4Я-плоскостей - одного из классов инцидентностных структур.

Под инцидентностной структурой [1] понимают тройку <Р,Ь,1 >, где РП£ = 0,а1с/>х£.

Элементы множества Р принято называть точками, а элементы множества Ь — прямыми. Отношение I называют отношением инцидентности.

В настоящее время наиболее изученными классами инцидентностных структур являются проективные и аффинные плоскости, по теории которых имеется обширная литература, в том числе ряд монографий: [14, 36, 46, 58, 63].

Один из новых методов алгебраических описаний инцидентностных структур был предложен в [8, 9, 29, 30]. В этих работах продолжена разработка теории проективных плоскостей с точки зрения алгебраических систем. Такой подход позволил совершенно по иному подойти к известным проблемам теории проективных плоскостей и получить результаты, связывающие алгебраическую теорию таких плоскостей с геометрией, комбинаторикой и теорией чисел. В них решен ряд алгебраических задач и получены результаты о свойствах свободных и близких к ним объектов и гомоморфизмах.

Инцидентностная структура ¿Н = <Р,Ь; I, Н> называется аффинной плоскостью, если на множестве Ь задано некоторое отношение эквивалентности II, называемое параллельностью и при этом, справедливы следующие аксиомы:

А1. Для любых двух различных точек р и д существует единственная прямая Ь такая, чтор\Ь и д!Ь.

А2. Для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая Ь такая, что р 1Ь и ЬIIМ.

АЗ. Если для прямых Ь и М не существует точки, инцидентной одновременно обеим этим прямым, то Ь \\М.

А4. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

Наиболее содержательная теория как проективных, так и аффинных плоскостей была развита после их координатизации тернарными кольцами (тернарами), которая была предложена М. Холлом [12, 13, 63].

Тернарным кольцом называется тернарная алгебра 7~= <Т;Г> , тернарная операция / которой удовлетворяет условию:

71. (Уа,Ь,сеТ) (3!х) ((а,Ь,х)=с.

Тернарное кольцо < Т; I, О,1 >, где множество Т содержит, по крайней мере, два элемента 0 и 1, называется тернарным кольцом с нулем 0 и единицей 1 (0^1), если выполняются следующие условия:

72. (Vа,Ь,с&Т) *(0,й,с)=с = *(я,0,с),

73. (Уя,£е7) /(а, 1,0)=я & 1(1,Ь,0) = Ь.

Следует отметить, что существуют различные обобщения понятий нуля и единицы тернарного кольца, так называемые левые, правые нули и единицы тернарных колец (см. например [7, 25, 68]). Тернарные кольца, у которых О - нуль, а 1 — единица будут обозначаться 77?.

На множестве Т произвольного тернарного кольца 77? определяются бинарные операции "+", "ф", " -" условиями

Уа,ЬеТ) а+Ь = ((\,а,Ь), (Vа,Ъ<=Т) а Ф Ь = ^а, 1, Ь), (Vа,Ь<=Т) а-Ь=^а,Ь, 0).

Алгебраическая система А(Т) = < Т; +,©,-, 0, 1 > называется алгеброй, ассоциированной с тернарным кольцом 77?.

Если выполняется условие:

Ча,Ь,с<ЕТ) 1(а,Ь,с)=а - Ь + с, то тернарное кольцо 77? называется линейным тернарным кольцом (в [42] и [45] приводятся примеры плоскостей, которые невозможно описать линейными тернарами). Для линейных тернарных колец операции "+" и "Ф" совпадают ([28], предложение 6).

Введем обозначения: t(x,a, b)=t(x,c, d) x= tl (a,b;c,d), t(a,x,y)-b & t(c,x,y)=d)<=>(x= tmS(а,b;c,d)&y= trS(a,b;c,d)).

Тогда условиями, определяющими тернарное кольцо Холла (в обозначении НТК), являются следующие две аксиомы:

TRI. Qfa,b,c,deT) (3lx) а*с <=$ х= tl(a,b;c,d);

TR2. (уа, b, с, de Т) (3!(jc,j>)) а* с (х= tmS (а, b\ c,d)&y= trS(а, Ъ\ с, d)).

Общая идея исследований, использующих координатизацию проективных и аффинных плоскостей, состоит в том, что в них выявляются и затем анализируются связи между теми или иными свойствами этих плоскостей и алгебраическими свойствами тернаров. В частности, такие связи изучаются при наличии в плоскости тех или иных коллинеаций, конфигурационных свойств, гомоморфизмов, топологий [1, 10, 31, 61, 68]. Большое внимание уделяется также и исследованию зависимостей между тернарными кольцами, координатизирующими изоморфные плоскости [7, 11, 20, 51, 55, 56, 57, 64].

Следует также отметить, что в настоящее время теория тернаров представляет собой вполне самостоятельную область современной алгебры (см. например [46]), развитие которой имеет большое значение в связи с теорией инцидентностных структур.

Наряду с проективными и аффинными плоскостями большое место в теории инцидентностных структур, занимают их различные обобщения, связанные в основном с полным или частичным отказом от аксиомы AI [1,3, 14, 25, 47, 48, 49, 50].

Начало этих обобщений было положено в работах Ельмслева [43, 44], а затем продолжено В. Клингенбергом в работах [47, 48, 49, 50] о "плоскостях со смежными элементами". В дальнейшем, в работе [54] Г. Люнебург называет эти инцидентностные структуры ельмслевовыми плоскостями.

Ельмслевовы плоскости (//-плоскости и ^//-плоскости) возникают при отказе от требования единственности прямой, инцидентной двум точкам, и единственности точки пересечения двух прямых. Неоднозначно соединимые точки таких инцидентностных структур называются смежными. 6

Известно, что любую проективную (аффинную) плоскость можно расширить до неоднозначной //-плоскости (////-плоскости). Интересно также отметить, что далеко не все факты, известные для однозначных плоскостей, верны для ельмслевовых. Например, в статье [39] доказано, что не всякую ^//-плоскость можно дополнить до //-плоскости и поэтому теории произвольных аффинных и проективных ельмслевовых плоскостей имеют независимый характер.

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных ельмслевовым плоскостям [1, 14, 33].

С момента появления таких инцидентностных структур ставится задача о их координатизации. Так, в работе [50], Клингенберг связывает с каждой прямой проективной ельмслевовой плоскости (//-плоскости) некоторую аффинную ельмслевову плоскость (^//-плоскость). Далее предполагая, что в этой плоскости справедлива малая аффинная теорема Дезарга и аффинная теорема Паппа-Паскаля (используя гильбертово исчисление отрезков [2], §24), он описывает алгебраически такие плоскости с помощью коммутативного //-кольца (гл. 2, § 1). В работе [47] допускается выполнимость в аффинной ельмслевовой плоскости, связанной с некоторой прямой проективной ельмслевовой плоскости, малой и большой теоремы Дезарга и доказывается, что в этом случае такие плоскости можно координатизировать //-кольцом, не обязательно коммутативным. Люнебург в работе [54] координатизирует аффинные ельмслевовы плоскости трансляций. Далее в работе [38] Дрейк описывает координатизацию так называемых "радиальных ельмслевовых плоскостей", с помощью //-модулей. Наконец в 1967 году В.К. Цыганова в работе [15] координатизирует произвольные ^//-плоскости с помощью //-тернара (в дальнейшем ^//-тернар), а в 1973 году, используя аналогичный подход, Е.П. Емельченков [6] координатизирует произвольные //-плоскости. Построенная им алгебраическая система была названа /'//-тернаром.

Использование ^//-тернаров и /'//-тернаров дает возможность алгебраического исследования произвольных ельмслевовых плоскостей.

Несмотря на наличие, достаточно большого количества, работ посвященных ельмслевовым плоскостям, имеется ряд нерешенных задач, относящихся к их теории [1].

Основное содержание данной диссертации изложено в трех главах. В ней предложен оригинальный подход к координатизации Л//-плоскостей и проведено исследование отображений ^(//-плоскостей сохраняющих отношения инцидентности и параллельности. Кроме этого, в диссертации, решена задача описания алгебраической связи между ^//-тернарами, координатизи-рующими изоморфные ^//-плоскости.

В первой главе показана возможность координатизации произвольных ^//-плоскостей с помощью введенных в ней обобщенных тернарных колец Холла со смежностью.

Координатизация ^//-плоскостей впервые была проведена В.К. Цыгановой в статье [15]. Приведем определение Н-тернара, данное в этой статье, с сохранением терминологии и обозначений.

-тернар ([15], определение 4) — это множество М{0,1, а), содержащее нулевой и единичный элементы, в котором определены операции тройное отношение (а-Ь-с) и частичное тройное отношение (аоЬос), обладающие следующими четырнадцатью свойствами:

Свойство 1: для любых а, Ъ, с из М,

1) аОа,

2) если аОЬ, то ЬОа,

3) если аОЬ, ЬОс, то аОс.

Свойство 2: и-0-у=0-х-у=г.

Свойство 3:и'1-0=1-и-0 = и.

Свойство 4: уравнение 4: и- х- г = с однозначно разрешимо относительно г.

Свойство 5: уравнение и, • х • V, = и2 • х • у2 тогда и только тогда однозначно разрешимо относительно х, если и, 0 и2.

Свойство 6. Система

Г И-.ХГУ = С1 [ и-Х2 У=С2 при х, 0 х2 однозначно определяет пару и, V. При О х2 система неразрешима. При ЛГ10 х2, с, О с2 имеем ме N. Свойство 7. Система

Гу= и-х-у цс= то у о с1 где те ЛГ, всегда однозначно определяет пару х, у.

Свойство 8: при ^О^^О^ одна и только одна из систем разрешима относительно и, V соответственно т, с! и имеет, по крайней мере, два решения; при этом V, О у2, а?, О <32. Свойство 9: система о^о (1=х2 а) при у] 0 у2, хг О х2 однозначно определяет пару т, с1, где те N. б) при х1 0 .х% система не имеет решения.

Свойство 10. если а и Ъ таковы, что Г а = тх о Ъ о ^ {а=т2о Ьо й?2, то б/, О ¿/2 и имеется, по крайней мере , еще одна пара аь Ьу такая, что

Свойство 11. уравнение а = т о Ъ о г однозначно разрешимо относи

Свойство 12. 0 о у о с1= с1.

Свойство 13. еслиу=м-х-V, П1,п2,п3е^у1 = (\ •пх-и)-{\ •п2х)-(1 -п3'у), то существует п eN такое, что ух—\-п-у. тельно г.

Свойство 14. еслих= moyo d, nx,n2,riie.N, x, = (l •«,•»?)o(l -n2-y)o{\- n3-d), то существует n eN такое, что x, = 1 ■ n -x.

В перечисленных свойствах символом О обозначается отношение смежности, заданное на множестве М, символ 0 означает его отрицание, а через N обозначено множество элементов, смежных с 0 (делители нуля вместе с нулем, определение 3, [15]).

Из анализа этого определения, видно несоответствие описания //-тернара современной символике и терминологии. Не совсем ясна связь между понятиями //-тернара и классического тернарного кольца Холла. Некоторые из свойств достаточно громоздки или нуждаются в уточнении (например, свойство 8). Также существенным недостатком является отсутствие условий (1.2.10) - (1.2.12) (см. гл.1, стр. 26), которые необходимы для построения АН-плоскости над произвольным Л//-тернаром.

В отличие от [15], в данной диссертации применяется другой подход к координатизации ////-плоскостей с помощью АН-тернаров. Он отчетливо указывает на глубокую аналогию ^//-тернаров и тернарных колец Холла.

Первый параграф главы является вводным. В нем приводятся основные свойства ^//-плоскостей, на которые опирается дальнейшее изложение.

Во втором параграфе вводятся понятия обобщенного тернарного кольца Холла {GTR, определение 1.2.1) и обобщенного тернарного кольца Холла со смежностью {GHTR, определение 1.2.2). Далее устанавливаются простейшие свойства этих колец, а затем в теореме 1.2.4 перечисляются свойства алгебры А(Т), ассоциированной с произвольным тернарным кольцом GHTR. Из материала, приведенного в данной работе, очевидно, вытекает, что — фактически, тернарные кольца GHTR, входящие в состав ////-тернаров, представляют собой как бы "основную часть" произвольных ////-тернаров, так как их изучение в ряде случаев позволяет получать важные геометрические факты (см. например теоремы 2.1.2 и 2.1.6), справедливые для произвольных АН-плоскостей.

В третьем параграфе приводятся условия, определяющие понятия обобщенного частичного тернарного кольца (С77?0, определение 1.3.1) и обобщенного частичного тернарного кольца со смежностью (СНТК0, определение 1.3.2). Здесь же доказываются основные свойства таких тернарных колец.

Понятие частичного тернарного кольца фактически неявным образом используется и при координатизации однозначных проективных и аффинных плоскостей, но не требует отдельного введения из-за своего тривиального характера. Очевидна аналогия между СНТК и СНТК0, но теория СНТК0 не вытекает из теории СНТК и требует самостоятельного рассмотрения. Этот параграф завершается теоремой 1.3.2, в которой выделены основные свойства алгебр А(7~д, ассоциированных с СНТК0.

Четвертый параграф главы посвящен рассмотрению АН-тернаров (определение 1.4.1), которые определяются на основе тернарных колец ОНТЛ и СНТК о. Здесь описываются основные свойства уШ-тернаров и их применение при координатизации ^//-плоскостей. Доказано, что понятие ^//-тернара, введенное в данной диссертации, позволяет координатизировать произвольную ^//-плоскость и что над всяким Л//-тернаром можно построить некоторую ^//-плоскость. Далее в теоремах 1.4.5 и 1.4.6, доказывается, что всякий ¿{//-тернар (с точностью до изоморфизма) является ^//-тернаром, индуцированным невырожденной тройкой точек некоторой ^//-плоскости, а всякая ////-плоскость (с точностью до изоморфизма) является ^(//-плоскостью, индуцированной ^//-тернаром, построенным над произвольной невырожденной тройкой точек этой плоскости. В заключение доказывается теорема 1.4.7, в которой устанавливается, что алгебраические условия однородности АН-тернара (определение 1.4.2) адекватны условию однородности ^//-плоскости, индуцированной этим тернаром.

Структуризация ^//-тернаров, введенная в первой главе диссертации, позволяет более рельефно представить их строение и дает возможность производить изучение свойств ^//-тернаров, а, следовательно, и ^//-плоскостей как бы "по частям". Кроме этого, построение ^//-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец СНТК и СНТК0 дает возможность упростить раз

11 работку теории как самих уШ-тернаров, так и тесно связанных с ними АН-плоскостей. С другой стороны, тернарные кольца ОТТЯ и ОНТЯ0 сами по себе представляют определенный алгебраический интерес, связанный, прежде всего, с теорией ЛЯ-плоскостей.

На основе такого подхода в статье [28] в классе ОТТЯ выделены тернарные кольца, над которыми можно построить ^//-плоскость. Эти кольца названы в ней тернарными кольцами Ельмслева (в обозначении ЕТК). Затем в статье [26] установлены необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять кольцо с делителями нуля для того, чтобы над ним можно было построить линейное ЕТК. Тернарные кольца, введенные в [26], называются ^-кольцами.

Во второй главе рассматриваются отображения АН-плоскостей, сохраняющие отношения инцидентности и параллельности. Такие отображения принято называть АН-морфизмами. ^//-морфизмы также привлекали внимание большого круга математиков, однако их изучение либо относилось к некоторым частным классам таких плоскостей [37, 41, 53], либо на сами АН-морфизмы накладывались дополнительные условия, такие как регулярность [66] или сохранение смежности точек [40, 65]. В диссертации изучение АН-морфизмов проводится координатным методом с помощью ^//-тернаров. Оказалось, что привлечение /Ш-тернаров позволяет получать новые важные результаты, описывающие условия невырожденности, сюръективности и сохранения смежности, а также результаты, которые усиливают ранее известные.

Первый параграф второй главы посвящен изучению /Ш-морфизмов ^//-плоскостей (определение 2.1.1) и индуцированных ими ^//-морфизмов СНТЯ (определение 2.1.5). Основное внимание уделяется рассмотрению невырожденных ЛЯ-морфизмов (определения 2.1.2, 2.1.4).

Важным фактом, установленным в этом параграфе, является предложение 2.1.3, согласно которому невырожденный ^Л-морфизм ср, переводящий внтя Тв йНТЯ Т*, переводит любую пару несмежных элементов из Тв пару также несмежных элементов из Т*. На этом свойстве основано доказательство теоремы 2.1.2, в которой установлено, что всякий невырожденный АН-морфизм ^//-плоскости П~1 в ^//-плоскость <НГ любую пару несмежных точек и всякую пару несмежных прямых ^//-плоскости И переводит, соответственно, в пару несмежных точек и пару несмежных прямых ЛЯ-плоскости

Эта теорема является усилением основного результата п. 1 статьи [66].

Далее анализируются условия, при которых невырожденный АН-мор-физм сохраняет отношение смежности точек. Основной результат этого исследования вытекает из теоремы 2.1.7 (следствие 2.1.8). В нем доказано, что невырожденный ^Я-морфизм /: сохраняет отношения смежности точек и смежности прямых тогда и только тогда, когда для произвольной пары ^//-тернаров Н и Н\ соответствующих при индуцированный этим отображением ЛЯ-морфизм (р: Н-*НТ является невырожденным.

Во втором параграфе этой главы рассматриваются так называемые отношения улучшенной смежности ~т (определение 2.2.3), примерами которых являются отношения конгруэнции (определение 2.2.1), индуцированные АН-морфизмами произвольных СНТЯ и АН-тернаров.

Основными результатами этого параграфа являются теоремы 2.2.5, 2.2.6 и 2.2.7:

1) Множество отношений улучшенной смежности произвольного АН-тернара /¿"линейно упорядочено по включению;

2) Пусть Н и Н' — некоторые ЛЯ-тернары. Тогда если при ЛЯ-морфиз-ме (р. Н-+Н', (р(Н) = Н* и Н* - некоторый ^Я-тернар, то Н* однозначно определяется полным прообразом любого своего элемента;

3) Пусть ц)\ и (р2 - А Я-морфизмы ЛЯ-тернара Н, (р\{Н) =Н[ и (р2(Н)=Н2. Тогда если Нх и Н2 — некоторые ^Я-тернары, то существует такой АН-мор-физм (р, что (р(Н^=Н2 или 1р{Щ=Нх.

Результаты третьего параграфа в основном опираются на результаты двух предыдущих. В нем рассматриваются сюръективные Л/7-морфизмы АН-плоскостей, которые называются АН-эпиморфизмами (определение 2.3.1). Здесь устанавливается справедливость следующих свойств:

1) Всякий ^//-эпиморфизм^//-плоскости на ^//-плоскость является невырожденным ^//-морфизмом (теорема 2.3.1);

2) Невырожденный ^//-морфизм <Н-><7/7 является ^//-эпиморфизмом тогда и только тогда, когда он сюръективен на множестве точек, инцидентных некоторой прямой ^//-плоскости (теорема 2.3.2);

3) Невырожденный уШ-морфизм/\ Н^>(НГ является ^//-эпиморфизмом в том и только в том случае, если он сюръективен хотя бы для одного направления //^//-плоскости ГН' (теорема 2.3.3);

4) Всякий ^//-эпиморфизм f ^//-плоскости 'Н на ^//-плоскость сохраняет смежность и несмежность как точек, так и прямых (теорема 2.3.4);

5) Пусть /¡: (/ = 1,2) ^//-эпиморфизмы ^//-плоскости ГН на АНплоскости <НХ и <//2. Тогда, если хотя бы для одной пары точек, р1 е'7/, и р2 е 'Н2, их полные прообразы совпадают, то плоскости ГНХ и 'Н2 изоморфны (теорема 2.3.5);

6) Пусть / и /2 — ^//-эпиморфизмы АН-плоскости на ^//-плоскости СНХ и *//>. Тогда существует, по крайней мере, один ^//-эпиморфизм/¡/. 'Нс^'Н] О",./ е {1, 2}, / * у) (теорема 2.3.6);

7) Пусть /: ^//-эпиморфизм ^//-плоскости 7/, на АН-плоскость

Тогда существует биективное, изотонное отображение ц> отношений конгруэнтности г плоскости для которых г/стс~, на отношения конгруэнтности плоскости (Н2 (теорема 2.3.7);

8) Всякая конечная собственная ^//-плоскость является ////-плоскостью уровня п ([37], определение 17) для некоторого натурального п>2 (следствие 2.3.8);

9) ^//-плоскость уровня п (Artmann, [32]) имеет ровно п ////-эпиморф-ных образов (теорема 2.3.8);

10) Пусть f. 'Н-^'Н' АН-эпиморфизм ^//-плоскости СИ на ////-плоскость

Н\ Тогда если (Н - однородная ^//-плоскость, то и ////-плоскость Н' однородна (теорема 2.3.9);

11) Если две собственные однородные ^//-плоскости имеют один и тот же канонический гомоморфный образ, то эти плоскости изоморфны, или ни одна из них не является ^///-эпиморфным образом другой (теорема 2.3.10).

Таким образом, результаты второй главы диссертации проясняют взаимосвязи между произвольными ^//-эпиморфными образами одной ////-плоскости и дают важную информацию о их строении. Они показывают, что АН-плоскости можно классифицировать по наличию ^//-эпиморфных образов и указывают на место в этой классификации однородных ////-плоскостей.

-плоскости с улучшенной смежностью изучались в работе [32]. Однако, в ней, (см. [32], определение 8), утверждение, доказанное в следствии 2.3.6, принимается за исходный пункт, а в диссертации это утверждение является одним из ее заключительных результатов. Кроме этого, определение улучшенной смежности, данное в статье [32], фактически означает дополнительное требование того, чтобы ^//-морфизм сохранял смежность точек.

В третьей главе диссертации изучаются алгебраические связи, возникающие между АН-тернарами, координатизирующими изоморфные АН-плоскости. Решение подобных задач в различных классах инцидентностных структур привлекало постоянное внимание многих известных математиков. Эти задачи возникли, благодаря вышедшей в 1962 году монографии М. Холла [13]. Следует отметить, что наиболее выдающийся вклад в их решение, в случае однозначных проективных плоскостей, внесли Л.А. Скорняков ([11], [12]), Г.Е. Мартин ([55], [56], [57]), Ф.В. Стивенсон [64]. Среди работ недавнего времени, посвященных данной проблеме, следует также отметить [7].

В связи с появлением алгебр, координатизирующих произвольные АН и РЯ-плоскости ([6], [15]), эта задача стала актуальной и для класса ельмсле-вовых плоскостей, что и было отмечено в обзоре [1] Б.И. Аргуновым и Е.П. Емельченковым.

Пусть АН-тернар Н построен над репером Д(р0, /?„ р2) АН-плоскости <Н, а ЛЯ-тернар Н' - над репером К %Ро, р[, Р2) АЯ-плоскости «Я'.

В диссертации решение, указанной выше задачи, привязано к различным случаям взаимного расположения репера ДД) = (ЛРо)>Лрд,ЯР2)), являющегося образом реперис.1). Поэтому рассматриваемые в диссертации изоморфизмы ^Я-плоскостей называются ре-перными изоморфизмами. Понятно, что решение этой задачи для различных А Я-плоскостсй ведет к параллельному решению аналогичной задачи, описывающей алгебраические связи, возникающие между различными АН-тернарами одной ^Я-плоскости.

В первом параграфе главы вводятся понятия а)-изотопий ЛЯ-тернаров (определения 3.1.1— 3.1.10).

Затем в теоремах 3.1.1-3.1.10 установлено, что ЛЯ-тернар Н со (-изотопен (/ = 0,1,2,.,9) ЛЯ-тернару Н' тогда и только тогда, когда существует изоморфизм/: такой, что соответственно: ра Я(р0, рь р2) при изоморфизме / и репера ЛХРо>Р\»Р2)

Рис. 1

0)ЛРо) = Ро,Лрд = Р\ ,ЯРг) = Р'г;

Ро,т=

2)Лро) = р'о,Лр2)= Р2,ЛХ)=Х'; 4 )ЛУ)=У;

5)№=х'ъплг)~пг\

6)лх)\\х'и ЯУ)\\Г-,

7)ЛУ) II Г;

8) Щу)~Пу>\

9) Д^) =ХГ и /2д у) ф Пг.

Во втором параграфе решена анонсированная выше задача. Для ее решения введено понятие ^//-тернаров, связанных цепочкой &>изотопий (определение 3.2.1), и в теореме 3.2.1 доказано, что ^//-тернары Н и Н' координа-тизируют изоморфные ^//-плоскости в том и только в том случае, если их можно связать цепочкой не более чем из четырех <х>-изотопий вида со0 — со9.

Далее в этом параграфе вводятся понятия еще двух ¿и-изотопий: со10 и (х)п, после чего задачу, поставленную в начале этой главы, удается решить без применения цепочки аьизотопий. Ее решение приводится в теореме 3.2.4, согласно которой АН-тернары Н и Н' координатизируют изоморфные АН-плоскости (или одну ^//-плоскость) в том и только в том случае, если На>3 Нг или На>иНг.

Кроме указанных в данном обзоре основных результатов, в диссертации доказан и ряд других промежуточных и вспомогательных утверждений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 68 наименований. Нумерация утверждений и формул соответствует главе, параграфу и порядковому номеру, например (2.2.5) означает пятая формула второго параграфа второй главы.

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Шатохин, Николай Леонидович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты: структуризация ЛЯ-тернаров с помощью обобщенных тернарных колец Холла со смежностью ((хйТТ?) и частичных тернарных колец со смежностью (СНТЯ0); исследование ЛЯ-морфизмов ЛЯ-плоскостей методом тернарных колец; описание алгебраических связей, возникающих между ЛЯ-тернарами, координатизирующими изоморфные ЛЯ-плоскости; алгебраический метод тернарных колец для исследования свойств аффинных ельмслевовых плоскостей.

Данная работа выполнена в 2008 году и основана на значительно переработанных и дополненных новыми результатами статьях [17,21,24]. При получении и обосновании геометрических результатов диссертации в основном используется координатизация ^/-плоскостей ЛЯ-тернарами.

Диссертация носит теоретический характер в области геометрии инцидентностных структур с приложениями в общей алгебре. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Предложенный в диссертации подход к координатизации ЛЯ-плоскостей с помощью обобщенных тернарных колец СЯТК и СНТЕ0 может быть реализован и для ельмслевовых проективных плоскостей относительно РН- тернаров, введенных в [6], а а;-изотопии, рассмотренные в данной диссертации, могут быть подвергнуты дальнейшему исследованию, как в алгебраическом, так и в ^ геометрическом направлениях.

Результаты, приведенные в диссертации, неоднократно докладывались на научных семинарах СГПИ им. К. Маркса, руководимых профессором Б.И. Аргуновым; научном семинаре кафедры алгебры и геометрии СОГУ; международной конференции «Системы компьютерной математики и их

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шатохин, Николай Леонидович, 2008 год

1. Аргунов Б.И. Инцидентностные структуры и тернарные алгебры / Б.И.Аргунов, Е.П. Емельченков // Успехи математических наук. 1982.Т. 37. Вып. 2/224. С. 3 - 37.

2. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

3. Емельченков Е.П. Инцидентностные структуры и координатизирущие их алгебры / Е.П. Емельченков, Н.Л. Шатохин // Труды семинара по инцидент-ностным структурам Деп. в ВИНИТИ, № 5402-85 ДЕП. С. 21 26 (5/2 е.).

4. Емельченков Е.П. К понятию «середина» в аффинных плоскостях / Е.П. Емельченков, Н.Л. Шатохин / Смоленский гос. пед ун-т. Смоленск, 1998. Деп. в ВИНИТИ, № 2601-В98 ДЕП. С. 1 11 (11/5 е.).

5. Емельченков Е.П. О (77, /)-коллинеациях у!//-плоскостей // Современная геометрия. Л., 1978. С. 1 8.

6. Емельченков Е.П. PH-тернар ельмслевовой проективной плоскости // Смоленский мат. сб. Смоленск, 1973. Т. 4. С. 93 101.

7. Зотов A.K. Н изотопии тернарных колец и изоморфизмы проективных плоскостей / Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы. М., 1983. 64 с. Библиогр. 25 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.06.83, № 3281 - 83 Деп.) (514.161) 8 А682 ДЕП.

8. Никитин A.A. О гомоморфизмах свободно порожденных проективных плоскостей // Алгебра и логика. 1981. Т. 20. № 4. С. 419 426.

9. Никитин A.A. О свободно порожденных проективных плоскостях // Алгебра и логика. 1981. Т. 22. № 1. С. 61 78.

10. Скорняков Л.А. Гомоморфизмы проективных плоскостей и Т-гомомор-физмы тернаров // Мат. сб. 1957. Т. 43. С. 285 294.

11. Скорняков Л.А. Натуральные тела Веблен-Веддербарновой плоскости // Изв. АН СССР. 1949. Серия 13: Математика. С. 447 472.

12. Скорняков Л.А. Проективные плоскости // Успехи математических наук. 1951. №6. С. 112-154.

13. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

14. Хубежты И.А. Проективные плоскости и их обобщения / И.А. Хубежты, Е.П. Емельченков. Владикавказ (Дзауджикау): Изд-во СОГУ, 2003.

15. Цыганова В.К. Н-тернар ельмслевовой аффинной плоскости // Уч. зап. Смоленского пед. института, XVIII. Смоленск, 1967. С. 44 — 69.

16. Шатохин Н.Л. АН-морфизмы обобщенных тернарных колец Холла со смежностью // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: межвуз. сборник научных трудов / Смоленский гос. ун-т. Смоленск, 2007. Вып. 8. С. 100 — 104.

17. Шатохин Н.Л. Аффинные ельмслевовы плоскости и изотопии Н-тер-наров // Смоленск, 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 2190-78 ДЕП. С. 1 15.

18. Шатохин Н.Л. Гомоморфизмы Н-плоскостей и РН-тернары // Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений: сборник научных трудов/ Смоленский гос. пед. ин-т. Смоленск, 1981. С. 81-91.

19. Шатохин Н.Л. Гомоморфные образы битернарных колец со смежностью // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям: сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. ун-т. Смоленск, 1999. С. 118 125.

20. Шатохин Н.Л. Изотопии планарных псевдотернарных колец и псевдоплоскости // Геометрия инцидентностных структур и дифференциальных уравнений: сборник научных трудов / Смоленский гос. пед. ин-т. Смоленск, 1981. С. 75-81.

21. Шатохин Н.Л. Невырожденные гомоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей // Смоленск, 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 2189-78 ДЕП. С. 1-11.

22. Шатохин Н.Л. Обобщенные тернарные кольца Холла со смежностью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ростов на Дону, 2008. № 3. С. 24 31.

23. Шатохин Н.Л. Обобщенные тернарные кольца Холла с улучшенной смежностью // Владикавказский математический журнал. 2008. Т. 10. Вып. 2. С. 58-62.

24. Шатохин Н.Л. О координатизации аффинных ельмслевовых плоскостей //

25. Труды семинара по инцидентностным структурам Деп. в ВИНИТИ, № 540285 ДЕП. С. 42-53.

26. Шатохин Н.Л. О координатизации псевдоплоскостей // Материалы 3-й конф. мол. учен. Ун-та дружбы народов (мат. физ. химия). 1980. М., 1980. С. 18 21. Деп. в ВИНИТИ, № 2583-80.

27. Шатохин Н.Л. Построение АН-тернаров над кольцами с делителями нуля // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции. Смоленск: СмолГУ, 2008. Вып. 9. С. 192 — 199.

28. Шатохин Н.Л. Реперные изоморфизмы аффинных ельмслевовых плоскостей и а) изотопии АН-тернаров // Владикавказский математический журнал. 2007. Т. 9. Вып. 4. С. 49-55.

29. Шатохин Н.Л. Тернарные кольца Ельмслева // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы международной конференции. Смоленск: СмолГУ, 2008. Вып. 9. С. 186 192.

30. Ширшов А.И. О тернаре проективной плоскости // Алгебра и логика. 1981. Т. 24, № 3. С. 365 370.

31. Ширшов А.И. К теории проективных плоскостей / А.И. Ширшов, A.A. Никитин // Алгебра и логика. 1981. Т. 20, № 3. С. 330 356.

32. Andre J. Uber Homomorphismen projektiver Ebenen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1969. 34. S. 98 114.

33. Artmann B. Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaftsrelationen // Math. Z. 1969. 112. S. 163 180.

34. Artmann B. Hjelmslevsche Inzidenzgeometrie und Verwandte Gebiete-Literstur Verzeichnis / B. Artmann, G. Dorn, G. Torner // J. Geom. 1976. 7. № 2. S. 175-191.

35. Bacon P. Coordinatized Hjelmslev planes: Dissertation / University of Florida. Gainesville, 1974.

36. Bacon P. Hjelmslev planes with small invariants: Masters thesis / University of Florida. Gainesville, 1971.

37. DembowskiP. Finite Geometries // Ergebnisse Math. Berlin — Heidelberg

38. New. Vork : Springer, 1968.

39. Drake D.A. Affine Hjelmslev-Ebenen mit verfeinerten Nachbarschaften // Math. Z. 1975. 143. S. 15-26.

40. Drake D.A. Coordinatization of H-planes by H-modules // Math. Z. 1970. 115. S. 79- 103.

41. Drake D.A. Existence of parallelisms and projektive extensions for strongly n-uniformnear affineHjelmslevplanes// Geom. Dedic. 1974. 3. S. 191-214.

42. Drake D.A. On n-uniform Hjelmslev planes // Journal Combinat. Theory. 1970. 9. S. 267-288.

43. Drake D.A. Projective extensions of uniform affine Hjelmslev planes // Math. Z. 1968. 105. S. 196-207.

44. Graig Robert T. Extension of finite projective planes 1. Uniform Hjelmslev planes // Canad. J. Math. 1964. 16. № 2. S. 261 -266.

45. Hjelmslev J. Die naturliche Geometrie // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1923.2. S. 1-36.

46. Hjelmslev J. Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre // Danske Ved. Selsk., mat.-fys. Medd., 1929, 8:11; 1929, 10:1; 1942, 19:12; 1945, 22:6, 13; 1949, 25:10.

47. Hughes D.R. A class of non Desarguesian projective planes. Canad. J. Math. 1957. 9. № 3. S. 378-388.

48. Hughes D.R. Projective planes / D.R. Hughes, F.G. Piper. New York: Springer, 1973.

49. Klingenberg W. Desarguesshe Ebenen mit Nachbarelementen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1955. 20. S. 97 111.

50. Klingenberg W. Euklidische Ebenen mit Nachbarelementen // Math. Z. 1954. Vol. 61. S. 1-25.

51. Klingenberg W. Projektive geometrien mit Homomorphismus // Math. Ann. 1956. 132. S. 180-200.

52. Klingenberg W. Projektive und affine Ebenen mit Nachbarelemeten // Math. Z. 1954. Vol. 160. S. 384-406.

53. Knuth D.E. Finite semifields and projective planes // Journal of Algebra. 1965. 2. S. 182-217.

54. Lorimer J.W. Coordinate theorems for affine Hjelmslev Planes // Ann. Mat. purs, ed appl. 1975. 105. S. 171 190.

55. Lorimer J.W. Morphisms of affine Hjelmslev planes / J.W. Lorimer, N.D. Lane // Atti Acad. Naz. Lincei. Mem C. Sei. Fis. Math. Natur. Sez. I 56. 1974. S. 880-885.

56. Lüneburg H. Affine Hjelmslev-Ebenen mit transitiver Translationsgruppe // Math. Z. 1962. 79. S. 260 288.

57. Martin G.E. Parastrophic planar ternary rings // Journal of Algebra. 1968. 10. S. 37-46.

58. Martin G.E. Projective planes and isogeic ternary rings // Mathematiche. 1968. 23. №1. S. 185-196.

59. Martin G.E. Projective planes and isotopic ternaru rings // Amer. Math. Monthly. 1967. 74. S. 1185 1195.

60. Pickert G. Projective Ebenen. Berlin: Springer Verlag, 1955.

61. Row D. A homomorphism theorem for projective planes // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 4. № 2. S. 155 158.

62. Row D. Homomorphisms of sharply transitive projective planes // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 4. № 3. S. 361-366.

63. Salzmann H. Homomorphismen topologischer projektiver Ebenen // Arch. Math. 1959. 10. S. 51-55.

64. Sandler R. On homomorphisms and images of projective planes and pseudo planes // Ser. math. 1973. 29. № 3-4. S. 279 292.

65. Stevenson F.W. Projective planes. San Francisco, 1972.

66. Stevenson F.W. Weakly isotopic planar ternary rings // Canad. J. Math. 1975. 27. S. 32-36.

67. TörnerG. Eine Klassifizierung von Hjelmslev-Ebenen // Mitt. Math. Sem. Giessen. 1974.

68. TörnerG. Homomorphismen von affine Hjelmslev-Ebenen // Math. Z. 1975.141. S. 159- 167.

69. Törner G. Uber Homomorphismen projektiver Hjelmslev-Ebenen // Journal of Geometry. 1974. 5, S. 1 13.

70. Wesson J.R. The construction of projective planes from generalized ternary rings // Amer. Math. Monthly. 1966. 73. S. 36 40.