Геометрия симметрических тензорных полей на римановом многообразии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Родионова, Марина Владимировна

• Родионова, Марина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Родионова, Марина Владимировна

Введение

I Фундаментальные дифференциальные операторы на симметрических тензорных полях

§1 Обозначения и определения

§2 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на симметрических тензорных полях

§3 Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на дифференциальных формах.

II Риманова геометрия тензоров Киллинга

§1 Собственные функции тензоров Киллинга.

§2 Собственные функции тензоров Киллинга-Яно

§3 Тензоры Киллинга-Яно пониженного ранга.

§4 Моделирование тензора Киллинга с помощью проективной иммерсии.

III Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле

§1 Понятие обобщённо рекуррентного симметрического тензорного поля на римановом многообразии.

§2 Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле на римановом многообразии знакоопределённой секционной кривизны.

§3 Обобщённо рекуррентное и обобщённо конциркулярно рекуррентное римановы многообразия.

§4 Обобщённо рекуррентное тензорное поле в евклидовом пространстве.

§5 Одно применение теории обобщённо рекуррентных симметрических тензорных полей.

IV Геометрия гармонических симметрических тензоров g

§1 Гармонические симметрические тензоры на римановом многообразии.

§2 Теорема исчезновения для гармонических симметрических тензоров.

§3 Инфинитезимальные гармонические преобразования риманова многообразия.-.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия симметрических тензорных полей на римановом многообразии»

Диссертационная работа посвящена геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях. Теория симметрических тензорных полей развивалась параллельно с теорией дифференциальных форм, и ее результаты представлены в виде отдельных параграфов или разделов в целом ряде монографий (см. например, [3]; [4]; [23]; [34]; [40] и др.). Несмотря на это данная теория имеет более скромные позиции по сравнению с теорией дифференциальных форм, без изложения которой не обходится ни одна монография и даже учебник по современной дифференциальной геометрии. Достаточно напомнить такие классические разделы дифференциальной геометрии как когомологии де Рама, гармонические формы и теория Ходжа. Чего стоит один только метод внешних дифференциальных форм Э. Картана и его современная модификация, принадлежащая Г.Ф. Лаптеву, или техника С. Бохнера, которая первоначально возникла как аппарат по изучению геометрии дифференциальных форм в целом (см. [92]). Скажем больше: почти все известные в современной геометрии структуры на дифференцируемых многообразиях также связаны с дифференциальными формами (см., например, [11]; [14], стр. 139, 142, 345-349). Не говоря уже о физических приложениях, которые начинаются с исследований уравнений Максвелла, описываемых в терминах дифференциальных 2-форм, и заканчиваются современными результатами по построению операторов симметрий уравнений Дирака на основе киллинговых и конформно киллинговых дифференциальных форм (см., например, [45]).

Свидетельством некоторой завершенности теории служит также попытка проведения классификации дифференциальных форм на ри-мановом многообразии, которая опиралась на теорию дифференциальных операторов (см. [31]; [85]).

Если же обратиться к полям симметрических тензоров, то их теория не имеет подобного размаха. Наиболее изученными из них являются два: киллинговое и кодаццевое. Киллинговы симметрические тензоры, или, по другой терминологии, интегралы уравнений геодезических линий, известны еще с конца XIX века (см., например, [41], стр. 157-161). Локальная геометрия таких тензоров широко представлена как в зарубежной (см. [4], стр. 612-614; [52]; [68]; [88] и [90]), так и в отечественной литературе (см. [33]; [42] и [43]). Известность им принесли многочисленные приложения в геометрии и физике (см., там же и [17], стр. 340-342; [41], стр. 157-161). Кодаццевы тензоры по популярности не уступают киллинговым (см. [4], стр. 590-598; [23], стр. 169-170; [47]). Примером их служит вторая фундаментальная форма гиперповерхности в пространстве постоянной кривизны, которая подчиняется уравнениям Кодацци, что и породило такое определение тензоров. Известны также обобщения этих тензоров в виде геодезических тензоров (см. [33]), обобщённо кодаццевых тензоров (см. [23], стр. 176) и гармонических тензоров (см. [50]).

Из всех известных структур на псевдоримановых и римановых многообразиях, порождаемых симметрическими тензорными полями, можно назвать только римановы структуры почти произведения (см. [86]).

Справедливости ради следует упомянуть достаточно глубокие результаты по глобальной геометрии симметрических тензорных полей на римановых многообразиях (см., например, [31]; [34]; [46]). И тем ни менее всё сказанное выше позволяет заключить, что теория симметрических тензорных полей на псевдоримановых и римановых многообразиях находится ещё в стадии накопления фактов и далека от завершения; в частности, не было ещё попыток провести какую-либо классификацию подобного рода тензорных полей, что и позволяет говорить об актуальности темы диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состояла в изучении геометрии симметрических тензорных полей на римановом многообразии.

Основные задачи диссертационной работы:

1) на основе теории фундаментальных дифференциальных операторов, заданных на пространствах сечений расслоений симметрических тензорных полей, провести классификацию симметрических тензорных полей на многообразии с аффинной связностью и римановом многообразии;

2) описать геометрию и построить примеры тензорных полей, принадлежащих выделенным классам;

3) пополнить список известных в теории симметрических тензорных полей обобщённо рекуррентными и гармоническими тензорными полями, изучить их геометрию и указать возможные приложения.

Методика исследований опирается на классический тензорный анализ, теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя технику Бохнера.

Научная новизна работы. Все утверждения, доказанные в диссертации, являются новыми, обобщают и дополняют результаты, ставшие уже фактами теории: А. Грея, Мак Ленагана, Й.Б. Мара-лабхави, М. Ратхнамма.

Практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер; ее результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях тензорных полей на псевдорима-новых и римановых многообразиях, а также в тех разделах теоретической физики, где используется геометрия симметрических тензорных полей.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях и 6 тезисах (см. [98]-[112]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 1999 г.), XXII конференции молодых учёных механико-математического факультета МРУ (г. Москва, 2000 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2000 г.), IX международной конференции "Женщины-математики" (г. Чебоксары, 2001 г.), XIII Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики (г. Казань, 2001 г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2002 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры геометрии КГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) и кафедры геометрии ВГПУ (рук. проф. С.Е. Степанов), на семинаре по дифференциальным уравнениям в ВГПУ (рук. проф. В.В. Жиков).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, содержащего 112 наименований и занимающего 13 страниц печатного текста. Общий объем диссертационной работы 117 страниц печатного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Родионова, Марина Владимировна, 2005 год

1. Алексеевский, В.Д. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1989. - Т. 28. - С. 5-289.

2. Аминова, А.В. Группы преобразований многообразий / А.В. Ами-нова // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геометрии. (ВИНИТИ) 1990. - Т. 22. - С. 97-165.

3. Бессе, А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 / А. Бессе. М.: Мир, 1985.

4. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна: в 2 т. / А. Бессе. М.: Мир, 1990.

5. Бургиньон, Ж.-П. Формулы Вейценбёка в размерности 4 / Четырёхмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 / Ж.-П. Бургиньон. М.: Мир, 1985. - С. 260-279.

6. Вейль, Г. Классические группы, их инварианты и представления / Г. Вейль. М.: ИЛ, 1947.

7. Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны / Дж. Вольф. М.: Наука, 1982.

8. Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол и др. -М.: Мир, 1971.

9. Давидов, Й. Твисторные пространства и гармонические отображения / Й. Давидов, А.Г. Сергеев // Успехи матем. наук. -1993. Т. 48, №3. - С. 3-96.

10. Зуланке, Р. Дифференциальная геометрия и расслоения / Р. Зу-ланке, П. Винтген. М.: Мир, 1975.

11. Кириченко, В.Ф. Методы обобщённой эрмитовой геометрии в теории почти контактных структур / В.Ф. Кириченко // Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). 1986. - Т. 18. - С. 25-72.

12. Кобояси, Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобояси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - Т.1.

13. Кобояси, Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. / Ш. Кобояси, К. Номидзу. М.: Наука, 1981. - Т.2.

14. Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси. М.: Наука, 1986.

15. Коларж, И. Естественные расслоения и операторы / И. Коларж // Итоги науки и техники. Сер. Пробл. геометрии (ВИНИТИ) -1990. №23. - С. 67-98.

16. Крамер, Д. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер и др. М.: Энергоиздат, 1982.

17. Лаптев, Г.Ф. Распределение т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности / Г.Ф. Лаптев,Н.М. Остиану // I. Тр. Геометр, семинара. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

18. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. -М.:Наука, 1970.

19. Мантуров, О.В. Элементы тензорного исчисления. / О.В. Ман-туров. М.:Просвещение, 1991.

20. Микеш, Й. Геодезические отображения аффинносвязаных и ри-мановых пространств / Й. Микеш // Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2002. - Т. 11. - С. 121-162.

21. Нарасимхан, Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан. М.: Мир, 1971.

22. Норден, А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Нор-ден. М.: Наука, 1976.

23. Пале, Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе / Р. Пале. М.: Мир, 1970.

24. Синюков, Н.С. Геодезические отображения римановых пространств / Н.С. Синюков. М.: Наука, 1979.

25. Степанов, С.Е. Поля симметрических тензоров на компактном римановом многообразии / С.Е. Степанов // Математические заметки. 1992. - Т. 52, Ж. - С. 85-88.

26. Степанов, С.Е. О применении одной теоремы П.А. Широкова в технике Бохнера / С.Е. Степанов // Известия вузов. Математика. 1996. - №9. - С. 53-59.

27. Степанов, С.Е. О групповом подходе к изучению уравнений Эйнштейна и Максвелла / С.Е. Степанов // Теоретическая и математическая физика. 1997. - Т. 111, №1. - С. 32-43.

28. Степанов, С.Е. Дополнение к одной работе Ж.-П. Бургиньона / С.Е. Степанов, В.В. Родионов // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. 1997. - Вып. 28. - С. 68-72.

29. Степанов, С.Е. Техника Бохнера для т-мерных компактных многообразий с SL(m, IR)-структурой / С.Е. Степанов // Алгебра и анализ. 1998. - Т. 10, №4. - С. 703-714.

30. Степанов, С.Е. Теоремы исчезновения в аффинной, римановой и лоренцевой геометриях / С.Е. Степанов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. - Т. И, №1. - С. 35-84.

31. Шапиро, Я.Л. О некоторых полях геодезических конусов / Я Л. Шапиро // Доклады АНСССР. 1943. - Т. 39, №1. - С. 6-10.

32. Шапиро, Я.Л. Об одном классе римановых пространств / Я.Л. Шапиро // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ, 1963. - Вып. XII. - С. 203-212.

33. Шарафутдинов, В.А. Интегральная геометрия тензорных полей / В.А. Шарафутдинов. Новосибирск: ВО Наука, 1993.

34. Шилов, Г.Е. Математический анализ: функции нескольких вещественных переменных / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1972.

35. Шинкунас, Ю.Н. О распределении т-мерных плоскостей в п-мерном римановом пространстве / Ю.Н. Шинкунас j j Тр. Геометр.- семинара. Ин-т науч. информ. АНСССР. 1974. - Т. 5. -С. 123-134.

36. Широков, П.А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Riemann-овых пространствах / П.А. Широков. -Казань: Изв. физ.-мат. о-ва, 1925. Т. 25. - С. 86-114.

37. Широков, П.А. Аффинная дифференциальная геометрия / П.А. Широков, А.П. Широков. М.: Физматгиз, 1959.

38. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах / П.А. Широков. // Избранные работы по геометрии. Казань: Из-во Казанского университета, 1966. - С. 256-280.

39. Щербаков, Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии / Р.Н. Щербаков. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1960.

40. Эйзенхрт, Л.П. Риманова геометрия / Л.П. Эйзенхрт. М.: Ин. лит., 1948.

41. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. М.: Ин. лит., 1957.

42. Яфаров, Ш.Я. Первые дробные интегралы уравнений геодезических линий пространств аффинной связности / Ш.Я. Яфаров // Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). 1984. - Т. 16. - С. 127-154.

43. Bagrov, V.G. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces / V.G. Bagrov, A.B. Shapovalov, A.A. Evseevich // Classic Quantum Gravity. 1990. - Vol. 7, J\M. - P. 517-531.

44. Benn, I.M. First-order Dirac symmetry operators / I.M. Benn, J.M. Kress-// Class. Quantum Grav. 2004. - Vol. 21. - P. 1-5.

45. Berger, M. Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold / M. Berger, D. Ebin //J. Diff. Geom. 1969. - Vol. 3. -P. 379-392.

46. Bourguignon, J.-P. Codazzi tensor fields and curvature operators / J.-P. Bourguignon // Global differential geometry and global analysis. Lect. Notes Math. 1981. - Vol. 838. - P. 249-250.

47. Branson, T. Stein-Weiss operators and ellipticity / T. Branson // Journal of Functional Analysis. 1997. - №151. - P. 334-383.

48. Brito, F. Totally geodesic foliations with integrable normal bundles / F. Brito, P. Walczak // Bol. Sos. Bras. Mat. 1986. - Vol. 17, №1. - P. 41-46.

49. Chen, B.-Y. Harmonic metric, harmonic tensors and Gauss maps / B.-Y. Chen, T. Nagano // Journal Math. Soc. Jap. 1984. - Vol. 36, №. - P. 295-313.

50. Chern, S.S. The geometry of Q-structures / S.S. Chern // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - Vol. 72. - P. 167-219.

51. Colinson, C.D. The existence of Killing tensors in emply space-times / C.D. Colinson // Tensor, N.S. 1974. - Vol. 28. - P. 173-176.

52. Derdzinski, A. Some remarks on the local structure of Codazzi tensors / A. Derdzinski // Lect. Notes Math. 1981. - №838. - P. 251255.54| Eells, J. A report on harmonic maps / J. Eells, L. Lemaire // Bull. London Math. Soc. 1978. - Vol. 10. - C. 1-68.

53. Eells, J. Another report on harmonic maps / J. Eells, L. Lemaire // Bull. London Math. Soc. 1988. - Vol. 20. - C. 385-584.

54. Garcia-Rio, E., Harmonic endomorphism fields / E. Garcia-Rio, L. Vanhecke, E. Vazquez-Abal // Illinois Journal of Mathematics. -1997. Vol. 41, №1. - P. 23-30.

55. Hangan, T. On totally geodesic distributions of planes / T. Hangan // Top. Differ. Geom.: Colloq., Debrecen. 1988. - Vol. 1 - P. 519530.

56. Har' El, Zvi. Projective mappings and distortion theorems / Zvi. Har' El // J. Differential Geometry. 1980. - V. 15 - P. 97-106.

57. Kashiwada, T. On conformal Killing tensor / T. Kashiwada // Natural Science Report, Ochanoraizu University. 1968. - Vol. 19, №2.- P. 67-74.

58. Katzin, G.H. Quadratic first integrals of the geodesies in space of constant curvature / G.H. Katzin, J. Levine // Tesor. 1965. -Vol. 16, №2. - P. 97-104.

59. Katzin, G.H. Note on the number of linearly independent mth-order first integrals in space of constant curvature / G.H. Katzin, J. Levine // Tensor. 1968. - Vol. 19, №. - P. 42-44.

60. Kolar, I. Natural operators in differential geometry / I. Kolar, P.W. Michor, J. Slowak // Springer-Verlag, Berlin-New York, 1993.

61. Maralabhavi, Y.B. Generalized recurrent and concircular recurrent manifolds / Y.B. Maralabhavi, M. Rathnamma // Indian J. Pure appl. Math. 1999. - Vol. 30, №11. - P. 1167-1171.

62. McLenaghan, R.G. Integrales premieres des equations de Dirac en espace courbe / R.G. McLenaghan // Bull. Soc. Math. Belg. 1979.- Vol. 31, Ser. A. P. 65-88.

63. Mike, J. Global geodesic mappings and their generalizations for compact Riemannian space / J. Mike // Proc. Conf. on Diff. Geom. and its Appl. (Opava, August 24 28,1992). - Opava, 1992. - P. 143-149.

64. Nijenhuis, A. A note on first integrals of geodesies / A. Nijenhuis // Proc. Kon. Ned. Akad. Van. Wetens. Amsterdam, 1967. - Vol. 52, Ser. A. - P. 141-145.

65. Nomizu, К. What is affine differential geometry? / K. Nomizu // Different. Geom. Meeting Univ. Miinster. Tagunsbericht, 1982. -P. 42-43.

66. Nomizu, K. On completeness in affine differential geometry / K. Nomizu // Geometriae dedicata. 1986. - Vol. 20, №1. - P. 43-49.

67. Nomizu, K. Affine differential geometry / K. Nomizu, T. Sasaki. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

68. Nore, T. Second fundamental form of a map / T. Nore // Ann. mat. pure ed appl. 1987. - №146 - P. 281-310.

69. Palais, R.S. Seminar on the Atiah-Singer index theorem / R.S. Palais. Princeton University Press, Princeton-New Jersey, 1965.

70. Papacostas, T. Space-time admitting Penrose-Floyd tensor / T. Pa-pacostas // Gen. Relat. And Gravit. 1985. - Vol. 17, №2. - P. 119166.

71. Patterson, E.M. Some theorems on Ricci-recurrent spaces / E.M. Patterson // J. London Math. Soc. 1969. - Vol. 27 - P. 287295.

72. Reinhart, B.L. Differential geometry of foliations / B.L. Reinhart. -Berlin-New York: Springer Verlag, 1983.

73. G. de Rham Varietes differentiables. Formes, courants, formes har-moniques / G. de Rham. Paris, Hermann, 1995.

74. Roter, W. Some indefinite metrics and covariant derivatives of their curvature tensors / W. Roter // Colloquium Math. 1991. - Vol. LXII. - P. 283-287.

75. Schouten, J.A. Ricci-calculus / J.A. Schouten // Grundlehren math, Wiss>. Bd. 10, springer-Verlag, Berlin etc. 1954.

76. Stepanov, S.E. An integral formula for a Rimannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor. 1994. - Vol. 55, №3. - P. 209214.

77. Stepanov, S.E. A class of closed forms and special Maxwell equations / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. 1997. - vol. 58 - P. 245-255.

78. Stepa:nov, S.E. New theorem of duality and its applications / S.E. Stepanov // Recent Problems in Field Theory, Kazan State University, Kazan. 2000. - P. 373-376.

79. Stepanov, S.E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field / S.E. Stepanov // Journal of Geometry and Physics. 2000. -Vol. 33, №3-4. - P. 191-209.

80. Stepanov, S.E. Riemannian almost product manifolds and submersions / S.E. Stepanov // Journal of Mathematical Sciences. 2000. - Vol. 99, №. - P. 1788-1831.

81. Stepanov, S.E. The classification of harmonic diffeomorphisms / S.E. Stepanov // Abstracts of the 5th International Conf. on Geom. and Appl., August 24-29, 2001, Varna. Sofia: Union of Bulgarian Mathematicians, 2001. - P. 55.

82. Sumitomo, T. Killing tensor fields on the standard sphere and spectra of SO(n + 1 )/SO(n 1) x SO(2) and 0(n + 1 )/0(n - 1) x 0(2) / T. Sumitomo, K. Tandai // Osaka J. Math. - 1983. - Vol. 20. -P. 51-78.

83. Tachibana, Sh. On Killing tensors in a Riemannian space / Sh. Tachibana // Tohoku Math. Journ. 1968. - Vol. 20. - P. 257-264.

84. Thompson, G. Killing tensor in spaces of constant curvature / G. Thompson j I Journal of Mathematical Physics. 1986. - Vol. 27, №11.P. 2693-2699.

85. Wu, H. The Bochner technique / H. Wu // Proc. Beijing Symp. Differ. Geom. and Differ. Equat. (Aug. 18 Sept. 21, 1980). - New York: Science Press and Gordon - Breach, 1982. - Vol. 2. - P. 9291071.

86. Wu, H. The Bochner technique in differential geomtry / H. Wu // Mathematical Reports. London, Paris, New York: Hardwood Academic Publishers, 1988. - Vol. 3, Part 2.

87. Yano, K. On torse-forming directions in Riemannian space / K. Yano // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944. - Vol. 20. - P. 340345.

88. Yano, K. The theory of Lie derivatives and its applications / K. Yano. Amsterdam: North Holland, 1957.

89. Yano, K. Differential geometry on complex and almost complex spaces / K. Yano. Oxford: Pergamon Press, 1965.

90. Yano, K. Integral formulas in Riemannian geometry / K. Yano. -New York: Marcel Dekker, 1970.

91. Yano,' K. Harmonic and relatively affine mappings / K. Yano, Sh. Ishihara // Journ. Differential Geometry. 1975. - Vol. 10. -P. 501-509.Публикации автора по теме диссертации

92. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Об одном свойстве ри-мановых многообразий знакоопределённой секционной кривизны /М.В. Смольникова // Новейшие проблемы теории поля. 19992000. 2000. - С. 365-367. (0,19 пл.).

93. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Собственное распределение геодезического тензорного поля /М.В. Смольникова // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. 2000. - Вып. 31.- С. 78-81 (0,25 п.л.).

94. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Собственные функции тензора Киллинга-Яно /М.В. Смольникова // XIII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физике. Тезисы докладов. 2001.- С. 116-117 (0,06 п.л.).

95. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Обобщённо рекуррентное симметрическое тензорное поле /М.В. Смольникова // Известия вузов. Математика. 2002. - №5. - С. 48-51 (0,88 пл.).

96. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Инфинитезималъные гармонические преобразования /М.В. Смольникова, С.Е. Степанов, И.Г. Шандра // Известия вузов. Математика. 2004. - №5.- С. 69-75 (0,44 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).

97. Смольникова, М.В. (Родионова М.В.) Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга /М.В. Смольникова, С.Е. Степанов // Известия вузов. Математика. 2004. - №11.- С. 82-86 (0,31 п.л., вклад соискателя составляет 70% работы).