Геометрия одномерных семейств алгебраических кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Нгуен Кхак Вьет

• Нгуен Кхак Вьет
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нгуен Кхак Вьет

Содержание

Содержание

Введение

Глава I. О семействах кривых над Р1 с малым числом

особых слоев

§1. Формула Огга-Шафаревича-Гротендика и ее следствия

§2. Общая оценка Аракелова

§3. О семействах кривых над Р1 с s < 3

§4. Нижняя оценка числа s (доказательство гипотезы Шпиро)

§5. Усиленный вариант неравенства канонического класса

Глава II. Классификация эллиптических расслоений с малым

числом особых слоев над базой рода 0 и 1

§1. Предварительные сведения из теории решеток Морделла-Вейля

§2. Экстремальные эллиптические расслоения и сингулярные

поверхности типа К3

§3. Полустабильный случай

§4. Общий случай

§5. О конфигурациях особых слоев на рациональных

эллиптических поверхностях

Глава III. Равномерное ограничение кручения Морделла-Вейля

для эллиптических расслоений

§1. Некоторые предварительные результаты

§2. Теорема о башне морфизмов

§3. О (¿-гональности модулярных кривых X0(N)

§4. Равномерная оценка для подгрупп кручения Морделла-Вейля

Глава IV. Об одном классе расслоений высшего рода над Р1

§1. Гиперэллиптические расслоения и функциональный

аналог гипотезы Шпиро о дискриминанте

§2. Теорема о линейчатой структуре

§3. Оценки числа s0. Полустабильный случай

§4. Примеры

§5. Некоторые полустабильные гиперэллиптические вырождения ____

Глава V. О верхних оценках виртуального ранга Морделла-Вейля

§1. Мотивировка и основные результаты

§2. Оценки виртуального ранга г

§3. Пучки с х(Ох) = 1

§4. Пучки высшего рода с с\{Х) = -4{g - 1) < 0

Глава VI. Решетки Морделла-Вейля для рациональных

расслоений высшего рода

§1. Решетки Морделла-Вейля в случае высшего рода

§2. Теорема о структурной решетке Г45+4

§3. Подрешетки ранга г > Ад + 1. Второй случай

§4. Квазивеса для подрешеток ранга г > Ад + 1. Второй случай

§5. Вложения Ац,А-у ® А^ и Af3 в Г4э+4. Первый случай

§6. Примеры с е — g + \

Приложение 1: Подрешетки ранга г > Ад + 1- Второй случай

Приложение 2: Подрешетки из первого случая

Глава VII. О решетках Морделла-Вейля для негиперэллиптических

расслоений на поверхностях с = g = 0

§1. Мотивировка и формулировка основных результатов

§2. Верхняя оценка виртуального ранга Морделла-Вейля

§3. Конструкция расслоений с максимальным рангом

§4. Единственность решеток Морделла-Вейля

негиперэллиптического типа

Приложение 3: Подрешетки негиперэллиптического типа

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия одномерных семейств алгебраических кривых»

Введение

1. Пусть к некоторое алгебраически замкнутое поле констант характеристики р > 0. В диссертации изучается геометрия одномерных семейств алгебраических кривых рода g > 1 над к. Изучение этого функционального случая мотивируется тесной связью с так называемым арифметическим случаем (по поводу это"* связи, см., например, прекрасный обзор [8]). Наше внимание будет концентрироваться на таких аспектах теории, как проблема оценивания числа особых слоев s и структура вырождения для семейств, имеющих малое значение 5 над базой рода 0 и 1; структура (конечно порожденной) группы Морделла-Вейля, включающая в себя свободную часть с естественной структурой решетки (Морделла-Вейля) и конечную часть кручения;____

Случай петрипинлыплх ее.мейггп кривых и ад I'1 особо интересен ввиду функционального аналога второй гипотезы Шафаревича. При дополнительном "ручном" условии (р = 0, или р > 2ff + 1) известна оценка s > 2, а если семейство неизотривиально, то s > 3. Для простоты мы будем предполагать, что изучаемые семейства не имеют кратных слоев (правда при к = С это предположение можно опускать). При изучении семейств кривых над Р1 с s < 3 весьма полезна формула Огга-Шафаревича-Гротендика для семейств кривых f:X —> С, которая впоследствии окажется эквивалентной глубокой теореме Рэйно о точной последовательности

0 J(C) -»■ Pic Var(X) —> Б —s- 0 (*)

В частности, мы доказываем некоторые теоремы об односвязности в случае над комплексными числами с .s <. 3. При к ~ С будет ус танов л иваться неполустабильный вариант оценки типа Аракелова для степени пучка f*cox/c (более точная оценка в полустабильном случае может быть получена с помощью вариации структур Ходжа), который также полезен при изучении этой проблемы. Следует отметить, что эта оценка, комбинированная с результатами Мацусаки о гиперэллиптических семействах ([76]) дает обобщение функционального аналога гипотезы Шпиро о дискриминанте для гипереллиптичес-ких кривых над полями функций. Изучение структуры в случае s = 3 представляет собой весьма трудную задачу. Сравнительно удовлетворительный

результат пока получен для эллиптического случая (д = 1), а также некоторые общие теоремы об односвязности в случае к = С.

В полустабильном случае напомним следующую проблему, поставленную Л. Шпиро ([136]). Пусть /:Х —► Р1 - неизотривиальное полустабильное семейство кривых рода д > 1 над алгебраически замкнутым полем к. Тогда какова нижняя грань Для числа 5 особых слоев такого семейства? (ответ в изотривиальном случае прост: каждое такое семейство должно быть гладким, ввиду единственности полустабильной модели). Известные примеры имеют 5 > 4, а также существуют примеры (д = 1) с « = 4. Это предлагает оценку 5 о = 4. Мы в дальнейшем будем называть это предположение гипотезой Шпиро (ср. [136]). В нулевой характеристике оно известно как теорема Бовиля ([33]). Ключевой идеей в доказательстве этой теоремы является тот факт, что любая абелева схема над Р1 в нулевой характеристике должна быть постоянной (другое доказательство, принадлежащее М.-Х. Саито, использует вариацию структур Ходжа, а также специфику нулевой характеристики). Одной из целей в диссертации является доказательство Гипотезы Шпиро. Остается на сей день недоказанной весьма трудная гипотеза о том, что если род общего слоя д > 1, то 5 > 5. В нулевой характеристике это известно как гипотеза Бовиля ([33]), доказательство которой также будет дано в диссертации, как непосредственное следствие усиленного варианта неравенства канонического класса.

Как было отмечено выше, сравнительно удовлетворительная классификация получена пока для эллиптических семейств над Р1 с з < 3, и над эллиптической базой с з = 1 (соответственно для полустабильных эллиптических семейств над Р1 с 5 = 4, и отчасти над эллиптической базой с з = 2). В нулевой характеристике такая проблема была решена в [123], [33] (ср. [83]). Наша цель - получить подобную классификацию в положительной характеристике, по крайней мере, ф 2,3. Классификация в характеристиках 2 и 3 достаточно трудна ввиду "диких" ветвлений. В этих характеристиках с помощью методов здесь полный ответ пока получен для экстремальных эллипти- ческих пучков с ненулевым классом Кодаиры-Спенсера.

Вопрос, связанный со структурой вырождений эллиптических семейств на рациональных поверхностях, весьма интересен. Полная классификация

конфигураций особых слоев на рациональных эллиптических поверхностях пока отсутствует. Следует отметить, что с точки зрения теории решеток Морделла-Вейля вопрос несколько проще и решается следующим образом. Во-первых легко показывается, что структурная решетка для рациональных семейств является решеткой корней Е%. Таким образом, задача определения решеток Морделла-Вейля сводится к изудению подрешеток корней в Е8. Тем самым для этой цели можно использовать классическую классификацию Дынк-ина. Это было сделано совсем недавно в [112]. Отметим также, что в нулевой характеристике полная классификация конфигураций слоев Кодаиры была получена в недавней работе [115] (ср. [82]). Мы продемонстрируем несколькими замечаниями, показывающими, что наши методы на самом деле дают также дополнительный подход к проблеме в этой ситуации нулевой характеристики.

Для эллиптической кривой Е с точкой над числовым полем К степени й ([К : 0>] = ¿) группа Морделла-Вейля Е(К) конечно порождена (теорема Морделла-Вейля) и мы имеем разложение ее на свободную часть ранга г и конечную часть кручения типа (п,т). Так называемая сильная Гипотеза о Равномерном Ограничении (сокращенная как сГРО) утверждает, что имеется некоторая константа В(в), зависящая только от й такая, что порядок группы кручения Е(К)и>Гя меньше, чем В(<1) (см. [44], [61], [79] для полного отчета этого случая). Нашим следующим объектом изучения является функциональный аналог сГРО. А именно пусть С гладкая проективная кривая, определенная над некоторым полем констант к характеристики р ф 2,3 и пусть К = к(С) поле функций на С. Пусть Е непостоянная эллиптическая кривая, определенная над К, т.е. ^'-инвариант непостоянен, или эквивалентно К/к-след тривиален. Обозначим через

Е(К)'гогз: = {х е Е(К)10гз '■ Р не делит порядок элемента х}

не-р-часть в подгруппе кручения группы Морделла-Вейля. По аналогии с числовым случаем вместо степени й вполне естественно взять ¿-гональность базисной кривой С (предложение М.-Х. Саито и X. Токунагы). Напомним, что кривая С является (¿-тональной (над алгебаическим замыканием к), если существует конечный морфизм /: X —» Р|- степени й. Например, С является 1-гональной, если С изоморфна Р1, - 2-гональной, если либо д(С) < 1, или

С является гиперэллиптической кривой рода д(С) > 2. Если С ¿Z-гональна, то имеется расширение полей к{Р|-) = k(t) <—> К степени d (Отметим, что такое расширение полей может быть неединственно, даже если мы предполагаем минимальность для d в определении á-гональности).

Теперь мы обозначаем через Фfun(d) множество всех классов изоморфизма конечных абелевых групп, появляющихся, как полные не-р-подгруппы кручения в группах Морделла-Вейля для непостоянных эллиптических кривых над функциональным полем К с расширением ¿(P1) <—> К степени < d. В этом контексте мы устанавливаем следующий результат, как функциональный аналог сГРО: множество Фfun(d) конечно. При доказательстве мы сводим проблему к изучению d-гональности модулярных кривых X0(N), соответствующих модулярным подгруппам Гекке, т.е. состоящим из таких матриц G SL(2, Z), что N делит с.

С введением теории решеток Морделла-Вейля для семейств высшего рода ([131], [133]) немного известно о таких решетках, а также о группах кручения. В диссертации впервые такая попытка делается в цели глубже вникнуть в эти круги. Наше наблюдение состоит в том, что из предыдущего изучения, связанного с усиленным вариантом неравенства канонического класса, выделяется интересный класс расслоений высшего рода /: X —> Р1 с с\{Х) = —4(</ — 1). Этот класс является наиболее естественным обобщением рациональ- ных эллиптичесих расслоений. Для него мы доказываем теорему о линейчатой структуре, на которой основаны все последующие исследования, связанные с этим классом расслоений. Изучение ведется по трем направлениям:

1) Для таких полустабильных расслоений над С получены оценки для следующего числа

sQ=*S0, S0: = {teS: g{Xt) = g0},

где S - множество вырожденных точек, д0 - размерность неподвижной части якобиана Pic°(X/P1), g(Xt) - род нормализации слоя Xt над t.

2) Связь с решетками Морделла-Вейля: для таких рациональных расслоений с некоторым дополнительным условием получены обобщения результа-

а Ъ с d

тов в эллиптическом случае, связанных с решеткой корней Es и ее подреш-етками корней.

3) Получены численные оценки числа 5 и виртуального ранга Морделла-Вейля г (и также для класса с х{®х) = 1), а в случае к = С, то и структура решетки Нерона-Севери в случае максимальной возможности.

В связи с решетками Морделла-Вейля в случае вышего рода следует отметить новое явление: в диссертации получены структурные теоремы об унимодулярных решетках негиперэллиптического типа.

Все эти направления и круги идей изложены с подробностями в диссертации. Диссертация состоит из семи глав, цитированной литературы и трех приложений, в которых даны описания некоторых диаграмм Дынкина.

2. Глава I содежит 5 параграфов. Первый параграф посвящен изложению формулы Огга-Шафаревича-Гротендика и ее следствий для семейств кривых. Пусть f'. X —> С - относительно минимальное расслоение на кривые рода д с одномерной базой С, над алгебраически замкнутым полем к характеристики р. В случае р > 0 мы будем предполагать, что / не имеет кратных слоев. Напомним, что р2, как обычно, обозначает число Лефщеца, т.е. р2 = Ь2 — р, где Ь'2 и р обозначают 2-е число Бетти и число Пикара поверхности X; г -виртуальный ранг Морделла-Вейля, т.е. ранг существенной (по Вейлю) части группы Нерона-Севери NS(X); д0 - размерность неподвижной части В якобиана общего слоя, как абелева многообразия, определенного над К = к(С), S С С - множество точек вырождения; s - его мощность; si - число полустабильных особых слоев. Напомним определение неподвижной части (или К/к-слер) абелева многообразия А над К. Это пара (В,т), состоящая из абелева многообразия В над к и гомоморфизма т-.В—>А абелевых многообразий над К, обладающего свойством универсальности: для любой другой пары (В\т') как выше существует единственный гомоморфизм (р: В' —> В над /г. такой, что г' = т о <р. Известно, что К/к-след существует (Чао) и г есть радикальное отображение (оно инъективно на точках, но может иметь ин-финитезимальное ядро в случае характеристики р > 0).

Формула Огга-Шафаревича-Гротендика (Лемма I. 1.1.1). Имеет место

следующая формула

г + р2 = 2д(2д(С) - 2) + 4дй + + ]Г at(X) (1)

tes tes

где £t(X) соответствует так называемому кондуктору ручного ветвления и «¿(Х) обозначает кондуктор дикого ветвления (или кондуктор Суона).

Можно показать, на самом деле, что формула (1) эквивалентна теореме Рэйно о точной последовательности (*). На практике эта формула используется, когда можно вычислить члены et(X) + at(X). В частности, если р = 0 или р > 2д + 1, или слой Xt над t полустабилен, то at(X) = 0. Более того, для "ручного" терма £t(X) имеет место следующее простое выражение

et(X) = et(X)-nt + l (2)

где et(X): = x{Xt) + 2g — 2 есть локальная эйлерова характеристика (ручной кондуктор) и nt - число неприводимых компонент в слое Xt. Отметим, что согласно известной оценке в теории Огга-Шафаревича для семейств абелевых многообразий (см. [30], [109]) "ручной" терм лежит между 0 и 2д, где g обозначает размерность общего слоя семейства. Ввиду (2) стандартные вычисления эйлеровых характеристик, использующие локальную теорию пересечений (ср. [1, IV, §4]) показывают, что справедлива следующая оценка для "ручного" терма £t(X), явно выражающаяся в геометрических инвариантах вырожденного слоя Xt.

g - g(Xt) < £t(X) < 2(д - g(Xt)) (3)

где g(Xt) - род нормализации Xt. Более того, за исключением тривиального случая, когда Xt кратен некоторой эллиптической кривой, равенство слева имеет место если и только если слой Xt полустабилен; а знак равенства справа означает, что (Xt)red - дивизоры с простыми пересечениями с числом пересечений = пг-1и неприводимые компоненты Xt имеют, самое большее, особенности каспидального типа.

Во втором параграфе при к = С доказывается неполустабильный вариант оценки типа Аракелова для степени d пучка f*u)X/c-

Теорема 1 (Теорема I. 2.1.5 - общая оценка Аракелова). Пусть/:X —> С - относительно минимальное семейство кривых над С. При обозначениях

выше имеем следующую оценку для степени й

<1<{д- доМС) - 1 + * - у) + <М(С) (4)

В полустабильном случае ввиду (3) мы имеем следующую оценку

¿<(д-доШС)-1 + 1) + д0д(С) (5)

На самом деле, если / неизотривиально, то используя Вариацию Структур Ходжа можно убрать член дод(С) из правой части (5).

В третьем параграфе, как применение (1) —(3), опираясь на теорию Огга-Шафаревича и критерий Рэйно о полустабильной редукции, мы получаем, что, что любое нетривиальное семейство /: X —> Р1 кривых рода д > 1 в характеристике = 0, или > 2д + 1, имеет, по крайней мере, два особых слоя, а любое неизотривиальное семейство над Р1 имеет 5 > 3 (ср. Предложение I .3.1.1).

Гипотеза 2 (Гипотеза I .3.1.3). В предположениях выше поверхности X с 5 = 2 унирациональны

Эта гипотеза верна в эллиптическом случае (ср. следующую главу). В этом случае поверхность X даже рациональна. В оставшейся части параграфа мы рассматриваем в основном случай к = С. Из (1) сразу вытекает, что 0<р9<§и0<г< 2 д. Вместе с рассмотрением (4) выделяются три экстремальных случая:

1) 5=2;

2) 5=3, 51 = 2;

3) л = 3, г = 2д.

где равенство достигается в (4). Другой экстремальный случай (з = 3, рд = д) также представляет некоторый интерес. Любая такая поверхность будет либо типа К3 (при д — 1), либо "общей" эллиптической (т.е. имеющей Ко-даировскую размерность 1), или минимальной поверхностью общего типа. Автору неизвестны примеры двух последних типов.

Теорема 3 (Теорема I .3.2.1, к = С). Пусть / : X —» Р1 - нетривиальное семейство кривых рода д с 5 = 2. Тогда поверхность X односвязна с рд = 0.

Здесь под тривиальностью эллиптического семейства мы подразумеваем тривиальность ассоцированного якобиева семейства. На самом деле, нетривиальный момент в доказательстве заключается в том, что мы должны исключить из рассмотрения случай эллиптической поверхности над Р1 с двумя кратными слоями (ср. пример 5 §10 из [10]). Простыми примерами с з = 2 служат пучки кривых Ферма, заданный аффинным уравнением хп + уп = t, I £ Р1 (р \ п > 3). Эта серия еще интересна тем, что в случае к = С она дает примеры расслоений с наклоном, достигающим нижней грани в усиленных неравенствах Конно ([70]) для локально нетривиальных расслоений с индексом Клиффорда > 1 (п = 4,5), - с индексом Клиффорда > 2(п = 6).

Теорема 4 (Теорема I .3.2.3, к = С). Пусть /:Х —> Р1 - некоторое семейство кривых рода д с 5 = 3, зх =2. Тогда поверхность X односвязна с

Рд = 0.

Если д = 1, то известно, что таких семейств всего 6: все они рациональны. Ситуация в Теореме 4 что-то напоминает гипотезу Бовиля (ср. [33], [100]).

Гипотеза 5 (Гипотеза I .3.2.4). Таких семейств, как в Теореме 4, с д > 1 вообще не существует.

Мы анализуем некоторые примеры с з = 3, которые также интересны тем, что это (гиперэллиптические) расслоения с наклоном 4—4/д, наименьшим среди локально нетривиальных расслоений согласно неравенству Корнальбы-Харриса-Сиао-Мориуаки и других.

В оставшейся части мы изучаем полустабильные семейства /:Х —> С. В частности, в §4 мы доказываем гипотезу Шпиро (которая в нулевой характеристике известна как теорема Бовиля).

Теорема 6 (Теорема I .4.4.1). Пусть /:Х —> Р1 неизотривиальное полустабильное расслоение с д > 1. Тогда 5 > 4. Более того, з = 4 влечет за собой три следующих условия:

1) р2 = 0, т.е. поверхность X суперсингулярна;

2) д(Х,) = д0, Wt.eS-,

3) г = 0.

Гипотеза 7 (Гипотеза I .4.4.2). При условиях Теоремы 6 если д > 1,

то 5 > 5.

В нулевой характеристике эта гипотеза известна как гипотеза Бовиля ([33]). В общем случае она весьма трудна ввиду различных патологий в положительной характеристике. В цели лучшего понимания этой ситуации первым заслужвающим внимания является эллиптический случай. Дальше мы анал-изуем некоторые (эллиптические) примеры с 4 особыми слоями, один из которых затем обобщается М.-Х. Саито на случай рода д = 2 с 5 особыми слоями (ср. §4, Гл. IV). В действительности, при к = С Бовиль расклассифицировал все такие эллиптические семейства сз=4в [34] (ср. [83]). Наша классификация таких эллиптических расслоений в общем случае будет дана в следующей главе. Мы завершаем главу установлением еще одного фундаментального результата - усиленного варианта неравенства канонического класса, основываясь на неравенстве Сакаи-Мияоки и неравенстве Сиао о наклоне.

Теорема 8 (Теорема I .5.2). Пусть /: X —» С - неизотривиальное полустабильное расслоение на кривые рода д > 1 над С. Предположим, что / имеет по крайней мере один особый слой. Тогда сущесттвует универсальная константа А = А(в, д(С)) < 2д(С') — 2 + 5, эффективно вычисляемая по 5 и д(С), такая, что

и? < А(2д - 2), где и обозначает относительный канонический класс.

Как непосредственное следствие, мы получаем положительный ответ на Гипотезу 7 в случае к = С, упомянутую выше.

3. Во второй главе мы изучаем якобиевы эллиптические семейства с малым числом особых слоев над базой рода 0 и 1. В первом параграфе даются некоторые необходмые предварительные из теории решеток Морделла-Вейля ([129]). Во втором параграфе наш общий подход применяется к случаю к = С, как первый шаг в понимании специфики положительной характеристики. Наша цель - получить подобную классификацию таких эллиптических семейств в положительной характеристике. Оказывается, что с точностью до действия абсолютного морфизма Фробениуса классификация в характеристиках р ф 2, 3 та же, что и в нулевой характеристике. Кроме таких ингредиентов,

как теория решеток Морделла-Вейля по Шиоде ([129]), теория эллиптических модулярных поверхностей со структурой уровня (п, т) ([40]), доказательство включает в себя использование класса Кодаиры-Спенсера, в особенности так называемый функциональный аналог гипотезы Шпиро о дискриминанте, а также вместе с использованием известной теории Огга-Шафаревича (ср. [30], [109]). Все еще вопрос о том, что для каких р данная поверхность типа КЗ в этой классификации является суперсингулярной, и тем самым (a priori modulo гипотезы Артина) унирациональной. Поскольку в нулевой характеристике поверхности типа КЗ из этой классификации являются сингулярными в смысле [25] и [59], то естественно использовать цитированные работы для этой цели. Например, a priori не совсем очевидно, что Х|22 и изоморфны. По всем этим причинам случай поверхностей типа КЗ над С сам по себе интересен и мы будем иметь дело с этим случаем, как первый шаг к полной классификации. В теореме, сформулированной ниже мы дадим полный отчет типов особых слоев для якобиевых эллиптических поверхностей типа КЗ f:X—> Р1 с тремя особыми слоями. Обозначения соответствующих поверхностей мотивируются конфигурациями особых слоев в нотации Кодаиры, а также соответствием между этими поверхностями типа КЗ и рациональными эллиптическими поверхностями с тремя особыми слоями, явно указанным по ходу доказательства, что и объясняет нотацию нашего списка.

Теорема 9 (Теорема II. 2.3.3). В обозначениях выше эллиптические поверхности типа КЗ с s = 3 следующие

A) EtoI~

Б)

X222&I2), Qx

2 о 0 2

В) Я,

tor

х444*(3IV*), Qx =

1) Х:п(Д,2Ц), Qx

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нгуен Кхак Вьет, 1998 год

Литература

[1] Алгебраические поверхности.- Тр. Мат. ин-та АН СССР, 75 (1965), с. 1-215.

[2] Аракелов, С. Ю., Семейства алгебраических кривых с фиксированными вырождениями.-Изв. АН. СССР, Сер. матем., 35 (1971), №б, с. 1269-1293.

[3] Бурбаки, Н., Группы и алгебры Ли. Гл. IV - VI.- М.: Мир, 1972, 334с.

[4] Гриффите, Ф., Харрис, Дж., Принципы алгебраической геометрии. Т. 1, 2.- М.: Мир, 1982, 826с.

[5] Делинь, П., Мамфорд, Д., Неприводимость многообразия кривых заданного рода.- Математика, 16:3 (1972), 13-53.

[6] Дынкин, Е. Б., Полупростые подалгебры полупростых групп Ли.- Матем. сб., новая серия, 30(72) (1952), с. 349-462.

[7] Дэвенпорт, Г., Высшая арифметика.- М.: Наука, 1965, 176 с.

[8] Зархин, Ю. Г., Паршин, А. Н., Проблемы конечности в диофантовой геометрии.- Дополнение к [8], с. 369-438.

[9] Зограф, П. Г., Малые собственные значения автоморфных Лапласианов на пространствах параболических форм.- Записки Научных Семинаров ЛОМИ им. В. А. Стеклова АН СССР, 134 (1984), 157-168.

[10] Исковских, В. А, Шафаревич, И. Р., Алгебраические поверхности.- Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Сер. Соврем, пробл. Мат., Фундам. Направл.,

1989, с. 131-263.

[11] Конвей, Дж., Слоэн, Н., Упаковки шаров, решетки и группы.- М.: Мир,

1990. Т. 1, 2, 1990, 792 с.

[12] Ленг, С., Основы диофантовой геометрии.- М.: Мир, 1986, 446с.

[13] Мамфорд, Д., Абелевы многообразия.- М.: Мир, 1971, 299с.

[14] Манин, Ю. И., Высота Тэйта точек на абелевом многообразии, ее варианты и приложения - Изв. АН СССР, Сер. матем., 28 (1964), Лг0б, с. 13631390.

[15] Милн, Дж., Этальные когомологии.- М.: Мир, 1983.

[16] Милнор, Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей. - М.: Мир, 1971, 124с.

[17] Милнор, Дж., Хьюзмоллер, Д., Симметрические билинейные формы.- М.: Наука, 1986, 176с.

[18] Нгуен, К. В., Минимальные модели алгебраических кривых над глобальными полями.- Кандидатская диссертация, Москва, МГУ, 1989.

[19] Нгуен, К. В., О классификации эллиптических расслоений с малым числом особых слоев над базой рода 1, УМН, т. 52 (1997), 175-176.

[20] Нгуен, К. В., Полустабильные эллиптические расслоения с малым числом особых слоев над базой рода 0 и 1, Вестник Московского Университета, N4(1998), 66- 66.

[21] Никулин, В. В., Целочисленные билинейные формы и их приложения.-Изв. АН СССР, Сер. матем., 43 (1979), №l, 111-177.

[22] Оконек, К., Шнейдер, М., Шпиндлер, X., Векторные расслоения на комплексных пространствах.- М.: Мир, 1984, 310с.

[23] Паршин, А. Н., Алгебраические кривые над функциональными полями. I.- Изв. АН СССР, Сер. матем., 32 (1968) №б, с. 1191-1219.

[24] Паршин, А. Н., Минимальные модели кривых рода 2 и гомоморфизмы абевых многообразий, определенных над полем конечной характеристики.-Изв. АН СССР, Сер. матем., 36 (1972), iV0l, с. 67-109.

[25] Пятецкий-Шапиро, И. И., Шафаревич, И. Р., Теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа КЗ- Изв. АН СССР, Сер. матем., 35 (1971), № 3, с. 530-572.

[26] Серр, Ж.-П., Алгебраические группы и поля классов.- М.: Мир, 1968, 285с.

[27] Серр, Ж.-П., Курс арифметики.- М.: Мир, 1972, 184с.

[28] Хартсхорн, Р., Алгебраическая геометрия.- М.: Мир, 1981, 600с.

[29] Тэйт, Дж., О гипотезах Берча - Свиннертона-Дайера и их геометрическом аналоге.- Математика, 12:6 (1968), 41-55.

[30] Шафаревич, И. Р., Главные однордные пространства, определенные над полем функций.- Тр. Мат. ин-та АН СССР, 64 (1961), 316-346.

[31] Шокуров, В. В., Теорема Нётера-Энриквеса о канонических кривых.-Матем. сб., 86 (1971), № 3, 367-408.

[32] Bath, W., Peters, С., Van de Ven, A., Compact complex surfaces, SpringerVerlag, 1984.

[33] Beauville, A., Le nombre minimum de fibres singulières d'une courbe stable sur P1.- Astérisque 86 (1981), 97-108.

[34] Beauville, A., Les familles stables de courbres elliptiques sur P1 admettant quatre fibres singulières.- C.R. Acad. Se. Paris, 294 (1982), 657-660.

[35] Beauville, A., L'iégalité pg >2q — 4 pour les surfaces de type général.- Bull. Soc. Math. France, 110 (1982), 343-346.

[36] Bombieri, E., Mumford, D., Enriques' classification of surfaces in char, p, II.- In: "Complex Analysis and Algebraic Geometry" (A collection of papers dedicated to K. Kodaira), Iwanami Shoten and Cambridge University Press, 1977, 23-42.

[37] Castelnuovo, G., Sulle serie algebriche di gruppi di punti appartenenti ad una curva algabrica.- Rend. d. R. Acad. Lincei (5) 15 (1906), 337-344.

[38] Cornalba, M., Harris, J., Divisor classes associated to families of stable varieties with application to the moduli space of curves.- Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 3 (1988), № (4) 21, 455-475.

[39] Cox, D. A., Mordell-Weil groups of elliptic curves over C(t) with pg = 0 or 1.-Duke Math. J., 49 (1982), 677-689.

[40] Cox, D. A., Parry, W. R., Torsion in elliptic curves over k(t).~ Comp. Math., 41(1980), 337-354.

[41] Cox, D. A., Zucker, S., Intersection numbers of sections of elliptic surfaces.-Invent. Math., 53 (1979), 1-44.

[42] Deligne, P., Rapoport, M., Les schémas de modules de courbes elliptiques.- In: "Modular Functions of One Variable II", Springer Lec. Note in Math., 349 (1973), 143-316.

[43] Deschamps, M., Réduction semi-stable.- Astérisque 86 (1981), 1-34.

[44] Edixhoven, B., Rational torsion points over number fields (after Kamienny and M azur).- Sém. Bourbaki 1993-1994, n° 782, Astérisque, 227 (1995), 209-227.

[45] Ekedahl, T., On supersingular curves and abelian varieties.- Math. Scand. 60 (1987), 151-178.

[46] Esnault, H., Viehweg, E., Algebraic surfaces and Mordell's conjecture over function fields.- Advanced Workshop on Arithmetic Algebraic Geometry, Trieste (Italia), September, 1992.

[47] Goldfeld, D., Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields - Bull. Amer. Math. Soc., 13 (1985), 23-37.

[48] Goldfeld, D., Szpiro, L., Bounds for the order of the Tate-Shafarevich group.-Comp. Math., 97 (1995), 71-87.

[49] Grothendieck, A., Sur une note de Mattuck-Tate.- J. Reine Angew. Math., 200 (1958), 208-215.

[50] Grothendieck, A., Technique de descente et théorème d'existence en géométrie

algébrique.- Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957-1962. Les schémas de Picard: V. Théorème d'existence, 1961-1962, № 232; VI. Propriétés générales, 1962, № 236.

[51] Harris, J., Silverman, J. H., Bielliptic. curves and symmetric products.- Proc. of Amer. Math. Soc. 112 (1991), 347-356.

[52] Hartshorne, R., Curves with high self-intersection on algebraic surfaces.- Publ. Math. IHES, 36 (1969), 111-125.

[53] Hindry, M., Silverman, J. M., The canonical height and integral points on elliptic curves - Invent. Math., 93(1988), 419-450.

[54] Horikawa, E., On deformations of quintic surfaces.- Invent. Math., 31 (1975), 43-85.

[55] Howard, A., Sommese, A., On the theorem of de Franchis.- Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, 10(1983), 429-436.

[56] Igusa, J.-I., On the theory of algebraic correspondences and its applications to the Riemann hypothesis in function fields.- J. of Math. Soc. Japan, 1(1949), 147-197.

[57] Igusa, J., Kroneckerian model of fields of elliptic modular functions.- Amer. J. of Math., 81 (1959), 561-577.

[58] Igusa, J.-I., Betti and Picard numbers of abstract algebraic surfaces - Proc. Nat. Acad. Sci., 46 (1960), 724-726.

[59] Inose, H., Shioda, T., On singular K3 surfaces- In: "Complex Analysis and Algebraic Geometry" (A collection of papers dedicated to K. Kodaira), Iwanami Shoten and Cambridge University Press (1977), 119-136.

[60] Kamienny, S., Torsion points on elliptic curves and ç-coefficients of modular forms.- Invent. Math., 109 (1992), 221-229.

[61] Kamienny, S., Mazur, B., Rational Torsion of prime order in elliptic curves over number fields.- Astérisque, 228 (1995), 81-98.

[62] Kani, E., On Castelnuovo's equivalence defect.- J. Reine Angew. Math., 352 (1984), 24-70.

[63] Kani, E., Bounds on the number of non-rational subfields of a function field.-Invent. Math., 85(1986), 185-198.

[64] Katz, N. M., Mazur, B., Arithmetic Moduli of Elliptic Curves - Annals of Mathematics Studies 108, Princeton University Press, 1985.

[65] Kenku, M., Momose, F., Torsion points on elliptic curves over quadratic fields.-

Nagoya Math. J., 109 (1988), 125-149.

[66] Kodaira, K., On compact complex analytic surfaces II—III.— Ann. of Math. 77 (1963), 563-626, 78 (1963), 1-40.

[67] Konno, K., Non-hyperelliptic fibrations of small genus and certain irregular canonical surfaces.- Ann. Sc. Norm. Pisa, Ser. IV, v.XX (1993), 575-595.

[68] Konno, K., On the irregulariry of special non-canonical surfaces.- Publ. RIMS, Kyoto Univ., 30-4 (1994), 671-688.

[69] Konno, K., Personal communication, Kinosaki, 1995.

[70] Konno, K., Clifford index and the slope of fibred surfaces - Preprint, 1997.

[71] Lang, W. E., Extremal rational elliptic surfaces in characteristic p. I, Math. Z., 207 (1991), 429-437; II, Ark. Mat., 32 (1994), 423-448.

[72] Levin, M., On the group of rational points on elliptic curves over function fields.— Amer. J. of Math., 90 (1968), 456-462.

[73] Lewittes, J., Gaps at Weierstrass points for the modular group.- Bull. Amer. Math . Soc., 69(1963), 578-582.

[74] Lockhart, P., On the discriminant of a hyperelliptic curve.- Trans, of Amer. Math. Soc., 342-2 (1994), 729-752.

[75] Maruyama, M., On classification of ruled surface, Kyoto Univ., Lectures in Math. 3, Kinokuniya, Tokyo, 1970.

[76] Matsusaka, S., Some numerical invariants of hyperelliptic fibrations.- J. of Math. Kyoto Univ., 30-1 (1990), 33-57.

[77] Mattuck, A., Tate, J., On the inequality of Castelnuovo-Severi.- Hamb. Abh., 22 (1958), 295-299.

[78] M azur, B., Modular curves and Eisenstein ideal.- Publ. I.H.E.S., 47 (1978), 33-186.

[79] Merel, L., Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres.-Invent. Math., 124 (1996), 437-449.

[80] Mestre, J.-F., Corps euclidiens, unités exceptionelles et courbes elliptiques.- J. of Number Theory, 13(1981), 123-137, Appendice.

[81] Miranda, R., The moduli of Weierstrass fibrations over P1.- Math. Ann., 255 (1981), 379-394.

[82] Miranda, R., Persson's list of singular fibers for a rational elliptic surface.- Math. Z., 205 (1990), 191-211.

[83] Miranda, R., Persson, U., On extremal rational elliptic surfaces.- Math. Z., 193

(1986), 537-558.

[84] Miranda, R., Persson, U., Torsion groups of elliptic surfaces.- Comp. Math., 72 (1989), 249-267.

[85] Miranda, R., Persson, U., Configurations of In fibers on elliptic Isf3-surfaces.-Math. Z., 201 (1989), 339-361.

[86] Mitani, N., Shioda, T., Singular abelian surfaces and binary quadratic forms.-In: "Classification of algebraic varieties and compact complex manifolds", Lect. Notes in Math., Springer, 412 (1974), 259-287.

[87] Miyaoka, Y., The maximal number of quotient singularities on surfaces with given numerical invariants, Math. Ann., 268 (1984), 159-171.

[88] Momose, F., Yamada, S.-i., Another estimate of the level of d-gonal modular curves.- Preprint, 1997.

[89] Moret-Bailly, L., Polarisations de degré 4 sur les surfaces abéliennes.- C.R. Acad. Sci., Paris, 289 (1979), 787-790.

[90] Moret-Bailly, L., Familles de courbes et de variétés abéliennes sur P1.- Astérisque, 86 (1981), 109-140.

[91] Moriwaki, A., Bogomolov conjecture over function fields for stable curves with only irreducible fibers.- Comp. Math., 105 (1997), 125-140.

[92] Nagata, M., On self-intersection number of a section on a ruled surface.- Nagoya Math. J., 37 (1970), 191-196.

[93] Nakayama, N., Zariski-decomposition problem for pseudo-effective divisors.- Proc. of the meeting and the Workshop on "Algebraic Geometry and Hodge Theory, v. I, Hokkaido University, Math. Preprint Series, 1990.

[94] Namikawa, Y., Ueno, K., The complete classification of fibres in pencils of curves of genus two.- Manuscripta Math., 9 (1973), 143-186.

[95] Naruki, I., Configurations related to maximal rational elliptic surfaces.- Adv. Studies in Pure Math., 8 (1986), 315-347.

[96] Néron, A., Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes.- Ann. of Math., 82 (1965), 249-331.

[97] Newman, M., Conjugacy, genus, and class numbers.- Math. Ann., 196 (1972), 198-217.

[98] Nguyen, K. V., A complete proof of Beauville's conjecture.- Vietnam Journal of Math., 22(3 & 4) (1994),114-116.

[99] Nguyen, K. V., Une amélioration de l'inégalité de la classe canonique, Actes du

Séminaire Franco-Vietnamien "Sur l'analyse pluricomplexe et la topologie des singularités", Dalat (Vietnam), 22 Août-2 Septembre, 1994,- Vietnam J. of Math., 23 (1995), Special Issue, 193-198.

[100] Nguyen, K. V., On Beauville's conjecture and related topics.- J. of Math, of Kyoto Univ., 35-2 (1995), 275-298.

[101] Nguyen, K. V., Some new results on higher genus fibrations of curves.- Proc. of the conference on "Singularity of Hyper surfaces, Fundamental Group and Finite Covering", October 2-6, 1995, Tokyo, 77-86.

[102] Nguyen, K. V., Class numbers, d-gonality of modular curves and bounding torsions. - Proceedings of Algebraic Geometry Symposium in Sendai, 1996, 111-118.

[103] Nguyen, K. V., Modular Curves: a Contact Point of Arithmetic, Group Theory and Geometry.- Abstracts of Colloquium in Mathematics, Kyoto Univ. (1996), 4-6.

[104] Nguyen, K. V., On upperbounds of virtual Mordell-Weil ranks.- Osaka J. of Math., 34 (1997), 101-114.

[105] Nguyen, K. V., On classification of elliptic fibrations with small number of singular fibres over a base of genus 0 and 1. Proc. Japan Acad., 73, Ser. A (1997), 103-104.

[106] Nguyen, K. V., On families of curves over P1 with small number of singular fibres.- C. R. Acad. Sci. Paris, 326 (1998), Série I, 459-463.

[107] Nguyen, K. V., A remark on semi-stable fibrations over P1 in positive character-

up. Math., 4A2.Cd<33gO^Î<L, 4Î-44,

istic. - Comj .tfguy^K.V ,

[108] d-gonality of modular curves and bounding torsions.- Preprint Series, KyotoMath 96-07, Kyoto University, 1996, 16 p.

[109] Ogg, A. P., Cohomology of abelian varieties over function fields.- Ann. of Math., 76 (1962), 185-212.

[110] Ogg, A. P., Hyperelliptic modular curves - Bull. Soc. Math. France, 102 (1974), 449-462.

[111] Ogg, A. P., On the reduction modulo p of X0(p ■ M).- U.S.-Japan Seminar on Modular Functions, Ann Arbor, Mich., June 1975.

[112] Oguiso, K., Shioda, T., The Mordell-Weil lattices of a rational elliptic surface.-Comment. Math. Univ. St. Pauli, 40 (1991), 83-99.

[113] Parshin, A. N., The Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality for arithmetical surfaces and its applications - In: Seminaire de Theorie de Nombres (Paris 1986-87),

Progress in Math. , Birkhauser, 1987, 299-311.

[114] Persson, U., Chern invariants of surfaces of general type.- Comp. Math., 43 (1981), 3-58.

[115] Persson, U., Configurations of Kodaira fibers on rational elliptic surfaces.- Math. Z., 205 (1990), 1-47.

[116] Ramanujam, C. P., Remarks on the Kodaira vanishing theorem.- J. of Indian Math. Soc., 36(1972), 41-51, 38(1974), 121-124.

[117] Raynaud, M., Caractéristique d'Euler-Poincaré d'un faisceau et cohomologie des variétés abéliennes.- Séminaire BOURBAKI 1964/65, № 286. In: Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, Amsterdam, 1968, 12-30.

[118] Raynaud, M., Specialisation du foncteur de Picard- Publ. Math. IHES, 39 (1970), 27-76.

[119] Rossor, J. B., Schoenfeld, L., Approximate formula for some fonctions of prime numbers.- Illinois J. of Math., 6 (1962), 64-94.

[120] Saito, M.-H., Sakakibara, K.-I., On Mordell-Weil lattices of higher genus fibra-tions on rationl surfaces.- J. of Math, of Kyoto Univ., 34-4 (1994), 859-871.

[121] Sakai, F., Semi-stable curves on algebraic surfaces and logarithmic pluricanonical map.- Math. Ann., 254 (1980), 89-120.

[122] Samuel, P., Lectures on Old and New Results on Algebraic Curves.- Tata Inst, of Fundamental Research, Bombay, 1966.

[123] Schmickler-Hirzebruch, U., Elliptische flächen über Pi(C) mit drei ausnahmefasern und die hypergeotrische differentialgleichung.- Schriftenreihe des Math-emtischen der Universität Münster, 1985.

[124] Serre, J.-P., Propriétés galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques.-Invent. Math., 15(1972), 259-331.

[125] Severi, F., Trattato di Geometrica Algebrica.- Bologna, Zanichelli, 1926.

[126] Shioda, T., On elliptic modular surfaces.- J. of Math. Soc. Japan, 24 (1972), 20-59.

[127] Shioda, T., Algebraic cycles on certain K2> surfaces in characteristic p.- Proc. Inter. Conf. on Manifolds, Tokyo, 1973, University Tokyo Press 1975, 357-363.

[128] Shioda, T., Some results on unirationality of algebraic surfaces.- Math. Ann., 230 (1977), 153-168.

[129] Shioda, T., On the Mordell-Weil lattices.- Comment. Math. Univ. St. Pauli, 39 (1990), 211-240.

130] Shioda, T., Mordell-Weil lattices: theory and applications - A point of contact of Algebra, Geometry, ... and Computer.- A lecture at the Annual Meeting of MS J 1991, Engl. Translation: Sugaku Expositions, 7 (1994), № 1, 19-44.

131] Shioda, T., Mordell-Weil lattices for higher genus fibration. - Proc. Japan Acad. 68A (1992), 247-250.

132] Shioda, T., Generalization of a Theorem of Manin-Shafarevich. - Proc. Japan Acad. 69A (1993), 10-12.

133] Shioda, T., Mordell-Weil lattices for higher genus fibration over a curve.- Preprint, 1997.

134] Silverman, J. M., The Arithmetic of Elliptic Curves.- Graduate Texts in Math., 106, Springer-Verlag, 1986.

135] Stiller, P. F., On the classification of elliptic surfaces with q = 1,- Manuscripta Math., 60 (1988), 299-321.

136] Szpiro, L., Sur le théorème de rigidité de Parsin et Arakelov.- Astérisque, 64 (1979), 169-202.

137] Szpiro, L., Propriétés numériques du faisceau dualisant relatif.- Asterisque, 86 (1981), 44-78.

138] Tan, S.-L., The minimal number of singular fibers of a semi-stable curve over P1.-J. Alg. Geom., 4 (1995), № 3, 591-596.

139] Ueno, K., Discriminants of curves of genus 2 and arithmetic surfaces,- Algebraic Geometry and Commutative Algebra in Honor of M. Nagata (1987), 749-770.

140] Viehweg, E., Canonical divisors and the additivity of the Kodaira dimension one,-Comp. Math., 35 (1977), 197-223.

141] Vojta, P., Diophantine inequalities and Arakelov theory.- Appendix to: Lang, S., Introduction to Arakelov theory, Springer-Verlag, 1988,155-178.

142] Weil, A., Courbes Algébriques et Variétés Abéliennes.- Paris, Hermann, 1948.

143] Weil, A., Abstract versus classical algebraic geometry.- Proc. ICM, 1954, Amsterdam, v. Ill, 550-558.

144] Xiao, G., Fibered algebraic surfaces with low slope - Math. Ann. 276 (1987), 449-466.

145] Yang, P. C., Yau, S.-T., Eigenvalues of the Laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds.- Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa 8 (1980), 55-63.

146] Zagier, D., L-series of elliptic curves, the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture and the class number problem of Gauss.- Notices Amer. Math. Soc., 31 (1984),

739-743.

[147] Zariski, 0., Proof of a theorem of Bertini.- Trans, of Amer. Math. Soc., 50 (1941), 48-70.