Компактификации схем модулей стабильных векторных расслоений на поверхности локально свободными пучками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Тимофеева Надежда Владимировна

• Тимофеева Надежда Владимировна
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Тимофеева Надежда Владимировна

Введение

Общая характеристика работы

Обзор результатов

Глава 1. Конструктивная компактификация при наличии

универсального семейства

Вводные замечания

1.1. Промежуточное раздутие

1.2. Основная конструкция. Доказательство теоремы

1.3. Структура проекции п: доказательство теоремы

Глава 2. Конструктивная компактификация при отсутствии

универсального семейства

Вводные замечания

2.1. Промежуточное раздутие

2.2. Основная конструкция: разрешение в плоские семейства

2.3. Отношение эквивалентности и его этальность

2.4. Алгебраическое пространство Мс и его схемность

Глава 3. Объекты параметризации. Стабильность

(полустабильность)

Вводные замечания

3.1. Особенности пучка Е

3.2. Устранимость особенности

3.3. Структура схем ¡3

3.4. Когерентные пучки и их разрешения

3.5. Стандартное разрешение и грассманианы

3.6. Выделенная поляризация схемы ¡3

3.7. Изоморфизм И°(£,Е 0 Ьт) ^ И(0(Б,Е 0 Ьт)

3.8. Стабильность (полустабильность)

Глава 4. Построение Мге(\

Вводные замечания

4.1. М-эквивалентность полустабильных пар

4.2. о-Произведение и разрешение в моноиде ♦ [Е]

4.3. Ограниченность семейств полустабильных пар

4.4. РСЬ(У)-действия, РСЬ(У)-стабильность и РСЬ(У)-факторы

4.5. Морфизмы приведенных компактификаций и проективность Ы1е&

4.6. Сравнение эквивалентностей

4.7. М1е& как пространство модулей

Глава 5. Неприведенная схема модулей

Вводные замечания

5.1. Редукция функтора модулей и его схемы модулей

5.2. Неприведенная схема модулей для |

5.3. Подфункторы и подсхемы модулей

Глава 6. Существование универсального семейства

Вводные замечания

6.1. Семейство схем

6.2. Главное расслоение и теория спуска

6.3. Проверка свойства универсальности

6.4. Псевдосемейство и его универсальность

Глава 7. Об одном изоморфизме компактификаций схемы модулей

векторных расслоений

Вводные замечания

7.1. Морфизм функторов модулей: доказательство теоремы

7.2. Изоморфизм схем модулей: доказательство теоремы

Глава 8. Критерий плоскости над неприведенной базой

Вводные замечания

8.1. Примеры

8.2. Алгебраическая версия

8.3. Доказательство для когерентного От-модуля

Глава 9. Морфизм неприведенных функторов модулей. Морфизм схем

модулей

Вводные замечания

9.1. Функторы и модули

9.2. Стандартное разрешение для семейства с неприведенной базой

9.3. Построение морфизма функторов

9.4. Морфизма схем модулей

Глава 10. Изоморфизм компактификаций модулей векторных расслоений:

неприведенные схемы модулей

Вводные замечания

10.1. Морфизм функторов модулей

10.2. Изоморфизм функторов модулей

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компактификации схем модулей стабильных векторных расслоений на поверхности локально свободными пучками»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Основным стимулом к поиску тех компактифи-каций модулей векторных расслоений, которые используют только локально свободные пучки, является круг вопросов, связанных с модулями связностей в векторных расслоениях.

Соответствие Кобаяши - Хитчина позволяет применять алгебро-геоме-трические методы к задачам дифференциально-геометрического и теоретико-калибровочного содержания, сводя работу с модулями связностей в векторном расслоении (в т. ч. векторном расслоении, снабженном дополнительной структурой) к работе с модулями векторных расслоений, стабильных в смысле наклона, а также наоборот, привлекать средства и результаты калибровочной теории для работы в контексте алгебраической геометрии.

Рассматриваются компактная комплексная алгебраическая поверхность X, комплексное векторное расслоение Е на X, эрмитовы метрики д на X и Н на Е. Голоморфное расслоение на компактном комплексном многообразии с эрмитовой метрикой стабильно [55] тогда и только тогда, когда оно допускает неприводимую эрмитово-эйнштейнову метрику. Если Е - дифференцируемое векторное расслоение и 6 - голоморфная структура в Е, то 6 называется д-стабильной [55], если голоморфное расслоение (Е,6) обладает этим свойством. Пусть М^(Е) - пространство модулей классов изоморфизма д-стабильных голоморфных структур на Е, М^Е (Е, Н) - пространство модулей классов калибровочной эквивалентности неприводимых Н-унитарных д-эрмитово-эйнштейновых связностей в расслоении Е. Усилиями многих математиков (С. Дональдсон [19, 20, 21, 22, 24], Ш. Кобаяши [46, 47], Н. Бухдал [16], М. Ито и Х. Накаджима [43], Дж. Ли, К. Уленбек и С.-Т. Яу [52, 71, 72], М. Любке [54] и других) развита в различных аспектах теория, основной результат которой может быть сформулирован следующим образом [55]: Существует вещественно-аналитический изоморфизм М^Е(Е, Н) = М ^(Е).

Если X - проективное многообразие и ходжева метрика д ассоциирована с гиперплоским сечением И, то [55] определение д-стабильности совпадает с определением И-стабильности векторного расслоения Е в смысле наклона.

В случае расслоений ранга 2 Дж. Ли показал [50], что компактификация Дональсона-Уленбек пространства (классов калибровочной эквивалентности) антиавтодуальных связностей допускает такую комплексную структуру, что на нем индуцируется структура приведенной проективной схемы. При этом компактификация Гизекера-Маруямы схемы модулей стабильных векторных расслоений обладает морфизмом на схему антиавтодуальных связностей.

Схемы модулей стабильных векторных расслоений на алгебраическом многообразии обычно непроективны (и некомпактны) [58, 59], и для применения методов алгебраической геометрии полезно включить схему (многообразие) модулей векторных расслоений как открытую подсхему в некоторую подходящую проективную схему. Такая задача традиционно называется задачей компактификации пространства модулей. Классическим (но не единственным) ее решением является компактификация Гизекера - Маруямы, хорошо изученная к настоящему времени. Для ее построения рассматриваются когерентные полустабильные по Гизекеру пучки без кручения с тем же полиномом Гильберта на том же многообразии. Таким образом, для построения компактификации пространства модулей векторных расслоений (локально свободных пучков) необходимо ослабить требование локальной свободы пучков, разрешив вырождение в не локально свободные когерентные пучки без кручения. Ввиду указанного вырождения компактификация Гизекера - Маруямы может оказаться не всегда удобной.

Впоследствии можно надеяться на реализацию аналога конструкции, проведенной в этой диссертации, в категории комплексно-аналитических пространств и построение соответствия Кобаяши - Хитчина на комплексно-аналитических пространствах, соответствующих допустимым схемам. Это позволит изучать пространства связностей в терминах построенной компактификации. Однако для построения предложенной компактификации, предпринятого в настоящей диссертации, язык теории алгебраических схем является, по мнению автора, наиболее естественным, поскольку, в частности, позволяет работать с проективными спектрами. Последнее обстоятельство немаловажно при рассмотрении вырождения поверхностей в точках "границы" пространства модулей, а также построения эквивалентности (М-эквивалентность) на классе пар "допустимая схема - локально свободный пучок".

Степень разработанности темы. Теория пространств модулей векторных расслоений (и когерентных пучков) на алгебраической поверхности яв-

ляется разносторонней и богатой. Ее развитие стимулируется как интересом математиков к структурным аспектам когерентных пучков, их деформаций и вырождений и применениям пространств модулей пучков к другим задачам алгебраический геометрии, так и приложениями алгебро-геометрических результатов в теории полей Янга - Миллса и комплексной дифференциальной геометрии. Обзор результатов по теории стабильных векторных расслоений и стабильных главных расслоений в связи с общей теорией относительности, квантовой теорией поля, пространствами модулей и их компактификациями до 2009 года дан в статье Т. Гомеза и И. Солза [32]. Своим содержанием теория пространств моделей векторных расслоений обязана в первую очередь таким исследователям, как И. В. Артамкин [1, 2], Ф. А. Богомолов [4, 5], Л. Гёттше [28], Д. Гизекер [30, 31], Ж.-М. Дрезе, Ж. Ле Потье [49], Дж. Ли [51], М. Маруяма [58, 59, 60], В. Б. Мехта и А. Раманатхан [62, 63], К. О'Грэйди [67, 68], С. А. Стрёмме, Х. Шпиндлер, Р. Шварценбергер, Г. Эллингсруд [26, 27], А. Хиршовиц, К. Хулек [41] и др. В настоящее время интерес математиков к исследованию векторных расслоений и их пространств модулей не ослабевает, о чем может свидетельствовать вышедший в 2012 году тематический выпуск Центрально-Европейского Математического Журнала (Central European Mathematical Journal. 2012. Vol. 10, №4), а также работы [13, 15, 17, 18, 32, 38, 39, 56].

Наиболее детально изученной является считаемая классической компак-тификация Гизекера - Маруямы. Она получается, если к пространству модулей стабильных векторных расслоений присоединять классы S-эквивалентно-сти когерентных пучков с теми же значениями численных инвариантов на той же поверхности. Известны также (связанные с теорией полей Янга-Миллса) компактификация Дональдсона-Уленбек [23] (использующая так называемые идеальные связности) и ее алгебро-геометрический аналог для пучков с оснащением, построенный У. Бруццо, Д. Маркушевичем и А.С. Тихомировым в [15], компактификация Таубса-Уленбек-Фихана [29] и анонсированная в общем случае и построенная в ранге два Д. Маркушевичем, А.С. Тихомировым и Г. Траутманном в 2012 году [57] алгебро-геометрическая компактификация деревьями раздутий. Компактификация, построенная в [57], использует векторные расслоения на поверхностях, получаемых последовательным раздутием исходной поверхности в последовательности приведенных точек и приклеиванием экземпляров проективной плоскости вдоль исключительного дивизора

каждого раздутия. Такая компактификация представляет собой полное алгебраическое пространство.

Цели и задачи работы. Целью диссертационного исследования является интерпретация вырождения полустабильных локально свободных пучков на поверхности в плоских семействах в терминах вырождения поверхности, в то время как локально свободные пучки должны вырождаться в локально свободные пучки. Для этого ставились и решались следующие задачи: разработка процедуры преобразования плоского семейства полустабильных по Ги-зекеру когерентных пучков на поверхности S, имеющих ранг г и приведенный полином Гильберта р(п), в семейство пар поляризованная проективная схема -векторное расслоение; построение проективных схем, получающихся при таком вырождении поверхности S; описание класса объектов (полустабильных пар), получаемых при вырождении, построение основных компонент соответствующих функтора/схемы модулей и исследование морфизма основных компонент функтора/схемы Гизекера - Маруямы на построенные основные компоненты функтора/схемы модулей. Также ставились и решались задачи о существовании и построении универсального семейства (псевдосемейства) объектов параметризации для полученной схемы модулей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Здесь впервые:

предложено преобразование (названное стандартным разрешением) плоского семейства когерентных полустабильных пучков без кручения на поверхности, содержащего локально свободные пучки, в плоское семейство допустимых схем, несущее локально свободные пучки и, тем самым, вырождение полустабильных локально свободных когерентных пучков в плоском семействе на алгебраической поверхности интерпретировано в терминах вырождения базисной схемы (алгебраической поверхности);

введено понятие стабильности (полустабильности) пар ((¡,Ь),Е) "поляризованная допустимая схема (¡,Ь) - локально свободный пучок Е и установлена связь такой стабильности (полустабильности) со стабильностью (полустабильностью) по Гизекеру для (не локально свободных) когерентных пучков, получаемых вырождением в том же семействе локально свободных пучков на поверхности ¡ ;

введено понятие М-эквивалентности на множестве полустабильных пар "допустимая схема - локально свободный пучок" и изучена его связь с Б-

эквивалентностью полустабильных когерентных пучков;

дано построение тех компонент схемы модулей полустабильных пар, которые содержат пары с S = S;

доказано, что построенные компоненты являются проективными алгебраическими схемами, бирациональными соответствующим компонентам схемы модулей когерентных пучков по Гизекеру - Маруяме;

изучено, когда построенная схема модулей обладает универсальным семейством и универсальным псевдосемейством;

установлен изоморфизм основных компонент функтора модулей полустабильных когерентных пучков без кручения и основных компонент функтора модулей допустимых полустабильных пар;

доказано, что построенная схема модулей изоморфна схеме модулей Ги-зекера - Маруямы;

доказано обобщение на случай неприведенной базы известного критерия, позволяющего заключить, когда когерентный пучок является плоским относительно проективного морфизма схем, и использующего полиномы Гильберта ограничений пучка на слои морфизма.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты ее могут быть использованы в дальнейших исследованиях по схемам модулей когерентных пучков, векторных расслоений и пространствам модулей связностей в расслоенных пространствах.

Методология и методы исследований. Работа относится к алгебраической геометрии. В ней используются методы теории алгебраических схем А. Гротендика, теории алгебраических пространств, теории пространств модулей, геометрической теории инвариантов, а также теории квазикогерентных алгебраических пучков и их когомологий.

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты, выносимые на защиту, составляют 15 теорем и 2 следствия: в главе 1 теоремы 1 (существование конструктивной компактификации в случае, когда схема Гизекера -Маруямы обладает универсальным семейством пучков, а также морфизм конструктивной компактификации на многообразие модулей Гизекера - Маруя-мы) и 2 (структура семейства схем над конструктивной компактификацией), в главе 2 теорема 3 (существование конструктивной компактификации в случае, когда схема Гизекера - Маруямы не обладает универсальным семейством, а также морфизм конструктивной компактификации на многообразие модулей

Гизекера - Маруямы), в главе 3 теоремы 4 (строение слоев семейства схем над конструктивной компактификацией) и 5 (взаимосвязь стабильностей, взаимосвязь полустабильностей), в главе 4 теорема 6 (существование приведенной компактификации как схемы модулей приведенного функтора полустабильных пар, а также морфизмов между конструктивной, приведенной компактифика-цией и многообразием Гизекера - Маруямы), в главе 5 теорема 10 (существование неприведенной компактификации как схемы модулей неприведенного функтора полустабильных пар), в главе 6 теорема 11 (существование универсального семейства) и 12 (существование универсального псевдосемейства), в главе 7 теорема 13 (морфизм приведенного функтора модулей когерентных полустабильных пучков без кручения на приведенный функтор модулей полустабильных пар) и 14 (изоморфизм приведенной компактификации и приведенной схемы Гизекера - Маруямы), в главе 8 теорема 16 (обобщение критерия плоскости проективного морфизма, использующего полиномы Гильберта его слоев, на случай неприведенной базы морфизма) и 17 (критерий плоскости когерентного пучка относительно проективного морфизма с неприведенной базой), в главе 9 теорема 18 (существование морфизма функтора модулей когерентных полустабильных пучков без кручения в функтор модулей допустимых полустабильных пар) и ее следствие 13 (существование морфизма схем модулей), в главе 10 теорема 20 (существование морфизма функторов модулей, обратного к морфизму теоремы 18, и тем самым изоморфизм функторов модулей) и следствия 14 (изоморфизм схем модулей) и 15 (существование универсального семейства на построенной схеме модулей). Перечисленные результаты не являются независимыми: их логические связи представлены в следующей таблице:

Теорема 10 = Теорема 6 Следствие 15 = Ф- Теоремы 11, 12

Теорема 18 = Теорема 3 Теорема 17 = Ф- Теорема 16

Следствие 14 = Теорема 14

Достоверность результатов. Апробация работы. Все результаты работы снабжены строгими доказательствами. Они излагались на конференциях и семинарах в России и за рубежом. 2007 г.

Семинар Института Миттаг - Леффлера, Дьюрсхольм, Швеция, февраль 2007г. (доклад);

Международная конференция "Анализ и особенности", посвященная 70-летию

В. И. Арнольда, МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 20 - 24 августа 2007 г. (доклад, тезисы);

Международный конгресс, посвященный Л. Эйлеру: семинар "Модулярные формы и пространства модулей", С.-Петербург, 2-7 июля 2007 г. (доклад);

2008 г.

Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию профессора А. Г. Куроша (1908-1971), МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 28 мая - 3 июня 2008 г. (доклад, тезисы);

Семинар отдела алгебры МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 24 июня 2008 г. (доклад);

Conference on Moduli Spaces (MOD workshop), Центр Математических исследований, Уорвик, Великобритания, 6-11 июля 2008 г. (доклад);

2009 г.

Современные проблемы математики, механики и их приложений. Международная конференция, посвященная 70-летию В. А. Садовничего, МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 30 марта - 2 апреля 2009 г. (тезисы); VII Международные Колмогоровские чтения, ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, Ярославль, 18 - 21 мая 2009 г. (доклад);

Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева, Новосибирск, 24 - 28 августа 2009 г. (тезисы); 2011 г.

Международная конференция "Инстантоны в комплексной геометрии", МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 13 - 18 марта 2011 г. (доклад, видеозапись на сайте конференции);

7 Конгресс румынских математиков, Брашов, Румыния, 29 июня - 5 июля

2011 г. (доклад, тезисы);

2012 г.

"Моделирование и анализ информационных систем", ЯрГУ им. П. Г. Демидова, Ярославль, 6 - 7 февраля 2012 г. (доклад, тезисы);

X Международные Колмогоровские чтения, ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, Ярославль, 15 - 18 мая 2012 г. (доклад).

Международная конференция "Мальцевские чтения", посвященная 80-летию со дня рождения В.П. Шункова, Новосибирск, 12 - 16 ноября 2012 г. (тезисы);

2013 г.

Семинар отдела алгебры МИАН им. В. А. Стеклова, Москва, 14 мая 2013 г. (доклад);

2014 г.

Международная конференция "Алгебра и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6-11 сентября 2014 г. (доклад, тезисы)

2015 г.

8 Конгресс румынских математиков, Яссы, Румыния, 26 июня - 1 июля 2015 г. (доклад, тезисы);

The International Conference and PhD Summer School "Groups and Graphs, Algorithms and Automata", Екатеринбург, 9-15 августа 2015 г. (доклад).

Публикации. Все результаты диссертации изложены в 12 статьях автора [73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 86]. Основные результаты опубликованы в изданиях, включенных в Перечень ВАК России (11 работ, [73] — [83]). Кроме этого опубликовано 11 тезисов. Совместных публикаций нет.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, 10 глав, разбитых на 50 параграфов, и заключения. Введение содержит характеристику работы и обзор результатов. В диссертации имеется библиографический список (95 названий). Полный объем диссертации 244 страницы.

Обзор результатов

В настоящей диссертации построены альтернативные компактификации схемы модулей стабильных векторных расслоений на неособой проективной алгебраической поверхности S над полем k = k характеристики нуль. Такие компактификации могут быть получены, если разрешено вырождение исходной поверхности S в проективную алгебраическую схему из некоторого класса, в то время как локальная свобода пучков при этом не нарушается. Построенные компактификации являются проективными алгебраическими схемами.

В работе построены компактификации трех условных типов: конструктивная Mc, приведенная Mred, и неприведенная M. Разделение их на типы связано со способом построения.

Именно, конструктивная компактификация Mc получена в главах 1 и 2 как замыкание по Зарискому некоторой локально замкнутой приведенной

подсхемы в подходящей схеме Гильберта, если соответствующее пространство модулей Гизекера - Маруямы М является тонким, и как обобщение процедуры такого замыкания, если пространство Гизекера - Маруямы представляет собой только грубое пространство модулей. Построение конструктивной компак-тификации требует (и в конечном итоге зависит от) выбора дополнительных разрешений (например, нормализаций и неособых разрешений базы семейства (псевдосемейства)). Поэтому описанные построения приводят не к одной строго определенной компактификации, а к классу компактификаций с указанными свойствами. В частности, конструктивные компактификации обладают бирациональными морфизмами на (приведенную) схему Гизекера - Маруямы М1е& и являются проективными алгебраическими многообразиями (приведенными отделимыми нетеровыми схемами конечного типа над полем к).

Приведенная компактификация не зависит от выбора дополнительных параметров разрешения. Кроме того, она построена как объединение компонент схемы модулей некоторого функтора модулей на подкатегории приведенных схем. Конструктивные компактификации обладают бирациональны-ми морфизмами на приведенную компактификацию.

Неприведенная компактификация построена как пространство модулей функтора на всей категории схем над полем к. Это означает, что ее построение допускает рассмотрение семейств, базами которых могут быть схемы с неприведенной структурой. Также неприведенная компактификация изоморфна объединению соответствующих компонент неприведенной схемы Гизекера - Маруямы. При этом может случиться, что неприведенная компактификация окажется приведенной алгебраической схемой и будет изоморфна приведенной компактификации. Также, неприведенная компактификация является тонким пространством модулей (а именно, несет универсальное семейство объектов параметризации) тогда и только тогда, когда схема Гизекера - Маруямы обладает аналогичным свойством.

В настоящей диссертации мы ограничиваемся гладкой неприводимой проективной алгебраической поверхностью Б над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики. Это означает, рассматривается регулярная алгебраическая схема конечного типа размерности 2. Это гарантирует применимость теоремы о сизигиях к пучкам ^-модулей и, как следствие, позволяет сделать вывод о гомологической размерности семейства когерентных О в-модулей без кручения. Ограничение на характеристику основного поля продиктовано глав-

ным образом применением результатов геометрической теории инвариантов.

Во всем тексте многообразие - это приведенная отделимая нетерова схема конечного типа над полем. Многообразие может быть единственным образом разложено в объединение неприводимых компонент, т.е. целых отделимых схем конечного типа. Ввиду биективности соответствия между векторными расслоениями и локально свободными пучками на одной и той же алгебраической схеме оба термина употребляются как синонимы. Далее, схема модулей Гизекера - Маруямы для произвольного полинома Гильберта может оказаться неприведенной, т.е. ее локальные кольца могут содержать нильпотентные элементы. Как и в случае произвольной алгебраической схемы X, определена максимальная по включению приведенная подсхема Хгеа С X. Это замкнутая в X подсхема, определенная пучком идеалов МИ(Ох), порожденным нильпо-тентами в Ох. Она называется редукцией схемы X. Соответствующая подсхема в схеме модулей называется редукцией схемы модулей или приведенной схемой модулей. Рассматриваемые в настоящей диссертации схемы модулей являются нетеровыми схемами конечного типа. При условии отделимости приведенные схемы модулей соответствуют алгебраическим многообразиям, и мы называем их многообразиями модулей. В нашей ситуации таковы схема модулей Гизеке-ра - Маруямы, снабженная приведенной схемной структурой, и построенная в настоящей диссертации приведенная схема модулей полустабильных пар.

Глава 1 содержит построение разрешения семейства полустабильных когерентных пучков на поверхности S в семейство локально свободных пучков на семействе схем ("модифицированных поверхностей") некоторого вида. Это приводит к существованию конструктивной компактификации в случае, когда пространство Мгеа является базой семейства стабильных пучков. В процессе построения доказывается ряд алгебраических утверждений относительно семейств когерентных пучков без кручения и их разрешений. Эти утверждения необходимы в дальнейшем. Все конструкции этой главы могут быть проведены для плоского семейства полустабильных когерентных пучков, базой которого является проективная приведенная отделимая схема, а достаточно общий член представлен локально свободным пучком.

Глава 2 содержит аналогичное построение в случае, когда существуют строго полустабильные когерентные пучки без кручения. Это значит, что схема Гизекера - Маруямы не может быть базой универсального семейства пучков. В такой ситуации приходится работать с псевдосемейством, базой которого

является этальное покрытие подходящего бирационального прообраза многообразия модулей Гизекера - Маруямы. Глава содержит версию разрешения для случая семейств с квазипроективной (но не проективной) базой. Искомая компактификация получается как алгебраическое пространство, а затем доказывается, что оно является проективной алгебраической схемой. Конструкции и результаты этой главы развиты над полем С. Это сделано по технической причине: ввиду необходимости использовать результаты Ф. К. Кирван [44], полученные над С и (насколько известно автору) не имеющие аналогов над произвольными алгебраически замкнутыми полями нулевой характеристики.

В главе 3 дается описание "модифицированных поверхностей", возникающих в конструкции разрешения, как проективных спектров подходящих О в -алгебр. В частности, показано, что "модифицированная поверхность" может содержать одну или несколько компонент с неприведенной схемной структурой. Либо одна из компонент изоморфна раздутию поверхности Б в некотором пучке идеалов, либо вся "модифицированная поверхность" изоморфна Б. "Модифицированные поверхности" названы допустимыми схемами. Далее вычисляется выделенная поляризация на допустимой схеме Б, характеризуемая следующим свойством. Требуется, чтобы в плоских семействах схем, относящихся к классу допустимых, полиномы Гильберта слоев оставались постоянными, если они вычисляются с использованием выделенных поляризаций на слоях семейства. Наконец, вводится понятие стабильности (полустабильности) для пар "допустимая схема - локально свободный пучок" и исследуется его связь со стабильностью (полустабильностью) когерентных пучков Е.

Глава 4 посвящена дальнейшему изучению понятия полустабильности для пар "допустимая схема - локально свободный пучок" и построению приведенной компактификации как схемы модулей допустимых полустабильных пар. Для этого используется аппарат геометрической теории инвариантов и введенное тут же понятие согласованных действий алгебраической группы на двух данных схемах. На классе полустабильных допустимых пар существует отношение (М-эквивалентность), ведущее себя аналогично Б-эквивалентности полустабильных когерентных пучков. Показано, что множество классов М-эквивалентности полустабильных допустимых пар с данным полиномом Гильберта биективно множеству классов Б-эквивалентности полустабильных когерентных пучков без кручения, с тем же полиномом Гильберта. Доказано, что имеют место бирациональные морфизмы приведенной схемы Гизекера - Мару-

ямы и ранее построенной конструктивной компактификации на приведенную схему модулей допустимых полустабильных пар.

В главе 5 снимается ограничение приведенности для баз семейств допустимых полустабильных пар. Это приводит к построению неприведенной компактификации. Описывается связь приведенного функтора модулей и его схемы модулей со схемой модулей исходного функтора модулей. Также доказан вполне ожидаемый результат о связи схемных структур приведенной и неприведенной компактификаций.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Тимофеева Надежда Владимировна, 2016 год

Литература

[1] Артамкин, И.В. Стабильные расслоения с е\ = 0 на рациональных поверхностях / И.В. Артамкин // Известия Акад. Наук СССР: Сер. Матем. - 1990. - Т. 54, №2. - С. 227-241.

[2] Артамкин, И.В. Деформации пучков без кручения на алгебраической поверхности / И.В. Артамкин // Известия Акад. Наук СССР: Сер. Матем., - 1990. - Т. 54, №3. - С. 435-468.

[3] Атья, М. Введение в коммутативную алгебру/ М. Атья„ И. Макдо-нальд; пер. с аегл. Ю.И. Манина. - М.: Мир, 1972. - 158 с.

[4] Богомолов, Ф.А. Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях / Ф.А. Богомолов // Известия Акад. Наук СССР: Сер. Матем. - 1978. - Т. 42, №6. - С. 1227-1287.

[5] Богомолов, Ф.А. Стабильные векторные расслоения на проективных поверхностях / Ф.А. Богомолов // Матем. сб., - 1994. - Т. 185, №4. - С. 3-26.

[6] Годеман, Р. Алгебраическая топология и теория пучков / Р. Годеман; пер. с фр. Б.Б. Венкова, А.В. Руколайне, Б.В. Степанова под ред. А.А. Иванова. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 319 с.

[7] Мамфорд, Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности / Д. Мамфорд при участ. Г.М. Бергмана; пер. с англ. А.А. Бельского; под ред. Ю.И. Манина. - М.: Мир, 1968. - 236 с.

[8] Милн, Дж. Этальные когомологии / Дж. Милн; пер. с англ. О.Н. Введенского, Ю.Г. Зархина, В.В. Шокурова под ред. И.Р. Шафаревича. -М.: Мир, 1983. - 392 с.

[9] Тихомиров, А.С. Многообразие полных пар нульмерных подсхем алгебраической поверхности / А.С. Тихомиров // Известия РАН: Сер. Матем., - 1997. - Т. 61, №6. - С. 153-180.

[10] Фултон, У. Теория пересечений / У. Фултон; пер. с англ. В.И. Данилова. - М.: Мир, 1989. - 583 с.

[11] Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия / Р. Хартсхорн; пер. с англ. В.А. Исковских. - М.: Мир, 1981. - 597 с.

[12] Barth, W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn / W. Barth // Math. Ann. - 1977. - Vol. 226. - P. 125-150.

[13] Bartocci, C. Monads for Framed Sheaves on Hirzebruch Surfaces / C. Bartocci, C. L. S. Rava, U. Bruzzo // Advances in Geom. - January 2015. - Vol. 15. - Issue 1. - P. 55 - 76.

[14] Bravo, A. A simplified proof of desingularization and applications / A. Bravo, S. Encinas, O.U. Villamayor // Rev. Mat. Iberoamericana. -2005. - Vol. 21. - P. 349-458.

[15] Bruzzo, U. Uhlenbeck-Donaldson Compactification for Framed Sheaves on Projective Surfaces / U. Bruzzo, D. Markushevich, A. Tikhomirov // Math. Z. - 2013. - Vol. 275. - №3-4. - P. 1073 - 1093.

[16] Buchdahl, N.P. Hermitian-Einstein connections and stable vector bundles over compact complex surfaces / N.P. Buchdahl // Math. Ann. - 1988. -Vol. 280. - P. 625-648.

[17] Cardona, S.A.H. T-stability for Higgs Sheaves over Compact Complex Manifolds / S.A.H. Cardona // Ann. of Global Anal. and Geom. - October 2015. - Vol. 48. - Issue 3. - P. 211 - 221.

[18] Casanellas, M. Stable Ulrich bundles / M. Casanellas, R. Hartshorne // Int. J. Math. - 2012. - Vol. 23. № 8 - P. 1250083-1-1250083-50.

[19] Donaldson, S.K. A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri // S.K. Donaldson //J. Diff. Geom. - 1983. - Vol. 18. - P. 269 - 278.

[20] Donaldson, S.K. Anti Self-Dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles / S.K. Donaldson // Proc. London Math. Soc. - 1985. - Vol. 50. - P. 1-26.

[21] Donaldson, S.K. Infinite determinants, stable bundles and curvature / S.K. Donaldson // Duke Math. J. - 1987. - Vol. 54. - P. 231-247.

[22] Donaldson, S.K. Irrationality and the ^-cobordism conjecture / S.K. Donaldson // J. Diff. Geom. - 1987. - Vol. 26. - P. 141-168.

[23] Donaldson, S.K. Compactification and completion of Yang-Mills moduli spaces / S.K. Donaldson // Differential Geometry, Peniscola, 1988. -Berlin: Springer, 1989. - P. 145 - 160; - (Lecture Notes in Math, vol. 1410).

[24] Donaldson, S.K. The geometry of four-manifolds / S.K. Donaldson, P. Kronheimer. - Oxford: Clarendon Press, 1990. - 440 p.

[25] Eisenbud, D. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry/ D. Eisenbud. - New York - Berlin - Heidelberg: Springer, 1995. - 785 p.; - (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150).

[26] Ellingsrud, G. The Picard group of the moduli space for stable rank-2 vector bundles on P2 with odd first Chern class / G. Ellingsrud, S.A. Str0mme. - Preprint Series. Mathematics, No. 12 - August 28. -Oslo: Matematisk institutt, Univ. i Oslo, 1979. - 15 p.

[27] Ellingsrud, G. Sur l'irreductibilite du module des fibres stables sur P2 / G. Ellingsrud // Math. Z. - 1983. - Vol. 182. - P. 189-192.

[28] Ellingsrud, G. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization / G. Ellingsrud, L. Gottsche //J. reine angew. Math. - 1995. - Vol. 467. - P. 1-49.

[29] Feehan, P.M.N. Geometry of the ends of the moduli space of anti-self-dual connections / P.M.N. Feehan //J. Diff. Geom. - 1995. - Vol. 42, № 3. -P. 465 - 553.

[30] Gieseker, D. On the moduli of vector bundles on an algebraic surface / D. Gieseker// Ann. of Math. - 1977. - Vol. 106. - P. 45-60.

[31] Gieseker, D. Moduli of high rank vector bundles over surfaces/ D. Gieseker, J. Li // J. Amer. Math. Soc. - 1996. - Vol. 9, № 1. - P. 107-151.

[32] Gomes, T. The Hermite-Einstein Equation and Stable Principal Bundles (an updated survey) / T. L. Gomes, and I. Sols // Geom. Dedicata. — 2009. — Vol. 139. — P. 83 - 98.

[33] Grothendieck, A. Elements de geometrie algebrique (rediges avec la collaboration de Jean Dieudonne): IV. Etude locale des schemas et des morphismes des schemas. Troisieme partie / A. Grothendieck; Publ. Math. de I.H.E.S., tome 28. — Paris: I.H.E.S. 1966. — 255 p.

[34] Grothendieck, A. Elements de Geometrie Algebrique. I / A. Grothendieck, J.A. Dieudonne. — Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1971.

— 466 p.

[35] Grothendieck, A. Éléments de Géométrie Algébrique III: Étude Cohomologique des Faiceaux Cohérents, Premiere Partie / A. Grothendieck; Rediges avec la collaboration de J. Dieudonne; Publ. Math. de I.H.E.S., No. 11, — Paris: I.H.E.S., 1961. — 223 p.

[36] Grothendieck, A. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie, 1960

- 61. I: Revetements etales et groupe fondamental / A. Grothendieck; — Berlin - Heidelberg: Springer - Verlag, 1971. — 447 p.; — (Lecture Notes in Math., vol. 224).

[37] Hartshorne, R. Stable reflexive sheaves / R. Hartshorne // Math. Ann. — 1980. — Vol. 254. — P. 121-176.

[38] Henni, A.A. Monads for Framed Torsion-Free Sheaves in Multi-Blow-Ups of the Projective Plane / A.A. Henni // Int. J. Math. — 2014. — Vol. 25, №1. P. 1450008-1 - 1450008-42.

[39] Henni, A.A. ADHM Construction of Perverse Instanton Sheaves / A.A. Henni, M. Jardim, R.V. Martins // Glasgow Math. J. — 2015. — Vol. 57. — P. 285 - 321.

[40] Hironaka, H. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I / H. Hironaka // Annals of Math., — 1964. — Vol. 79, № 1. — P. 109-180.

[41] Hulek, K. Stable Rank-2 vector Bundles on P2 with c\ odd / K. Hulek // Math. Ann. - 1979. - Vol. 242. - P. 241-266.

[42] Huybrechts, D. The geometry of moduli spaces of sheaves / D. Huybrechts, M. Lehn. — Braunschweig: Vieweg, 1997. — 269 p.; — (Aspects Math., E31).

[43] Itoh, M. Yang - Mills Connections and Eistein - Hermitian Metrics /M. Itoh, H. Nakajima // Adv. Studies in Pure Math. - Vol. 18-II, 1990: Kahler Metrics and Moduli Spaces / ed. Takushiro Ochiai. - Academic Press, 1990. - 457 p. — P. 395 - 457.

[44] Kirwan, F.C. Partial desingularizations of quotients of nonsingular varieties and their Betti numbers / F.C. Kirwan // Annals of Math. — 1985. — Vol. 122. — P. 41 - 85.

[45] Knutson, D. Algebraic Spaces / D. Knutson. — New York - Heidelberg - Berlin: Springer, 1971. — 261 p.;— (Lecture Notes in Mathematics, vol. 203).

[46] Kobayashi, S. First Chern class and holomorphic tensor field / S. Kobayashi // Nagoya Math. J. — 1980. — Vol. 77. — P. 5 - 11.

[47] Kobayashi, S. Curvature and stability of vector bundles / S. Kobayashi // Proc. Jap. Acad. — 1982. — Vol. 58. — P. 158 - 162.

[48] Lazarsfeld, R. Positivity in Algebraic Geometry I: Classical Setting: Line Bundles and Linear Series / R. Lazarsfeld. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer - Verlag, 2004. — 387 p.: ill.— (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete; 3 folge, vol.48).

[49] Le Potier, J. Fibres stables de rang 2 sur P2(C) / J. Le Potier // Math. Ann. — 1979. — Vol. 241. — P. 217 - 256.

[50] Li, J. Algebraic geometric interpretation of Donaldson polynomial invariants / J. Li // J. Diff. Geom. — 1993. — Vol. 37, № 2. — P. 417 - 466.

[51] Li, J. Kodaira dimension of moduli space of vector bundles over surfaces / J. Li // Invent. Math. — 1994. — Vol. 115. — P. 1 - 40.

[52] Li, J. Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler manifolds/ J. Li, S.-T. Yau // Math. Aspects of String Theory (S.-T.Yau ed.). World Sci. Publ. Co. 1987.

[53] Luna, D. Slices etales / D. Luna // Bull. Soc. Math. France. — 1973. — Memoire 33. — P. 81 - 105.

[54] LUbke, M. Chernklassen von Hermite - Einstein - Vectorbiindeln / M. Liibke// Math. Ann. — 1982. Vol. 260. — P. 133 - 141.

[55] LUbke, M. The Kobayashi - Hitchin Correspondence / M. Liibke, A. Teleman. — Singapore: World Scient. Publ. Co., 1995. — 254 p.

[56] Malaspina, F. Horrocks Correspondence on a Quadric Surface / F. Malaspina, A. P. Rao// Geom. Dedicata — 2014. — Vol. 169. — P. 15 - 31.

[57] Markushevich, D. Bubble tree compactification of moduli spaces of vector bundles on surfaces / D. Markushevich, A.S. Tikhomirov, G. Trautmann // Cent. Eur. J. Math. — 2012. — Vol. 10, № 4. — P. 1331 - 1355.

[58] Maruyama, M. Moduli of stable sheaves, I / M. Maruyama //J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). — 1977. — Vol. 17, № 1. — P. 91 - 126.

[59] Maruyama, M. Moduli of stable sheaves, II / M. Maruyama //J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). — 1978. — Vol. 18, № 3. — P. 557 - 614.

[60] Maruyama, M. On a Compactification of a Moduli Space of Stable Vector Bundles on a Rational Surface / M. Maruyama // Algebraic Geometry and Commutative Algebra in Honor of Masayoshi Nagata, 1987. Tokyo: Kinokuniya, 1987. — P. 233 - 260.

[61] Matsumura, H. Commutative ring theory / H. Matsumura, transl. from Japanese by M. Reid. — Cambridge Univ. Press, 1986. - 320 p.

[62] Mehta, V.B. Semistable Sheaves on Projective Varieties and Their Restriction to Curves / V.B. Mehta, A. Ramanathan // Math. Ann. — 1982. — Vol. 258. — P. 213 - 224.

[63] Mehta, V.B. Restriction of stable sheaves and representations of the fundamental group / V.B. Mehta, A. Ramanathan // Invent. Math. — 1984. — Vol. 77. — P. 163 - 172.

[64] Mumford, D. Geometric Invariant Theory / D. Mumford, J. Fogarty. — Second enlarged Ed. — Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1982. — 220 p.

[65] Nakashima, T. On the moduli of stable vector bundles on a Hirzebruch surface / T. Nakashima // Math. Z. — 1993. — Vol. 212. — P. 211 - 222.

[66] Newstead, P.E. Lectures on introduction to moduli problems and orbit spaces/ P. E. Newstead. — Berlin - Heidelberg - New York: SpringerVerlag, 1978. (Publ. for the Tata Institute for Fundamental Research, Bombay. Lectures on mathematics and Physics, vol. 51) — 183 p.

[67] O'Grady, K.G. The irreducible components of moduli spaces of vector bundles on surfaces / K.G. O'Grady // Invent. Math. — 1993. — Vol. 112.

— P. 585 - 613.

[68] O'Grady, K.G. Moduli of vector bundles on projective surfaces: some basic results / K.G. O'Grady // Invent. Math. — 1996. — Vol. 123. — P. 141 -207.

[69] Okonek, C. Vector bundles on complex projective spaces / C. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. — Boston-Basel-Stuttgart: Birkhauser, 1980.

— 389 p.; — (Progress in Mathematics, vol. 3).

[70] Raynaud, M. Criteres de platitude et de projectivite: Techniques de "platification" d'un module/ M. Raynaud, L. Gruson// Invent. Math. — 1971.— Vol. 13. — P. 1 - 89.

[71] Uhlenbeck, K. On the existence of Hermitian Yang-Mills connections in stable vector bundles / K. Uhlenbeck, S.-T. Yau // Comm. Pure Appl. Math. — 1986. — Vol. 39. — P. 257 - 293.

[72] Uhlenbeck, K.A note on our previous paper: On the existence of Hermitian Yang-Mills connections in stable vector bundles / K. Uhlenbeck, S.-T. Yau // Comm. Pure Appl. Math. — 1989. — Vol. XLII. — P. 703 - 707.

Работы автора по теме диссертации

[73] Тимофеева, Н.В. Компактификация в схеме Гильберта многообразия модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности / Н.В. Тимофеева // Матем. заметки. - 2007. - Т. 82, № 5. - С. 756-769.

[74] Тимофеева, Н.В. О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности / Н.В. Тимофеева // Матем. сб. — 2008. — Т. 199, № 7. — С. 103-122.

[75] Тимофеева, Н.В. О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, II / Н.В. Тимофеева // Матем. сб. — 2009. — Т. 200, № 3. — С. 95-118.

[76] Тимофеева, Н.В. О вырождении поверхности в компактификации Фит-тинга модулей стабильных векторных расслоений / Н.В. Тимофеева // Матем. заметки. — 2011. — Т. 90, № 1. — С. 143-150.

[77] Тимофеева, Н.В. О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, III: Функториальный подход / Н.В. Тимофеева // Матем. сб. — 2011. — Т. 202, № 3. — C. 107-160.

[78] Тимофеева, Н.В. Об одном изоморфизме компактификаций схемы модулей векторных расслоений /Н.В. Тимофеева // Моделир. и анализ информ. систем. — 2012. — Т. 19, № 1. — С. 37-50.

[79] Тимофеева, Н.В. О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, IV: Неприведенная схема модулей / Н.В. Тимофеева // Матем. сб. — 2013. — Т. 204, № 1. — C. 139-160.

[80] Тимофеева, Н.В. О новой компактификации модулей векторных расслоений на поверхности, V: Существование универсального семейства / Н.В. Тимофеева // Матем. сб. — 2013. — Т. 204, № 3. — C. 107-134.

[81] Тимофеева, Н.В. Инфинитезимальный критерий плоскости для проективного морфизма схем / Н.В. Тимофеева // Алгебра и анализ. — 2014. — Т. 26, №1. — С. 185-195.

[82] Timofeeva, N. V. On a morphism of compactifications of moduli scheme of vector bundles / N. V. Timofeeva // Сибирские электронные матем. известия. — 2015. — T. 12. — С. 577 - 591.

[83] Тимофеева, Н.В. Изоморфизм компактификаций модулей векторных расслоений: неприведенные схемы модулей / Н.В. Тимофеева // Мо-делир. и анализ информ. систем. - 2015. - Т. 22, № 5. - С. 629 -647.

[84] Тимофеева, Н.В. О стабильных пучках без кручения на поверхностях Хирцебруха. / Н.В. Тимофеева // Совершенствование структуры и содержания физ.-мат. образования: Материалы конф. "Чтения Ушин-ского" физ.-мат. факультета ЯГПУ. - Ярославль: Изд-во Яросл. гос. пед. ун-та, 2004. - С. 13 - 15.

[85] Тимофеева, Н.В. Новая компактификация пространства модулей стабильных 2-векторных расслоений на поверхности Хирцебруха / Н.В. Тимофеева // Матем., физика и физ.-мат. образование: Материалы конф. "Чтения Ушинского" физ.-мат. факультета ЯГПУ, - Ярославль: Изд-во Яросл. гос. пед. ун-та. - 2005. - С. 3-5.

[86] Тимофеева, Н.В. Плоское разрешение раздутия локально тривиального семейства схем / Н.В. Тимофеева // Матем., информатика и актуальные проблемы преподавания: Материалы конф. "Чтения Ушин-ского" физ.-мат. факультета ЯГПУ, - Ярославль: Изд-во Яросл. гос. пед. ун-та. - 2007. - С. 3 - 10.

[87] Тимофеева, Н.В. Новая компактификация схемы модулей стабильных векторных расслоений на алгебраической поверхности / Н.В. Тимофеева // Междунар. конф. "Анализ и особенности", посв. 70-летию В. И. Арнольда, - М.: МИАН им. В.А. Стеклова, 2007. - С. 100-102.

[88] Тимофеева, Н.В. Функторный подход к компактификации схемы модулей стабильных векторных расслоений на поверхности раздутиями в идеалах Фиттинга / Н.В. Тимофеева // Междунар. алгебраическая конф., посв. 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов, - М.: Изд-во мехмата МГУ. - 2008. - С. 225-226.

[89] Тимофеева, Н.В. О вырождении поверхности в компактификации Фит-тинга модулей стабильных векторных расслоений / Н.В. Тимофеева // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Меж-

дунар. конф., посв. 70-летию В. А. Садовничего. Тезисы докладов, — М.: Изд-во мехмата МГУ. — 2009. — С. 402.

[90] Timofeeva, N.V. New compactification for moduli of stable vector bundles, as a moduli scheme [Электронный ресурс]/ N.V.Timofeeva //Между-нар. конф. "Мальцевские чтения", посв. 100-летию со дня рождения А.И. Мальцева, 24-28 августа 2009, — Новосибирск. — 2009. — С. 183. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/09/ Abstracts/abstracts-09.pdf

[91] Timofeeva, N.V. A compactification of moduli of stable vector bundles on the surface with locally free sheaves / N.V. Timofeeva // 7th Congress of Romanian Mathematicians: June 29-July 5, 2011. Brasov, Romania: Abstracts. —Brasov. — 2011. — P. 120.

[92] Тимофеева, Н.В. Неприведенная схема модулей полустабильных пар / Н.В. Тимофеева // Моделир. и анализ информ. систем. Труды между-нар. научной конф., посв. 35-летию матем. фак. и 25-летию фак. ИВТ Яросл. гос. университета им. П. Г. Демидова. — Ярославль: Изд-во Яросл. гос. ун-та. — 2012. — С. 171-173.

[93] Timofeeva, N.V. Infinitesimal Criterion for Flatness of Projective Morphism of Schemes [Электронный ресурс]/ N.V. Timofeeva // "Мальцевские чтения": Тезисы докладов междунар. конф. Новосибирск, 1216 ноября 2012 г. — Новосибирск. — 2012. — С. 124. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/12/malmeet_2012.pdf

[94] Timofeeva, N.V. LFS-compactification of moduli for stable vector bundles on a surface: recent results/ N.V. Timofeeva //Алгебра и приложения: Труды Междунар. конф. по алгебре, посв. 100-летию со дня рождения Л.А.Калужнина. Нальчик, 6-11 сентября, 2014 г. - Нальчик, Изд-во КБГУ. — 2014. — С. 138 - 140.

[95] Timofeeva, N. A compactification of moduli of stable vector bundles on a surface by locally free sheaves / N. Timofeeva // 8th Congress of Romanian Mathematicians: Programme and Abstract Book, June 26-July 1, 2015. — Iasi: Alexandru loan Cuza University of Iasi. — 2015. — P. 63.