Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Рыбаков, Сергей Юрьевич

• Рыбаков, Сергей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рыбаков, Сергей Юрьевич

Введение

0.1 Многообразия над конечными полями и дзета-функции

0.2 Алгебраические поверхности.

0.3 Конечные групповые схемы.

0.4 Предварительные сведения об абелевых многообразиях. . . 10 0.5 Классификация дзета-функций эллиптических кривых и абелевых поверхностей.

0.6 Формулировки результатов.

0.6.1 Расслоения на коники и поверхности дель-Пеццо. . 15 0.6.2 ^-кручение абелевых многообразий и поверхности

Куммера.

0.6.3 Биэллиптические поверхности.

0.6.4 Якобианы кривых рода 3.

0.7 Благодарности.

1 Расслоения на коники

1.1 Дзета-функции расслоений на коники.

1.2 Формы проективной прямой над функциональным полем.

1.3 Основная теорема.

1.4 Явные конструкции: поверхности Шаттле.

2 Поверхности дель-Пеццо

3 Абелевы многообразия над конечными полями

3.1 Кольца эндоморфизмов абелевых многообразий.

3.2 Многоугольники Ньютона и ^-кручение.

3.3 Квадратичные расширения.

3.4 ^-кручение абелевых поверхностей.

4 Поверхности Куммера

5 Биэллиптические поверхности

6 Трехмерные абелевы многообразия и якобианы кривых рода 3 над конечными полями

6.1 Конечные подсхемы в абелевых многообразиях.

6.2 Поляризации на абелевых многообразиях.

6.3 Ядра поляризаций абелевых многообразий над, конечными полями.

6.4 Поляризации на трехмерных абелевых многообразиях.

6.5 Якобианы кривых рода 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полями»

Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечным полем к = Fq. В этом случае у многообразия есть набор важных инвариантов Nr. Для данного натурального г число Nr — это количество точек на X = Ixj;!, координаты которых лежат в Эти инварианты можно объединить в дзета-функцию многообразия (см. определение 0.1). А. Гротендик доказал, что дзета-функцию многообразия над конечным полем можно вычислить через характеристические многочлены действия Фробениуса на этальных когомологиях.

В случае, когда X — поверхность, нас будет интересовать структура дзета-функции в терминах геометрии и комбинаторики X. Для некоторых классов поверхностей получена явная классификация. Например, обобщен результат из статьи М.А.Цфасмана [Ts96], где изучался вопрос о количестве к-точек на расслоениях на коники, а также построены поверхности дель-Пеццо степени 4, дзета-функции которых были классифицированы Ю. И. Маниным [Man72].

Поскольку любая поверхность получается раздутием минимальной, достаточно вычислить дзета-функции минимальных поверхностей. Для этого нам потребуется классификация минимальных поверхностей над конечным полем. Если размерность Кодаиры неотрицательна, то достаточно классических результатов Энриквеса над алгебраически замкнутым полем, которые были доказаны Бомбьери и Мамфордом в произвольной характеристике [ВМ77]. В остальных случаях можно воспользоваться результатами В. А. Псковских и Ю.И.Манина о классификации рациональных поверхностей и расслоений на коники [Isk79] и [Мапбб].

В диссертации вычислены дзета-функции следующих типов поверхностей: расслоения на коники над гладкими проективными кривыми (теорема 0.19), поверхности дель-Пеццо степени 4 (теорема 0.20), поверхности Куммера в характеристике не равной двум (теорема 0.23) и биэллиптические поверхности в характеристике не равной двум и трем (теорема 0.24). Для работы с поверхностями Куммера используется классификация ^-кручения абелевых поверхностей (теорема 3.19), где £ — простое число, отличное от характеристики основного поля. Для получения этой классификации используется теорема 0.22 — один из центральных технических результатов работы.

Теорема 3.19 также используется для ответа на еще один вопрос. Пусть f(x) = x6+aix5+a2X4+a3XS-\-qa2X2+q2aiX-\-q3 — многочлен Вейля, соответствующий классу изогении трехмерных абелевых многообразий над конечным полем. Существует ли гладкая проективная кривая рода 3 над к, у которой был бы такой характеристический многочлен автоморфизма Фробениуса? Иначе говоря, есть ли якобиан гладкой проективной кривой в данном классе изогении?

Для абелевых поверхностей аналогичный вопрос был рассмотрен Рюкком [Ru90], который предложил некоторые достаточные условия для случая обыкновенных абелевых поверхностей. После этого многие авторы занимались дзета-функциями якобианов и разработали ряд методов (см. например, [Howe95][Howe96][Howe01]), которые работают не только для поверхностей. Окончательно вопрос для кривых рода 2 был закрыт статьей [HNR06], где также можно найти полный обзор истории этого вопроса.

Мы будем рассматривать случай, когда якобиан нашей кривой рода 3 изогенен произведению эллиптической кривой и геометрически простой абелевой поверхности. Сначала мы выясним, когда существует главная поляризация на таком многообразии, используя [Howe96], а потом применим результат из статьи [OU] и докажем, что над квадратичным расширением наше многообразие будет якобианом. Основные результаты здесь — теоремы 0.26 и 6.23.

Диссертация состоит из введения и шести глав. Во введении приведены основные обозначения и определения, базовые утверждения, необходимые в диссертации, а также формулируются основные результаты диссертации. В первой главе доказана теорема классификации дзета-функций расслоений на коники над произвольной гладкой кривой над конечным полем, и приводятся достаточные условия существования расслоений с данной дзета-функцией. Описаны дзета-функции расслоений над проективной прямой. Во второй главе результаты первой главы используются, чтобы построить поверхности