Геометрическая эквивалентность групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Гусев, Борис Владимирович

• Гусев, Борис Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гусев, Борис Владимирович

Введение

Глава 1. Предварительные сведения.

1.1 Общие понятия.

1.2 Геометрическая эквивалентность.

1.3 Уравнения в группах.

1.4 Квазимногообразия.

1.5 Пополнения нильпотентных групп.

Глава 2. Геометрические многообразия групп.

2.1 Определения и вспомогательные результаты.

2.2 Геометрические многообразия групп и предмногообра-зия.

Глава 3. Пополнения нильпотентных групп.

3.1 Геометрическая эквивалентность нильпотентных групп и их пополнений.

3.2 Примеры.

Глава 4. Геометрическая эквивалентность и квазимногообразия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрическая эквивалентность групп»

Диссертация посвящена исследованию свойств геометрической эквивалентности групп. С этой целью был определен новый класс групп — геометрическое многообразие, и изучены его свойства. При этом был рассмотрен вопрос Б.И. Плоткина о геометрической эквивалентности конечнопорожденных нильпо-тентньтх групп без кручения и их минимальных пополнений.

В серии работ Б.И. Плоткина [23] - [26] и Г. Баумслага, А. Мясникова, В. Ремесленникова, В. Романькова [2], [3]. [21] были заложены основы алгебраической геометрии над группами. В этих работах, наряду с общими вопросами, было введено понятие геометрической эквивалентности, рассмотрены основные свойства этого понятия и поставлены открытые вопросы.

В настоящей диссертации изучаются свойства геометрической эквивалентности и вводится новый класс — геометрическое многообразие групп. Этот класс групп замкнут относительно подгрупп и относительтго геометрической эквивалентности, и обладает другими интересными свойствами. В частности, классы нильпотентньтх и разрешимых групп являются геометрическими многообразиями.

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопрос, поставленный Б.И. Плоткиным на Международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева в С-Петербурге в 1997 году: будет ли геометрически эквивалентна конечнопорожден-ная нильпотентная группа без кручения своему минимальному пополнению. В диссертации приводится пример конечно порожденной нильпотентной группы без кручения ступени три, минимальное пополнение которой геометрически не эквивалентно исходной группе, а также рассматривается вопрос о геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения ранга 2 и их минимальных пополнений. Там же сформулирован и доказан критерий геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений и, как следствие, получена теорема о геометрической эквивалентности двуступенно нильпотентных групп и их минимальных пополнений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Гусев, Борис Владимирович

Заключение

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Определяется новый класс групп — геометрическое многообразие, и доказываются его свойства: замкнутость относительно геометрической эквивалентности, относительно подгрупп, декартовых степеней и локальная замкнутость.

2. Указывается связь геометрических многообразий с пред-многообразиями и другими классами групп.

3. Приводится критерий геометрической эквивалентности нильпотентных группы без кручения своим минимальным пополнениям и как следствие доказана геометрическая эквивалентность двухступенно нильпотентных групп без кручения и их минимальных пополнений.

4. Приведен пример нильпотентныой группы без кручения ступени три геометрически не эквивалентной своему минимальному пополнению и доказано, что квазимногообразие, порожденное нильпотентной группой без кручения, не обязательно совпадает с квазимногообразием, порожденным минимальным пополнением этой группы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гусев, Борис Владимирович, 2007 год

1. G. Baumslag. On the residual nilpotence of some varietal products. Trans. Airier. Math. Soc., 109 (1963), p. 357-365.

2. G. Baumslag, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory. J. Algebra, 219 (1999), p. 16-79.

3. G. Baumslag, A. Miasnikov and V. Roinan'kov. Two theorems about equationally Noetherian groups. J. Algebra, 194 (1997), p. 654-664.

4. V. Bludov. Ordered groups in which every automorphism preserves the order. Ordered Algebraic Structures, W.C. Holland, ed:, Nanjing, 1998, Gordon and Breach, 2000, p. 2328.

5. V. Bludov. Геометрическая эквивалентность групп и квазимногообразия. Логика и приложения. Тезисы межд. конф. Новосибирск, 2000, с. 18.

6. В.В. Блудов, Б.В. Гусев. Геометрическая эквивалентность нильпотентных групп. Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Тез. док. межд. конф., Омск, 1998, с. 31-32.

7. В.В. Блудов, Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности групп. "Алгебра и линейная оптимизация". Труды международного семинара, посвященного 90-летию со дня рожд. С.Н. Черникова, Екатеринбург. 2002, с. 59-65.

8. В.В. Блудом, Б.В. Гусев. О геометрических многообразиях групп. Междун. конф. "Алгебра и ее приложения". Тезисы докл. Красноярск, КГУ, 2002, с. 18-19.

9. В.В. Блудов, Б.В. Гусев. Геометрическая эквивалентность групп. Труды Института Математики и Механики УрО РАН, 2007, Том 13, № 1, с. 56-77. (Английский перевод: Ргос. Steklov Institute of Math., 2007, Suppl. 1, p. S61-S62.)

10. Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности в 3-х и %-х ступенно нильпотентных группах без кручения. Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции. Улан-Удэ, 2000, с. 140-141.

11. Б.В. Гусев. О геометрической эквивалентности нильпотентных групп без кручения ранга два. Математические системы, 6 (2007), Красноярск,

12. R. Gobel and S. Shelah. Radicals and Plotkin's prvblem concerning geometrically equivalent groups. Proc. Amer. Math. Soc., 130, 3 (2002), p. 673-674.

13. А.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М., Наука 1996.

14. П. Кон. Универсальная алгебра. Пер. с англ., М., 1968.

15. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972.

16. А.Г. Куротп. Теория групп. М., Наука, 1967.

17. А.И. Мальцев. Об одном классе однородных пространств. Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 1, с. 9-32 (см. также Избранные труды, Т. 1, М., Наука, 1976, с. 220-240).

18. А.И. Мальцев. Нилъпотентные группы без кручения. Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 3, с. 201-212 (см. также Избранные труды, Т. 1, М., Наука, 1976, с. 241-251).

19. А.И. Мальцев. Алгебраические системы. М., 1970.

20. О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романьков и др. Общая алгебра Т. 1, М., Наука, 1990.

21. A. Miasnikov, V. Remeslemiikov. Algebraic geometry over groups II: Logical Foundations. J. Algebra, 234 (2000), p. 225276.

22. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 2002.

23. В. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Israel J. of Math. 96 (1996), p. 511-522.

24. B. Plotkin. Algebraic geometry in universal algebra. Межд. алг. конф. памяти Д.К. Фаддеева, С-Петербург, 1997, с. 99100.

25. В. Plotkin. Seven Lectures on JJn iversal Algebraic Geometry. Institute of Mathematics, Hebrew University Jerusalem, Israel., Preprint No. 1., 2000/2001.

26. B. Plotkin. Some problems in nonclassical algebmic geometry. Ukrainian Mathematical Journal, 54, 6 (2002), p. 1019-1026.