Композиционные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Чиспияков, Сергей Валентинович

• Чиспияков, Сергей Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чиспияков, Сергей Валентинович

Перечень определений и условных обозначений

Введение

Общая характеристика работы

Глава 1 Обзор результатов

Глава 2 Предварительные сведения

2.1 Методы доказательств

2.2 Используемые результаты

Глава 3 Композиционные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций.

3.1. Полурешетка композиционных формаций с©.

3.2. Описание минимальных композиционных не 43 формаций.

3.3 Описание композиционных формаций содержа- 45 щих максимальную нильпотентную композиционную подформацию.

3.4 Описание композиционных формаций все пред- 50 максимальные композиционные подформации которых нильпотентны.

3.5 Минимальные ненильпотентные частично ком- 63 позиционные формации.

Глава 4 Композиционные наследственные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций.

4.1. Минимальные композиционные наследственные 69 ненильпотентными формации.

4.2. Композиционные наследственные ненильпо- 70 тентные формации, содержащие максимальную нильпотентную подформацию.

4.3. Композиционные наследственные ненильпотентные формации, все предмаксимальную наследственные композиционные подформации которых нильпотентны.

4.4 Минимальные ненильпотентные частично композиционные наследственные формации.

Глава 5 Композиционные нормально наследственные формации, с заданными системами нильпотент-ных композиционных подформаций.

5.1. Минимальные нормально наследственные ком- 81 позиционные ненильпотентные формации.

5.2. Композиционные нормально наследственные 83 ненильпотентные формации, содержащие максимальную нильпотентную подформацию.

5.3. Ненильпотентные нормально наследственные 87 композиционные формации, с предмаксимальными нильпотентными нормально наследственными подформациями.

5.4 Минимальные ненильпотентные нормально наследственные частично композиционные формации.

Выводы

Список используемых источников

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [11, 14, 15, 40, 60], а по теории классов групп в [3, 16, 24, 50, 54, 57, 59].

Класс групп - совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей.

5, Ф, ЗН - некоторые классы групп. р, q, г - простые числа.

Р - множество всех простых чисел. тг(О) - множество всех различных простых делителей порядка группы О. п(Щ - объединение множеств 7г(0) для всех групп в из множества групп X.

0 - пустое множество. - класс всех групп.

- класс всех нильпотентных групп. - класс всех р-групп.

- класс всех простых групп.

О) - класс всех групп изоморфных группе в.

Э£) - класс групп, порожденный множеством групп дс.

СКХ) - класс всех таких групп, которые являются гомоморфными образами групп из Зс.

K(G) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G.

К(Э£) - объединение классов K(G) для всех Ge И.

1 - единичная группа.

Gs - Qr-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/Meo".

А]В - полупрямое произведение групп А и В.

Soc(G) - цоколь группы G.

Op(G) - наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.

O(G) - подгруппа Фраттини группы G.

Fp(G) - наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа группы

CG(H/K) - централизатор фактора Н/К в группе G.

Fa(G) - пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы G. По определению Fa(G)=G, если в G нет главных А-факторов.

Главный А-фактор группы G - такой главный фактор группы G, чьи композиционные факторы изоморфны простой группе А.

Формация - класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Многообразие групп - класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.

Q - непустой подкласс класса

Экран - отображение f класса G во множество всех формаций групп, удовлетворяющее следующим условиям: f(l)=G; f(G)cf(Gv)nf(Kercp) для любой группы G и любого гомоморфизма ср группы G.

Композиционный экран - такой экран f, который для любой неединичной группы G f(G)=nf(A), где А пробегает K(G).

Локальный экран - экран f, удовлетворяющий следующим условиям: значения экана f на любых неединичных р-группах совпадают (это значение обозначается через f(p)), для любого простого числа р; f(G)-nf(p), где р пробегает tü(G) для любой неединичной группы G.

Q-композиционный спутник - отображение f класса Qu{Q'} во множество всех формаций групп. f-центральный главный фактор группы G - такой фактор Н/К группы G, что G/Cg(H/K) е f(H/K). f-центральный ряд - нормальный ряд группы G, все факторы которого f-центральны в группе G. - класс всех групп, обладающих f-центральными главными рядами.

Экран формации {5 - такой экран f, что {^=<f>.

Композиционная формация - формация, обладающая, по крайней мере, одним композиционным экраном.

Локальная формация - формация, обладающая, по крайней мере, одним локальным экраном.

Q-композиционная формация - формация, обладающая, по крайней мере, одним Q-композиционным спутником.

Композиционная формация специального (классического) типа -формация, обладающая таким внутренним композиционным экраном, все ненильпотентные (неабелевы) значения которого локальны.

Внутренний экран формации $ - такой экран f формации что для любой неединичной группы G имеет место f(G)c{^.

Внутренний Q-спутник формации - такой Q-спутник f формации что для любого AeQu{Q'} имеет место f(A)czQr.

Максимальный внутренний композиционный экран формации о" -максимальный элемент множества всех внутренних композиционных экранов формации

Максимальный внутренний □-композиционный спутник формации (5 - максимальный элемент множества всех внутренних □композиционных спутников формации г5.

Минимальный внутренний композиционный экран формации -минимальный элемент множества всех внутренних композиционных экранов формации

Минимальный внутренний □-композиционный спутник формации 5 - минимальный элемент множества всех внутренних □композиционных спутников формации

Произведение {^-Ф формаций и ф - совокупность всех таких групп в, что в^е{5

Наследственная (нормально наследственная) формация - такая формация, которая вместе с каждой своей группой содержит и все ее (нормальные) подгруппы.

Наследственная (нормально наследственная) частично композиционная формация (□с-формация) - такая частично композиционная формация (□с-формация), которая вместе с каждой своей группой содержит и все ее (нормальные) подгруппы.

Наследственный (нормально наследственный) экран - такой экран, все значения которого являются наследственными (нормально наследственными) формациями.

Наследственный (нормально наследственный) □-спутник - такой □-спутник, все значения которого являются наследственными (нормально наследственными) формациями.

Минимальная не ф-группа - группа, которая не принадлежит классу групп ф, но все ее собственные подгруппы классу групп ф принадлежат.

Минимальная не ф-формация - такая формация 5, которая не принадлежит классу ф, но все собственные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная композиционная не ф-формация - такая композиционная формация {5, которая не принадлежит классу ф, но все собственные композиционные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная Г2-композиционная не ф-формация - такая Окомпозиционная формация От, которая не принадлежит классу ф, но все собственные ^-композиционные подформации из 5 в классе ф содержатся.

Минимальная (нормально) наследственная не ф-формация - такая (нормально) наследственная формация которая не принадлежит классу ф, но все собственные (нормально) наследственные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная (нормально) наследственная не фо-формация - такая (нормально) наследственная О-формация которая не принадлежит классу ф, но все собственные (нормально) наследственные О-подформации из в классе ф содержатся.

Полурешетка формаций - всякое такое непустое множество формаций Э, что пересечение любого множества формаций из 6 снова принадлежит 0.

0-формация - такая формация что СГеб.

9-экран - такой экран что для любой группы О формация ^С) либо пуста, либо принадлежит 0.

Фе-критическая формация - такая 9-формация что гУ не является подклассом класса ф, но все собственные 9-подформации из в классе ф содержатся. oxmlí - формация, порожденная совокупностью групп 36, то есть пересечение всех формаций, содержащих 36.

9£огт36 - 9-формация, порожденная совокупностью групп 36, то есть пересечение всех 9-формаций, содержащих 36. с£огт36 - композиционная формация, порожденная 36.

ОсАэгтЭ^ - О-композиционная формация, порожденная 36. зГогтЭ^ЫогтЗб) - наследственная (нормально наследственная) формация, порожденная 36.

08&гтЗ£(08п&гтЭ£) - наследственная (нормально наследственная) Г^-формация, порожденная 36.

СБЯэгтЗб (сзпймтЭЕ:) - композиционная наследственная (нормально наследственная) формация, порожденная 36.

Пс8&гтЗ£(Осзпйгт:6) - композиционная наследственная (нормально наследственная) О-формация, порожденная 36. уагЗб - многообразие, порожденное совокупностью групп 36.

Секция группы О - факторгруппа А/В, где А<в и В - нормальная подгруппа группы А.

Формационная секция группы О - секция группы в, принадлежащая Аогтв.

Критическая группа - конечная группа О, не принадлежащая многообразию, порожденному всеми собственными секциями группы в.

Формационно критическая группа - конечная группа в, не принадлежащая формации, порожденной всеми собственными формационными секциями группы О.

9-базисная группа - такая формационно критическая группа, что формация 91оппО обладает единственной максимальной 9-подформацией.

-базисная группа - 9-базисная группа в случае, когда 9 - полурешетка всех формаций групп.

Максимальная 9-подформация формации <5 - такая собственная 9подформация формации {5*, что из включений где ф - 9формация, следует Ш=ф.

Предмаксимальная 9-подформация формации - такая собственная 9-подформация 5Ш формации что из включений где ф -9-формация, следует, что ф - максимальная 9-подформация формации о*. I Минимальный 9-экран формации - минимальный элемент множества всех 9-экранов формации

Примитивная группа - группа в, обладающая максимальной подгруппой М (примитиватором) с ядром Мо=1.

Монолитическая группа - неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Композиционные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций»

Множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой в и все группы изоморфные в, называется классом. В теории групп понятие класса имеет большое значение, прежде всего потому, что многие исследования в этой теории связаны с характеризацией групп, по свойствам тех или иных классов. Однако, как самостоятельное направление в рамках теории групп, теория классов начала свое развитие лишь в 30-ые годы после выхода работ Г.Биркгофа [55] и Б.Х.Неймана [61]. Первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразии, квазимногообразий и др.). После выхода в 1963 году работы В.Гашюца [58] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль, среди которых заняли формации групп. Таким образом, в рамках теории групп возникло и вполне оформилось новое научное направление - теория формаций. Напомним, что класс групп называется формацией (Гашюц, [58]А если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [3, 25, 50, 54, 57, 59].

В связи с классификацией конечных простых групп [см. 11] актуальной в теории конечных групп стала задача исследования непростых конечных групп с произвольными, необязательно абелевыми композиционными факторами [см., например [4]]. При изучении разрешимых групп основную роль играют локальные формации, то есть формаций, обладающие локальным экраном, значения которого задаются на некотором множестве простые чисел. При исследовании произвольных конечных групп на передний план выходят композиционные формации, которые определяются заданием значений экрана на некотором множестве простых групп. Понятие композиционной формации было введено Л.А.Шеметковым в 1973 году на 12-м Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Свердловске (см. [48]/ Оно заключается в следующем: функция : (£ —» {формации} называется композиционным экраном, если выполняются следующие условия:

1) 2) если А^В, то 3) где 8 пробегает

К(в) для любой группы СЬ*1.

Если, 0/С(1(Н/К) <е 1Щ/К), то фактор Н/К группы в называют ^ центральным в &

Класс О^С^ или О^СБф всех групп, у которых все главные факторы ^центральны, называется композиционной формацией, а £ -экраном этой формации.

Отметим, что каждая локальная формация является композиционной. Обзор результатов в направлении исследования композиционных формаций содержится в [12, 13, 25, 33, 50, 53, 54].

Как отмечается в [54], при изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформации заданной формации. Наличие в исследуемой формации {5 тех или иных подформаций и их взаимное расположение в является важной характеристикой этой формации.

Однако, следует отметить тот факт, что поскольку, к примеру, у любой неединичной локальной формации решетка подформаций бесконечна, то применение индуктивных рассуждений весьма затруднительно при исследовании , внутреннего строения такого рода формаций. Это обстоятельство привело к необходимости разработки особых методов исследования формаций, связанных с понятием критической формации.

Пусть 0 - произвольная непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. Формации, принадлежащие ©, называются ©-формациями.

-формация называется минимальной не ф-формацией [51] или иначе ф©-критической формацией [25], если не содержится в формации ф, но все собственные 0-подформации из 5г в ф содержатся. Общая проблема изучения ф0-критической формацией впервые была поставлена

Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году (см. [51]). В серии работ [26 - 33] А.Н.Скибой было дано решение этой задачи в случае, когда 0 - класс всех локальных формаций, а фе® некоторая формация классического типа (то есть формация с таким локальным экраном, все непустые неабелевы значения которого локальны). Аналогичные результаты для локальных наследственных и локальных нормально наследственных формаций содержатся соответственно в работах В.М.Селькина, А.Н.Скибы [22] и В.М.Селькина [24]. Критическим формациям также посвящены работы Аниськова В.В.

1], Сафонова В.Г.[17], Селькина В.М. [18-21, 23]. Общие результаты о фскритических формациях получены в работах В.А.Ведерникова, М.М.Сорокиной [5-9], М.М.Сорокиной [35-37].

В работе Таргонского Е.А. [38], получено описание всех локальных формаций, в которых все собственные локальные подформации либо нильпотентны, либо минимальные ненильпотентные формации.

В данной диссертации исследуются композиционные формации с заданными системами нильпотентных подформаций. Здесь приводится описание строения композиционных формаций все предмаксимальные композиционные подформации которых нильпотентны; минимальных частично композиционных (наследственных и нормально наследственных) не ^-формаций. Тем самым решается задача Л.А.Шеметкова об изучении ф©-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех композиционных или класс всех композиционных (наследственных и нормально наследственных) формаций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана о идеей исследования формаций с заданными системами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают ф©-критические формации, то есть такие ©формации, которые не содержатся в классе групп ф, у которых все собственные 0-подформации содержатся в ф, для некоторой непустой совокупности формаций 0. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп Л.А.Шеметковым впервые была поставлена общая проблема изучения ф©-критических формаций [51]. Решению этой проблемы посвящены работы Анискова В.В. [1], Сафонова В.Г. [17], Селькина В.М. [18-20, 22] и Скибы А.Н. [24-31], в которых исследовалось строение минимальных локальных не ф-формаций для некоторого класса групп ф.

Одним из обобщений локальных формаций являются композиционные формации. Поэтому вопрос изучения композиционных критических формаций весьма актуален и перспективен. Следует также отметить, что композиционные формации играют важную самостоятельную роль при изучении внутреннего строения непростых конечных групп. В данной диссертации исследованы частично композиционные ненильпотентные критические формации и получено полное решение вышеуказанной проблемы Л.А.Шеметкова для наследственных (нормально наследственных) частично композиционных формаций. В работе Е.А.Таргонского [38] получено описание строения локальных формаций, у которых все немаксимальные локальные подформации нильпотентны. В диссертации получено описание строения неразрешимых композиционных формаций, все предмакимальные композиционные подформации которых нильпотентны. Поскольку каждая разрешимая композиционная формация является локальной, и наоборот, каждая разрешимая локальная формация является композиционной, то таким образом получено полное описание всех композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформаци нильпотентны.

Цель и задачи исследования - построение общей теории минимальных частично композиционных не -формаций, минимальных частично композиционных наследственных (нормально наследственных) не -формаций и описание строения всех композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформации нильпотенты, всех наследственных (нормально наследственных) композиционных формаций, у которых все предмаксимальные наследственные (нормально наследственные) композиционные подформации нильпотенты,

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении композиционных формаций, наследственных и нормально наследственных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы так же при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание минимальных частично композиционных не £Д-формаций.

2) Описание минимальных частично композиционных наследственных не

-формаций.

3) Описание минимальных частично композиционных нормально наследственных не 1Д-формаций.

4) Описание композиционных формаций, все предмаксимальные композиционные подформации которых нильпотентны.

5) Описание композиционных наследственных формаций, все предмаксимальные композиционные наследственные подформации которых нильпотентны.

6) Описание композиционных нормально наследственных формаций, все предмаксимальные композиционные нормально наследственные подформации которых нильпотентны.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного педуниверситета, на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фадеева (Санкт-Петербург, 1997) на Международной алгебраической конференции Симметрия в естествознании (Красноярск 1998), на Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва 1999), на Международной алгебраической конференции (Киев-Винница 1999).

Опубликованность результатов. Все основные результаты

18

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Чиспияков, Сергей Валентинович

ВЫВОДЫ

1) В диссертации получено описание минимальных частично композиционных не -формаций;

2) получено описание минимальных частично композиционных наследственных не 91-формаций;

3) получено описание минимальных частично композиционных нормально наследственных не -формаций;

4) получено описание . композиционных формаций, все предмаксимальные композиционные подформации которых нильпотентны;

5) получено описание наследственных композиционных формаций, все предмаксимальные наследственные композиционные подформации которых нильпотентны;

6) получено описание нормально наследственных композиционных формаций, все предмаксимальные нормально наследственные композиционные подформации которых нильпотентны;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чиспияков, Сергей Валентинович, 2000 год

1. Аниськов В.В. О критических формациях // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция: Тез. докл. -Львов, 1987. 4.1 С.П-12.

2. Биркгоф Е. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 586 с.

3. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: Смоленский госпединститут, 1988. - 122 с.

4. Ведерников В.А. О некоторых классах конечных групп. // Докл. АН БССР. -1988. -Т.32. № ю. С. 872-875.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О локальных критических формациях // Международная конференция, посвященная памяти академика С.И.Чунихина: Тез. докл. Еомель, 1995. 4.1. - С.37- 38.

6. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных наследственных критических формациях. .Препринт / Брянский госпед-университет. - Брянск, 1996. - № 1. - 19с.

7. Ведерников В.А-., Сорокина М.М. О наследственных критических формациях // VII Белорусская математическая конференция : Тез. докл. Минск, 1996. 4.1. С.59.

8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных наследственных критических формациях // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К.Фадеева: Тез. докл. Санкт-Петербург, 1997. С. 179.

9. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. Еомель: Изд-во Еомельского университета, 1997 . - Вып. 11. С.6-19.

10. Ю.Ведерников В.А., Коптюх Д.Е. Частично композиционные формации групп. // Брянск БГПУ Препринт N 2, 1999, 28 с.

11. П.Еорнстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М. Мир, 1985. 352 с.

12. Каморников С.Ф., Шеметков Л.А. О корадикалах субнормальных подгрупп // Алгебра и логика. 1995. Т.34. № 5. - С.493-513.

13. Каморников С.Ф. Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп. Дисс. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук. Гомель, 1995.

14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

15. Кострикин А.Н. Ввведение в алгебру. М.: Наука, 1977. 496с.

16. Нейман X. Многообразия!групп. М.: Мир. 1969. - 264 с.

17. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не Н-формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета, 1995. Вып.8. - С. 109-138.

18. Селькин В.М. О критических формациях // Международная конференция по алгебре и анализу, посвященная памяти Н.Г.Чеботарева: Тез. докл. Казань, 1994. - С. 18.

19. Селькин В.М. О минимальных нормально наследственных локальных не Н-формациях // Международная математическая конференция, посвященная памяти С.Д.Чунихина: Тез. докл. -Гомель, 1995. 4.1. С. 115 - 116.

20. Селькин В.М. Описание минимальных наследственных локальных не ср-дисперсивных формаций // Вестник БГУ. -Минск: Унизерси гецкое, 1995. № 37 С. 72 - 73.

21. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сибирский математический журнал. 1996. № 51. С.1145-1153.

22. Селькин В.М. О критических формациях // Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996 Вып. 9, С. 120-141.

23. Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не Н-формациях//Вести АН РБ. Сер. физ.- мат. н.-1996. - № 3. - С.73 83.

24. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. -240с.

25. Скиба А.Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. и, 1980.-№ 4.-С. 27 - 33.

26. Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций // Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981. -С. 155 - 180.

27. Скиба А.Н. О формациях, порожденных классами групп // Изв АН БССР. Сер. физ.- мат. н. 1981. - № 3. - С. 33 - 39.

28. Скиба А.Н. О критических формациях // Докл. АН БССР. 1983. - Т.27, №9.-С. 780 - 782.

29. Скиба А.Н. О минимальных S-замкнутых локальных не к-сверхразрешимых формациях // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. Минск: Наука и техника,1984. -С. 53 58.

30. Скиба А.Н. О минимальных локальных не л-сверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во " Университетское ",1985. -№1. С. 105 - 112.

31. Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: ИМ АН Украины, 1993."-С. 250 - 268.

32. Скиба А.Н. Формации со сверхразрешимыми локальными подформациями // Группы и другие алгеброические системы с условиями конечности. Новосибирск: Наука. - 1984. - Т. 4. - С. 101 -118.

33. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. - Вып.7. - С.39-43.

34. Сорокина М.М. О критических формациях // VII Белоруская математическая конференция: Тез. докл. Минск, 1996. 4.1. С.84.

35. Сорокина М.М. О композиционных критических формациях // Меадународная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К. Фадеева: Тез.докл. Санкт-Петербург. 1997. С.285-286.

36. Сорокина М.М. О n-кратно композиционных формациях // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Л.М.Глускина: Тез. докл. Славянок, 1997. С. 66.

37. Сорокина М.М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета, ,1997. - Вып. 10 - С. .

38. Таргонский Е.А. О локальных формациях с нильпотентными немаксимальным!! собственными локальными подформациями. // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. 1984. Вып. 1. С. 119-124.

39. Таргонский Е.А. Неразрешимые локальные формации с системой нильпотентных подформаций. // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. 1987. Вып. 3. С. 11-16.

40. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ. 1962. -468 с.

41. Чиспияков C.B. О минимальных ненильпотентных композиционных формациях // Меадународная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К. Фадеева: Тез.докл. Санкт-Петербург. 1997. С.304.

42. Чиспияков C.B. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций. // Международная алгебраическая конференция Симметрия в естествознании. Тез. докл. Красноярск, 1998. С. 144-145.

43. Чиспияков C.B. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций. // Брянский госпедуниверситет. Брянск, 1998, 19 с. Библиогр. 12 назв. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 октября 1998 г., К 3098-И98).

44. Чиспияков C.B. О csn-формациях с нильпотентными предмаксимальными csn-подформацмями. // Международная алгебраическая конференция. Тез. докл. Киев-Винница 1999. С.

45. Чиспияков C.B. О композиционных формациях с нильпотентными предмаксимальными композиционными подформациями. // Математические заметки.

46. Чиспияков C.B. О минимальных ненильпотентных частично композиционных формациях. // Брянский госпедуниверситет. Брянск, 2000, 18 с. Библиогр. 12 назв. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ от 24 апреля 2000 г., N 1170-ВОО).

47. Шеметков J LA. Ступенчатые формации групп. Матем.сбор. 1974, 94. № 4, С. 628 - 648.

48. Шеметков Л. А. Два направления развития теории непростых конечных групп // Успехи мат. наук 1975. - Т.30, № 2. - С. 179-198.

49. Шеметков J LA. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978. - 274 с.

50. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр.VI Всесоюз. симпозиума rio теории групп. Киев: Наукова думка, 1980. С. 37 - 50.

51. Шеметков JLA. Новое направление общей алгебры // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во "Университетское", 1986. - Вып. 2. С. 3 - 7.

52. Шеметков Л.А. Композиционные формации и радикалы конечных групп // Укр. матем. ж. 1988. Т.40, № 3. - С. 369-374.

53. Шеметков Л.А. Скиба А.Н. Формации алгебраических систем М.: Наука, 1989.-264 с.

54. Birkhoff G. On structure of aljebras // Proc. Carbridge Phil. Soc. 1935. -V.31. -P.433-454.

55. Bryant R.M. Brys R.A., Hartley В. The formashion generated by a finite group // Bull Austral. Math. Soc. 1970. - V.2. N 3. - P. 347-357.

56. K.Doerk and T.Hawkes. Finite soluble groups. Wolter de Grunter, Berlin.1001. New York, 1992.-889 p.

57. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math/ Z/ 1963. Bd. 80, N4. -P. 300-305.

58. Gaschutz W. Lectures on subgroups of Sylow ture in finite soluble groups // Njte in Pure Mathematics. Caberra: Austral. Nat. Univ. - 1979. - V. 11. -100 p.

59. Huppert В. Endliche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 1967.-793 p.

60. Neumann B.H. Identical relations in groups. I. // Math. Ann. 1937. - V. 114.-P. 506 -525.