Представления гиперболических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Егоров, Андрей Владимирович

• Егоров, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егоров, Андрей Владимирович

Введение.

1 Основные понятия теории гиперболических групп

1.1 Словарная метрика на группе.

1.2 Квазиизометрии пространств.

1.3 Геометрические свойства групп.

1.4 Гиперболические пространства.

1.5 Гиперболические группы.

1.6 Алгебраические свойства.

1.7 Алгоритмические свойства.

1.8 Проблема резидуальной конечности.

1.9 Граница гиперболической группы.

2 Точные представления и топологическая динамика

2.1 Метод расщепляемых координат

2.2 Почти-периодические действия

2.3 Дистальные действия.

2.4 Слабая сходимость мер.

2.5 Теорема о неподвижной точке.

2.6 Инвариантная мера.

2.7 Почти-периодичность и дистальность

2.8 О почти-периодических группах.

2.9 Группы унитарных операторов.

3 Линеаризация гиперболических групп

3.1 Отношение проксимальности.

3.2 Минимальность и размешивание.

3.3 Когомологии и функции Буземанна.

3.4 Расширенная проблема Бернсайда.

3.5 О значении линеаризации.

3.6 Гиперболические категории.

4 Структурно устойчивые группы

4.1 Формализация полугиперболичности.

4.2 Близость и эквивалентность.

4.3 Устойчивость и неустойчивость.

4.4 Устойчивость свободных групп.

4.5 Неустойчивость группы Гейзенберга.

4.6 Открытые проблемы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Представления гиперболических групп»

Предлагаемая диссертационная работа содержит некоторые результаты, связанные с развиваемым автором подходом к вопросу о представимости линейными операторами гиперболических групп. Этот подход позволяет связать теорию гиперболических групп с техникой теории алгебраических групп и получить некоторые новые результаты о структуре гиперболических групп.

В знаменитой работе Дена [54] была решена проблема равенства слов для фундаментальной группы компактной римановой поверхности рода не меньшего двух. Исследования Дена привели к появлению алгоритма, который позволяет при благоприятных условиях решать проблему равенства слов в конечно-определенных группах, отправляясь от их задания образующими и определяющими соотношениями. В дальнейшем оказалось возможным связать многие задачи комбинаторной теории групп с изучением класса групп, проблема равенства слов в которых решается алгоритмом Дена. Один из ярких примеров подобного рода — работа С.И.Адяна [1], в которой скорость сходимости алгоритма Дена использована для оценки так называемого показателя роста группы, что позволило доказать неаменабельность некоторых свободных бернсайдовых групп.

В настоящее время, после появления теории гиперболических групп М.Громова, стала еще более ясной классическая связь алгоритма Дена с отрицательностью кривизны рассматриваемой поверхности или отрицательностью секционной кривизны более сложного гладкого многообразия. Отправляясь от базового примера фундаментальной группы компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны, М.Громов построил теорию, применяющую понятие " отрицательности кривизны" к произвольным конечно-порожденным группам, не обязательно возникающим из геометрических рассмотрений.

Используемый в теории М.Громова метод является глубоко геометрическим и опирается на развитую теорию гиперболических метрических пространств. Возможность успешного перенесения свойства отрицательности кривизны, известного первоначально только для многообразий, на произвольные геодезические пространства обеспечивается весьма глубокими геометрическими результатами, например, такими как теоремы сравнения Александрова и Топоногова. Исключительно важным инструментом оказалось понятие квазиизометрии геодезических пространств, восходящее к работам Г.А.Маргулиса. Руководством по теории гиперболических пространств могут служить монографии [9],[53].

Дальнейшее развитие теории гиперболических групп Громова показало, что класс гиперболических групп по существу совпадает с классом групп, проблема равенства слов в которых разрешима с помощью алгоритма Дена. Соответствующие результаты были получены в работе И.Г.Лысенка [20]. Таким образом, класс гиперболических групп оказывается весьма широким. Это позволяет использовать геометрическую технику теории М.Громова в таких чисто алгебраических вопросах как, например, изучение групп с одним определяющим соотношением и кручением. Класс гиперболических групп содержит также важные подклассы групп с малыми сокращениями типа С'( 1/6) и С(1/4)&Т(4). Естественно рассматривать гиперболическую теорию М.Громова как далеко идущее геометрическое обобщение теории малых сокращений и распространение некоторых идей теории малых сокращений на группы неограниченно высокой когомологической размерности.

Начальный этап развития теории гиперболических групп ознаменовался получением большого числа структурно-алгебраических и алгоритмических результатов. Достаточно упомянуть теоремы о конечной представимости гиперболических групп и конечности их рациональной когомологической размерности, о наличии свободной подгруппы в неэлементарной гиперболической группе и об автоматном представлении для произвольных гиперболических групп [10]. Были исследованы также квадратичные уравнения в гиперболических группах [11]. С помощью гиперболической техники был получен целый ряд важных результатов, связанных с аменабельностью групп, неограниченной проблемой Бернсайда и Т-свойством Каждана [9]. Разумеется, в этом кратком вступлении мы упоминаем лишь некоторые достижения структурно-алгебраического подхода в теории М.Громова.

В дальнейшем все возрастающее значение стали приобретать геометрические аспекты теории гиперболических групп. Такие важнейшие достижения как теорема Конна-Московичи [52],[34], подтверждающая гипотезу С.П.Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур для многообразий с гиперболическими фундаментальными группами, и многочисленные исследования, связанные с оценкой тонкости треугольников в гиперболических группах, фактически находятся вне пределов современной алгебры и могут быть отнесены к различным разделам алгебраической и дифференциальной топологии, а также дифференциальной геометрии " в целом".

Однако, многие важные алгебраические вопросы, связанные с понятием гиперболической группы, до сих пор остаются невыясненными. Здесь необходимо прежде всего отметить известную проблему финитной аппроксимируемости (резидуальной конечности) гиперболических групп [10] и тесно связанную с ней классическую гипотезу Баумслага о хопфово-сти групп с одним определяющим соотношением и кручением [15]. Актуальность проблемы финитной аппроксимируемости гиперболических групп обусловлена также влиянием, которое она оказывает на теорию конечных групп. Связи этой темы с проблемой Бернсайда установлены А.Ю.Ольшанским [72, проблема 12.64]. А.Ю.Ольшанский доказал аппроксимируемость гиперболической группы без кручения периодическими группами конечных экспонент [28]. Доказательство соответствующего результата для произвольных гиперболических групп получено в его совместной работе с С.В.Ивановым [69]. А.Ю.Ольшанский нашел также ряд утверждений, эквивалентных свойству всех гиперболических групп быть финитно аппроксимируемыми.

Определенный интерес представляет также еще более специальная проблема существования точного линейного представления у гиперболической группы. Наличие точного линейного представления в сочетании со знанием некоторых элементарных свойств гиперболических групп позволило бы получить альтернативные традиционным и более прозрачные с точки зрения алгебраиста доказательства всех основных структурных свойств гиперболических групп. Решение этого вопроса привело бы также к получению ряда новых теоретико-групповых результатов о группах М.Громова. Исследование такого рода служит первым шагом на пути к общей теории представлений гиперболических групп. В настоящее время построение такой теории сталкивается с существенными трудностями, т. к. гиперболические группы, подобно абсолютному большинству бесконечных дискретных групп, являются дикими.

Перейдем к краткому изложению содержания предлагаемого исследования. Первая глава имеет обзорный характер. В ней в сжатом виде представлены основные понятия теории гиперболических групп, которые используются в дальнейшем изложении. Дается краткое описание геометрического метода в комбинаторной теории групп, приводятся различные определения гиперболичности конечно-порожденных групп, сообщаются сведения о важнейших классах гиперболических групп. В этой вводной главе формулируются основные проблемы, на решение которых направлены усилия автора, приводятся известные частные результаты в этом направлении. Отдельно рассматривается важный в техническом отношении вопрос о действии гиперболической группы на своей границе.

Вторая глава содержит описание нового метода построения линейных представлений, связанного с топологической динамикой. В отличие от традиционного для высшей алгебры метода расщепляемых координат А.И.Мальцева и Ю.И.Мерзлякова, направленного на доказательство линейности групп со свойствами, группирующимися вокруг понятия нильпотентности, этот метод более приспособлен для исследования групп близких к свободным. Прежде всего в этой главе будет изучена связь между финитной аппроксимируемостью групп и почти-периодическими действиями на банаховых пространствах. Рассуждения второй главы широко используют методы абстрактного гармонического анализа. Особую роль играет в нашем подходе изучение дистальных действий групп на компактах. Развиваемая в данной главе техника усреднения по обволакивающей группе Эллиса позволяет дать характеризацию конечно-порожденных групп унитарных операторов в терминах теории динамических систем. Глава завершается общими замечаниями о возможностях предлагаемого метода.

Обсуждение возможности применения изложенного метода к гиперболическим группам составляет содержание третьей главы. Доказана эквивалентность финитной аппроксимируемости всех Гиперболических групп существованию у произвольной гиперболической группы минимального действия без размешивания. Высказываются некоторые соображения по поводу построения таких действий. В третьей главе сформулирована гипотеза о линейности гиперболических групп. Обсуждается методологическое значение полученных результатов в плане осмысления известных свойств гиперболических групп. Третья глава заканчивается принадлежащим автору истолкованием теории гиперболических групп в рамках категорного формализма Хиггинса [67]. Рассматриваются возможные связи этого формализма с теорией представлений и другими разделами математики.

М.Берже в своем очерке [44], посвященном творчеству М.Громова, указывает на предлагаемую последним философию "трех состояний". Типичная дискретная бесконечная группа должна быть отнесена к одному из трех типов: эллиптическому, гиперболическому или параболическому. Такое деление характерно для коник, уравнений в частных производных и других математических объектов. В теории групп к эллиптическому типу должны быть отнесены конечные группы, а к гиперболическому — гиперболические группы М.Громова. Понятие параболической или полугиперболической группы до сих пор не имеет общепринятого определения. Теория полу гиперболических групп должна охватывать фундаментальные группы компактных римановых многообразий неположительной секционной кривизны и однородные дискретные подгруппы вещественных полупростых групп Ли, которые имеют вещественный ранг не ниже Двух.

Заключительная четвертая глава посвящена описанной выше проблеме определения полугиперболических групп. Она начинается кратким обзором наиболее известных подходов к понятию полугиперболичности. Необходимо отметить, что в данном вопросе геометрическая теория дискретных групп сталкивается со значительными трудностями. Многие из предлагаемых определений полугиперболичности не имеют доказательства корректности, т. е. независимости от выбора образующих. Предлагается обсуждение некоторых понятий этого рода: почти выпуклости по Каннону, причесываемости по Терстону и др.

Согласно известной теореме жесткости Мостова геометрия компактного гиперболического многообразия фактически однозначно определяется его фундаментальной группой. Поэтому можно рассчитывать на появление конструкции геодезического потока, которая осуществляется непосредственно по фундаментальной группе многообразия отрицательной кривизны. Одна конструкция подобного рода представлена в работе М.Громова [64]. Геодезический поток гиперболической группы определен с точностью до траекторной эквивалентности и ему присущи многие свойства геодезических потоков на гиперболических многообразиях. Знаменитая теорема Д.В.Аносова о структурной устойчивости гиперболических динамических систем приводит к предположению, что структурная устойчивость должна быть разумным обобщением гиперболичности и в контексте теории гиперболических групп.

В четвертой главе рассматривается одно из возможных уточнений концепции структурной устойчивости дискретных групп. Соответствующее понятие введено автором. Излагается доказательство структурной устойчивости свободных групп и приводится пример структурно неустойчивой группы. Понятие структурной устойчивости можно рассматривать как одно из возможных уточнений неформального понятия полугиперболичности.

Заключение посвящено формулировке ряда проблем комбинаторной теории групп, связанных с основными результатами данной работы. В приложении приводятся теоремы функционального анализа, используемые в рассуждениях основного текста.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

• характеризацил конечно-порожденных групп унитарных операторов 8 как групп допускающих эффективные дистальные действия на компактах с определенным условием на геометрию вложения в группу Вора;

• эквивалентность проблемы финитной аппроксимируемости гиперболических групп и проблемы существования у гиперболических групп минимальных действий на компактах без размешивания;

• структурная устойчивость конечно-порожденных свободных групп и структурная неустойчивость группы Гейзенберга.

Результаты диссертации опубликованы автором в работах [87],[88],[91]. Некоторые из них были доложены на конференции по универсальной алгебре и теории решеток, проходившей под эгидой Международного Конгресса математиков в Будапеште в 1996 году, на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева, проходившей в Санкт-Петербурге в 1997 году, и на 21 конференции Молодых ученых МГУ, проходившей в Москве в 1999 году, а также на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Основные результаты данной работы были доложены автором в Математическом институте им. В.А.Стеклова (Российская академия наук) на семинаре по алгебраической геометрии под руководством чл.-корр. А.Н.Паршина и акад. И.Р.Шафаревича.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.А.Артамонову за постоянное внимание к данной работе и многочисленные полезные обсуждения полученных результатов, а также с.н.с. А.А.Клячко, проф. А.Ю.Ольшанскому, д.ф.-м.н. Е.Б.Плоткину, проф. В.И.Сущанскому и проф. А.Л.Шмелькину за ряд ценных советов и замечаний. Автор также признателен д.ф.-м.н. С.В.Иванову, с которым он имел возможность обсудить некоторые вопросы теории групп.

Автор сердечно благодарен проф. В.Н.Латышеву и проф. А.В.Михалеву, замечания которых способствовали улучшению изложения материала данной работы.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Егоров, Андрей Владимирович

Заключение

В предложенной диссертации рассматривались вопросы точной матричной представимости и финитной аппроксимируемости гиперболических групп М.Громова. В заключение отметим некоторые сюжеты, развивающие тематику линеаризации и аппроксимации гиперболических групп. Следует отметить связи с алгебраической геометрией и теорией алгебраических групп, а также алгебраической топологией. Особое место занимает параллель с проблемой финитной аппроксимируемости групп промежуточного роста.

1. Группы аделей и арифметичность

Хрестоматийная теорема А.И.Мальцева утверждает, что финитная аппроксимируемость является следствием линейности в случае групп с конечным числом порождающих. Другим важным свойством аппроксимации является финитная аппроксимируемость относительно сопряженности. Напомним, что группа G называется финитно аппроксимируемой относительно сопряженности, если для любых двух не сопряженных в ней элементов д и д' найдется гомоморфизм G в конечную группу, переводящий эти элементы в несопряженные элементы конечной группы.

Заметим, что финитная аппроксимируемость относительно сопряженности является более сильным свойством по сравнению с финитной аппроксимируемостью. Однако, связи свойства финитной аппроксимируемости относительно сопряженности с линейностью более сложны. В Коуровской тетради М.И.Каргаполовым была поставлена проблема [17, проблема 2.16], в которой требовалось выяснить, будет ли произвольная конечно-порожденная линейная группа финитно аппроксимируемой относительно сопряженности. Ответ на этот вопрос оказался, вообще говоря, отрицательным. Именно, В.П.Платонов и Г.В.Матвеев показали [29], что матрица

4 15 0

1 4 0

0 0 1 и матрица

4 5 О' 3 4 0

1° 0 Ч финитно сопряжены (т. е. сопряжены в каждом конечном факторе), но не сопряжены в группе GL(3, Z). Поэтому в общем случае финитная аппроксимируемость относительно сопряженности не является следствием существования точного линейного представления.

Однако, возможно, что для некоторых типов гиперболических групп удастся доказать финитную аппроксимируемость относительно сопряженности. Косвенным указанием на такую возможность может служить алгоритмическая разрешимость проблемы сопряженности в гиперболических группах [64].

Исследование финитной аппроксимируемости относительно сопряженности также связано с изучением так называемых групп аделей. Это направление арифметической теории алгебраических групп отражено в монографии [30]. В исследовании арифметики гиперболических групп следующий вопрос представляется основным.

Проблема. Какие гиперболические группы без кручения являются арифметическими? Можно задать более трудный вопрос о существовании точного представления в группе GL{n,Z).

Примеры неарифметических гиперболических кристаллографических групп отражений приведены в работе В.С.Макарова [22]. Неясно какие условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы конечно-порожденная линейная группа была арифметической. Известна так называемая гипотеза Платонова: любая конечно-порожденная линейная группа конечного представленческого типа арифметична. Однако, нельзя ожидать, что гиперболическая группа является группой конечного представленческого типа.

Видимо, решение вопроса об арифметичности гиперболических групп без кручения позволит начать классификацию гиперболических групп. Вопрос об арифметичности связан с проблемой конечной определенности группы автоморфизмов гиперболической группы [72, проблема 13.12]. Связи такого рода в случае полициклических групп можно проследить по

94 докладу Верфрица [86].

2. Группы промежуточного роста

Известна гипотеза о том, что все группы промежуточного роста финитно аппроксимируемы. Доказательство этой гипотезы представляет собой трудную алгебраическую проблему даже для группы почти вложимой в свою конечную декартову степень в качестве подгруппы конечного индекса (группы такого рода имеют промежуточный рост и все известные группы промежуточного роста относятся к этому типу). Алгебраическая проблема финитной аппроксимируемости таких групп упоминается в обзоре [11]. Наш подход позволяет выдвинуть эквивалентную топологическую проблему.

ПРОБЛЕМА. Построить эффективное дисталъное действие группы промежуточного роста на некотором метризуемом компактном пространстве.

Для некоторых конкретных групп промежуточного роста такое построение осуществляется вполне естественно. Заметим, что группы промежуточного роста аменабельны. Это легко показать, применив критерий Фелнера.

3. Алгебраическая геометрия

Важное понятие гиперболического алгебраического многообразия достаточно естественным образом формулируется на языке алгебраической геометрии и находит применение в различных диофантовых задачах. Ясно, что этальная фундаментальная группа такого многообразия также должна быть в определенном смысле "гиперболической". В случае комплексного проективного многообразия X этальная фундаментальная группа 7if (X) является проконечным пополнением обычной топологической фундаментальной ГруППЫ 7Ti(X).

Таким образом, возникает проблема систематического перевода результатов теории гиперболических групп на язык алгебраической геометрии. Можно отметить также предположение о том, что произвольная гиперболическая группа почти вся изоморфно вкладывается в некоторую про-р-группу (предположение 3.6.5). Извлекаются ли отсюда какие-либо соотношения между числом образующих и соотношений в гиперболических группах? Этот вопрос отчасти связан с теоремой Голода-Шафаревича.

4. Двойственность Чжу

В предложенной диссертационной работе была выдвинута и обсуждена гипотеза о том, что произвольная гиперболическая группа Громова является максимальной почти-периодической группой. С точки зрения абстрактного гармонического анализа особый интерес представляют максимальные почти-периодические локально-компактные группы с так называемой двойственностью Чжу [66]. Эти группы полностью определяются своей категорией представлений (глава 2, параграф 8). К числу таких групп относятся компактные группы, локально компактные абелевы группы, группы Мура и Такахаси.

Известно, что локально-компактная топологическая группа G является группой Чжу тогда и только тогда, когда некоторое вполне определенное каноническое соответствие между пространствами Hom(G, Z) и Hom(Zi,G) является гомеоморфизмом [66]. Степень удаленности данной гиперболической группы G от класса групп с двойственностью Чжу можно исследовать, сравнивая компактно-открытые топологии в пространствах гомоморфизмов Hom{G1 Z) и Hom(Z,G).

5. Фредгольмовы представления

В ряде случаев рассмотрение одних только конечномерных представлений гиперболических групп может оказаться недостаточным. Однако, рассмотрение всех бесконечномерных унитарных представлений в этом случае вряд ли оправдано. Весьма продуктивный класс бесконечномерных представлений дискретных групп, называемых фредголъмоеыми

96 представлениями, введен А.С.Мищенко. Фредгольмовы представления позволяют различать инвариантные объекты, связанные с гладкими многообразиями, которые не всегда различимы с помощью конечномерных представлений. Такими объектами являются эрмитовы формы, элементы К-функтора классифицирующих пространств и т.п. Подробно с определением фредгольмова представления можно ознакомиться по материалам работ [24], [25], [33].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Егоров, Андрей Владимирович, 2000 год

1. Адян С.И. Случайные блуждания на свободных периодических группах // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1982. — 46, 6. — с. 1139-1149

2. Андронов А.А., Понтрягин JI.C. Грубые системы. — в книге Андронов А.А. Собрание трудов. — М. 1956. — с. 183-187

3. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. матем. инст. им. В.А.Стеклова 90. — 1967 — 208 с.

4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.гНаука, 1977. — 351 с.

5. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. — М: Мир, 1977. — 207 с. (Пер.: Brocker Th., Lander L. Differentiable germs and catastrophes. — London Math. Soc. Lect. Note Ser. 17, Cambridge Univ. Press, 1975)

6. Бронштейн И.У. Расширения минимальных групп преобразований. — Киш.:Штиинца, 1975. — 308 с.

7. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.:Наука, 1968. — 272 с. (Пер.: N.Bourbaki Elements de mathematique. Topologie generale. — Hermann)

8. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. / Методы гомологической алгебры, том 1, Введение в теорию когомологий и производные категории. — М.: Наука, 1988. — 411 с.

9. Гиперболические группы по Михаилу Громову, под ред. Э.Гиса и П.де ля Арпа. — М.:Мир, 1982. — 269 с. (Пер.: Ghys Е., de la Harpe

10. P. Sur les groupes hyperboliques d'apres Mikhael Gromov. Progress inmathematics, vol. 83. — Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1990)102

11. Гис Э. Гиперболические группы // Математика. Новое в зарубежной науке, 48. — Труды семинара Н.Бурбаки за 1990 год. — М.:Мир, 1996.с. 151-178

12. Григорчук Р.И., Курчанов П.Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. — 1990. — 58. — с. 191-256

13. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения. — М.:Мир, 1973. — 135 с. (Пер.: Greenleaf F.P. Invariant Means on Topological Groups and Their Applications. — Van Nostrand Reinhold Сотр., 1969)

14. Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп // Мат. сборн. — 1991. — 182, 4. — с. 568-592

15. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.:Наука, 1982. — 288 с.

16. Коллинз Д., Цишанг X. Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. — 1990. — 58. — с. 5-190

17. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. — М.:Наука, 1986. — 231 с.

18. Коуровская тетрадь. Нерешенные задачи теории групп. — Новосибирск, 1967

19. Куратовский К. Топология, т.1. — М.:Мир, 1966. — 594 с. (Пер.: K.Kuratowski Topology, volume 1. — Academic Press. New York and London, 1966)

20. Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.:Мир, 1980.447 с. (Пер.: Lyndon R.C., Shupp Р.Е. Combinatorial Group Theory. Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete 89. — Ber.-Hdlb.-N.Y., Springer Verlag, 1977)

21. Лысенок И.Г. О некоторых алгоритмических свойствах гиперболических групп // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1989. — 53, 4. — с. 814-832

22. Люмис JI. Введение в абстрактный гармонический анализ. — М.:ИЛ, 1956. — 251 с.

23. Макаров B.C. Об одном классе разбиений пространства Лобачевского // ДАН СССР. — 1965. — 161. — с. 277-278

24. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — М.: Наука, 1987. — 448 с.

25. Мищенко А.С. Перестройки неодносвязных многообразий. — Дополнение к книге В.Браудера Перестройки односвязных многообразий. — М.:Наука, 1984. — с. 177

26. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П. Представления банаховых алгебр и формулы типа Хирцебруха // Мат. сборн. — 1980. — 111, 2. — с. 209-226

27. Ольшанский А.Ю. Бесконечная простая нетерова группа без кручения // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1979. — 43, 6. — с. 1328-1393

28. Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР, Сер. мат. — 1980. — 44, 2. — с. 309-321

29. Ольшанский А.Ю. Периодические фактор-группы гиперболических групп // Мат. сборн. — 1991. — 182, 4. — с. 543-567

30. Платонов В.П., Матвеев Г.В. Группы аделей и финитная аппроксимируемость линейных групп относительно сопряженности // Докл. АН БССР. — 1970. — XIV, 9. — с. 777-779

31. Платонов В.П., Рапинчук А.С. Алгебраические группы и теория чисел. — М.:Наука, 1991. — 654 с.

32. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. — М.:Наука, 1982. — 447 с.

33. Смирнов Д.М. К теории финитно аппроксимируемых групп // Укр. мат. журнал. — 1963. — 15, 4. — с. 453-457

34. Соловьев Ю.П. Дискретные подгруппы, комплексы Брюа-Титсаи гомотопическая инвариантность высших сигнатур // УМН. — 1976. — 31, 1. — с. 261-262

35. Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.'Факториал, 1996. — 352 с.

36. Тартаковский В.А. Метод решета в теории групп // Мат. сборн. — 1998. — 25. — с. 3-50

37. Хьюитт Э, Росс К. Абстрактный гармонический анализ I. — М.:Наука, 1975. — 654 с.

38. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.-.Наука, 1989. — 638 с.

39. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. — М.:Мир, 1969. — 1071 с. (Пер.: Edwards R.E. Functional Analysis. Theory and Applications. — Holt, Rinehart and Winston, 1965)

40. Abikoff W. Constructability and Bers stability of Kleinian groups // Dis-continious groups and Riemann surfaces. — Princeton, 1974. — c. 3-12

41. Alonso J.M. Combings of groups // prepublication M.S.R.I., 04623-89

42. Alperin R.C., Shalen P.R. Linear groups of finite cohomological dimension // Invent. Math. — 1982. — 66. — c. 89-98

43. Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups //J. London Math. Soc. — 1963. — 38, 1. — c. 117-118

44. Berger M. Rencontres avec un geometre // Gazette des Mathematiens. — 76, avril 1988; 77, juillet 1998

45. Bers L. On boundaries of Teichmiiller spaces and on Kleinian groups I. // Ann. of Math. — 1970. — 91, 3. — c. 570-600

46. Bowdich B. Notes on Gromov's hyperbolicity criterion for path metric spaces. — University of Warvick, 1989105

47. Brenner Sh., Butler M.C.P. Generalisation of the Bernstein-Gelfand-Ponomarev reflection functors. Lect. Notes Math. — Ber.-Hdlb.-N.Y.: Springer. — 1980. — 832. — c. 103-170

48. Britton J.L. Solution of the word problem for certain types of groups I, II. // Proc. Glasgow Math. Assoc. — 1956. — 3. — c. 45-54; 3. — c. 68-90

49. Cannon J.W. Almost convex groups // Geom. Dedicata. — 1987. — 22.c. 197-210

50. Cannon J.W. Negatively curved spaces and groups; negatively curved groups; the problem of constant negative curvature // Topical meetings on hyperbolic geometry and ergodic theory. — Trieste, avril 1989. — c. 17-28

51. Cannon J.W., Epstein D.B.A., Holt D.F., Paterson M.S., Thurston W.P. / Word processing and group theory // University of Warvick, 1988, preprint

52. Connes A., Moscovici H. Conjecture de Novikov et groupes hyperboliques // C.R. Acad. Sci. Paris. — 1988. — 307, Serie I. — c. 475-480

53. Coornaert M., Delzant Т., Papadopulos A. Notes sur les groupes hyperboliques de Gromov. — I.R.M.A. Strasbourg. — 1989. — 76 c.

54. Dehn M. Uber unendliche discontinuerliche Gruppen // Math. Annal. — 1912. — 71, 1.4, 5, II.3. — c.116-144

55. Deligne P. Milne J.S. Tannakian categories // Hodge cycles, motives and Shimura varieties. — Lect. Notes Math., vol. 900. — Springer, 1982. — 414 c.

56. Ellis R. Distal transformation groups // Pacific J. Math. — 1958. — 8, 3.c. 401-405

57. Furstenberg H. The structure of distal flows // Amer. J. Math. — 1963.85. — c. 477-515

58. Gardiner F., Kra I. Stability of Kleinian groups // Indiana Univ. Math J.1972. — v. 21, 1. — c. 1037-1039

59. Gersten S.M., Short H. Small cancellation theory and automatic groups.

60. M.S.R.I., 1989. — preprint, 39 c. — Part 2. — 28 c.

61. Gerstenhaber M., Rothaus O.S. The solution of sets of equations in groups // Proc. Nat. Acad. Sci. — 1962. — 48. — c. 1951-1953

62. Gleason A. Groups without small subgroups // Ann. Math. — 1952. — 56. — c. 193-212

63. Grindlinger M.D. On Dehn's algoritm for the conjugacy and word problems with applications // Comm. Pure Appl. Math. — 1960. — 13. — c. 641-677

64. Gromov M. Groups of polinomial growth and expanding maps // Publ. Math. I.H.E.S. — 1981. — 53. — c. 53-73

65. Gromov M. Hyperbolic groups J J Essays in group theory, ed. S.M.Gersten, M.S.R.I., Publ. 8, Springer, 1987, c. 75-26365. de la Harpe P. Free groups in linear groups // L'Enseignement math. — 1983. — 29. — c. 129-144

66. Heyer H. Groups with Chu duality. — Probability and Information Theory II. — Lect. Notes Math., vol. 296. — B.-Hdlb.-N.Y.: Springer, 1973. — c. 181-215

67. Higgins P.J. Notes on categories and groupoids. — Van Nostrand Reinhold Math. Studies 32. — London, 1971 — 178 c.

68. Higman G. The units of group rings // Proc. London Math. Soc. — 1940.46. — c. 231-248

69. Ivanov S.V., Ol'shanskii A.Yu. Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponent // Trans. Amer. Math. Soc. — 1996. — 348, 6. — c. 2091-2138

70. Ivanov S.Y. On aspherical group presentations // Kurosh algebraic conference' 98, Abstracts of talks, ed. Yu.A. Bahturin, A.I.Kostrikin, A.Yu.Ol'shanskii. — Moscow State Univ., Moscow, 1998. — c. 62

71. Jarosz K. Perturbations of Banach algebras. — Lect. Notes in Math., 1120.

72. Berlin, Springer, 1985. — 118 c.107

73. Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook. — Novosibirsk, 1995. — Thirteenth augmented edition.

74. Lyndon R.C. On Dehn's algoritm // Math. Ann. — 1966. — 166. — c. 208-228

75. Margulis G.A. Groupes discrets d'isometries des varietes a courbure negative // Proceed. I.C.M., vol. 2. — Vancouver, 1974. — c. 21-34

76. Margulis G.A., Soifer G.A. Maximal subgroups of infinite index in finitely generated linear groups // J. of Alg. — 1981. — 69, 1. — c. 1-23

77. Namioka I., Asplund E. A geometric proof of Ryll-Nardsiewsky's fixed point theorem // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — 73, 3. — c. 443-445

78. Ol'shanskii A.Yu. Almost every group is hyperbolic // Intern. Jour, of Alg. and Сотр. — 1992. — 2, 1 — с. 1-17

79. Pride S.J. The isomorphism problem for two generator one-relator groups with torsion is solvable // Trans. Amer. Math. Soc. — 1977. — 227. — c. 109-139

80. Ryll-Nardzewski C. On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces // Proc. of the Fifth Berkeley Symposium on Math. Statistics and Probability, v. II., p. I — Berkeley, 1966. — c. 55-61

81. Saavedra S. Categories tannakiennes. — Lect. Notes in Math., vol. 265. — Springer, 1972. — 418 c.

82. Schiek H. Ahnlichkeitsanalyse von Gruppenrelationen // Acta Math. — 1956. — 96. — c. 157-252

83. Serre J.-P. Trees. — Ber.-Hdlb.-N.Y.: Springer, 1980. — 142 c.

84. Thoma E. Eine Characterisierung diskreter Gruppen von Тур I // Invent. Math. — 1968. — 6. — c. 190-196

85. Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds. — Lect. Notes Princeton, 1978-79

86. Wehrfritz B.A. Infinite linear groups. — Berlin, 1973. — 229 c.

87. Three lectures on polycyclic groups. — Queen Mary College Math. Notes.1.ndon, 1973

88. Егоров А.В. Финитная аппроксимируемость групп и топологическая динамика // Матем. сб. — 2000. — 191, 4. — с. 53-66

89. Егоров А.В. О конечно-порожденных группах унитарных операторов // УМН. — 1999. — 54, 3. — с. 159-160

90. Egorov A.V. Hyperbolic categories // Conference on Universal Algebra and Lattice Theory, Szeged, Hungary. — 1996, July 15-19. — c. 9

91. Egorov A.V. Structurally stable groups // International Algebraic conference dedicated to the memory of D.K.Faddeev, St.Petersburg, Russia. — 1997, June 24-30. — c. 42

92. Egorov A.V. Structural stability of free groups // Comm. in Alg. — 1998.vol. 26, numb. 6. — c. 1923-1929