Группы с нильпотентным коммутантом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Лапшина, Елена Сергеевна

• Лапшина, Елена Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лапшина, Елена Сергеевна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Общие понятия.

1.2 Примитивные элементы и примитивная ширина группы.

1.3 Упорядочиваемые группы.

Глава 2. Примитивная ширина относительно свободных групп

2.1 Вспомогательные результаты.2С

2.2 Оценки примитивной ширины групп из многообразий тд.

2.2 Оценки примитивной ширины групп из многообразий Шк.

Глава 3. Доупорядочиваемость групп без Г-кручения из многообразия П

3.1 Нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов Епс1(С, Л).

3.2 Основной результат.

Глава 4. Пример неупорядочиваемой группы без Г-кручения с двуступенно нильпотентным коммутантом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Группы с нильпотентным коммутантом»

Диссертация посвящена исследованию свойств групп с пиль-потентным коммутантом и групп, являющихся расширениями абелевых групп с помощью нильпотентных. При этом рассматриваются вопросы оценки примитивной ширины свободных групп многообразий с G N, и ШЛд., к £ N, и вопросы упорядочиваемости и доупорядочиваемости групп с ниль-потентным коммутантом.

Понятие примитивной ширины свободной в некотором многообразии группы было введено В.А. Романьковым в связи с проблемой автоморфной сопряженности элементов группы. Эта проблема связана с более широкой проблемой строения групп автоморфизмов относительно свободных групп, исследование которой нашло отражение в ¡заботах С. Андреадакиса, С. Ба-хмута, P.M. Брайента, К. Гупты, Н. Гупты, О.Н. Мацедонской, Ф. Левина, В.А. Романькова, В. Шпильрайна и др. (см. [22, 24, 25, 27, 30, 37, 38]). Ученицей В.А. Романькова Е.Г. Смирновой были получены оценки примитивной ширины свободных абелевых и метабелевых групп (см. [3G]).

В диссертации по оценке примитивной ширины были получены следующие результаты. Примитивная ширина свободных нильпотентных нециклических групп равна 2 (следствие 2.2), примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразий с е М, не превышает четырех, а примитивная ширина свободных двухпорожденных групп таких многообразии равна трем (следствие 2.3). Примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразий 2101а-, к Е М, ограничена сверху числом 2 и, примитивная ширина свободных групп ранга?? > 2 многообразия 210^2 ограничена сверху числом п + 1 (теорема 2.4). Также получены оценки примитивной ширины свободных по-линильпотентных групп многообразий с, Л: Е N (следствие 2.4).

Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопросы упорядочиваемости групп. Теория упорядочиваемых групп берет свое начало с характеристики архимедово упорядочиваемых групп, полученной Гельдером в начале двадцатого столетия. Дальнейшие результаты уже датируются концом сороко-' вых годов прошлого века, когда К. Ивасава и А.И. Мальцев независимо друг от друга получили описание структуры упорядоченных групп в терминах выпуклых подгрупп. В тоже время А.И. Мальцев и Б. Нейман доказали, что упорядоченные группы вкладываются в упорядоченные поля частных. С тех пор теория упорядочиваемых групп привлекает к себе большое внимание и развивается быстрыми темпами. Особый вклад в развитие теории линейно упорядоченных групп внесли А.И. Кокорин, Д.М. Смирнов, В.М. Копытов, В.В. Блудов, Н.Я. Медведев, А. Гласс, А. Ремтулла и другие.

Одной из основных задач теории упорядочиваемых групп является изучение взаимосвязи между свойствами упорядочиваемости и теоретико-групповыми условиями, такими как нильпотентность, разрешимость, конечность ранга и т. д. В этом направлении были получены результаты об упорядочиваемости нильпотентных, метабелевых, центрально-метабелевых и других классов групп (см. [8, 35]). Одним из важных направлении в исследованиях по теории упорядочиваемых групп является изучение роли нильпотентности и ее обобщений (центральные системы выпуклых подгрупп, энгелевость и др.). С.А. Гурчен-ков (см. [4]) доказал теорему о вложении линейно упорядоченных групп в линейно упорядочение группы с полной нормальной локально нильпотентной подгруппой. U.K. Ким и А.Х. Рем-тулла (см. [32]), основываясь на работе Н.Я. Медведева (см. [19]), доказали нильпотентность ограниченно энгелевых линейно упорядоченных групп. Отметим также работы В.М. Копы-това и Н.Я. Медведева (см. [9]), В.В. Блудова, A.M.У. Гласса и А.Х. Ремтуллы (см. [26]), в которых изучались линейно упорядоченные группы с центральной системой выпуклых подгрупп.

• В диссертации исследуется вопрос об упорядочиваемости и доуиорядочиваемости групп без Г-кручения из многообразий 0Тс21П2Шь с, к 6 N. Известно, что если некоторое многообразие Ш раскладывается в произведение двух нетривиальных многообразий: ЯЯ = 9Я\ • Ш?2 н при этом многообразие содержит некоммутативные группы, то нециклические свободные группы многообразия Ш недоупорядочиваемы (В.Н. Ремесленников, см. теорему 1.22). Тем самым нециклические свободные группы многообразий с > 1, недоупорядочиваемы. Будут ли доупорядочиваемы свободные группы многообразий к > 1, пока неизвестно. Отметим, что до настоящего времени было известно только два примера многообразии, чьи свободные группы доупорядочиваемы, - это многообразия нильпотентных групп любой заданной ступени нильпотентности (А.И. Мальцев, см. теорему 1.17) и многообразие метабе-левых групп (В.М. Кокорип, см. теорему 1.18). Поскольку пересечение многообразий 2191k и 9ТС21 содержит как многообразие метабелевых, и так и нильпотентных групп, то естественно возникли вопросы об упорядочиваемости и доупорядочива-емости групп без Г-кручения из этого многообразия. Этот вопрос решен в диссертации положительно: доказана доупорядо-чиваемость групп без Г-кручения из многообразий 01С21П2101^., с, к е N (теорема 3.2).

Отсутствие в группе Г-кручения является необходимым, а для некоторых классов групп (метабелевые, центрально-метабе-левые группы, (локально) нильпотентные группы) и достаточным условием упорядочиваемости группы. То, что это условие недостаточно в общем случае, показали примеры, построенные В.В. Блудовым и А. Ремтуллой (см. параграф 1.3). Вопрос о достаточности отсутствия Г-кручения для упорядочиваемости групп с нильпотентным коммутантом (групп из многооразий О?с21, с Е N) до сих пор оставался открытым. Многообразие центрально-метабелевых групп, для которых рассматриваемое условие является критерием упорядочиваемости, включается в каждое из многообразий с > 2, при этом ни одного примера неупорядочиваемой группы из этих многообразий без Г-кручения известно не было. В 1977 году А. Ремтулла доказал, что всякая группа конечного ранга с нильпотентным коммутантом без Г-кручения упорядочиваема (см. теорему 1.23). В диссертации показано, что для бесконечного ранга это неверно: построен пример неупорядочиваемой группы с двуступенно нильпотентным коммутантом без Г-кручения.

Обе темы исследований — примитивная ширина относительно свободных групп и вопросы упорядочиваемости групп — связаны единым объектом исследований, в основном, это группы с нильпотентным коммутантом, а также единой методикой исследований, вычислением коммутаторных соотношений.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Лапшина, Елена Сергеевна

Заключение

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказано, что для любого многообразия групп 11 свободные группы одинаковых рангов многообразий 97Д1, с Е N, и 2Ш имеют одинаковую примитивную ширину.

2. Получена оценка примитивной ширины свободных нециклических групп многообразий 9ТС21, с Е N. Вычислена примитивная ширина свободных групп ранга 2 многообразий тс%, с Е N.

3. Получена оценка примитивной ширины свободных нециклических конечнопорожденных групп многообразий 2191а-и ОТеОТь с Е N,k Е N.

4. Доказано, что отсутствие Г-кручения является необходимым и достаточным условием доупорядочиваемости группы из многообразий 2107а- Г)97с21, с, к Е N.

5. Построен пример неупорядочиваемой группы без Г-кручения, коммутант которой двуступенно нильпотентен.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лапшина, Елена Сергеевна, 2005 год

1. Блудов В.В. Пример неупорядочпваемой грушш со строго изолированной единицей // Алгебра и логика. — 1972. — 11, № G. С. C19-G32.

2. Блудов В.В., Лапшина Е.С. Вопросы упорядочения групп с нильпотентным коммутантом // Тез. докл. межд. конф. "Алгебра и ее приложения", 5-9 авг. 2002 г. — Красноярск, 2002. С. 19-20.

3. Блудов В.В., Лапшина Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом // Снб. мат. жур. — 2003. — Т. 44, ^ 3. С. 1-8.

4. Гурченков С.А. О пополнении инвариантных локально нильпотентных подгрупп линейно упорядоченных групп // Матем. заметки. 1992.- 51, jV 2. - С. 35-39.

5. Каргаполов М. П., Мерзляков Ю. II. Основы теории групп AL: Наука, 1982. - 288 с.

6. G. В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. — М: Наука, 1974. — 455 с.

7. Кокорин А.И. К теории доупорядочиваемых групп // Алгебра и логика. 19G3. - 2, jVG. - С. 15-20.

8. Кокорин А.II., Копытов B.AI. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972. - 200 с.

9. Копытов D.M., Медведей Н.Я. О линейно упорядоченных группах, система выпуклых подгрупп которых центральна // Матем. заметки. 1976. - 19, jV 1. - С. 85-90.

10. Копытов В.М., Медведев Н.Я. Правоупорядоченные группы. — Новосибирск: Научная книга, 199G. — 255 с.

11. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 19G7. — 648 с.

12. Лапшина Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом // Вестн. Ирк. ун-та. Специальный выпуск: Материалы ежегодн. научн.-теор. конф. молодых ученых. Иркутск: ИГУ, 2001. - С. 79.

13. Лапшина Е.С. Примитивная ширина групп с нильпотент-ным коммутантом // Тез. докл. межд. сем. по теории групп, посвященного 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина, 17-21 дек. 2001 г. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. С. 128-129.

14. Лапшина Е.С. О примитивной ширине относительно свободных групп // "Чебышевский сборник": Труды V Межд. конф. "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2003. — Т. IV, Вып. 1(5). С. 94-100.

15. Лапшина Е.С. Об упорядочении групп с нильпотентным коммутантом // Тез. докл. межд. конф. "Алгебра, логика и кибернетика", 25-28 авг. 2004 г. Иркутск, 2004. - С. 64-65.1G. Линдон P., Шуип П. Комбинаторная теория групп. — М: Мир, 1980. 448 с.

16. Мальцев А.И. Ннльпотеитные полугруппы. Избранные труды. М.: Наука, 1976. - Т. I - С. 335-339.

17. Мальцев А.II. О доупорядочешш групп // Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1951. 38 - С. 173-175.

18. А1едведев Н.Я. Об о-анирокснмируемости ограниченно эн-гелевых ¿'-групп // Алгебра и логика. —1988.— 27. — С. 418-421.

19. Нейман X. Многообразия групп. — М.: Мир, 1969. — 264 с.

20. Романьков В.А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. — 1982. — 21, jV9 1. — С. 60-72.

21. Романьков В.А. Примитивные элементы свободных групп ранга 3 // Математический сборник. — 1992. — 182, Х°-7. — С. 1074-1085.

22. Холл М. Теория групп. М: Изд. Иностр. лит., 1962.- 468 с.

23. Andreadakis S. On the automorphisms of free groups and free nilpotent groups // Proc. London Math. Soc. — 1965. — 15, jV3. P. 239 - 268.

24. Bryant R.M., Macedonska 0. Automorphisms of relatively free nilpotent groups of infinite rank //J. Algebra. — 1989. — 121, jVs 2. P. 388-398.

25. Chehata C.G. On a theorem on ordered groups // Proc. Glasgow. Math. Assoc., 1958. 4. - P. 16-21.

26. Glass A.M.W. Partially ordered groups. Series in algebra, World Scientific Po. Co., Singapore, 1999. 7.

27. Gupta C.K., Levin F. Tame range of authomorphism groups of free polynilpotent groups // Comm. Algebra. — 1991.— 19. P. 2497-2500.

28. Gupta N.D., Rhemtulla A.H. On ordered gpoups // Algebra Universalis. 1971. - 1. - P. 129-132.

29. Y.K. Kim and A.H. Rhemtulla. Orderable groups satisfying an Engel condition. Ordered Algebraic Structures, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993. — P. 73-79.

30. Longobardi P., Maj M. and Rhemtulla A. On Solvable Regroups. (To appear).

31. Mura R., Rhemtulla A.H. Solvable R*-groups. // Math. Z. -1975. -142. P. 293-298.

32. Shpilrain V. Allelomorphisms of F/R' groups // Internat. J. Algebra Comput. 1991. - 1. - P. 177-184.

33. Shpilrain V. Non-commutative determinants and automorphisms of groups. // Comm. Algebra. — 1997. — 25. — P. 559-574.