Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 09.00.08, доктор философских наук Бычков, Сергей Николаевич

• Бычков, Сергей Николаевич
• доктор философских наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор философских наук Бычков, Сергей Николаевич

Введение.

Глава 1. Формальные предпосылки возникновения дедуктивной науки

§1.1. Исторические и формальные предпосылки возникновения древнегреческой геометрии.

§1.2. Дедуктивный метод и практика.

§,1.3. Стихийность и сознательность в возникновении аксиоматического метода.

§ 1.4. Роль геометрии в становлении дедуктивного метода.

§ 1.5. Дедуктивный метод и математика восточных цивилизаций.

Глава 2. Исторические предпосылки формирования дедуктивной математики

§ 2.1. Формирование идеала теоретического знания в древнегреческой математике.

§ 2.2. Софистика и математическая строгость.

§ 2.3. Геометрия египтян и дедуктивная математика.

Глава 3. Аксиоматический метод и современное научное познание

§ 3.1. Аксиоматический метод и преподавание математики.

§ 3.2. Теоретическая математика как социокультурное образование.

§ 3.3. Дедуктивный стиль мышления и искусственный интеллект.

§ 3.4. Логическая парадигма ИИ: современные тенденции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема»

Актуальность темы исследования. Проблема генезиса теоретической математики неоднократно привлекала к себе внимание исследователей. Особый интерес вопроса о происхождении математики в том, что в данном случае речь, по существу, идет не только о специальной науке, а о возникновении науки вообще, поскольку теоретическая математика, задав эталон строгости всему последующему точному знанию, фактически оказалась первой общепризнанной теоретической системой1 и идеал научности долгие столетия формировался по математическому образцу.

Имеется и еще одна, более важная причина пристального внимания к проблеме возникновения теоретической математики. Для современной математики не существует разделения на российскую математику, американскую математику, французскую математику и т.д. Когда применяют эти словосочетания, то имеют в виду лишь то, что общими проблемами единой математической науки занимаются граждане России, США, Франции и т.д. Между тем в древние времена ситуация была существенно иной. Математические знания в цивилизациях Вавилона, Египта, Индии и Китая объединял в целом практический характер, и с этой точки зрения, они представляли определенное единство. Напротив, математические знания ученых Древней Греции отличались более систематизированным и абстракт

1 Вслед за одним из ведущих специалистов в области истории античной математики И.Г. Башмаковой в отечественной историко-научной литературе установилась традиция отождествлять теоретический характер математического знания с его доказательностью (Гайденко 77.77. Эволюция понятия науки: Становление и развитие первых научных программ. М.: Наука, 1980. С. 18). С формально-логической точки зрения, это не совсем правильно, поскольку теоретическая физика, противопоставляемая физике прикладной, не становится от этого автоматически доказательной наукой. Точно так же отсутствие ориентации на приложения при изложении того или иного раздела математики (например, кубических уравнений) не означает необходимость его изложения в дедуктивно-аксиоматическом стиле. Мы будем придерживаться устоявшейся терминологии за исключением тех случаев, когда отличие термина «теоретический» от более узкого понятия «дедуктивный» не окажется существенным для изложения. 3 ным характером. До сих пор геометрию во всем мире учат в соответствии с принципами, разработанными еще в евклидовых «Началах», а математика стран Востока представляет сегодня исключительно историко-научный интерес.

Важно и то, что современная математика считает своей прародительницей именно греческую математику, которая по всем параметрам противоположна математике стран Востока. В связи с этим выяснение и объяснение генезиса античной математики способствует более глубокому пониманию природы процессов, происходящих в современном математическом знании, рассматриваемом как часть общечеловеческой культуры.

Степень разработанности проблемы. Зарождение теоретической математики в Древней Греции описывается в классических монографиях Б.Л. Ван дер Вардена и А. Сабо . Однако первым, кто правильно поставил проблему возникновения теоретической математики с присущим ей дедуктивным способом рассуждений и предложил оригинальную идею её решения, был А.Н. Колмогоров, в творчестве которого счастливым образом сочетались занятия математикой и интерес к истории. В известной энциклопедической статье «Математика», опубликованной в 1938 г., он связал первые попытки, систематического построения математической теории с более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. И главное здесь не в конкретном содержании гипотезы, а в том, что Колмогоров первым осознал необходимость поиска решения реконструкции генезиса теоретической математики как проблемы не внутриматематической и не абстрактно-философской, а историко-научной проблемы, которая

2 Ван дер Вардеи Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.

3 Szabö А. Anfänge der griechischen Mathematik. Budapest, 1969. 4 именно так должна ставиться и решаться. При этом подлинная причина возникновения теоретической математики оказывается определенной внешними по отношению к математике условиями.

О нетривиальности подобного подхода говорит тот факт, что более чем двадцать лет спустя А.Д. Александров в одноименной статье в философской энциклопедии привлекает более традиционный — внутриматема-тический - способ объяснения, связывающий появление теоретических способов вывода новых результатов и первых математических доказательств с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач.

Тем не менее, последние полвека подход к проблеме генезиса теоретической математики, проложенный Колмогоровым, стал преобладающим. Важный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли работы Ж.-П. Вернана4, И.Н. Лосевой5, А.Г. Барабашева6, А.И. Зайцева7, М.К. Петрова8, В.М. Розина9, B.C. Степина10.

Среди исследователей данной проблемы, большинство которых являются представителями гуманитарного знания, возобладал подход, в соответствии с которым причины возникновения теоретической математики в Древней Греции VI-IV вв. до н.э. следует искать в отличительных особенностях эллинской цивилизации. Ищутся те или иные факторы социокультурного характера, наличествовавшие в Элладе и отсутствовавшие в цивилизациях Востока, которые и объявляются причинами возникновения теоретической математики именно в Греции. В числе специфических предпосылок, обусловивших возможность зарождения теоретической науки в

4 Вернет Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988.

5 Лосева И.Н. Теоретическое знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону, 1989.

6 Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М., 1983.

7 Зайцев А.И. Культурный переворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э. Л., 1985.

8 Петров М.К. Искусство и наука. Пираты Эгейского моря и личность. М., 1995.

9 Розин В.М. Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных наук. Красноярск, 1989.

10 Степан B.C. Теоретическое знание. Структура, историческая эволюция. М, 2000. 5

Древней Греции, в этих работах приводятся полисный тип общественного устройства, ненаследуемость профессий, особенный характер древнегреческого языка и другие факторы.

Значительное количество различающихся точек зрения свидетельствует не только об актуальности проблемы генезиса науки, но и об определенном кризисе, назревшем в процессе её решения. Дело в том, что все имеющиеся в распоряжении исторические сведения не связаны напрямую с поставленной проблемой и известны из вторых или третьих рук. В подобной ситуации исследователь поневоле вынужден прибегать к косвенному методу воссоздания исторической картины — реконструкции. Поскольку каждая реконструкция основывается на более или менее осознанных субъективных установках методологического характера, предопределяющих выбор тех или иных факторов, то наличие нескольких конкурирующих концепций, в равной мере не противоречащих скудному запасу исторических сведений, представляется естественным, сопутствующим решению данной проблемы обстоятельством. Вопрос, следовательно, в том, можно ли найти такой подход к реконструкции процесса возникновения теоретической математики, который исходил бы целиком из существа рассматриваемой проблемы и был бы в этом смысле объективным? Без ответа на него любой попытке реконструкции процесса возникновения древнегреческой дедуктивной геометрии так и суждено будет оставаться лишь более или менее правдоподобной гипотезой.

Предмет диссертационного исследования - воссоздание процесса возникновения теоретической математики в Древней Греции У1-1У вв. до н.э. в его взаимосвязи с развитием философского мышления в исследованиях Сократа, Платона, Аристотеля и стоиков.

Цель и задачи диссертационного исследования. Цель исследования — найти специфические факторы социокультурного характера, обусловившие возникновение теоретической математики с присущим ей аксиоматическим методом изложения материала в Греции в VI—IV вв. до н.э. и в то же время объясняющие отсутствие дедуктивной математики в древних цивилизациях Востока.

Автор ставит перед собой следующие задачи:

• Найти подход к реконструкции генезиса теоретической математики, который не опирался бы на a priori выставленные гипотезы.

• Выяснить взаимоотношение аксиоматического метода и практически ориентированных наук.

• Определить роль геометрии как теоретической науки о свойствах фигур и тел в формировании аксиоматического метода изложения изучаемого материала.

• Проанализировать процесс формирования идеала теоретического знания в древнегреческой математике.

• Выяснить роль софистики в формировании строгости при изложении математического знания.

• Определить степень влияния египетской геометрии на формирование греческой теоретической математики.

• Выяснить значение аксиоматического метода в современном преподавании математических дисциплин.

• Проанализировать степень эффективности аксиоматического метода в исследованиях по созданию искусственных интеллектуальных систем.

• Продемонстрировать роль древнегреческой дедуктивной математики в формировании ключевых представлений античной философии: понятий «Ума-перводвигателя», «смысла», «символа», «метафоры».

Методологическая основа исследования вытекает из- его первоочередной задачи - попытки найти такой способ отыскания внешних по отношению к математике социокультурных предпосылок её возникновения, который, в то же время, был бы внешним по отношению к истории как таковой. Таксш способ можно взять только из анализа специфики дедуктивно-аксиоматического метода, выделяющего его среди всех других способов систематизации научного знания.

Подобный ход мысли также можно рассматривать как «наложение» некоторой априорной рамки на историко-научный материал, что автоматически сделало бы предпринимаемую реконструкцию чувствительной к критике. Чтобы предупредить возможный упрек сама указанная методология нахождения предпосылок «дедуцируется» из наличного состояния ис-торико-научной проблемы.

Во главу исследования поставлен один-единственный факт - уникальность греческой дедуктивной математики, требующая поиска причин отсутствия аналогов в науке древневосточных цивилизаций. Анализ этого историко-научного факта и приводит последовательно сначала к обоснованию существования некоторых социокультурных предпосылок зарождения аксиоматического метода рассуждений в математике, а затем и к поиску подобных - названных формальными - предпосылок. Данная идея возникает как бы способом «от противного»: мы не имеем никаких гарантий, что в результате она позволит получить «правильную» реконструкцию, поскольку исторических фактов слишком мало, но иных вариантов достижения успеха в решении проблемы попросту нет.

Побочным продуктом такого подхода оказывается отсутствие необходимости в привлечении извне каких-либо общих методологических представлений для анализа рассматриваемого историко-научного материала. Последнее немаловажно по той причине, что формирование европейской философии, начиная! с Аристотеля, шло под активным воздействием зарождавшейся в то же время теоретической математики. Лишь отказавшись от использования современной методологии для решения рассматриваемой проблемы, удается сохранить критическую дистанцию и по отношению к доминирующим на сегодняшний день тенденциям развития теоретической математики, и по отношению к практикуемым в современной философии науки методологическим подходам в проведении конкретных историко-научных исследований. Возможно, тема настоящей диссертационной работы — единственный пример, когда подобная «методологическая» позиция оказывается оправданной и эффективной. В проблеме генезиса теоретической математики методологическую функцию в состоянии взять на себя ключевые для рассматриваемой проблемы исторические факты, имеющие инвариантный по отношению ко всякой возможной методологии характер.

Положения, выносимые на защиту, и их новизна.

1. Показано, что аксиоматический метод принципиально не может зародиться в рамках практически ориентированной системы знания. Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знания. Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода.

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоретический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий историческому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникновения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов.

2. Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полученному результату (например, исходя из потребностей максимально компактного изложения материала в учебных целях). Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и предложения. Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли.

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на абстрактно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления софистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры.

3. Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов. Где бы и когда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эллады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых. Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планиметрии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь заменой реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении.

Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объективной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бурбаки данного метода основой для построения всего математического знания.

4. Показано, что превращение прикладных геометрических знаний египтян в теоретическую геометрию произошло не в головах греческих геометров, а в теле древнегреческой цивилизации. Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчинены процессу её сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания». Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемерного искусства - единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой эллинской цивилизацией.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограниченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения социокультурного подхода. Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии — способности души воспринимать форму тела без его материи. В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу. Сначала геометрия должна была превратиться из измерительного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих. И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные потребностями общественной жизни, могли привести к возникновению соответствующих представлений о невещественных геометрических объектах.

5. Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса. Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её политического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.

Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения. В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и услоп виях своего возникновения делает её особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).

6. Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи — овладения искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж. Дьедонне при пересмотре содержания курса геометрии во Франции в 60-х гг. прошлого столетия и переводе его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации преимуществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линейной алгебры. Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядности как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти.

7. Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования способности естественного интеллекта производить операцию целенаправленного отбора имеющихся в интеллектуальной системе сведений в соответствии с предъявляемой для решения системе задачей.

Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к технической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем. Эта способность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не развивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода. Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искусственного интеллекта».

8. Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представлений об идеальных объектах и таких её понятий, как «смысл», «символ», «метафора».

Новизна полученного результата заключается в демонстрации социокультурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. Выводы диссертации определяют новую интерпретацию проблемы генезиса математики, что может стать отправным пунктом для последующих ис-торико-научных исследований. Результаты работы могут быть использованы также в исследованиях по философии науки, философской компаративистике, а также в преподавании математики и написании учебных пособий по математике для студентов технических и гуманитарных специальностей. Материалы диссертации могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии математики.

Заключение диссертации по теме «Философия науки и техники», Бычков, Сергей Николаевич

Выводы авторов этой работы, как будто противоречат рассуждениям предыдущего параграфа. Действительно, здесь построение алгоритма происходит не на основе его готовой схемы, а сама схема как бы достраивается на наших глазах путем преобразования негативной информации, связанной с неудачами в попытках доказательства корректности спецификации проблемы, в информацию позитивного характера. Не указывает ли это на пробелы рассуждения, основывающегося на копировании действий интеллектуальной системы при помощи ДИ?

Степень общности рассуждений предыдущего параграфа такова, что делает необязательным рассмотрение деталей конструирования алгоритма сортировки, описанного в указанной работе. Достаточно лишь отметить, что основной нетривиальный момент в рассматриваемом подходе заключается в преобразовании негативной информации (неудача в доказательстве корректности спецификации) в позитивную (добавление дополнительных аксиом чисто формальным способом, пополняющим наличные аксиомы новой аксиомой, совпадающей по форме с недоказанной промежуточной целью). Это достигается за счет того, что отрицание понимается авторами «внутренним образом» — как альтернатива в схеме рекурсии. Поэтому «самообучаемая»119 часть алгоритмического синтеза в действительности оказывается фиктивной: для получения в явном виде полной схемы решения задачи к числу аксиом следует просто добавить правые части спецификаций рекурсивных алгоритмов, хранящихся в библиотеке схем алгоритмов.

Создание все более и более удобного для пользователя «дружественного интерфейса», в которые облачаются «умные компьютерные программы», можно только приветствовать, но это ни йоту не приближает к цели, которая вдохновляла многих пионеров ИИ — созданию таких интеллектуальных систем, которые могли снять с человека хотя бы часть его творческих забот, связанных не с копированием старого, а с созданием действительно нового, доселе не существовавшего в совокупной человеческой культуре. А может быть, это не так уж и необходимо, и лучше оставить машине - «машинное», а человеку - «человеческое»? В свете того, что математику не обязательно рассматривать как естественное хранилище доказанных при помощи аксиоматического метода утверждений, эта мысль не выглядит совсем уж неуместной.

На этом рассмотрение аксиоматического метода в аспектах его прошлого, настоящего и будущего существования подошло к концу. Главный его вывод, пожалуй, в том, что математика, вопреки Аристотелю, как и все остальное в нашем мире ограничена историческим горизонтом. То обстоятельство, что горизонт этот едва просматривается в дымке Истории, не отменяет всеобщности не менее давней истины: «Все течет, все изме

118 • •

Buchberger В., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem

Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90-91.

119 По идее - самая интересная, так как именно здесь имеется заявка на попытку компьютера сделать самостоятельно то, о чем заранее не побеспокоился конструктор интеллектуальной системы. В языке Пролог, использующем логику предикатов первого порядка с обычными переменными, с преобразованием негативной информацией в позитивную так просто справиться не удается, что и приводит к утрате им «чистой декларативности». няется». И если это действительно так, то и математике настало время снять с себя царственный венок Вечности, примеренный ею двадцать пять веков назад. Осознание этой древнейшей наукой своего действительного места в совокупной мировой культуре не должно принести вреда ни математику-профессионалу, ни использующему её методы в других научных дисциплинах. А для человека, который вообще никогда не планирует применять математику в своей творческой деятельности, знание и понимание реальной пользы математического знания будет естественной частью общечеловеческой культуры, помогающей с уважением относится к труду тех, чьи достижения никак не пересекаются с его личными профессиональными интересами. И компьютерам, наверное, лучше все же оставаться помощниками людей в их разнообразных делах. Стремление же поменять местами машину и человека должно сохраниться в памяти как дерзкая мечта120, без которой едва ли могла зажечься заря новой компьютерной эры.

120Bledsoe W.W. I Had a Dream: AAAI Presidential Address, 19 August 1985 // AI Magazine. 1986. V. 7. № 1. P. 57-61.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ответ на вопрос о причинах появления теоретической математики с присущим ей дедуктивным методом получен, и в этом смысле исследование может считаться завершенным. Процесс абстрагирования, в результате которого в эллинской математике стали изучать треугольники, четырехугольники и окружности «сами по себе», произошел не в головах греческих геометров, а в гораздо большем организме - теле древнегреческой цивилизации. Если для египтян свойства построенных на плане пирамиды линий не имели самостоятельного значения, будучи подчиненными реальному процессу возведения сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, эти свойства оказывались исключительно «знанием ради знания». Абстрагирование от практики и переход к созерцательному рассмотрению достижений египетского землемерного искусства

- единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой, энергично развивающейся цивилизацией.

Забвение собственных исторических корней лишило греческую геометрию возможности отстаивать под напором критики софистов истинность своих утверждений при помощи аргументов «от практики». Если для египетского геометра верность утверждения о возможности построения квадрата на заданном основании могла быть продемонстрирована указанием на построенную симметричную пирамиду, то грек-теоретик, вынужденный обходиться планиметрическими аргументами, не смог бы этого сделать иначе, как потребовав выполнение постулата о параллельных линиях. С этим постулатом в геометрию врывается бесконечность, и она из учения о свойствах построенных на земле чертежей неизбежно превращается в науку о существующих лишь в воображении - идеальных

- объектах, каковой она и продолжает оставаться до настоящего времени. Отсутствие идеальных объектов в геометрии Вавилона, Индии и Китая объясняется ненужностью изучения свойств углов в цивилизациях, не проявлявших интереса к возведению построек в форме полных пирамид.

Никаких иных причин отсутствия аксиоматического метода в восточной математике не существует. Поставить под сомнение это выглядящее чересчур категоричным утверждение можно только одним способом: проверить весь ход рассуждений с начала до конца.

Попытка ответа на вопрос о причинах отсутствия аксиоматического метода в математике всех древних цивилизаций Востока приводит к выводу, что причины эти лежат не внутри, а вне математики, т.е. в конкретно-исторических обстоятельствах жизни целых народов. В то же время поиск каких-либо специфических особенностей эллинской цивилизации наподобие демократического устройства городов-полисов или пристрастия греков к состязаниям в различных сферах человеческой деятельности, способствовавших взрыву интеллектуальной активности в VI - IV вв. до н. э., может привести к формулировке лишь более или менее правдоподобных гипотез. Гипотезу же, как известно, можно лишь опровергнуть, но доказать со стопроцентной уверенностью никогда нельзя.

Обойтись без гипотез в вопросе возникновения аксиоматического метода можно попытаться лишь единственным способом, начав исследование с анализа используемых в научном знании приемов логического вывода из принятых без доказательства начальных основоположений. Так как исследуемая проблема относится не к математике, а к истории этой науки, то и сам аксиоматический метод приходится рассматривать не в виде полученных на его основе результатов (так он изучается в математической логике), а как производимую людьми целесообразную деятельность особого рода. Эта деятельность весьма необычна с точки зрения так называемого «здравого смысла» и настолько отличается от приемов рассуждений в физике, психологии или истории, что проведенный анализ дает возможность локализовать место её зарождения одной единственной областью теоретического знания — разделом планиметрии, изучающей свойства углов. А этого вывода, найденного посредством одних только логических рассуждений, вкупе с имеющимися историческими сведениями уже достаточно, чтобы получить ответ на поставленный вопрос.

Хотя рассматриваемая проблема может рассматриваться и с абстрактно-научной точки зрения, основной её интерес и актуальность связаны с преподаванием математики. Об авторитете математики говорит тот факт, что Б. Паскаль в свое время рассматривал «геометрический метод» как образец для рассуждений во всех областях знания. Эта идея и сегодня имеет немало сторонников, отстаивающих первостепенную роль математических дисциплин для полноценного школьного образования независимо от будущей профессии. Верен или не верен подобный подход — зависит не от личных пристрастий и пожеланий, а исключительно от объективной роли дедуктивного способа рассуждений в ряду наук и, более общо, во всей системе человеческой деятельности. А роль эта довольно-таки специфическая.

Паскаль отмечал, что геометрия преуспела как в искусстве открытия новых, так и в доказательстве уже найденных истин, однако геометрический метод в качестве образца он привлекал только для задач второго рода. С необходимостью, как показано при анализе формальных предпосылок аксиоматического метода, такого рода задачи возникают лишь при защите предложений геометрии от софистического релятивизма, суть которого сводится к тезису: «У каждого - истина своя».

С тем, что любая наука как-то должна справляться с настроениями подобного рода, спорить не приходится. Но все дело в том, что «геометрический метод» в состоянии этого добиться только в самой же геометрии. В других же науках первостепенное значение имеет умение обращаться с фактами, среди аксиом и постулатов не содержащимися и из них логически не вытекающими. Эти факты требуется находить в самой действительности и восполнять ими нехватку «аксиоматической» части фундамента научной теории. А вот этому геометрия не учит и учить не может, поскольку она в подобного рода искусстве при изложении своих теорем потребности не испытывает. Последнее означает, что проблема приоритетов в школьном образовании в соответствии с ролью и значением различных дисциплин не должна решаться на основе одной лишь традиции, которая, как мы стремились показать, далеко не безусловна и не бесспорна. Каждая наука хороша в своем роде, но этот род должен быть для любой из них точно определен. Даже применительно к ней самой подобная задача в компетенцию математики не входит.

Именно так оборачивается для теоретической математики непрояс-ненность условий её собственного исторического возникновения в «аспекте настоящего». В «аспекте будущего» она проявляется как завышенные ожидания касательно успехов «искусственного интеллекта».

Теоретическую математику и ИИ объединяет представление об особом характере аксиоматического метода, при этом успехи, достигнутые математикой за многие столетия её развития, оказываются как бы авансом будущих достижений в области «интеллектуализации» компьютеров. Нельзя, однако, забывать, что логическая дедукция играет в данных областях исследования принципиально различную роль. В математике вывод теорем из аксиом знаменует заключительную фазу исследования, когда полученные с помощью совершенно иных мыслительных приемов (включающих обязательно и интуицию ученого) результаты излагаются способом, максимально приспособленным к проверке отсутствия пробелов в рассуждениях. В ИИ дедукция фактически оказывается способом открытия нужных результатов.

Само по себе автоматическое получение новых теорем в формальной дедуктивной теории совсем не сложно. Но ИИ, будучи ориентирован на решение практически полезных задач, должен уметь доказывать не какие-то более или менее случайные теоремы, а ту одну единственную, в доказательстве которой должно быть закодировано решение поставленной перед интеллектуальной системой проблемы. Доказываемая теорема служит как бы «целью» работы интеллектуальной системы. Если бы эту теорему доказывал человек, то для него она была бы настоящей целью, в соответствии с которой он строит свою деятельность и, в частности, производит целенаправленный отбор сведений, действительно необходимых для решения задачи. Процесс отбора человеком релевантных задаче знаний является сугубо неформальным, поскольку в практической деятельности впервые выдвинутая цель всегда является внешней по отношению к находящимся в голове человека знаниям и потому не может быть достигнута сразу, непосредственным образом. Как минимум, требуется комбинирование наличных сведений, а следовательно и их целенаправленный отбор. Отбор этот осуществляется человеком путем сравнения имеющихся у него сведений с поступившей к нему извне целью, и подобное сравнение всегда осуществляется содержательным, а не формальным образом, поскольку формальное сравнение путем сличения знаков никогда их готовую комбинацию, пригодную для решения новой задачи, в голове не обнаружит. В диссертации показано, что человек (например, конструктор интеллектуальной системы), запретивший себе использовать операцию целенаправленного отбора сведений, подобно компьютеру, сможет предъявить решение задачи лишь в случае, если её решение, в той или иной форме, уже было ему известно заранее. А отсюда следует, что без научения машин искусству целенаправленного отбора сведений нечего и надеяться на создание эффективно действующих интеллектуальных систем.

Анализ возникновения теоретической математики в древнегреческой цивилизации показал, что открытый в ней новый способ построения знания оказал существенное воздействие на развитие древнегреческой философии. Так, казалось бы, сугубо историко-научная по своему происхождению проблема оказалась в то же время и проблемой историко-философского характера. В диссертации показано, что в преобразовании учения о телесных эйдосах Платона в бестелесные идеи Аристотеля определяющую роль сыграла как раз незадолго до того возникшая дедуктивная геометрия с её постулатами и аксиомами. Именно геометрия дала толчок Стагириту для создания учения о мыслящем самого себя бестелесном Уме-перводвигателе, в который он и поместил находившиеся у Платона в Занебесье хотя и вечные, но все же телесные эйдосы.

Геометрия же привела и к возникновению представления о бестелесном «лектон» у стоиков, которые отказались от учения платоников и перипатетиков об эйдосах. Учение о «лектон» позволило стоикам придать логическому учению форму, гораздо более близкую современной формальной логике, нежели пионерские исследования законов мышления Аристотелем.

Тем самым мы имеем право утверждать, что благодаря лучшему пониманию процесса зарождения теоретической математики можно более глубоко понять логику развития древнегреческой философской мысли в тех её аспектах, которые оказались тесно связанными с развитием современной ей геометрии и арифметики. Можно даже выдвинуть гипотезу, что именно математика позволила - благодаря созданию существующих только в человеческом мышлении идеальных математических объектов -значительно раздвинуть поле древнегреческого (а тем самым, и вообще западного) философского мышления, на что оказалась неспособной философская мысль Индии и Китая, где геометрия по объективным основаниям не могла быть преобразована в дедуктивную науку. Тем самым социокультурная философия науки может поставить новые вопросы в области философской компаративистики, ставя под сомнение возможность чересчур сильного сближения учений европейских философов и философов Индии и Китая, ввиду невозможности последними заимствования техники оперирования идеальными мысленными образами из их собственной математики.

Еще одно возможное поле применения результатов диссертационной работы - анализ возможности эффективного использования количественных методов в антикризисном управлении. В классическом менеджменте, где управление осуществляется в условиях экономической и политической стабильности, применяются различные математические методы, правомерность использования которых гарантирована предшествующей управленческой практикой в сходных условиях. Ситуации стабильного развития легче поддаются классификации, что предоставляет возможность предварительного отбора математических моделей, ранее уже успешно себя зарекомендовавших. Даже при отсутствии подобных моделей менеджер обладает достаточным ресурсом времени для «отладки» новой или недостаточно проработанной «старой» модели, когда путем «ограниченного эксперимента» проверяется приемлемость для данных конкретных обстоятельств принятых общих идеализаций и допущений. Чрезвычайные ситуации гораздо хуже поддаются классифицирующим обобщениям, а возможность «экспериментирования» с целью выбора подходящей модели нельзя даже всерьез рассматривать — слишком велика цена ошибки. Приходится оставить и идею имитационного моделирования, «проигрывающего» различные варианты развития событий (и использующего, в случае необходимости, различные модели их описания), для которого в условиях кризиса нет ни времени, ни средств.

В антикризисном управлении, таким образом, налицо положение, когда стандартный способ применения математических методов, успешно работающий в естественных науках и при описании стабильно развивающихся экономических процессов, не срабатывает, причем не срабатывает именно из-за специфики предметной области, «сопротивляющейся» самой возможности «укладывания» многообразных уникальных ситуаций кризисного характера в жесткие рамки готовых математических форм. Когда характер динамики развития чрезвычайной ситуации в существенной степени оказывается зависящим от принятых предшествующих решений, ни на какое единообразное математическое описание кризисной фазы управляемого процесса рассчитывать не приходится. В то же время ясно, что совсем без математических методов в процессе преодоления кризисных явлений никак не обойтись, поскольку именно в оптимизации соотношения количественных характеристик управляемого процесса и лежит ключ к успеху.

Для того чтобы составить самое общее представление о характере возможного применения математических методов «идеальным специалистом по антикризисному управлению», следует более внимательно проанализировать способ его действий в типичной ситуации.

Всякий специалист, претендующий на успех в конкретной чрезвычайной ситуации, должен сначала идентифицировать её именно как кризисную в противоположность ситуации стабильного развития, в которой система должна находиться в нормальном состоянии и достижение которой он будет рассматривать как основную цель своей деятельности. Это дает возможность выявить соответствующие специфические признаки, т.е. зафиксировать качественную определенность управляемого процесса. Легко видеть, что качественная определенность стабильного конечного состояния управляемого процесса должна отличаться от качественной определенности исходного кризисного состояния, т.е. ищущий выход из кризиса должен перейти от одного «качества» к иному «качеству». Средством же качественного изменения состояния системы у него может быть только количественное изменение существенных параметров.

Главная трудность в практической реализации описанной абстрактной схемы заключается как раз в выборе подобных «существенных параметров». Математика сама по себе не в состоянии отделить существенные количественные параметры, определяющие на деле развитие управляемого процесса, от несущественных. Объясняется это тем, что изменение существенных параметров может привести к изменению качественного состояния процесса, в то время как изменение несущественных параметров ни к каким качественным изменениям не приводит. Так как предметом математики являются количественные отношения, а качественную определенность должны фиксировать другие — содержательные (типа физики или экономики) - науки, то и получается, что достичь успеха в определении существенных параметров одна математика не в состоянии. И если в технических науках, а также в традиционном менеджменте повторяемость (воспроизводимость) ситуаций позволяет опереться на прошедший успешный опыт, закрепленный в соответствующих моделях, то в антикризисном управлении идеология математического моделирования должна во многом измениться.

Если своеобразие чрезвычайной ситуации и сопутствующий ей дефицит времени не позволяют идти проторенным путем адаптации известных моделей, то остается рассчитывать на отыскание таких приемов математического моделирования, которые заранее исключали бы возможность усугубления кризисных явлений в случае их применения. Иными словами, необходим содержательный математический инструментарий, который с самого начала опирался бы на анализ качественной специфики кризисной ситуации и предлагал бы модели, не внешним образом накладываемые на неё, а количественным образом уточняющие её предварительное понимание. Значительный формализм в преподавании математических дисциплин, затрудняющий не только их усвоение, но и последующее применение в управленческой деятельности, как следует из результатов диссертации, объясняется не природой математики как таковой, а многовековыми конкретно-историческими условиями её развития и сложившимися в соответствии с этими условиями традициями её преподавания.

Нет ничего удивительного в том, что фактическая ориентация в преподавании математики студентам технических и экономических специальностей на древнегреческий образец облегчает усвоение ими теоретической части её аппарата, но мало что дает для умения строить математические модели. По этой причине математическое моделирование и остается скорее искусством, нежели наукой. Особый характер антикризисного управления заключается в том, что в нем существует объективный запрос на обучение каждого будущего специалиста умению строить в ограниченные сроки полезные математические модели, способствующие успешному разрешению чрезвычайной ситуации.

Существует только один способ рассматривать количественные характеристики управляемого объекта как уточнение его качественной определенности, когда качество и количество понимаются как категории. При помощи категорий описываются как процессы, протекающие в мышлении, так и процессы, происходящие в окружающем мире (например, описание процесса возникновения теоретической математики под воздействием внешних по отношению к науке причин). Первым на исключительную роль категорий в процессе реально осуществляемого мышления указал И. Кант, определив их в «Критике чистого разума» как условия возможности опыта, вследствие чего мышление о предметах возможно не иначе, как с помощью категорий. Именно категории являются «точками совпадения» мышления и бытия, благодаря чему только и возможен успех в научном предсказании явлений действительности. Лишь при категориальном понимании количественных методов и можно надеяться на успех математического моделирования без «предварительной отладки» построенной модели. В частности, только такое понимание способно гарантировать успешное применение какой-либо известной модели математической экономики или менеджмента в новой, чрезвычайной ситуации. Не исключено, что в XXI веке, когда в связи с исчерпанием природных ресурсов число кризисных ситуаций будет только нарастать, разработка принципов количественного анализа кризисных ситуаций стала бы наиболее актуальным применением идей, представленных в данной диссертационной работе.

Список литературы диссертационного исследования доктор философских наук Бычков, Сергей Николаевич, 2008 год

1. Абрамян JLA. Кантова философия математики: старые и новые споры. — Ереван: Айастан, 1978. 86 с.

2. Аверинцев С.С. Два рождения европейского рационализма // Вопросы философии. 1989. - № 3. - С. 3-13.

3. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Пер. с фр. -М.: Советское радио, 1970. 152 с.

4. Аистов H.H., Васильев Б.Д., Иванов В.Ф. и др. История строительной техники. Л- М.: Гос. издательство по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1962. - 560 с.

5. Александров А. Д. Математика // Философская энциклопедия. — М., 1964. Т. З.-С. 329-335.

6. Александров А.Д., Вернер B.JL, Рыжик В.И. Геометрия. Пробный учебник для 6 класса. М.: Просвещение, 1984. - 176 с.

7. Алкиной. Учебник Платоновский философии // Платон. Соч. в 4 т. Т. 4. -М.: Мысль, 1994. С. 625-663.

8. Андреев Ю.В. Цена свободы и гармонии. Несколько штрихов к портрету греческой цивилизации. СПб.: Алетейя, 1998. - 431 с.

9. Андреев Ю.В. Рец. на кн.: А.И. Зайцев. Культурный переворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э. JL, 1985 // Вестник древней истории. 1988. № 3. С. 161-167.

10. Аникеев В.Н. Развитие понятия доказательства в дедуктивных теориях: Автореф. дис. канд. филос. наук: 09.00.07 / Ленингр. гос. ун-т. Л., 1974. -25 с.

11. Античная музыкальная эстетика / Под. общ. ред. В.П. Шестакова. М.: Музгиз, 1960.-304 с.

12. Античные теории языка и стиля / Под общей редакцией О. М. Фрейден-берг. М - Л.: Соцэкгиз, 1936. - 342 с.

13. Аристотель. Афинская политая. Государственное устройство афинян / Под ред. B.C. Сергеева. — М — Л.: Соцэкгиз, 1936. 198 с.

14. Аристотель. Соч. в 4 т. М.: Мысль, 1976-1984.

15. Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. - Вып. 1. С. 229-235.

16. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. Очерк истории: XVII начало XX в. - М.: Соцэкгиз, 1963. - 312 с.

17. Ахутин A.B. «Фюсис» и «Натура». Понятие «природа» в Античности и в Новое время. М.: Наука, 1988. - 208 с.

18. Ахутин A.B. История принципов физического эксперимента: От античности до XVII в. М.: Наука, 1976. - 292 с.

19. Ахутин A.B. Тяжба о бытии. М.: РФО, 1997. - 304 с.

20. Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. - 160 с.

21. Барабашев А.Г. В поддержку метода интерпретаций // Историко-матема-тические исследования. Серия 2 1996. - Вып. 1 (36). - № 2. - С. 204-235.

22. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. Закономерности эволюции способа систематизации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.- 166 с.

23. Барабашев А.Г. О проблеме возникновения теоретической математики // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985.-С. 177-187.

24. Башмакова И.Г. О возникновении математики как науки // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985. -С. 173-177.

25. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — М.: Учпедгиз, 1940. 200 с.

26. Белова Г.А. Загадки древнеегипетских пирамид // Вопросы истории. -1983.-№ 5. С. 92-101.

27. Беляев Е.А., Киселева H.A., Перминов В.Я. Некоторые особенности развития математики. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1975. — 112 с.

28. Беляев Е.А., Перминов В.А. Философские и методологические проблемы математики. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 215 с.

29. Бирюков Б.В. Крушение метафизической концепции универсальной предметной области в логике. М.: Высшая школа, 1963. — 74 с.

30. Бирюков Б.В., Гутчин И.Б. Машина и творчество. Результаты, проблемы, перспективы. -М.: Радио и связь, 1982. 152 с.

31. Блаватский В.Д. Природа и античное общество. М.: Наука, 1976. - 80 с.

32. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. — М.: Наука, 1983.-328 с.

33. Бобынин В.В. Древнеиндусская математика и отношение к ней древней Греции // Известия Казанского физико-математического общества. — 1917.-Т. 22.-С. 128-157.

34. Бобынин В.В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М.: Математический листок. 1882. - 198 с.

35. Боголюбов A.A., Роменко Н.М. Опыт внедрения диалектики в математику // Вопросы философии. 1991. - № 9. - С. 36^12.

36. Боголюбов Н.М. Кризис мифологического сознания в Индии и в Древней Греции. -Нежин: Типо-лит. наел. В.К. Меленевского, 1912. 60 с.

37. Бубнов Н.М. Арифметическая самостоятельность европейской культуры. Культурно-исторический очерк. Исследования по истории науки в Европе. Т. 1. К.: Тип. C.B. Кульженко, 1908. - 409 с.

38. Будущее искусственного интеллекта. М.: Наука, 1991. — 302 с.

39. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963. - 292 с.

40. Бургин М.С., Кузнецов В.И. Введение в современную точную методологию науки: Структуры систем знания. М.: Аспект Пресс, 1994. - 304 с.

41. Бычков С.Н. Абстрактно-общее и математика // Ильенковские чтения: Тезисы докладов и сообщений межд. научн. конф. Зеленоград, 18—20 февр. 1999 / Под ред. Г.В. Лобастова. Москва-Зеленоград, 1999. -С. 105-108.

42. Бычков С.Н. Генезис объективного идеализма и геометрия // Ильенковские чтения: Тез. выступл. 18-19 февр. 1997 г. / Под науч. ред. Г.В. Лобастова. М.: Академия печати, 1997. - С. 37-38.

43. Бычков С.Н. Геометрия и аксиоматический метод // Историко-математи-ческие исследования. Серия 2- 1996. Вып. 1 (36). - № 2. - С. 195-204.

44. Бычков С.Н. Гипотетико-дедуктивный метод и гуманитарное знание // Вестник РГГУ. Вып. 3. Науки о природе и науки о духе: предмет и метод на рубеже XXI века / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. М.: Российск. гос. гу-манит. ун-т. -1996. - № 3. - С. 121-126.

45. Бычков С.Н. "Греческое чудо" и теоретическая математика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 2007. — 192 с.

46. Бычков С.Н. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. - С.288-304.

47. Бычков С.Н. Дедуктивный метод и обоснование математики // Обоснование и культура: Сб. научных статей. Уфа: Башкирск. ун-т, 1995. - С. 134-141.

48. Бычков С.Н. Диалог как форма выражения содержания философии Платона // Когнитивное моделирование переговорного процесса: Тезисы докладов Всероссийской конференции (Москва, 17-18 декабря 1997 г.). -М., 1998.-С. 78-80.

49. Бычков С.Н. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические исследования. Вторая серия- 2001. Вып. 6 (41). -С. 277-284.

50. Бычков С.Н. Естественнонаучное и гуманитарное образование в XXI веке // Стратегия опережающего развития для России XXI века: Тезисы докладов и сообщений межд. научн. конф. Москва, 18-19 июня 1999 г. Т.З. 4.1. М., 1999. - С. 53-54.

51. Бычков С.Н. Естественный и искусственный интеллект: Проблемная лекция. М.: РГГУ, 1995. - 42 с.

52. Бычков С.Н. Искусственный интеллект и формальные дедуктивные теории // Математические методы решения инженерных задач. — М.: Ракетные войска стратегического назначения, 1993. С. 32-37.

53. Бычков С.Н. К вопросу о возникновении дедуктивной математики // Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. Ч. 2. -Москва-Обнинск, 1987. С. 225-228.

54. Бычков С.Н. Как числа стали абстрактными? // Историко-математи-ческие исследования. Вторая серия. 2002. - Вып. 7 (42). - С. 190-201.

55. Бычков С.Н. Конференция «"Науки о природе" и "науки о духе": предмет и метод на рубеже XXI века» // Философские науки. 1995. № 2—4. -С. 228-237.

56. Бычков С.Н. Математика в историческом измерении // Вопросы истории естествознания и техники. 2003. - № 3. - С. 95-110.

57. Бычков С.Н. Математика и образование // Философско-педагогический анализ проблемы гуманизации образовательного процесса. Сб. научн. статей. Вып.1. /Под ред. Г.В. Лобастова. М., 1998. - С. 97-101.

58. Бычков С.Н. Математика как феномен культуры // Гуманитарные науки и новые информационные технологии: Сб. научн. трудов / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 1994. — Вып. 2. — С. 143-148.

59. Бычков С.Н. Математическое и гуманитарное образование: общее и особенное // Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь, 2000. М.: МЦНМО, 2000. - С. 343-344.

60. Бычков С.Н. Математическое образование студентов гуманитарных специальностей // Труды Международной конференции «Проблемы реализации многоуровневой системы образования. Наука в вузах». М., 1999. -С. 376-378.

61. Бычков С.Н. Метаматематика и опыт // Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Изд-во МГУ, 2003. - С. 354-365.

62. Бычков С.Н. О методологических проблемах преподавания элементов комбинаторики и теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей // Труды третьих Колмогоровских чтений. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. С. 87-96.

63. Бычков С.Н. О роли строгости в преподавании математики и математическом творчестве: взгляды А.Н. Колмогорова и В.И. Арнольда // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. -С.25-33.

64. Бычков С.Н. Об особенностях античного метода исчерпывания // Исто-рико-математические исследования. 1990. - Вып. ХХХ11-ХХХШ. -С. 11-20.

65. Бычков С.Н. Формальная и диалектическая логика в зеркале истории науки // Ильенков и Гегель. Материалы IX Международной научной конференции (26-27 апреля 2007 г.). Ростов-на-Дону, 2007. - С. 173-174.

66. Бычков С.Н. Четвертый постулат Евклида и потенциальная бесконечность // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Янус-К, 1997. - С. 35-39.

67. Бычков С.Н., Григорян А.А., Шикин Е.В. Математическое мышление и искусство управления // Ученые труды факультета государственного управления МГУ. 2003. - Вып. 2. - С. 142-158.

68. Бычков С.Н., Зайцев Е.А. Математика в мировой культуре. М.: РГГУ, 2006.-228 с.

69. Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (историко-научный и логический контекст) // Историко-математические исследования. Вторая серия. 1999. -Вып. 4 (39).-С. 303-324.

70. Бычков С.Н., Шашкин Л.О. К критике канторовской диагональной процедуры // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. М.: Янус-К, 1997. - С. 22-29.

71. Бычков С.Н., Шашкин Л.О. Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории множеств // Историко-математические исследования. Вторая серия. 1999. - Вып. 5 (40). - С." 290-300.

72. Варден ван дер. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Перев. с голл. М.: Физматгиз, 1959. - 459 с.

73. Васильев A.A. К вопросу об исследовании пирамиды Хеопса // Вопросы истории естествознания и техники. — 1982. № 4. - С. 87-96.

74. Васильева Т.В. Беседа о логосе в платоновском «Теэтете» (201 с 210 Ь) / Платон и его эпоха. - М.: Наука, 1979. - С. 278-300.

75. Васюков B.JI. Автоматическое доказательство теорем // Логика и компьютер. 2: Логические языки, содержательные рассуждения и методы поиска доказательств. М.: Наука. 1995. - С. 24-62.

76. Ващенко-Захарченко М.Е. Исторический очерк математической литературы индусов. К.: Императорский университет Св. Владимира, 1882. -76 с.

77. Ващенко-Захарченко М.Е. История математики. Исторический очерк развития геометрии. Т.1. К.: Императорский университет Св. Владимира, 1883.-694 с.

78. Ващенко-Захарченко М.Е. Характер развития математических наук у различных народов древнего и нового мира до XV века. — К.: Императорский университет Св. Владимира, 1882. 49 с.

79. Вейценбаум Дж. Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1982. - 368 с.

80. Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли / Пер. с фр. Пре-дисл. А.П. Юшкевича. Послесл. Ф.Х. Кессиди. М.: Прогресс, 1988. -224 с.

81. Веселовский И.Н. Египетская наука и Греция. Из истории древней математики и астрономии // Труды Института истории естествознания. Т. II. М.-Л., 1948. - С. 426-498.

82. Визгин В.П. Проблема истины в историко-научных исследованиях // Вопросы истории естествознания и техники. 2007. - № 1. — С. 3-19.

83. Виннер Д.И. Виды отрицания и исчисление предикатов первого порядка // Математические методы решения инженерных задач. М., 1999. С. 51-53.

84. Виннер Д.И. О различении внешнего и внутреннего отрицания в традиционной логике // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. М.: Янус-К, 1997: - С. 5-21.

85. Виппер Б.Р. Искусство Древней Греции. М.: Искусство, 1972. — 268 с.

86. Войцехович В.Э. Становление и развитие математической теории // Фи-лос. науки. 1990. - № 12. - С. 52-64.

87. Володарский А.И! Очерки истории средневековой индийской математики. -М.: Наука, 1977. 180 с.

88. Габриэлян О. Математика как феномен культуры. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1990. - 175 с.

89. Гадамер Г. Истина и метод: Основы философской герменевтики / Пер. с нем. Общ. ред. и вступ. ст. Б. Н. Бессонова. М.: Прогресс, 1988. - 704 с.

90. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки: Становление и развитие первых научных программ. М.: Наука, 1980. - 567 с.

91. Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Книга вторая. — СПб.: Наука, 1994.-423 с.

92. ЮО.Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук. Т. 1. Наука логики. -М.: Мысль, 1974.-452 с.

93. Гёдель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения // Математическая теория логического вывода. — М.: Наука, 1967. -С. 299-310.

94. Гейберг И.Л. Естествознание и математика в классической древности / Пер. с нем. С.П. Кондратьева под ред. с предисл. А.П. Юшкевича — М. — Л.: ОНТИ, 1936. 194 с.

95. ЮЗ.Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. Перев. с англ. М.: Мир, 1965. -199 с.

96. Генезис категориального аппарата науки / Отв. ред.: К.Х. Рахматуллин, А.Н. Нысанбаев. Алма-Ата: Наука КазССР, 1990. -320 с.

97. Геродот. История в девяти книгах / Пер. Г.А. Стратановского. Общ. ред. С. Л. Утченко. Л.: Наука, 1972. - 600 с.

98. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Методологический анализ оснований математики: Отв. ред. М.И. Панов. М., 1988. - С. 97-104.

99. Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.-492 с.

100. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики / Пер. с нем. -М., 1947.-304 с.

101. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики / Пер. с нем. М.: Наука, 1979. - 557 с.

102. ПО.Глебкин В.В. Наука в контексте культуры. «Начала» Евклида и "Цзю чжан суань шу». М.: Интерпракс, 1994. - 190 с.

103. Горолевич Т.А. Взаимоотношение математики и философии (логико-диалектические и социальные аспекты) // Современное естествознание в системе науки и практики. Минск, 1990. - 214 с.

104. Григорян A.A. О гносеологическом механизме возникновения нового математического знания // Методологический анализ математических теорий.-М., 1987.-С. 33-41.

105. ПЗ.Гринцер Н.П., Гринцер П.А. Становление литературной теории в Древней Греции и Индии. М.: РГГУ, 2000. - 424 с.

106. Грязнов Б.С. Логика. Рациональность. Творчество. — М.: Наука, 1982. -256 с.

107. Гуссерль Э. Начало геометрии / Введение Жака Деррида. М.: Ad Marginem, 1996. - 267 с.

108. Пб.Гутнер Г.Б. Онтология математического дискурса. Сущность и структура в математическом рассуждении. М.: Изд-во Моск. культуролог, лицея, 1999.-119 с.

109. Давыдов B.B. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические программы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. — 423 с.

110. Деймлих Ф. Геодезическое инструментоведение. Пер с нем. — М., 1970.

111. Декарт Р. Сочинения в двух томах. М.: Мысль, 1989-1994.

112. Демидов С.С. Презентизм и антикваризм в историко-научном исследовании // Вопросы истории естествознания и техники. 1994. - № 3. -С. 3-12.

113. Дильс Г. Античная техника / Пер. с нем. под ред. и с предисл. С.И. Ковалева. — М Л.: Труды Института истории науки и техники АН СССР, 1934.-215 с.

114. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / Перевод с древнегреч. М.Л. Гаспарова. 2-е изд. М.: Мысль, 1986. -571 с.

115. Доватур А.И. Рабство в Аттике в VI V вв. до н. э. - Л.: Наука, 1980. -135 с.

116. Долгоруков B.C. История эллинского градостроительства (VIII — II вв. до н. э.): Автореф. дис. канд. ист. наук: 07.575 / АН СССР. Ин-т архитектуры.-М., 1970.-31 с.

117. Дорофеев Г.Ф., Розов Н.Х. О философском освещении некоторых вопросов математики // Вопросы философии. -1968. -№ 6. С. 132-142.

118. Древнекитайская философия. Собрание текстов: В 2 т. /Под ред. Я. Хин Шун.-М., 1972-1973.

119. Древняя Греция / Сборник статей. Под ред. В.В. Струве, Д.П. Каллисто-ва. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 614 с.

120. Дрейфус X. Чего не могут вычислительные машины. Критика искусственного разума / Пер. с англ. М.: Прогресс, 1978. — 334 с.

121. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия / Пер. с фр. М.: Наука, 1972.-336 с.

122. Евклид. Начала. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Т.1. М - Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. - 446 с.

123. Еганян A.M. Греческая логистика. Ереван: Айастан, 1972. — 309 с.

124. Елачич В. Как считали люди в древние времена. СПб.: Изд. книж. магазина П.В. Луковникова, 1912. - 47 с.

125. Жмудь Л.Я. Зарождение истории науки в античности. СПб.: РХГИ, 2002. - 424 с.

126. Жмудь Л.Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. -СПб.: Алетейя, 1994. -376 с.

127. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. Л.: Наука, Ленинградское отд-ние, 1990.-191 с.

128. Жог В.И., Коломейцев А.Е. Инвариантный мир Платона и развитие математического естествознания // Теория развития и естествознание. М., 1989.-С. 63-73.

129. Жоль К.К. Сравнительный анализ индийского логико-философского наследия. К.: Наукова думка, 1981. — 208 с.

130. Зайцев А.И. Культурный переворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э.- Л.: Издательство Ленинградского университета, 1985. 208 с.

131. Зиновьев A.A. Основы логической теории научных знаний. М.: Наука, 1967.-261 с.

132. МО.Зинченко В.П. Искусственный интеллект и парадоксы психологии // Будущее искусственного интеллекта. М.: Наука, 1991. - С. 185 — 193.

133. Зубов В.П. Аристотель. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1963. - 367 с.

134. Ильенков Э. Количество // Философская энциклопедия. М., 1962. - Т.2.- С. 552-560.

135. История математики с древнейших времен до начала Нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1970. - 352 с.

136. Каган В.Ф. Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития. Ч. 1: Геометрия Лобачевского и ее предыстория. М. Л.: ГТТИ, 1949. - 492 с.

137. Кадыржанов Р.К. Проблемы социально-культурной природы математического познания. Алма-Ата: Гылым, 1992. -125 с.

138. Нб.Казарян В.П., Лолаев Т.П. Математика и культура. М.: Научный мир, 2004.-288 с.

139. Каменцева Е.И. Историческая метрология. М.: Ист.-архив. ин-т, 1978. -57 с.

140. Кант И. Соч. в шести тт. Т. 3. - М.: Мысль, 1964. - 799 с.

141. Касавин И.Т. Социальные структуры математического знания: гносеологический анализ // Познавательная традиция: философско-методологи-ческий анализ. М., 1989. - С. 45-62.

142. Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции / Перевод Б. Столпнера и П. Юшкевича. СПб.: Шиповник, 1912.-454 с.

143. Кассирер Э. Философия символических форм. Тт. 1-3. / Пер с нем. М — СПб.: Университетская книга, 2002.

144. Касьян A.A. Контекст образования: наука и мировоззрение. — Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1996. 184 с.

145. Касьян A.A. Математический метод: проблема научного статуса. Куйбышев: Куйбышевск. гос. пед. ин-т им. В.В. Куйбышева, 1990. - 96 с.

146. Катречко С.Л. Логика и теория поиска вывода // Наука и философия на рубеже тысячелетий: перспективы и горизонты (тезисы докл. и выст. на Всерос. научн. конф.). Курск, 1995. - С. 54-56.

147. Кауфман И.С. Геометрический метод и геометрический объект в философии Спинозы // История философии: проблемы и темы. К 60-летию профессора Ю.В. Перова. СПб., 2001. - С. 114-134.

148. Кахро М.И, Калья А.П., Тыугу Э.Х. Инструментальная система программирования ЕС ЭВМ (ПРИЗ). М.: Финансы и статистика, 1981. -158 с.

149. Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. К.: Вища школа, 1974. - 342 с.

150. Кессиди Ф.Х. От мифа к логосу. М.: Мысль, 1972. - 312 с.

151. Кибернетика — неограниченные возможности и возможные ограничения. Итоги развития / Ред.-сост. В.Д. Пекелис. М.: Наука, 1979. - 200 с.

152. Кибернетика: Неограниченные возможности и возможные ограничения. Перспективы развития. М.: Наука, 1981. 192 с.

153. Клайн М. Математика: утрата определенности. М.: Мир, 1984. - 434 с.

154. Клайн М. Математика: Поиск истины. М.: Наука, 1988. - 250 с.

155. Клини С. Математическая логика. -М.: Мир, 1973. -480 с.

156. Кобзев А.И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М.: Мысль, 1994. - 225 с.

157. Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 1-е издание. Т. 38. М., 1938. С. 359-402.

158. Коуэн Г.Дж. Мастера строительного искусства: История проектирования сооружений и среды обитания со времен Древ. Египта до XIX в. Пер. с англ. Д.Г. Копелянского. М.: Стройиздат, 1982. - 240 с.

159. Кричевец А.Н. Априорность и адаптивность. М.: Российское психологическое общество, 1998. - 130 с.

160. Крушинский A.A. Логика древнего Китая: Автореф. дис. докт. филос. наук: 09.00.07 / Моск. гос. ун-т. М., 2006. - 42 с.

161. Крушинский A.A. Логика «И цзина»: Дедукция в древнем Китае. М.: Изд. фирма «Восточная литература» РАН, 1999. - 176 с.

162. Ксенофонт. Сократические сочинения. — СПб.: АО Комплект, 1993. 416 с.

163. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985.-170 с.

164. Кудряшев А.Ф. О соотношении предмета и метода математики // Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. Ч. II. М.-Обнинск, 1987. - С. 221-225.

165. Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 136 с.

166. Кузнецова Н. И. Наука в ее истории: (Методологические проблемы). — М., 1982.-127 с.

167. Куторга М.С. О счетах у древних греков. История слова «камешек» // Русский вестник. -1872. Т. 102. - С. 901-922.

168. Ладенко И.С. Формирование теоретического знания в истории математики / АН СССР. Сиб. отд. Ин-т истории, филологии и философии СО АН СССР. Препринт. - Новосибирск, 1989. - 64 с.

169. Лакатос И. Бесконечный регресс и основания математики // Современная философия науки. М., 1996. С. 106-136.

170. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. с англ. И.Н. Веселовского. М., Наука, 1967. - 152 с.

171. Лауэр Ж.Ф. Загадки египетских пирамид / Пер. с франц. М.: Наука, 1966.-224 с.

172. Лафарг П. Материалистическое понимание истории и математики // Вестник знания. -1909. № 5. - С. 662-665.

173. Лебедев A.B. Геометрический стиль и космология Анаксимандра // Культура и искусство античного мира. М., 1980. - С. 100-124.

174. Лейбниц Г.-В. Об универсальной науке, или философском исчислении // Лейбниц Г.-В. Соч. в четырех томах. Т. 3. М., 1984. - С. 494-500.

175. Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий / Пер., комм., вступ. ст. и прим. проф. В.Ф. Кагана. — M-Л.: АН СССР, 1945.-176 с.

176. Логика и компьютер. Моделирование рассуждений и проверка правильности программ / H.A. Алешина, A.M. Анисов, П.И. Быстров и др. М.: Наука, 1990.-240 с.

177. Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука. М.: Издание автора, 1927.-550 с.

178. Лосев А.Ф. История античной эстетики. М.: Искусство, 1963-1994. В 8 т.

179. Лосев А.Ф. Очерки античного символизма и мифологии / Сост. A.A. Та-хо-Годи; Общ. ред. A.A. Тахо-Годи и И.И. Маханькова. М.: Мысль, 1993. - 959 с.

180. Лосев А.Ф. Проблема символа и реалистическое искусство. — 2-е изд., испр. -М.: Искусство, 1995. 320 с.

181. Лосева И.Н. Теоретическое знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1989. - 109 с.

182. Луканин Р.К. «Органон» Аристотеля. М.: Наука, 1984. 303 с.

183. Лукас А. Материалы и ремесленные производства Древнего Египта / Пер. с англ. яз. Общ. ред. и вступит, статья В.И. Авдиева. М.: Издательство иностранной литературы, 1958. - 747 с.

184. Лукьянец B.C. Философские основания математического познания. К.: Наукова думка, 1980. - 192 с.

185. Лукьянов А.Е. Становление философии на Востоке (Древний Китай и Индия). Изд. 2-е, испр. и доп. М.: ИНСАН, 1992. - 208 с.

186. Лурье С.Я. Вавилонская математика // Математическое просвещение. -1937.-Вып. 11.-С. 44-50.

187. Лурье С.Я. К вопросу о египетском влиянии на греческую геометрию // Архив истории науки и техники. 1933. - Вып. 1. - С. 45-70.

188. Майданский А.Д. Геометрический порядок доказательства и логический метод в «Этике» Спинозы // Вопросы философии. 1999. - № 11. - С. 172-180.

189. Маковельский А.О. Софисты. Баку, 1940-41. Вып. 1-2.

190. Малеваный A.M. Находка строительного чертежа пирамиды // Вопросы истории.-1982.-№2.-С. 172-174.

191. Мамчур Е.А. Проблемы социокультурной детерминации научного знания. М.: Наука, 1987. - 125 с.

192. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 168 с.

193. Мареев С.Н. Диалектика логического и исторического и конкретный историзм К. Маркса. М.: Наука, 1984. - 158 с.

194. Марк Витрувий Поллион. Десять книг об архитектуре. — М.: Всесоюзн. Академия Архитектуры, 1936. 331 с.

195. Маркузон В.Ф. Современные проблемы древнегреческой архитектуры // Культура и искусство античного мира. М., 1980. - С. 183 - 207.

196. Маслов С.Ю. Обратный метод установления выводимости в классическом исчислении предикатов // ДАН СССР. 1964. - Вып. 159. — № 1. -С. 17-20.

197. Маслов С.Ю: Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Сов. радио, 1986. - 136 с.

198. Математика в девяти книгах / Пер., статья и примеч. Э.И. Березкиной7/ Историко-математические исследования. 1957. - Вып. X. - С. 427-584.,

199. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. -319 с.

200. Методологические проблемы математики / Сб. статей. Сост. А.Т. Москаленко. — Новосибирск: Наука, 1979.-302 с.

201. Методологические проблемы преподавания математики / Сб: научных трудов. М.: Центр, совет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987.-152 с.

202. Методологический анализ математических теорий; Сб. научных трудов / Отв. ред. М.И. Панов. М.: Центр, совет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987. 296 с.

203. Методологический анализ оснований математики / Отв. ред. М.И. Панов. -М.:-Наука, 1988,- 174 с.

204. Миллер Дж., Галантер Е. и Прибрам К. Планы и структура поведения / Пер. с англ. М.: Прогресс, 1965. - 238 с.

205. Михайлова Э.М. Начало превращения математики в дедуктивную науку // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1973. — Вып. 3. — С. 19-25.

206. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969.—303 с.

207. Мордухай-Болтовской Д.Д. Четыре лекции по философии математики, прочитанные на курсах для преподавателей средней школы летом 1912 г. Варшава: Тип: Варшавского учебного округа, 1913: - 78 с.

208. Моров ВЛ'. История математики эпохи позднего эллинизма: Автореф: дис. канд. физ.-мат. наук: 07.00.107 Ин-т истории естеств. и техн. — М:, 1989. 20 с.

209. Мочалова И.Н. Метафизика Ранней Академии и проблемы творческого наследия Платона и Аристотеля // АКААНМЕ1А: Материалы и исследования по истории платонизма. Вып. 3 / Под ред. A.B. Цыба. СПб., 2000. С. 226-349.

210. Науменко JI.K. Монизм как принцип диалектической логики. Алма-Ата: Изд-во «Наука» Каз. ССР, 1968. - 327 с.

211. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук. Т. 1: Догреческая математика / Пер. с нем. С .Я. Лурье. М- Л.: ОНТИ, 1937. - 244 с.

212. Нейгебауэр О. Точные науки в древности / Пер Е.В. Гохман. М.: Наука, 1968.-224 с.

213. Никифоров А.Л. От формальной логики к истории науки. Критический анализ буржуазной методологии науки. М.: Наука, 1983. 174 с.

214. Николко В.Н. Кант и современная математика // Вопросы теоретического наследия И. Канта. 1975. - Вып. 1. - С. 88-94.

215. Новиков А.Г. Философские проблемы возникновения и начального этапа развития математики. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1992. - 160 с.

216. Нуждин Г.А. Доказательство // Вопросы философии. -1998. № 9. - С. 138-149.

217. Ньюэлл А., Саймон Г. GPS программа, моделирующая процесс человеческого мышления // Вычислительные машины и мышление. - М.: Мир, 1967.-С. 283-301.

218. Орлов Е.В. Кафолическое в теоретической философии Аристотеля. -Новосибирск: Наука, 1996.-219 с.

219. Паев М.Е. Решение двух античных проблем. К.: Наукова Думка, 1987. -217 с.

220. Панов М.И. Основные направления гуманитаризации современной математики // Проблема гуманитаризации математики и естественнонаучного знания.-М.: Знание, 1991.-С. 115-125.

221. Панфилов В.А. Философия математики Платона. — Дншропетровськ: ДДУ, 1997.- 112 с.

222. Паршин А.Н. Путь. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002. -240 с.

223. Перминов В .Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М.: Изд-во Московского ун-та, 1986. - 240 с.

224. Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001. -320 с.

225. Петров М.К. Искусство и наука. Пираты Эгейского моря и личность. -М.: РОССПЭН, 1995.-238 с.

226. Петрунин Ю.Ю. Искусственный интеллект: история, методология, философия. М.: Звездопад, 2002. - 247 с.

227. Печенкин A.A. Математическое обоснование в развитии физики. М.: Наука, 1984.-252 с.

228. Пидоу Д. Геометрия и искусство / Пер. с англ. Ю.А. Данилова под ред. и с предисл. И.М. Яглома. М.: Мир, 1979. - 332 с.

229. Платон. Соч. в 4 т. -М.: Мысль, 1990-1994.

230. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. М.: Изд-во Иностр. лит., 1957. - 536 с.

231. Понтрягин JI.C. Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908, г. Москва. М.: ИЧП Прима В, 1998.-304 с.

232. Попович М.В. Очерк развития логических идей в культурно-историческом контексте. К.: Наукова думка, 1979. 243 с.

233. Поспелов Д.А. Ближайшее будущее искусственного интеллекта // Всесоюзная конференция по искусственному интеллекту. Тезисы докладов. Переславль-Залесский, 1988. С.28-35.

234. Прокл. Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение / Перевод, вступ. статья и комм. Ю.А. Шичалина. М.: Греко-латинский кабинет, 1994.-224 с.

235. Риккерт Г. Науки о природе и науки о культуре / Пер. со втор. нем. изд. С. Гессена. Спб.: Образование, 1911. - 196 с.

236. Родин A.B. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003. - 211 с.

237. Розин В.М. Анализ знаковых средств геометрии // Вопросы психологии. 1964. -№5. -С. 74-90.

238. Розин В.М. Как решали математические задачи в Вавилоне // Природа. -1980.-№6.-С. 94-102.

239. Розин В.М. Семиотический анализ знаковых средств математики // Семиотика и восточные языки. — М.: Наука, 1967. — С. 66-92.

240. Розин В.М. Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных наук. Красноярск: Изд-во КГУ, 1989. - 200 с.

241. Розин В.М. Этапы генезиса математических знаний (до «Начал» Евклида) // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник, 1986.-М.: Наука, 1987. - С. 426-440.

242. Розов М.А. О природе идеальных объектов науки // Философия науки. Вып. 4.-М., 1998.-С. 40-51.

243. Розов М.А. Теория социальных эстафет и проблемы анализа знания // Теория социальных эстафет: История Идеи — Перспективы. Новосибирск: НГУ, 1997. - С. 9-67.

244. Розов М.А. Теория социальных эстафет и проблемы эпистемологии. -Смоленск: Смол. гор. тип., 2006. 439 с

245. Романенко Ю.М., Чулков O.A. Метафора и символ в культурном обращении // Метафизические исследования. 1997. - Вып. 5. - С. 46-59.

246. Рузавин Г.И. Дискуссия по актуальным философским проблемам математики // Вопросы философии. 1969. - № 2. - С. 159-162.

247. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М.: Мысль, 1984. -207 с.

248. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука, 1983.-302 с.

249. Рыбников К.А. Очерки методологии математики. — М.: Знание, 1982. — 64 с.

250. Сабо А. О превращении математики в дедуктивную науку и о начале ее обоснования // Историко-математические исследования. — 1959. — Вып. 12.-С. 321-392.

251. Садовничий В.А. Математика в современном мире // Вестник МГУ. Математика, механика. 1987. - № 5. - С. 71-75.

252. Салихов М.В. К вопросу о возникновении теоретической математики (методологический аспект) // Методологический анализ закономерностей развития математики. М., 1989. - С. 210-219.

253. Сервэ В. Преподавание математики в средних школах // Математическое просвещение. 1957. - Вып. 1. С. 22-31.

254. Сергеев К.А., Слинин Я.А. Природа и разум: Античная парадигма. — JL: Изд-во Ленинградского университета, 1991. — 240 с.

255. Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: РОССПЭН, 1996. - 304 с.

256. Сноу Ч.П. Две культуры / Сокр. пер. с англ. М.: Прогресс, 1973. - 144 с.

257. Сокулер Э.А. Проблема обоснования знания: Гносеологические концепции Л. Витгенштейна и К. Поппера. М.: Наука, 1988. - 177 с.

258. Сравнительная философия. М.: Изд. фирма «Восточная литература» РАН, 2000. - 344 с.

259. Стеклов В.А. Математика и ее значение для человечества. — Берлин: Гос. изд. РСФСР, 1923.-138 с.

260. Степанова A.C. Философия Древней Стой. СПб.: Алетейя, 1995. -272 с.

261. Степин B.C. Становление научной теории. Минск.: БГУ, 1976. - 319 с.

262. Степин B.C. Теоретическое знание. Структура, историческая эволюция. М.: Прогресс-Традиция, 2000. - 743 с.

263. Страбон. География в 17 кн. / Пер. и предисл. Г.А. Стратановского. -М.: Наука, 1964.-944 с.

264. Стройк Д. Краткий очерк истории математики. Изд. 2-е. Перев. с нем. -М.: Наука, 1969.-328 с.

265. Тайны египетских пирамид / Р.Ч. Валеев. М.: Знание, 1991. - 48 с.

266. Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1987. 191 с.

267. Техника в ее историческом развитии: От появления ручных орудий до становления техники машинно-фабричного производства / Отв. ред. C.B. Шухардин. М.: Наука, 1979. - 416 с.

268. Традиция в истории культуры / Отв. ред. В.А. Карпушин. М.: Наука, 1978.279 с.

269. Финн В.К. Интеллектуальные системы: проблемы их развития и социальные последствия // Будущее искусственного интеллекта. М., 1991. — С.157-177.

270. Фихте И.Г. Факты сознания // Соч. в двух томах. Т. 2. СПб., 1993. - С. 621-769.

271. Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокос-могоний до возникновения атомистики / Изд. подгот. A.B. Лебедевым. — М.: Наука, 1989.-576 с.

272. Франкфорт Г., Франкфорт Г.А., Уилсон Дж., Якобсен Т. В преддверии философии. Духовные искания древнего человека / Пер. с англ. — М.: Наука, 1984.-236 с.

273. Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М.: Мир, 1977. - 261 с.

274. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. I. Пособие для учителей / Сокр. пер. с нем под ред. Н.Я. Виленкина М.: Просвещение, 1982.-208 с.

275. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. Пособие для учителей / Сокр. пер. с нем под ред. Н.Я. Виленкина М.: Просвещение, 1983.- 192 с.

276. Фурнье Л. Чудеса строительного искусства / Пер. с франц., с дополн. -М.: Транспечать, 1926. 232 с.

277. Фурре Е. Очерк истории элементарной геометрии / Перев. с франц. — Одесса: Матезис, 1912. 48 с.

278. Хвостова К.В., Финн В.К. Гносеологические и логические проблемы исторической науки: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1995. - 176 с.

279. Хинчин А.Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами. Изд. 2-е. М.: УРСС, 2006. - 208 с.

280. Цейтен И.Г. История математики в древности и в средние века / Пер. с нем. 2-е изд. M.-JL: ОНТИ, 1938. - 231 с.

281. Целлар К. Архитектура страны фараонов. Жилище живых, усопших и богов / Перевод с венг. под ред. B.JI. Глазычева. М.: Стройиздат, 1990. - 160 с.

282. Цицерон. Философские трактаты. М.: Наука, 1985. - 382 с.

283. Черняк B.C. История. Логика. Наука. М.: Наука, 1986. - 371 с.

284. Черняк B.C. Оппозиция арифметики и геометрии в античной философии и математике // Научный прогресс: когнитивный и социокультурный аспекты. М., 1993. - С. 43-72.

285. Шапошников В.А. Математическая мифология и пангеометризм // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. - С. 139-161.

286. Шейнман-Топштейн С.Я. Платон и ведийская философия. М.: Наука, 1978.- 199 с.

287. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. Изд.2-е. М.: УРСС, 2004.-184 с.

288. Шидер Т. Возможности и границы сравнительных методов в исторических науках // Философия и методология истории / Сб. перев. под ред. И.С. Кона. М.: Прогресс, 1977. - С.143-167.

289. Шичалин Ю.А. Историческая преамбула / Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. М.: Греко-латинский кабинет, 1994. -С. 6-41.

290. Шичалин Ю.А. История античного платонизма в институциональном аспекте. М: Греко-латинский кабинет, 2000. - 439 с.

291. Шляхин Г.Г. Математика и объективная реальность. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1977. — 140 с.

292. Эллинистическая техника / Сб. ст. под ред. акад. И.И. Толстого. М-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - 365 с.

293. Юшкевич А.П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.-448 с.

294. Юшкевич А.П. О математике Древнего Востока и Древней Греции // Методологические проблемы развития и применения математики. М.: Центр, совет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1985.-С. 168-173.

295. Яглом И.М. Математика и реальный мир. М.: Знание, 1978. - 63 с.

296. ЯНКОВ В.А. Становление доказательства в ранней греческой математике (гипотетическая реконструкция) // Историко-математические исследования. Вторая серия.- 1997. Вып. 2 (37). - С. 200-236.

297. ЯНКОВ В.А. Гиппас и рождение геометрии величин // Историко-математические исследования. Вторая серия.-2000. Вып. 5 (40). - С. 192-222.

298. ЯНКОВ В.А. Геометрия последователей Гиппаса // Историко-математические исследования. Вторая серия.- 2000. Вып. 6 (41). — С. 285-318.

299. Яновская С.А. Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования. 1958. - Вып. XI. - С. 63 - 96.

300. Яновская С.А. Содержательная истинность и формально логическая доказуемость в математике // Практика и познание. М., 1973. - С. 247272.

301. Adamesteanu D. Problèmes de la zone archéologique de Metaponte // Revue Archéologique, 1967. P. 3 38.

302. Adamesteanu D., Vatin Cl. L'Arriéré pays de Métaponte // Comptes rendus de l'Académie des Inscriptions et Belles-Lettres. 1976. P. 110-123.

303. Allman G.F. Greek geometry from Thaïes to Euclid. Dublin, 1889.

304. Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis de sectione cylindri et coni libri duo. Conicorum libri IV priores cum Pappi Alexandrini lemmatis et Eutocii Ascalonitae commentariis. Oxonia: Theatro Sheldoniano, 1710.

305. Austin M.M., Vidal-Naquet P. Economic and Social History of Ancient Greece: An Introduction. Berkeley; Los Angeles, 1977.

306. Badawy A. Architecture in Ancient Egypt and the Near East. Cambridge, 1966.

307. Basin D.A., Deville Y., Flener P., Hamfelt A., Nilsson J.F. Synthesis of Programs in Computational Logic // Program Development in Computational Logic. Lecture Notes In Computer Science. 2004. V. 3049. P. 30-65.

308. Baum R.J. Philosophy and mathematics from Plato to present. San Francisco, 1973.

309. Becker O. Die diairetische Erzeugung tier platonischen Idealzahlen // Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. 1931. Bd. l.H. 4. S. 464-501.

310. Bernal M. Animadversions on the Origins of Western Science // Isis. 1992. V. 83. №4. P. 596-607.

311. Beth E. W. Semantical Entailment and Formal Derivability // Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, afd.Letterkunde, Nieuwe Reeks. 1953. V. 18. P. 309-342.

312. Bibel W. Let's plan it deductively! // Artificial Intelligence. 1998. V. 103. № 1. P. 183-208.

313. Bishop E. Mathematics as a Numerical Language // Intuitionism and Proof Theory. Ed. by Myhill J. et al. Amsterdam, 1970. P. 53-71.

314. Black A. The story of Tunnels. N.-Y., 1937.

315. Bledsoe W.W. I Had a Dream: AAAI Presidential Address, 19 August 1985 // AI Magazine. 1986. V. 7. № 1. P. 57-61.

316. Bogaert R. Banques et banquiers dans les cités grecques. Leyden, 1968.

317. Bos H.J.M., Mehrtens H. The interactions of mathematics and society in history. Some exploratory remarks // Historia Mathematica. 1977. V. 4. № 1. P. 7-30.

318. Buchberger B., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90-106.

319. Bundy A. A Critique of Proof Planning // Computational Logic: Logic. Programming and Beyond. Lecture Notes In Computer Science. 2002. V. 2408. P. 160-177.

320. Bundy A. Artificial Mathematicians. May 23, 1996. P. 1-5.

321. Bundy A. The use of explicit plans to guide inductive proofs // 9th International Conference on Automated Deduction. Proceedings. Lecture Notes In Computer Science. 1988. V. 310. P. 111-120.

322. Burkert W. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Cambridge, MA, 1972.

323. Burns A. The Tunnel of Eupalinus and the Tunnel Problem of Hero of Alexandria // Isis. 1971. V. 62. № 2. P. 172-185.

324. Cadastres et espace rural. Approches et réalités antiques / Ed. M. Clavel-Lévêque. P., 1983.

325. Calhoun G.M. The Business Life of Ancient Athens. Chicago, 1926 (repr. N. -Y., 1968).

326. Carathéodory C. Untersuchungenuber die Grundlagen der Thermodynamik // 1909. Mathematische Annalen. Bd. 67. H. 3. S. 355-386.

327. Chinese Science: Exploration of an Ancient Tradition / Ed. by S. Nakayama and N. Sivin. Cambridge, MA, 1973.

328. Classics in the history of Greek mathematics / Ed. by J. Christianidis. Dordrecht, 2004.

329. Coulton J J. Ancient Greek Architects at Work. N.Y., 1977.

330. Coulton J.J. Towards Understanding Greek Temple Design: General Considerations // The Annual of the British School of Athens. 1975. V. 70. P. 59-99.

331. Diodorus Siculus. Library of History / Translated by C.H. Oldfather. Cambridge, MA, 1935.

332. Ernsbach M. Sophistik als Aufklärung: Zur Wissenschafts- und Geschichtsauffassung des Sophisten Protagoras. Würzburg, 1980.

333. Gandz S. The Origin of Angle-Geometry II Isis. 1929. V. 12. № 3. P. 452481.

334. Gillings R.J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA, 1972.

335. Gödel K. Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes // Dialectica. 1958. V. 12. № 3/4. P. 280-287.

336. Gödel K. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I // Monatshefte für Mathematik und Physik. 1931. Bd. 38. S. 173-198.

337. Goodfield J., Toulmin S. How Was the Tunnel of Eupalinus Aligned? // Isis. 1965. V. 56. № i.p. 46-55.

338. Gordon M.J., Milner R., Wadsworth C.P. Edinburgh LCF: A Mechanized Logic of Computation. Lecture Notes in Computer Science. V. 78. 1979.

339. Grabiner J.V. The mathematician, the historian and the history of mathematics // Historia Mathematica. 1975. V. 2. № 4. P. 439-447.

340. Hamel G. Theoretische Mechanik. Berlin, 1949.

341. Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter. Leipzig, 1874.

342. Heath T. A. History of Greek Mathematics. 2 vols. N.-Y., 1981.

343. Hilbert D. Axiomatisches Denken // Mathematische Annalen. 1918. Bd. 78. S. 405-415.

344. Hintikka J. Form and content in quantification theory // Two papers on symbolic logic. Acta philosophica Fennica. Helsinki, 1955. Fase. VIII. P. 755.

345. Hogan E.R. The beginnings of mathematics in a howling wilderness // Historia Mathematica. 1974. V. 1. № 2. P. 151-166.

346. H0yrup J. Algebra and naive geometry: An investigation of some basic aspects of Old Babylonian mathematical thought // Altorientalische Forschungen. 1990. B. 17. H. 1. S. 27-69; H. 2. S. 262-354.

347. Jenkins G.K. Ancient Greek Coins. L., 1972.

348. Kanger S. A simplified proof method for elementary logic // Computer Programming and Formal Systems. Studies in Logic. Amsterdam , 1963. P. 87-93.

349. Kamareddine F., Monin F., Ayala-Rincón M. On automating the extraction of programs from proofs using product types // Revista Colombiana de Computación. 2003. V. 4. № 2. P. 29-^8.

350. Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. N.-Y.; Oxford, 1984.

351. Kline M. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times. N.-Y., 1972.

352. Knorr W.R. On the Early History of Axiomatics: the Interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity // Proceedings of the 1978 Pisa Conference on the History and Philosophy of Science . Vol. I. P. 145-196.

353. Knorr W.R. On the Transmission of Geometry from Greek into Arabic // Historia Mathematica. 1983. V. 10. № 1. p. 71-78.

354. Knorr W.R. The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry. Dordrecht, 1974.

355. Kolmogoroff A. Zur Deutung der Intuitionistischen Logik // Mathematische Zeitschrift. 1932. Bd.35. S. 58-65.

356. Kraay C.M. Archaic and Classical Greek Coins. Berkeley; Los Angeles, 1976.

357. Kreisis A. Greek town building. Athens, 1965.

358. Lambert J.H. Theorie der Parallellinien // Leipziger Magazin flir reine und angewandte Mathematik. 1786. № 2. S. 137-164, 325-358.

359. Le Charlier B., Flener P. Specifications are necessarily informal, or: Some more myths of formal methods // Journal of Systems and Software. 1998. V. 40. №3. P. 275-296.

360. Lloyd G.E.R. Early Greek Science: Thales to Aristotle. N.-Y., 1970.

361. Lutovac T., Harland J. Issues in the Analysis of Proof-Search Strategies in Sequential Presentations of Logics // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 2005. V. 125. № 2. P. 115-147.

362. Melis E., Bundy A. Planning and Proof Planning. Presented at the ECAI-96 workshop on Cross-Fertilization in Planning. http://homepages.inf.ed.ac.uk/bundy/

363. Menninger K. Number words and number symbols: A cultural history of numbers / Translated by P. Broneer. Cambridge, 1969.

364. Needham J. Science and civilization in China. V. 3: Mathematics and the sciences of the heavens and the earth. Cambridge, 1959.

365. Neuenschwander E.A. Die ersten vier Bucher der Elemente Euklids: Untersuchungenuber den mathematischen Aufbau, die Zitierweise und die Entstehungsgeschichte // Archive for History of Exact Sciences. 1973. V. 9. № 4/5. P. 325-380.

366. Proclus: A commentary on the first book of Euclid's elements. Translated by G. R. Morrow. Princeton, 1970.

367. Rihll T.E., Tucker J.V. Greek Engineering. The Case of Eupalinos' Tunnel // The Greek World / Ed. A. Powell. Routledge, 1995. P. 402-431.

368. Robinson J.A. A machine-oriented logic based on the resolution principle // Journal of the Association for Computing Machinery. 1965. V. 12. № 1. P. 23-41.

369. Rossi C. Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge, 2004.

370. Rostovtzeff M. The Social and Economic History of the Hellenistic World. Oxford, 1964.

371. Seltman C.T. Athens: Its History and Coinage before the Persian invasion. Cambridge, 1924.

372. Seltman C.T. Greek coins. A history of metallic currency and coinage down to the fall of Hellenistic Kingdoms. L., 1933.

373. Slavery in classical antiquity; views and controversies / Ed. M.I. Finley. Cambridge, 1960.

374. Stone P. Learning and Multiagent Reasoning for Autonomous Agents // The 20th International Joint Conference on Artificial Intelligence, January 2007. P. 13-30.

375. Szabo A. The Beginnings of Greek Mathematics. Budapest, 1978.

376. Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo's Methodology. Proceedings of a conference on the history and philosophy of science held in Pisa, Italy, Sept. 4-8, 1978. V. 1. Dordrecht-Boston-London, 1981.

377. Unguru S. History of Ancient Mathematics: Some Reflections on the State of the Art // Isis. 1979. V. 70. P. 555-564.

378. Unguru S. On the need to rewrite the history of Greek mathematics // Archive History of Exact Sciences. V. 15. P. 67-114.

379. Uvanovic D. The Indian Prelude to European Mathematics // Osiris. 1936. V. 1. P. 652-657.

380. Waerden B. L. van der. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. N— Y., 1983.

381. Waerden B.L. van der. Die Postulate und Konstruktionen in der frahgriechi-shen Geometrie // Archives for History of Exact Sciences. 1978. V. 18. № 4. P. 343-357.

382. Wang Hao. From Mathematics to Philosophy. L., 1974.

383. Westermann W.L. The Slave Systems of Greek and Roman Antiquity. Philadelphia, 1955.

384. Weyl H. The Open World. New Haven, 1932.

385. Wilder R.L. Hereditary stress as a cultural force in mathematics // Historia Mathematica. 1974. V. 1. № 1. P. 29-^6.

386. Wilder R.L. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.