Генерация, разрушение и синхронизация двухчастотных квазипериодических колебаний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Николаев, Сергей Михайлович

• Николаев, Сергей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Николаев, Сергей Михайлович

Введение

1 Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами

1.1 Математическая модель генератора. Основные режимы колебаний

1.2 Бифуркация удвоения двумерного тора.

1.3 Экспериментальная реализация генератора.

1.4 Выводы по главе 1.

2 Разрушение колебаний на Т4 под воздействием внешнего аддитивного шума

2.1 Хаотизация колебаний на четырехмерном торе.

2.2 Выводы по главе 2.

3 Синхронизация квазипериодических колебаний. Захват числа вращения на двумерном торе

3.1 Внешняя синхронизация квазипериодических колебаний

3.2 Взаимная синхронизация генераторов квазипериодических колебаний

3.3 Выводы по главе 3.

4 Синхронизация резонансного предельного цикла на двумерном торе

4.1 Синхронизация резонансного предельного цикла в генераторе квазипериодических колебаний.

4.2 Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе.

4.2.1 Воздействие внешней периодической силы на резонансный предельный цикл в системе связанных генераторов

Ван дер Поля.

4.2.2 Основные бифуркации квазипериодических режимов при синхронизации резонансного предельного цикла.

4.2.3 Особенности синхронизации резонансных предельных циклов при различных значениях числа вращения G

4.3 Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генерация, разрушение и синхронизация двухчастотных квазипериодических колебаний»

Квазипериодические колебания и их бифуркации па протяжении многих лет остаются предметом исследований специалистов по нелинейной динамике и турбулентности. Квазипериодическими колебаниями называют устойчивые решения динамических систем, которые зависят от конечного числа периодических функций <fik(uJkt) {к = 1, 2,.), имеющих период Т& = 2iт/tJk по каждому аргументу. Квазипериодические решения описывают достаточно сложные процессы колебаний с п независимыми частотами которые в общем случае рационально не связаны. Эти частоты представляют собой с физической точки зрения частотные моды парциальных колебательных систем, взаимодействующих между собой. Результатом такого взаимодействия и являются квазипериодические колебания.

Квазипериодические колебания с двумя и более независимыми частотами широко распространены в современном естествознании. Они возникают при модуляции электромагнитных колебаний информационными сигналами (радиотехника), описывают климатические колебания различного характера (климатология), описывают движение планет в космическом пространстве (теоретическая механика) и др. Квазипериодические колебания описывают биофизические, экологические и даже социальные эволюционные процессы [1]- [9]. На сегодняшний день изучение квазипериодических колебаний, относящихся к наиболее сложным типам регулярных колебаний, представляет собой одну из интересных и актуальных задач нелинейной динамики. Интерес к квазипериодическим колебательным процессам связан также и с тем, что во многих системах различной природы возникновение квазипериодических режимов колебаний предшествует переходу к хаотическому поведению.

В частности, в результате исследования возникновения турбулентного поведения жидкости при увеличении числа Рейнольдса был предложен сценарий Ландау - Хопфа [10] [11], ставший первым сценарием перехода к нерегулярному поведению. Данный механизм предполагает постепенное нарастание размерности квазипериодических колебаний, т.е. последовательность бифуркаций, в результате которых в спектре возникают новые несоизмеримые частоты. При наличии большого количества независимых частот и флуктуаций, всегда существующих в реальных физических системах, спектр колебаний становится сплошным, а сами колебания нерегулярными. Однако, данный сценарий неприменим к маломерным системам, в которых невозможно реализовать колебания с большим количеством независимых частот.

Альтернативой данному механизму является сценарий, предложенный в работах Д. Рюеля, Ф. Такенса и С. Ньюхауса [12] [13], в которых доказано, что хаотический аттрактор может возникать уже на трехмерном торе при малых возмущениях. При этом характер возмущения не конкретизируется. Согласно теоремам, приведенным в данных работах, в пространстве динамических ситем в окрестности тора Тп, где п ^ 3 - размерность тора, существует гиперболическое подмножество траекторий, содержащее нетривиальный аттрактор [14] [15], и малое возмущение может привести к возникновению хаотических колебаний, принадлежащих потоку на Тп и не разрушающих сам тор. Вопрос о реализации одного из приведенных механизмов разрушения квазипериодических колебаний остается не до конца ясным. После публикации соответствующих работ, появилось много заметок (см. например [16]) о существовании многомерных торов в различных системах, устойчивых к малым внешним возмущениям.

Во многих случаях существование в фазовом пространстве торов высокой размерности отмечалось при исследовении колебательных систем, состоящих из большого количества взаимодействующих периодических осцилляторов [17] [18]. Так, например, в работе [19] при исследовании систем различной размерности, состоящих из связанных отображений окружности, было показано, что при слабой связи в фазовом пространстве могут наблюдаться трехи четырехмерные торы, однако с ростом интенсивности возмущений тип аттрактора может меняться. В работе [20] исследовались процессы синхронизации в системе, состоящей из связанных фазовых осцилляторов, частоты которых задавались случайным образом. С ростом связи между осцилляторами в системе образуются кластеры синхронизации, что соответствует уменьшению количества независимых частот в спектре. Явления, связанные с уменьшением размерности тора в системах периодических осцилляторов с расстройкой, исследовались в работах [21] [22]. Было показано, что увеличение размера кластеров синхронизации может сопровождаться возникновением в фазовом пространстве хаотических колебаний, однако далее, с увеличением связи в системе, устанавливается периодический режим. Несмотря на интенсивные исследования в данной области в последние годы, многие вопросы, связанные с устойчивостью многомерных торов и резонансных структур на их поверхности к внешним возмущениям, остаются нерешенными.

Наиболее простым случаем квазипериодических колебаний являются колебания, соответствующие траекториям на двумерном торе, т.е. колебания с двумя независимыми частотами. Как известно, исследование бифуркаций двумерных торов требует двупараметрического анализа. Это связано с тем, что возникновение резонансов на торе обусловлено бифуркацией коразмерности 2 [23]. Если отношение частот является иррациональным, то колебания будут эргодическими и в фазовом пространстве будет наблюдаться двумерный эргодичебкий тор. В случае рационального соотношения частот (в области резонансов) система будет демонстрировать резонансный предельный цикл на торе. Такое поведение системы соответствует существованию в пространстве параметров языков Арнольда [24] [25]. Возможные пути возникновения хаоса через разрушение резонансных колебаний на двумерном торе рассматривались в работах [26] [27] и нашли подтверждение во многих экспериментах [28] [29]. Как было показано в [30] переход от двумерного эрго-дического тора к хаосу всегда происходит через возникновение резонансных колебаний. Подобно предельному циклу торы могут претерпевать бифуркации удвоения периода [31]. Это явление было обосновано как в численном так и в физическом экспериментах. Однако подавляющее большинство исследований бифуркаций торов проводилось на примере неавтономных нелинейных колебательных систем, демонстрирующих различные механизмы переходов к хаосу. Вторая частота в таких системах навязывалась внешним воздействием.

Поэтому детали многих бифуркационных явлений, связанных с квазипериодическими колебаниями, до сих пор остаются во многом неясными.

В рамках нелинейной динамики можно выделить отдельную группу вопросов, связанных с явлением синхронизации. Исследованию этого свойства автоколебательных систем посвящено огромное множество работ. Явление синхронизации было открыто Гюйгенсом в XVII в, с тех пор на этот эффект обращали внимание авторы многих работ из совершенно различных областей знаний [32]- [39]. Так, например, было показано, что эффект синхронизации проявляется в поведении взаимодействующих клеток ткани [40], ансамблей нейронов [41]- [43], биологических популяций [44].

Механизмы и проявления эффекта синхронизации периодических автоколебаний изучены достаточно хорошо [45]- [54]. Как известно, при синхронизации характерные времена взаимодействующих подсистем становятся кратными. При этом в спектре мощности колебаний базовые частотные моды парциальных систем становятся кратными. В случае, если в спектре периодических колебаний присутствуют гармоники и субгармоники, они также "подтягиваются" за основной частотой, и в результате синхронизации в системе наблюдаются периодические колебания.

В фазовом пространстве при несинхронных колебаниях наблюдается двумерный тор, соответствующий квазипериодическим колебаниям с двумя независимыми частотами. Сечение Пуанкаре при этом имеет вид замкнутой кривой. При синхронизации на поверхности тора в результате седло-узловой бифуркации возникают устойчивый и седловой циклы [55]. В результате в фазовом пространстве системы происходит качественное изменение аттрактора, и вместо эргодического тора наблюдается резонансный предельный цикл на торе, соответствующий в сечении Пуанкаре устойчивой точке. Захват колебаний может осуществляться и не на основной гармонике. В этом случае результатом синхронизации будет многообходный предельный цикл, с точки зрения качественной теории не отличающийся от цикла, возникающего при синхронизации на базовых частотах.

Различают внешнюю (вынужденную) и взаимную синхронизацию. В случае внешней синхронизации связь между колебательными подсистемами является односторонней. В результате синхронизации в такой системе частота результирующих колебаний равна или кратна частоте внешнего воздействия. В случае взаимной синхронизации частота колебаний может отличаться от собственной частоты каждой из подсистем и может являться результатом их взаимодействия.

Постепенно классические представления о процессах синхронизации в природе были обобщены и на определенный тип хаотических колебаний [56]- [60]. Под термином хаотическая синхронизация можно понимать различные явления. Как известно, различают полную синхронизацию хаоса [61], обобщенную [62-65], частотную или фазовую [66-68] синхронизации. Наиболее часто в литературе встречается описание процессов синхронизации хаотических колебаний, наблюдающихся при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов [69]- [72]. С ростом связи колебания парциальных осцилляторов начинают полностью повторять друг друга. При этом временной сдвиг между колебаниями осцилляторов отсутствует, и наблюдаются синфазные колебания. Как и для периодических колебаний, для генераторов в режиме спирального хаоса рассмотрены такие типы синхронизации как, например, захват и подавление частот, взаимная и вынужденная синхронизация [73]-[76]. Также были замечены более сложные типы синхронизации, связанные с возникновением какой-либо функциональной взаимосвязи между парциальными системами - обобщенная синхронизация. В ансамблях автогенераторов можно выделить глобальную и кластерную (частичную) синхронизации (см., например, [77]- [79]). Случаю частичной синхронизации соответствует существование в системе кластеров, состоящих из синхронных осцилляторов; при глобальной синхронизации все осцилляторы системы синхронны.

Несмотря на большое количество работ о синхронизации регулярных и хаотических колебаний, явление синхронизации квазипериодических колебаний очень мало изучено. С одной стороны, квазипериодические колебания относятся к регулярному типу поведения системы, и, следовательно, должны подчиняться сложившимся классическим представлениям о синхронизации периодических колебаний. С другой стороны, такие колебания описываются несколькими характерными временами (частотами), и соотношения между ними могут быть как рациональными, так и иррациональными. До сих пор остается открытым вопрос о том, каким образом происходит синхронизация эргодических колебаний с двумя независимыми частотами, возможен ли захват числа вращения на двумерном торе подобно захвату частоты предельного цикла, так как именно в этом случае можно говорить о полной синхронизации двухчастотных квазипериодических колебаний.

Если соотношения между характерными временами системы являются рациональными, то ее колебания являются строго периодическими, а в фазовом пространстве им соответствует предельный цикл. Будет ли процесс синхронизации предельного цикла внешним периодическим воздействием подчиняться классическим закономерностям, установленным для периодических колебаний, если этот предельный цикл лежит на поверхности тора? Возможно ли синхронизировать такой цикл, и, если да, то каков механизм захвата, и какие бифуркации режимов при этом имеют место?

Для ответа на указанные вопросы необходимо создать такую автономную систему, которая бы демонстрировала устойчивые двухчастотные квазипериодические колебания. При этом значения базовых частот и, следовательно, значение числа вращения колебаний, реализуемых системой, должны зависеть только от внутренних управляющих параметров системы. С другой стороны такая система должна демонстрировать бифуркации торов и переходы к хаосу при их разрушении как для случая эргодических колебаний, так и для случая резонансов на торе. Особый интерес представляет исследование бифуркации удвоения двумерного тора.

Все вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и служит основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является: реализация автономной маломерной динамической системы, генерирующей устойчивые двухчастотные колебания, изучение влияния внешнего шумового воздействия на многочастотные квазипериодические автоколебания, а также исследование явления синхронизации колебаний на торе для случаев рационального и иррационального соотношения базовых частот исходных колебаний.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Разработать математическую и физическую модель автономного генератора, демонстрирующего колебания на двумерном торе и переходы к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. Создать набор программных средств, необходимых для проведения численных экспериментов, а также программное обеспечение для обработки аналоговых сигналов в радиофизическом эксперименте с генератором. Исследовать основные режимы работы генератора и бифуркационные механизмы переходов между ними при изменении управляющих параметров системы.

2. Исследовать динамику системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний. Найти режимы, соответствующие торам различной размерности. Исследовать устойчивость системы в этих колебательных режимах в условиях внешнего шумового воздействия.

3. Исследовать явление взаимной и внешней синхронизации квазипериодических колебаний в системе двух связанных генераторов в режиме эргодических торов. Установить, возможен ли эффект полной синхронизации квазипериодических колебаний и, следовательно, захват числа вращения системы для режимов синхронизации.

4. Исследовать внешнюю синхронизацию устойчивого предельного цикла в условиях резонансов на торе, отвечающих значениям числа вращения = т : п (где т, п - целые числа). Установить бифуркационные механизмы захвата частоты и исследовать основные режимы, возникающие при синхронизации в численном и физическом эксперименте.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Николаев, Сергей Михайлович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. На основе генератора Анищенко - Астахова предложена новая автономная динамическая система, демонстрирующая квазипериодические колебания. При вариации управляющих параметров в системе можно реализовать периодические режимы колебаний, бифуркации удвоения циклов и переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. На основе циклов различных периодов в результате бифуркации Неймарка - Сакерса в вистеме могут возникать квазипериодические колебаний с двумя базовыми частотами. В общем случае базовые частоты квазипериодических колебаний рационально не связаны и в фазовом пространстве им соответствует двумерный эргодический тор. Числом вращения генерируемых колебаний можно управлять посредством изменения одного параметра, при этом можно наблюдать различные резонансные предельные циклы, лежащие на поверхности двумерного тора [92]- [94].

2. В области существоания двухчастотных эргодических колебаний при вариации параметров системы наблюдаются бифуркации удвоения двумерных торов. При исследовании механизмов данных бифуркаций резонансные циклы в окрестностях бифуркационных точек в данной системе обнаружены не были, таким образом показано, что в автономном генераторе квазипериодических колебаний бифуркацию удвоения претерпевает эргодический тор [92]- [94].

3. В соответствии с предложенной математической моделью собрана радиофизическая экспериментальная установка, представляющая собой автономный генератор квазипериодических колебаний, на которой были подтверждены результаты большинства численных экспериментов. Предложенная автономная система является наиболее простой для исследования бифуркаций двумерных эргодических и резонансных торов и может являться базовой моделью нелинейной динамики для исследований эффектов, связанных с квазипериодическими колебаниями [95].

4. На примере системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний исследовалась структурная устойчивость квазипериодических колебаний различной размерности к шумовому воздействию. В соответствии с результатом Рюэля - Такенса - Ньюхауса при возмущении траекторий на четырехмерном торе колебания системы становятся хаотическими. Установлено, что резонансные структуры на четырехмерном торе повышают устойчивость квазипериодических колебаний к шуму, и для перехода к хаосу требуют увеличения уровня шума [96].

5. Исследовано явление синхронизации квазипериодических колебаний в системе из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний. Показано, что базовые частоты генераторов при изменении числа вращения одной из парциальных систем могут синхронизироваться независимо. При этом обнаружено, что сначала в системе синхронизируются частоты несущих, а затем частоты модуляции. Соответствующие клювы синхронизации имеют вложенную структуру и при вариации числа вращения сначала наблюдается частичная синхронизации квазипериодических колебаний, а затем полная, и соответственно, захват числа вращения подсистем. Полученый результат подтвержден в физическом эксперименте [94] [95].

6. Исследовано явление внешней синхронизации резонансного предельного цикла, лежащего па поверхности двумерного тора. Показано, что несмотря на резонанс, базовые частоты системы синхронизируются независимо. Под внешним периодическим воздействием внутренний резонанс в системе разрушается, и колебания становятся квазипериодическими. Это происходит в результате седло-узловой бифуркации двумерных торов на поверхности трехмерного тора. Данная бифуркация установлена и исследована в данной работе впервые и представляет интерес с точки зрения качественной теории динамических систем. Далее при вариации частоты внешнего воздействия в системе наблюдаются явления, аналогичные установленным при исследовании синхронизации квазипериодических колебаний - происходит захват одной из базовых частот системы. В общем случае для полного захвата резонансного предельного цикла необходимо двухчасототное воздействие на систему [97] [98].

В целом, запланированные задачи по диссертационной работе выполнены и основные вопросы изучены. Естественно, исследования, провденные при выполнении данной диссертационной работы нельзя считать исчерпывающими. За рамками рассмотрения остались многие эффекты, связанные с синхронизацией и разрушением квазипериодических колебаний, которые нуждаются в более детальном анализе, что не представляется возможным в рамках одной диссертационной работы. С этой точки зрения представленная диссертационная работа может служить основой для будущих исследований в области нелинейной динамики.

Заключение

Согласно поставленным во введении задачам, исследования в рамках диссертационной работы включали:

• Разработку автономной динамической системы, демонстрирующей квазипериодические автоколебания. Разработку на базе этой системы радиофизической экспериментальной установки.

• Исследование динамики системы из двух связанных генераторов в режиме квазипериодических колебаний под воздействием внешнего аддитивного шума.

• Изучение явления синхронизации квазипериодических колебаний.

• Изучение явления синхронизации резонансных периодических колебаний. Исследование основных бифуркаций, наблюдающихся в процессе синхронизации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Николаев, Сергей Михайлович, 2008 год

1. Noort М., Porter М.А., Yi Y., and Chow S.-N., "Quasi-periodic Dynamics in Bose - Einstein Condensates in Periodic Lattices and Superlattices" //J. Nonlinear Sci., 2007, v. 17, p. 59-83.

2. Horn L.J., Showalter M.R., and Russel C.T., "Detection and Behavior of Pan Wakes in Saturn's A Ring" // Icarus, 1996, v. 124, p. 663-676.

3. Ramos O., Altshuler E., and Maloy K.J., "Quasiperiodic Events in an Earthquake Model" // Phys. Rev. Letters, 2006, v. 96, 098501.

4. Davidchack R.L., Lai Y.-C., Gavrielides A., and Kovanis V., "Regular dynamics of low-frequency fluctuations in external cavity semiconductor lasers" // Phys. Rev. E, 2001, v. 63, 056206.

5. Epstein R.I., Lamb F.K., and Priehorsky W.C., "X-Ray Variability in Astrophysics" // Workshop on Astrophysics of Time Variability in X-Ray and Gamma-Ray Sources (Taos, New Mexico), 1985.

6. Katz R.W., "Sir Gilbert Walker and a Connection between El Nino and Statistics" // Statistical Science, 2002, v. 17(1), p. 97-112.

7. Bronnikova T.V. and Schaffer W.M., Olsen L.F., "Quasiperiodicity in a detailed model of the peroxidase-oxidase reaction" //J. Chem. Phys., 1996, 105(24), p. 10849-10859.

8. Bronnikova T.V. and Schaffer W.M., Hauser M.J.B. and Olsen L.F., "Routes to Chaos in the Peroxidase-Oxidase Reaction. 2. The Fat Torus Scenario" // J. Phys. Chem. B, 1998, 102, p. 632-640.

9. Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. and Mosekilde E., "Oscillator clustering in a resource distribution chain" // Chaos, 2005, 15, 1(12).

10. Ландау Л.Д., "К проблеме турбулентности" // ДАН СССР, 1944, т. 44, №8, с. 339-342.

11. Hopf Е., "Mathematical example displaying the features of turbulence" // Comm. Pure. Appl. Math., 1948, v. 1, p. 303-322.

12. Рюэль Д., Такенс Д., "О природе турбулентности" // Странные аттракторы / Под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. М.:Мир, 1981, с. 117-151.

13. Newhouse S., Ruelle D., Takens F., "Occurance of strange axiom A attractor near quasiperiodic flows on Tm m = Z" // Comm. Math. Phys., 1978, v. 64, p. 35-40.

14. Ruelle D., "What is a Strange Attractor?" // Notices of the AMS, 2006, 53, 7, 764-765.

15. Анищенко B.C., "Знакомство с нелинейной динамикой" // Изд-во Го-сУНЦ "Колледж", Саратов, 2000, 180 с.

16. Tavakol R., Tworkovsky A., "An example of quasiperiodic motion on T4" // Phys. Lett. A, 1984, v. 100, 6, p. 273.

17. Carra T.W. and Schwartz I.В., "On measures of disorder in globally coupled oscillators" // Physica D, 1998, v. 115, 3, p. 321- 340.

18. Daido H., "Multibranch Entrainment and Scaling in Large Populations of Coupled Oscillators" // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, 7, p. 1406 1409.

19. Grebogi C., Ott E. and Yorke J.A., "Attractors on an N-torus: Quasiperiodicity Versus Chaos" // Physica D, 1985, v. 15, p. 354.

20. Tass P., "Phase and frequency shifts in a population of phase oscillators" // Phys. Rev. E, 1997, v. 56, p. 2043 2060.

21. Zheng Z., Hu G., and Ни В., "Phase Slips and Phase Synchronization of Coupled Oscillators" // Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 5318 5321.

22. Hu B. and Zheng Z., "Phase synchronizations: transitions from high- to low-dimensional tori through chaos" // Int. Journal of Bif. Chaos, 2000, v. 10, 10, p. 2399-2414.

23. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В., "Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем"// Издательство саратовского университета, 1999, 367 с.

24. Арнольд В.И., "Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонансов" // Нелинейные волны, М.:Наука, 1979, с. 116-130.

25. Arnold V.I., "Mathematical methods of classical mechanics" // Berlin:Springer, 1974.

26. Афраймович B.C., Шильников Jl.П., "Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность" // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: Изд-во ГГУ, 1983, с. 3-26.

27. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "О малых периодических возмущениях автономных систем" // ДАН СССР. 1974, т. 24, №4, с. 739-742.

28. Franceschini V., "Bifurcations of tori and phase locking in a disspative system of differential equations" // Physica D, 1983, v. 6D, 3, p. 285-304.

29. Maurer J., Libchaber A., "Rayleigh-Bernard experiment in liquid helium: frequency locking and the onset of turbulence" //J. Phys. Lett. 1979, v. 40, p. 419-423

30. Анищеико B.C., Сафонова M.А.,"Механизмы разрушения инвариантной кривой в модельном отображении плоскости." // Радиотехника и Электроника, 1987, 32, с. 1207-1216.

31. Анищенко B.C. "Сложные колебания в простых системах" // Москва: "Наука", 1990, 312 с.

32. Андронов А.А., "Собрание трудов" // Изд-во АН СССР, Москва, 1956.

33. Теодорчик К.Ф., "Автоколебательные системы" // Гостехиздат, Москва, 1952.

34. Хаяси Т., "Нелинейные колебания в физических системах" // Мир:Москва, 1968.

35. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С., "Математическое моделироване в биофизике" // Наука:Москва, 1975.

36. Демьяченко А.Г., "Синхронизация генераторов гармонических колебаний" // Энергия, Москва, 1976.

37. Блехман И.И., "Синхронизация динамических систем" // М.:Наука, 1971.

38. Barnett W.A. and Dalkir М., "Gains from Synchronization" // EconWPA, 2005, 0504004.

39. Mosekilde E., Maistrenko Yu., Postnov D., "Chaotic Synchronization. Applications to Livinig Systems" // World Scientific, Singapore, 2002.

40. Soen Y., Cohen N., Lipson D., Braun E., "Emergence of Spontaneous Rhythm Disorders in Self-Assembled Networks of Heart Cells" // Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 3556.

41. Neiman A., Pei X., Russell D., Wojtenek W., Wilkens L., Moss F., Braun H., Huber M., Voigt K., "Synchronization of the Noisy Electrosensitive Cells in the Paddlefish" // Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 660.

42. Elson R.C., Selverston A.I., Huerta R., Rulkov N.F., Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I., "Synchronous Behavior of Two Coupled Biological Neurons" // Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, p. 5692.

43. Abarbanel H.D.I., Rabinovich M.I., Selverston A., Bazhenov M.V., Huerta R., Sushchik M.M., Rubchinskii L.L., "Synchronization in neural networks" // Phys.-Uspekhi, 1996, v. 39, p. 337-362.

44. Winfree А.Т., "The Geometry of Biological Time" // New York:Springer, 1980.

45. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю., "Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление" // Москва:Техосфера, 2003, 496 с.

46. Van der Pol В., "Theory of the amplitude of free and forced triod vibration" // Radio Rev., 1920, v. 1, p. 701-710.

47. Гапонов В.И. "Два связанных генератора с мягким возбуждением" // ЖТФ, 1936, т. 6, №, с. 801.

48. Теодорчик К.Ф. "К теории синхрнизации релаксационных автоколебаний" // ДАН СССР, 1943, т. 40, №, с. 63.

49. Майер А.Г., "К теории связанных колебаний двух самовозбужденных генераторов" // Уч. зап. ГГУ., 1935., т. 2, №5, с. 3-11.

50. Стратонович Р.Л., "Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике" // Сов. радио, Москва, 1961.

51. Малахов А.Н., "Флуктуации в автоколебательных системах" // Наука, Москва, 1968.

52. Костин И.К., Романовский Ю.М., "Флуктуации в системах многих связанных генераторов" // Вестник МГУ. Сер. физ. и астр., 1972., т. 13, №6, с. 698-705.

53. Appleton E.V., "The automatic synchronization of triode oscillator Proc. of the Cambridge Philosophical Society"// Math, and Phys. Sciences., 1922., v. 21, p. 231-248.

54. Андронов А.А., Витт А.А., "К теории захватывания Ван дер Поля" // Собр. тр. Андронова А.А., М.:Изд-во АН СССР, 1956.

55. Афраймович B.C., "Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов" // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации., М.:Наука, 1987, с. 189213.

56. Кузнецов Ю.А., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. "Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах" // ДАН СССР, 1985, т. 32, №9, с. 1164-1169.

57. Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В.Ф., "Синхронизация колебаний в системе Лоренца" // Изв. вузов. Сер. Радиофизика., 1989, т. 32, №9, с. 1172-1174.

58. Dykman G., Landa P., Neimark Y. "Synchronization of chaotic oscillationsby external force" // Chaos, Solitons and Fractals, 1992, v.l, Ш, p. 339-353.

59. Pecora L., Carroll Т., "Synchronization of chaotic systems" // Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, p. 821-823.

60. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J., "From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators" // Phys. Rev. Lett., 1997, v. 78, p. 4193-4196.

61. Fujisaka, H. and Yamada, Т., "Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system" // Progress of Theoretical Physics, 1983, v. 69, p. 32-47.

62. Rulkov, N.F., Sushchik, M.M., Tsimring, L.S. and Abrabanel, H.D.I., "Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems." // Phys. Rev. E, 1995, v. 51, p. 980-995.

63. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M., "Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach", // Phys. Rev. E, 1996, v. 53, p. 4528.

64. Короновский A.A., Москаленко О.И., Трубецков Д.И., Храмов А.Е., "Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, единый тип поведения связанных хаотических систем" // ДАН. 2006., т. 407, №6, с. 761-765.

65. Hramov А.Е., Koronovskii A.A., Moskalenko O.I., "Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators?"// Phys. Lett. A. 2006., v. 354, 5-6, p. 423-427.

66. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А., "Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса" // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, №2, с. 338-351.

67. Anischenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. and Safonova M.A., "Synchronization of chaos," // Int. J.Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, p. 633-644.

68. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. and Kurths J., "Phase synchronisation of chaotic oscillators," // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1804-1807.

69. Pikovsky A.S., "On the Interaction of Strange Attractors" // Z. Phys. B, 1984, v. 55, p. 149-154.

70. Кузнецов С.П., "Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума" // Изв. вузов Сер. Радиофизика, 1985, т. 28, №8, с. 991-1007.

71. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П., "Мультиста-бильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем" // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, №3, с. 60-65.

72. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И., "Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах" // Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1986, т. 29, №9, 1050.

73. Анищенко B.C., Постнов Д.Э., "Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов" // Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, №6, с. 569-573.

74. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova M.A., "Synchronization of chaos" // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, 3, 633-644.

75. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова M.A., "Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса" // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, №2, с. 338-351.

76. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., "Synchronization of Chaos" // Proc. of the 1-st Int. Conf. on Applied Synergetics and Synergetic Engineering, 1994, p. 200-206.

77. Hasler M., Maistrenko Yu. and Popovich O., "Simple example of partial synchronization of chaotic systems" // Phys. Rev. E, 1998, v. 58, p. 68436846.

78. Nikolaev S.M., Shabunin A.V., Astakhov V.V., "Multistability of partially synchronous regimes in a system of three coupled logistic maps" // IEEE, conference "Physcon2005 2005, 0-7803-9235-3/05/20.00, p. 169-173.

79. Шабунин А.В., Николаев C.M., Астахов В.В., "Двухпараметрический бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов частичной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем"// Изв. вузов "ПНД", 2005, т. 13, №5, с. 40-55.

80. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер JI., "Нелинейные эффекты в хаотических и стохаотических системах" // Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2003, 544 с.

81. Анищенко B.C., "Разрушение квазипериодических колебаний и хаос в диссипативных системах" // ЖТФ, 1986, т. 56, №2, с. 225-237.

82. Kaneko К., "Collapse of tori and genesis of chaos in disspiative systems" // Singapore:World Scientific, 1986, 264 p.

83. Matsumoto Т., Chua L.O., Tokunada R., "Chaos via torus breakdown" // IEEE trans., Circuits Syst. CAS-34. 1987. v. 3.

84. L. Shilnikov, "Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial" // Int. J. Bif. / Chaos., 1997, v. 7, 9, p. 1953.

85. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафонова M.A., "Эффекты синхронизации и бифуркации синхронных и квазипериодических колебаний в неавтономном генераторе" // Изв. вузов. Сер. "Радиофизика", 1985, т. 28, №9, с. 1112-1125.

86. Фейгенбаум М., "Универсальность в поведении нелинейных систем" // УФН, 1983, т. 141, №, с. 343-374.

87. Фрост У., Моулден Т., "Турбулентность. Принципы и применения" // М.:Мир, 1980.

88. Hayashi С., "Nonlinear Oscillations in Physical Systems" // McGraw-Hill, New York, 1964.

89. P.S. Landa, "Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems" // Kluver Acad. Publ., 1996.

90. Pikovsky A., Rosenblum M., and Kurths J., "Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences" // Cambridge Univ. Press, 2001.

91. Анищенко B.C., Николаев C.M., "Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора" // Письма в ЖТФ, т. 31, №19, 2005, с. 88-94.

92. Anishchenko V., Nikolaev S., and Strelkova G., "Oscillator of Quasiperiodic Oscillations. Two-dimensional Torus Doubling Bifurcation" // Procidings of International Symposium NOLTA, Belgium, October 18-22, 2005.

93. Anishchenko V., Nikolaev S. and Kurths J., "Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions" // Phys. Rev. E, 2006, v. 73, 056202.

94. Анищенко B.C., Николаев C.M., "Экспериментальное исследование синхронизации двухчастотных квазипериодических колебаний" // Прикладная нелинейная динамика, 2007, т. 15, №6, с. 93-101.

95. Анищенко B.C., Николаев С.М., "Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний" // Нелинейная динамика, 2006, т.2, №3, с.267-278.

96. V. Anishchenko, S. Nikolaev and Kurths J., "Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus" // Phys. Rev. E, 2007, v. 76, 046216.

97. Анищенко B.C., Николаев C.M., Kurths J., "Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе" // Нелинейная ди намика, 2008, т. 4, №1, с. 39-55.1. Благодарности