Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Тулкина, Анна Николаевна

• Тулкина, Анна Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тулкина, Анна Николаевна

Введение. Обзор исследований по указанной теме. Обоснование постановки задачи.

Глава 1: Развитие теории расчета спектров собственных частот и форм свободных колебаний консольного стержня.

§1. Спектры собственных частот и формы свободных колебаний консольного стержня.

§2. Примеры расчета.

Глава 2: Свободные колебания сопряженной системы двух стержней.

§1. Спектры собственных частот и формы свободных колебаний системы из двух шарнирно сопряженных стержней.

§2. Спектры собственных частот и формы свободных колебаний системы из двух шарнирно сопряженных упругим элементом 53 стержней.

§3. Пример расчета спектров собственных частот и форм свободных колебаний системы стержней.

Глава 3: Исследование вынужденных колебаний сопряженной системы двух стержней.

§1. Вынужденные колебания системы двух шарнирно сопряженных стержней.

§2. Вынужденные колебания системы из двух шарнирно сопряженных упругим элементом стержней.

§3: Эффект динамического демпфирования колебаний.

§4. Примеры расчета.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко»

Обзор исследований по указанной теме. Обоснование постановки задачи.

Основной моделью балки, используемой в расчетах, является предложенная в XVIII веке модель балки Бернулли — Эйлера. Она довольно проста и обеспечивает достаточную точность решения простых инженерных задач, и поэтому она используется наиболее часто [1], [2]. Однако опыты показывают, что частоты, полученные в рамках теории Бернулли — Эйлера, несколько завышены.

В динамических задачах расчета колебаний консольного стержня необходим, по сравнению с классической теорией Бернулли - Эйлера, учет влияния в уравнениях равновесия инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения, введенный Д.В. Стреттом (Рэлеем) [3]. В дальнейшем С.П. Тимошенко выделил из угла поворота поперечного сечения угол сдвига, который учел в уравнениях равновесия и в соотношениях упругости, и в окончательном виде оно получило в теории название уравнения Тимошенко [4].

Существует два вида представления инерционных моментов [4], [5], каждый из которых дает свои решения, свои характеристические уравнения и свои фундаментальные системы. Будем называть их решениями типа I и типа II. Решение типа I дает один частотный спектр [6]. Как было показано в работе авторов [5] в решении типа II при определенном значении частоты со, называемой «частотой отсечки» или «критической частотой», меняется как вид характеристического уравнения, так и получаемые при этом спектры частот, при переходе через эту частоту изменяется фундаментальная система решений. В работе Р. Трейлл - Нэша и А. Коллара [7] отмечалось, что второй частотный спектр появляется из-за присутствия в разрешающем уравнении системы Тимошенко производных четвертого порядка относительно пространственной и временной координат. Как было показано в работе [8] спектры собственных частот, полученных в задачах с разными инерционными моментами ([4] и [5]), для низких частот отличаются на тысячные доли процента.

Как отмечалось в работе [2] колебания балки Тимошенко, имеющей конечную длину, - это стационарный процесс и волны стоячие, то есть, нет переноса энергии. Поэтому поставленная задача исследования колебаний системы консольных стержней будет рассматриваться в дальнейшем на основе разрешающих уравнений, в которых инерционный момент берется в том виде, в котором он принимается в теории С.П. Тимошенко [4].

Исследуемая в диссертации задача колебания системы стержней, представляет практический интерес. Рассмотренная в работе система стержней является механической моделью представляющей сканирующий зонд (кантилевер) - исследуемый нанообъект, простейшая схема которой представлена на Рис. 1. [9]

Рис. 1. Механическая модель системы кантилевер — исследуемый объект.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро — и макроуровнях отмечали многие исследователи [10], [11]. В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта. В работе [12] обсуждаются особенности, возникающие при использовании резонансного метода применительно к нанообъектам, и предлагается метод, основанный на явлении «антирезонанса» при классической постановке задачи.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ) [13], [14]. Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд - кантилевер. Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1,5 мкм и резонансные частоты порядка 10 - 400 кГц; радиус кривизны конца иглы меняется в интервале 10-50 нм. Игла (пирамидка) устанавливается на свободном конце измерительной консоли. Пирамидки изготавливают из кремния или из более прочного материала - нитрида кремния (Si3N4) [15],

Схематичное представление АСМ было впервые предложено и запатентовано "Atomic Force Microscopy" [17], где введены следующие обозначения: 10 - основание, 14 - консоль, 12 - зонд, 18 - лазер, 22 -фотодиод, 24 - исследуемый объект.

Рис. 2. Схематическое изображение АСМ по патенту "Atomic Force Microscopy".

При увеличении на фотографиях кантилевер выглядит так [18]:

16].

Рис. 3. Фотография пирамидки кантилевера в 1000-кратном увеличении.

Рис. 4. Фотография пирамидки кантилевера в 3000-кратном увеличении.

Основной принцип работы АСМ заключается в воздействии сил со стороны поверхности исследуемого образца на острие сканирующей иглы. Сила, которая чаще всего ассоциируется с АСМ, - это межатомная сила, называемая также Ван-дер- Ваальсовой.

Сила Ван-дер-Ваальса - это сила межмолекулярного притяжения, являющаяся электростатическим взаимодействием молекулярных оболочек, возникающим при поляризации молекул и образовании диполей [19], [20].

АСМ работает в трех режимах: контактном, бесконтактном и прерывисто-контактном.

В бесконтактном режиме, также известном как режим притяжения, АСМ отслеживает притягивающие Ван-дер-Ваальсовы силы между острием сканирующей иглы и образцом. Зазор между острием и образцом обычно составляет 5—10 нм. Чаще всего бесконтактные АСМ конструируются для работы в динамическом режиме.

В контактном методе острие зонда непосредственно соприкасается с поверхностью образца в процессе сканирования. В бесконтактном методе зонд находится достаточно далеко и не касается поверхности. Метод прерывистого контакта подразумевает частичный контакт. Последние два метода работы АСМ необходимы для реализации колебательных методик.

В динамическом режиме система АСМ моделирует механические колебания измерительной консоли на частоте, близкой к резонансной (типичные значения находятся в пределах от 30 до 300 кГц) [14], с амплитудой в несколько нанометров. Величина самой резонансной частоты зависит от прикладываемой внешней силы.

При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кантилевер -исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Как было отмечено в работе [12], характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекта, так как это равносильно изменению «жесткости» связи полевого взаимодействия.

Это указывает на принципиальное отличие условий для экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование. Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными приборами. В работе [12] эта проблема обсуждается применительно к задаче экспериментального определения упругих характеристик нанообъектов с помощью АСМ и дана реализация известной в классической теории методики определения резонансных и «антирезонансных» частот. Была предложена механическая модель системы кантилевер — исследуемый объект 1

Рис. 1), в которой полевое взаимодействие между кантилевором и исследуемым нанообъектом моделируется линейной пружиной с жесткостью С, это соответствует линеаризации потенциала Леннарда — Джонса в области статического равновесного состояния [12]. Кантилевер вдали от исследуемого объекта занимает горизонтальное положение, при приближении к объекту кантилевер начинает деформироваться, но на определенном расстоянии от него снова занимает горизонтальное положение — это и есть статическое равновесие. В отсчетной конфигурации стержни считаются недеформированными, а пружина - ненапряженной.

Потенциал Леннарда - Джонса {потенциал 6-12)— простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Эта модель достаточно реалистично передаёт свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчетах и при компьютерном моделировании [21].

В работе [12] было отмечено, что в окрестности положения статического равновесия жесткость связи между кантилевером и исследуемым объектом достаточно большая, то есть С » С\, где С\ - жесткость кантилевера, С -жесткость связи. По этой причине определить жесткость связи С из статических экспериментов крайне трудно — разность между перемещением конца кантилевера и исследуемого объекта оказывается в пределах погрешности измерений. При жесткости связи С ~ С\ или С « Ci проводить измерения сложно, так как эта область находится на неустойчивом участке зависимости сила — перемещение.

На основании приведенного обзора в настоящее время актуальными и требующими дальнейшего исследования является разработка теоретической базы для решения задач о свободных и вынужденных колебаниях системы стержней. Решение первой задачи будет ответом на вопрос определения упругих модулей исследуемого нанобъекта по частотам системы, а решение второй задачи позволит разработать условия эксперимента, при которых из спектра системы можно выделить собственные частоты нанообъекта. Эти задачи были решены на основе теории Бернулли — Эйлера в работе [12].

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории Тимошенко, в которой учитываются деформации сдвига и угла поворота поперечного сечения, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В работе построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Полученные решения сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли - Эйлера в работе [12].

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Тулкина, Анна Николаевна

Основные результаты выполненной работы:

1) Выбор разрешающей системы уравнений свободных и вынужденных колебаний двух сопряженных консольных стержней с одинаковыми операторами в левых частях позволил получить рациональные аналитические выражения для построения решений, вывода расчетных формул и получения частотных уравнений.

2) В работе построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли — Эйлера и Тимошенко.

3) Дан анализ спектров частот системы при свободных и вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.

4) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний.

5) Полученные решения в диссертации на основе теорий Тимошенко и Бернулли - Эйлера, сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли - Эйлера в работе проф. Ивановой Е.А., проф. Индейцева Д.А., акад. Морозова Н.Ф. [12].

6) Все полученные решения в диссертации иллюстрируются числовыми примерами, результаты которых представлены в таблицах и на графиках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тулкина, Анна Николаевна, 2011 год

1. Киселев В.А., Строительная механика. Спец.курс «Динамика и устойчивость сооружений», М., Мир, 1980, 548 с.

2. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Макушин В.М., Малинин Н.Н., Феодосьев В.Н., Расчеты на прочность в машиностроении. М.; Машгиз, 1959. Том III. С. 320.

3. Стретт Дж.В. (Рэлей). Теория звука. М., Л., Гостехтеориздат, 1940, Том 1,499 с.

4. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле., М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1959,439 с.

5. Д. А. Индейцев, Н. Г. Кузнецов, О. В. Мотыгин, Ю. А. Мочалова. Локализация линейных волн. Издательство Санкт-Петербургского университета. 2007.

6. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Расчет частот форм свободных колебаний консольной балки на основе теории С.П. Тимошенко. Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2007-2008 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2008, с. 40-60.

7. Trail-Nash R.W., Collar A.R. The effects of shear flexibility and rotary inertia on the bending vibration of beam // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. Vol. 6. 1953. P. 186-222.

8. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Исследование и расчет вынужденных колебаний консольных стрежней на теории С.П. Тимошенко. Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2008-2009 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2009, с. 17-34.

9. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф., Об определении параметров жесткости нанообъектов. ДАН, 2006, том 410, № 6. с. 1-5.

10. Ю.Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии наук, 2001, Т. 381. N 3. С. 345-347.

11. П.Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов. // Доклады Академии наук, 2002, Т. 385. N4. С. 494-496.

12. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф., К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов. СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10. стр. 74-80.

13. Миронов B.JL. Основы сканирующей зондовой микроскопии. Н.Новгород, РАН, Институт физики микроструктур, 2004,110с.

14. Суслов А. А., Чижик С. А. Сканирующие зондовые микроскопы (обзор) // Материалы, Технологии, Инструменты Т.2 (1997), №3, С. 78-89.

15. Sarid, Dror, Scanning Force Microscopy. Oxford University Press, 1994, 263 p.

16. Дунаевский M.C., Grob J.J., Забродский А.Г., Laiho R., Титков A.H. // Физика и техника полупроводников, 2004, Т. 38. В. 11. С. 1294.

17. Интернет-сайт компании «НТ-МДТ» http://www.ntmdt.ru/spm-principles/view/afm.

18. Федеральный Интернет-портал «Нанотехнологии и наноматериалы» http://www.portalnano.ru/read/tezaurus/definitions/cantilever.

19. Сивухин Д.В. Курс общей физики: Электричество. М.: Наука, 1983. -687 с.

20. Ландау Л.Д. Квантовая механика: Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.-767 с.

21. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 312 с.

22. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М., Издательство «Ассоциации строительных ВУЗов», 2005, 736 с.

23. Гастев В.А., Краткий курс сопротивления материалов. М., Физматгиз, 1959, 424 с.

24. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Издательство «Судостроение», 1989, 396 с.

25. Босаков C.B., Щедько Н.С., Учет энергии сдвига и инерции вращения при колебаниях элементов конструкций. Минск: Механика машин, механизмов и материалов, 2008, №3 (4), стр. 63-66.

26. В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев. Колебания и волны. Лекции. (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.