Фундаментальные периодические решения двумерной упругости при учете поверхностных и межфазных напряжений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сергеева Татьяна Сергеевна
Сергеева Татьяна Сергеевна
кандидат наук
2023
- Специальность ВАК РФ00.00.00
- Количество страниц 225
Оглавление диссертации кандидат наук Сергеева Татьяна Сергеевна
Введение
Глава 1. Взаимодействие периодической системы сосредоточенных сил и краевых дислокаций со свободной плоской границей
при учете поверхностного напряжения
1.1. Постановка задачи по упрощенной модели Гертина-Мердока
без поверхностного натяжения
1.2. Решение краевой задачи
1.3. Нахождение поверхностного напряжения
1.4. Анализ поля напряжений, индуцированного системой дислокаций
1.5. Выводы
Глава 2. Взаимодействие краевых дислокаций с плоской межфазной
границей двухкомпонентного тела при учете межфазного
напряжения и межфазного натяжения
2.1. Постановка задачи
2.2. Решение граничной задачи
2.3. Нахождение функции Т
2.4. Анализ поля напряжений
2.5. Выводы
Глава 3. Периодическая система сосредоточенных сил около плоской межфазной границы при действии межфазного напряжения и межфазного нятяжения
3.1. Постановка задачи
3.2. Решение задачи
3.3. Выводы
Глава 4. Взаимодействие периодической системы краевых дислокаций со свободной плоской границей по различным вариан-
там модели Гертина-Мердока
4.1. Постановка задачи
4.2. Решение задачи
4.3. Численные результаты
4.4. Выводы
Заключение
Приложение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
Интенсивное развитие нанотехнологий и широкое применение нано-материалов во многих оптоэлектронных и биомедицинских приборах и устройствах приводит к необходимости изучения прочностных и функциональных свойств реальных материалов на наномасштабном уровне и, в частности, упругих полей в различного рода наноструктурах, у которых по крайней мере один линейный размер находится в диапазоне от одного до нескольких десятков нанометров. Особое значение в инженерной практике имеет анализ взаимодействия характерных нанонеоднородностей (включений, пор, нанокластеров, микротрещин и др.) друг с другом, с внешними и внутренними (межфазными) границами, возле которых наблюдается наибольшая их концентрация.
Так же, как и в традиционной макромеханике, наиболее эффективные методы решения соответствующих краевых задач наномеханики основаны на построении фундаментальных решений (функций Грина). В случае плоской задачи теории упругости к ним относятся решения для сосредоточенной силы и краевой дислокации в рассматриваемой плоской области. Особое значение имеет решение задачи о дислокации или ансамбля дислокаций, поскольку наряду с фундаментальностью такого решения, дислокации представляют собой реальные дефекты кристаллической структуры материала. Поскольку многие процессы, связанные с особенностью внешних воздействий и структуры материала, носят периодический характер, то периодические фундаментальные решения представляют особенный интерес для практики.
Этим решениям для случаев, когда та или иная неоднородность находится на нанометровом расстоянии от границы раздела двух различных
сред, в том числе внешней границы, и посвящена данная работа. Специфика этих решений заключается в учете поверхностной упругой энергии твердого тела, т. е. поверхностных напряжений, которые в пределах нескольких десятков нанометров от поверхности вносят существенный вклад в общую упругую энергию приповерхностной зоны и всего наноматериала в целом. Одной из главных целей построения функций Грина в механике - возможность использования их при решении краевых задач методами граничных элементов и граничных интегральных уравнений, что предполагает представление этих функций в виде явных аналитических зависимостей. В литературе имеется несколько решений для одиночной силы и одиночной краевой дислокации вблизи прямолинейной границы с поверхностным напряжением, в которых такие зависимости не получены. Кроме того, в этих работах не учитывается регулярность структуры материала, вследствие которой наблюдается периодическое расположение различных неоднородностей и дефектов. Это, в свою очередь, приводит к необходимости рассмотрения периодических фундаментальных решений с учетом поверхностных напряжений.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Эффект поверхностных и межфазных напряжений в деформируемом теле с плоской и рельефной поверхностью2014 год, кандидат наук Викулина Юлия Игоревна
Круговые призматические дислокационные петли и релаксация напряжений несоответствия в квазиодномерных наногетероструктурах2022 год, кандидат наук Чернаков Антон Павлович
Исследование почти круговых дефектов в твердом теле на макро- и наномасштабном уровне2018 год, кандидат наук Вакаева Александра Борисовна
Дислокационные механизмы релаксации остаточных напряжений в неоднородных наноструктурах пониженной размерности2019 год, кандидат наук Красницкий Станислав Андреевич
Взаимодействие межфазной трещины и отслоившегося межфазного включения2003 год, кандидат физико-математических наук Ярдухин, Алексей Константинович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фундаментальные периодические решения двумерной упругости при учете поверхностных и межфазных напряжений»
Цель работы
Целью данной работы является построение периодических функций Грина двумерной упругости, отвечающих действию сосредоточенных сил и краевых дислокаций вблизи плоской границы при учете поверхностных напряжений, в виде аналитических зависимостей, пригодных для использования методов граничных элементов и граничных интегральных уравнений, а также исследование особенностей взаимодействия дислокаций со свободной границей и межфазной границей при наличии поверхностных напряжений.
Методы исследования
Решение рассмотренных краевых задач плоской задачи теории упругости основано на использовании поверхностной теории упругости Гер-тина-Мердока, комплексных потенциалах Гурса-Колосова, представлений Мусхелишвили и метода сведения решения задачи либо к гиперсингулярному интегральному уравнению относительно поверхностного напряжения, либо к интегро-дифференциальному сингулярному уравнению относительно комплексного перемещения. В случае двухкомпонентного тела применен метод суперпозиции. Решение интегральных уравнений найдено в виде тригонометрических и комплексных рядов Фурье. Комплекс вычислений, проведенных по полученным аналитическим зависимостям для напряжений, выполнен с привлечением математического пакета MAPLE.
Научная новизна
Новизну работы составляют следующие положения, выносимые на защиту:
1. Построение функций Грина, отвечающих действию периодической системы краевых дислокаций и сосредоточенных сил вблизи свободной плоской границы в виде явных аналитических зависимостей для напряжений при учете поверхностного напряжения, зависящего от деформации и остаточного поверхностного напряжения.
2. Построение функций Грина, отвечающих действию периодической системы краевых дислокаций и сосредоточенных сил в двухкомпо-нентном теле с плоской межфазной границей в виде явных аналитических зависимостей для напряжений и производных от перемещений при учете межфазного напряжения, зависящего от деформации и остаточного межфазного напряжения.
3. Исследование влияния поверхностного напряжения и межфазного
напряжения на особенности взаимодействия краевых дислокаций со свободной и межфазной границей соответственно.
4. Сравнительный анализ численных результатов решения задачи о взаимодействии периодической системы краевых дислокаций со свободной плоской границей, полученных по полной модели поверхностной упругости Гертина-Мердока, с различными упрощенными вариантами этой модели.
Достоверность полученных результатов
Достоверность полученных результатов обеспечена корректной постановкой проблем, применением физически обоснованных моделей двумерной упругости и поверхностной упругости, апробированных математических методов решения поставленных задач, совпадением численных результатов в частном случае с известными результатами других авторов.
Научная и практическая значимость работы
Полученные впервые фундаментальные периодические решения (функции Грина) при учете поверхностных напряжений могут быть использованы для применения метода граничных интегральных уравнений при исследовании различных наноразмерных неоднородностей (включений, пор, нанокластеров, микротрещин и др.), периодически расположенных вблизи поверхности тела, в том числе межфазной поверхности, где существенное влияние на упругие свойства тела оказывают поверхностные напряжения. Исследование влияния поверхностных напряжений на упругое поле, возникшее в результате взаимодействия дислокаций со свободной и межфазной границей, имеет важное значение для прогнозирования образования поверхностных и межфазных повреждений и неровностей, появления трещин на поверхности и трещин расслоения, свидетельствующих
о начальной стадии разрушения наноструктур. Результаты проведенного в работе сравнительного анализа различных вариантов модели Гертина-Мердока позволяют оценить погрешность, допущенную при использовании упрощенного варианта модели в существующих решениях краевых задач, в которых учитываются поверхностные напряжения на плоской поверхности.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы были представлены на семинаре кафедры Вычислительных методов механики деформируемого твёрдого тела Санкт-Петербургского государственного университета и на следующих международных конференциях:
• XLVI Международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2015)
• IX Международная конференция "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных техноло-гий"(Воронеж, 2016),
• XLVII Международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2018)
• Международная научная конференция по механике "VIII Поляхов-ские чтения"(Санкт-Петербург, 2018)
• The 47th International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics-2019"(Санкт-Петербург, 2019)
• International Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Rome, Italy, 2019)
• IV Международная конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященной 90-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В. И. Зубова (Санкт-Петербург, 2020)
Исследования автора на различных этапах работы проводились при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (исполнитель в проектах 11-01-00230, 14-01-00260, 18-01-0042) и Российского научного фонда (исполнитель в проекте 22-11-00087).
Структура и объем работы
Работа состоит из введения, четырех глав, приложения и заключения. Работа содержит 116 страниц,30 рисунков, 1 таблицу, список литературы содержит 143 наименования.
Публикации по теме исследования
А. Публикации в изданиях, индексируемых в Web of Science Core Collection и Scopus
1. Grekov M.A, Sergeeva T.S, Pronina Y.G, Sedova O.S. A periodic set of edge dislocations in an elastic solid with a planar boundary incorporating surface effects. Engineering Fracture Mechanics. 2017. Vol. 186, 423-435.
2. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Periodic Green functions for two-component medium with interface stresses at the planar interface. AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959, 070014.
3. Grekov M.A., Sergeeva T.S. Interaction of edge dislocation array with bimatirial interface incorporating interface elasticity. International Journal of Engineering Science. 2020. Vol. 149, 103233.
Б. Другие публикации:
1. Греков М. А., Сергеева Т. С. Периодическая система дислокаций и внутренних сил в полубесконечном упругом теле при учете поверхностного напряжения. Процессы управления и устойчивость. 2015. Т. 2, № 1. С. 137-142.
2. Греков М. А., Сергеева Т. С. Эффект поверхностных напряжений при взаимодействии краевых дислокаций с плоской поверхностью упругого тела. Сборник трудов IX Международной конференции "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий". Воронеж: Научная книга. 2016. С. 107-109.
3. Сергеева Т. С. Периодический ряд краевых дислокаций и сосредоточенных сил в двухкомпонентной упругой среде при учете межфазных напряжений. Процессы управления и устойчивость. 2018. Т. 5. № 1. С. 202-207.
4. Греков М. А., Сергеева Т. С. Периодические функции Грина для двухкомпонентной среды с межфазными напряжениями на плоской границе раздела. Восьмые Поляховские чтения; Тезисы докладов Международной научной конференции по механике. СПб.: Изд. СПб-ГУ, 2018. С. 197-198.
5. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Interaction of edge dislocations with a planar interface at the nanoscale. ICoNSoM2019. Book of abstracts. Rome, 2019. P. 192.
6. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Surface stress effects in the problem of an interaction of edge dislocations with a planar interface. XLVII International Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of abstracts. St. Petersburg, 2019. P. 38.
7. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Surface dislocation interaction by the complete Gurtin-Murdoch model. In: Smirnov N., Golovkina A. (eds) Stability and Control Processes. SCP 2020. Lecture Notes in Control and Information Sciences - Proceedings. Springer, Cham. 2022. P. 837-845.
Личный вклад
Диссертация является самостоятельным научным исследованием,
подтверждающим профессиональную квалификацию автора. Постановка задач принадлежит М. А. Грекову. Консультации и обсуждение методов решения проводились М. А. Грековым. Личный вклад соискателя заключается в непосредственной работе на всех этапах диссертационного исследования. Автор диссертации осуществлял реализацию разработанных методов решения поставленных задач, построение аналитических и численных решений, написание компьютерных программ. Обработка и анализ полученных результатов также выполнялись соискателем.
Обзор работ по теме диссертации
Фундаментальные (сингулярные) решения задач математической физики (функции Грина) отражают явления физического характера, связанные с наличием различного рода точечных источников возмущений. К ним относятся всевозможные сосредоточенные воздействия внешних силовых, температурных или электромагнитных полей (см., например, [10, 14]). Другим типом таких источников являются внутренние дефекты структуры материала [3, 8, 9, 12, 14, 18].
Функции Грина являются основой теории граничных интегральных уравнений [4, 10, 16, 33, 92]. Вывод фундаментальных решений для различных дифференциальных операторов составляет отдельную область исследований [101, 115, 120]. В случае линейной теории упругости, простейшие функции Грина являются решением Кельвина для сосредоточенной силы в бесконечной упругой среде [10, 95]. Для других задач теории упругости, функции Грина более сложные и зависят от формы границы. Только некоторые из этих функций были получены в явном виде через элементарные функции, например, решение для внешней или внутренней сосредоточенной силы, действующей в полупространстве или полуплоскости (плоская
задача) с плоской границей [95, 126], для сосредоточенных сил и моментов около и на границе трещины в плоском [17, 44] и пространственном [51, 83, 84], случаях и др.
Другими точечными источниками возмущений в механике деформируемого тела и физике, которые приводят к построению фундаментальных решений, являются дислокации, плотность распределения которых вдоль линий или поверхностей в твердом теле характеризует разрыв смещений. В качестве функций Грина дислокации, в основном, используются для моделирования трещин и построения соответствующих интегральных уравнений (например, [4, 26, 27, 28, 33]). Как и в случае точечных сил, аналитические решения теории упругости для дислокаций в элементарных функциях также позволяют построить граничные интегральные уравнения и решить различные краевые задачи для неоднородных структур, а также задачи механики разрушения методом граничных элементов [33]. Применение дислокационной теории для моделирования разрушений обсуждается в работе [20].
Вместе с тем, дислокации представляют особый интерес для исследователей, поскольку их поведение, взаимодействие друг с другом, с другими дефектами, а также с внешними и внутренними границами влияют на свойства материалов. Достаточно полную информацию по вопросам теории дислокаций и методам решения различных задач теории упругости можно найти в книгах [78, 107] и обзорах [50, 106, 117].
Одним из наиболее важных разделов в дислокационной теории является изучение упругого состояния, вызванного дислокациями, расположенными вблизи свободной или межфазной границы [50, 78]. Это обусловлено значительным влиянием материала поверхности/интерфейса на подвижность дислокаций. Механика дислокаций играет исключительно важ-
ную роль в естественных науках, т.к. она даёт возможность инженерам понять, прогнозировать и контролировать механическую реакцию металлов и керамических материалов при пластическом деформировании [99]. Упругие поля, индуцированные взаимодействием дислокаций с поверхностью/интерфейсом играют значительную роль при анализе механизмов упрочнения и закалки разных материалов, пластичности, разрушения, усталости и широкого диапазона других явлений. Например, скорость ме-ханохимической коррозии зависит непосредственно от напряженного состояния свободной поверхности [114], которое может возникнуть из-за скопления дислокаций вблизи поверхности.
В рамках классической теории упругости, было получено множество аналитических решений относительно взаимодействия дислокаций с поверхностью/интерфейсом. Хед [77] был первым, кто получил такое решение для краевой дислокации, расположенной параллельно границе раздела двух полубесконечных сред с различными упругими свойствами. В этом решении свободная граница рассматривалась как предельный случай. Чтобы получить классические решения для краевых дислокаций, в работах [116, 117] был предложен своеобразный метод, основанный на аналитических выражениях для дисклинаций кручения в полубесконечном теле. Решены граничные задачи о краевой дислокации внутри и вне кругового [43, 59] и эллиптического [121, 136] включений, возле свободной плоской поверхности полубесконечной среды [4] и границы раздела двух сред [5], вблизи приповерхностного слоя [5] и внутри него [91], дислокациях [72] и дисклинациях [87] несоответствия в тонких пленках. В работах [4, 5], напряжения и перемещения, возникшие в результате присутствия периодической системы дислокаций или сосредоточенных сил возле плоской поверхности или интерфейса, были получены в виде за-
мкнутых аналитических выражений. Кроме этих работ, взаимодействие системы дислокаций с поверхностью/интерфейсом исследовано в работах [2, 21, 24, 32, 52, 58, 70, 76, 96, 110, 129, 130, 139]. Такого рода решения позволяют изучить влияние дислокаций, которые являются реальными дефектами кристаллических материалов, на механические и физические свойства этих материалов.
Исследование напряжений, вызванных периодической системой дислокаций также важно для моделирования границ зерен, анализа полигони-зации, устойчивости полос скольжения и структур дислокационной решетки [97]. В литературе представлено множество аналитических решений проблем взаимодействия дислокаций с межфазной границей (или неоднородностью) [5, 21, 31, 32, 35, 36, 37, 43, 45, 52, 53, 59, 71, 119, 121, 129, 130, 136]. Известно немного работ, в которых рассматривается взаимодействие межфазной плоской границы и периодического ряда дислокаций (например, [5, 21, 31, 32, 73, 97]). Стоит отметить также недавно проведенное исследование механизма релаксации напряжений несоответствия в нанопроволо-ках ядро-оболочка в результате формирования периодического ряда призматических дислокационных петель несоответствия [29].
Периодическая система дислокаций, возникающая в результате рассогласования параметров решетки между основным материалом и осажденным слоем может отойти от межфазной границы на несколько нанометров [94], например, в результате эмиссии из поверхности/интерфейса под действием нагрузки [98, 111, 132, 142], и образовать дислокационную стенку, параллельную межфазной границе [32].
Кроме работы [94] и ряда других работ дислокации несоответствия на межфазной границе были обнаружены в [100] и [143]. Авторы работы [100] исследовали границу раздела между алюминиевой матрицей и кристал-
лической структуры ТЮ с помощью электронного микроскопа высокого разрешения (НИТЕМ) и показали наличие дислокаций несоответствия в матрице А1 на расстоянии 2 нм от межфазной границы. Эти дислокации возникли из-за несоответствия кристаллических решеток А1 и ТЮ, коэффициентов теплового расширения и модулей упругости. Путём применения метода быстрого прямого и обратного преобразования Фурье в работе [100] получена четкая граница между наночастицей ТЮ и матрицей А1 в атомном масштабе (Рис. 0.1), что позволяет увидеть дислокации несоответствия с периодом 5 нм, отмеченные овалом в матрице на Рис. 0.1.
Рис. 0.1: (из Рис. 5 в [100]). Дислокации несоответствия, находящиеся в алюминиевой матрице на расстоянии 2 нм от межфазной границы между Al и кристаллической
структуры TiC с периодом 5 нм.
Аналогичное изображение ряда дислокаций вблизи межфазной границы гетероструктуры Ge/Si (Рис. 0.2) было получено в [143] на микроскопе HRTEM. На этом рисунке отмечено четыре белых квадрата A, B, C, D одинаковой величины В каждом квадрате находится по одной дислокации, на Рис. 0.2 они отмечены белыми стрелками, направление которых
совпадает с направлением каждой дислокации.
Рис. 0.2: (из Рис. 5 в [143]). HRTEM изображение гетероструктуры Ge/Si с рядом
дислокаций вблизи интерфейса.
Это не что иное, как положение равновесия дислокаций несоответствия, имеющее место возле межфазной плоской границы, которое было получено аналитически для ряда дислокаций в бесконечной двухкомпо-нентной среде [73] и для одиночной дислокации в двухслойной пластине [74, 75]. Кроме того, эмиссия дислокаций от интерфейса и положение равновесия дислокаций несоответствия было подробно проанализировано и для более сложных гетероструктур (см., например, [102, 111]).
В отличие от одиночной дислокации [35, 36, 37, 45], упругое поле и энергия, порождаемые рядом дислокаций около межфазной границы, зависит не только от удаленности дислокаций от границы, но и от расстояния между дислокациями.
В работах [5, 21, 31, 32, 73, 97] исследование взаимодействия периодической системы дислокаций с плоской межфазной границей основано на классической модели границы, в которой пренебрегается существование очень тонкого слоя на границе раздела двух сред с остаточным поверхностным напряжением (поверхностным натяжением) и упругими свойствами,
отличными от свойств основного материала [56].
В большинстве теоретических описаний, дислокации притягиваются к границам более мягких неоднородностей, включая свободную границу твердых тел. Поэтому, дислокации могут появиться в приповерхностном слое нанометровой толщины. В таком случае, подход классической механики нуждается в модифицикации, чтобы учесть влияние поверхностной/межфазной энергии, эффекты которой присущи наномате-риалам, с размерами в пределах 1-100 нм хотя бы в одном направлении (например, наноразмерные стержни, пластины, проволоки и пленки [19, 25, 41, 46, 47, 82, 103]) и наноструктурам с нанонеоднородностями (включения, поры, трещины и т.д. [42, 54, 71, 80, 104, 113, 119, 124, 125]). Концепция поверхностной энергии и поверхностного напряжения была впервые представлена Гиббсом [56] на базе термодинамики поверхностей твердых тел. Задолго до того, как Гиббс сформулировал теорию поверхностных напряжений для твердых тел, понятие поверхностного натяжения в жидкостях было дано Лапласом [90] и Юнгом [140].
Изучение свойств материалов и упругих полей в наноструктурах и наноматериалах очень важно для дальнейшего развития нанотехнологий, которые направлены на создание широкого диапазона новых конструкционных материалов и комплекса устройств для оптоэлектроники, биомедицинской инженерии, коммуникаций, механической инженерии и т.д.
Довольно изящная и широко используемая математическая модель, содержащая поверхностную/межфазную упругость в рамках механики сплошных сред, была детально разработана Гертином и Мердоком [68, 69]. Применение различных версий линеаризованной модели Гертина-Мердока (ГМ) для исследования разного вида нанообъектов приведено в обзорах [81, 104, 131]. Следует отметить, что кроме модели Гертина-Мердока су-
ществуют и другие модели поверхностной упругости. В частности, континуальные модели, отражающие взаимосвязь процессов деформирования, диффузии и теплопроводности с учетом тензорного характера поверхностных напряжений, поверхностных химических потенциалов и концентраций, построены в работе [13].
Что касается взаимодействия дислокаций с межфазной границей (неоднородностью), то упрощенная модель ГМ, в которой пренебрегается поверхностным натяжением, использовалась в задачах об упругом поведении краевой дислокации, находящейся вблизи круговой наноразмерной неоднородности [53] или внутри ядра проволоки типа "ядро-оболочка внедренной в бесконечную матрицу [71] или вблизи плоской межфазной границы двухкомпонентной среды [35]. Слагаемое с тензором поверхностного градиента перемещений в определяющем уравнении ГМ было опущено в работе [119] при исследовании взаимодействия краевой дислокации и эллиптической нанонеоднородности с учетом межфазных эффектов.
В модели ГМ, поверхностная/межфазная область представлена как пренебрежимо тонкий слой типа мембраны, сцепленный с основным материалом без скольжения и не оказывающий сопротивление изгибу. Содержащиеся в модели поверхностные/межфазные напряжения возникают из-за различия межатомных связей у атомов поверхности/интерфейса и атомов в объеме основного материала.
Различные граничные задачи были решены для наноматериалов и наноконструкций с использованием поверхностной/межфазной теории упругости (например, [1, 22, 61, 71, 67, 62, 80, 104, 119, 124, 125, 127]). В большинстве этих работ обнаружен размерный эффект, т. е. влияние соответствующих геометрических параметров (размера неоднородности [22, 67, 71, 80, 104, 119, 124, 125, 127], периода усилий, приложенных
к плоской поверхности [1], периода поверхностных неровностей [61, 62]) на упругое поле наноструктур. Размерный эффект на наномасштабном уровне — прямой результат учета поверхностных/межфазных напряжений. Кроме того, зависимость свойств наноматериала от хотя бы одного из размеров образца нанометровой протяженности — также проявление размерного эффекта, связанного с существованием поверхностного/межфазного напряжения [19, 25, 41, 42, 46, 47, 82, 103, 113, 128]. Размерный эффект, связанный с наличием поверхностного напряжения, получил экспериментальное подтверждение в работах [34, 82], обнаруживших с помощью резонансно-контактного атомного силового микроскопа рост модуля Юнга при уменьшении диаметра серебряных и свинцовых нанопроволок и нанотрубок из полипиррола.
Из-за отсутствия прямых экспериментальных исследований по определению упругих постоянных поверхности, все численные результаты решенных задач, учитывающих поверхностную упругость, основаны на данных компьютерного моделирования. Чаще всего используются упругие постоянные, полученные методом внедренного атома для наностержней и на-нопластин Миллером и Шеной [103], которые зависят от типа материала и кристаллической ориентации. Несмотря на анизотропные свойства исследуемых компьютерных моделей, найденные упругие постоянные используют и в изотропным случае для получения качественных результатов.
Модель ГМ получила обобщение в работах [122, 123], которое учитывает как жесткость на растяжение/сжатие, так и изгибную жесткость. Согласно работам [30, 55] такое обобщение может иметь значение в задачах, рассматривающих образование складок и деформацию изгиба [48, 49, 141]. Основываясь на модели Стейгмана-Огдена [122, 123], авторы работы [36] получили аналитическое решение для краевой дислокации, взаимодейству-
ющей с плоской границей раздела двух сред, и показали, что учет жесткости на изгиб приводит к незначительному отклонению значения силы изображения, действующей на дислокацию, от соответствующего значения этой силы, полученной с помощью полной модели ГМ. С другой стороны, пренебрежение поверхностным натяжением дает значение силы, значительно отличающегося от аналогичной силы, соответствующей полной модели ГМ [36]. Следует отметить, что теоретический способ получения констант для материала межфазной границы (включая поверхностное натяжение), описанное авторами [36], исходя из свойств обоих основных материалов, основывается на предположении, которое нуждается в подтверждении. В любом случае можно констатировать, что численные результаты каждой версии модели ГМ или модели Стейгмана-Огдена, использующие постоянные поверхностной упругости, которые получены тем или иным способом, отражают, главным образом, качественную суть поверхностных/межфазных эффектов, исследование которых представляет фундаментальную значимость. Что касается решений, полученных в работе [79] для одиночной силы и краевой дислокации в полуплоскости, то, как и решение [36], они не могут выступать в роли функций Грина, так как не представлены в виде явных аналитических зависимостей, выраженных через элементарные функции.
Глава 1. Взаимодействие периодической системы сосредоточенных сил и краевых дислокаций со свободной плоской границей при учете поверхностного напряжения
Данная глава сосредоточена на двух главных проблемах. Во первых, метод комплексных переменных, примененный раннее Грековым в работе [4] для построения периодических функций Грина для однородной упругой полуплоскости на макроуровне, распространен на решение аналогичной проблемы при учете поверхностных напряжений. Предполагается, что сосредоточенные силы или краевые дислокации могут находится на нанометровом расстоянии от плоской границы, на которой выполняются обобщенные граничные условия Юнга-Лапласа. При использовании подхода Колоссова-Мусхилишвилли [5, 11] и поверхностной теории упругости Гертина-Мердока [68, 69] решение задачи сводится к гиперсингулярному интегральному уравнению, аналогичному уравнениям, полученным при решении других задач наномеханики. В отличие от работ [92, 93], в которых разработаны достаточно эффективные методы решения подобных комплексных уравнений, ниже получено аналитическое решение интегрального уравнения в виде рядов Фурье, коэффициенты которых выражаются в квадратурах. По сравнению с работой [79] об одиночной дислокации или сосредоточенной силе, получены формулы для нахождения упругого поля в явном виде. Эти фундаментальные периодические решения (функции Грина) можно использовать для применения метода граничных интегральных уравнений при исследовании таких дефектов, как трещины и неоднородности, периодически расположенные вблизи границы полуплоскости, с
учетом поверхностного напряжения.
Вторая проблема, которая рассмотрена в этой главе - это взаимодействие дислокаций с поверхностью на наноуровне. Исследование влияния поверхностного напряжения на напряженное состояние вблизи дислокации и на свободной границе имеет важное значение для прогнозирования появления трещин на поверхности и начальной стадии разрушения материала. В связи с этим при использовании полученных аналитических зависимостей произведены вычисления напряжений и силы, действующей на краевую дислокацию в зависимости от расстояния дислокаций до границы, расстояния между дислокациями и ориентации вектора Бюргерса. Численные результаты получены при использовании упругих постоянных поверхности, найденных для алюминия в работе [103]. Основное содержание этой главы опубликовано в работах [6, 7, 63]
Похожие диссертационные работы по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Фундаментальные решения в прочностных расчетах армированных корпусов режущих инструментов1999 год, кандидат технических наук Шишмарев, Евгений Михайлович
Влияние поверхностных факторов на напряженно-деформированное состояние твердых тел с отверстиями.2010 год, доктор физико-математических наук Пронина, Юлия Григорьевна
Устойчивость упругих тел с внутренними напряжениями1998 год, кандидат физико-математических наук Чернега, Наталья Яковлевна
Напряжения в пленочном покрытии и формирование рельефа его поверхности2008 год, кандидат физико-математических наук Костырко, Сергей Алексеевич
Математическое моделирование нелинейных упругих деформаций композитной плоскости с межфазными трещинами и сосредоточенными нагрузками для гармонических материалов2019 год, кандидат наук Доманская Татьяна Олеговна
Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сергеева Татьяна Сергеевна, 2023 год
Список литературы
1. Викулина Ю. И., Греков М. А. Напряженное состояние плоской поверхности упругого тела нанометрового размера при периодическом силовом воздействии. Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2012. №4. С. 72-80.
2. Владимиров В. И., Гуткин М. Ю., Романов А. Е. Влияние свободной поверхности на равновесное напряженное состояние в гетероэпитакси-альных системах. Поверхность. Физика, химия, механика. 1988. №6. С. 46-51.
3. Владимиров В. И., Романов А. Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.
4. Греков М. А. Функции Грина для периодических задач упругой полуплоскости. Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. №4. С. 173178.
5. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.
6. Греков М. А., Сергеева Т. С. Периодическая система дислокаций и внутренних сил в полубесконечном упругом теле при учете поверхностного напряжения. Процессы управления и устойчивость. 2015. Т. 2. № 1. С. 137-142.
7. Греков М. А., Сергеева Т. С. Эффект поверхностных напряжений при взаимодействии краевых дислокаций с плоской поверхностью упругого тела. Сб. трудов IX Междунар. конф. "Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий". Воронеж: Научная книга. 2016. С. 107-109.
8. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Дефекты и механизмы пластичности в
наноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: Янус, 2001. 180 с.
9. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.
10. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
11. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
12. Панин В. А., Лихачев В. А., Гриняев Ю. В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 229 с.
13. Подстригач Я.С., Повстенко Ю.З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985. 200 с.
14. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
15. Сергеева Т. С. Периодический ряд краевых дислокаций и сосредоточенных сил в двухкомпонентной упругой среде при учете межфазных напряжений. Процессы управления и устойчивость. 2018. Т. 5. № 1. С. 202-207.
16. Угодчиков А. Г., Хуторянский Н. М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд. Казанского унта, 1986. 296 с.
17. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
18. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость, часть 2, 1999. 196 с.
19. Altenbach H., Eremeyev V.A., Morozov N.F. On equations of the linear theory of shells with surface stresses taken into account. Mechanics of Solids. 2010. Vol. 45. 331-342.
20. Bilby B., Eshelby J.D. Dislocations and the theory of fracture. In:
Liebiwits I, editor. Fracture. New York: Academic Press. 1968. 99-182.
21. Bobylev S.V., Morozov N.F., Semenov B.N., Sheinerman A.G. Misfit dislocation configurations at interphase boundaries between misoriented crystals in nanoscale film-substrate systems. Rev. Adv. Mat. Sci. 2012. Vol. 32. 24-33.
22. Bochkarev A. O., Grekov M. A. Local instability of a plate with circular nanohole under uniaxial tension. Doclady Physics. 2014. Vol. 59. 330-334.
23. Bochkarev A.O., Grekov M.A. Influence of surface stresses on the nanoplate stiffness and stability in the Kirsch problem. Phys. Mesomech. 2019. Vol. 22. 209-223.
24. Bonnet R. Elasticity theory of straight dislocations in a multilayer. Phys. Rev. B. 1996. Vol. 53. 10978-10982.
25. Cammarata R.C. Surface and interface stresses effects in thin films. Progress Surface Sci. 1994. Vol. 46. 1-38.
26. Chen Y.Z., Cheung Y.K. New integral equation approach for the crack problem in elastic half-plane. Int. J. Fract. 1990. Vol. 46. 57-69.
27. Chen Y.Z., Hasebe N. Interaction of two curved cracks in an infinite plane. Archive of Applied Mechanics. 1992. Vol. 62. 147-157.
28. Chen Y.Z. A numerical solution technique of hypersingular integral equation for curved cracks. Commun. Numer. Meth. Engng. 2003. Vol. 19. 645-655.
29. Chernakov A.P., Kolesnikova A.L., Gutkin M.Yu., Romanov A.E. Periodic array of misfit dislocation loops and stress relaxation in core-shell nanowires. Int. J. Eng. Sci. 2020. Vol. 156. 103367.
30. Chhapadia P., Mohammadi P., Sharma P. Curvature-dependent surface energy and implications for nanostructures. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2011. Vol. 59. 2103-2115.
31. Chou Y.T., Lin L.S. Instability of edge dislocation walls in a two-phase isotropic medium. Materials Science and Engineering. 1975. Vol. 20. 19-27.
32. Chu H., Pan E. Elastic fields due to dislocation arrays in anisotropic biomaterials. Int. J. Solids Struct. 2014. Vol. 51. 1954-1961.
33. Crouch S.I., Starffild A.M. Boundary element method in solid mechanics. London: George Allen and Unwin. 1983.
34. Cuenot S., Frertigny C., Demoustier-Champagne S., Nysten B. Surface tension effect on the mechanical properties of nanomaterials measured by atomic force microscopy. Physical Review B. 2004. Vol. 69. 165410.
35. Dai M., Schiavone P. Analytic solution for a line edge dislocation in a bimaterial system incorporating interface elasticity. Journal of Elasticity. 2018. Vol. 132. 295-306.
36. Dai M., Schiavone P. Edge dislocation interacting with a Steigmann-Ogden interface incorporating residual tension. Int. J. Eng. Sci. 2019. Vol. 139. 62-69
37. Dai M., Schiavone P., Gao C.F. Nano-inclusion with uniform internal strain induced by a screw dislocation. Archives of Mechanics. 2016. Vol. 68. 243-257.
38. Dai M., Schiavone P., Gao C.F. Surface tension-induced stress concentration around an elliptical hole in an anisotropic half-plane. Mech. Res. Commun. 2016. Vol. 73. 58-62.
39. Dai M., Wang Y.J., Schiavone P. Integral-type stress boundary condition in the complete Gurtin-Murdoch surface model with accompanying complex variable representation. J. Elast. 2019. Vol. 134. 235-41.
40. Dai M.,Yang H.B., Schiavone P. Stress concentration around an elliptical hole with surface tension based on the original Gurtin-Murdoch model. Mech. Mater. 2019. Vol. 135. 144-148
41. Digrevile R., Qu J.M., Cherkaoui M. Surface free energy and its effect on elastic behavior of nano-sized particles, wires and films. J Mech Phys Solids. 2005. Vol. 53. 1827-54.
42. Duan H.L., Wang J., Karihaloo B.L. Theory of elasticity at the nanoscale. Adv. Appl. Mech. 2009. Vol. 42. 1-68.
43. Dundurs J., Mura T. Interaction between an edge dislocation and a circular inclusion. J Mech Phys Solids. 1964. Vol. 12. 177-89.
44. Dundurs J., Markenskoff X.A. The Sternberg-Koiter conclusion and other anomalies of the concentrated couple. J. of Applied. Mechanics ASME. 1989. Vol. 56. 240-245.
45. Dundurs J., Sendeckyj G. Behavior of an edge dislocation near a bimetallic interface. Journal of Applied Physics. 1965. Vol. 36. 3353-3354.
46. Eremeyev V.A., Altenbach H., Morozov N.F. The influence of surface tension on the effective stiffness of nanosize plates. Doklady Phys. 2009. Vol. 54. 98—100.
47. Eremeyev V., Morozov N. The effective stiffness of a nanoporous rod. Doklady Phys. 2010. Vol. 55. 279-82.
48. Eremeyev V.A. On effective properties of materials at the nano- and microscales considering surface effects. Acta Mechanica. 2016. Vol. 227. 29-42.
49. Eremeyev V.A., Lebedev L.P. Mathematical study of boundary-value problems within the framework of Steigmann-Ogden model of surface elasticity. Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2016. Vol. 28. 407-422.
50. Eshelby J. D. Boundary problems. In F. R. N. Nabarro (Ed.), Dislocations in Solids. 1979. (pp. 167-221). Amsterdam: North-Holland.
51. Fabricant V. I. Complete solution to some mixed boundary value problems
in elasticity. Advances in Applied Mechanics. Eds. J. Hutcinson and T. Wu. Boston. Acad. Press. 1990. Vol. 27. 153-223.
52. Fan H., Wang G. F. Screw dislocation interacting with imperfect interface. Mechanics of Material. 2003. Vol. 35. 943-953.
53. Fang Q.H., Liu Y.W. Size-dependent interaction between an edge dislocation and a nanoscale inhomogeneity with interface effects. Acta Materialia. 2006. Vol. 54. 4213-4220.
54. Fu X.L., Wang G.F., Feng X.Q. Surface effects on mode-I crack tip fields: A numerical study. Eng. Frack. Mech. 2010. Vol. 77. 1048-57.
55. Gao X., Huang Z., Fang D. Curvature-dependent interfacial energy and its effects on the elastic properties of nanomaterials. International Journal of Solids and Structures. 2017. Vol. 113-114. 100-107.
56. Gibbs J.W. The Scientific Papers of J. Willard Gibbs. 1906. Vol. 1. London: Longmans-Green.
57. Gorbushin N., Eremeyev V. A., Mishuris G. On the stress singularity near the tip of a crack with surface stresses. Int. J. Eng. Sci. 2020. Vol. 146. 103183.
58. Gosling T.J., Willis J.R. The energy of arrays of dislocations in an anisotropic half-space. Philos. Mag. A. 1994. Vol. 69. 65-90.
59. Grekov M.A. Joint deformation of a circular inclusion and a matrix. Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 2010. Vol. 43(2). 114121.
60. Grekov M.A., Kostyrko S.A. A multilayer film coating with slightly curved boundary. Int. J. Eng. Sci. 2015. Vol. 89. 61-74.
61. Grekov M.A., Kostyrko S.A. Surface effect in an elastic solid with nanosized surface asperities. Int. J. Solids Struct. 2016. Vol. 96. 153-161.
62. Grekov M.A., Kostyrko S.A. Surface defect formation in nanosized film
coatings due to diffusion. 2015 Int. Conf. on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading. IEEE. 2015. 1-4.
63. Grekov M.A, Sergeeva T.S, Pronina Y.G, Sedova O.S. A periodic set of edge dislocations in an elastic solid with a planar boundary incorporating surface effects. Eng. Fract. Mech. 2017. Vol. 186. 423-435.
64. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Periodic Green functions for two-component medium with interface stresses at the planar interface. AIP Conf. Proc. 2018. Vol. 1959. 070014.
65. Grekov M.A., Sergeeva T.S. Interaction of edge dislocation array with bimatirial interface incorporating interface elasticity. Int. J. Eng. Sci. 2020. Vol. 149. 103233.
66. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Surface dislocation interaction by the complete Gurtin-Murdoch model. In: Smirnov N., Golovkina A. (eds) Stability and Control Processes. SCP 2020. Lecture Notes in Control and Information Sciences - Proceedings. Springer, Cham. 2022. P. 837-845.
67. Grekov M.A., Yazovskaya A.A. Effect of surface elasticity and residual surface stress in an elastic body weakened by an elliptic hole of a nanometer size. J. Appl. Math. Mech. 2014. Vol. 78. 172-180.
68. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces. Arch. Rat. Mech. Anal. 1975 Vol. 57. 291-323.
69. Gurtin M.E., Murdoch A.I. Surface stress in solids. Int. J. Solids Struct. 1978. Vol. 14. 431-40.
70. Gutkin M.Yu., Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G. Misfit dislocations in wire composite solids. J. Phys.: Condencs. Matter. 2000. Vol. 12. 5391-5401.
71. Gutkin M.Yu., Enzevaee C., Shodja H.M. Interface effects behavior of an edge dislocation in core-shell nanowire embedded to an infinite matrix. Int. J. Solids Struct. 2013. Vol. 50. 1177-1186.
72. Gutkin M.Yu., Kolesnikova A.L., Romanov A.E. Misfit dislocations and other defects in thin fikms. Mater. Sci. Eng. A. 1993. Vol. 164. No. 1-2. 433-437.
73. Gutkin M.Yu., Militzer M., Romanov A.E., Vladimirov V.I. Equilibrium position of misfit dislocations. Physica Status Solidi (a). 1989. Vol. 113. 337-344.
74. Gutkin. M.Yu., Romanov. A.E. Misfit dislocations in a thin two-phase heteroepitaxial plate. Physica Status Solidi (a). 1992. Vol. 129. 117-126.
75. Gutkin M.Yu., Romanov A.E. On the stand-off positions of misfit dislocations. Physica Status Solidi (a). 1994. Vol. 144. 39-57.
76. Hartley C.S. The stress fields of uniformly spaced, infinite edge dislocation arrays in a semi-infinite, isotropic solid. Scripta Metallurgica. 1969. Vol. 3. 607-12.
77. Head A.K. Edge dislocations in inhomogeneous media. Proc. Phys. Soc. 1953. Vol. B 66. 793-801.
78. Hirth J.P., Lothe J. Theory of Dislocations. New-York: Wiley. 1982
79. Intarit P., Senjuntichai T., Rajapakse R.K.N.D. Dislocation and internal loading in semi-infinite elastic medium with surface stress. Eng. Fract. Mech 2010. Vol. 77. 3592-603.
80. Jammes M., Mogilevskaya S.G., Crouch S.I. Multiple circular nano-inhomogeneities and/or nano-pores in one of two joined isotropic elastic half-planes. Engineering Analysis with Boundary Elements. 2009. Vol. 33. 233-248.
81. Javili A., McBride A., Steinmann P., Reddy B.D. A unified computational framework for bulk and surface elasticity theory: A curvilinear-coordinate-based finite element methodology. Computational Mechanics. 2014. Vol. 54. 745-762.
82. Jing G.Y., Duan H.L., Sun X.M., Zhang Z.S., Xu J., Li Y.D., et al. Surface effects on elastic properties of silver nanowires: Contact atomic-force microscopy. Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. 235-409.
83. Karapetian E., Kachanov M. Three-dimensional interactions of a circular cracks with dipoles, centers of dilatation and moments. Int. J. Solids and Structures. 1996. Vol. 33. N. 27. 3951-3967.
84. Karapetian E., Kachanov M. Green's function for the isotropic or transversely isotropic space containing a circular crack. Acta Mechanica. 1998. Vol. 126. 169-187.
85. Khanikar P., Kumar A., Subramaniam A. Image forces on edge dislocations: a revisit of the fundamental concept with special regard to nanocrystals. Philos. Mag. 2011. Vol. 91. 730-750
86. Kim, C.I., Schiavone, P., Ru, C.Q.: Effect of surface elasticity on an interface crack in plane deformations. Proc. R. Soc. A. 2011. Vol. 467. 3530-3549.
87. Kolesnikova A.L., Ovid'ko I.A., Romanov A.E. Misfit disclination structures in nanocrystalline and polycrystalline films. Solid State Phenomena. 2002. Vol. 87. 265-275 .
88. Kostyrko S.A., Grekov M.A.: Elastic field at a rugous interface of a bimaterial with surface effects. Eng. Fract. Mech. 2019. Vol. 216. 106507
89. Kostyrko S., Grekov M., Altenbach H. Stress concentration analysis of nanosized thin-film coating with rough interface. Continuum Mech. Thermodyn. 2019. Vol. 31. 1863-1871.
90. Laplace P.S. Mecanique Celeste. 1805. Vol. 4. Paris: Courcier.
91. Lee M.S., Dundurs J. Edge dislocation in a surface layer. Int. J. Eng. Sci. 1973. Vol. 11. 87-94.
92. Linkov A.M. Boundary Integral Equations in Elasticity Theory.
Dordrecht: Kluwer. 2002.
93. Linkov A.M., Mogilevskaya S.G. Complex hypersingular BEM in plane elasticity problems. In: Sladek V, Sladek J (Eds.). Singular Integrals in Boundary Element Method, Computational Mechanics Publication. 1998. 299-364.
94. Liu L., Wang J., Gong S. K., Mao S. X. High resolution transmission electron microscope observation of zero-strain deformation twinning mechanisms in ag. Physical Review Letters. 2011. Vol. 106. 175504.
95. Love A.E.H.A. Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 2013. Cambridge: Cambridge University Press.
96. Lubarda V.A., Kouris D.A. Stress fields due to dislocation arrays at interfaces. Mech. Mater. 1996. Vol. 23. 191-203.
97. Lubarda V.A. Energy analysis of dislocation arrays near bimaterial interfaces. International Journal of Solids and Structures. 1997. Vol. 34. 1553-1573.
98. Lubarda V.A. Image force on a straight dislocation emitted from a cylindrical void. International Journal of Solids and Structures. 2011. Vol. 48. 648-660.
99. Lubarda V.A. Dislocation burgers vector and the Peach-Koehler force: a review. Journal of Materials Research and Technology. 2019. Vol. 8. 15501565.
100. Maziarz W., Wojcik A., Bobrowski P., Bigos A., Szymanski L,Kurtyka P., Rylko N., Olejnik E. SEM and TEM studieson insitu cast Al-TiC composites. Materials Transactions. 2019. Vol.60. 714-717.
101. Melnikov Y.A. Green's Functions in Applied Mechanics. Suothhampton: Computational Mechanics Publications. 1982.
102. Mikaelyan K.N., Gutkin M.Yu., Borodin E.N., Romanov A.E. Dislocation
emission from the edge of a misfitting nanowire embedded in a freestanding nanolayer. Int. J. Solids Struct. 2019. Vol. 161. 127-135.
103. Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements. Nanotechnology. 2000. Vol. 11. 139-147.
104. Mogilevskaya S.G., Crouch S.I., Stolarski H.K. Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects. J. Mech. Phys. Solids. 2008. Vol. 56. 2298-2327.
105. Mogilevskaya S. G., Pyatigorets A. V., Crouch S.I. Green function for the problem of a plane containing a circular hole with surface effects. Trans. ASME J. Appl. Mech. 2011. Vol. 78. 021008.
106. Mura T. The continuum theory of dislocations. Advanced in Materials Research. Ed. H.Herman. Interscience Publishers, New-York. 1968. Vol. 3. 1-108.
107. Mura T. Micromechanichs of Defects in Solids. Dordrecht/Boston/ Lancaster, Martinus Nijhoff Publisher. 1987.
108. Novozhilov V.V. Theory of Elasticity. Pergamon Press, Oxford. 1961.
109. Ou Z.Y., Wang G.F., Wang T.J. Effect of residual surface tension on the stress concentration around a nanosized spheroidal cavity. Int. J. Eng. Sci. 2008. Vol. 46. 475-485.
110. Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G. Misfit dislocations in composite nanowires. Materials Physics and Mechanics. 2009. Vol. 8. 83-107
111. Ovid'ko I.A., Sheinerman A.G., Valiev R.Z. Dislocation emission from deformation-distorted grain boundaries in ultrafine-grained materials. Scripta Materialia. 2014. Vol. 76. 45-48.
112. Peach M., Koehler J. The forces exerted on dislocations and the stress fields produced by them. Phys. Rev. 1950. Vol. 80. 436-9.
113. Povstenko Yu. Z. Theoretical investigation of phenomena caused by
heterogeneous surface tension in solid. J. Mech. Phys. Solids. 1993. Vol. 41. 436-439.
114. Pronina Y., Sedova O., Grekov M., Sergeeva T. On corrosion of a thin-walled spherical vessel under pressure. International Journal of Engineering Science. 2018. Vol. 130. 115-128.
115. Roach G.F. Green's Functions. Cambridge: Cambridge University Press.
1982.
116. Romanov A.E., Vladimirov V.I. Straight disclinations near a free surface. 1. Stress fields. Phys. Status Solidi. 1981. Vol. A63. 109-18.
117. Romanov A.E., Vladimirov V.I. Disclinations in crystalline solids. In: Nabarro FRN, editor. Dislocations in Solids. Amsterdam: North-Holand. 1992. Vol. 9. 191-402.
118. Sharma P., Ganti S. Sized-dependence Eshelby's tensor for embedded nanoinclusions incorporating surface/interface energies. J. Appl. Mech. 2004. Vol. 71. 663-671.
119. Shodja H.M., Ahmadzadeh-Bakhshayesh H., Gutkin M.Yu. Size-dependent interaction of an edge dislocation with an elliptical nano-inhomogeneity incorporating interface effects. Int. J. Solids Struct. 2012. Vol. 49. 759-770.
120. Stakgold I. Green's Functions and Boundary Value Problems. New York: Wiley. 1979.
121. Stagni L., Lizzio R. Shape effects in the interaction between an edge dislocation and an elliptical inhomogeneity. Appl. Phys. A. Mat. Sci. Proc.
1983. Vol. A30. 217-21.
122. Steigmann D.J., Ogden R.W. Plane deformations of elastic solids with intrinsic boundary elasticity. Proceedings of the Royal Society. 1997. Vol. A 453. 853-877.
123. Steigmann D.J., Ogden R.W. Elastic surface-substrate interactions. Proceedings of the Royal Society. 1999. Vol. A 455. 437-474.
124. Tian L., Rajapakse R.K.N.D. Analytical solution for size-dependent elastic field of a nanoscale circular inhomogeneity. Trans ASME. J. Appl. Mech. 2007. Vol. 74. 568-574.
125. Tian L., Rajapakse R.K.N.D. Elastic field of an isotropic matrix with nanoscale elliptical inhomogeneity. Int. J. Solids Struct. 2007. Vol. 44. 7988-8005.
126. Timoshenko C.G., Goodier, J.N. Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York. 1970.
127. Vakaeva A.B., Grekov M.A.. Effect of surface stresses in an elastic body with a curvilinear nanohole. 2015 Int. Conf. "Stability and Control Processes" in Memory of VI Zubov, SCP 2015 - Proceedings. 2015. IEEE. 440-3.
128. Wang Z.Q., Zhao Y.P., Huang Z.P. The effect of surface tension on elastic properties of nano strucures. Int. J. Eng. Sci. 2010. Vol. 48. 140-150.
129. Wang X., Schiavone P. A screw dislocation interacting with a bimaterial interface incorporating surface strain gradient elasticity. European Journal of Mechanics - A/Solids. 2015. Vol. 53. 254-258.
130. Wang X., Schiavone P. Green's functions for an anisotropic half-space and bimaterial incorporating anisotropic surface elasticity and surface van der Waals forces. Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. Vol. 22. 557-572.
131. Wang J., Huang Z., Duan H., Yu S., Feng X., Wang G., Zhang W., Wang T. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials. Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. 52-82.
132. Wang L., Zhou J., Hui D., Zhang S. Micromechanics model for nanovoid
growth and coalescence by dislocation emission: Loading and lattice orientation effects. International Journal of Mechanical Sciences. 2014. Vol. 79. 168-175.
133. Wang S, Dai M., Ru C.Q., Gao C.F. Stress field around an arbitrarily shaped nanosized hole with surface tension. Acta Mech. 2014. Vol. 255. 3453-3462.
134. Wang G.F., Wang T.J. Deformation around a nanosized elliptical hole with surface effect. Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 89. 161901.
135. Wang Z.Q., Zhao Y.P., Huang Z.P. The effects of surface tension on the elastic properties of nano structures. Int. J. Eng. Sci. 2010. Vol. 48. 140150.
136. Warren W.E. The edge dislocation inside an elliptical inclusion. Mech. Mat. 1983. Vol. 2. 319-30.
137. Weeks R., Dundurs J., Stippes M. Exact analysis of an edge dislocation near a surface layer.International Journal of Engineering Science. 1968. Vol. 6. 365-372.
138. Weertman J. The Peach-Koehler equation for the force on a dislocation modified for hydrostatic pressure. Philos. Mag. 1965. Vol. 11. 1217-23.
139. Willis J.R., Jain S.C., Bullough R. The energy of an array of dislocations: implications for strain relaxation in semiconductor heterostructures. Philos. Mag. A. 1990 Vol.62. 115-29.
140. Young T. An essay on the cohesion of fluids. Proc. Royal. Soc. 1805. Vol. A 95. 65-87.
141. Zemlyanova A., Mogilevskaya S. Circular inhomogeneity with Steigmann-Ogden interface: local fields, neutrality, and Maxwell's type approximation formula. International Journal of Solids and Structures. 2018. Vol. 135. 85-98.
142. Zeng X., Liu Y. W., Wen P. H. Dislocation emission from nanovoid with surface effects. International Journal of Mechanical Sciences. 2012. Vol. 61. 65-70.
143. Zhu Y., Wen H., Zhang H., Liu Z. Application of digital phase shifting moirre method in interface and dislocation location recognition and real strain characterization from HRTEM images. Optics Express. 2019. Vol. 7. 36990.
Saint Petersburg State University
Manuscript copyright
Tatiana S. Sergeeva
Fundamental periodic solutions of the 2-D elasticity incorporating surface and interface
stresses
Scientific specialization 1.1.8. Solid Mechanics
Dissertation is submitted for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences
Translation from Russian
Scientific supervisor: Dr. Sci., Prof. M. A. Grekov
Saint Petersburg 2022
Content
Introduction.................................120
Chapter 1. Interaction of periodic set of point forces and edge dislocations with a free planar boundary incorporating surface stress..............................136
1.1. Problem formulation by simplified Gurtin-Murdoch model neglecting surface tension......................137
1.2. Solution of the boundary value problem.............139
1.3. Solution for the surface stress..................142
1.4. The dislocations stress field analysis...............145
1.5. Concluding remarks........................156
Chapter 2. Interaction of edge dislocation array with bimaterial planar
interface incorporating interface stress and interface tension 159
2.1. Problem formulation.......................160
2.2. Solution of the boundary value problem.............163
2.3. Evaluation of the function T...................169
2.4. Stress field analysis........................172
2.5. Concluding remarks........................181
Chapter 3. Periodic array of point forces near a planar interface with
interface stress and interface tension ............184
3.1. Problem formulation.......................185
3.2. Solution of the problem......................187
3.3. Concluding remarks........................191
Chapter 4. Interaction of a periodic edge dislocation array with a free
planar boundary by different versions of Gertin-Merdoch
model.............................192
4.1. Problem formulation.......................193
4.2. Solution of the problem......................195
4.3. Numerical results.........................196
4.4. Concluding remarks........................197
Conclusion .................................202
Appendix..................................208
References..................................211
INTRODUCTION
Relevance of the topic
Intensive development of nanotechnologies and the widespread use of nanomaterials in many optoelectronic and biomedical instruments and devices leads to the requirement to study the strength and functional properties of real materials at the nanoscale and, in particular, elastic fields in various types of nanostructures in which at least one linear size ranges from one to several tens of nanometers. Of particular importance in engineering practice is the analysis of the interaction of specific nano-inhomogeneities (inclusions, pores, nanoclusters, microcracks, etc.) with each other and with external and internal (interfacial) boundaries near which their highest concentration is observed.
As in traditional macromechanics, the most effective methods for solving the corresponding boundary value problems of nanomechanics are based on the construction of fundamental solutions (Green functions). In the case of a plane problem of the theory of elasticity, these include solutions for concentrated force and edge dislocation in the plane region under consideration. Of particular importance is the solution on the problem of dislocation or array of dislocations, since along with the fundamentality of such a solution, dislocations are real defects in the crystalline structure of the material. Since many processes related to the characteristic of external impacts and the structure of the material are periodic in nature, periodic fundamental solutions are of particular interest to practice.
This work is devoted to these solutions for the cases when one or another heterogeneity is at a nanometer distance from the interface of two different media, including the external boundary. The specificity of these solutions is to take into account the surface elastic energy of the solid, that is surface
stresses which make a significant contribution within a few tens of nanometers from the surface to the total elastic energy of the near-surface zone and the whole nanomaterial as well. One of the main goals of constructing Green's functions in mechanics is the possibility of using them in solving boundary value problems with the boundary elements methods and boundary integral equations that implies the representation of these functions in the form of explicit analytical dependencies. In the literature, there are several solutions for single force and single edge dislocation near a rectilinear boundary with surface stress, in which such dependencies are not obtained. In addition, these works do not take into account the regularity of the material structure, which is the cause of a periodic arrangement of various inhomogeneities and defects. This, in turn, leads to the necessity to consider periodic fundamental solutions taking into account surface stresses.
The purpose of the work
The purpose of this work is to construct periodic Green functions of two-dimensional elasticity, corresponding to the action of concentrated forces and edge dislocations near a flat boundary incorporating surface stresses, in the form of analytical dependencies suitable for using boundary elements method and boundary integral equations, as well as to study the features of dislocations interaction with the free boundary and interface in the presence of surface stresses.
Research Methods
The solution of the considered boundary value problems of the plane elasticity is based on the use of the Gurtin-Murdoch theory of surface elasticity, the Goursat-Kolosov complex potentials, Muskhelishvili representations and the method of reducing the solution of the problem to either a hyper-
singular integral equation in surface stress or an integro-differential singular equation in the complex displacement. In the case of a two-component body, the superposition method is applied. The solution of integral equations is found in terms of trigonometric or complex Fourier series. Based on the analytical dependencies for stresses derived in the work, the set of calculations have been performed using the mathematical package MAPLE.
Scientific novelty
The novelty of the work is made up of the following provisions to be protected:
1. Construction of Green functions corresponding to the action of the periodic system of edge dislocations and concentrated forces near the free flat boundary in the form of explicit analytical dependencies for stresses taking into account surface stress depending on deformation and residual surface stress.
2. Construction of Green functions corresponding to the action of the periodic system of edge dislocations and concentrated forces in a two-component body with a flat interface in the form of explicit analytical dependencies for stresses and derivatives of displacements, taking into account interfacial stress depending on deformation and residual interfacial stress.
3. Investigation of influence of surface stress and interfacial stress on features of interaction of edge dislocations with a free boundary and interface, respectively.
4. Analysis of numerical results of the solution of the problem on the interaction of the periodic system of edge dislocations with the free flat boundary, obtained by the complete and various simplified versions of the Gurtin-Murdoch surface elasticity model.
Reliability of the results
The reliability of the obtained results is ensured by correct statement of the problems, application of physically justified models of two-dimensional elasticity and surface elasticity, tested mathematical methods of solving the problems, coincidence of numerical results in particular case with known results of other authors.
Scientific and practical significance of the work
Fundamental periodic solutions (Green functions) first obtained incorporating surface stresses can be used to apply the method of boundary integral equations for studying various nanosized inhomogeneities (inclusions, pores, nanoclusters, microcracks, etc.) periodically located near the surface of the body, including the interface, where surface stresses have a significant effect on the elastic properties of the body. The study of the effect of surface stresses on the elastic field arising due to the interaction of dislocations with the free boundary and interface is important for predicting the formation of surface and interfacial damages and irregularities, the appearance of cracks on the surface and delamination cracks, indicating the initial stage of nanos-tructure fracture. The results of the comparative analysis of various versions of the Gurtin-Murdoch model made it possible to estimate the error by using a simplified version of the model in existing solutions of boundary value problems, which take into account surface stresses on a flat surface.
Approbation of the work
The results of the work have been reported at the seminar of the Department of Computational Methods in Continuum Mechanics of St. Petersburg State University and at the following international conferences:
• XLVI International Scientific Conference of Graduate and Postgraduate
Students "Control Processes and Stability" (St. Petersburg, 2015)
• IX International Conference "Modern Methods of Applied Mathematics, Control Theory and Computer Technology" (Voronezh, 2016),
• XLVII International Scientific Conference of Graduate and Postgraduate Students "Control Processes and Stability" (St. Petersburg, 2018)
• International Scientific Conference on Mechanics "VIII Polyakhov Readings" (St. Petersburg, 2018)
• The 47th International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics-2019" (St. Petersburg, 2019)
• International Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Rome, Italy, 2019)
• IV International Conference "Stability and Control Processes" dedicated to the 90th anniversary of the professor's birth V.I. Zubov (St. Petersburg, 2020)
The author's research at various stages of the work has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (participant in the projects 1101-00230, 14-01-00260, 18-01-0042)and Russian Scientific Fond (participant in the project 22-11-00087).
Structure and scope of the work
The work consists of an introduction, four chapters, an annex and a conclusion. The work contains 109 pages, 30 drawings, 1 table, the list of literature contains 143 titles.
Research Publications
A. Publications in editions indexing in Web of Science Core Collection and Scopus:
1. Grekov M.A, Sergeeva T.S, Pronina Y.G, Sedova O.S. A periodic set
of edge dislocations in an elastic solid with a planar boundary incorporating surface effects. Engineering Fracture Mechanics. 2017. Vol. 186, 423-435.
2. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Periodic Green functions for two-component medium with interface stresses at the planar interface. AIP Conference Proceedings. 2018. Vol. 1959, 070014.
3. Grekov M.A., Sergeeva T.S. Interaction of edge dislocation array with bimatirial interface incorporating interface elasticity. International Journal of Engineering Science. 2020. Vol. 149, 103233.
B. Other publications:
1. Greeks M. A., Sergeeva T. S. Periodic system of dislocations and internal forces in the semi-infinite elastic body, taking into account surface stress. Management processes and sustainability. 2015. Vol. 2, No. 1. 137-142.
2. Greeks M. A., Sergeeva T. S. The effect of surface stresses during the interaction of edge dislocations with the flat surface of the elastic body. Collection of works of the IX International Conference "Modern Methods of Applied Mathematics, Control Theory and Computer Technology." Voronezh: Scientific book. 2016. 107-109.
3. Sergeeva T. S. Periodic series of edge dislocations and concentrated forces in two-component elastic medium with consideration of interfacial stresses. Processi upravleniya i ustoichivost. 2018. Vol. 5. No. 1. 202-207.
4. Greeks M. A., Sergeeva T. S. Periodic Green functions for a two-component medium with interfacial voltages at a flat interface. Eighth Polyakhov readings; Abstracts of reports of the International Scientific Conference on Mechanics. St. Petersburg: Ed. St. Petersburg State
University, 2018. 197-198.
5. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Interaction of edge dislocations with a planar interface at the nanoscale. ICoNSoM2019. Book of abstracts. Rome, 2019. P. 192.
6. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Surface stress effects in the problem of an interaction of edge dislocations with a planar interface. XLVII International Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of abstracts. St. Petersburg, 2019. P. 38.
7. Grekov M.A, Sergeeva T.S. Surface dislocation interaction by the complete Gurtin-Murdoch model. In: Smirnov N., Golovkina A. (eds) Stability and Control Processes. SCP 2020. Lecture Notes in Control and Information Sciences - Proceedings. Springer, Cham. 2022. P. 837-845.
Personal contribution of the author
The dissertation is a scientific research which proves the professional qualification of the author. The statements of the problems have been suggested by M. A. Grekov. M. A. Grekov has advised the author on the solution methods and participated in the discussions. The author has singlehandedly obtained analytical and numerical solutions of the problems and carried out the analysis of the results.
Review of works relevant to the topic
Fundamental (singular) solutions to the problems of mathematical physics (Green's functions) reflect physical phenomena associated with the presence of various kinds of point sources of perturbations. These include: all kinds of concentrated effects of external forces, temperature or electro-
magnetic fields (see, for example, [10, 14]). Another type of such sources is internal defects of material structure [3, 8, 9, 12, 14, 18].
Green's functions are the basis of the theory of boundary integral equations [4, 10, 16, 33, 92]. Derivation of fundamental solutions for different differential operators is a individual research area [101, 115, 120]. In the case of linear theory of elasticity, the simplest Green's functions are Kelvin's solution for the concentrated force in an infinite elastic medium [10, 95]. For other problems of elasticity theory, Green's functions are more complicated and depend on the shape of the boundary. Only some of these functions have been obtained explicitly through elementary functions, for example, a solution for an external or internal concentrated force acting in half-space or half-plane (plane problem) with a planar boundary [95, 126], for concentrated forces and moments near and at the boundary of a crack in plane[17, 44] and spatial [51, 83, 84], cases, etc.
Other point sources of disturbance in solid mechanics and physics that lead to the construction of fundamental solutions are dislocations, the distribution density of which along lines or surfaces in a solid body characterizes the break of displacements. As Green's functions, dislocations are mainly used to model cracks and construct corresponding integral equations (for example, [4, 26, 27, 28, 33]). As in the case of point forces, analytical elastic solutions in terms of elementary functions for dislocations also allow constructing the boundary integral equations and solving different boundary value problems for inhomogeneous bodies and fracture mechanics with the boundary element method [33]. The application of the dislocation theory to fracture modeling has been discussed in [20].
At the same time, dislocations are of particular interest to researchers since their behavior, interaction with each other and with other defects, as
well as with external and internal boundaries of inhomogeneous structures affect the properties of materials. Quite complete information on dislocation theory and methods for solving various problems of elasticity theory can be found in books [78, 107] and reviews [50, 106, 117].
One of the significant parts of dislocation theory is the study of elastic fields induced by dislocations located in the vicinity of a traction-free surface or interface [50, 78]. The reason is a significant influence of a surface/interface on a dislocations mobility. Dislocation mechanics is of unique importance in physical science that has enabled engineers to understand, predict, and control the mechanical response of metals and ceramics in the plastic range of their deformation [99]. Elastic fields induced by the surface/interface interaction of dislocations plays a meaningful role in analyzing the strengthening and hardening mechanism of many materials, ductility, fracture, fatigue and a wide range of other phenomena. For example, the rate of the mechanochemi-cal corrosion depends directly on a stress state of a traction-free surface [114], that can be produced by dislocations accumulating near the surface.
A lot of analytical solutions concerning the interaction of dislocations with surface/interface have been obtained within the framework of the classical theory of elasticity. Head [77] seems to be the first one who gave such a solution for the edge dislocation parallel to the interface between two semiinfinite isotropic media with different elastic properties. This solution included the free surface as a limiting case. The peculiar method to obtain classical solutions for the edge dislocations, based on analytical expressions for straight twist disclinations in semi-infinite media, has been addressed in [116, 117]. Boundary value problems on the edge dislocations inside and outside of the circular [43, 59] and elliptical [121, 136] inclusions, near the free planar surface of a semi-infinite medium [4] and a planar interface [5],
near a thin surface layer [5] and inside it [91], mismatch dislocations [72] and disclinations [87] in thin films have been solved. In works [4, 5], the stress and displacement fields arising due to the presence of radular arrays of edge dislocations and point forces near a planar surface or interface have been obtained in a closed analytical form. Apart from these works, an interaction of an array of dislocations with a surface/interface has been studied in [2, 21, 24, 32, 52, 58, 70, 76, 96, 110, 129, 130, 139]. Such solutions make it possible to examine the influence of dislocations, which are the real defects of crystalline materials, on mechanical and physical properties of these materials.
A study of the stress fields produced by periodic dislocation arrays is also of importance in grain boundary modeling, analysis of polygonalization, persistent slip bands and dislocation cell structures [97]. A lot of analytical solutions concerning the interaction between dislocations and interface (or inhomogeneity) have been presented in the literature [5, 21, 31, 32, 35, 36, 37, 43, 45, 52, 53, 59, 71, 119, 121, 129, 130, 136]. It is known only a few papers considering an interaction of an interface with a periodic array of dislocations (for example, [5, 21, 31, 32, 73, 97]). It is worth noting also recent investigations of the mechanism of misfit stress relaxation in lattice-mismatched core-shell nanowires through the formation of a periodic array of misfit prismatic dislocation loops [29].
A dislocation array arising due to the lattice mismatch between the substrate and the deposited layer can deviate from the interface a few nanometers [94], as, for example, a result of emission from the surface/interface under loading [98, 111, 132, 142], and form the dislocation wall parallel to the interface [32].
Besides [94] and other researchers, misfit dislocations at the interface
have been recently observed by [100] and [143]. The authors [100] investigated the interface between Al matrix and TiC particles with High Resolution Electron Microscopy (HRTEM) and showed the existence of misfit dislocations located in the Al-matrix about 2 nm from interface boundary. These dislocations are formed due to both lattices mismatch between Al and TiC crystal structure, mismatch in coefficient of thermal expansion and in elastic modulus. Applying the mask procedure of the fast Fourier transform (FFT) and making the inverse fast Fourier transform (IFFT) image, the authors [100] obtained very well defined interface between TiC nanoparticle and Al matrix in the atomic scale (Fig. 0.1) that allows distinguishing frequent every 5 nm misfit dislocations indexed by ovals in the Al matrix in Fig. 0.1.
Fig. 0.1: (from Fig. 5 in [100]) Misfit dislocations located in the Al-matrix about 2 nm from the interface boundary between Al and TiC crystal structure with frequency 5 nm.
Similar HRTEM image of the dislocation row near the interface of the Ge/Si heterostructure (Fig. 0.2) has been displayed by [143]. Four white squares A, B, C, D with the same size and position are marked in the HRTEM image. Only one misfit dislocation on the (11-1) crystal face of the Ge/Si
heterostructure can be observed in each square, as indicated in Fig. 0.2 by the white arrows with the same direction corresponding to the dislocation one.
Fig. 0.2: (from Fig. 5 in [143]) HRTEM images of Ge/Si heterostructure with the
dislocation row near the interface.
It is worth noting that equilibrium positions of misfit dislocations occurring near a planar interface have been analytically studied for the dislocation array in an infinite elastic bimaterial by [73] and for the single dislocation in the two layered plate by [74, 75]. Moreover, dislocation emission from the interface and the equilibrium positions of the misfit dislocations have been widely analyzed in the case of more complicated heterostructures (e.g. [102, 111]).
Unlike a single dislocation [35, 36, 37, 45], the elastic field and energy produced by the dislocation array near the interface depend not only on a distance between dislocations and the interface, but also the space between dislocations. The studies of interactions between the dislocation array and interface in the works [5, 21, 31, 32, 73, 97] are based on the perfect (classical) model of the interface, disregarding an existence of a very thin interfacial layer with residual interface stress (interface tension) and elastic properties
different from those of the bulk materials [56].
In most theoretical descriptions, dislocations are attracted to the boundaries of elastically softer inhomogeneities, including the traction-free boundaries of a solid. So, dislocations can arise in a subsurface layer of a nanometer thickness. At the same time, if dislocations are at the distances of 1 - 100 nm from an interface, the classical continuum mechanics needs to be modified to account for the surface/interface energy effects that are intrinsic to the nanomaterials (nano-sized beams, plates, wires and films [19, 25, 41, 46, 47, 82, 103]) and nanostructures with nano-sized inhomogeneities (inclusions, voids, cracks etc. [42, 54, 71, 80, 104, 113, 119, 124, 125]). The concept of surface energy and surface stress in solids was first introduced by Gibbs [56] on the basis of the thermodynamics of solid surfaces. Long before Gibbs formulated the surface stress theory in solids, the idea of surface tension in liquids had been presented by Laplace [90] and Young [140].
The study of material properties and elastic fields of nanostructures and nanomaterials is important for the further development of nanotechnology, which is focused on the creation of a wide range of advanced structural materials and solid device systems for optoelectronics, biomedical engineering, communications, mechanical engineering, etc.
The highly elegant and widely used mathematical model incorporating surface/interface elasticity within continuum mechanics has been elaborated by [68, 69]. Applications of varies versions of linearized Gurtin and Murdoch model to different nanoobjects are reviewed in [81, 104, 131]. It should be noted that besides the Gurtin-Murdoch model, other models of surface elasticity exist in the literature. For example, continual models reflecting relationship between deformation processes, diffusion and thermal conductivity, incorporating tensor nature of surface stresses, surface chemical potentials
and densities have been constructed in the work [13].
As for an interaction between dislocations and an interface (inhomo-geneity), the simplified Gurtin-Murdoch model neglecting surface tension has been used in the problems on an elastic behavior of an edge dislocation located near a circular nanoscale inhomogeneity [53] or inside the core of a core-shell nanowire embedded to an infinite matrix [71] or near a planar interface in a bimaterial system [35]. The term with the surface gradient tensor of the displacement field in the Gurtin-Murdoch constitutive equation was omitted by [119] in studying the interaction of an edge dislocation with an elliptical nano-inhomogeneity incorporating interface effects.
In the Gurtin-Murdoch model, a surface/interphase domain is represented as negligibly thin membrane-like layer adhering to the bulk phases without slipping and does not resist bending. The model is characterized by traction discontinuities at the surface/interface where the additional surface/interface stresses arise due to the difference of bond distances, angles and charge densities of surface/interface atoms from the bulk ones.
Based on the surface/interface elasticity approach, various boundary value problems have been solved for nanomaterials and nanostructures (e.g. [1, 22, 61, 62, 67, 71, 80, 104, 119, 124, 125, 127]). In the analysis of size effect, most of the works exhibit the influence of a relevant geometric parameter (the size of an inhomogeneity [22, 67, 71, 80, 104, 119, 124, 125, 127], the period of a traction at a planar surface [1], or the period of surface asperities [61, 62]) on the corresponding elastic field of a nanostructure. Such a size effect at the nanoscale is a direct result of taking into account surface/interface stress. In addition, the dependence of nanomaterial properties on at least one of the specimen dimensions at the nanoscale is also the size effect related to the surface/interface stress [19, 25, 41, 42, 46, 47, 82, 103, 113, 128]. The
size effect related to the surface stress has been observed with resonant-contact atomic force microscopy in the works [34, 82]. It is found that the Young modulus increases when the diameter of silver and lead nanowires and polypyrrole nanotubes decreases.
Since the absence of direct experimental determinations of surface elastic constants, all numerical results of problems allowing for surface elasticity are based on data obtained with a computer simulation. Most often, the authors use elastic constants obtained by Miller and Shenoy [103] with the embedded atom method for nanobeams and nanoplates which depend on the type of material and crystal orientation. In spite of the anisotropic properties of the studied computer models, the elastic constants found by the authors are also used in the isotropic case to obtain qualitative results.
The generalization of the Gurtin-Murdoch model was developed by [122, 123] incorporating both tension/compression and bending stiffness of the material surface/interface. As it is cleared up in [30] and [55], models like the Steigmann-Ogden one may be important in problems that include wrinkling and bending deformation [48, 49, 141]. Based on the Steigman-Ogden surface/interface model, the authors [36] has derived analytical solutions for an edge dislocation interacting with a planar bimaterial interface and showed that allowing for the bending stiffness leads to the insignificant deviations of the image force imposed on the dislocation from that obtained with the original (complete) Gurtin-Murdoch model. On the other hand, neglecting the interface tension gives the numerical values of the image force different noticeably from those corresponding to the complete version of Gurtin-Murdoch model [36]. But it is important to emphasize that deriving the material constants of the interface (including interface tension), such remarkably expressed by the authors [36] in terms of those of both bulk materials, is based
on the assumptions which need to be verified. So, numerical results of each version of Gurtin-Murdoch or Steigmann-Ogden models represent primarily qualitative nature of surface/interface effects and is of fundamental importance to be considered. At the same time, both the solution [36] and solutions [79] obtained for a point internal force and edge dislocation in an elastic half-plane can not be used as Green functions because they have not be presented in terms of explicit analytical dependencies expressed via the alimentary functions.
Chapter 1. Interaction of periodic set of point forces and edge dislocations with a free planar boundary incorporating surface stress
The present chapter is focused on two principle problems. First, we extend a complex variable based technique, used previously by Grekov [4] in constructing periodic Green functions for the homogeneous elastic half-plane at the macrolevel, to the same problem of nanomaterials containing point forces or edge dislocations close to a planar boundary, under the generalized Young-Laplace boundary condition with unknown surface stress. It is used the general Kolosov and Muskhelishvili's approach [5, 11] and Gurtin-Murdoch's theory of surface elasticity [68, 69] that leads to the hypersingular integral equation, similar to the equations derived in some other problems of nanomechanics. Though an efficient way of numerical solution of such complex equations has been developed in [92, 93], the analytical solution for the integral equation in terms of the Fourier series with coefficients determined by quadratures is given. In contrast to the solution obtained in the work [79] for the single dislocation and point force, the explicit formulas for an elastic field are presented. These fundamental periodic solutions (Green functions) can be used for applying the boundary integral equation method to an analysis of defects such as cracks and inhomogeneities periodically distributed near a boundary of a half-plane with surface stresses.
Second, the interaction of the dislocations with the boundary at the nanoscale. The investigation of a surface stress effect on the elastic field around the dislocations and at the traction-free surface is very important for the prediction about the surface cracking and the beginning of fracture. So, the stress field and forces acting on the edge dislocations with dependence on
the dislocations' position and their Burgers vector orientation are calculated using derived formulas. The numerical results and their analysis that are presented in the paper have been obtained for the surface material constants determined for aluminium by Miller and Shenoy [103]. The main content of this chapter has been published in the works [6, 7, 63].
1.1. Problem formulation by simplified Gurtin—Murdoch model neglecting surface tension
Consider a semi-infinite elastic medium with a planar surface free from external load. The plane strain conditions are assumed to be satisfied under remote loading and in the presence of the periodic set of straight edge dislocations with the Burgers vector b or internal forces P, and the surface stress = t.
Fig. 1.1: Periodic set of edge dislocations with the Burgers vector b or forces P and the
surface stress t in the half plane.
So, the problem can be formulated as the 2-D boundary value problem for the elastic half-plane Q = {z : Im z < 0, Re z £ (-ro, of the complex variable z = x\ + ix2 (i is the imaginary unit) with the rectilinear
boundary r (Fig. 1.1). The positions of both dislocations and forces are zk = ak — ih (a > 0, h > 0, k = 0, ±1, ±2,...), i.e., they are placed at the distance h from the surface. An arbitrary direction of vectors b and P is defined by the components bj and Pj (j = 1, 2), respectively, in the Cartesian coordinates x1, x2.
The constitutive equations of surface linear elasticity for the first Piola-Kirchhoff stress tensor [42, 68, 69, 104] derived from Eq. (1) in Appendix neglecting surface tension, i. e. assuming o0 = 0, and Hooke's law for the bulk material in the case of a plane strain [61, 67] are thus
t = a8n = (As + 2^s)£u, ^33 = z E r, (1.1)
022 = (A + 2^)^22 + Aen, on = (A + 2^)£n + A^22,
(1.2)
Oi2 = 2^£i2, O33 = —— (oil + O22) , z E Q.
A + ^
In Eqs. (1.1) and (1.2), e22,£11,e12 are the strains of the bulk material; ei1 is the surface strain; A8,^8 are the surface elastic constants similar to the Lame constants A,^.
Generalized Young-Laplace boundary condition allowing for surface stress can readily be derived in the case of a plane problem considering an equilibrium of a traction-free boundary section [61]:
dT
022(X1) — i012(X1) = —idX[, (1.3)
where oj (i,j = 1, 2) are the components of the stress tensor in coordinates
x1, x2.
Eq. (1.3) can be also obtained from the general equation (13) in Appendix assuming o0 = 0.
At infinity, the stresses oj and the rotation angle w are defined as
lim = oj, lim w = 0. (1.4)
X2 — — OO j X2 —y — ro
Note that the values oj depend on a type of point disturbances considered in the chapter and, as it will be shown hereinafter, can not be arbitrarily assigned.
The additional equation which allows finding the surface stress t and solving the boundary value problem is the inseparability condition of the surface and bulk, expressed in terms of the surface strain £sn and the strain of the bulk material e11 at the boundary [1, 61]:
e!i(C ) = eii(C). (1.5)
1.2. Solution of the boundary value problem
1.2.1. Complex potentials
According to [11] and the superposition technique [5], the stresses and displacements in the elastic half-plane Q under the periodic system of forces or edge dislocations are related to the complex potentials Y1 and $0, ^o by the equality
G(z, n) = (z) + — (Y1 (z) + — (z — z) e—2ia + Go (z, n),
(1.6)
where z £ Q, G(z,n) = onn + iont if n = 1 and G(z) = —2^du/dz if n = —k, onn, ont are the stress tensor components in the local Cartesian coordinates n,t with the angle a between the t and x1 axes, u = u1 + iu2. Hereinafter, a bar over the symbol denotes a complex conjugation, a prime denotes the derivative with respect to the argument.
The function Ф1 is holomorphic in the half-plane Q and Yi — in the half-plane where Im z > 0. These functions determine stress and displacement fields arising due to the presence of the free surface and surface stress, and will be found hereafter.
The function Go in Eq. (1.6) is defined as
Go(z, n) = ПФ0(z) + Ф0М + (¿ФОМ + ФОМ) e-2ia, (1.7)
where
n(z - zo)
Фо (z) = -H ctg
a
(1.8)
T / N / -FF „N n(z — Zo) nH, ^ 2n(z — Zo)
^0(z) = (xH + H) ctg —----(z + 2ih) cosec2—--
a a a
and
x = —1, H = ^(b1 + ib2) for the dislocations, a(K + 1)
x = k, H = P1 + iP^ for the forces, 2a(K + 1)
k = (A + 3^)/(A +
Functions $0, are Goursat-Kolosov complex potentials corresponding to the infinite plane under periodically distributed edge dislocations or point forces. Following Eq. (1.8)
lim $0(z) = ±iH,
__(1.9)
lim $0(z)= lim (z$0(z) + i0(zH = ±i (xH + H) .
Pass to the limit in Eq. (1.6) when x2 ^ —0. Then, by setting a = 0, n = 1, and taking into account Eq. (1.3), we get the following boundary equation for the function S holomorphic outside the boundary T:
S+(x1) — (x1) = G0(x1,1) + iT/(x1), x1 E (—ro, (1.10)
Here = lim S(z) and
Yi(z), Imz > 0,
S(z ) =
(1.11)
$1(z), Imz < 0.
Following [11], the solution of the Riemann-Hilbert boundary problem (1.10) can be presented as
+00
z) = _! /^Mdt + T(z) + C,
2ni J x — z — 00
where C is the constant which should be defined, and
(1.12)
T(z) =
+(00
1 f ¿T'(t)
2ni j t — z
— 00
dt.
(1.13)
Based on the properties of Cauchy type integrals [5, 11], one can express the function S, and as a consequence, functions and Y1 in terms of functions $0, and so far unknown function T(z) and constant C:
:(z ) = t (z ) + c +
$o(z) + iH(X 1), Im z > 0, 2
—— z $0(z ) — + iH (X — 1), Im z< 0,
2
(1.14)
1.2.2. Stress field relations
Taking into account Eq. (1.11)and substituting expressions (1.14), (1.7) and (1.8) in Eq. (1.6) under n = 1, a = 0 and a = n/2, we arrive at the
following formulas for the stresses:
^22 - = 2Re [$o(z) - $o(z)j + (z) + ) - z$0(z) - (z)-
(z - z) (z) - z$o(z) - )] + T(z) - T(z) + (z - z)T'(z), 011 + ^22 = 4Re
$o(z) - $o(z) - z$o(z) - ^o(z)
+
4Re [T(z) + C] +2(1 — x)Im H
(1.15)
Considering Eq. (1.6) at infinity (x2 ^ —ro) for a = 0, a = n/2, n = 1 and n = —k, and taking into account Eqs. (1.4), (1.7), (1.9), (1.11) and (1.14), one can obtain that
a2ro — i^ro = — 2i(x + 1)H, 4C = aTO + a£ + 2i(x + 3)H. (1.16)
It is easy to see from Eq. (1.16) that the stresses aTO, aTO equal zero in the case of dislocations (x = —1) and relate to the forces projections in the case of forces (x = k). In both cases, the stress aTO can be arbitrary. In our numerical calculations for dislocations, we assume that aTO = 0, i.e C = iH.
1.3. Solution for the surface stress
1.3.1. Integral equation
To find the surface stress and then the function T, pass to the limit in Eq. (1.15) when x2 ^ —0. We come to the following relations for the stresses
at the boundary r:
^22(^1) - ¿^12(^1) = T-(x1) - T+(x1) = -ir/(x1),
an(x1) = 41 (X1) - 4Re [x1$0(x1) + ^(»1)] + 2Re [2C - ¿(1 - x)H].
(1.17)
In Eq. (1.17), T±(x1) = lim T(z) defined by the Sokhotski-Plemelj formulas [11] as
+00
T±(x1) = ± 2 ¿r'(x1) + 1 (X1), 1 (X1) = 2^1 dt, (1.18)
-(00
where the singular integral 1 (x1) is understood in the sense of Cauchy principle value integral.
After substituting Eq. (1.17) into Eq. (1.2) and taking into account the inseparability condition of the surface and bulk (1.5), Eq. (1.1) can be transformed to the following integral equation:
T(X1) - M(k + 1)1 (X1) = M(k + 1)Q(X1), (1.19)
where M = +—— and
Q(x1) = 1-Re [2C - ¿(1 - x)H] - Re (»1) + ^0(»1)]. (1.20)
Differentiation of Eq. (1.19) leads to the hypersingular integral equation in the function t'
+(00
t'(»1) - M(2 + 1) / dt = M(k + 1)Q'(»1), (1.21)
2n J (t - x1) -
where the hypersingular integral is understood in the sense of a finite part (Hadamard) integral [92, 93]. This integral is the result of the formal differentiation of the integral 1 in Eq. (1.18), that is valid when the function t' has the first derivative of Holder class [92].
According to the expressions (1.8) and (1.20), the continuous and periodic function Q' in the right hand size of Eq. (1.21) can be expressed in terms of elementary functions as follows:
n
Q'(xi) = -Re { [H + xH + 4H(octg(£ - Co)] cosec2(£ - Co)} , (1.22)
a
where £ = nx1/a, Z0 = — inh/a.
1.3.2. Solution of the integral equation
In order to evaluate analytically the integral equation (1.21), expand the function Q '(xi) into the following Fourier series
TO
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.